بسم الله الرحمن الرحيم المرة الماضية بدأنا بعنوان
اللي هو بعض أنواع الدوال العادية واخدنا أول نوع من
هذه الأنواع وهي الـ linear function يعني الدالة
الخطية وشوفنا أن رسمته هو خط مستقيم وشفنا
الخطوط المستقيمة في حالات مختلفة مثل موازية لمحور
X أو عمودية على محور X أو مائلة على محور X أو
الخطوط المستقيمة تمر بنقطة الأصل أو لا تمر بنقطة
الأصل كل هذه رسمناها واخدنا المعادلات التابعة لها. نجي
للنوع الثاني اللي هو the power functions دوال
القوة يعني الدالة المرفوعة لمين؟ لأس معين. بنعطيها
التعريف كتالي: the function f of x يساوي x to the
power a where الـ a is constant حيث الـ a مقدار ثابت
is called a power function.
الدالة اللي عندنا هذه الأساس متغير والأس ثابت. جالي
الـ a is constant الآن الـ a هذا ما حطيتش قيود عليه
إلا أنه مقدار ثابت. يبقى مدام مقدار ثابت يعني real
number قد يكون صفر قد يكون موجب قد يكون سالب قد
يكون كسري. طبعا لو كان الصفر لأصبح X و Zero بواحدة
له الخط المستقيم الموازي لمحور X واللي بيبقى بعنه
مسافة مقدرة واحد. وهذه رسمناها وهي في الـ linear
function يبقى الـ a عندي بدنا نستبعد الصفر. بدنا
ناخد positive negative بالسالب وهكذا أو كسري ونشوف
الحالات المختلفة. مثلا لو بدنا ناخد أمثلة
مختلفة على هذه و بدنا ناخد لو كانت الـ a موجبة. فمثلا
لو جيت أخدت الـ F of X تساوي X يبقى الـ A عندي هنا
قداش بتكون؟ واحد صحيح. طبعا رسمناها قبل هيك وقلنا
هذا محور X هذا محور Y هذا نقطة الأصل اللي هي Zero
هذا الخط الذي يمثل هذه الدالة هو الخط المستقيم
اللي عندنا هذا باللون الأزرق. وقولنا هذا معادلة Y
تساوي X الزاوية اللي عندنا هذه جد الزاوية عندنا
هذه. وكل واحدة فيهم خمسة وأربعين درجة. وسميناها في
حالة الـ linear functions الـ identity function اللي
دالة الواحد. هذا لو كان A تساوي واحد. نجي لو كان الـ
F of X يساوي مثلا X تربيع وبدنا نرسم هذه الدالة
يبقى هذا محور X هذا محور Y هذا نقطة الأصل اللي هي
Zero يبقى هذا الـ problem المشهورة اللي بنرفع طول
دراستنا في المرحلة الثانوية. يبقى القطع المكافئ
اللي على الشكل اللي عندنا هذا. يبقى هذا Y تساوي X
تربيع والـ A عندي تساوي كم؟ تساوي اثنين. طيب لو جينا
قلنا الـ F of X بدها تساوي X تكعيب يبقى الـ A عندي
هنا كم؟ ثلاثة. برضه الرسم هذه رسمناها كثيرا في
المرحلة الثانوية وكان رسمتها على الشكل التالي. نذكر
بها تذكير ليس إلا. يبقى هذا رسمة المنحنى اللي عندنا
هذا الـ Y تساوي X تكعيب. هذه نقطة الأصل اللي هي Zero
والـ A عندي تساوي ثلاثة. طب لو كانت الـ A تساوي
أربعة يبقى بصير عند الـ F of X يساوي X أس أربعة.
يبقى الـ A تساوي أربعة. لو حبينا نرسم الرسمة هذه
يبقى هي المحاور. هذا محور X هذا محور Y هذه نقطة
الأصل اللي هي Zero. رسمتها تشبه X تربيعها لكن مع بعض
الفوارق البسيطة كالتالي. يبقى هاي رسمتها بتجيني هيك
بتجي بالشكل اللي عندنا هنا. يبقى هذا رسمة Y F of X
يساوي X أس 4 أو Y تساوي X أس 4. بنجي لو كانت F of X
يساوي X أس 5 يبقى الـ A تساوي 5. يبقى رسمتها تشبه
لـ F of X يساوي X تكعيب مع الفارق. يبقى هي المحاور. هذا
محور X هذا محور Y هذا نقطة الأصل اللي هي Zero. يبقى
المنحنى بيجينا بالشكل اللي عندنا هذا هيك. يبقى هذا
بيجينا هيك.
لا مش نفسها، هذه يا دوب تقاطع تقاطع هذه كأنها
تمسح وركز ولا تشبيه يعني، يعني بتفتح شوية عند ال
zero، بتلاقيها أفتح شوية. طيب هذا لو كانت الأسس
موجبة. طب لو كانت الأسس سالبة زي ايش مثلا؟ زي f of x
يساوي x سالب واحد يعني قداش؟ واحد على x يبقى ال
a تساوي قداش؟ سالب واحد. لو روحنا رسمنا الرسمة هذه
فبجي بقول هذا محور x هذا محور y هذا نقطة الأصل
اللي هي zero.
الدالة معرفة على طول القط. يبقى على يمين الـ zero
بتاخد قيم موجبة على طول الشكل اللي عندنا هذا هيك
وعلى شمال الـ zero بتاخد قيم سالبة بالشكل اللي
عندنا هذا هيك. يبقى هذه اللي هي ده الـ F of X يساوي
واحد على X والـ X الأس تبعه بده يساوي سالب واحد. لو
جينا الأس يساوي سالب اثنين يبقى الـ F of X يساوي X
أس سالب اثنين يعني واحد على X تربيع. يبقى هذا محور X
هذا محور Y هذه نقطة الأصل اللي هي Zero. هل يمكن لهذه
الدالة أن تأخذ القيمة صفر أبدا؟ هل يمكن
أن تأخذ قيمة سالبة؟ يبقى على الشجرتين القيم موجبة
سواء كان على يمين الـ zero ولا على شمالي الـ zero
القيم موجبة. يبقى المنحنى بيجيلك كده أو من هنا
بيجي جوس بالشكل الثاني. هذا الـ data is undefined
عند الـ zero لاحظ بالنسبة للـ data الأولى الـ domain
يساوي الـ range يساوي كل الـ real line معها ده زيرو. هنا
الـ domain كل الـ real line ما عدا زيرو الـ range من
zero لـ infinity as an open interval. تمام. طيب هذا
رسمتنا لو كانت الأسس سالبة. طب لو كانت الأسس كسرية
فالرسم على الشكل التالي. افترض أن f of x يساوي جذر
الـ X يعني X أس قداش؟ أس نص. لو حبينا نرسم الرسم اللي
عندنا هذه يبقى بصير على الشكل التالي. هذا محور X
هذا محور Y هذه نقطة الأصل اللي هي Zero. يبقى مجوس
بالشكل اللي عندنا هذا هيك. يبقى هذا رسمة الدالة Y
تساوي جذر الـ X الـ domain يساوي الـ range يساوي
الفترة من عند الـ zero لغاية infinity طبعا مغلقة من
عند الـ zero. لو جينا للـ Y تساوي X أس ثلث يعني الجذر
الثالث لـ X وحبنا نرسم الرسمة هذه فبجي بقول هذا محور
X هذا محور Y هذه النقطة الأصل اللي هي Zero. بدنا
هذا الجذر يبقى الجذر هيجيك بالشكل الثالث لأن منحنى
هيجيك هيك ويجي من ناحية تانية هيك.
يبقى هذا Y يساوي الجذر الثالث لـ X أو X أس ثلث. بعد
هيك بدنا نيجي للرسمة Y تساوي Y تساوي X أس ثلتين
مثلا يعني مين؟ يعني الجذر الثالث للـ X تربيع. طبعا
هذه الرسمة دائما وأبدا معرفة للـ X الموجبة
والسلبية والصفر يعني الـ domain كله الـ real line
لكن الـ range بياخد قيمة سالبة. طب بياخد القيمة
الصفر؟ بياخد صفر. لو روحت رسمتها هتاخد الشكل التالي.
