موسيقى
بسم الله الرحمن الرحيم نعود الأن لإكمال ما ابتدناه
في المحاضرة الماضية وهو section 5-7 الذي يتحدث عن
ال undetermined coefficients اللي هي طريقة
المعاملات المجهولة لحل المعادلة التفاضليةبنحل بهذه
الطريقة إذا تحقق في المعادلة أمران الأمر الأول
كانت المعاملات كلها ثوابت للمعادلة التفاضلية الأمر
الثاني شكل ال F of X تبقى على شكل معين ما هو هذا
شكل أحد ثلاثة أمور الأمر الأول أن يكون polynomial
الأمر الثاني polynomial في exponential الأمر
الثالث polynomialفي exponential في sin x أو cos x
أو مجموعهما أو الفرق فيما بينهما وعطينا على ذلك في
المرة الماضية مثالين وهذا هو المثال رقم تلاتة يبقى
بدنا نحل المعادلة التفاضلية اللي عندنا هذه ذكرنا
في المرة الماضية بنجزئها إلى جزئين بناخد ال
homogeneous ومن ثم ال non homogeneous differential
equationيبقى بداجي اقوله افترض ان Y تساوي E أُس RX
بيه solution of the homogeneous differential
equation اللي هي المعادلة التالية Y W Prime زائد Y
يساوي Zero then the characteristic equation
الحل المتجانس يبقى
The Homogeneous Differential Equation is يُساوي
ياساوي ياساوي
يساوي يساوي يساوي يساوي يساوي يساوي يساوي يساوي
يساوي يساوي
يسبدي أروح أدور على particular solution لحل
المعادلة اللي هي non homogeneous فباجي بقوله the
particular solution
of theDifferential equation start و بروح اللي فوق
الأساسية هذي بسميها star S مديله الرمز YP و بدي
بقول كتالي X to the power S Vبأجي على شكل اللي هو
الدالة اللي عندنا هذه رقم في sign يعني polynomial
من الدرجة الصفرية مضروبة في sign إذا بدي أكتب
polynomial من الدرجة الصفرية في sign زائد
polynomial في cosine يبقى بقدر أقول هذه عبارة عن a
في cosine ال x زائد b في sine ال x بالشكل اللي
عندنا هذاعندما أبحث عن قيمة S هل هي 0 او 1 او 2 او
3 او 3 او 3 او 3 او 3 او 3 او 3 او 3 او 3 او 3 او
3 او 3 او 3 او 3 او 3 او 3 او 3 او
بواحد وشوف لو حطيتها بواحد بيظل فيه تشبه ولا بيكون
انتهى هذا التشبه إذا لو حطيت S بواحد بيصير AX Cos
وهنا BX Sin هل في أي term هنا يشبه أي term هنا
طبعا لأ يبقى هنا hereهنا ال S تساوي واحد لما حط ال
S تساوي واحد بيكون أزلنا الشبه اللي موجود تماما ما
بين ال complementary solution و ال particular
solution يبقى بناء عليه هيصبح YP على الشكل التالي
AX في cosine X زائد BX في sine Xالان بدنا نحدد
قيمتين ثوابت ال A و ال B لذلك بدي اشتق مرة و اتنين
و اعوض في المعادلة الأصلية يبقى بدي اخد Y P Prime
هذه المشتقة حصل ضرب دالتين يبقى a في cos x ناقص ax
في sin x زائد كمان هذه حصل ضرب دالتين يبقى b في
sin x زائد bx في cos xيبقى اشتقنا كله من X و Cos X
و X و Sin X كحاصل ضرب دلتيم هذا حصلنا على Y' طبعا
مافيش و لا term زي التاني يبقى بيخلي كل شي زي ما
هو بدنا نروح نجيب YPW' يبقى بدنا اشتق هذه بالسالب
A Sin X وهذه السالب A Sin Xبعد ذلك اتسالب ax في
cos x اشتقت هذه حصل ضرب دلتين بنانيج اللي بعدها
يبقى زائد b في cos x خلصنا منها بدأت اشتق هذه حصل
ضرب دلتين يبقى زائد b في cos x ناقص bx في sin x
يبقى اشتقناه حصل ضرب دلتين هنا في بعض العناصر
