أحنا واصل ما بدأنا فيه المرة الماضية و هو حل اللي
هو المسائل على شبتر تمانية الاكستاناداركت برودرك
وصلنا لسؤال واحد واربعين بقول express automorphism
ل U خمسة وعشرين in the form ZM اكستاناداركت برودرك
مع ZN
بمعنى اخر بدي اجيب جروب لجروب هذه تبقى isomorphic
لمام لل U خمسة وعشرين طب احنا عندنا ال U خمسة
وعشرين solution عندنا
ال U خمسة وعشرين اللي هو U خمسة لكل تربيع الشكل
اللي عندنا هذه isomorphicأو ال atomorphism ل U
خمسة وعشرين هذه تساوي U خمسة تربيع مباشرة طبعا
اخدت عندك ان ال U مرفوعة ل prime P ومرفوعة ل أس N
U P أس N ناقص P أس N minus ال one كتبناها معاكم
المرة الماضيةفي آخر محاضرة تجدها موجودة معاك نحاول
نطبق هذا الكلام عالميا على أرض الواقع يبقى بناء
عليه يو خمسة وعشرين كتبناها بالشكل هذه بقدر اقول
هذه isomorphic لمين
Isomorphic لزد P اللي هي خمسة تربيع ناقص خمسة أس
اتنين ناقص واحد بالشكل اللي عندنا هنايبقى هذا
الكلام هذه تساوي من خمسة ترابيع ليه خمسة وعشرين
وهذه خمسة وسواحد يبقى زد عشرين شكل اللي عندنا هنا
هذا U خمسة وعشرين انا مابدي U خمسة وعشرين بدي
اتومورفزم ل U خمسة وعشرينإذا بناء عليه atomorphism
ل U خمسة وعشرين اللي هي isomorphic لمهم اللي هو
atomorphism ل Z عشرين الشكل اللي عندنا هناأخذنا
كمان نظرية سابقة اتومورفزم ل ZN ايزو مورفك ل UN
شبطر اللي قبله اخر نظرية يبقى هذا ايزو مورفك ل U20
U20 هذه اللي بقدر اكتبها اللي هي تساوي U أربعة في
خمسة والاربعة خمسة are relatively prime يبقى هذه
isomorphic لمينلأ اللي هو isomorphic او هدى تساوي
او isomorphic دُغري لمهم ل U أربعة external
product مع U خمسة مرة تانية ل U أربعة هدى U تنين
تربيعهذه اخدناها ايزو مورفك لمين لزد دي اتنين وهذه
بتطبق عليها القاعدة اللي طبقناها فوق تماما يبقى
بالداجي اقول هذا زد خمسة أس واحد ناقص خمسة أس واحد
ناقص واحدهذا الكلام يساوي زد اتنين external by
product هذه خمسة وهذه خمسة وزيرو خمسة وزيرو أبواحد
خمسة ناقص واحد اللي هي أربعة زد اربعة زد اربعة اه
زد اربعة يبقى هذه زد اربعة معناه هذا الكلام ان ال
atomorphism ليه خمسة وعشرين isomorphic لمهملزد
اتنين external product زد اربعة وبالتالي عندي
تمانية atomorphism من ال U خمسة وعشرين الى ال U
خمسة وعشرين اتسل بغض النظر عن شكلهم قال لي اكتبلي
ال atomorphism ل U خمسة وعشرين على شكل ZM في ZN
يبقى هي كتبتله بالشكل هذا باستخدام القواعد اللي
أخدناها المرة الماضية
بعدها بيقول ليه في 46 يبقى 46 بيقول ما يأتي بيقول
هاتلي isomorphism بدنا isomorphism من وين لوين في
من اللي هو ال group Z12 إلى مين
السؤال ستة اربع يقول ز أربع في ز تلاتة يبقى ز أربع
كستينو دايكا product مع ز تلاتة مع ز تلاتة بقول
عرف ليه اللي هو isomorphismمن ال group هذه لل
group هذه انا بعطيك ال function وانت عليك تثبت
انها one to one and انت وتخدم خاصيات ال
isomorphism ال function اللي بتقول عليها شبه