هذا محور X هذا محور Y هذا نقطة الأصل اللي هي Zero
يبقى حيجيك جزء من المنحنى بالشكل هذا والجزء الثاني
بالشكل هذا. يبقى هذه اللي هي X أس ثلتين أو الجذر
الثالث لـ X تربيع. بقيت أن أخر رسمة وهي Y تساوي بدل
X أس ثلتين X أس ثلاثة على اثنين. يعني مين؟ يعني الجذر
التربيعي لمن؟ للـ X تكعيب، لو روحنا رسمنا المنحنى
يبقى هذا محور X، هذا محور Y، هذه نقطة الأصل اللي
هي Zero. طبعا لا يمكن يكون الجذر معرف لقيمة سالب. إذا
الـ domain هيكون من where لـ where من Zero لـ
infinity و الـ range كذلك من Zero لـ infinity. يبقى
المنحنى هيطلع عندك بمين؟ بالشكل اللي عندك هنا. يبقى
هذا اللي هو x أس 3 على 2 الـ domain يساوي الـ range
يبقى الرسومات هذه هي الرسومات الأساسية التي ستتكرر
معك كثيرا جدا خلال دراستنا هذا في Calculus A يبقى
مطلوب منك أن تكون ملما بهذه الرسومات.
طيب ننتقل الآن إلى النوع الثاني من أنواع الدوال
يبقى انتهينا من الـ linear functions ومن الـ power
functions بدنا نروح للنوع الثالث من هذه الدوال
يبقى النوع الثالث اللي هو عبارة عن كثيرات الحدود
اللي هي الـ polynomial
يبقى النوع الثالث polynomials
اللي هو كثيرات الحدود. نعطيها تعريف definition a
polynomial كثيرة الحدود is a function يبقى هي
عبارة عن الـ in the form في الشكل التالي الـ P of X
يساوي AN
لحظة الأس يتدرج من أعلى إلى أسفل.
في عندنا الـ N هذا اللي بتبدأ يبقى هذا عدد صحيح غير
سالب يعني ممكن يكون موجب وممكن يكون صفر. يبقى لا
يمكن أن يكون سالب. الـ A N والـ A N minus one والـ A
two والـ A one والـ A node كل الـ A هيهات هدول ثوابت a
reconnaissance أو a real number. نكتب لك هذا الكلام
حيث الـ N is a non negative
integer عدد
صحيح غير سالب.
numbers والأرقام اللي هو a n و a n minus الـ one ونظل
ماشيين لغاية ما نوصل للـ a two a one a naught هدول
كلهم are real are real numbers.
أعداد حقيقية. بنسميها called the coefficients
المعاملات
of the polynomial معاملات
كثيرة الحدود and
الـ N is called the degree of
the polynomial.
يبقى مرة ثانية أو النوع الثالث من الدوال اللي هو من
كثيرات الحدود. لما أقول كثيرات الحدود يعني عندي
مجموعة من الحدود وجمعناهم جمع. طب الحدود هدول في
عليهم قيود؟ أه، في عليهم قيود. تعالى نشوف كثيرة
الحدود هي عبارة عن دالة في الشكل التالي. بديها الرمز
اللي هو P of X الحرف الأول من كلمة polynomial وهو
function فقولنا P of X هي constant في الـ X to the
power N constant تاني في X to the power N minus
one constant ثالث في X to the power N minus two و
هكذا الأس بيبينزل N الناقص واحد الناقص اثنين
الناقص ثلاثة and so on لغاية ما نصل إلى A2 X تربيع
A1 X زائد الـ A0. الرقم N قد يكون صفرا وقد يكون عددا
موجبا لا يمكن أن يكون كسريا ولا يمكن أن يكون سالبا.
ولما قلت N is a non negative integer يبقى عدد
صحيح والعدد الصحيح غير سالب إذا لم يبقى إلا zero أو
عدد صحيح موجب. هذه النقطة الأولى. الآن الأرقام اللي
عندنا الـ a هات هذول a0 و a1 و a2 و a3 و a4 و aN
minus 1 و aN هذول ثوابت بسميهم معاملات الـ
polynomial يبقى هذول بسميهم the coefficients
المعاملات لكثيرات الحدود. طيب الـ N اللي هو أعلى قوة
موجودة عندنا هنا بسميها برجة الـ polynomial يبقى
كثيرة الحدود هذه من الدرجة N-ية يعني من الدرجة
الرقم N. نعطي شغلة توضيحية على ذلك for example
كمثال على ذلك
فمثال على ذلك الآن لو جيت قلت اثنين X أس أربعة
زائد ثلاثة X تربيع زائد عشرة X ناقص واحد
الدوال النسبية أو بعض الترجمات العربية بتقول الدوال
الجذرية الدوال الجذرية ولا الدوال النسبية بِهَمهنّ
المعنى الرياضي فبأجي بقول له the rational function
is
an expression هي صيغة in the form في الشكل التالي
الـ F of X بده يساوي P of X مقسومة على الـ Q of X
where حيث الـ P of X and الـ Q of X are polynomials
Polynomials P of
X على Q of X يعني الـ domain تبع الـ polynomial
هو كل الـ real number ماعدا الأرقام اللي بتخلي
المقام بأصفار يبقى the set of all element x such
that q of x does not equal to zero for example لو
بدي domain
مثلاً X أُس أربع ثلاثة X تكعيب زائد X ناقص ستاشر
كله مقسومًا على X في X زائد ثلاثة مش بنفع هذه
polynomial ولا لا؟ X تربيع زائد ثلاثة X يبقى
polynomial يبقى الـ domain اللي هو كل الـ real
number بده يشيل منها الأرقام اللي بتخلي المقام
يساوي zero وهي ناقص تلاتة و Zero يعني كأنه من سالب
Infinity لغاية سالب تلاتة اتحاد سالب تلاتة و Zero
اتحاد Zero و Infinity كلها فترات مفتوحة يبقى هذا
الـ domain يعني ممكن أصيغها بصياغة أخرى وأقول من
سالب Infinity لسالب تلاتة اتحاد سالب تلاتة و Zero
اتحاد Zero و Infinity بالشكل اللي قدامنا هذا طيب
ننتقل الآن إلى الدالة الخامسة وهي الـ algebraic
function الـ algebraic functions الدوال الجبرية it
is a function يبقى الدالة الجبرية it is a
function هي عبارة عن دالة that can be constructed
يمكن أن تنشأ أو يمكن أن تتكون using باستخدام
algebraic operations
إيش العمليات الجبرية زي addition subtraction
عملية
الطرح multiplication عملية الضرب multiplication
division
عملية القسمة taking roots
عملية
أخذ الجذور for example the
functions مثلاً يعني بينجل الدوال الجبرية ما هي
الدوال الجبرية بيقول الدوال الجبرية هي الدوال
التي يمكن أن تنشأ أو تتكون can be constructed
using algebraic operations يعني تنشأ نتيجة
للعمليات الجبرية العمليات الجبرية هي الجمع
والطرح والضرب والقسمة وكذلك أخذ الجذور ونحو ذلك
يبقى كل هذه المقول عليها عمليات رياضية أو عمليات
جبرية زي إيش مثلاً يبقى هنا الـ function f of x بدها
تساوي مثلاً الجذر التربيعي لـ x تربيع زائد 5 كم
عملية جبرية عملنا هنا تلات عمليات ضربنا الـ X في
نفسها لـ product أو الـ multiple كده وصارت X تربيع،
عضفنا إليها خمسة يبقى عملية الجمع عيتين تاني،
التالت أخذنا الجذر يبقى تلت عمليات في نفس الوقت،
مثلاً لو جينا قولنا الـ G of X يساوي X زائد تلاتة في
الجذر التالت مثلاً للـ X ناقص واحد زائد X على X
تربيع زائد خمسة وعشرين كل العمليات الجبرية موجودة
الحمد لله كل اللي ذكرناها موجودة في السؤال يمكن هذه كمان
algebraic
هل الـ rational function اللي فوق الـ algebraic
function؟ الـ algebraic لإنه جمع وبعدها قسمة،
مظبوط؟ يبقى and الـ rational functions
are algebraic function
يبقى هذه كذلك اللي هو دوال جبرية مالها؟
متأكد؟
طب وأنا زيك هاي،
بدي أقول عبارة هيك وشوفولي إياها صحيحة ولا لأ Any
algebraic function is a rational function خطأ طب
نشوف العكس any rational function is an algebraic
function صح؟ any real أو any linear function is an
algebraic function أي دالة تربيعية هي الـ algebraic
function يعني إيه f of x يساوي X تربيع؟ عملية ضرب
طيب بدي أسأل السؤال التالي وشوفولي كلامي صح ولا لأ
any polynomial is a rational function
أي كثيرة حدود is a rational function. لأ مدام هي
كانت في قضية خلافية بين الفقهاء بدنا جواب محدد
ونناقش ليش أيوة يا أخي العرب.