متشابهة هي عند هنا سالب اتنين a في sine ال X وعندي
كمان زائد اتنين b في cosine ال X هدول اتنين مع بعض
و هدول اتنين مع بعض باقي عندي ناقص ax في cosine ال
X وناقص bx في sine ال Xبعد ذلك اخذ المعلومات اللى
حصلت عليها و اعوض في المعادلة star يبقى هنا
substitute in
the differential equation star we get بنحصل على ما
يأتي
يجب ان ازالة وي دابلي برايم واحط قيمتها وي دابلي
برايم هي حصلنا عليها يبقى ناقص اتنين اف صين
الزاوية ثتا صين الزاوية Xتمام؟ اللي بعدها زائد
اتنين B في cosine ال X اللي بعدها ناقص ال AX في
cosine ال X ناقص ال BX في sine ال X هذا كله اللي
أخدته مين؟ YW prime ضايق لنا مين؟ Y وين Y هايها؟
بده أجمعهم هدول يبقى زائدهه اللي هو مين ax في cos
x و بعد هي كده زائد bx في sin x كله بيسوي الطرف
اللي يتبع المعادلة اللي هو 4 في sin xبنجي نجمع عنا
ax cos بالسالب و ax cos بالموجب عنا bx sin بالسالب
و bx بيمين بالموجب يبقى صفة المعادلة على الشكل
التالي ناقص اتنين a sin x زائدي اتنين b cos x كله
بده يسوي اربع sin xبعد ذلك نقرر المعاملات في
الطرفين إذا لو قررنا المعاملات في الطرفين بسنا نقص
اتنين a بدي ساوي قداش اربعة وعندك اتنين b بدي عندي
cosine هنا ماعناش يبقى بيه zero هذا معناه ان ال a
تساوي سالب اتنين و ال b تساوي zeroيبقى أصبح شكل ال
YP على الشكل التالي يبقى
أصبح هذا شكل ال YP
Y يساوي YC زائد YPيبقى بناء عليه يصبح y يسوي yc هي
الموجود عندى يبقى c1 cos x زائد c2 في sin x وزائد
yp ناقص 2x في cos x يبقى هذا الحل النهائي تبع من؟
تبع المعادلة لاحظى ولا term من التلات termات زى
التانى مافيش تشابهبين أي term والterm الثاني
المثال رقم أربع يبقى example أربع
بقول
دي term a suitable
form شكل
مناسبFor the
particular solution
of the
Differential equation للمعادلة التفاضلية YW' ناقص
4Y' زائد 4Y يساوي 2X تربيع زائد 4X E أس 2Xزائد اكس
في صين اتنين اكس وهذه بدي اسميها المعادلة هي من
الstar وبين جسين don't
don't evaluate the
constants
قالب الكوينة تانينقرأ السؤال مرة تانية ونشوف شو
المطلوب بيقوللي حدد حل في شكل مناسب لل particular
solution y, z تبع ال differential equation هذا
يبقى الناس بتحدد شكل ال particular solution
ويقوللي ما تحسبش الثوابت اضايع شواجدك وانت بتجيب
المشتقة الأولى والتانية واتعوض في المعادلة واتجيب
ليه جديش قيمة a وb او a وb وc وما إلا بتديش قيمة
ثوابت بس هتلي شكل mainالـ Particular solution ليس
لازم يكون قيمته ثامته بقوله كويس يبقى يحتاج
للمعادلة يحتاج أن يأخذ الـHomogeneous differential
equation يبقى يبدأ كما بدأت في المثال اللي قبله
let Y تساوي E أُس RX بإيه؟
يبقى باجي بقوله the characteristicEquation is R
تربيع ناقص اربعة R زائد اربعة يساوي Zero او ان
شئتم فقولوا R ناقص اتنين لكل تربيع تساوي Zero او
ال R تساوي اتنين والحل هذا مكبر كم مرة؟يبقى مرتين
يبقى of multiplicity two
2 يعني الحل مكرر مرتين بناء عليه بروح بقوله هنا
يبقى solution yc بده يساوي الحل real و مكرر مرتين
يبقى c1 زائد c2x e اص r
بنبروز هذا الحل و بنسيبه و بنروح نرجعله بعد قليل
