طيب بسم الله الرحمن الرحيم السلام عليكم ورحمة الله
وبركاته اليوم هنبدأ Chapter جديد هنحكي عن ال
deflection في الـ mechanical elements due to
applied loads طبعا الـ loads ممكن تكون معروفة بيكون
pure axial أو pure bending أو transverse أو torsion
أو أي combination من الـ loading هذه نتيجة ال
loading بيصير عندي stresses و deflections لأن هنشوف
كيف نحسب الـ deflections في الـ mechanical members
أول شيء خلّيني أعرف اللي هو الـ elasticity ال
elasticity هي خاصية للمادة بتمكنها من استرجاع
شكلها بعد ما أشيل الأحمال الـ elasticity بيبقى
خاصية للمادة اللي هي خاصية بتمكنها من استرجاع
شكلها بعد ما أرفع الأحمال عنها. الـ spring عبارة عن
mechanical element اللي إذا if I apply a force
عليه بيصير فيه deformation الـ spring إذا أنا I
apply a force بيساعدني الـ deformation أو if it is
deformed بيعطيني الـ force إذا بضع زنبرك هيقوملي صح
هذا هو if زنبرك الـ spring rate الـ general equation
الـ k بيساوي الـ df by dy
الـ K بيساوي
DF by DY يعني الـ DF بيساوي K of Y DY يعني
لو بده أعمل Integral من Zero لـ F
من zero لـ Y هيكون عندي F تكامل في
حالة linear spring تكون الـ K constant تطلع برة
integration كون k تكامل من zero لـ y dy الـ F بتساوي
هذا بتكون تساوي k في y هذا في حالة linear spring
يعني بتكون علاقة بين الـ F و الـ Y و
الـ slope هو إيش؟ K لينير عن الـ slope إيش؟ ثابت لكن
لو كانت non linear العلاقة بين الـ force
إذا كانت nonlinear معناته الـ K الـ slope بتتغير
صح؟ K بتكون function of Y هنا هناخد الحالة إن الـ
slope is constant يعني الـ spring is linear يعني الـ
F بتساوي K في Y هناخد
أول حالة
احنا الهدف إننا نحاول نتعامل مع الـ mechanical
elements كأنها
زنبرك كده يعني إذا عندي mechanical element عندي
مثلا bar تحت
تأثير force F يعني under pure tension هيكون الـ
stress و أنا طبعا في الـ elastic region أنا في الـ
design specially في الـ elastic region الـ sigma
هتكون E في epsilon طبعا نتيجة الـ force هيصير في
إيه؟ في
deformation إيه؟ Delta الـ sigma شو يساوي؟ F على A
صح؟
بتساوي الـ epsilon اللي هي الـ delta على L فحسي
عندي الـ F بتساوي A E على L في Delta إذا بحط هذه زي
هيك و نذكر زنبرك اللي هي الـ F
بتساوي K في Y معناته
إذا عندي bar under axial
loading معناته هو زنبرك هو زنبرك الـ K تبعه اللي هو
A في E على L هو زنبرك الـ K بتاعته A في E على L
طبعا واضح الـ stiffness كل ما كان مقطع أكبر كل ما
كان stiff أكثر بيكون الزنبرك صح؟ stiff أكثر يعني
عشان أعمل كمية من الـ deformation محتاج قوة أكبر
وكل ما يكون أطول كل ما يكون أنه يمغط أسهل صح؟ و الـ
E احنا في الـ material science حكينا لكم يعني الـ E
ممكن تعتبر مؤشر على زنبركية بتاعة المادة لإنه الـ
K بتتناسب تناسبا طرديا مع الـ إيش الـ E معناته الـ K في
حالة mechanical element under axial loading بتساوي A
E على L في
حالة
bar مقطع مدور مثبت
للطرف الثاني هو عليه torque T حيث يصير فيه angle و
twist theta صح؟ الـ theta بيستوي TL
على ج ج يعني الـ torque هتكون بتساوي ج
ج على L في الـ theta الـ
... ال ... الـ T عندي الـ F
الآن الـ theta هي angular displacement هذه linear
displacement T هي force وتحاول تعمل rotation صح
فلما تعمل تماثل بين المعادلتين بتكون الـ K في حالة
round bar under torsion
ج ج على الـ يعني كأنه هذا زنبرك هو فعلا زنبرك وهي
