بسم الله الرحمن الرحيم بقيت في section خمسة اربعة
من المرة الماضية اخر نقطة اللى قدامنا اللى هى ال
total area المساحة الكلية هنعطى تعريف فيه بان نحسب
المساحة الكلية يعني المساحة اللى موجودة بين منحنا
ومحور Xطبعا احنا سابقا اخدنا كيفية إيجاد هذه
المساحة إذا كان عنده الدالة دائما و أبدا non
negative يعني بتاخد قيمة موجبة دائما و أبدا لكنها
تاخد قيمة موجبة و قيمة سالبة هذه لم نتعرض لها قبل
ذلكبنتعرض لو كانت الدالة أعلى محور X أو أسفل محور
X كيف بنحسب المساحة اللي محصورة بينها و بينها محور
X طبعا إذا الدالة فوق محور X و بنحسب المساحة
المساحة بتطلع بقيمة موجبة إذا الدالة أسفل محور X
يبدأ المساحة اللي بينها و بينها محور X تطلع عندنا
بإشارة سالب كما سنرى بعد قليل ال remark بتقولي ما
يأتيمشان نجد الـ total area المساحة الكلية بين
الرسم البياني اللي اتدالة Y تساوي F of X ومحور X
على الفترة A وB بدنا نعمل الخطوات التالية We make
the following steps الخطوة الأولى We subdivide the
interval A وBAt the zeros of F يعني بدنا نيجي نقسم
الفترة من A إلى B حسب أصفار الدالة يبقى وين الدالة
بتاخد القيم اللي بتخلي الدالة تساوي صفر بدنا نجزئي
التكامل إلى مجموعة من التكاملات على هذه الفترات
النقطة الثانية بدى نحسب قيمة كل تكامل من هذه
التكاملات على الفترة الخاصة ابو يعني لو اتخيلنا ان
هذا الرسم اللى عندها هي رسم في المنعنى y تساوي f
of x نلاقي ان الدالة أخدت zero عند ال a و عند x
واحد و x اتنين و عند m و عند ال b إذا قسمنا الفترة
إلى ثلاث فتراتبدي اخد الفترة من a الى x1 ومن x1
الى x2 ومن x2 الى b يبقى لو كاملت الدالة على
الفترة من a الى x1 بحصل على المساحة a1لو كملت على
الفترة من X1 إلى X2 بحصل المساحة A2 لو كملت من X2
إلى B بحصل المساحة A3 موجبة موجبة سالبة هتطلع عنا
إذا انجلبت كامل على الفترات التلاتة اللي عندك أو
الأربعة أو الخمسة جد ما يكونوا حسب أصفر الدالة
بعدها بيقول بتجمع ال absolute values لل integrals
التكاملات نتيجة توقيتها قد يكون موجب وقد يكون سالم
إذا باخد ال absolute value لكل تكامل من التكاملات
التلتة بيصير كله موجب يبقى بجمع بكون جبت المساحة
الحقيقية اللي محصورة بين المنحنة ومحور Xيبقى هنا
الـ Total Area A يبقى سواء Absolute Value لـ A1
زاد Absolute Value لـ A2 زاد Absolute Value لـ A3
بيعطيني المساحة الحقيقية حيث A1 يتكامل من A ل X1 ل
F of X DX الـ A2 تكامل من X1 ل X2 ل F of X DX الـ
A3 تتكامل من X2 إلى B ل F of X DX و هكذا طب السؤال
هولو انا بقادرة لانسي تاخد ال absolute value و روح
جماعة التكاملات يمكن يطلع التكامل او المساحة تكون
صفر فهل هذا الكلام معقول؟ يعنيلو جاءت تخيلت ان
دوان دي رسمها وكانت المساحة a1 و a3 مجموعهم عدديًا
يسوى مجموع a2 يبقى a2 سلبه لفوق موجة بيجيبوا يطلع
النتج قد صفر هل يقل مساحة بالمنحنى وما هو ركزي
يسوى صفر؟ طبعًا لأ لو كانت المساحة اللي اتاحت أكبر
من مساحتي الاتنين عدديًاهيطلع تكامل سالبة ليعقل
مساحة تاخد قيمة سالبة؟ طبعا لا وهكذا إذا نضطر لاخذ
ال absolute value حتى نطلع جداش المساحة الحقيقية
اللي موجودة ما بين المنحنة ومحور Xنعطي الان مثال
عددي على كيفية حساب ال total area جاليهات لل total
area المساحة الموجودة ما بين محور X والرسم البياني
لدالي F of X يساوي X تكييم زي تلاتة X تربيه زي
اتنين X على الفترة من ولا و لامن سالب اتنين لغاية
اتنين لغاية اتنين يبقى انا بده اروح اطبق الخطوات
الثلاث اللي موجودة عندى ال sub divide the interval
of the zeros of F يبقى اول خطوة بده اروح اجيب أصفر
الدالة اللي عندها دي بده اجيب أصفر الدالة يبقى بده
اعمل الخطوة الأولى يبقى بده اخد ال F of Xاللي
عندنا اللي هي جداش X تكيب وهنا ناقص ثلاثة X تربيع
وهنا زائد اتنين X وروح أسويها بجداش بالزيرو بدي
أجيب أصفر الدليل بدي أروح أحلل هذه المعادلة يبقى
ممكن أخد X عامل مشترك بظل X تربيع ناقص ثلاثة X
زائد جداش اتنين يساوي Zeroهذا الكلام عبارة عن X في
غسين بده يساوي Zero يبقى هنا X هنا X هنا واحد هنا
اتنين هنا ناقص هنا ناقص يبقى ناقص X و ناقص اتنين X
بناقص ثلاثة X يبقى تحليلنا سليم يبقى أصفار الدالة
هي X يساوي Zero وال X يساوي واحد وال X يساوي كداش
بتجزء الفترة اللى عندك حسب أسفار الدلة يبقى انا
عندى من X2 لغاية Zero ومن Zero لغاية One لغاية
اتنين يبقى اي أسفار الدلةيبقى بناء عليه الـ total
area اللي أوي بدى التكامل أوي بدى أروحة كامل على
الفترة الأولى يبقى بدى A كامل من سالب 2 لغاية 0 لل
F of X DX لل X تكييب ناقص 3X تربيع زائد 2X كله
بالنسبة لميم الى DXيساوي بدا كامل يبقى x أص أربعة
على أربعة ناقص x تكييب على تلاتة بتروح مع التلاتة
زائد x تربيع على الإتنين بتروح مع الإتنين يبقى هذا
الكل من ناقص إتنين لغاية Zeroيبقى لو جيت اعوض
بالقيمة اللي فوق Zero ناقص Zero زائد Zero يبقى
Zero ناقص Zero زائد Zero هيعوض بالقيمة اللي فوق
ناقص افتح جزء بدا اشيل كل X و احط مكانها ناقص
اتنين يبقى ناقص اتنين اقص اربعة بقى داشر ستة عشرة
على أربعة اللي بعد هي ناقص اتنين تكيباللي هو ناقص
تمانية مع ناقص بصير زائد تمانية اللي بعدها ناقص
اتنين تربية زائد جداش زائد اربعة ويساوييبقى، لاحظة
القيمة اللي فوت ناقص القيمة ده، شلت كل X وحطيت
مكانها ناقص اتنين، يبقى هذه الستاشر على اربعة فضل
كده ايش؟ اربعة واربعة، تمانية و تمانية، ستاشر يبقى
النتيجة سالب ستاشربعد هيك هذه كلها تعتبر لمن؟ A1
بدي أروح أجيب له A2 يبقى A2 تكامل من 0 إلى 1
integration من 0 إلى 1 لل X تكيب ناقص 3X تربيع
زائد 2X كله في DX نتيجة التكامل هي X أقص 4 على 4
نقص X تكيب زاد X تربية نفس النتيجة اللي فوق بس من
