بسم الله الرحمن الرحيم السلام عليكم ورحمة الله
وبركاته هنكمل في مادة تصميم الأداء الشبطر الرابع
الـ deflection and stiffness المحاضرة اللي فاتت
حكينا عن الـ strain energy في أن أي mechanical
member ممكن يكون تعرض لـ different loading
conditions كل loading condition بتعمل الجزء بتاعه
من الـ strain energy يعني في عندي الـ strain energy
due to tension عرفنا المعادلة بتاعتها الـ strain
energy due to torsion، strain energy due to direct
shear، strain energy due to bending، strain energy
due to transverse shear هنحل الـ exam اليوم عشان
نوضح استخدام المعادلة
a cantilever beam with a round cross section عندي
cantilever مقطع مضور has a concentrated load F at
the end find the strain energy in the beam احسب الـ
strain energy في الـ beam لإن عندي هي الـ beam وفى
force F و الـ beam طوله L
واضح هنا هكون عندي transfer shear و bending يعني
لو أخدت على .. أخدت على بعد X أعملت
free beta diagram هكون
دي عندي طرف F و .. و هنا عندي V معاكسة لها و هنا M
و هذه المسافة X الـ V قيمتها هتكون سالب F أنا
حكيت قيمتها الـ
M قيمتها هتكون F X يعني عندي transers share stress
و في عندي bending معناته
هتكون عندي strain energy عند
الـ U هتكون U بتاعة الـ bending زائد U بتاعة الـ
transverse shear الـ U بتاعة الـ bending تكامل
M square على 2EI DX يعني هتكون التكامل اللي هي F
square X square DX
على EI طبعا
من Zero إلى L الـ
F والـ E والـ I ثوابت يعني هيكون عندي هيطلع برا بيصير
عندي F square على 6EI
في X تكعيب من صفر إلى L يعني هكون after بيه الـ تكعيب
على ستة EI الـ
I في حالة round بـ تساوي باي على أربع D أس أربعة
دي أس أربعة صح؟
يعني هتكون تساوي 64 F square L تكعيب
على ستة باي D أس أربعة يعني
هتكون 32 F square L تكعيب على 3 E باي D أس أربعة هذا بالنسبة للبنجل بالنسبة للـ transfer
share U
transfer
share
بس هتكون التكامل من صفر إلى L للـ C V2 على 2 AG DX
طبعا الـ V بتساوي F و Constant تطلع برا كله
Constant بس يعني ده C F2 على 2 AG في L بعد ما أعمل
integration الـ A ايش بتساوي باي على أربع دي تربيع
يعني و الـ C من الـ table 1.11
point احد عشر يعني أنا هتكون بتساوي الـ U trans
share 1.11 F square الـ
على أو في 2 هذا على
باي D square في G معناته total strain في مجموعهم
total U هتكون U bending زائد U transverse shear
يعني هتكون بتساوي 32 F square L تكعيب
على 3 E باي D أس أربعة زائد 2.2 F
square L على باي D تربيع G يعني
ممكن أخد
F تربيع في
الـ L على باي D تربيع مشترك هيكون 32 الـ
تربيع
على 3 E D تربيع زائد 2.2 على G ها
دي الـ astrology اللي جاي في الـ .. في الـ .. في الـ
beam
هنكمل الموضوع الجديد لأن
هنحكي عن Castigliano theorem أول
شيء Castigliano theorem applies to forces اللي بتأثر
على elastic systems subject to small displacement
يعني اللي بيصير الـ deformation فيها أصغر كتير
displacement
الـ مناضرة لأي قوة و في اتجاه القوة بتساوي الـ
partial derivative للـ total synergy بالنسبة لهذه
القوة يعني عشان أوجد في حالة الـ cantilever
الـ displacement النقطة هذه شكله
زي كده صح؟ هذه اسمها Y مثلا Y بتساوي dU by
dF dU by dF ليش؟ هو اعتبر أن الشغل عبارة عن force
في مسافة صح؟ و هذه الـ force أثرت في المثال يعني أيها
force في Y بتعطيني ايش؟ شغل فال .. هي معادلة لـ تق
.. او يعني الـ theorem Castigliano theorem شيء تقريبي
بتحكي في حالة small displacement الكلام هذا تقريبا
صحيح أو دقيقة لحد ما بقى فالشغل بيساوي force في
displacement و أنا displacement أو deformity
بتساوي dU على .. على dF هدفنا كانت في حالة linear
displacement في حالة rotational displacement الـ
rotation angle θ بتساوي dU على dM هنشوف
المثال هذا السابق ده كانت ليه ورقة اللي هو المثال
السابق is a carbon steel bar ten inch long يعني
الـ قل عندها
هذه الـ F وهذه
الـ L والـ
L عشرة إنش و المقطع
المدور واحد إنش و الـ
force F مية باوند
Find maximum deflection using Castigliano’s theorem
including that due to shear احنا سابقا حكينا أن U
U كلها بتساوي dU due to bending اللي هي 32F2
L تكعيب
على 3 E باي D أس أربعة زائد 2.