الـ k بتاعته ج ج على الـ لأن
في حالة beams straight beams
straight beams وعليه
some loading
هتصير فيه some bending صح يعني ممكن نطلع الـ shear
diagram و الـ bending moment diagram طبعا نتيجة الـ
loading هتصير الـ deformation الـ deformation عند أي
نقطة هيكون فيه عند هين هين هكون فيه مركز تكوّره صح
في علاقة بين مركز التكوّر عند أي location واحد على
رو باسمه M على E في I M هي الـ bending moment at
the specified location و الـ E اللي هي الـ modulus
في الأساسيه و I هي moment of inertia للمقطع
للـ section طبعا الواحد على رو من الـ calculus course
الـ calculus مش هخش في اشتقاقة بتساوي اشتقاقها مش
صعبة اللي هو d square y على dx square في واحد زائد
dy على dx الكل تربيع الكل أسطلة على اتنين يعني
إذا عندي هاي الـ beam
وصار فيه deflection الـ
dy على dx هي الـ slope الـ dy على dx هي الـ slope عند
النقطة هذه هي الـ y صح هذه الـ y اللي هو الـ
deflection و الـ slope اللي هو dy على dx طبعا في الـ
beams بتكون الـ dy على dx ما تكونش مانحوظة الـ slope
بتكون small صغيرة يعني بتكون قريبة من الصفر يعني الـ
dy في الـ beams على dx بتكون أصغر بكثير من الواحد
أصغر بكثير من الواحد يعني لو كانت مثلا نحكي الـ
slope مثلا one degree مثلا one degree هتكون dy على
مئتين و ثمانين اللي هيحسولي dy على مئتين و ثمانين
account تطلع
.017 يعني لو حطيت واحد هذا أخذ الـ term هذا واحد
زائد .017 تربيع اللي هو واحد و نص احسبوا ليه أنا
بعوض في هذا في البقرة بس
تطلع one zero تمانية يعني تقريبا واحد تقريبا واحد
واحد صفر صفر أربعة كمان صفر معناته بتكون فعلا الـ
dy قليل هذا الـ term بيكون أقل بكثير من واحد معناته
بيكون نحكي إن واحد على رو بتساوي تقريبا و بدقة
عالية بتساوي d square y على d x square معناته اتعود
عن واحد على رو بيصير بيساوي d square y by dx
square معناته إذا أنا عارف الـ bending moment
equation وعارف الـ I بقدر أعمل integration مرتين
واطلع الـ equation أول شيء اللي هو الـ slope أول
مرة بقي أعمل integration أول مرة بطلع قيمة الـ
deflection at any location as a function of X
طيب خلينا نشوف مثال عندي
beam عندي
beam عليه الـ load موزع
الـ load الموزع اللي هو الـ W طول
الـ beam 2 انش طبعا هيكون رد الفعل على الطرف
هذا WL على اتنين صح؟ هناك وعندي هنا R واحد اللي هو
WL على التاني وهنا عندي R التاني بتساوي WL على التاني
وهذا الطول L
لو بدي أرسم ال ... الـ shear force diagram ... الـ shear
diagram
ببدأ هنا و WL على اتنين صح الـ shear يعني و WL على
اتنين هتريح الـ area هذه اللي هي minus WL على
اتنين صح هذا الـ shear diagram
اه ماشي نعرف أعطيكيها الـ moment هاد بتمثل إيه؟ الـ
slope صح؟ هتكون ... هتبدأ من zero زياد المساحة هذه،
مظبوط، هيكون شكل الـ moment دا يا جماعة لو
أخدت at any location x هنا
at any location x واخدت
free body هكون
عند هنا هاي
عند R واحد so WL على اتنين هنا
الـ shear هذه
x أخذت نسبة يعني هذه الـ V الـ V الـ V على WL على 2
هذه على هذه بتساوي L على 2 ناقص X على L على 2 صح؟
مظبوط؟
يعني هيكون أنّ الـ V هتكون سوى WL على 2 في 1
قسمت L على 2 على L على 2 ناقص 2X على
L صح؟
خلّيني أتأكد بمعادلة صح هنحط X بالساوية صفر تطلع
الـ V في الأول أيش WL على اتنين خلّيني أحط X
بالساوية الـ .. يعني هتكون 1 ناقص 2 ناقص
1 هتكون minus WL على اتنين معناه المعادلة أيش