واحد لواحد من Zero لغاية واحد يبقى بتعود بالقيمة
اللي فوق يبقى ربع ناقص واحد زاد واحد ناقص Zero
Zero Zero كله ب Zero يبقى النتيجة كده؟ ربع فقط
لغيربتداجي للـ A تلاتة يبقى هو تكمل على الفترة
التالتة يبقى من واحد لغاية اتنين يبقى من واحد
لغاية اتنين لل X تكييب ناقص تلاتة X تربية زائد
اتنين X DX الشكل لأن هذا يبقى X أس أربعة على أربعة
ناقص X تكيب زائد X تربية كله من عند الواحد لغاية
اتنينلغاية اتنين يبقى هذا الكلام بده يساوي بده
يعود بالقيمة اللي فوق ناقص اللي تانية نقص ربع ليه؟
ستاشر على أربع ناقص تمانية زائد أربع ناقص افتح جزء
بده يشيل كل اكس ويحط مكانها واحد يبقى هذا ربع وهنا
ناقص واحد زائد واحديبقى النتيجة هذه تساوي 16 على 4
فيها 4 وهنا ناقص 8 وزائد 4 وهنا ناقص ربع زائد 1
ناقص 1 أظن هلال بصفرتمام؟ ودولب صفر بيظل الجواب
قداش سالب رفع طب اطلعلي هنا طلعت قيمة واحدة موجبة
وتنتن بالسالم لو مااخدتش absolute value بيطلع
عليها كلها قيمة سالمة لكن احنا بنروح بنقول هنا
total areaبتعطيها الرمز A يساوي absolute value للـ
A1 absolute value للـ A2 absolute value للـ A3
ويساوي absolute value لـ 16 absolute value لربع
absolute value لـ 4
يساوي طبعا ستاشر زائد ربع زائد ربع يعني ستاشر زائد
نص ستاشر و نص يعني تلاتة و تلاتين على اتنين يبقى
النتيجة تلاتة و تلاتين على اتنين اللي هي المساحة
الكليةلكن لو مااخدناش absolute value واضح ان
المساعة تطلع جداش بيما سالم، هل ضروري نرسم؟ ليس
بالضرورة، انا سواء عرفت شكله من حد و الله عارف
بهمنيش، لكن بهمني أصفار الدالة أحددهم جداشوتقيد
بالفترة اللي بكون معطيها لي تمام؟ وبناء عليه بقدر
أعرف أكم جزء عندي أو أكم تكامل وبالتالي بروح باخد
ال absolute value لنتيجة هذه التكاملات بيعطيني ال
total area للمساحة المحصورة بين المنحنة ومحورك
سواء كانت هذه المساحات موجبة ام سالقةعليك انتهينا
من هذا ال section و إليكم أرقام المسائل ل
exercises خمسة أربعة يبقى خمسة أربعة من واحد لسبعة
وأربعين الأد يبقى exercises خمسة أربعة من واحد
لسبعة وأربعين الأدو من واحد و ستين لاربع و ستين و
من واحد و ستين لاربع و ستين كذلك الآن بنيجي ل
section خمسة خمسة section
خمسة خمسة اللي هو ال indefinite integrals
اندفينيات انتجرالز and the substitution method and
the substitution method
if
ال if is continuous
إذا كان الفرق مستمر فإن انترفل
I و N هو عدد
حقيقي
للـ F of X كله to the power N فالـ F prime of X DX
بده ساوي تكامل للـ UN DU و اللي هو بده ساوي U أس N
زائد واحد على N زائد واحد زائد constant CIn
general على
وجه العموم تكامل لل F of G of X في G prime of X DX
دو سوى تكامل F of U DU
خلّي براكة احنا رافعين عنوان انا وبنشوف شو هذا
العنوان وبنقل عليك كيف بنشتغلبقول in definite
integrals التكاملات غير المحدودة and the
substitution method وطريقة التعويض يعني كيف نستخدم
طريقة التعويض في التكاملات غير المحدودة بقول لو
كانت الدالة دالة متصلة على فترة مامتصل يعني قابل
للتكامل إذا يمكن تكاملها على هذه الفترة وكان ال N
عبارة عن عدد حقيقي سواء كسر موجب أو سلب مع أنه
مشكلة يبقاش بيقول تكامل لل F of X مرفوعة to the
power N مضروبة في مشتقة مداخل القوس DXبقدر أقول
هذه تكامل you to the power in the you وتضيف للأس
واحد و أقسم على الأس الجديد السؤال هو كيف هذه صارت
بهذا الشكل هذا السؤال قلب الكلب لو جيت أن المثل
عندي بهذا الشكلهذه الشكلة لو طلعتها عمليا بلاقيها
كالكعة كبيرة هيك أنا بدي أبسطها و أخليها بشكل
معقول وبشكل لطيف مثل هذا الشكل، السؤال كيف؟ باجي
بطلع في المثل هو مين المصعب المثل ال F prime ولا
ال F of X to the power N؟
يبقى انا لو
حطيت ال U تساوي F of X كتعوضة ليس بالضرورة U ممكن
T ممكن V ممكنيجب ان اوضح الرمز الانجليزي يبقى
دي يو على دي اكس بده يساوي f prime of x او دي يو
بده يساوي f prime of x في دي اكس تمام؟ اذا بقدر
اشيل ال f prime of x دي اكس
يبقى بصير تكامل U to the power N DU يبقى اللي كان
شكلها غريب و صعب صارت سهل جدا إزاي تكامل X to the
power Nبشرط لأنه مستويش سالب واحد هو دي البلد يبقى
أشمع عليه اللي أضيف له الأس واحد و أقسم على الأس
الجديد وبعد ما خلص بشيل ال U و بحط بدلها مين F of
X بصير المثل أن انت جيتها بدلة ال Xزي ما بدأت
التكوين ودلت ال X فالجواب دلت ال X وبالتالي مكون
اه خلصت المشكلة هذه يبقى عشان أستخدم التعويض أول
ما بدور على الشغل اللي مخلي شكل المسألة صعب بحيث
هذا لو اشتقت ياطيني مين الدلة اللي فوق أو كنص في
الدلة اللي فوق مابتفرجش عندنا زي ما سنرى بعد قليل
يبقى ها بدي مشتقة اللي جوا تبقى مين هي اللي براأو
قريبة من قريبها على طول الخط من الدرجة الأولى،
أقارب من الدرجة الأولىهذا بالمثل بالشكل هذا يبقى
هي النتيجة قد لا تكون المثل بهذا الشكل قد تكون
composition function كيف؟ تكامل لل F of G of X في
G prime of X DX ممكن ما تكونش بالشكل اللي فوق ممكن
تكون بالشكل اللي عندنا هذا يبقى برضه لمصعب المثل
اللي هو الجزء الأول يبقى بروح لل G of X اللي هي
مخلية المثل غير طبيعيةو بروح بقوله حط ال U تساوي G
of X أو T تساوي G أو W أو أي رمز يعجبك طبعا يبقى
باشي بقوله يبقى DU بتساوي G prime of X في DXإذاً
بادر جي برايم اف اكس دي اكس كلها بحط بدل امين دي
يو والجي بحط بدي بيبقى صارت يتعمل F of U دي يو
يبقى بصير شكل المثل بدل ما يكون كلكا او غير شكل
اكس بصير شكل لطيف يمكن تكاملهالان الكلام اللى
بنقوله نظري بدنا نعطي عليه مجموعة لا بأس بيها من
الأمثلة يبقى باجي بقوله examples مجموعة من
التكاملة احسبلي evaluate
the following integrals