مية المية كلامه صحيح أنا أي polynomial عبارة عن
مين؟ عبارة عن نفسي الـ polynomial مقسومة على واحد،
الواحد هو polynomial من الدرجة الصفرية وإن اشترط
في الـ rational function تبقى polynomial في الوسط و
polynomial في المقام إذا كلامه صح حط على واحد مظبوط
مية المية يبقى any polynomial is a rational
function وبالتالي any polynomial is an algebraic
function مظبوط ولا لا؟ إنها rational function وأنا
بقول any rational function is an algebraic
function and so on وها كده دي الواقع الكلمة
بيقول لك ممكن نجيبه صح أو خطأ أو خيارات متعددة
وتختار الإجابة الصحيحة أو الإجابة الخاطئة ممكن
أعطيك تلت إجابات صحيحة وواحدة خاطئة ويقول لك طلع
للإجابة الخاطئة وليس الإجابة الصحيحة والعكس ممكن
يكون مثلًا إجابة خاطئة وواحدة صحيحة وطلع للإجابة
الصحيحة يعني السؤال ممكن يأتي هكذا أو هكذا أو حط
صح أو خطأ على العبارات الرياضية التالية ده ماكنتش
فاهم الكلام اللي قدامي على اللوحة معناته مش هتعرف
تشتغل يبقى هداني بفتح ذهنك بأسئلة مختلفة من خلال
التعريف اللي مكتوب عندي على اللوحة ما جبتش زيادة ولا
كلمة جبتش زيادة كله من خلال التعريف اللي موجود بس
بربطها مع بعضها بمين بالمسائل اللي أنت رسمتها طيب
نيجي للدالة السادسة والأخيرة يبقى الدالة رقم ستة للـ
Transcendental function يبقى
transcendental functions الدوال السامية it is the
functions السامية it is the functions هي الدوال
that are not algebraic
Trigonometric functions هي الدوال اللي ماهيّاش دوال
جبرية as زي إيش؟ نمرة واحد Trigonometric
functions Trigonometric
functions نمرة اتنين الـ exponential
f of x يساوي a to the power x والـ a greater than
zero and a does not equal to one نمرة تلاتة الـ
logarithmic
الدوال اللوغاريتمية زي إيش؟ زي الـ F of X يساوي
لوغاريتم X للأساس A والـ A greater than zero and A
does not equal to one
حسناً؟
طبعاً هنرسم كل دالة من الدوال السامية اللي عندّه،
طبعاً في غيرهم كمان هنشرّح لها بعد قليل ونرسم هذه
الدوال للـ Transcendental function الدوال السامية
يبقى الدوال السامية عدة أنواع من هذه الأنواع نمرة
واحد هي ما تكونش دوال جبرية من هذه الأنواع اللي هي
الـ trigonometric functions يعني الدوال المثلثية
الدوال المثلثية كام واحدة؟ ستة الجيب، جيب تمام،
ظل تمام، قاطع، قاطع تمام الزاوية وهي الجيب اللي هي
Sin الـ X جيب التمام Cosine الـ X، الظل هي Tan الـ X،
ظل التمام Cotan الـ X، قاطع الزاوية يبقى Sec الـ X،
قاطع تمام الزاوية Cosecant الـ X، يبقى هذه الدولة
المثلثية الستة مرة تانية Sin X يعني جيب الزاوية X
Cos X يبقى جيب تمام الزاوية X Tan X يبقى ظل X ضا
X Cotan X ظل تمام الزاوية X Sec X قا X قاطعي
الزاوية Cosequent X قاطع تمام الزاوية X يبقى هذه
النسب المثلثية الستة إن شاء الله الست هذول هنرسمهم
وناخذ الـ domain والـ range والمتطابقات المثلثية
المتعلقة بهم بس مش في الـ section الجاي هذا الـ
section اللي بعده section واحد تلاتة منفرد كله
للدوال المثلثية أو مين إيه في نُوْمين أو الـ domain
مقدار الـ period لكل واحدة فيهم كل هذا الموضوع
section واحد تلاتة ورسوماتهم كمان تمام؟ يبقى هذه
اللي لما إليها عودة إن شاء الله في section واحد
تلاتة طيب نجي للدالة الثانية الـ exponential
function طبعاً في فرق ما بين الـ power function وبين
الـ exponential function الـ power function الأساس
متغير والأُس ثابت لكن الـ exponential function
الأساس ثابت والأُس متغير يعني مقدار ثابت هناك الـ
power function قبل قليل كانت x أُس a هنا جلبنا
خلّينا الأساس a والأس ماله x سمّيناها الـ
exponential functions الدوال الأسية F of X يساوي A
to the power X اتنين بدّ الـ A تبقى أكبر من الـ zero
دائماً وأبداً والـ A لا تساوي واحد طب ليش الـ
condition هذا لحاجة في نفس يعقوب سنعرّفكم بعضها بعد
قليل والبعض الآخر لـ calculus B إن شاء الله لما
تدرسوا calculus B في الفصل القادم أو في ثالث
section من الفصل القادم طيب يبقى بدنا نيجي للدالة
هذه a to the power x بدنا نروح نرسم رسمة هذه
الدالة ونشوف شو الـ domain إلها وشو الـ range إلها
وشكلها هذه فبأجي بقول الشكل كالتالي خلي بالك معايا
كويس هذا محور x هذا محور y هذه النقطة اللي هي Zero
قبل برسم قبل a أكبر من Zero يبقى a بتأخذ قيمة
دائماً لو أبقى القيمة موجبة اتنين قبل a لا تساوي
الواحد لإن لو كانت الـ a تساوي واحد بصير واحد قص أي
رقم بواحد يبقى هذه الـ linear function أو الدالة
الثابتة لرسمتها خط مستقيم يعني كأنه ما كانك سر
ماسويناش شيبس في كمان سبب آخر خليه للقلاص بيه
إن شاء الله لما تأخذ القلاص يبقى نقول لك يام طيب
يبقى بدنا نروح نرسم هذه يبقى لو قلت لك واحد أُس x
بده يطلع خط مستقيم صحيح ولا لا؟ يبقى هذا الواحد أُس
x هذا عندك هنا الواحد وهذا هذا هذا هيك هذا
الواحد أُس x لو كان اتنين أُس x يبقى اتنين
أُس x يبقى اتنين أُس x يبقى اتنين
أُس x يبقى اتنين أُس x يبقى
اتنين أُس x يبقى اتنين أُس x بنفس الطريقة جوز زيّه
بدّها تمر بنفس النقطة هذه طيب ليش؟ لأنه x أُس لو
كانت الـ X بـ Zero فـ اتنين أُس Zero تلاتة أُس Zero مية
أُس Zero يبقى كله بدّها تمر بالنقطة هذه هي الإحداث
ياتها Zero واحد كله لازم يمر بالنقطة هذه إذا لو قلت
أربعة أُس x هل تجي منها وفوق ولا منها وتحت؟
منها وفوق وتعالى نقول لك ليش لو جيت قلت هذه رسمة
الدالة أربعة أُس x مثلاً لو أخذت الـ X عندي بواحد
يبقى واحد أُس واحد اللي هي الواحد تجي كنقطة هذه طيب
لو قلت اتنين أُس واحد يعني باتنين بدّها تجيك النقطة
هذه لو قلت لك أربعة أُس واحد يبقى بتطلع بدّها تجيلك
النقطة هذه وهكذا يبقى من
أي قيمة سالبة يبقى بناء عليه بقدر أحط القاعدة و أنا
