بسم الله الرحمن الرحيم السلام عليكم ومرحبا
وبركاته هنكمل في مادة تصميم الآلات واحد المرة الفاتت
بدنا نحكي عن Castigliano theorem كيف نستخدم الحساب
الـ deflections حلينا مثال اليوم هنكمل هنستخدم برضه
Castigliano theorem عشان حسابات الـ deflections في
الـ curved beams لأن أنا عندي هنا بينة Curve beam
على شكل دائرة وفيه بتأثر force طاندل اللي هو ال
radius بتاع الـ centroidal axis R كابيتال ولأنه care
بيه الـ neutral axis مش هينطبق على الـ central axis
يعني هيكون لجوه شوية وفي some eccentricity E بين
الـ neutral axis والـ central axis لو أخدت عملة cut
على أي زاوية θ أخدت الـ free body diagram الجزء
هذا أو الجزء الثاني احنا هنا ماخدين الجزء الثاني
هذا الـ free body diagram هيكون فيه عندي طبعا فيه
force F اه يعني الـ force هذي F خليني آخد الجزء
يعني
لو أخدت هو
جايب زهياج
وهاي F خدت at any angle θ لو
خدت هذا العنصر وطلعته برا عندي
هاي هنا F هتكون
عكسها F
والفرصة فيها تحاول تعمل moment بعكس عقارب الساعة
هتكون في moment معاكسة باتجاه عقارب الساعة اللف
هذا ممكن أحلله لـ two components واحدة باتجاه هذا F
radial أو
باتجاه العمودي فـ θ لو أخدت الجزء الثاني
هتكون
هذي عكس هذي الـ M هتكون هذي الـ M والـ
F هتكون العكس وفعلها هيكون Fr Fθ
زي ما أنتم شايفين الآن
طبعا عندي الـ section ده بأثر عندي اللي هو الـ
moment M والـ radial component Fr وهو axial component
Fθ معناته هدول كلهم بيعملوا strain energy
بيعملوها strain energy في الـ curved beam يعني
معناته في عندك strain energy due to bending moment
M في strain energy due to axial force Fθ وفي
strain energy due to transverse force FR وفي bending
moment due to Fθ يعني الآن أنا جايب الـ forces
والـ moments عند الـ centroidal axis لكن أنا عند الـ
neutral axis لجوه شوية وأنا بقول Fθ هتعمل
bending moment يعني في combined effect moment مع
axial force هيكون
الآن أول شيء نحكي اللي هو الـ strain energy due to
إن احنا عندنا أربع أربع strain energy components
احنا حكينا أول شيء عندنا الـ bending moment يعني
الـ strain energy due to bending moment اللي هي
هتكون تكامل U
due to bending هتكون تكامل M² dx
نعم
dx على 2EI
إذا فاكرين مظبوط أنا
عند الـ dx لو أخدت الـDθ هذه
هي الـDX صح الـDX ستش تساوي R Dθ والـI
إذا نرجع لجوه في الـ chapter تلاتة في الـ curve
beams
في الـ curved beams احنا اعطينا معادلة تقريبا للـ
eccentricity الـ E اللي هي بس بين الـ neutral axis و
الـ centroidal axis E تقريبا
بـ تساوي I على RC في A بـ تساوي I الـ R الصين في
الحالة هدول R capital صح؟ في A معناته الـ I هتكون
تساوي ERA
معناته هذه هتصير تكامل M square R D θ على اتنين
E الـ I اللي هي E R A يعني هتروح R مع R هتصير تكامل
M Square D θ على اتنين E E A
اللي هي المعادلة هذه والـ
ايه احنا حكينا اللي هي الـ R minus RN الـ
eccentricity هذا
بالنسبة للـ bending عندي الـ strain energy due to axial
force عندي
يا عزيزي ثانوية تكامل
m² dθ على اتنين a e a و الـ u θ الـ u ت أكس الـ force
هتكون تكامل f θ square dx على اتنين e a بظهر طيب
يعني هتكون التكامل F²θRdθ2Ea
لغاية المعادلة الـ component الثالثة
اللي هي الـ .. الـ combined effect بين الـ moment و
الـ axial force Fθ طبعا في الكتاب حاطط مرجع