الان بدنا نيجي لل non homogeneous differential
equation اللي ال star اللي عندنا بدنا نتطلع على
شكل ال F of X اللي هو الشكل اللي عندنا هذا هل هي
polynomial فقط؟أو polynomial في exponential أو
polynomial في sin أو cos المجموعة الحمد لله جايبة
التلت حالات كلهم بسؤال انواعي هي polynomial من
الدرجة الثانية polynomial من الدرجة الأولى في
exponential polynomial من الدرجة الأولى في sin إذا
إيش هعمل في المعادلة اللي عندي؟هجزقها إلى ثلاث
معادلات تمام؟ و أحل كل واحدة فيهم و أجيب ال
particular solution تبعها و أجمع الحلول التلاتة
بيعطيني ال particular solution لمين؟ للمعادلانة
طبقا لالنظرية اللي أعطانيها لكم في أول section في
ال non homogeneous differential equation قولنالكوا
هذا بيلزمنا لمين؟ لل sections القادمة تمام؟ يبقى
بداجي أقوله هناdifferential equation star is
written as يمكننا أن نكتبها على الشكل التالي الـ y
double prime ناقص أربعة y prime زائد أربعة y يسوى
كم؟ يسوى اتنين x تربيع المعادلة الثانية اللي هي
مين؟YW'-4Y'زائد 4Y يساوي 4XE2X
المعادلة التالتة YW'-4Y'زائد 4Y يساوي XSIN2X يساوي
X في SIN2X بالشكل اللي عندنا هذا
طيب، الآن يعني كأنه صار عندي مش مسألة واحدة، ثلاث
مسائل، بدي أحل كل واحد أجيب ال particle solution
كأنه لا علاقة لها بمين بالاخرى، يبقى هنا بدي أجيب
ال YP1 يبقى YP1 يساوي X to the power S فيه، هذه
polynomial من الدرجة
هل اي term من هنا يشبه
اي term فوق؟
مضروفة يعني هذا C1 E2 X و C2 X E2 فيه؟ ماعنديش
exponential هناك بمافيش يبجى هنا S بقدر ايه؟ ب
Zero يبجى here ال S تساوي Zero يبجى أصبح Y P1 بده
يساوي A0 X تربيع زائد A1 X زائد A2 سيبونا من هذا
ننتقل على اللي بعدهايبقى بدي أكتب يبقى
بدي أكتب polynomial من الدرجة الأولى في الـ
exponential يبقى بدي أكتب polynomial من الدرجة
الأولى في الـ exponential يبقى بدي أكتب polynomial
من الدرجة الأولى في الـ exponential يبقى بدي أكتب
polynomial من الدرجة الأولى في الـ exponential
exponential يبقى بدي أكتب polynomial من الدرجة
الأولى في الـ exponential يبقى بدي أكتب polynomial
من الدرجة الأولى في الـ exponential يبقى بدي أكتب
polynomial من الدرجة الأولى في الـ exponential
يبقى بدي أكتب polynomial من الدرجة الأولى في الـ
exponential يبقى بدي أكتب polynomial من الدرجة الأ
هو يجب أن أغطي X to the power S وهو يجب أن أغطي X
to the power S وهو يجب أن أغطي X to the power S
وهو يجب أن أغطي X to the power S وهو يجب أن أغطي X
to the power S وهو يجب أن أغطي X to the power S
وهو يجب أن أغطي X to the power S وهو يجب أن أغطي X
to the power S وهو يجب أن أغطي X to the powerطب
بده احط S بقداش؟ بواحد لو حطيت S بواحد بصير B0 X
تربية في ال exponential فيه فوق زيها طيب نشوف هذه
B1 X في ال exponentialفي زيها يبقى S تساوي واحد مش
صحيحة يبقى احط S بقدرش إذا لو حطيت ال S باتنين
بيضل في اندي تشابه يبقى اتقالله يبقى بقوله here
هنا ال S تساوي اتنين يبقى اصبح Y P2 بدل ساوي P0 X
تكيب زي P1 X تربيع كله في ال E أس اتنين Xيعني شيلت
ال S و حطيت مكان اتنين صارت X تربيع ضربت هوين في