مرتاح a to the power x أكبر من 0 for all x بس
الشرط هذا موجود عندي ههه ال a أكبر من ال 0 و ال a
ممنوع تساوي واحد يبقى ال a to the power x positive
دائما و always يعني لن يكسر هذا القانون ولو مرة
أكبر من 100 من 0 لا بيساوي 0 ولا بيساوي قيمة سالبة
هذا هي ال exponential function a to the power x
نجي لل logarithmic function الدالة اللوغاريتمية طبعا
أخذت لوغاريتمات الأعداد والأعداد المقابلة للوغاريتمات
في المرحلة الثانوية، مظبوط؟ السؤال مرة ثانية، مدام
أخذناها أبدأ أسأل السؤال التالي، هل أخذت في يوم من
الأيام لوغاريتم لكمية سالبة؟ لأ، يعني ما أخذناش
لوغاريتم لعدد سالب، أخذت في الكيمياء لوغاريتم لعدد
سالب؟ يا رجل اتقي الله يا رجل تقرأ بالدالة في سالب
ماعنديش مشكلة، لكن أنا بقول هل أخذت له غريتم كمية
سالبة؟ السؤال اللي بعده هل أخذت له غريتم للزيرو؟
لوغاريتم الواحد بصفر، مش لوغاريتم صفر بواحد، يبقى لوغاريتم
صفر Undefined، لوغاريتم الكمية السلبية Undefined،
بتداسة للسؤال الثالث، قداش domain لوغاريتم X للأساس
إيه قبل أن أرسمها؟ من صفر لإنفينيتي مفتوح على أن
اللغة الرسمية ليست معرفة للازرع ولا للثالث يبقى
مضلووش اللي هي القيامة الموجبة يبقى ال domain للغة
الرسمية تبع ال X من صفر إلى إنفتاح يعني لما أرسم
الرسمة بدها تطلع عيمين محور Y وعلى الشمال ولا بس
عيمينه؟ عيمينه عيمينه طيب قبل ما أرسمها بدي أسأل
كمان سؤال قداش ال domain لل A to the power X
domain ال
A to the power X ما هي قدامي هي هذه بتاخد الموجب
وهي هذه بتاخد السالب وهذه زيها يبقى من سالب
infinity ل infinity كل real number طيب السؤال
الثاني ال range ما هي مكتوب قدامك ومرسوم يبقى من
زيرو، من واحد، يعني هذه الرسومات من هذه الشخصيات
يبقى الـ Range للـ A to the power X من Zero
لإنفينيتي as an open interval خلي المعلومتين هذول
عندك، بدي أرجع أسئلك فيهم سؤال، بدي أرجع أسئلك في
هذول سؤال طيب نجي للدالة اللوغاريتمية الدالة اللوغاريتمية
اللوغاريتمية لو روحت رسمت هذه المحاور يبقى هذا محور X
هذا محور Y هذه النقطة اللي هي main اللي هي zero لو
روحنا رسمنا ال function تفاجئنا وياك والسالب
والصفر يبعد الله يبقى بتاخدش إلا أو غير معرفة إلا
للقيم الموجبة يبقى هذا الخط الأزرق اللي هو Y تساوي
logarithm X للأساس A
طيب تمام النقطة هذه لحدثي تبعها واحد وزيرو زي ما
النقطة اللي فوق زيرو واحد طيب الآن ال domain
لللوغاريتم
ال X للأساس ايه؟
من صفر لغاية infinity as an open interval بد ال
range للوغاريتم ال X للأساس هذا بياخد القيم الموجبة
هذا بياخد ال zero هذا بياخد القيم من سالب
infinity لغاية infinity يعني لوغاريتم الرقم قد يكون
موجبا و قد يكون صفرا و قد يكون سالبا لكن ال domain
دائما و أبدا موجب طيب النوع الثالث النوع الرابع
اللي أنا ما كتبتش من ال Transcendental function
اللي هو ال inverse function اللي هو معكوس الدالة،
معكوس الدالة ما لكوش علاقة فيه في هذا الفصل لكن
الفصل الجاي إن شاء الله الفصل الثاني Calculus بأول
section في أول محاضرة inverse function معكوس
الدالة تمام؟ يبقى هدول الأربعة أصناف هم اللي
بنسميهم ال Transcendental functions اللي هيمروا
علينا خلال دراستنا سواء كان في Calculus A أو
Calculus B بدنا نغششك معلومة ل Calculus B إن الـ A
to the power X ولوغاريتم الـ X to the power A كل
واحدة فيهم معكوسة للتانية يبقى the inverse
function of A to the power X is لوغاريتم الـ X
للأساس A والعكس بالعكس معكوسة دالة لوغاريتم X للأساس
A هي A to the power X ولاحظ السؤال اللي قلناه القوله
ال domain هنا هو ال range هنا والـ Range هنا هو ال
domain لما كتبتيها عكس مظبوط يبقى الدوام لما تبقى
واحدة معكوسة للثانية بيكون ال domain الأولى هو ال
range الثانية و ال range الأولى هو domain الثانية
و رسمة كل واحدة فيهم إن شاء الله هتلاقيها is
symmetric about the line Y تساوي X
ولو واحد يجاوز، الزلمة سأل سؤاله، بدي يفهم، تيجي
على لوحك شوية نتفهن احنا معاك؟ يلا تعالي هنا، طبعا
في أمور تبسط على شو اسمك أنت؟ حسن الكحول يالا يا
حسن أسألك ولا كده مرة ثانية مظبوط
صحيح يعني لا سالب ولا صفر يعني ال X هذه دائما و
أبدا موجبة طلع هنا من هنا لهنا أخذنا صفر ولا أخذنا
سالب ليبقى تفاجئنا على القطة هذه النقطة الثانية هذه
domain والله range، يعني احنا لما أخذنا القيم
الموجبة فلعنا هنا قيم موجبة وطلعتنا صفر وطلعتنا
قيم سالبة يعني ال range بتجيب الموجب والسالب، بس ال
domain للموجب، واضح؟ في مشكلة؟ ايوة، اتخربطش من ال
domain واتكترني، حاجة بت .. ايوة ايه تتطارق، صح؟
صحيح؟
لنسمع
سؤاله، أشوف سؤاله مرة ثانية، ايوة؟ بحكي ال A أُس X
هي اللي احنا أخذناها ها والسين اللي هي قيمة أولها
لإيه؟ يعني مش عارف الشيء اللي أخذتها أنت وبعدين
عالم والله عارف شيء اللي بدويا شوف يا سيدي في عندك
حاجة اسم A أُس X وفي E أُس X E أُس X اللي عدده
اثنين وسبعة من عشرة تقريبا بس a to the power x هذه
ال a أي رقم من صفر ل infinity عدل واحد الصحيح يعني
ال a to the power x اللي هو العدد اللي أنت بتقصده
هو حالة خاصة من a to the power x لما تكون a فقط
اثنين وسبعة من عشرة أو كاشر بخلصش تمام؟ خلاصنا؟
ايوة
ممتاز جدا، بيسأل صاحبنا السؤال التالي والسؤال
وجهه، مع الحق، بيقول احنا رسمنا اللوغاريتم هذه لـ A
to the power X، هذه even والله odd، بيقول والله
إذا متمثلة بالنسبة لمحور A وI فهي even هل هي
متماثلة؟ يبقى not even صف على شجة نجي هل متماثلة
بالنسبة لمحور X؟ يعني هل أي نقطة هنا فيك بالها
نقطة هنا؟ يبقى ماهياش متماثلة بالنسبة لمحور X و
بضيفله عليها ولا حتى symmetric بالنسبة لل origin
الثلاثة كلها لا يبقى ما عنديش symmetry بالنسبة لها
بتاتا خلصنا؟ طيب لحد هنا stop بدنا في الحل تروح