ترجع على كتاب معين عشان تشوف الـ derivation تاعتها
إذا بدكم حاطط نجمة ترجع لها الآن الـ U بتاعة
نسميها U تلاتة هذه .. هذه U1 وهذا U2 U3 اللي هي
هتكون لسه minus طب هذا الـ minus ليه جاية الـ minus؟
لأن الـ M تعمل moment في هذا الاتجاه الـ Fθ هي الـ
neutral axis تعمل moment معاكسة عشان نفهم بعكسوا
بعض واحدة بتحاول تزوّد الزاوية وواحدة بتحاول تقلل
الزاوية فهتكون minus تكامل M Fθ Dθ
على a e a الـ component الرابع دي الـ transverse الـ
force اللي هي F radial الـ U أربعة هتكون تكامل C F R
square DX على
وبرضه 2 A G يعني
هتكون تكامل C F R Square في R D θ على اتنين A
G
الـ Total Strain Energy هتكون مجموعهم U الكلية هتكون U
واحد زائد U اتنين زائد U تلاتة زائد U أربعة اللي هي
الأربع components هذه اللي هي due to bending وهذه
due to axial load وهذه due to combined effect بين
F θ و M وهذه due to transverse load الآن الـ
deflection عند نقطة تأثير force F هيكون الـ partial
derivative دي U by دي F
الآن لما نعمل الـ partial derivative للـ U هندخل الـ
partial derivative جوا كل انتجرال صح؟ يعني هتكون لما
ندخلها على الأول هتكون عند 2 A E هذه constant
هتكون 2 M في DM by DF يعني هتكون عندك تكامل M
على AE E في D M by D F D θ زائد الـ term الثاني
هتكون 2 F θ D F θ by D θ و 2
مع 2 في المقام بيصير F θ R على A E في D F
θ by D F D θ ناقص الـ derivative لـ 2
هذول مع بعض ناقص 1 على A E E D M F θ
by D F D θ زائد هتكون CFR R كابيتال على A
G D F R by D F D θ الآن نروح على الـ
free body diagram الـ moment ايش بـ تساوي قيمة الـ
moment الـ moment بـ تساوي هاي
المسافة هادة
معناته الـ M بـ تساوي
F R Sin θ منها بـ نحصل DM by DF اللي هي هتكون R
Sin θ
والـ Fθ ما هي الـ Fθ والـ F R components من F
هتكون تساوي F Sin θ يعني الـ DF θ by DF بـ تساوي Sin
θ والـ F R بـ تساوي F Cos θ يعني الـ DF R by DF بـ تساوي
Cos θ
عندي الـ term الرابع اللي هو M Fθ
شو بـ تساوي؟ هاي الـ M هتساوي F square
Sin Square θ معناته D لـ M F θ By DF هتكون
بـ تساوي 2 F R Sin Square θ
الآن أنا حاجة أعوّض في المعادلة هذه هأعوض عن M و DM
by DF هأعوّض عن Fθ و DFθ by DF و DMFθ by DF و FR و
DFR by DF هأعوّضهم في المعادلة وأعمل تبسيط لها
وأطلع الـ constants برا بيصير معدل الـ deflection
عند F بـ تساوي طبعا θ θ في الحال هتطير من Zero لـ
π على 180 درجة هتكون الـ term الأول بتاع الـ bending
اللي هو F R square على A E E integral من صفر لـ π
لـ sine square θ d θ زي الـ term الثاني بتاع
axial force اللي هو FR على AE تكامل من صفر لـ π
sine square θ d θ الـ term الثالث اللي هو
combined effect بين الـ bending و axial force
-2FRKPT على AE تكامل π Sin²θDθ الترم
الرابع هو transverse component زائد CFR على AG
تكامل π Cos²θDθ طبعا هذه بتعمل الـ
integrals للـ Sin² تعرفوا أسوأها والـ Cos²
وبتعوض من صفر لـ π simplified بتحصل على الـ term
هذا اللي هي الـ deflection عند F اللي هي π FR2 على
2 a e e minus by fr على 2 a e زائد by c of r على 2
a g هذا بحالة ال curve بيه الآن هنقعد حالة خاصة
deflection of thin-curved members يعني نرجع للشكل
هذا مسمى R كابيتال وهذه H إذا كانت R كابيتال على H
كبيرة أكبر من عشرة معناته يعتبر thin يعتبر thin
لأن ال .. ال deflection
بتكون ال most dominant quantity خانة أطلع على
