اليوم سنبدأ في صميم الموضوع وهو ال inverse
function
قبل ان ندخل في الانفراد الانفراد الانفراد الانفراد
الانفراد الانفراد الانفراد الانفراد
الانفراد الانفراد الانفراد الانفراد الانفراد
اليبقى definition a function f is
a rule that
assumes to
each
element x
m a set a a unique element عنصرا وحيدا a unique
element f of x m a set
نعود للكلام اللي كنا نكتبه ونبدأ بملاحظاتنا عليه
نفس التعريف تبع كالغلصين ما غيرناهوش يبقى جدالة F
هي صيرة او قاعدة مالها؟ شو بتعمل؟ ذات essence تعين
او تحدد او تخفف لكلموجود في الـ set A تخصص له
عنصرا واحدا unique element عنصرا واحدا f of x في
ال set B يعني لو كان عندي على سبيل المثال هذه هي
ال set A وكان عندي هنا هذه هي ال set B يبقى الدالة
بخصص للعنصر X اللي موجود في الست A عنصر وحيد في
الست B اسمه F of X الشكل اللي عندنا طيب نرجع نقرأ
النص تاني و نسقط هذا النص على الرسم اللي احنا
جاينه و نشوف كدهبقول الدالة F هي عبارة عن صيغة أو
قاعدة ذات أسلوب تحدد لكل عنصر X في الست Aيبقى الست
ليس بالضرورة أن يكون فيها عنصر واحدة إنما فيها
مجموعة من العناصر يبدأ لو جيت افترض ان هذا X واحد
وعندي هنا X اتنين وعندي عنصر تالت هنا X تلاتة طبعا
ال X واحد هذا كان في صورته هي F of X واحد لان
صورته f of x واحد والx اتنين كانت صورته هنا f of x
اتنين لكن ليزال هذه فيها عناصر اخرى زي العناصر
اللي عندنا قدر كويس؟نجي نقرا هنا to each element
in a set A هل الدالة F ستوطي أو ستمر على كل عنصر
من عناصر A ولا لأ؟ ولا هتمر على البعد والبعد
الآخر؟ لأع الجميع بلا استثناء لنقل to each element
لكل عنصر في ال set A طيب مدينة بدها تغطي جميع
العناصر هدول بلا استثناء إذا ال set A بسميها مجال
الدالة ال domain تبع ال function F يبقى هذه ال set
A هي عبارة عن domain الدالة F طيب
سؤال هو هل يمكن لأنصر واحد من الست A يطلع له
فارقين او قيمتين في الست B؟ما جالش تعرف ايه؟ جاليه
unique element، أنصر الوحيدة، يعني اذا كان أنصر
الوحيد من الست ايه، بلاجيله أنصر وحيد وين؟ في الست
بي فقط لغاية، السؤال هو هل يمكن أنصراني من الست
ايه أن يشترك في نفس الصورة من الست بي؟هذا يعني
اننا ماعندناش مشكلة في الشمالة يبقى مدام في
الشمالة يبقى خلاص مافي مشكلة ليش؟ لأنه منصش
وبالتالي لما نقوم في روم زي X واحد و X تلاتة
يبقى f of x واحد وf of x ثلاثة يبقى f of x واحد وf
of x ثلاثة اعلى ايكل اتنين نفس الشيء يبقى مافي
مشكلة في هذه الحالة لأن مافيش نص ينغي هذا الكلام
اذا ممنوع أنصر واحد كله صورتين لامنع ان يشتري
كأنصران في نفس الصورة مافيش مشكلة عندنا في هذه
الحالة تمام تمام طيبهل يمكن للدالة if صورها اتغطي
جميع عناصر بيه؟ لأ لأن هاي لثانثة و هاي اتنين و
هاي تلاتة ماضعروش كصور لعناصر من الانإذاً ال B هنا
بسميه ال code domain المجال المصاحب المجال المناظر
المجال المقابل اللي بدك اللي هيبقى B هنا بسميه ال
code domain of Fهنا اظهر لي العواصرين اللي اتنين
هدول اللي هم الصورة الصورانش بيسميهم ال range تبع
ال F اي ال image تبع ال F الصورة تبع اتنين ال F
يبقى هذه اللي هي العواصرين اللي اتنين هدول بسميهم