تمرن يدك في ال exercises تبعد واحد واحد من
المسائل من واحد لسبعة وخمسين ال odd numbers طبعا
و بقولك odd ليش إن الإجابات عندك في الكتاب مش
هنتعرف أنت بتشتغل صح ولا بتشتغل غلط، تمام؟ ولا يصعب
عليك بتروح على ال discussion وانت جاهز مش تروح على
ال discussion وانت مش محلل ولا سؤال بصير انت مجمعي
شوية أما محلل، بتروح وانت موطن نفسك وفاهمي كويس،
okay؟ يبقى هنا يعني، يبقى المسألة بتروح تحلها، نبغى
بك تروح على ال discussion وإذا ما لحقتش في ال
discussion ورحت للميضة على الغرفة وما لقيتش و
بتجيني في الساعات المكتبية أهلا وسهلا و راحت بالكل
اللي بيجي يسأله و اللي بيجي يسأله حرف ده اللي هو
على جنبه طب الآن ننتقل إلى ال section الثاني اللي
يليه هو section 1-2 اللي بتكون من ثلاث نقاط رئيسة
النقطة الأولى لل combining functions بدنا نكون
دالة جديدة من دوال موجودة والنقطة الثانية ال
shifting of functions بدنا نرسم الدول ونعمل لها
إزاحات ذات اليمين أو ذات الشمال وإلى أعلى وإلى أسفل
كذلك والنقطة الثالثة ال scaling graphs إذا بنرسم
الرسمة بنسب معينة تصغير أو تكبير للرسمة الكلام
اللي سمعته هو مختصر section 1-2 يبقى section 1-2
بتكلم عن ما يأتي
combining functions النقطة الأولى النقطة الثانية
shiftings shiftings
الإزاحات and scaling graphs
نبدأ بالنقطة الأولى اللي في ال combining functions
بإننا ناخد ال sums و ال differences الطرح أو
الفروقات و ال products اللي هو عملية الضرب and
quotients عملية القسمة
كل هدول بإننا نعطيهم تعريف فبجي بقول definition if
ال if and ال g are two functions and if ال x موجودة
في domain ال F تقاطع مع domain ال G we define
بالروح
نعرف تعريفات التالية نمرة واحد f زائد أو ناقص g as
a function of x بدي يساوي ال f of x زائد أو ناقص g
of x نمرة اثنين ال f في g of x بدي يساوي ال f of x
مضروب في ال g of x and
الـCF as a function of X بدي يساوي C في الـF of X
والـC is constant نمرة ثلاثة بدنا ال F على G كله as
a function of X بديه يساوي ال F of X على G of X
وبشرط أن ال G of X ممنوع يتساوي Zero لأن
كل هدول functions جديدة بدنا domain لمام لل F زائد
ال G هو ال domain لل F ناقص ال G هو ال domain لل F
في G هو ال domain لل F تقاطع مع domain لل G and
وزيادة على ذلك ال domain لل C في ال F
النقطة الثالثة والأخيرة domain ال F على G
Domain الـ F تقاطع مع Domain الـ G كل هذا بتشيل كل
العناصر اللي بتخللي G of X يساوي Zero for example
let
الـ F of X يساوي جذر التربيع إلى X زائد أربعة and
الـ G of X يساوي جذر التربيع إلى X تربيع ناقص أربعة
find بدنا كل من نمرة A بدنا
ال F زيدي الجي و ال F في جي و ال F على جي
نمرة B بدنا domain ال F زيدي الجي domain الـ F في
G and domain ال F على G نمرة C
بدنا ال F على G as a function of one and ال F على
G as a function of three
لما أقول combining functions يبقى احنا عندنا
دالتين أو أكثر بدنا نعملهم عملية تجميع عملية تجميع
قد يكون جمع قد يكون طرح قد يكون ضرب قد يكون قسمة
قد يكون عملية تركيبية بس التركيبية أجلناها لك إلى
ما بعد قليل قلنا نشوف الشغلات اللي بيبقى أول شغلة
بدنا نكون دالة جديدة من دالتين موجودتين إما
بعملية الجمع أو عملية الطرح أو عملية الضرب أو
عملية القسمة وبعد ما نكون هذه الدوال بدنا ندور على
ال domain تبعها ما هي علاقة ال domain لهذه الدوال 574 01:02:08
بين الاتنين يبقى أنا بدأ آخذ الضرب بدل الـ F أو الـ
G بدأ أحط مقدار ثابت هو الـ F of X لما تساوي مقدار
ثابت جدّيش الـ domain تبعها كل real number من سالب
infinity إلى infinity بـ gene مين الـ domain الـ F يبقى
تقاطع ما بين الـ domain الـ F وما بين الـ set of real
numbers الـ domain الـ F itself ومن هنا نروح نقول دومين
ال constant F هو مين هو الـ domain الـ F itself طبقنا
الـ domain تبع حاصل الضرب هذا قولنا الـ intersection
ما بين الـ two domains طيب الـ domain خارج القسمة يبقى
الـ intersection ما بين الـ two domains بدي أشيل منه
النقاط اللي بتخليه للمقام ما له ساوي زي هو يبقى
ناقص كل العناصر X اللي صورتها بدها تكون صفر لأن
القسم عند هذه النقاط بيصير ما له and five طب هذا
كلام نظري بدنا نشوفه على أرض الواقع معطيني دالتين و
قال لي للجمع والضرب والقسمة وبعد هيك الـ domains
اللي لهم وبعدين احسب لي الـ domains القسمة عنده
رقمين بقوله ماشي بدي آجي للنقطة الأولى بدي آخذ له f
زائد g as a function of x بدي أعرف شو شكل الجمع
بنطبق التعريف اللي أنا قايليه يبقى لما أطبق التعريف
هذه عبارة عن f of x زائد g of x f of x معروفة
عند اللي هي جذر تربيعي لـ x زائد 4 زائد
الـ g of x اللي هي جذر تربيعي لـ x تربيع ناقص 4
بقدر هذول أجمعهم أكثر من هيك خلاص؟ يبقى خلاص؟ بقدرش
أجمع أكثر من هيك، يبقى هيوم، كل اللي بقدر أعمله أن
أضرب في المرافق وبالتالي أحطهم في شكل جديد،
كالكعزيزة ما لهاش لزوم، يبقى خلاص وصل لحد هنا،
والله يعطيك العافية بعد هيك بندجي لمين؟ للنقطة
الثانية اللي هي الـ FG as a function of X يبقى الـ F
of X في الـ G of X يبقى جذر تربيعي للـ X اللي
عندنا هذه للـ X زائد الـ 4 مضروبة في جذر
تربيعي لـ X تربيع ناقص 4 هذه صحيحة بقدر
أخليها جذر واحد مظبوط بقدر أقول هذا جذر واحد،
مظبوط لمين؟ للـ X زائد 4 بالـ X تربيع نقص
4 بقدر واحد وأخليه جذر واحد أكثر من هيك،
وصل لحد هنا والله يعطيك العافية بندجي لمن؟ لـ الـ F
على G as a function of X يبقى الـ F of X على الـ G
of X يبقى جذر تربيعي للـ X زائد 4 على من على
جذر تربيعي لـ X تربيع ناقص 4 هو اللي بقدر أخليه
كذلك
خلصنا المطلوب الأول بدنا نيجي للمطلوب الثاني نجيب
الـ domain للأولى والـ domain للثانية مش هنجيب الـ two