أحسب لي كل من التكاملات التالية تكامل الأول تكامل
اتنين X زائد تلاتة كله أس تمانية بالنسبة الى DX
قلبي
الكوينةهذه لو كانت X أس تمانية كما نقول نضيف لأس
واحد بنقسم على الأس اللي يتذكر لبنجوسين هذه هي
اللي كلكعت الدنيا يبقى هذه على مين على الحالة
الأولى والله أعلم مش عارفين احنا يبقى ال F of X هي
سبب الكلكعة طيب يعني هذه زي هذه اه زيها بس فارق
بسيط كيف؟ لو شيلت ال F of X وحطيت هذه بصير مشتقتها
جديش2DX يبقى ال F prime of X DX هي main DX إذا
باجي بشيل كل اللي بين قسينها دي و بحطه بأي متغير U
Y W الرمز اللي عاجبك قلتلك ليست أستا مقيد بالـU
وأنا لأ فضل إنك تحط Uحط اي رمز اخر ليش لان ال U
جينا في ال integration by parts في calculus بيه
انه يمكن يلخبك فتعود خلي جلب جيحط اي رمز ييجي في
بالك مش قرآن نزل من السماء لازم احط التعويض U تمام
يبقى بروح بده احط مثلا T احط ال T تساوي اتنين X
زائد تلاتةلو جيت أفاضلها يبقى بدأ أقوله دي تي
يساوي اتنين مالكش تاعة و تفاضل ال X يبقى داشر DX و
تفاضل التلاتة Zero مش واحد يقولي من وين هذه أجت
بدأ أخد دي تي على DX دي تي على DX اللي هو باتنين
أضرب كله في DX يبقى دي تي يساوي اتنينأنا ماعنديش
اتنين DX عندي DX لحالها يبقى من هذا الكلام لو جسمت
على اتنين بصير نص DT هو بدي يساوي جداش DX إذا هذا
التكامل بده يساوي هاي تكامل هذا حاطيته كله بجداش
الابنجسين T و هي أس تمانية زي ما هي و ال DX طلعت
عندي بجداش نص DTالان طبق اللي قواها دي التكامل
بقول يا نص خليك برا وهي تكامل T أس تمانية DT تمام؟
يبقى هاي النص برا هذا أبدا جلب واضيف على الأس
واحدة بتقسم على الأس الجديد يبقى هذا بصير T أس
تسعة على تسعة زائد constant Cأو 1 على 18 و ال T
بقدر أشيله و أحط قيمته التعويضة اللي أنا حطيتها
حطيت ال T ب2X زائد 3 يبقى 2X زائد 3 كله أس 9 زائد
constant C طب تعالى اطلع في النتيجة أنا وياكيك
مباشرةأشوف هذا المثال وهي النتيجة اللى عندنا بقوله
كويس يبقى بكل بساطة انا شو اللى عملته اضفت للأس
واحد و جسمت على الأس اليسار عندي جداش تسع مظبوط في
المعامل في واحد على المعامل تبع من ال X إذا كانت
المعادلة من الدرجة الأولى الدرجة التانية بصير كلام
غلطيبقى إذا المعادلة بين جثين من الدرجة الأولى ما
عليك إلا تضيف للأسر واحد و تقسم على الأسر جديد
تضرب في المعامل تبع X فقط لغير بيكون هو النتيجة و
تقول إزاي تكون أصلا خايف تقلط يبقى يشتغل زي ما
اشتغلنا طبعا طيب هذا السؤال يعتبر من أبسط أنواع
الأمثلة المثال رقم اتنينيبقى بدنا تكامل لل X
تربيعي الجدري التربيعي لل 2X تكعيب زائد 3 كله في
DX
الحين لو جيت للدلة لبرا الجذر والدلة لتحت الجذر،
من مصعب المثل، الدلة تحت الجذر ولا اللي برا؟ تحت
الجذر، اتنين، مشتقت الدلة اللي تحت الجذر بقداش؟
ستة اكس تربية في DX، يعني الدلة اللي برا هذه هي
مشتقتيعني اللي تحت الجدرد كان نجوس أس يبقى كأنه
نجوس مرفوع الأس واللي برا هو مشتقته من الدرجة
الأولى يبقى الفارجية تبسكه نصرا، مظبوط؟ إذن هذا
على النقطة الأولى مباشرة، طبعا إيش أسويه؟ بقوله
بسيطة جدا، بقوله putأحنا حاطين هنا جداش T بده أحط
هنا W تساوي اتنين X تكيب زائد تلاتة بدنا DW بستة X
تربية في DX و تفاضل التلاتة بجدار ب Zero ماعنديش
ستة بلاش X على ستة يبقى هذا معناه انه سُدسدي
دابليو بده يساوي ال X تربية دي X إذا بقدر أشيل ال
X تربية هذه كلها مع ال DX و أكتب بدلها قداش سُدس
دي دابليو يبقى صارة المثلة تكامل جذر ال W وهذا
سُدس وهذا دي دابليوو الـ SUDS هذا مقدار ثابت يبقى
مقدار ثابت خلّيك برا وهي تكامل وهنا W أُص نُص DW
يبقى المثل اللي كانت مكلقة هيك وشكلها غريب شوية
صارت very easy بسيطة جدا ولا حاجة يبقى دي سهل اضيف
للأُص واحد و اقسم على الأُص الجديد يبقى هذا SUDS
وهذا W أس ثلاثة على اتنين على ثلاثة على اتنين زائد
constant C بنضيف للأس واحد بنقسم على الأس الجديد
يبقى هذي بيصير اتنين على ستة مضروبة في تلاتة و ال
W مين هي اتنين X تكييب زائد تلاتة اتنين X تكييب
زائد تلاتة بالشكل اللي عندنا هذا أس قداش أس تلاتة
على اتنين تلاتة على اتنين زائد constant C نختصر
اتنين مع اتنين بيبقى التسعة في اتنين X تكعيب زائد
تلاتة كل أس تلاتة على اتنين زائد constant C يعني
بعد ما تخلص بترجع المسألة بدلالة ال variable
الأصلي
سؤال التالت بيقول اللي بده تكامل X الجذر التربيعي
لأربعة ناقص X DX يقول مصعب المثل المقدار اللي برا
ولا تحت الجذريبقى بدي أشيل اللي تحت الجدر و أحطه
بأي متغير حط لهنا put مثلا y يسوى أربعة ناقص x
يبقى dy تفاضل أربعة from zero بناقص dx أنا ماعنديش
ناقص dx يبقى سالف dy هي اللي بدي أتساوي من dx إذا
بصير المسألة تكاملبالـ dx هدا أعوض بها من هنا لو
جبت ال x هنا بصير أربعة ناقص إذا بقدر أشيل هذه و
كنت ببنالها أربعة ناقص y و هذه حاطيتها ب y و ال dx
هي بسالب dy
يعني كأن المسألة صارت تكامل السلب بده يدخل على
القصب يصير كده؟ Y ناقص أربعة وجذر ال Y تاني Y أص
نص في DYتمام؟ إذا بدي أفك الجثة هذا بصير تكامل ل Y
أس ثلاثة على اتنين ناقص أربعة Y أس نص كله في دي Y
يبقى ماضلش عليه اللي هي كامل يبقى هذه تكاملها بY
أس جديدخمسة على اتنين على خمسة على اتنين يعني اللي
هو جدات بخمسين ناقص اربع في Y أس تلاتة على اتنين
ضرب تلتين زاد كونستانسينعيد ترتيبها لما نعيد
ترتيبها يبقى هذه اتنين على خمسة تمام يبقى اتنين
على خمسة وهذه Y بداشي لو احط مقتل يجداش اربعة ناقص
X أس خمسة على اتنين ناقص تمانية على تلاتة تمانية
على تلاتةأربعة ناقص X أس تلاتة على اتنين زائد
constant C يعني لما تحط تعويضة بهذا الشكل بدك تغير
كل اللي جوا المتغير X و تحوله كله بدلالة المتغير
الجديد اللي هو مش تخلي إشي X و إشي Y من حد ما تحط