ال range
يبقى هي صورة the life، ممتاز جدا، إذا في أننا
بنان، في أننا كودمان، في أننا range، السؤال هو هل
يمكن لل range أن يكون أكبر من الكودمان؟ مش ممكنية
البركة بصير جد مين؟ جد الكود مين؟ و in general هو
أقل منه، صحيحة أو لا؟ تمام، على أي حال هذه المقدمة
البسيطة اللي هو ال function يبقى، بدك تعرفلي إنه
ممكن لأوصارين إنهم يشتركوا في نفس الصورة، ماعناش
مشكلة، لكن لايمكن لأوصر واحد يذهب لمين، يذهب
لصوتين، فالتعريف
حالة خاصة او لما اقول حالة خاصة انا قصدها بعينها
لهدف احنا بدنا ياسا نعرفه خلال هذه المحاضرة ان شاء
الله بداخل حالة خاصة من ال function هي ال function
اللي بنسميها one to one تعالي يا ابني انت موجود
فهو واضح هنا تعالي واضح هنا في حاجة عنه كرسي فاضي
تاني؟ تعالي واضح تاني
يبقى الأن بدأ نجي لحالة خاصة من ال function اللى
بدى سميها ال one to one function ده لو أخد لواحد
نكتب التعريف نحاول نستوعبه تماما و بعدين نشوف ليش
أخدنا هذه الحالة الخاصة دون غيرها يبقى definition
a function f
بنسميها one through one if no two different
إذا لم يكن هناك اشياء مختلفة او
او
او او او او او او او او او او او او او او او او او
او او او او او او او او او او او او او او او
او او او او او او او او او او او او او او او او او
او
او ا
بنعبر على هذا الكلام بصيغة رياضية
والـ x1 و الـ x2 موجودات في الـ set D equivalently
التعريف
المكافئ لهذا التعريف F او دلة F من ال set D إلى ال
set Ris one to one if ال f of x واحد بدها تساوي ال
f of x اتنين then ال x واحد بدها تساوي ال x اتنين
و ال x واحد و ال x اتنين موجودات في ال set D برضه
هذا له معنى هندسي graphically
من الناحية الهندسية هذا شو معناه a function if is
one to one if and only if no
horizontal line no horizontal line intersects
its graph الرسم البياني more than once
نقرأ كل ما كتبناه من جديد ونحاول أن نفهم كل نقطة
موجودة قدامنا على اللغة.
بناخد الـ one to one function اذا لم
يكن هناك اشياء مختلفة من D لديها نفس الصورة في R
ألا يمكن أن أجد صورة عمالة تبقى متساومة، ليس لها
نفس الصورة يعني بالبلد هيك العماصر المختلفة لها
صور مختلفة تمام هذا الكلام النظري بناروح نصير هذا
الكلام بصيرة رياضية فروحنا وقلنا that is
يعني أنصار مختلفة then f of x واحد لا يمكن أن تكون
f of x اتنين يعني الصوتين تبعاتهم غير متسامتين اما
then x واحد x اتنين
هذا سيلة رياضية للتريف اللي احنا قلناه، فيه سيلة
اخرى، ايش السيلة اخرى؟ فيها المليارات حاجة اسمها
ال negation، ال negation المفي، انا عندي بطولة،
بدأت اعطيني مطلوبالشغل المكافئة لها نفي المطلوب
داخل نفي مين المعطيات وقعد ندرسها في موضوع ال
logic المنطق الرياضي تمام؟ طب إيش هنا ال negation
للعبارة اللي بدها تنفي؟مافي هذه يعني ايش؟
بالمساواة يبدأ يجيبي الكوبلن ب F مانديلا is one to
one F لفظ X1 يبدأ يصير F of X2 يبدأ يعطوني مافي
هذه يتجرن X1 يساوي X2إن الطريقة الأخرى أو التعريف
الأخر لل one to one function إن ما يحصل إن
الصورتين متساويتين للدالة لأنصرين من ال domain