2 F square L على باي D square في G الـ .. الـ
deflection عند الـ force F الـ .. الـ .. وهي Y .. Y
هتكون بتساوي dU by dF dU by dF يعني هنشتغل أولا
بالنسبة للـ F هتكون 2 F هتصير 64 F
L تكعيب
على 3 E by D أس أربعة زائد 4.4
4 F L على by D square G
لأ احنا هنعوض عن الـ .. الـ .. الـ values هتكون دي 64
الـ F مية في الـ L عشرة الـ E الـ E 30 × 10
الـ
E 30 × 10^6 هو carbon state 30 × 10^6؟ نعم 30 × 10^6
mega pound per square inch صح 30 × 10^6 في باي و الـ D واحد واحد و أصلا أربعة زائد 4.
4 4 في مية في عشرة على باي في واحد
تربيع في G 11.5 × 10^6 احسبوا كل term
لحالها هذا الـ term 2.
6 و 20 و التاني الـ term التاني هذا
1.
1. ايوه عشر سالب ايش؟ 4 يعني
هتكون يعني
هتكون 10^-3 فيش غلط في 12.
1 فعشرة أس سالب تلاتة
بيطلع 2.83 في عشرة أس سالب
تلاتة 2 هاد
عشرة أس سالب 5 بالسالب مظبوط؟
هي كم بيطلع الجواب عشر
السالب تلاتة إنش
طبعا
لو أهملت الـ shear يعني اعتبرت هذا مش موجود يعني هذا
حكيت قريب من الـ zero يعني أنا حكيت أنه بيطلع 2.
26 × 10^-3 الـ error هيكون
الفرق بين هذه و هذه الحقيقية صح اللي هو هذه الـ
error percentage error هيكون 12.1
في عشرة أس سالب 5 على 2.38
في عشرة أس سالب 3 × 100
بتطلع 4 في المية 5 في المية 5 في المية
يعني بتطلع
إذا أهملت الـ transfer shear نسبة 4 تكون 5
في المية يعني تأثير الشيء يعني معظم التأثير جاي من
الـ bending واضح
أن هنحكي الشغل عبارة عن force في مسافة لكن إذا بدي
أحسب الـ deflection عند نقطة مش عندها force معناته
أنا ممكن أخدع أو أستخدم النظرية نفسها أحط مؤقتا
عند النقطة اللي أنا بدي أحسب عندها ال force
deflection واحسب ال strain energy بعدين أعمل ال
derivative لل energy عشان أحسب استخدام كاستيجيانو
عشان ال deflection على that point وبعدين أحط ال
force اللي أنا حاططها شكلاً بحط قيمتها zero بحط
قيمتها zero الآن
احنا حكينا سابقًا أن ال deflection الـ D هو الـ
partial derivative للـ strain energy with respect
to the force طبعًا الـ deflection هذه at the
location of the force في ال direction بتاع ال
force هتكون ال deflection اللي
هي D by DFI هذه طبعًا في حالة ال bending مثلًا M
square على اثنين EI بروح أدخل ال partial تقريبًا في
الداخل يصبح دي با دي اف اي لام سكوار على اثنين اي
اي دي اكس معناته هأشتق الـ M هتصبح اثنين ام بارشال
دي ام با دي اف اي على اثنين اي اي دي اكس اثنين مع
اثنين يصبح واحدة دليل ام في دي ام با دي اف اي دي
اكس طبعًا العملية هذه بتسوق .. بتسهل ال integration
بدل ما أربع يكون expression صاعد مثلًا بيكون أنا
نزلته درجة .. نزلته درجة فال integration بيكون
أسهل
طبعًا we apply the same principle في حالة ال
tension و ال compression و ال torsion و ال bending
مثلًا في حالة ال tension compression ال delta I
بيساوي DU by DFI بيساوي ال integral اللي واحد على
AE في F DF by DFI في DX نشوف مثال .. using
Castigliano's method determine deflections of points
A and B due to the force F applied at the end of