التعويض بتغير كل اللي في الداخل بدلالة مين المتغير
الجديدنعطي كمان مثال أربعة بيقول يبقى التكامل واحد
على جذر ال X في واحد زائد جذر ال X لكل تربية DX
طيب ما بدنا نيجي على المثلة تبعتنا هذه و نروح
نتطلع فيها، مين المصعب المثلة؟ هل جدراليكس ولا
واحث زي الجدراليكس؟ واحث زي الجدراليكس و كل تربية
يبقى الواحث زي الجدراليكس هو المصعب المثل، نهيك
على أنه لو اشتقت الواحث زي الجدراليكسبطلع واحد على
اتنين جذر ال X كلام مظبوط ميا ميا بروحش باخد جذر
ال X باخد ال واحد زائد جذر ال X بروح بحطها بأي
متغير اخر لو رحت حطيت مثلا Z تساوي واحد زائد جذر
ال X لحظة انا بحطلك رموز مختلفة مش هقولك بتقيدش
بال U هذه اي رمز حطه من هال 27 حرف اللي عندكطيب
بدي أروح أشتقه يبقى هذا بدي يعطيلك ان DZ يسوى واحد
على اتنين جذر ال X في DXتفضل 1 بـ0 تفضل جذر ال X
ب2 او 1 ع 2 جذر ال X ماعنديش 1 ع 2 جذر ال X عندي 1
ع جذر ال X بروح بدرب في اتنين الطرفين يفجر لو
ضربنا في اتنين بصير 2DZ بده يساوي 1 ع جذر ال X في
DXأذا بدي ارجع للتكامل تبعي واحد على جذر ال X DX
هذا كله بدي اكتب داله كده ايش؟ 2DZ يبقى هذا الكلام
بدي يصير تكامل هذا واحد على Z تربيع وهذا اللي بقي
كله 2DZ فقط لغيبعد ما كانت جذور ومشالكة مو غير شكل
صارت بسيطة بقول يا اتنين برا يبقى هذا اتنين برا
وهذا ال z والسالب اتنين دي z
زاد كنستان سي يبقى نقص اتنين في واحد على زد زاد
كنستان سي يعني نقص اتنين علىبواحد زائد جذر ال X
يبقى واحد زائد جذر ال X زائد كونه صنسي وانتهينا من
المسألة اللي عندنا طيب السؤال الخامس بيقول يتكامل
ل cosine تلاتة X زائد أربعة كله بالنسبة إلى مين
إلى DX
من اللي وضع هغريب في المثالة الزاوية يبقى الزاوية
كل الشيء لو حطها بالمتغير اللي بدها هي يبقى انا لو
حطيت ثيتا تساوي تلاتة اكس زائد اربعة يبقى دي ثيتا
يساوي كداشت تلاتة في دي اكس او تلت دي ثيتا هو
المين بدي اكساذا هذه المثلة بيصير تكامل ل cos θ و
ال dx له تلت dθ التلت برا مالوش دعوة وهي تكامل ل
cos θ dθ وهذا تلت sin θ بدون سالب أفنديتفاضل
الـsin بـcos تكامل cos بـsin دوري زائد constant C
يبقى هذا التلت برا وهذا الـsin بشيل الـθيتا و
بكتبها 3x زائد 4 زائد constant C طب ايش بتلاحظ على
نتيجة التكامل؟
الزاوية من الدرجة الأولى يبقى واحد على معامل X لكن
لو كانت من الدرجة التانية أو التالتة بصير كلامي
غلط تمام فقط إذا كان من الدرجة الأولى انسى خلاص حط
الزاوية إيش ما تكون تكون وفاضلها وحولها طيب نيجي
للسؤال السادس بدنا تكامل
سؤال السادس بدي تكامل لتلاتة X أُص خمسة في الجذر
التربيع إلى X تكيّب زائد واحد بالـDX لمصعب
مثلا من الكمية اللي تحت الجذر، شيلها وحطها
بالمتغيرة اللي بدكيهاحط لي T تساوي X تكييب زائد
واحد إذا ال DT بدي تساوي تلاتة X ترابيع DXتلاتة
موجودة بس هي DX والخمسة يبقى هذي بروح بحللها تلاتة
X تربيع X تكييب يبقى هذي تلاتة X والخمسة في الجذر
التربيعي لمين؟ ل X تكييب زائد واحد في DX ويساوي
الان تلاتة X تربية مع الـDX هذه كلها بحفظ بدالها
DT يبقى ماعنديش مشكلة الـX تكيب T ناقص واحد إذا
بقدر أشيل هذه و أكتب بدالها T ناقص واحد يبقى تكامل
الـT ناقص واحد هي من؟ بالـX تكيب وهذه جذري الـT
وضلش عندها إلا الباقي اللي همين DTيبقى هذا DT يبقى
مثلتنا صارت بسيطة جدا يبقى هذه تكامل T أس ثلاثة
على اتنين ناقص T أس نص DTيبقى خلاص، بالضبط أضيف
للأس واحد و أقسم على الأس الجديد يبقى هذه اتنين
على خمسة T أس خمسة على اتنين ناقص تلتين T أس تلاتة
على اتنين زائد constant Cبننشيل ال T ونحط بلاله X
تكيب زائد واحد يبقى هذه يسوى خمسين X تكيب زائد
واحد قص خمسة على اتنين ناقص تلتين X تكيب زائد واحد
قص تلاتة على اتنين زائد constant Cيعني أنت بدك
تتحيل على المثلة وبحيث تحورها بالطريقة اللي بدك
إياها بحيث تقدر تبسط المثلة ومن ثم تقوم بعملية
تكامل هذه المثلة طيب هذا كان المثال رقم ستة بدنا
نروح لمثال رقم سبعة يبقى مثال رقم سبعةبيقول لي
تكامل أحد أسئلة الكتاب واحد على X تربيع صين واحد
على X كوصين واحد على X في من؟ في DX
أنا أريد أسأل سؤال، مين اللي وضع مش طبيعي؟ واحد
على اكس الجزاوي، مش واحد على اكس تربية، اللي وضع
مش طبيعي واحد على اكس جزاوي، هم يقولوا ده من
الـsin X أو الـprofine X، إذا بقدر أشيل واحد على
اكس و أحطها بأي متغير جديدلو حطيت على سبيل المثال
θ بواحد على x يبقى هدا بده يعطيك d θ بسالب واحد
على x تربيه في dx أو سالب d θهو عبارة عالميا 1 على
x تربية dx إذا بقدر 1 على x تربية مع ال dx هذه
كلها أشيل و أكتب بدل السالب dθ يبقى هاي السالب برا
وهي تكاوم صين ثيتا كوصين ثيتا d ثيتا
الحين إلك الخيار هناك أكثر من طريقة للحل إحدى
الطرق ما هو الـ sine تفضلها مين؟ cosine إذا بقدر
أشيل sin θ و أحطها variable جديد لو حطيت على سبيل
المثال y تساوي sin θ هذا بدي أعطيك أن dy يساوي cos
θ dθإذا هذه كلها بصير تساوي سالب تكامل YD1
يبقى هذا يبقى داشر سالب y تربيع على اتنين زائد
كونستان سي ال y ب sign ثيتا يبقى هذه ناقص نص sign
تربيع ثيتا زائد كونستان سي ثيتا يبقى داشر واحد على
اكس يبقى هنا سالب نص sign تربيع لواحد على اكس زائد
كونستان سيأجى واحد تانى اسمع شوية يا ابناى اجى
واحد تانى ماعجبهش الطريقة هذه قال انا عندي طريقة
غير الطريقة هذه بقوله كيف قاللي هذه ههه بعد ما
خلصنا احنا قاللي هذه بقدر اكتبها سالب نص تكامل
اتنين sin θ cos θ dθدرب في اتنين وجسم على اتنين
قلنا له والله كلامك مظبوط مية مية قال له هذه تساوي
سالب نص تكامل قال له هذه ال sign اتنين ثيتا دي
ثيتا قلت له برضه حساب مثلثات مظبوط بدنا نكامل
تكامل ال signسالب كوصين مقسم على تفاضل الزاوية
مظبوط يبقى هذا سالب نص برا وهذا سالب كوصين اتنين