المعادلة هذه اطلع عندهين R تربيع هي اللي عنده RRR
و ال R أكبر بكثير من ال H فواضح يعني انه هتكون
الأكثر تأثيرا اللي هي ال component due to bending
بعدين لاحظوا هذه minus مع هذه plus اتطلع المعادلات
قريبا من بعض يعني لما تجمع ال total effect تعالوا
يجمعلوه تقريبا بيخف كتير فالمؤثر عندي هي اللي هو
ال bending moment component اللي هي by fr square
على اتنين A E E في الحالة هذه إذا كانت عند ال RH
أكبر من عشرة بيكون ال extent رسمو يعني المسافة بين
ال neutral axis و ال central axis قليلة جدا
فاللي بتسيطر على القيمة الكلية اللي هي إيش ال
bending moment فالحالة دي بتستير ان دي ال U
بالساوية تكامل الأساسية في ال bending ال U
بالساوية تكامل M square DX على 2EI و ال DX اللي
احنا حاكيه هنا بالساوية RD θيعني انا هتصير تكاوم
ال M squared R D ثتا و ال Delta سوى DU على DF لسه
واحدة ليه I M DM Y DF R D ثتا طيب
نشوف ال cantilever نشوف example
الهوك اللي مبين معمول من سلك مقطع سلك مدور قطر
2 ملي
و السلك مستمتع ان الطرف هذا هذه L هذه
R capital و في force
P بتأثر عن نقطة C هذه C و هذه A و V و D ال
wire diameter D بيساوي
2 mm
ال L معطنيها 40 ملي ميتر 40
ملي ميتر و ال R 50 ملي ميتر و ال force 1
نيوتن يعني انا حوالي متجرام تقريبا ال force ال P
1 نيوتن
use Castigliano theorem to estimate the deflection
at point D طيب
الان عندي في force معناه ان عشان وجود deflection
دي بدعم ال partial لل energy بالنسبة لها force بحط
force يعني بفرض افرض ان في force يعني
بس يميها H Q هاخد
الفترة المسافة من D ل C من D ل C يعني
ده حكي اللي هو segment DC
هاخد انا at any angle
ثيتا باخد ال free body diagram ها
دي عشر ثيتا عندها الحكومة عشر Q
هيكون عندي الـ Q فين
دي عندي H moment DC صح؟ لأ خلينا نشوف هل هو الـ
Thin curved دي ولا الـ Thin ال R
على H اللي هي ال R & D اكم خمسين ال H اللي هي
ال 2 ملي صح؟ 50 على 2 اكم 25
25 أكبر من 10 معناته ال assumption بتاع thin
curved beam بنطبق الحالة هذه معناته ال most
dominant term اللي هو إيش ال bending معناته حاجة
أحكي إنه
الدلتا حاجات زي انا احكي في الاول هحكي دلتا الكلية
دلتا due to strain energy في ال segment DC زائد
دلتا due to strain energy في ال segment CB زائد
دلتا due to strain energy في ال segment BA
الان عندي mdc إيه
شو بيساوي؟ بيساوي بنفسها فهذه بس فهذا شو بيساوي؟
هذه كلها .. هذه كلها R صح؟ مظبوط؟ و هذه إيش؟ R
cosine معناته هذه هتكون R في 1 minus cosine
θ مظبوط؟ إذا كانت MDC بيساوي Q في R في 1
minus cosine θ
لأن delta DC هتكون أو خلينا نحسب أول شيء احنا طبعا
عشان نحسب ال delta هحسب partial بالنسبة لـ إيش لـ Q
هنا هتكون بلزان ال D M DC بالنسبة ل Q بيساوي
R في 1 minus cosine θ معناته delta DC هتكون
تساوي تكامل تكامل
من 0 ل Y على 2 ل M DC على EI
DM DC BY DQ DX R Dθ Dθ
هيكون تكامل من صفر لبعض على اتنين ال Q ال M DC
Q في R Q في R في 1 ناقص في
1 minus cosine θ في DMDC by DQ اللي هي R
square 1 ناقص كثيرة square على EI
RDθ هذي بيساوي إيش؟ صفر لأنه انا 6Q0 6Q هنا هذي
حطها زيرو بتعطينا صفر مش تعمل integration ولا فاكر
بال integration هذي الأولى لأنخد segment CB
segment
CB يعني
هاخد section هنا هحكي ولا عندي هاخد free body
diagram
أنا بأحكي هذا F θ وعندي هذا
Q وعندي هنا P هيكون