صحيح احنا
في علاقة بين الـ .. الـ shear و الـ moment و فيه علاقة
بين الـ V و
الـ Q و فيه علاقة بين moment و الـ V واضح أنّ الـ V أيش
الساعة dM by
dX صح؟
هذا درجته أقل من هذا ومعناه الـ V بيساوي dM by dX
يعني الـ dM بحث
سوى V dX لو دعنا التكامل من صفر لـ M وهين تكامل الـ
V عند الصفر بيساوي WL على اتنين
لـ X حيكون معناته عندي M بس كنت ساوي تكامل الـ V
اللي هي WL على اتنين في 1 ناقص 2X على L dX
وحدود تكامل من WL على 2 من 0 لـ X يعني
احنا نكون عنده WL على اتنين في X ناقص X تربيع على
L من صفر لـ X ومعناته هتكون WL
على اتنين في X ناقص WX
تربيع على اتنين ليه المعادلة اللي هو مطلعها؟ الآن
عشان أودي الـ deflection احنا حكينا M على EI يساوي D
Square Y على DX Square يعني الـ
M عندي اللي هي W
L وحد
على EI في
WL
على اتنين في X ناقص WX تربيع على اتنين
معناته dy by
dx هتكون
التكامل هذا هتكون على E constant و I constant
هتكون 1 على EI 1
على EI التكامل من صفر لـ X لـ WL على اتنين في X ناقص
WX تربيع على اتنين DX يعني هتكون طبعًا زائد أيش
constant ما حطّيتش حدود ال integration
إذا عملت زي هيك ما حطّيتش حدود ال integration هتكون
نعمل اشتقاق 1 على EI في WL
X تربيع على 4 ناقص W X تكعيب على 6 زائد C1
هذه dy by dx صح؟ عشان
احسب y deflection بعمل كمان مرة integration حسين
دي الـ y بالساوية
1
على EI تكامل
WL على 4 X تربيع ناقص W X تكعيب على 6 زائد
C1 DX
بنكملها هت زائد C2 لأن خلاص صار جزء من dy by dx
تحسين عندي 1
على أو خلينا نطلع الـ W برة 1 على EI في
طبعًا الـ 1 على EI بس داخل على هذا الـ term في
WL X تكعيب على 12 ناقص W X قوّة 4 على 24
و 20 زائد
C1 X زائد C2
طيب عشان أوجد الـ C1 و C2 أيش بتساوي الـ boundary
conditions boundary conditions نحكي at X
بيساوي صفر الـ Y بيساوي صفر و أنا بتقعد في المعادلة
هذه هتكون أندي صفر بتساوي صفر
صفر صفر الـ C2 الـ C2 أيش يساوي؟ صفر الـ X بتساوي
L برضه Y بتساوي أيش؟ صفر، صح؟ إنّ أنا كنت عنده صفر
بتساوي
1 على EI في
WL 4 على 12 ناقص WL
4 على 24 زائد C1 في L الـ C2
حكينا صفر احنا
يعني C1 هتكون ساوي طبعًا هذه 1 على 12 معناته
2 على 24 2 على 24 يعني
1 على 24 يعني هتكون C1 بالساوى minus
WL تكعيب على 24
C1 -WL تكعيب على 24EI
in بسيطة 1 على EI فيه خلّنا
ناخد 24 تحت هاخد
W واخد
24 EI فيه
يعني أنا أقدر أحضر بالبسط في 24 على 24 يعني تكون
دي 2 الـ
X تكعيب ناقص
X قوّة 4 زائد
الـ C1 اللي هو minus
WL تكعيب على 24 EI يعني
اخدت W على 24 EI في المعادلة 2 الـ X
تكعيب ماينص X قوّة 4 ماينص
هنا
في X هذه صح ماينص الـ تكعيب
في X مظبوط
هذه المعادلة هذه الـ Y الـ slope هيكون الساوي dy by
dx بالساوى هتكون W على 24 EI
في 6
الـ X تربيع ناقص 4 X تكعيب ناقص تكعيب
طيب صارت المعادلة جاهزة للـ .. للـ deflection .. للـ
deflection و للـ slope معناته كان أودي الـ
deflection و الـ slope في أي نقطة لأن وين الـ slope
.. وين الـ deflection maximum وين
بيكون الـ deflection maximum؟ في النص صح؟ يعني Y
maximum نحكي at X بالساوى L على 2 بتكون الـ Y is
max بتكون maximum تعود
عن X و L بالساوى بـ maximum طبعًا ده اجتماع دول تـ
check أنت دايما اجتماع معادلات تـ check عليها حط X
بالساوى صفر
ناقص 1 ناقص 1 ناقص صفر ناقص صفر ناقص صفر ناقص صفر
ناقص صفر ناقص صفر ناقص صفريعني هيكون 6 لـ 4 1 و
نص ناقص ثمن ربع في ثمن ناقص نص 1 ناقص 1
بتطلع بالساوية zero هيك
و خلصنا المحاضرة