تبعها إن حصلت إن الصورتين متساويتين يجب أن يكون
الأصل متساوي
يوجد حاجة اسمها ناحية هندسية أو ناحية رسم جراف
الورسم البياني يبقى graphically من الناحية
البيانية أو من ناحية الرسم الهندسي اللي بنرسمه a
function f is one-to-one if and only if no
horizontal line intersects its graph more than
once يعني أكثر من مرة وعلى كيف يعني؟لو رسمت منحلة
دولة اللي عندك و جبت اي horizontal line رسمته
انقطع المنحلة في اكثر من نقطة اذا الدولة هذه التي
يمثلها هذا المنحلة ليست one to one لكن اذا قطعها
في نقطة واحدة فقط بقول المنحلة هذا او الدولة هذه
one to one يبقى هذا بيسميه horizontal line
يعني انت عندك رسمة بدي اعرف هل هذه الرسمة تمثل one
to one function ولا لا بقول بجيبها الوسطى و ببرسه
موازية محو اكس والله اذا قطع المنحنة طبعا مش خطبة
يعني اي خط افقي موازية محو اكس اعلى ال X ولا اسفل
ال X ان قطع المنحنة فقط في نقطة واحدة يعني اي خط
رسمةإذا لم يقطع المنحنة إلا في نقطة واحدة، فهذه
المنحنة يمثل one to one function. إذا قطع في نقطة
يعني.
هذا السبب يجب أن نقول إن أنا لو عندي منحلجات
horizontal قطعة في نقطة، إذا لو أخذت أي نقطة تين
مختلفتين على محور السينات، فانا هتشيخ صورتين
منحلجات متن تين مختلفتين وانا واحد زي التانيةمصبوح
او لا؟ لماذا؟ لأن النقطة الوحيدة ليست في نقطة
واحدة وليس أكتر. اذا لماذا يمكن لنقطتين مختلفتين
ان تطلع من نفس الصورة بتالي أدمين وانترن؟ مثل ايش
مثلا؟ الأوجياء تقول لك ملحنة Y تساوي X تكيد مرة
علانة كتير في كل قلصية، مصبوح؟ يعني الأوجياء تقول
لك هنا for example
functions اللي هو y تساوي x تقريب مثلا and دالة
تانية y تساوي الجدرى التربية اللي x are one to one
but ولكن the function y تساوي x تربية is not one
to oneبشوف السبب بقوله because of the horizontal
line test اللي هو اختبار الخطأ و كيف كانت تانيةلو
جيت قلت للمحارب هذا محور X و هذا محور Y و روحنا و
رسمنا منحنى الدالة اللى هو Y تساوي X تكايب زى ما
كنا بنرسمها في كام كراس آية يبقى المنحنى بيجي
بالشكل اللى عندك هذا ياك تمام و بيجي نازل بهذا
الشكل يبقى هذا Y تساوي X تكايباللي ورا شايفين
اللون هذا، اولا تخليه خط أسود. الأخضر هذا واضح للي
وراه؟ ماشي الحالة. يبقى هذه Y تساوي X تقيمة. لو
جيت أرسمت أي horizontal line، لو جيت رسمت أي
horizontal line، يبقى ال horizontal line كان
بالشكل هذا هيك.
لا يمكن ان
يقطع هذا المنخلة في نقطة او نقطة او نقطة او نقطة
او نقطة او نقطة او نقطة او نقطة او نقطة او نقطة او
نقطة او نقطة او نقطة او نقطة او نقطة او نقطة او
نقطة او نقطة او نهذا محور X وهذا محور Y وهذا
المنحنة Y تساوي ال square root لل X لو جيك رسمت أي
خط أفق بهذا الشكل هيقطع المنحنة
إذا أبني الـ two functions اللي هم دارعان one to
one functions one to one functions قلت لو جيتنا
الدالة Y تساوي X تربية يوجه هذا الملحانة الدالة
هذا محور X هذا محور Y هي نقطة الأصل لـ zero جينما
سمنا الملحانة Y تساوي X تربية
Y تساوي X تربية. ارسم اي خط افق يهيك. يجب ان اقطع
المنحنة في النقطة التانية. وهنا النقطة التانية.