اللي جوا فصارت على الشكل اللي عندنا بداخل المعادلة
التالتةالـ YP3 بدي أكتب
polynomial من الدرجة الأولى في الـ cosine زي
polynomial من الدرجة الأولى في الـ sine
يبقى بدأ واخدنا هنا في سيهات والسيهات لأ كمان بدي
اقول دي ا بدي اقول X to the power S في الأول X to
the power S فيه الآن بدي اقول دي نادة
كل هذا الكلام مضروب في cosine 2x زائد e node x
زائد e1 كله مضروب في sin 2x و exponential ماعنديش
هل اي term من المستطيل اللي فوق هذا يشبه أي term
من المستطيل اللي فوق هذا؟ لأ ولا فيه sign ولا كو
ساين
الـ S بدها تساوي 0 يبقى أصبح YP3 بدها تساوي D node
X زائد D1 في Cos 2X زائد E node X زائد E1 في Sin
2Xيبقى الـ Particular solution اللي بدنا يا بنات
يبقى يساوي YP1 زائد YP2 زائد YP3 يبقى أصبح YP
يساوي YP1 هاي و بنزله زي ما هو A0 X تربيع A1X زائد
A2 زائد
YP2YP3YP4YP5YP6YP7
يبقى هذا كله يعتبر من ال particular solution اللي
مطلوب عنها حد فيكوا لايه تساؤل هنا في هذا السؤال؟
في اي تساؤل؟طيب على هيك انتهى هذا ال section وإلى
يكون أرقام المسائل يبقى exercises خمسة سبعة
المسائل التالية من واحد لغاية عشرين ومن خمسة
وعشرين لغاية تلاتين مرني
أديكي قد ما تقدري بتصير هذا الموضوع بصير جدا
اللي فوق هذا انتهينا منه اظن خلاص؟
طيبلما ننتقل إلى ال section الأخير من هذا ال
chapter وهي الطريقة الثانية من طرق حل ال non
homogeneous differential equation وهي طريقة ال
variation of parameters تغيير الوسيطات يبقى 85 أو
58 اللي هو variation of
Parameters نستخدم
هذه الطريقة نستخدم هذه الطريقة to find a
particular solution to find a particular
YP الرمز للإيقاع
Differential equation للمعادلة التفاضلية a0 as a
function of x زائد ال a1 as a function of x لل
derivative n minus l1زائد نبقى ماشي لغاية a n
minus one as a function of x y prime زائد a n as a
function of x في ال y بده يساوي capital F of x
وهذه اللي كنا بنطلق عليها المعادلة الأصلية اللي هي
starwhere حيث ال a node of x و ال a one of x و
لغاية ال a n of x هدول كلهم need not need not
constants need
not constants and no restrictionماعنديش قيود
ماعنديش
قيود عليها
YC يبدو يساوي C1Y1 زائد C2Y2 زائد CNYN Assume that
is a solution of the homo
زايد زايد a n minus 1 as a function of x في ال y
prime زايد a n of x y بده يساوي كده؟ بده يساوي 0
to get a
particular solution
to get a particular solution yp of the
differential equation star by the method
of variation of
parameters replace
استبدل replace the above constantsabove constants
in
the solution yc
by the functions
The functions C1 of X C2 of X و لغاية CN of X That
is
YP يصبح على الشكل التالي C1 of XY1 C2 of XY2 زائد
CN of XYN
الـ CM as a function of X يسوي تكامل الورنسكين M
as a function of X في capital F1 of X على
الورنسكين of X كله بالنسبة إلى DX والـ M
و لغاية ال N و
لغاية
ال N و لغاية ال N و لغاية ال N و لغاية ال N
is the determinant المحدد
obtained from
الوانسكين
of X by replacing
By replacing the M column By the column By