ثيتا على اتنين زائد كونستان سي يبقى صارة النتيجة
سالب في سالب موجب رابع كوصين اتنين ثيتا زائد
كونستان سي هاي جواب يا شبابوهي جواب تاني وشكلا
مختلفا مصغوط لكن بقدر اوصل واحدتيهم للتاني مصغوط
بقدر اكتب هذه بدلالة ال cosine واحنا بنعرف انه sin
تربية ثيتا يسوى النص في واحد ناقص cosine اتنين
ثيتا مظبوط ولا لأ اذا بقدر اكتب هذه بدلالة ضيعة في
الزمن
زائد Constancy يعني اتنين في واحد على X لحد هنا مش
مطلوب انك تتحول لو ما بقى اتحول بدنا نحوله بحساب
المثلثات عادي جدا يبقى لو واحد طلع معاه الجواب هيك
ومش واحد يقوله والله جوابي غلط و جوابك صح لاتنين
صح مائة بالمائة ولا واحد بيقدر يعترض عليه كنت بدك
اتقول غير هذا الكلام؟ لو طلبنا تيتا تصين الواحد
على X طلبت تيتا تصين الواحد على X
لم تأتي بجديد كمان طيب طب اسمع شوية بقى انا بدي
اشتغل هالشغل وشوفوا ليه ايش رأيكم فيها كمان انا
عند المثل هذه هي سالب تكامل ل sine theta cosine
theta d theta فتحة كويسة هذا للي بعرف مستقلات
الدول المثلثين هو تفاضل الصين بقداشيعني بقدر اكتب
هذه يساوي
ناقص تكامل ل sin θ D sin θ ال D مش عبارة عن شر
التفاضل صح ولا لا؟يبقى كإني أنا كتبت ناقص sin θ
مشتقت sin θ يبقى
كإني أنا كتبت ناقص sin θ مشتقت sin θ يبقى كإني أنا
كتبت ناقص sin θ مشتقت sin θ يبقى كإني أنا كتبت
ناقص sin θ مشتقت sin θ
يبقى هذا الكلام يساوي ناقص sin تربيع ثيتا على
اتنين زائد constant Cيبقى بيرتلا لو سُحدّش أن بقلة
الصير ثيتا وإن مصر كأن المتغير كله هو main sin
ثيتا لإن بقدر أشيل ثيتا و أحط مكان واحد على x يبقى
هذا الكلام يساوي الناقص نص sin تربية واحد على x
زائد constant C هل اختلفت عن هذا؟اللي بيشتغل الشغل
هي دي صح، اللي بيشتغل هي دي صح، اللي بيشتغل هي دي
صح، ولا واحد بيقدر يعترض عليه، ايش بيكون بدك
تعترض؟ أبدا،
هي نفس الفكرة، يعني بعد ما أخد تاني ال sign هو أخد
ال cosine، ماعندي مشكلة عادية جدا، كله صحيح ولا
واحد بيقدر يعترض عليه
طيب نيجي للسؤال اللي بعده هذا السؤال رقم سبعة نيجي
للسؤال رقم تمانية تمانية بيقول يتكامل ل سك أس خمسة
X على تلاتة تان X على تلاتة كله في DX
تان اكسعة تلاتة DX تان
اكسعة تلاتة DX تان اكسعة تلاتة DXتساوي X ع تلاتة
يبقى Dθ بطولت DX يعني تلاتة D ثيتا بده يساوي DX
يعني أصبحت المسألة هي تلاتة تكامل سك أس خمسة ثيتا
تان ثيتا D ثيتا ما خلصناهش
سلامة كويسة يبقى قادي عشان انا لا أخلي برفق معاك
صاحبنا هذا بيقول السكوس خمسة بده يخليها السكوس
أربعة ثيتا في سك ثيتا في تان ثيتا في دي ثيتا قلت و
الله كلامك مظبوطالمكالكة في الدنيا هي six plus
أربعة يبقى باجي بقوله حط ال Y تساوي six ثيتا يبقى
DY ب six ثيتا تان ثيتا دي ثيتاصحيح؟ طب إيش رايكوا
أسوي هالشغل هادى؟ بدل ما قد أعوض و أسوي، لأ بجيبها
دغري، يبقى سويتك ولا سويتك سيان يعني أنا لو روحت
قولت كام ولا سك أص أربعة ثيتا مش تقل سك الثيتامش
تقّت الـsecθ التي هي تان ثيتا تان ثيتا دي ثيتا
يبقى هذه روحت كتبتها بالشكل هذا مظبوط هيك؟ في
مشكلة؟ كأن المسألة تكامل T أُس أربعة دي تي T أس
أربعة دي تي يعني بضع ضيف لأس واحد و أقسم على الأس
الجديد يبقى هي التلاتة برا وهذا سيك أس خمسة ثيتا
على خمسة زائد constant Cالان المشكلتنا في ثيتا بده
اشيلها واحط بدالها X على 3 يبقى 3 أخمس سك أس خمسة
لل X على 3 زائد كونس تنسيكا فالله المؤمنين
القادرين تمام؟ طيب بدنا نجي الآن لسؤال رقم 9 9
بدنا تكامل
لـSin أُس خمسة برضه X على تلاتة Cos X على تلاتة DX
تسوي
زي اللي تو؟ طب أسوي هذا اللي فوق هذه؟ أسوي زيها؟
هي تكامل لصين اص خمسة اكس على تلاتة
يبقى باجي بقول في دي لصين اكس على تلاتة بس هذه
مشتقتها جداش مشتقتها جداش لأ مشقة الصين بكوسين
كوسين اكس على تلاتة ضرب تلت مظبوط يبقى بصير الفرق
بين هذين بقول طب اضرب في تلاتة
بنفع ولا لا؟ يبقى تلف بتروح مع التلاتة بنعود زي ما
كناواضح؟ يبقى ماعنديش مشكلة في هذه الحالة يبقى على
طول الخط بقوله يا تلاتة خليك برا وهذه بيصير تكامل
ل sin أُس خمسة X على تلاتة مشتقة sin X على تلاتة
يبقى كأن احنا تكامل T أُس خمسة DT يبقى T أُس ستة
على ستة وفلسنايبقى هذه التلاتة اللي برا وهي sin 6x
على 3 على 6 زائد constant C يبقى هذه النصالـ 6X
على 3 زائد Constancy طب أنا عملتها بكل بساطة هيك
لكن أنا متأكد ان خمسين في المية منكوا لا يزالوا
مستغربين هالحركة هذه الجرعة طيب
بنعيدها كمان مرة صح صح اللي مستغرب وكان بيسأل
أزميله صح صح معايا كويسأحنا عندنا هذه المثلة بديش
أعمل خطواتين زي المثل اللي جابله أول حاجة أبدل ال
X على ثلاثة و بعدين أحط التعويض Y تساوي سكلالة بدي
أجيبها مرة واحدة بدل ما أعملها على خطواتين بدي
أعملها بخط واحدة بجيب أقول أه هذه المثلة مقطع فضل
الصين الزاوية بكسين الزاويةإذا هذه هي مشتقة هذه بس
بيفرقوا عن بعض بمقدار ثابت بقولكوا إذا هذه بدأ
اكتبها sign زي ما هي وهذه دي signطب لو جيت اشتقت
هذه ماشتقت هذه ب cosine ضرب تلت اذا بدها تفرق عن
هذه بقدرش بتلت يبقى مش هان اضيع هذا الفرق بقوم
اضرب في تلاتة اذا لو ضربت في تلاتة بصير تلاتة في
دي صعيبهذا لو يا شباب بصير cosine ضرب طول مع تلاتة
بتروح بضلش الا ال cosine x على تلاتة dx اللي هي
هذه يعني يا شباب هذه ههه تكافئ تماما المقدار بين
القوسينتكافى المقدار هذا بالضبط تماما كأنه شيلت
هذه و كتبت هذه بدلها طيب التلاتة هيبرة ال sign زي
ما هي و دي ال sign زي ما هي يبقى صارت المثلة كانها
تكامل T أس خمسة DT يبقى بضيف للأس واحد و بقسم على
الأس الجديد هيوضفنا و اختصرنا و كتبنا النتيجة حد
قالوا أي تساؤل هنا؟اذا ماعرفش بلاش بتروح تقولي put
اله cosine x ع تلاتة تساوي T واشتقها وضرب في تلاتة