هذه بدي اسميها X واحد وهذه بدي اسميها X اتنين.
البعد المنقط هذا هو
البعد الملقق التووي هو f of x اتنين شو له علاقة
بين f of x واحد وf of x اتنين؟ طريقه اللي هو
البعدين ما بين خطين متوازين البعد بين خطين متوازين
اللي هو يساوي مقدارا ثابتا اللي هو تفيره مهما رسم
اي خط يصل بين هذين الخطين طيب انا الان هذي النقone
to one الصدر بكواز ان القوق بكواز
عنصرين مختلفين لكن الصور كانت متساوية
بصير الجهاز مدهش وعبارة حط لي X بسالب اتنين يبقى
برضه باطني كمان اربع اذا متساوت الصورة تان لكل
الاصل غير متساوي اتنين وسالب اتنين ومن هنا فالدالة
ليست one to one طيب نرجع بالذاكرة وراي شوية لكل
قرص Aلو عندي ذلة زيولية على طول اي ذلة تناقصية على
طول ورسمت اي horizontal line؟ واحدة بس يبقى any
increasing function او decreasing function is one
to one صحيح ام لا؟ يبقى خود نكتب هذه ملاحظة remark
اي
increasing or
decreasing function
هذا محور X وهذا محور Y يبقى تزايدية يبقى تزايدية
تقريبا تزايدية يبقى
تزايدية
وهذه دالة تزامدية. او أي خط أفقي في نقطة واحدة فقط
لابدة. لأن هذه الدالة وانتهت.
بالشكل اللي لنا هذا هذا محور X وهذا محور Y. وكذا
تبدأ على سبيل المثال بالشكل اللي لنا هذا. يبقى هذا
اللي لنا معاها decreasing تنافسية. يبقى هذه
decreasing
function ارسم اي خط افضل طيب نقلها الى نقطة واحدة
وامن هنا فأي increasing function او decreasing
function هي عجبا عن one to one function طيب
نوجف حاجة بسيطة ناخد بعض الأمثلة العادلية اللي
بتلطف الجو هيك ملاش يكون كله كلام ناسي
زائد اتنين and الـ g of x اللي يتساوي and الـ g of
x يساوي x زائد واحد على x one to one سؤال
بيطلع نفسه وبنحاول انجازه
هل الدوال اللي عندنا هذه تبقى دوال one to one أم
لا؟
هل هذه الدالة واحدة واحدة او لا؟ هناك أكثر من
طريقة لإثبات المستدالة هل هي واحدة واحدة او لا،
وليس واحدة واحدة او لا، وليس واحدة واحدة او لا،
وليس واحدة واحدة او لا،
أفترض إنه في عندي صورتين متساوياتين إذا بدأت أثبت
إن الأصل المتساوي بصير وانت وما قدرت يرجع ينسى
الموضوع يرجع بالتاجر أقول Assume أفترض إن ال F of
X1 تساوي ال F of X2
إن الصوتين متساوتين، إيش بدي أثبت؟ إن ال X واحد
بدي أثبت ال X اتنين، إن جدرت أثبت هذا، بصير البام
هاد مالها وانت واحد.فبقى بدي أسأل سؤال، أنا خدت ال
elements بعينيهم ولا اختياري من ما يكون يكون؟
ممتاز جدا، يعني يا شباب لو أنا راح أدج الباب اللي
هناك، و أنا بقال لقلك، علي تبديك شويةيبقى هل اختار
طالب بعينه علشان فلان فلان؟ طبعاً لأ، مرقعه أخذ أي
طالب، لكن لو زجج الجابر هاجه جانبه محمد محمود
عبدالهادي، مثلا، كيف؟ يبقى عقوبة، إذا موجود، اقوله
موجود، إذا موجود، هذا يعني هو بيقطع، إذا مش موجود،
اقوله مش موجودوهذا الكلام في الحالة التانية قال
يختار طالب بعينه. لأ طبعا هذا ما ينفعش حد ما في
الاتباعت. لما تاخد X واحد و X اتنين، اي انصر ينطبق
على اي انصر موجودة في الدماغ. اذا ما ينطبق عليهم
ينطبق على باقي منهم عن عناصر اخرى اللي من الخارج.