بالشكل التالي phi of x يبقى x وين موجودة هذه؟في
Z12 بدي أجسمها إلى مركبتين واحدة موجودة في Z4
واحدة موجودة في Z3 يبقى بقدر أقول له هذه على الشكل
التالي طبعا العدد اللي هنا في Z12 اللي هو مين اللي
هو العدد قد يكون من عند ال zero لغاية من ال 11
وهكذاإذا بدى أخلي مركبة موجودة في Z4 و مركبة
موجودة في Z3 إذا بقدر أقول هذا X modulo 4 و
المركبة التانية X modulo 3 يعني العدد اللى باخده
من Z12 أكبر من 4 ولا أكبر من 3 افترض كان 2يبقى
باجي بقول فاي اف اتنين يسوى اتنين موديوله أربعة
اللي هو باتنين و اتنين موديوله تلاتة اللي هو
باتنين لكن لو قلتله خمسة فاي خمسة بدي يكون هنا
واحد و هنا كداش و هنا اتنين و هكذا يبقى هاي
المقصودة هاي ال function قدامك بس تبتليها one to
one and on to وتخدم خاصية ال isomorphismهذا قال له
ستة واربعين تمانية واربعين بيقولوا show that five
is an isomorphism
من زد تلاتة cross زد خمسة لزد خمستاشر يبقى تمانية
واربعين ان في من من زد تلاتة external productمع
مين؟ مع z خمسة لمن؟ ل z خمستاشر بالشكل اللي عندنا
هذا z خمستاشر و بحيث انه ال five of اتنين و تلاتة
بده يسوى اتنين بقول find an element a و b في هذا
بحيث ال maps to one يبقى انا بدي اوجداللي هو
element a و b صورته main صورته الواحد او five of a
و b اللي بتعطينا main بتعطينا الواحد
سؤال مرة تانية في انا isomorphism ال isomorphism
من ال group z3 external to z5 إلى z15 وفي انا معطع
ان فيلم اتأثر على الاتنين والتلاتة النتيجة تساوي
اتنين جليهات للعنصر a وb لصورته من؟ لصورته الواحد
الصحيح حد فيكو حل هذا السؤال
أه يعني مدن امتحانات مش داعي للحل كويس طيب على أي
حال أنا مرة حلتلكوا سؤال شبيه بهذا في اللي قبل لما
أخدنا ال isomorphism حلتكوا سؤال شبيه به بس هذا
الفرق بينه وبين هذا هذا مكون من مين منorder pair
order pair والله مش order pair بتفرجش عنها شوف يا
سيدي انا بدي العنصر a و b اللي صورته تحت أثير الفا
يساوي واحد هناك كان بدي شكل ال isomorphism عبارة
عن إيش كان في السؤال اللي جابله لكن هذا لأ بدي ال
order a و b اللي صورته تساوي مين تساوي واحد صحيح
بقول كويس بحاول استخدام المعلومة هذه بقدر الإمكان
ولذلك بحاول أجيب المعطى هذا اللي هو واحد في الصورة
اللي قدامي هنا يعني بدي أجيب علقة تربط بين الواحد
واتنين اللي عندنا حتى نقدر نحسب كم هذا ال element
الان لو جيت واحد الواحد هذا موجود في أي groupفنيات
زد خمستاشر هل هذا الواحد يكافئ رقم تاني اللي هو
مين ستاشر ممتاز يعني الواحد هذا بالضبط هو عبارة عن
ستاشر modulo خمستاشر تمام الستاشر مش هي عبارة عن
تمانية في اتنين modulo خمستاشرتمام طب اتنين مديله
خمستاشر ما هو اتنين صح ولا لأ يبقى اتنين اللي عندي
هذه بقدر اشيلها و اكتر بدلها في او في اتنين و
تلاتة يبقى هذا الكلام بدي يساوي تمانية في في او في
اتنين و تلاتة كأن المثل ايشكأنه تمانية انا هدم