domains لازم أعرف قدّيش الـ domain الـ F والـ domain الـ G و
تقاطعه فيما بينهما لأن هذا أساسي في شغلنا صحيح
ولا لأ يبقى باجي بقوله بدي أجيب له في الأول domain
ده الـ F هو كل العناصر X بحيث أنه بيرجع للـ F صح
بيتنا هذه تمام؟ بدي الـ domain تبعها بدي القيمة اللي
تحت الجذر تبقى دائماً وأبداً أكبر من أو تساوي الـ
zero يبقى الـ X زائد 4 greater than or equal to
zero يبقى كل العناصر X بحيث أن الـ X تكون أكبر من
أو تساوي قدّيش سالب 4 يعني من سالب 4 ثم فوق
يعني من ولا وين سالب 4 لغاية infinity يبقى هذا
كل الـ interval مغلقة من عند السالب 4 ولغاية الـ
infinity مفتوحة بالشكل اللي قدامنا هنا تمام هي
جيبنا الـ domain الـ F بدنا نجيب domain الـ G
domain الـ G كل العناصر X بحيث برضه صاحبنا هذا
جذر يبقى بدي كل الكمية اللي تحت الجذر تبقى أكبر من
أو تساوي الـ zero بحيث إن X squared minus four
greater than or equal to zero يبقى كل العناصر X
نضيف 4 للطرفين يبقى بحيث إن X تربيع greater
than or equal to من الـ 4 أنا ما بدي X تربيع بدي
X يبقى شو بعمل؟ بأخذ الجذر التربيعي للطرفين، يبقى
هذا كل العناصر X بحيث إن absolute value لـ X أكبر
من أو تساوي absolute value للـ 2 اللي همّين
بالـ 2 صح؟ سكت الشعب جذر تربيعي على X تربيع
هو absolute value لـ X يبقى absolute value لـ X
جذر تربيعي على 4 هو absolute value للـ 2
اللي هي بـ 2 itself طبعاً فبدي أعبر عن هذه بصياغة
أخرى فبجي بقول هذه كل العناصر X such that هذه إمّا
الـ X greater than or equal to
بس اسمع اسمع ليش إيش؟ وهي
هذا الكلام يسمى كلمة or تعني اتحاد
يبقى باجي بقول جال الـ X أكبر من أو تساوي 2 يعني من
عند 2 لوين للمالها نهاية جال الـ X أقل من أو
تساوي سالب 2 يعني بدك ترجع من سالب 2 لوين لكن الفترة
الصغيرة بنحطها في الأول والكبيرة بنحطها في الآخر
يبقى كل الـ interval من سالب infinity لغاية سالب
2 مغلقة من عند السالب 2 بسبب اليساوي اتحاد
الفترة من 2 لغاية infinity
طيب حتى الآن جيب بس الـ domain الـ F والـ domain الـ G،
أصبر عليّ بس نخلص الآن أنا بدي الـ domain المشترك ما
بين الاثنين لأنه عند التعريف قال X موجودة وين في
التقاطع ولمن حسبنا الـ domain قال اللي موجود في
تقاطع الاثنين يبقى إحنا بدنا نروح نجيب تقاطع
الفترتين domain الـ F مع domain الـ G إذا بقوله بدي
domain الدالة F تقاطع مع domain الدالة G يساوي وما
أدركي ما له يساوي وكيف بدنا نعزّبه استغلنا شوية بقى
أصبّر الله ما أخلق الآن بدي أعلمك كيف تحسبه بطريقة ما
تخرّش الميه تمام؟ بدك تروح تلصق راسم كيف الرسم؟
بقوله هذا الـ real life بتدهش للفترة الأولى تبع الـ
domain ده اللي بيطلع من وين؟ من عند السالب 4
لغاية؟ يعني لو قلت هذا الـ zero بده تجينا سالب 4
هنا مظبوط؟ نبعدها شوية مشان الكل يشوف جول هنا،
هي سالب 4 يبقى من وين لوين؟ من عند السالب 4
بدي أبقى ماشي لما لا نهاية سهم يعني قال فالله
سهّل عليها إلى نيرة الله الأرض ومن عليها خلاصنا
مين؟ هذا مين اللي رسمته؟ domain الـ F بدي أروح لـ
domain الـ G domain الـ G جاله من سالب infinity
لغاية سالب 2 سالب 2 وين بيجينا؟ هنا سالب
2 وبتدّك ترجع لوين؟ لسالب infinity وبعد هيك من
عند 2 للـ infinity يبقى 2 تجينا بعد الـ zero
يبقى هي 2 وللـ infinity بالشكل اللي عندنا هذا
الآن التقاطع بتاعهم هو المنطقة المشتركة ما بين
الاثنين وإن الاثنين موجودين مع بعض بتكون هي المنطقة
المشتركة اطلع لي هذه أظنّ هذه المنطقة المشتركة ما
بين الاثنين هنا وهنا هذه المنطقة المشتركة ما بين
الاثنين صحيح ولا لأ؟ يبقى بناء عليه بقدر الـ domain
من سالب 4 لسالب 2 من سالب 4 لسالب
2 as an closed interval بسبب وجود اليساوي بدي
أحط عليها كمان الفترة من ولا وام من 2 مغلقة
لغاية infinity يبقى يا شباب إن رسمت زيها في عمرك ما
هتغلط بس تجي تقدرها بدل الرسم احتمال الخطأ وارد
بنسبة 150% هذا للبعض والبعض الآخر قد يكون نسبة نجاح
150% واما ما ده فيه اختلاف في العقول إذا حتى ما
نغلطش بنحاول نرسم طيب رسمنا وحددنا الفترة الحين
بدنا نيجي لمين؟ لنمبر 2 في المثال نحسب الـ domain
اللي بدنا إياه بعد ما اشتغلنا الشغل هذه كلها
نمسك نمبر بي لأن هي نمبر بي نمبر بي قال لي
domain الـ F زي دي الـ G وdomain الـ F في G هذول زي
بعض مش فيهم مشكلة مظبوط؟ يبقى بقى جيبقى أقول له
domain الـ F زائد الـ G هو domain الـ F في G هو
domain الـ F تقاطعه مع domain الـ G مش هيك؟ يبقى
هذا جاهز حسبته بجيبها زي ما هي وبقعدها بسلامتها
يبقى هذه تساوي سالب 4 وسالب 2 اتحاد 2
و infinity بقى اللي عندنا في نمبر بي إيجاد domain
خارج القسمة بقوله and
الـ domain بتبع الـ F على G اللي هو domain الـ F
تقاطعه مع domain الـ G بدي أشيل منه كل الـ X's اللي
بدها تخليه لـ G of X يساوي Zero مش هيك التعريف طيب
الـ intersection جاهز هيّه فوق يبقى سالب 2
سالب 4 لغاية سالب 2 اتحاد 2 و
infinity بدي أشيل منه كل القيم اللي بدها تخلي
المقام بـ zero من القيم اللي بتخلي جي بـ zero هي جي
ما هو اللي بيخليها zero؟ 2 وسالب 2 هل
يوجد غيرهم؟ بنكتبهم as a set سالب 2 و2،
يبقى بدنا نجي على الفترة هذه بدي أشيل منها سالب
2 و2 اللي عندنا يبقى بدل ما تلت بخليها
مفتوحة بيقول خلصنا حلّينا مشكلتنا يبقى هذه تساوي
سالب 4 مغلقة سالب 2 بنخليها مفتوحة اتحاد
كمان مفتوحة 2 و infinity يبقى استبعدنا سالب
2 و2
المشكلة في حساب الـ domain مش في الشكل إذا في
اختصارات باختصرها المقال فيش اختصارات X ناقص
2 في X زي 2 فرق من المربعين هدف اللي فوق
X زي 4 لأ لأ اجى في باله X ناقص 4 X زي
4 تم اختصار فيش اختصار
هي الـ F في الـ bus ولا في المقام مظبوط؟ يبقى بيخلي
اللي في المقام هو اللي يساوي دي لأصفار المقام مش