أنا اخترقت ان f of x1 يكون ايضا f of x2 يكون ايضا
طب هو بيحصل باتنين للطرفين يبقى ايش بيصير عندي؟
بيصير عندي x واحد زائد واحد لكل تكييب يساوي x
اتنين زائد واحد لكل تكييب خد الجدر التالت للطرفين
يبقى بيصير عندي x واحد زائد واحد يساوي x اتنين
زائد واحدواضيف لي سالب واحد للطرفين يبقى بصير
عندنا X واحد يساومين X اتنين شو تفسيرك لهذا؟ يبقى
هذا يعطينا ان ال F is one to one يبقى
مضام بلقة F one to one خلاص هذا هو المطموب تبع
السؤال
بداية للدالة التانية يبقى شباب إحدى الطرق ليثبت
إن الدالة one to one إنه ياخد صورتين متساويتين
عشوائيا ويحاول يثبت إن الأصل تبعهم ماله متساوين،
يقول خلاص وحلنا مشكلتنا والقبلة
طب ناخد طريقة أخرى لو جيت لك دلة لإن هذه الـ g of
x بدها تساوي x زائد واحد على x لازم تثبتها بنفس
الطريقة اللي فاتت لازم تغير الطريقة الآن لما أقول
اثبت ان هذه تساوي هذه لو جبت counter example مثال
بنغير الشغل هذه، مظبوط ولا لأ؟ يبقى احنا جالي نشوف
لهذه هل هي انت وانه ولا لأ. اذا كنت اجيب له مثال
انه صورتين متساوية لكن أصلهم غير متساوي، ده كنت
مايربيه صورة.يعني مثال ضد انها one to one بست وليس
بالضرورة ان انا اروحها برهن زي جامع بدمان برهن زي
جامع برضه مافي مشكلة تمام؟ فبقاش ال counter
example يعني مثال ضد هالشغل هذا نطلع فيها كويس لو
أخدت العنصرين اتنين ونص عنصر رقم اتنين وعنصر نص
وشوف قداش قيمة الدلة في كل الحالتين
هذا يجب أن يكون واقينا ان ال جي of اتنين يساوي
اتنين زائد واحد على اتنين اتنين و نص يعني كده؟
خمسة على اتنين and ال جي of نص يساوي نص زائد واحد
على نصواحد ع الاصل هو اتنين، او الاصل جا اتنين، او
الاصل جا خمسة على اتنين. إذا صار أنت واصلتين
متساوتين، كل واحدة منهم خمسة على اتنين. لكن هل
الاصل متساوي؟ لأ. يعني هل انا واحد وانت واحد؟ لأ.
الجي اغ اتنين سوى الجي اغ نص ولكن اتنين لا تسوى نص
يعني هذا مثال عددي يثبت ان هذه الدالة ليست one to
oneطب لو روحت أنا جبت مثال عددي يثبت إنها one to
one، بصير كلام صحيح للجميع؟ لأ، لأ، لأ، لأ، لأ،
لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ،
لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ
بـ Increasing يبقى one to one لو طلعت Decreasing
على طول يبدو كمان one to one هي طريقة ثالثة وهاتلة
يعني يمكن إثبات ال one to one بعدد طوق أو بأكثر من
طريقة نجي الآن للتعريف الألوان اللي رفعناه في
بداية المحاضرة وهو ال inverse function يبقى بدنا
نجي ل definition
أفترض أن الـ
F هو عملية واحدة واحدة عملية واحدة واحدة على
مصدرها
D مع مجموعة R مع مجموعة
the inverse function
الف انفرس is defined by
العلفة التالية
يبقى the inverse function if inverse is defined by
بعرفها كالتالي
F inverse of B يكون ايضا F of A يكون ايضا F of A
يكون ايضا
F of A
the revenge of
if and the else as دي.بنروح
نوضح التعريف هذا.شوفوا شباب أنا عندي ست دي وست ا.