طلعها من جوا الجوس وطلعها مين؟ برا وزي ما كنا نقول
Alpha of خمسة يسوى خمسة في Alpha of واحد تمام هنا
نفس الفكرة بالضبط تماما كأنه تمانية كانت جوا وانا
طلعتها برا اذا بدأ دخلها جوا يبقى لو دخلتها جوا
هضربها وين في كل عنصر من هذه العناصر بس اتنين هذه
موجودة وينفي زد تلاتة والتلاتة هذه موجودة في زد
خمسة إذا عند الضرب بدك اتراعي من؟ بدك اتراعي
النتيجة إذا هذا الكلام بده يساوي بيده يساوي five
تمانية في اتنين modulo الأولى اللي هي تلاتة
والمركبة التانية تمانية في تلاتة modulo خمسةهذا
الكلام بده يسوى five تمانية في اتنين بستعش مضيله
تلاتة بيبقى واحد يبقى واحد و تلاتة في تمانية اربعة
وعشرين مضيله خمسة اللي هو اربع يبقى الواحد اللي
عندي هو صورة ال order per man واحد واربعة هذا
معناه ان ال a و ال b بده يسوى جداش واحد واربع
طيب هذا كان سؤال اللي هو تمانية واربعين بدنا نروح
لسؤال تمانية وخمسينتمانية و خمسين بيقول لي without
doing any calculations in atomorphism Z عشرين
determine how many elements of atomorphism Z عشرين
ال order لهم يساوي أربعة بدي سؤال تمانية و خمسين
the number of elements ofOrder four in atomorphism
لزاد عشرين
بقول اجيبلي اكام انصر في الاتومورفزم لزد عشرين ال
order اللي لهم يساوي اربعة بدونها بدون ما اروح
تبحث في شكل الاتومورفزم هدول بدك تعرفلي كده بدون
ما تعرفلي شكل ولا function بقوله كويسيبقى solution
يبقى معنى هذا الكلام انا بدي استخدم اي شغلة لها
علاقة بال atomorphism ل Z عشرين احنا عندنا ال
atomorphism ل Z عشرين ايزو مورفك لمين يا شباب ل ال
U عشرين ممتاز و ال U عشرين هذه اللي هي U اللي هي
عبارة عن U اربعة في خمسةوالاربعة في الخمسة are
relatively primeمدام relatively prime يبقى هذه
isomorphic لمام ل U4 external product مع U5 ال U4
هذه اللي هي isomorphic لمام ل Z2 external product
مع U5
عشان أضيع وقت فيها يبقى isomorphic لزد اربعة اذا
عندي تمانية اتومورفزم لمان لزد عشرين بدى ادور من
التمانية هدول يبقى ما ينطبق على الاتومورفزم لزد
عشرين ينطبق على الاتومورفزم لمانلزد اتنين اكس تانو
ضايق product مع مين مع زد اربعة معناه هذا الكلام
مادام هذه ايزو مورفك لهذه اذا لو لجيت جديش عدد
العناصر في ال group هذه لل order إلهم يساوي أربعة
بكون جبت عدد ال atom morphisms اللي ال order إلهم
يساوي مين أربعة يعني هذه صعب العمل فيها لكن هذه
سهل العمل فيهاومن هنا التحويلات هذه بتنقلنا من
جروب صعب التعامل معاها إلى جروب سهل التعامل معاها
أنا بدي أبحث من العناصر اللي في Z2 Extended
Product كده عددهم ال order لهم بده يساوي من؟ بده
يساوي الأربعة يبقى بداتي أقول له assume افترض انه
عندي element a و b موجود في Z2 Extended Product مع
Z4 such that بحيث انالأردر لـ A و لـ B اللي هو
لساوي ال least common multiple للأردر بتابع ال A
والأردر بتابع ال B هذا الكلام دي ساوي كده؟ دي ساوي
أربعة الأردر