أصفار البسط أصفار البسط ده اللي معرفة عندها
ماعنديش مشكلة المشكلة لو وقعت الأصفار في المقام
عارف ليش؟ لأنه لا يمكن في علم الرياضيات إنك تقسم
على صفر خارج نطاق العقل البشري مش ممكن يتصورها
العقل البشري في يوم من الأيام ماشي ليومنا هذا
طبعاً تمام؟ يبقى خلاصنا من وين؟ نمبر بي خلاصنا منها
كلها جيبنا الـ domain طبعاً أيوة كيف؟ تعال هنا إيه
الحدّ؟
إنيّات اللي بتنعد لحد هنا؟ وين اللي ما فهمتوش؟ ممتاز
جداً طيب إذا الـ domain دولة F1 وF2 هيّها هل الجذر معرف
لقيمة سالبة يعني بدي أكبر أو يساوي ها إيه أكبر من
أو يساوي زيّه تعرف تحلّي المتباينة هنا يعني بنضيف
سالب 4 على الطرفين بيصير X أكبر من سالب 4
أو يساوي يعني من سالب 4 والله سهّل عليك لوين؟
أكبر منها سالب 3 سالب 2 سالب 1 زيرو 1
2 لغاية ما يبقى هذه خلاصة من هذه الثانية
واختها هي الجذر التربيعي لـ X تربيع ناقص 4 بدنا
ياها أكبر من أو تساوي مين الـ zero نضيف 4 على
الطرفين بيصير X تربيع أكبر نأخذ الجذر التربيعي
للطرفين موافق؟ لحد هنا تمام؟ بدنا نفسر هذه هذه 769 01:20:43,800 -->
وهي very important
هي النقطة الثانية لل composition of functions
اللي كنتوا بتسموها f circle g أو f بعد g أيوة تمامًا
الـ f على الـ g ما له أبداً تمامًا الـ f التقاطع تبع الـ
اثنين اللي كتبنا تحت بده الشيء القيم اللي بتخلي الـ g
تساوي صفر الجذر التربيعي لـ x تربيع ناقص 4 أو اكتشف
بيساوي صفر عند x اثنين و سالب اثنين لأنه 4 ناقص
4 بصفر ناقص 2 كل تربيع 4 ناقص 4
بصفر يبقى بدنا نشيل 2 و سالب 2 من الـ
interval سالب 4 لغاية سالب 2 اتحاد 2 و
infinity يعني بصير مفتوح عند سالب 2 و 2
ليس الأفضل نجي الآن لتكملة النقطة الأولى اللي هي
الـ composite functions يبقى بالدالي لحاجة اسمها الـ
composite functions
definition
F
الـ F عند الـ G R
two functions recomposite
function
الدالة التركيبية أو الدالة المحصلة للـ F composition
G is defined by
إذا كانت الـ composition جي كمعاملة من X يساوي F
للـ جي من X بحيث أن X موجودة في Domain الجي مرة
ثانية
الـ composite function الدالة المحاصلة أو الدالة
التركيبية يعني أنا عندي دالتين بدي أركب منهم دالة
جديدة دالة واحدة دي من الدالتين اللي موجودة أو ثلاث
دول بدي أركب منهم دالة أو أربعة أو ما إلى ذلك
الدالة التركيبية أو الدالة المحصلة بدي أعطيها رمز
F circle G كنتوا بتقراوها في الثانوي F بعد G أو F
circle G في علمنا F composition G F composition G
Circle بس عشانها دائرة صغيرة بنقول Circle أما في
الحقيقة بنقول F composition G is defined by
بنعرفها كالتالي F composition G of X يساوي F of G of
X بحيث أن X موجودة وين في Domain الـ G خلي بالك
معايا هنا الآن أنا بقول if composition D of X مين
أقرب واحد على X؟ if والله جي جي يبقى جي هتأثر على
X يبقى X لازم تكون وين من الـ G حتى تقدر تأثر
عليها طيب أثرنا بـ G على X صارت مين؟ G of X إذاً G
of X صار element جديد في Domain الدالة F حتى
تقدر F تأثر عليها نوضح لك هذا الكلام بالرسم لو
عندي هنا Set والست سميتها A والست الثانية سميتها B
والست الثالثة سميتها C خلي بالك معايا كويس الآن من A
إلى B في عندي دالة اسمها G من B إلى C في عندي دالة
اسمها F الآن لو كان عندي element هنا اسمه X يبقى
هذا الـ element موجود في Domain إذا جي بتأثر
على كل عناصر A إذا هتأثر على هذا الـ element يبقى
جي لما تحث .. لما تأثر على X بده يظهر له صورة في B
اسمها G of X هي صورة الـ Element X اللي موجود
في A صورتها ظهرت في B بي هو Domain مين يبقى الـ F
هتأثر على هذا الـ element اللي موجود في Domainها
اللي موجود في Domainها وتخلي صورته هنا F of الـ
element اللي موجود في Domainها اللي هو G of X
وكأنه بيه مهّدّي مش هتظهر كأنه بده يصير الـ X بده
يجي للـ element اللي عندنا هذا اللي اسمه F of
G of X وبالتالي F composition G of X بده يسوي F of
G of X طيب سؤال هل الـ F composition G يساوي G
composition F؟ فرقة السما على الأرض هنا الـ element
بيكون في الـ Domain الـ G هنا الـ element في الـ
Domain الـ F يبقى هذه اللي لا يمكن أن تساوي هذه يبقى
بقوله هنا in general على وجه العموم الـ F
composition G لا يساوي G composition F السؤال
الثاني احنا جبنا دالة جديدة من الدالتين الأصليتين
زي ما كنا قبل قليل بنضيف دالة جديدة إذا بدنا الـ
Domain تبعها وافتح لي كويس لإن كتير من الشباب بيضلوا
يسألوا فيها كتير عملية سهلة جدا بس مش عارف ليش
بيكتروا فيها السؤال الآن بدنا نيجي للـ Domain بتابع
الـ F composition G بدي أعرفه تعريف مين هو الآن هذه
مشان تأثر على element بدي أقول كل العناصر X يبقى X
وهوين بده يكون موجود؟ في Domain الجي يبقى كل
العناصر X بحيث أن X موجود في Domain الجي وفي نفس
الوقت and الـ G of X هوين بده يكون موجود؟ في Domain
الـ F موجود في Domain الـ F يبقى هذا تعريف تبع
الـ composition ولا رئاسة منها كل العناصر اللي موجود في
Domain الـ G صار عنده G of X يبقى G of X بدها تكون
وأن موجودة في Domain الـ F خلص التعريف بالمهم مش
التعريف هو كيف اتطبق لمين التعريف إذا سنذهب إلى
مثال مباشرة example عادي
نثبت المعلومة هذه قبل ما نمشي المثال بيقول ما يأتي
let فبرض هأعطيك على هذه النقطة بدل المثال ثلاثة وكل
واحد فني بيختلف عن الثاني فافتحه كويس ودقق معه let
اللي هو الـ f of x بدل يساوي x تربيع ناقص 1 and الـ G of X بدي
أساوي الـ Square Root لمين؟ للخمسة ناقص الـ X نمرا
A بدي الـ F composition G نمرا B بدي الـ G
composition F نمرة C بدي الـ G composition G نمرة D
بدي الـ Domain الـ F composition G and Domain الـ G
composition G
هلا مالك هنا افتح معايا كويس مش هشوف كيف بنحسب
الشغلات هذه الآن بدنا F composition g as a