الـ set D لو جئت و قلت هذه هي ال set D او هذه هي
ال main هذه هي ال set R هي عبارة عن ال range دالة
F مش ال code main لأن ال code main يمكن أن عناصر
ما يظهروش كصورة يعني انا بدي ال range معناته كل
العناصر اللي في ال range هم الصور لعناصر من ال
domainهتجيني F من D إلى A يبقى A يبدأ بالـ F لو
كان عندي غنصر هنا اسمه A في D F هتأثر عليه هتدهر
صوته هنا F of A لأن F of A هتسميه كمان بيه يبقى
بيه غنصر في ال range
عكسية بدأت تأخذ من D الى الـRange تبع الـF ترجع
لها الى D تماما يجه الـF البرس سيأتي له كيك بالشكل
لأن هذا في اتجاه المعكس يجه هذا F البرس بشكل
لانانانقرأ الكلام ونشوفه على الرسم نقرأ التاريخ
نفترض أن الدولة F is one to one one to one يعني F
لما انأثرت على نعاصر الفيديو كل واحد نظرت له صورة
ممفاصلة مالهاش علاقة بالتانية عندي ثلاث عناصر يبدو
عندي ثلاث صور عندي عشر عناصر يبدو عندي عشر صور و
هكذا مافيش اشتراك بينهم أكتر افينلو كانت وكأن ال F
is one to one هو شارب لضمان وجود المعقول.هي احنا
ليش بنشتغل من أول محرر على ال one to one؟نشتغلش
عليها بلاش، لأنها لازمانة، لازمانة بعد قليل.فبعدين
بيقولوا ده لأ if is one to one function على الدمون
تبعها وكان ال range تبعها R يبقى the inverse
function ال F فوقها سالق واحد F فوقها سالق واحد
ليست F أساسي واحدفقص سالب واحد بيبقى واحد على F
فهذا ما يسمونه الـ Spherical مقلوب طبعا لإن ما
قبلناش المقلوب بدنا المعكوس فالـ F وفوقها سالب
واحد رمز يدل على معكوس الدلة وليس على مقلوب الدلة
فإذا كان f of a سوى مين سوى b فإذا كان f of aنرجع
مرة تانية. أنا قلت بالله اخدي one to one. يبقى
الأنفر الواحد هذا فتنهر له صورة اسم F of A ولا
واحد هيشارك فيها. زواج كاتوليكي.
أيه اللي هو مين؟ اللي هو بيه. واترجعه أين؟ واترجعه
الذي يعني كان ما حصلش حاجة. اللي عملناه بوقعناه.
ما رجعناه كل شيء في المكان. زي ما ييجي يخلى واحد
يمشي من هنا لغاية هناك. قصرت عليه ذلة نجلة من هنا
لغاية هناك. قدرت ذلة من هنا لغاية هناك ورجعت
مكانه.
يبقى اللي رجعتها اللي نسميها المعكوس ودك هي الاصل
يبحث الصورة على التمام يبقى هذا من تعريف ال one to
one function نجم يطلع على الرسمة وين دمين ال FN بس
الـ R هي الـ Range تبع الـ F و أين الـ Range تبع
الـ F inverse؟ ممتاز جدا، يبدأ الشخص يشوف أن هنا
الـ Domain تبع الـ F inverse هو R اللي هو الـ
Range تبع الـ F و كذلك الـ Range تبع الـ F inverse
هو دي اللي هو الـ Domain تبع من قبل الـ F، و بقى
كمان كويس يعني يا شباب، لو جيت سؤالكم سؤال بسيط
هذالو كانت النقطة a و b موجودة على منحنى الدالة f
من النقطة المناظرة لها على منحنى f inverse بيويت
يبقى A صورتها بيه وهذه الطريقة هيرمي لدّالة F يبقى
ال A و B موجود على رفم البيانة لدّالة F لكن ال B و
A موجودة على رفم البيانة لدّالة F inverse وهذا ما
سرشير إليه بعد قليل ان شاء الله تعالى
بنحل عليها أسئلة اكتر يبقى بداخله ياخد ال
properties of
f inverse of x الخاصية
الأولى f ال f inverse is the inverse
فانفرس لأ تساوي واحدة ال F وهذا ما أشارنا اليه قبل
قليل.لو كان ال F of A بدي ساوي ال B
أحنا في التعريف هنا قلنا ياشي F of A بدي أساول بيه
قلت أن أنا بدي أوصل لهذه اللي جال عليها لأن هذه
نتجت من هذه طيب أنا قلت له شو رأيك بدي أكثر على
الطرفين ب F inverse طبعا عندما جيت هنا قلت F
inverse لمين؟
بتصير الـ F inverse R V. طبعا هذا composition بين
الـ F و الـ F inverse. لو رجعنا لكالكلصية، هذا
اللي على الشمال تعريف مين؟ تعريف ال composition.