المحتملة ال orders of A are مين يا شباب؟ كده؟ واحد
و كده؟واحد واثنين هذه الـ elements بتاع الـ z
اتنين Zero و واحد Zero هو ال identity ال order له
بواحد و الواحد له ال order اتنين اللي لو جمعت واحد
زي واحد يسوى اتنين فزي اتنين ب Zero اللي هو ال
identity يبقى ال orders المحتملة اللي هي واحد و
اتنين and ال orders of B areممكن واحد واتنين واربع
تمام تلاتة مافيش حاجة لإن التلاتة لا تقسم الأربع
يبقى اما ال order اي واحد او اتنين او اربع طيب
هدول الرقامين لو بدى اجيب ال least common multiple
مع هدول بشكلولي مشكلة؟لأ واحد اتنين هي واحد و
اتنين اذا هدال بدون تفكير بدي اخد الانصارين زي ما
هم لكن بدي ادور هنا الارقام اللي بتعملي ال least
common multiple مع مين مع هدول بيعطيني اربعة
السؤال هو لو كان خدت العناصر ال order اللي لهم
واحد و اتنين بيجيبولي عناصر يبقى مفيش insert يبقى
مفيش اخد الا اللي ال order له يسوى manأربعة فقط و
هدول بدي أخدهم هم اتنين زي ما هم كويس هدول شوف
هدول بيعطوني تبدل تان او بيعطوني اتنين على طول
الخط و هدول تعالى نشوف ايش بدي نعمل فيهم الآن z
four هذا كم أنصر ال order اللي بيساوي أربعة في z
four و مين كمانوالتلاتة فيش غيرهم فيش غيرهم يبقى
ال Z for has واحد and تلاتة of order أربع يعني كام
خيار عندى؟ اتنين يبقى ال A لها خيارات two choices
for A for B هذا بدي يعطينا two choices for Bطيب كم
بقى كم خيار لإيه؟ خد زي ما بدك لإن order واحد
واتنين بيفرجوش معايا مع الأربع يبقى هنا كمان two
choices for b إذن عدد العدد تبعهم يساوي يبقى هنا
the number of elements of order for
is اتنين في اتنين ويساوي اربعة elements يبقى
ماعنديش الا اربعة عناصر ال order لهم يساوي four
وبالتالي ال atom morphism لزد عشرين يوجد فيه جداش
يبقى اربعة عناصر ال order لها بده يساوي مان بده
يساوي عشرين تمام يبقى هذا اللي عندنا
لاحظ ان هذه الأسئلة كلها تطبيق مباشر على ما درسناه
في الجزء النظري في آخر محاضرة في هذا section الآن
ننتقل إلى الشبتر اللذي يليه وهو شبتر تسعة تسعة
normal subgroups
and factor
and factor groups
definition
a
subgroup H
of a group G is called
is called a normal is called a normal subgroup of
g subgroup of g f ال a h بده يساوي ال h a لكل
ال a اللي موجودة في g b لا استخدامwe denote this
by ال H is a normal subgroup of G note
ال
A H دي ساوي ال H A does not
imply that ان
ال a h بدر يساوي ال h a but means that ان ال a h
one بدر يساوي ال h two a
أول نظرية theorem a
subgroup a
subgroup H a subgroup H of G is normal is normal
in G if and only ifالـ X H X inverse subset من H
لكل ال X اللي موجودة في ال group G
نرجع مرة تانيةيبقى انا عندى جروب جديدة هسميها
normal subgroup اللى بتحققلى الشرط معين ال factor
group بدى انشئ جروب جديدة بواسطة ال subgroup اللى
عرفته دى فخلينا في الأول مع ال normal subgroup