و تعال عوّد ماعنديش مشكلة اذا عود اشتغل تاني يبقى
سوا اشتغلت هيك و الله هيك على كل الأمرين ستصل إلى
نفس النتيجةطيب هذا كان السؤال رقم تسعة سؤال رقم
عشرة بدنا تكامن لكوسين جذر الثيتا على الجذر
التربيعي لثيتا في صين تكيب جذر الثيتا في دي ثيتا
سؤال من الكتابوجئنا به في إحدى الامتحانات ذات مرة
زي ما هو هيك طيب القصة بسيطة جدا شو رأيك اوزع
الجدر على المقام هذا قبل ما أبدأ أشتغل يعني هذه
المثلة مش هي عبارة عن cosine جدر الثيتا على جدر
الثيتا الجدر التربيعي لصين تكييب جدر الثيتاخلّيني
أسألكم السؤال التالي، من المصعب المثل؟ هل الـ Cos
ولا الـ Sin؟ الـ Sin هو الممكن نهيك عن تفضلها بكون
البصرة اللي فوقمظبوط وزيادة شوية كمان عليك اذا انا
لو جيت الكمية اللي تحت اليد السين جادر مش مش تروح
تاخد السين تكيب لإن السين تكيب لو جيت اشتقى بيطلع
تلاتة سين تربيها في الكوسين يبقى تعويض تتماشي الله
عليها خربت الدنيا ومش صلعتها تمام يبقى بروح بقوله
حط ايه هه اللي هو ال X بدها ساوي مثلا سين
طيب بدنا دي اكس يبقى تفاضل الصين بكوصين جذر الثيتا
ضرب تفاضل الزاوية اتنين جذر ثيتا دي ثيتا بقوله
تمام ماعنديش اتنين الآن يبقى اضرب في اتنين يبقى لو
ضربت في اتنين بصير اتنين دي اكس بده يسوى كوصين جذر
الثيتا على جذر الثيتا في دي ثيتاأذا هذه الكلكة
التي لديها كلها بقدر أشيلها و أكتب درجة داشر نان
دي اكس والله هذه حلت المشكلة كلها شوفيش اللي أخدته
مش أخدت sign تكين لو أخدت sign تكين اللي صدرت
تلاتة sign تربية في ال cosine في تقريركان غير شكل
تمام يبقى التعويض اللى بدى تحطها بيبقى تبسط
المسألة مش تعجد المسألة دى بالك تمام يبقى بيصير
المسألة هذه تكامل هذا واحد على الجدر التربيعى هذه
حاطنها ب X بيصير X تكيب والباقي كله ب 2DX اتنين DX
يعني اتنين تكاملالجدر التربيه اللي يعني X أُس
تلاتة على اتنين لو طلعت غوض بصير السالب تلاتة على
اتنين دي يعني الكلكة الكبيرة صارت ولا حاجة صح؟
يبقى هذه بسيطة جدا يبقى هذه اتنين خليك برا وهذه X
أضيف للأس واحد و أقسم على الأس الجديد و أقول له
زائد كونستانسيتمام يبقى هذا يصيب ناقص أربعة وال X
عندي يبقى كم بصين لجذري الثيتا وهذا كله أس كم سالب
نص زائد constant C بدك تنزلها تحت يبقى سالب أربعة
على الجذري التربيعي لصين جذري الثيتا زائد constant
C
من أسئلة الكتاب مش من برا طيب السؤال الحدي عشرة
بدنا تكامل الجذري التربيعي لل X تكييف ناقص ثلاثة
على ال X أس إحداشر في DX
X تكيب ناقص تلاتة على ال X كله تحت الجدر التربيعي
يلا شوف ايش تقترح علينا فكر كويس على الممسح اللوح
هذا برضه من الكتاب من أسئلة الكتاب
لو ازال المقام تبقى كسور كما هي واحد ع الاكس اكس
تمانية زائد تلات او ناقص تلات ع الاكس اكس احداش
أيوة كلام كويس تصير
اكسس أربعة صاحبنا
اقترح ما يأتيجالي هذه هي تكامل للجذر التربيعي ل X
تكييب ناقص ثلاثة على X أس تمانية في X تكييب في
الـDX قلنا له مظبوط جالي ال X أس تمانية بتطلعها
برا الجذر وجوه التكاملمش برها بقول له تمام قال لي
هذه يبقى تكامل واحد على X أُص أربعة و هذا الجدرى
التربية اللي X تكيب ناقص ثلاثة على X تكيب دي X
قولنا له تمام قال لي هذه تكامل واحد على X أُص
أربعة و هذا الجدرى التربية اللي واحد ناقص ثلاثة
على X تكيب دي X مش هي قصاد؟وانا بدي ازيد عليها و
اقولك كل اللي تحت الجدر هذا شيله و حطه بمتغير جديد
حط اي متغير يجي في بالك اذا لو حطيت ال W تساوي
واحد ناقص تلاتة على X تكعيب و بدنا نجيب ال W دي W
تمام ففضل واحد ب Zeroوهذه تصبح ناقص ثلاثة مالهاش
دعوة وهذه واحد عليك استكعيب الكل تربيع في من في
اللي له مشتقة تبعته او اريحك شويةقبل ان تذهب
للتفاضل بلاش بعضكوا يذهبوا يخططوا يخططوا يخططوا
يخططوا يخططوا يخططوا يخططوا يخططوا يخططوا يخططوا
يخططوا يخططوا
يخمظبوط احنا
ايش سوينا هو اكس اه و سالب اربع صح استنى و سالب
اربع تمام يبقى واحد تسعة على اكس أس اربع تمام ناجس
عشان ما ناجس بتروح بالزاد ما هي ناقص و ناقص تمام
يبقى هذا تسعة
DW يساوي واحد على X أُص أربعة DX إذا الـ DX هذه مع
واحد على X أُص أربعة بدي أشيلها و أكتب لها تسعة DW
يبقى يا بصير هي التسعة برا وهي تكامل وجذر الـW DW
مظبوط
ايه؟ صارت كل حاجة بسيطة جدايبقى كل جدر ال W يبقى
هذا بيصير تسع و هذا W أس ثلاثة على اتنين على تلاتة
على اتنين زائد constant C يبقى هذا بيصير اتنين على
سبعة وعشرين
و ال W بده شيلها و حط قمتها اللي هو حد ناقص تلاتة
على X تعيب أس تلاتة على اتنين زائد constant C طب
لحد هنا انتهينا من هذا ال section و عليكم أرقام
المسائل يفجأة بنيجي هنا هيحطهم لك هنا exercises
خمسة خمسة exercises خمسة خمسة المسائل التالية من
واحد لتلاتة وخمسين من واحد لغاية تلاتة وخمسين القد
ومنضيف عليهم سؤال تلاتة وستين
لازلنا في ما يشبه هذا الموضوع وهو آخر section في
هذا ال chapter خمسة ستة خمسة ستة تقول لي
substitution substitution
and ال area between
curves
بناخد النقطة الأولى Substitution Indefinite
Integrals Indefinite
Integrals F G' is continuous function
إذا الـG' كانت continuous function on
the closed interval A وB and if الـF كذلك is
continuous
on the range of g على ال range of g then تكامل من
a إلى b لل f of g of x في ال g prime of x dx بده
يساوي تكامل لل g of aوهنا الـ G of B للـ F of U في
الـ DU
هذا شباب هو التكامل بالتعويض نفسه بس بدنا نغير
حدود التكامل طبقا للتعويضة الجديدة وبالتالي بدنا
ننتقل من ال indefinite ال integrals الى definite
integralsالتكاملات المحدودة فبجب ال substitution
and area between curves يبقى فيها موضوعين الموضوع
الأول هو ال substitution والثاني ال area between