عنده المسافة هذا مش الصعب هذا المسافة
هذه كلها ثالثة هذه هتكون cosine الزاوية هذه يعني
هتكون ال moment ال moment ال M CB هتكون
ال P في
R sin
θ ناقص 90 صح؟ هذه كل ال θ زائد
Q في
R
هاد المسافة R زائد R sin 90
-θ صح
هذه R يعني هذه المسافة زائد هذه المسافة الآن
DMCB by DQ هتستويه R في
1
زائد sin (90-θ) يعني انها هتكون ساوية
sin 90 sin 90 sin 90 sin 90 sin 90 sin 90 sin 90
sin
بيصير بيصير بيصير بيصير بيصير هتكون DMC by DQ بيساوي R
في 1 زائد Cos θ لأن
هتكون Delta CB هتكون تكامل من Pi على 2 ل Pi
طب انا بدي احط q صفر يعني احط .. هصفر هيدي صح؟ بدي
أحكي هنا while setting q to zero حسينا دي PR
cosine
θ في R في 1 زائد cosine θ
هنكتب معادلة الأول عشان ما نخرب الشكوش 1 على EI
في
M
CB d m CB by dq
RD θ هي بتحط هنا q ست q بيساوي صفر
يعني هتساوي تكامل
من π على 2 ل π 1 على EI في
ودا احط Q0 هتكون في PR Cos
θ في
R في 1 زائد Cos θ في RD θ يعني هتكون تكامل من π
على 2 ل π 1 على EI طبعا ودي هتكون ودي
PR تكعيب PR تكعيب في Cosine θ زائد Cosine تربيع
θ D θ
اللي هتطلع Delta CB بتساوي ال
Cos θ تربيع .. ال Cos تربيع θ إيش بيساوي؟ ال
Cos تربيع θ خلينا نحكي ال Cosine 2θ إيش
بيساوي؟ Cosine .. خلينا نسميها Cosine 2β ..
Cosine 2β بيساوي Cos تربيع β minus Sin
تربيع β يعني هتكون هذا Cos تربيع β minus
1 minus Cos تربيع β يعني هتكون 2
Cos تربيع β ناقص 1 معناته هتكون Cosine
تربيع β بيساوي نص في 1 زائد Cosine 2β
مظبوط يعني هتصير هذا
P R
تكيب على EI في تكامل
من π على 2 لـ π لـ cosine θ زائد 1/2 في 1/2 في
1/2 زائد 1/2 cosine 2θ دي θ يعني هتكون
P R تكيب على
EI
في sin θ زائد
θ على 2 زائد
1/4 sin 2θ صح من
π على 2 لـ π
يعني هتساوي P R تكيب على EI فيه هتكون sin π
هتكون sin π - sin π على 2 يعني هتكون
-1 زائد
π
على 4 هذه اللي هي 1/2 شو باقي نقص باقي على 2
زائد
هذا هتكون الـ sin 180° الـ
sin 270° مالك الـ sin 180°
زائد 0 هتكون 0
يعني هتصفح Δ in segment CB اللي هي P R تكيب على
EI في π على 4 - 1 الآن
ناخد segment BA ناخذ segment
سيجمانت BA هاخد
هاي الـ X هاخد
هنا هكون عنده
عندي هين P وهين إيش Q وهد المسافة هد المسافة إيش X
هتكون
طبعا هتعكس moment BA الـ MBA هتكون Q في
2R + X +
P في R + X يعني
هطلع عند الـ dMBA / dQ إيش بتساوي 2
R + X 2R +
X لأن ΔBA هتكون تكامل من 0 لـ L لـ 1 على
EI
MBA dMBA / dQ بدي اعملها بين القوسين هنا في dx هنا
نحط Q = 0 هتساوي ΔBA هتكون تكامل من 0
لـ L لـ 1 على EI MBA P R + X P P
R + X P
P R + X P P P R + X
P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P
dx انا حطيت Q مباشرة بالساوية يعني هتكون P على EI
تكامل
من 0 لـ L عند
2PR
أو 2R2 صح عند R + X + 2R + X +
3R + X +
X2 dx يعني هتساوي P على EI التكامل
بيصير 2R2 X +
3/2 R X2 + X3 على 3
من 0 لـ L هتساوي P على EI في
التكييب هكون عندي 2 2
التكييب 2 لأ مش التكييب هكون عندي بدي
أطلع الـ 2 برا
R2
زائد 3/2 R
L +
L2 على 3 طيب
أنا حكي هنا Δ الكلية Δ due to DC زي Δ CB
زي Δ BA يعني Δ الكلية
الـ Δ الكلية تكون Δ DC زي Δ CB زي
Δ BA هتساوي 0 زي Δ CB هذه مظبوط زي P R
تكيب على EI في π على 4 - 1 زائد
PL
على EI في
2R
2
زائد 3/2 RL + L2 +
L2 على 3 أو
طبعا عنعن P و R و E و I و L بتحسب إيش الـ
deflection طبعا الـ I اللي هي إيش الساوية π على
64 d
وصة 4 هيكم
خلاص المهاردة أعطيكم العافية