وهتلعب دور كبير في علم الجبر وخاصة في موضوع الجروب
ال subgroup H من الجروب G بسميها normal subgroup
من Gإذا كان الـ A H هو الـ H A for all A belongs
to G يعني إذا كان ال right coset هي ال left coset
لجميع عناصر G يبقى بقول هذابقول عليها ال normal
subgroup من G طبعا احنا سابقا بقين اقول ال A H ليس
بالضرورة ان تكون subgroup لكن ان كانت normal يبقى
automatic هذا subgroup انت معمل يبقى ال H اللي هي
subgroup من G بقول عليها normal subgroupإذا كان
الـ left coset يساوي الـ right coset واختصارا بدل
ما أقول الـ H is a normal subgroup من G بدي أعبر
بالرمز المثلث قاعدته جهة G والرأس تبعه جهة من؟ جهة
H قعدي لبالك مش حيال الله تخلي القاعدة تحت و الرأس
فوقالرأس دائما جهة ال subgroup والقاعدة جهة من جهة
ال group طب في شغل ممكن يفهمها الواحد غلط من خلال
ال condition اللي حاطه هذا ايش الحاجة الغلط لو جيت
قولتك a h يساوي h a هذا كلام خطأ انا لما اقول a h
بيساوي شي يعني ال left coset بيساوي ال right coset
اذا بدى اتكلم بلغة ال elements بيقول a h one يساوي
هو الـ H2 رقم تاني و element تاني ليس نفس ال
element قد يكون نفس ال element لكن in general لأ
مش صحيح يبقى لما أقول هذه H بيسوي HA يعني AH1
بيسوي H2A رقم تاني أو element تاني غير ال element
اللي عندنا يبقى بقولش AH بيسوي HA و لما بقول AH1
يسوى 100 H2A
التعريف هذا اللي عندنا بدي أحاول أصيغه صياغة أخرى،
تمام؟ ليهاشي الصياغة الأخرى؟ بل بدل الصياغة تلاتة
أيش الصيغة الأخرى؟ أنا بإمكاني هنا لو ضربت في ال A
inverse من جهة اليمين أو A inverse من جهة الشمال
فبصير عندي A H A inverse يساوي من؟ يساوي ال H شرط
ال normality أو لو ضربت من جهة الشمال بصير ال H
يساوي A inverse H A شرطاني لل normality ممكن أقول
AH small A inverse موجودة في H كابتل لأن هذا
بيستوى H يبقى ال A H small A inverse ك element
موجود في H برضه شرط اللي اللي هو صيغة أخرى
للnormalty نظريها ده إيش بتقولي بقول افترض ال H
normal subgroup أو ال H هي normal subgroup من G if
and only ifالـ X H X inverse subset من مين؟ من H
ما هو إن كان التساوي حاصل إذن automatic هدي مين؟
هذه subset من هذه طبعا التساوي حصل من هنا قلتلك لو
ضربت في ال A inverse من اليمين أو لشمال بيطلع
التساوي أنا بدأ أختصر و لا أقول التساوي بدأ أقول
ال subset رغم أن التساوي كمان صحيح طيب مشان هيك
بنروح نثبت صحة هذا الكلاميبقى بداجي أقوله أسيوم
اللي هو ال H is a normal subgroup من G then
يبقى انا فرضت ان الـ H هذه normal subgroup من G
يبقى بناء عليه بدي أصير عندي A H يساوي H A حسب مام
حسب ال definition او مشان خلي نفس الرموز يبقى بده
اقول X H بدي يساوي الـ H X لكل ال X اللي موجودة في
G بلا استثناء
طيب تمام انا بدي اخلق في المثلة X H X inverse يبقى
بناء عليه لو ضربت الطرفين من جهتي اليمين في X
inverse ايش اللي بدي يصير؟ بدي يصير عندي ال X H X