function of x شو شكله؟ فبجي بقول شكله كالتالي F of G
of X طبعا الآن G of X موجودة عندي يبقى بشيل G of X
و بحط قيمة مكانها يبقى F of الـ G of X هي عبارة عن
الجذر التربيعي لمين؟ لـ 5 ناقص الـ X بعدك اسمع
شوية هنا بيقول الـ F لما تأثر على العنصر يساوي مربع
العنصر مطروح منه 1 يبقى F لما تأثر على هذا العنصر
مربع هذا العنصر مطروح منه 1 يبقى هذا الكلام بده
يصير 5 ناقص X تحت الجذر الكل تربيع بده أشيل منه
1 تمام؟ يبقى هذا شو بده يساوي؟ هذا 5 ناقص X
ناقص 1 يبقى النتيجة 4 ناقص X
بنفس الطريقة نجيب جي جي جي جي جي جي جي جي جي جي
جي جي جي جي جي جي جي جي جي جي
جي
الآن جي لما تأثر على العنصر يساوي الجذر التربيعي
لـ 5 ناقص هذا العنصر يبقى هذا بده يساوي الجذر
التربيعي لـ 5 ناقص هذا العنصر لـ X تربيع ناقص
1 هذا بده يصير الجذر التربيعي لـ 5 ناقص X تربيع
زائد 1 يبقى الجذر التربيعي لـ 6 ناقص X تربيع اللي
ما فهمش يتابع معاه نمرة C بدي جي composition جي
كذلك بعد هيك بيضلّ هو يضرب ولا لوحده، بدل السؤال ثلاثة
على نفس المفهوم يبقى هذا G لـ G of X يبقى G لأ،
بدي أشيل الـ G of X و أحط قيمته اللي هو الجذر
التربيعي للخمسة ناقص X وكأن هذا الـ element كله أصبح
عنصر في Domain الـ G جي لما اتأثر على عنصر
اللي في Domainها بده يساوي الجذر التربيعي لـ 5
ناقص هذا العنصر يبقى هذا بده يساوي الجذر التربيعي
لـ 5 ناقص هذا العنصر 5 ناقص X واضح؟ هاي بدل
سؤال اثنين ثلاثة حلّينا لك كيف تحسب F الـ
composition وبالتالي خلصنا A و B و C الآن بدنا نجيب
الـ Domain بشان نجيب الـ Domain بدنا Domain كل واحدة
فيهم في الأول يبقى قبل ما نيجي للباقي بدي Domain
الـ F يساوي R كفاية في نقطة لفها دي مش معرفة عندها
يبقى معناها كل الـ Real Number يبقى من سالب
Infinity إلى Infinity ماشي بدنا Domain الـ جي كل
العناصر X بحيث R بدي كل القيم اللي تحت الجذرة
تبقى مالها أكبر من أو تساوي الـ Zero بدي كل الخمسة
ناقص X greater than or equal to Zero يعني كل
العناصر X بحيث أن يبقى X أقل
من أو تساوي 5 من سالب Infinity لغاية 5
تمام؟ جبنا الـ two Domains يبقى حلينا المعضلة و
بلش عندي إلا أحسب كده الـ Domain تبع كل واحدة فيهم
إذا بنجي لنمرة D بدي الـ Domain بتبع الـ F
composition G ولا الـ G composition .. الـ F
composition G التعريف بيقول لك كل العناصر X بحيث أن X
موجودة في Domain الـ G and الـ G of X موجودة في Domain
الـ F مش هيك التعريف بدنا نبدأ نطبق التعريف افتحه
كيف بدنا نطبق التعريف الـ X هذه موجودة في Domain
الـ جي وين Domain الـ جي؟ أيّه؟ يبقى من سالب Infinity
لغاية 5 وفي نفس الوقت and الـ G of X هي
اللي عندنا اللي هي الجذر التربيعي لـ 5 ناقص X
موجودة في Domain الـ F Domain الـ F من وين لأ وين من
سالب Infinity إلى Infinity خلصنا هذا التطبيق حرفي
بعد ما خلصنا التطبيق الحرفي بدّه المخ يبدأ يشتغل
بنشوف كيف بده يشتغل هذا يا شباب بنزلها زي ما هيّ X
موجودة من سالب Infinity لغاية أخرى هذا ما فيش مشكلة
المشكلة هو هنا مدام X هنا بدي أطلع X هنا موجودة في
فترة وبعد هيك بجيب التقاطع بين الفترتين بيكون خلصنا،
مظبوط؟ طيب مشان نخلص هذا الجذر فيه قبله إشارة
سالب؟ ما فيش قبله إشارة سالب إذا هذا فيه جزء موجب
و جزء سالب إذا لا يمكن لهذا ياخذ لي أي قيمة قبل الـ
Zero صح ولا لا؟ بس ممكن يكون Zero مظبوط؟ يعني
معنى هذا الكلام and الجذر التربيعي لـ 5 ناقص X
بدّه يكون أكبر من أو يساوي الـ Zero سكت الشعب وسكت
أهل الكهف طيب خليكم معاه مرة ثانية بقول مرة ثانية
صح صح هذه very important بتجيبها لامتحانات كتير صح
صح معايا كويس الحين هذه نزلت كما هي تمام هذه
الـ G of X بدها تكون موجودة في Domain الـ F كتبنا
Domain الـ F هل الجذر مسبوق بإشارة سالب؟ لا يعني
هذا الجذر اللي لا ياخذ إلا قيمًا يبقى من سالب
Infinity لغاية Zero يبعث لك الله صح؟ يعني يبدو
يكون موجود من وين؟ من Zero إلى Infinity يعني هه،
نعملها كخطوط موجود في الفترة من Zero لغاية
Infinity أظن ما فيش مشكلة هنا؟ خلصنا؟ يعني هذا الجذر
فلو كان قبله إشارة سالب بروح بأخذ الفترة من سالب
Infinity إلى وين؟ لغاية Zero و بحثت هذه؟
بنزلها زي ما هي مش هغير فيها ولا حاجة إن هذا
معناه إن الجذر التربيعي لـ 5 ناقص X أكبر من أو
تساوي الـ Zero مظهر؟ مش عارف معناها؟ طيب هذه بدأ
تنزل كما هي وهي الآن نربع للطرفين بصير عندك 5
ناقص X greater than or equal to Zero نزل هذه زي ما
هيّ and هات لي X للطرفين بصير مالها 5 أكبر من أو
تساوي الـ X يعني مين؟ نفس الفترة اللي عندنا هذه يعني 972 01:4
السالب X أقل من أو يساوي
طيب هادي بالصير تنزل هادي زي ما هي هادي إن اضرب
كله في شر السلب لأن أنا بدي أكسب الموجب خمسة أكبر
من X أكبر من سالب عشرين وجفلنا تمام؟ يبقى هذه
صارت كل العناصر X بحيث أن X موجودة من سالب
Infinity لغاية خمسة and
الـ X موجودة طلع هذه بتظبطها أكبر من أو يساوي سالب
عشرين وأقل من أو يساوي خمسة صغيرة بنكتبها في الأول
يبقى هذه سالب عشرين وهذه ما لها أقل من أو يساوي X
وهذه أقل من أو يساوي خمسة جلبت بس الوضع X موجودة
في الفترة من سالب عشرين لغاية خمسة يبقى أنا عند هذا
الـ real line هذا من عند الخمسة بدأ ترجع لين؟ لل
infinity وهذا بيجينا قبلها هنا الـ zero هذا بيقول X
موجودة من سالب عشرين لغاية خمسة سالب عشرين وين بدأ
تجينا؟ تجينا هنا سالب عشرين يعني على الفترة اللي
عندنا هذه فقط لا غير هذه من هنا هك لهنا أين الفترة
المشتركة بينهم؟ سالب عشرين دغاية خمسة يعني كأن هذه
X موجودة في سالب Infinity وخمسة تقاطع الفترة سالب
عشرين وخمسة اللي هو بده يساوي عنه سالب عشرين ولغاية
خمسة، سالب عشرين لغاية خمسة، خلاص؟ واضح عظم الشغل
هيك؟ طيب، لسه لا يزال عندنا مثالين فكرتهم في نفس
الموضوع بس بأفكار مختلفة، هعطيكوا العزف