the step shaft .. in step shaft we apply a force F
عند النقطة A the second area moments for sections a
,b and b,c,r,i,1,2,i,1 يعني ال I لل section a,b,i
,1 و ال I لل section من b ل c 2,i,1 بعدين وجد
deflection عند a في الأول بعدين وجد deflection عند
b هي
ال b
هذه ال force F طبعًا
هذه أقل
على اثنين هذه
أقل على اثنين لو
أخذت at any location X
بحكوا عندي هاي ال force F فيه حيكون بحكوا
عندي هين shear force هين
حيكون إيش؟
بيندج بونت هاد
المسافة X
هتكون ال V بيساوي ال F و ال M F
X
طيب ال deflection حيكون
واحد due to bending و واحد due to transverse shear
في حالة ال bending
الـ Delta عند F عند A بيساوي
تكامل
واحد
طبعًا اللحظة ال I بتختلف يعني عند A B C واحد
علىE I واحد في ال M DM by DX DX
صح دي DM by DF طبعًا
من صفر ل L على 2 زائد التكامل
من L على 2 ل L على 2 ل 1 من L على 2 ل L واحد
على E ليه اثنين؟ ليه اثنين؟ I واحد اثنين I واحد في
ال M DM by DF هذا due to bending due to transverse
shear الحين
مش هأعمل اللي هو هتكون
تساوي زائد تكامل
C على AG في
V دي V by دي F صح دي
X من صفر يعني A واحد صفر لL على اثنين زاد التكامل
من L على 2 ل L ل C على A2 G في V DV by DF DX هن
خلينا نطلع DV by DF واحد صح و DM by
DF سو X يعني
هنسير التكامل عندو
من
صفر واحد
على E I واحد تكامل صفر ل L على اثنين الأمر اللي هي
إيش Fx في X DX زائد
تكامل واحد على اثنين EI واحد تكامل من L على اثنين ل
L ل F X تربيع صح؟ DX زائد
خلينا ندي علاقة بين A واحد و A اثنين A واحد و اثنين
احنا حكينا اي اي اثنين اي اثنين يساوي اثنين اي واحد
مظبوط اللي
هي بيساوي
باي على أربعة وستين دي
قُص أربعة هذه ال I واحد هنحكي دي واحد قُص أربعة أو
دي اثنين قُص أربعة دي اثنين قُص أربعة بتساوي اثنين
في باي على أربعة وستين دي واحد قُص أربعة
مظبوط؟ معناته دي اثنين خلينا
نحكي باي دي
اثنين أو خلينا نحكي دي اثنين أقصى أربعة بتساوي
اثنين دي واحد أقصى أربعة صح؟ يعني دي اثنين بيساوي
اثنين أصل ربع دي واحد صح؟
طيب ا واحد بيساوي
باي دي واحد تربيع على أربعة اثنين بيساوي باي على
أربعة دي اثنين تربيع
اللي هي اثنين تربيع اللي هي عبارة عن اثنين أصل نصف
دي واحد تربيع يعني هتكون الساوي اثنين أصل نصف في باي
على أربعة دي واحد تربيع يعني إيه اثنين مش ساوي جزر
اثنين في ايه واحد صح جزر اثنين في ايه واحد معناته
يعني هتصير زائد تكامل من صفر لأقل على اثنين
الـ V اللي هي F و دي V و دي F بيساوي واحد هتكون هأطلع C
C الواحد بونت واحد عشر على A واحد G
في
تكامل F DX صح؟ في F تكامل
DX من صفر ل L على اثنين زائد لا
V هاي دي V بقى دي F بيساوي واحد زائد
C على
A اثنين G
زاد واحد بونت واحد عشر F تكامل من L على 2 ل L ل DX
معناته الـ delta عند A هيكون
تكامل X تربيع اللي هي X تكعيب على 3 يعني 1 على
3 EI 1 في
X تكعيب من صفر ل L على اثنين زائد واحد على ستة E I
واحد في X تكعيب من L على اثنين ل L زائد واحد
بونت واحد عشر FL على
اثنين A واحد G زائد
واحد بونت واحد عشر F L على اثنين A اثنين G اثنين في