inverse بدي ساوي ماين؟بدى يساوي ال H هذا معناه
مدام تساوي يبقى ال X H X inverse subset من مين من
ال H و ال H subset من ال X H X inverse ما علينا
يبقى هاي جيبتله مين الشرط الأول بدي أجيبله الشرط
الثاني conversely
assume افترض ان الـ X H X inverse subset من مين؟
subset من H بدي احاول اثبت ان الـ H هذه معلها is a
normal subgroup من جي طيب بجي بقوله then
أو قبل then هذه الصحيحة احنا فرضينها لكل ال X اللي
موجود أويا في ال group G بدي أسأل السؤال التالي ال
X inverse موجودة في G ولا لا؟ لإن ال G جروبه
المعكس موجود يبقى بجي بقوله thenالـ X inverse
موجودة في G implies بدي اطبق عليها الشرط هذا يبقى
لو جيت طبقت عليها الشرط هذا بصير X inverse H X
inverse inverse اللي هو subset من من؟ subset من H
او بمعنى اخر بقدر اقول هنا main ان ال X inverse H
X subset من main subset من main من H طيب
كويسيبقى هذه الخطوة الأولى لو جبت او قدرت اثبت ان
ال H هي ال subset من من ال X inverse HX بتم
المطلوب يبقى بدي اعتبر هذه الخطوة رقم واحد بدي اجي
للخطوة رقم اتنين الخطوة رقم واحدلو ضربتها في X من
جهة الشمال يبقى ايش بيصير ال X X inverse في من؟ في
ال H وهنا X بدي تبقى subset من ال X H ضربت من جهة
الشمال في X يبقى هذا ايش بدي يعطيلك؟ هذا بدي
يعطيلك ان ال H X subset من ال X Hبنفس الطريقة اضرب
من جهة اليمين في الـ X inverse يبقى لو ضربنا في ال
X inverse بصير ال H هي subset من X H X inverse و
هذه العلاقة رقم اتنين اتطلع ليه في الواحد و اتنين
يبقى باجي بقوله هنا from واحد and اتنين we haveإن
ال X H X inverse بده يساوي مين؟ بده يساوي ال H طب
أضرب للطرفين في X من جهتي اليامين يبقى X H بده
يساوي H X هالتعريف مين؟ ال normal هذا بده يعطيلك
إن ال H is a normal subgroup من مين؟ من G و أنت
هنا من المسألة
الان خدلي هالملاحظة اللي قلتلك قبل قليل وهي صورة
من صورة ال normality بيقولي the above theorem the
above theorem the above theorem can be written as
can bewritten as ممكن نكتبها على الشكل ا التالي ان
ال a او ال h is a normal subgroup من g if and only
if ال x h x inversebelongs لمن؟ belongs ل ال H لكل
ال X اللي موجود وين في جيب لا استثناء
مرة تانية الملاحظة هذه بتقول ان التعريف ال
normality استنتج من النظريةالنظرية الآن أنا بدي
أصيغها هذه مرة تانية فبجي بقول ال H normal
subgroup من G إذا كان X H يا small يعني element من
H في X inverse بقول belong to H لأنه صار عنصر
العنصر بقولش substitute انما بقول main belong to H
يعني حصل ضرب ال X اللي هو من G في ال element اللي
هو من H في معكوس ال element تبع ال G التلاتة
بديكون oneموجود في H وهي الموضوع تبعها هذي normal
إذا كان ال X H X inverse belongs to the main للـH
يبقى لو قلي من الآن فصادم اثبت ان ال H is a normal
subgroup من G يكفيني main هذا الشرطأو هذا الشرط أو