the column Zero Zero ونظل ماشيين لغاية الواحد and
الـ F1 of X تساوي الـ F of X مقسومة على A0 of X
Note
When
we use the method when weuse the method of
variation
of parameters عندما
نستخدم هذه الطريقة variation of parameters the
coefficient
يجب ان يكون يومي يومي
يومي يومي يومي يومي يومي يومي يومي
is of the second order
that
is
الـ a0 of x yw prime a1 of x y prime a2 of x y
بدها تساوي f
of x and f y1 and y2 are two solutionsare two
solutions of
the homogeneous equation a0 of x yw prime a1 of x
y prime a2 of x y بدو يساوي zero then
الـ C1 of X هو تكامل لناقص Y2 as a function of X
في الـ F1 of X على رونسكين X DX
الـ C2 as a function of X بده يساوي تكامل لمين؟
بده يساوي تكامل للـ Y1 as a function of X في الـ
F1 of X كله على الـ run skin of X في الـ DX
example
1
Find the general solution of
the differential equation للمعادلة
التفاضلية YW'-2Y
للمعاملة التحوي عضلية y
triple prime زائد y prime بدي يساوي سكل x بيساوي
سكل x وناقص y على 2 أقل من x أقل من y على 2
الطريقة الثانية من حل المعادلة التفاضلية غير
المتجانسة هذه الطريقة سمنها ال variation of
parameters يبقى أول طريقة طريقة ال undetermined
coefficients والطريقة الثانية التي هي طريقة ال
variation of parameters تغيير الوسيطات تتلخص هذه
الطريقة فيما يأتيطبعا الـ Undetermined
coefficients قلنا مشان نشتغل بها بدّي شرطين ان
المعاملة تثوابت و ال F of X تبقى على شكل معين حسب
الجدول اللي اعطاناكوا يعنى، مظبوط؟ هنا ال
variation بيقولي لأ المعاملة تثوابت و الله متغيرة
ماعنديش مشكلة ال F of X اللي في الطرف اليمين هذه
ال F of X كانت على شكل معين و الله غير عليها شكل
معين ماعنديش مشكلةيعني أيش ما يكون شكل ال F يكون و
أيش ما يكون المعاملة ثوة بطولة متغيرات ماعنديش
مشكلة يبقى هذا الشكل العامل المعادل أسطار حيث هدول
الدول نية not كنصة ليس بالضرورة يكونوا كنصة يعني
ممكن يكونوا كنصة و ممكن يكونوا متغيرات ماعنديش
مشكلة في هذه العالم and
and no restrictions
ماعنديش قيود على شكل ال F of X في ال Undetermined
قلت يابولونوميل يابولونوميل في الاكسبونينش
يابولونوميل في اكسبونينش في الاكسبونينش في
الاكسبونينش في الاكسبونينش في الاكسبونينش في
الاكسبونينش في الاكسهذا الشغل الوحيد اللي هو الحل
الـComplementary Solution بدي أدور على الـ
Particular Solution تبع المعادلة مين؟ تبع المعادلة
Star فبجي بقول بدي أفترض الحل بطريقة ال version of
parameters هو نفس الحل هذا بس بدي أشيله ثوابت و
أضع بدلهم دوال في X يبقى Star شكل ال Particular
Solution هو C1 of X Y1 زائد C2 of X Y2 زائد زائد
CN وA of X YNطيب مين هي الـC هات كيف بدى أحسبها
هذه؟ بعد شوية حسابات لجينا في قاعدة بواسطتها بجيب
كل دالة من هذه الدولة مين هي؟ قاعدة CM of XM طبعا
بواحد واثنين لغاية ال N يعني بC واحد وC اتنين وC
تلاتة كده الاخرينيساوي الـ Ronschen M F1 of X على
Ronschen of X DX نجي على الـ Ronschen of X الـ
Ronschen هذا التابع الحلول اللي في الحالة الأولى
Y1 و Y2 و YN بجيب اللي هم الـ Ronschen بيكون هذا