جزر اثنين A واحد G هذه
F صح؟
ماشي يعني هتكون تساوي F L تكعيب على
أربع وعشرين EI
واحد
زائد
F على ستة ا اي واحد في
ال تكعيب ناقص ال تكعيب على ثمانية زائد
هناخد واحد واحد عشر FL على اثنين A واحد G في واحد زاد
واحد على جزر اثنين يعني
هذا هتكون إيش سبعة على ثمانية يعني هتكون ثمانية
بستة سبعة ثمانية وأربعين يعني هتكون تساوي هذا
اثنين F التكعيب على ثمانية وأربعين EI1 زائد 7F
التكعيب على 48EI1
زائد هذا ال term يعني رح يكون اثنين زيادة سبعة تسعة
تسعة اف ال تكعيب تسعة اف ال تكعيب على ثمانية
وأربعين E I واحد زائد واحد بونت واحد عشر FL على اثنين
A واحد G في واحد زائد واحد على جزر اثنين أنا
مرة اتحلت ما هملتش ال shear لأن بده deflection عند
نقطة B بده deflection عند نقطة B
عند B فيهش force بروح بحط force تخيلية بسميها
Q بسميها
إيش؟ Q عشان احنا بس نأخذ الفكرة خالية أنا في
المسألة في الجزء الثاني بدي أعمل اهمال للشير بدي
أعمل اهمال للشير لأن
في المسافة من a from a to b أنا ده حاسوب
diffraction حاليا عند b لو أخذت ال free body diagram هي
هذه هتكون ال v ب s w f هذه a ل b ال v ب s w f
و ال dv ب q df ب s w 1 و ال m ب s w x و ال dm
by df ب s w x طيب من B ل C هاخد
ال free body diagram لحد هنا هشكل ال free body
diagram هذا
المسافة عند هنا F عند هنا Q و المسافة دي عشر X
هذه المسافة ال على اثنين معناته هي انا حاسس ان
عندي F زاد Q صح؟
F زاد Q وعندي moment هتكون
MBC
ب s w F في X زائد Q في X minus L على 2 صح؟ و
ال V بي C ب s w F زائد Q الآن ال D M بي C بعد دي Q
الآن انا بدوش دي عند D معناته ده partial بالنسبالي
ده Q هتكون هذه سفر هتكون شو تساوي؟ X هتكون
تساوي إيه عشان؟ X
dvbc by dq ساوى
واحد اه
صحيح هذه x ال x minus
L على اثنين صحيح
لأن عشان لدي deflection بدي
أحكي في الحالة دي خلينا للتسهيل يعني للتسهيل أو
تسريع الحل خلينا نهمل .. نهمل اللي هو ال transverse
shear معناته بيصير عندى ال delta عندى هذا الساوي
du بيساوي اللي هي تكامل واحد
على ei ال
M دي M بدي Q دي X هيساوي أول
الشيء اللي سوفيه ده integration على مرتين عشان ال
cross section مختلف وعشان المعادلة تختلف بين a,b
وb,c وانت حاول عندي تكامل من صفر ل L على اثنين
واحد ل E I واحد ال M من A ل B طبعا هاده ال M من A
ل B احنا
طبعا هنا خلينا نظبطها هنا عندي M,A,B
معناته DMAB by DQ أشوى الساوية؟ Zero صح؟
في MAB اللي هي FX في DMAB by DQ في إيه إيش؟ في
الصفر DX وانا اتفادى خلاص integration مايله صفر زاد
تكامل من L على 2 ل L ل 1 على E 2EI 1 في ال MBC
اللى هى FX
زاد Q في X minus L على 2 في
DMBC by DQ اللي هي X minus L على 2 اللي عندي بحكي
هنا ان حط Zero ع طول ماتعملش integration فسيبقى
عندي هنا تكامل من L على 2 لL
للـ Fx في X minus L على 2 على 2 E I 1 يعني
حسينا دي F على 2 E I 1تكامل من L على 2 ل L ل X
تربيع minus L على 2 X DX يعني هتكون F على 2EI 1 في
X تكعيب على 3 minus L على 4 X تربيع من L على 2لأ L
و بتكمل و بتوديو dash ال deflection هيك و كنا
خلصنا المحاضرة .. احطيكوا العافية