هذا الشرط يبقى اللي تقدر عليه من التلت اشتغله
وتوكل على الله طيب بدنا نبدأ ناخد بعض الأمثلة
ونبدأ بأبسط أنواع الأمثلة السؤال هو لو عندي group
abelian والجروب هذه أخدت منها ال subgroup السؤال
هو هل ال subgroup هذه بتبقى normalيعني هل يتحقق ال
condition اللي عندي هذاليش؟ لأن أبيليان انا بقول
بقدر ابدل هدول ايه مكان بعض لو بدلتهم بصير H XX
inverse لو H في E لهو بـH يبقى H موجودة وان موجودة
في H وبالتالي الشرط متحقق إذا ال group هذي ايه؟
normal group يبقى أول قاعدة باخدها انه لو كانت ال
group أبيليان يبقى any sub group is normal يبقى
أول مثال بيقول anysubgroup of an abelian group is
normal مثال
اتنين طبعا
ال condition هيه عندك اقولك هذهلو تحقق ال
condition هنا موجود الان ابيليان بقدر ابدله
وبالتالي بيبقى عندى H موجود فيه H طيب النقطة
الثانية ال center تبع ال group هل هو ال sub group
من ال group G
الـ Center تبع بجروب الـ Z of G أنا أدعي أن الـ A
normal sub group منين؟ من G
ماجي بقوله كويس اذا اتحقق اي condition من ال
conditions اللي عندي هدول بكون خلصنا امن الموضوع
تمام كيف الان خلاني نحقق اي condition هادي هادي
هادي السيانة بتفرجش عننا الان لو روحت اخد اي عنصر
عندي في ال group G و بدي اضربه في ال center طبع ال
H هنا solution
الان Z of G هو مجلد من G بدي اعمل left coset عندى
يبقى بادي بقوله لات ال X موجود في G then ال X في
ال center بتابع ال G بده يساويأظن الـ X هذي تتعامل
مع جميع عناصر Z أو عناصر Z of G تتعامل مع جميع
عناصر G إذا هذي تتعامل مع الـ Z كلها اللي عندنا
يبقى هذا بده يعطيني Z of G Z of G في X الشكل اللي
عندنا هنا كان بإمكاني أبدأ غير هيكأروح أقول له
تعالى نشوف X Z of G X inverse شو بده تعطيني و أجيب
من و أجيب ال X أبدلها بالشكل هذا بتيجي ال X يعني
كان بإمكاني بدل ما أقول هيك أقول تعالى نشوف ال
group يعني و أروح أحط هنا من X inverse أشوف وين
بده توصلني يعنيبقول لك كويس هذا الكلام ال X كميوت
مع جميع العناصر اللي موجودة في Z إذا هذه بقدر أقول
Z of G وهنا X وهذه ال X انفرس اللي عندناهذه
بتعطينا مين ال identity element ال identity
element في أي subgroup والله بتعطيني نفس ال
subgroup تمام يبقى أسار X Z of G X inverse بدي
أسوأ من Z of G أضرب من جهة اليمين في X هذا بدي
يعطيكإن ال X في Z of G في ال X inverse بده تجيلك
كمان X بده يساوي Z of G في من في ال X هذا بده
يعطيلك إن ال X في Z of Gطلعلي هذا الشي بيعطينا ال
identity في أي element من نفس ال element و الطرف
اليمين Z of G أو ال X في .. هذا بيعطيك Z of G في
من؟ في ال X هذا بدي أعطيلك ان Z of G is a normal
subgroup من G يعني .. يعني قلت الفكرة البسيطة
الأولى اللي قلناها أوي الثانية كله بيأدي إلى نفس
الموضوعوالله بيكفل اللي قلناها بس احنا مسحناها
القطب اللي كنا .. هذه الان X Z X inverse بده سوى
مين؟ بده سوى ..