هو الـ Ronschen تبع حصوف على شجرةبدي رونسكين 1 و
رونسكين 2 و رونسكين 3 لغاية رونسكين N مين هو هذا؟
هذا ال رونسكين 1 باجي على ال رونسكين ن دي بشيل
العمود الأول و بحط بداله العمود هذا و بحسب قداش
قيمة ال رونسكين طب بدي رونسكين 2بسيب الرونسكين هذا
زي ما هو و بجي على العمود الثاني بشيله كله و بحط
بداله العمود هذا و هكذا الرونسكين ثلاثة رونسكين
لغاية بكملهم كلهم يبقى في هذه الحالة جبتها طب مين
هي ال F1 هذه؟ اه ال F1 هذه لما تيجي المعادلة بد
المعادلة هنا المعامل تبعي يكون جديشهذا يعني أنني
أجسم الطرفين على مين على a node of x يبقى ال F1 هي
عبارة عن Fx مقسومة على ال a node of x يبقى ال F1
of x هي ال F of x مقسومة على مين على ال a node of
x أصلا واضح كلام هذا طيب الآن في ملاحظة بدنا نشير
إليها الملاحظة كانت تاليةقلتها بس بدنا نعيدها هيا
عندما نستخدم ال variation of parameters لازم يكون
المعامل تبع Y ان هو مين و انسيت و حطيت ال F of X
هذه بدل هذه بصيك كلامك غلط بصيك تحققش و ماتقدرش
تتكاملي تمام يبقى تتأكدي عندما بدك تستخدم التكامل
بتخلي المعامل تبع Y to the derivative ان هو واحد
صحيح تمام هي قطبة الأولى بعدين فينا ملاحظة تانية
بيقول ال equation star هذه لو كانت من الرتبة
الثانية يبقى بدل الرونسكين 1 و نص كنتوا محسبة و
خالصة و جاهزة ايشي بيقول ال C 1 of X بتحط للحل
التاني بإشارة سالب في ال F 1 of X على الرونسكين of
X طيب و ال C2؟ و ال C2 هي الحل الأول في ال 1 of X
على مين؟ على ال W of Xيبقى كمان لابد تحسب
الهيرونيسكو لأ هذا إن كانت من الرتبة الثانية، من
الرتبة التالتة، بدي أرجع عالميا للكلام الأول، واضح
كلام هيك؟ الأمن اللي حطوه على أرض واقعة جالي يحل
المعادلة هذهبقوله تمام يبقى انا بدي ابدا بحل ال
homogenous differential equation كما كنا من قبل
يبقى باجي بقوله هنا let Y تساوي E أُس RX بيه
solution
يبقى هنا the characteristic equation is R تكعيب
زائد R يساوي 0يبقى R في R تربيع زائد واحد بده
يساوي Zero يبقى R تساوي Zero وR تساوي زائد او ناقص
I يبقى بناء عليه بقوله ال complementary solution
YC بده يساوي C واحد في ال E او Zeroزائد C2 Cos X
زائد C3 Sin X لأنه زادة ونقص I ال A بالزيرو والB
بالمين بواحد يبقى هذا الشكل المعادلة
الأصلية بناتها دي سميها ال starالان انا بدي اكتب
شكل ال particular solution للمعادلة star و لاحظي
ان المعامل تبع المشتقة الأولى هو واحد صحيح المرة
هذه يعني لا في لف ولا دور عن الشغل مباشر في هذا
السؤال يبقى باجي بقوله the particular solution
of
يبقى C1 of X زائد C2 of X في Cos X زائد C3 of X في
Sin Xبعد هيك بتروح اجيب الرونسكين يبقى هذا
الرونسكين as a function of x لمين الرونسكين للحلول
التلاتة الحل الأول قداش هنا بنات واحد والحل التاني
cosine ال X والحل التالت sin X يبقى هي ثلاثة حلول
يبقى هي واحد والتاني cosine ال X والتالت sin Xيبقى
المشتقة Zero المشتقة سالب Sine X المشتقة Cos X
كمان مرة Zero ناقص Cos X ناقص Sine X بدي افكه
باستخدام عناصر العمود الأوليبقى واحد فيه قشط بصفه
عموده يبقى sin تربيع ال X زائد cosine تربيع ال X