curves اليوم بدي ناخد بس الموضوع الأول والثاني
للمحاضرة القادمة ان شاء الله يبقى بيجي للنقطة
الأولى substitution and infinite integrals التعويض
في التكاملات المحدودة الشغل اللي كنا بنشغله في ال
section و كله تكاملات غير محدود تعويض في تكاملات
غير محدودة بقول لو كان ال G prime ده المتصل على
الفترة A و B و ال F متصل على ال range بتابع الدالة
G then يعني انا عندي composition ما بين ال F و ال
G ال G element في domain من؟ في domain ال F
وبالتالي ال F of G of X صار Range صار Range لباليه
فعلى أي حال انسى ال domain و ال range بديك تعرف ما
ياتي لو كان عندى هك بدي اعمل تعويضة شو هذه
التعويضة بتروح احط ال U تساوي G of X يبقى DU
بتساوي G prime of X في DX مظبوط اذا هذي G prime of
X DX صارت مين؟د يو وال جي هيها يو هذه ال a و ال b
حدود لمين؟للمتغير X انت بقى اللي يصير عندك متغير X
للمتغير اللي يديه ال main U بدك تجيب الحدود
المناظرة لهذه الحدود بده تجيبها من وين بده تجيبها
من التعويضة لما تبقى X ب B بصير ال U تسوى G of B
لما تبقى ال X ب Aبتصير G of A يبقى صارت هذه G of A
و هكذا يعني قصدنا من ذلك انه لما تحط تعويضة تغير
حدود التكامل طبقا لهذه التعويضة الجديدة بنفع قبل
ان تقول هقولها لك بس مش الحين الآن عمليا عارف ايش
اللي بدك هيهالحد هنا انتهى الوزن النظر يتبع هذه
النقطة بدنا نبدأ ناخد أمثلة عليها يبقى example
احسبلي
التكاملات التالية the following integrals
أول تكامل من هذه التكاملات ال integration من سلب
واحد إلى واحد لل X تكيب في واحد زاد X أُص أربعة
زاد X أُص أربعة تكيب في DX خلّينا
نسأل السؤال التاليحد متوقع جداش تكون النتيجة هذه؟
حد بيعرف جداش؟ انا عمري مش حسبت الحقيقة لكن بجرد
النظر ايوة Zero الهين هقولك ليش Zero تمام؟تعالى
احنا بنشتغل شغل لوميان زى اللى توقعتنا بنشتغل وانا
ماعرفش انها zero ولا غير zero بقى يبطل عليهم صعب
مثلا الاكستاكيب والله عزيزي اكسوس اربعة مشتقتها
بتجيبلي الاكستاكيب
الـ T تساوي واحد زائد X أُس أربعة يبقى الـ DT بدل
ساوية أربعة X تكييب في DX يبقى الرابع DT بدل ساوية
X تكييب DX إذا هشيل الـ X تكييب مع الـ DX هذه و
اكتب بدلها جداش رابع DT إذا صارت هذه هذا رابع
ويتكامل T تكيب DT هذه الحدود سالب واحد واحد هي
حدود لل X لكن المثل صارت بدلالة T إذا بدأتي تشوف
الحدود المناظرة لما تكبر X بواحد وT بقدرشبتنان
يبقى بيصير واحد اقصى اربعة اللي هو واحد واحد
باتنين يبقى هذا بيصير اتنين لما تبقى X بسالب واحد
بيصير سالب واحد اقصى اربعة اللي هو واحد واحد اتنين
تذلك إذا تساوى حدات تكمل فالنقيم تتكمل تساوي جداش
تساوي Zero على طول القطبعد ما خلص الأمثلة في شغلة
بدي أقولها لك، هذه الدالة، دالة فردية ولا زوجية؟
الدالة الفردية يعني دالة فردية إذا كان حدود
التكتمل هما نفسهم الإتنين بس واحد سالب و واحد موجب
والدالة فردية فالنتيجة التكمل يساوي الصفر أما إذا
كانت الدالة زوجية فالنتيجة يساوي اتنينتتامل على نص
الفترة لهذه الدالة وهذا ما سنعطيه إليكم في
المحاضرة القادمة مش اليوم اليوم مش هنلعب بس خليا
في بالك هنرجع هنا يبقى النتيجة تساوي Zero على طول
الخط مثال رقم اتنينسؤال في الكتاب هذا دير بالك
تكامل من سالب واحد لغاية ال zero لل X تكييب على
الجدرى التربيعي ل X أُص أربعة زائد تسعة في DX
مشكلتنا كمان وين؟ من سالب واحد؟ اه من سالب واحد
يبقى مشكلتنا مع الكمية اللى تحت الجدر اذا لو حطيت
ال W يساوي X أُص أربعة زائد تسعة يبقى DW ساوي
أربعة X تكييب DX او ربع DW
الربع خلّيك برا وهي تكامل وهي DW وهذا جذر ال Wبقيت
حدود التكامل لما تبقى ال X ب Zero يبقى ال W بقداش
تسعة لما تبقى ال X ب سالب واحد يبقى ال W بقداش
عشرة يصير التكامل من عشرة إلى تسعة لمن لربا DW
تمام التمام شو رايك الرقم الكبير؟فوق والصغير ..
ولا العكس الكبير تحت والصغير فوق بيجيب انشقلب
وبيجيب إشارة مين سالم يبقى هذا بيصير سالم ربع وهي
تكمل من تسعة لغاية عشرة ل W أس ناقص نص DWتمام؟
يبقى هذا الكلام ناقص ربع وهذا W أس نص على نص
والحكي هذا من تسعة لغاية يداش عشرة يبقى الجواب
يسوى ناقص نص الجدرى التربية لعشرة ناقص الجدرى
التربية لمن؟لتسعة أو إن شئتم فقولوا سالب نص جذر
العشرة ناقص تلاتة قد ما يطلع يطلع خليه زي ما هو
طيب سؤال التالتبيقول يتكامل من Zero لغاية واحد
للعشرة جذر ال X على واحد زاد X أُس تلاتة على
اتنين، الكل تربيع بالنسبة إلى DX
مين مصعب المثلة؟ المقدار بين القوسين، يبقى بشيل
المقدار بين القوسين دل كامل وبحق بدله متغير جديد
إذا لو حطيت ال Y يسوى واحد زائد X أص تلاتة على
اتنين يبقى DY يسوى تلاتة على اتنين X أص نص DX يعني
صار تلتين DY بده يسوى جذر ال X في DX
طيب لو روحت ضربت في عشرة بالمرة رايح او طلعت
العشرة برا سيام تفرقش علنا لو روحت ضربت في عشرة
بصيرة عشرين على تلاتة dy بيكون عشرة جذر ال x dx
يبقى هذا بده يساوي عشرين على تلاتة برة وهي تكامن
جال عشرة جدر ال X DX كلها بده اشيلها و اكتب بدالها
عشرين على تلاتة DY هي العشرين على تلاتة برة وهي ال
DY برة، ضال هذا كله في Y ترميبقيت حدود التكامل لما
تبقى X بواحد بصير Y بقداش باتنين و لما تبقى X
بالزيرو بصير Y بقداش بواحد بالشكل اللي أعنىيبقى
هذه بدها تساوي عشرين على تلاتة وهذا تكملها بسالب
واحد على Y من الواحد لغاية اتنين يبقى هذه السالب
عشرين على تلاتة وهنا النص ناقص واحديبقى هنا ناقص
عشرين على تلاتة في ناقص نص ناقص مع ناقص زائد ويبقى
فقط عشر عالمين على تلاتة
السؤال الرابع يقول التكامل من 0 لغاية 4 لل X
الجدرى التربية إلى 16 ناقص 3 X كله في DX من 0 ل4
مصدرطبعا الكمية اللي تحت الددر هي اللي خلّى المثل
مشلقة مش طبيعية يبقى بدأ أشيل هذا و أضع بدله مثلا