خليكم معايا احنا هذي ال sub group أخدنا X في G
وقلنا تعالي شوف المقدر هذا إيش بيعطينا يعني أنا
جيت اشوف هذا شو بدي يعطينا امشي طلع مين طلع هو Z
of G اللي هي النظرية subsetالنظرية صبست وماقلناش
تساوي لإن احنا الصبس جيبنا من اليساوي لو قدرت تثبت
هذا الكلام إن هذا بيساوي هذا بيكون قد الواجب بس
أنا بدي أحاول أحطلك التعريف كلام صح مظبوط ماحدش
بيقدر يقول غلط فيه هذا بس أنا حبيت أجيب التعريف
الأساسي لكن لو قلت لحد هنا يبقى normal خلاصنا ولا
واحد اللي اعترض عليكيبقى هذا بالنسبة للمثال رقم
اتنين طب نجيب لك مثال رقم تلاتة انا بدي اجيبلك من
الشغلات اللي مرت عليك بدنا مش نبعد لسه سمعت بال
special linear group of two by two matrices over R
انا ادعي ان هذه كمان normalالان ال special linear
group of two by two matrices over R هذي normal من
ال general linear group of two by two matrices
over R ليش هذي؟ بدي اثبت شرطين الشرط الأول انها
subgroup اتنين بدي اثبت خاصية ال normality يبقى
الان solution
بتروح تقول ايه ال special linear group of two by
two matrices over R sub group من ال general linear
group of two by two matrices over R وهذه مثال
سابق هذه أثبتناها قبل ذلكطب كويس الان بروح اخد
element من G و بدي اخد element من ال special و
اشوف حصل ضرب ال element من G في ال element من ال
special في معكوس ال element تبعي انطلع والله ال
determinant ايه اللي بدي يساوي واحد بيكون حصل
الضرب هذا موجود وانفي ال special وبالتالي ال
special هه normal subgroup من main من G يبقى
بالداخل اكتب لك الحل على الشجرة التانية
أفترض أن ال A موجودة في ال general linear group of
2 by 2 matrices over R ويكون موجودة في ال special
linear group of 2 by 2 matrices over Rأريد أن أخذ
الـ A بـ A إنفرس إذا كنت أثبت إن هذه موجودة في الـ
Special يبقى هو الشرط اللي قلنا عليه الشرط التالت
هو المساحنة أه هذه موجودة تمام يبقى بدي أحاول
أثبتها فبدي أخدي determinant لمين لهذه المصوفة
يبقى حسب الجبرة الخاطية هذه determinant للـ Aفى
الـ determinant للـ B فى الـ determinant للـ A
inverse صاروا هدور الـ real numbers الـ real
numbers are commutes يبقى هذا الـ determinant للـ
A فى الـ determinant للـ A inverse فى الـ
determinant للـ B يبقى .. بدى أرجعه إلى أصله يبقى
الـ determinant للـ A فى الـ A inverse فى الـ
determinant للـ Bالمصوفة فيما عكوزها بالـ
determinant لمصوفة الوحدة في الـ determinant للـ P
محدد مصوفة الوحدة جداش؟ واحد صحيح محدد المصوفة بـ
B برضه بواحد لأنها موجودة وين؟بالـ Special يبقى
الـ
ABA inverse موجودة في الـ Special Linear Group of
2x2 matrices over R بناء عليه الـ Special Linear
Group of 2x2 matrices over R is a normal subgroup
من الـ General Linear Group of 2x2 matrices over R
يبقى هذا مثال آخر على ال .. على اللي عندنا خد مثال
أربعة مثال
أربعة the alternating
group
the alternating group اربعة
التاني جروب AN is
a normal subgroup من من ال SN ليش
هذي normal باجي بقوله because
بدي اخد element في sn و element في an طبعا انا
اخدناها سابقا انها ال subgroup مظبوط ال a for
because ال an هدى ال subgroup من ال sn and
Alpha موجودة في الـS in and Beta موجودة في الـA in
thenأخذ العنصر SN والعنصر AN ومعكس العنصر SM لو
طلع هذا الكلام even يبقى هذا حصلت ضربوين في SN
يكون خلصنا يبقى هذا الكلام هادئةقد تكون even وقد
تكون odd لنا في ال sense إن كان even يبقى معكوسة
even هذه even ماعنديش مشكلة إن كان هذه odd هذه
even هذه odd يبقى المجموع اللي هو even وبالتالي
هذه موجودة على طول الخططبعا أثبتناها قبل إيه
أخدناها سؤال وحلناه يبقى then هذه موجودة في الان
because السبب أن even زائد even زائد even بده
يساوي even and odd زائد evenزائد اد بده يعطينا
even مشان هيك هذه normal طبعا بنكمل في المحاضرة
القادمة ان شاء الله