اللي هو قداشر الواحد بدي أجيب الرونس كين وان as a
function of X بدي أشيل العمود هذا و أستبدله
بالعمود 001والاتنين هدول زي ما هم cos x sin x-sin
x cos x-cos x-sin x ويساويبيدفكه برضه باستخدام
العمود الأول يبقى zero ناقص zero زائد واحد في أشط
بصفه عموده cosine تربيه زائد sine تربيه cosine
تربيه ال X زائد sine تربيه ال X كله بقداش بواحد
يبقى بناء عليه بدي اجيب الرونسكن اتنين as a
function of x يبقى العمودي اللي اللي هو بدي ارجع
كما كان يا بنات اي واحد zero zero العمودي التاني
هو اللي بدي استبدله ب zero zero واحد والعمودي
التالت كما كان sine ال X cosine ال X ناقص sine ال
Xيبقى بناء عليه هذا الكلام يساوي بدا فكه باستخدام
عناصر العمود الأول يبقى وشط بصفه وعموده zero ناقص
cosine ال X يبقى ناقص cosine ال X خلينا نجيب
الرونسكني 3 as a function of X يساوي 1 0 0 العمود
التاني كما هو cosine ال X ناقص sine ال Xوهنا ناقص
cosine ال X وهنا 001 بالشكل اللي اقنعناه بدا افكه
باستخدام عناصر العمود الأول بجوشط بصف و عموده ناقص
sin Xخلّصنا منه، سأحصل على الـ C1 as a function of
X التكامل من أين؟ التكامل للـ Ronskin 1 of X في
الـ F of X لا يوجد فيها تغيير كما هي على الـ
Ronskin of X كله بالنسبة إلى DX يسوى تكامل Ronskin
1 طلعناه بقدرش بواحديبقى هذا واحد فيه ال F of X
اللي يبقى دهشة بنات سك ال X ازاين على سك ال X على
الرونسكين of X الأول برضه واحد كله DX يبقى تكامل
السك لين absolute value لسك ال X زائد تاني ال X
بدنا نجيب C2 as a function of Xيبقى تكامل رنسكين 2
of x فى f of x على رنسكين of x dx يسوى تكامل
رنسكين 2 هو بناقص cos x
يبقى تكامل لناقص DX يبقى بناقص X و لا تكتبي
Constants لأن كل صلاة و كتاب يعملوا ليه تكرار يبقى
سيبين من التكرار يبقى بكتبها فقط زي هيك بدأ ياخد
C3
يبقى بيدي C3A of X يبقى يساوي تكامل رونسكين 3 of X
في F of X على رونسكين of X DX Y يساوي الرونسكين 3
له سالب صين Xوالدالة سك ال X والرمز كان واحد DX
يبقى يساوي تكامل سالف sin X السك مقلب ال cos X DX
اظن البسطة فاضل المقام يبقى الجواب لين absolute
value ل cos X يبقى جبت السيهاتي تلاتة يبقى سار YP
يساوي وين YP يا بناتهيهبدي اشيل الـ C1 الـ C1
جيبناها اللي هي قداش اللي هي ال N absolute value
لسك ال X زائد تاني ال X زائد C2 وين C2 هيو زائد
اللي هي ناقص X في مين؟ في cosine ال X
يبقى y يسوى yc هي
تحت يبقى c واحدزائد C2 Cos X زائد C3 Sin X زائد YP
هاي و بدى نزله زي ما هو بس ليه خاطر ارتبه يبقى هاي
Sin X في Lin absolute value ل Cos X ناقص X في Cos
X زائد Lin absolute value لسك Xزائد تان ال X وكان
الله بالسر علينا يبقى هذا حل السؤال اللي عندنا
تمام و هكذا يعني الشغل بهذه الطريقة طبعا لو جيبناك
سؤال في الامتحان لن يزيد عن الرتبة التالتة ان
دخلنا في الرتبة الرابعةبدك محدد من الدرجة الرابعة
بياخد وقت كتير و انت تحل فيه يبقى فقط من الدرجة
الثالثة او الدرجة الثانية ان شاء الله لازلنا في
نفس ال section و لما ننتهي بعد في عندى بعض الأمثلة
على نفس الموضوع بالاضافة الى اخر طريقة اللى هي
طريقة reduction of order لاختزال الرتبة للمحاضرة
اليوم بعد الظهر ان شاء الله و تعالى