w بساوية ستة عشر ناقص تلاتة x يبقى dw ناقص تلاتة
في dx أنا ماعنديش وإنما عندي بسDX لحالها يبغى بدرب
في سالب تلت لو ضربنا في سالب تلت بصير سالب تلت
سالب تلت DW بده يساوي مين DX إذا آلة المسألة إلى
تكامل أنا بده DX من هذه بقدر أقول إذاتلاتة X يسوى
ستاشر ناقص W
الـ x بدأ أشيل و أكتب بدلها تلت في ستة عشر ناقص w
وصلت للجدرد هذا حطيته كله مجدوش w ال dx بسالب تلت
dw يبقى هاي سالب تلت وهذا dwبقيت حدود التكامل لما
تبقى x بقداش اربعة اربعة في تلاتة باطناش ستاش ناقص
اتناش بيظل اربعة كما هي لم تتغير وهذه ستاش بيظل
Zeroلحظة عندك سالف وهنا مانطير من السالف مع تلت
شرف برا يبقى هذا تسعة وهذا تكامل من أربع لغاية
ستاشرواضال هدول بس مصبور يبقى هذا 16W أس نص ناقص W
أس تلاتة على الإتنين كله DWيبقى هذا التس و برة
مالوش دعوة بدنا نكامل يبقى هذا ست عشر W أس تلاتة
على اتنين على تلاتة على اتنين ناقص W أس خمسة على
اتنين على خمسة على اتنين والحكي هذامن أربعة لغاية
كم؟ ستة عشر يبقى هذا تسعة وهذا يصبح اتنين وتلاتين
على تلاتة وهنا ستة عشر أس تلاتة على اتنين ناقص
وهنا اتنين على خمسة ستة عشر أس خمسة على اتنين
يعوضنا بالقيمة اللي فوقنقص اتنين و تلاتين على
تلاتة فمين في اربعة از تلاتة على الاتنين نقص مع
نقص بالصير زائد اتنين على خمسة في اربعة از خمسة
على الاتنين بالشكل اللي عندنا ده مرة تانية شلت هذه
و حطيت ستاشر والاشارة السلب زي ما هياللي بعدها بده
أشيل هذه و أحط مكانها أربعة و بيصير هنا ناقص و هنا
ناقص ناقص و بيصير هنا زايد بالشكل اللي عندنا هذا
يبقى هذا الكلام بده يسوي هاي التسو أخليه برا هذه
يا شباب هو الجذر التربيةي لست عشر تكيينالجذر
التربيعى ل 16 ارتكب يعني 16 في 16 في 16 يعني 16 في
4 مظبوط ب 64 يبقى هذه بصير 32 في 64 على 3ناقص
اتنين على خمسة هذه الجدر التربية الى ستاشر في
الخمسة يعني ستاشر في ستاشر في أربعة يبقى هذه ستاشر
في ستاشر في هذين 256 في هذا اللي هو الجداش في
أربعة على خمسة ناقصأتنين وتلاتين على تلاتة هذا
الجدر التربيعي له أربعة تكييب يعني أربعة في أربعة
في أربعة تحت الجدر التربيعي يعني أربعة في اتنين له
بقداش تمانية
الجدر التربيعي لأربع أقص خمسة يبقى ست عشر في اتنين
يبقى اتنين و تلاتين بالشكل اللي عندنا تمام؟ يبقى
التسع اللي برا هذه المعهادلو أخدت اتنين و تلاتين
على تلاتة عام المشترك اتنين و تلاتين بيظل اربعة و
ستين بدي أشيل منهم جداش تمانية بصير جداش ستة و
خمسين يبقى ستة و خمسين خلصت من هذه و هذه نجل هذه
زائد اتنين على خمسة في اتنين و تلاتينتنين و تلاتين
هذه اللي بيظل ست عشر في اتنين هذه مضروبة في اربع
يعني ست عشر في ست عشر في اربع يبقى بتاخد اتنين و
تلاتين بيظل ست عشر في اتنين يبقى هذه بيظل اخدنا
اتنين على خمسة و ست عشر في اتنين بيظل اتنين و
تلاتينتنين و تلاتين وهذه اتنين على خمسة زائد واحد
طبعا اه استنى شوية هذه ناقص وهذه زائد لا لا استنى
شوية استنى شوية هذه أخدنا ناقص عام المشترك بظل
اتنين على خمسة وهذه في اتنين و تلاتين بظل اتنين و
تلاتينناقص واحد تمام؟ يبقى هي يقفلنا يبقى هذه
تساوي تسعة برة و هنا لو أخدنا اتنين و تلاتين عامل
مشتركمن الشجتين يبقى بصير اتنين و تلاتين عامل
مشترك في جوس بقى لدي ستة و خمسين على تلاتة يبقى
ستة و خمسين على تلاتة ناقص اتنين في واحد و تلاتين
على خمسةالشكل اللي عندنا هذا احسبه جد ما يطلع
الجواب عندك يطلع مش مشكلتنا هاي بساطنا هالك للاخر
أقل
من عشرة كل
شي أقل من عشرةطيب هذا كان المثال رقم اربع المثال
رقم خمسة تكامل من zero لغاية πاية على اتنين لصين
ال X على تلاتة زائد اتنين كوصين ال X الكل تربيع DX
خلونا ندرك هنا المشكلة وين؟ في الغصب ولا المقام
يبقى بدي أحط ال Y يسوى تلاتة زائد اتنين Cos X يبقى
Dy سالب اتنين Sin X في DX يبقى هذا الكلام بدي
أعطيك سالب نص Dy بدي أسوى Sin X في DX يبقى هذا
الكلام بدي أسوى سالب نص تكامل لمين لDY على Y تربية
ده قوة حدود التكامل
يبقى بضيع إشارة السلب و بغير حدود التكامل يبقى نص
تكامل من تلاتة إلى خمسة الى y اقص ناقص اتنين dy
يبقى هنا نص و هنا سلب واحد على y من تلاتة لغاية
كدهش خمسة يبقى هنا ناقص نص برةفي خمس ناقص طول هذا
الكلام كله بده يساوي ناقص نص كله على خمستاشر فيها
تلاتة ناقص خمسة يبقى ناقص نص في ناقص اتنين على
قداش على خمستاشر يبقى الجواب واحد على خمستاشرسؤال
للشادس بيقوللي تكامل من zero لغاية pi على ستة لكو
سايل و سالب تلاتة للي اتنين theta سايل اتنين theta
في دي theta
عشان اقص المشكلة فيها مش في الـSin لان مرفوع الأقص
سالب ثلاثة يعني سين اتنين ثيتا على كوسين تكييب
اتنين ثيتا اذا بدي اشيل كوسين واحطها باي variable
جديدلو حطيت ال T تساوي و لا بلاش T حط ال X المرة
هذه يساوي Cos 2θ يبقى DX بسالب 2Sin 2θ Dθتفارق
cosine بالسالب sin ده بتفادل الزاوية يبقى سالب نص
dx يبدو يساوي sin اتنين ثيتا في d
يبقى هذا الكلام كله بده يشيل وقته بداله سالب نص
يبقى سالب نص خلّيه برا وهي التكامل هذا حطينه بداله
X و سالب تلتة وهذا كله بده يجي بداله قداش DX بقيت
حدود التكامل بدي أحط θ ب 30 درجة 30 في 2 ب 60 جتة
60 له ب نص
الرقم الكبير تحت والصغيرفوق يبقى من شكل بحدود
التكامل وبنضيع الإشارة تبقى للخواص يبقى هذا نص
تكامل من نص لغاية واحد لل X أس ناقص ثلاثة في DX
يسوى نص مالكش داوة و X أس ناقص اتنين على ناقص
اتنين من عند النص لغاية مين لغاية الواحد
نقص ربع 1 على X تربيع من عند النص لغاية الواحد
يبقى يساوي ناقص ربع فيواحد على واحد تربية اللي هو
بواحد ناقص اللي هو مين واحد على نص تربية اللي هو
بربع يبقى ناقص ربع في واحد ناقص أربعبضل قداش ناقص
تلاتة يبقى هذا ناقص ربع فناقص تلاتة يبقى الجواب
قداش تلاتة أربعة