No functions. يعني هذا كأن مين؟ كأن
F inverse of A. الـ Composition من الدالة و
معاكسها بيعطينا ال identity function فهو مش هنقولك
identity لأن هذا أكبر منك شوية يبقى واحدة هتنغيط
تانية إذا هذا بيعطينا A تساوي F inverse of B تمام؟
يبقى هنا في التعريف اللي F inverse of Bما كان الـ
F of A يساوي الـ B وهي الـ F of A أخدناها تساوي
الـ B واخرناها تقفل من الـ F inverse فقلنا إن الـ
A بتساوي الـ F inverse of B دي بالك من كلام هذا
هناخد عليه مثال بعد قليل
هذا يجب أن يعطينا ان ال F انفرز لل F of X طبقا
لتعريف ال composition of functions فهذه الواحدة
سوف تلغي التانية جدتش جدتش بدي أقول X السؤال هو X
يا ترى في دمين الدلة F ولا في دمين الف انفرز
طلع اللي هو حاجة مكتوبة قدامك، بس طلع فيها، مش
تحذير يعني، في domain مين؟ لو ما كنتش في domain
الـF، هى بتقدر تأثر عليها الـF؟ مش ممكنية، لأن X
هذه اللي عندنا عنصر في domain مين؟ في domain الـX،
والـX هذه موجودة في domain الـF طيب، في المقابل
لرقم اربعة لغة F
بترى ان الـ composition بتكون F لل F inverse of X
بيبدو يساوي الـ X والـ X سبساوية موجودة دوية
في مستوى من؟ في مستوى الانفراد. تمام. يبقى هذه
موجودة في مستوى الانفراد. يبقى شايف الفرق ما بين
الاتنين. فنجي نقول هذه هي هذه، لأ، هذه مش هي هذه،
بختلفوا.يبدو أن هذا الكمبوزيشن من الـ F inverse
والـ F وهذا الكمبوزيشن من الـ F والـ I ولو راجعنا
بالذاكرة إلى الوراق لـ Calculus A بجينا نقول الـ F
composition G ليس بالضرورة للثانوية جي كمبوزيشن F
صحيح ولا لأ؟ وهذا يعني أنه اكسد في دومين الـ F لكن
اكسد في دومين الـ F inverse ورنج الـ Fمش الـ
domain تبع الـ يبقى فرق شاسع ما بين الأتنين. طبعا
ال .. نجل النقطة الخامسة والأخيرة من الخواص اللي
بنشير إليها. متى يمكن ان كل الدنيا معاكوس؟ يعني مش
كل دنيا لها معاكوس. صح ولا؟ احنا قبل شوية أخدنا
حلقة خاصة من يدنيا اللي هي one to one. ال one to
one
فإذا بقدر أرجع كل واحد لأصله، لكن لو أنصرهم
اشتركوا في نفس الصورة، لما بدي أرجعه؟ أوجهه لين؟
الله يعلم، بيبطل الصير الـ F inverse exists يبقى
الشرق الأساسي لوجود الـ F المصحوقة تكون الدالة one
to one
يبقى نقطة خامسة ال F has an inverse لها مراكز F
inverse if and only if ال F is one to one يبقى
من الآن فصاعدا لو جالي السؤال و جالي شوف
والله إذا طلعت الدالة one to one يبقى المعكوس
موجود مرة طلعت one to one يبقى المعكوس غير موجود
وكفى الله المؤمنين القتال.طب بعد ذلك بناخد بعض
الأمثلة التوضيحية عليها الخواص اللي بنحكي عنها
الآن.
بقول لك ال F of X يسار تماما X تقريب زائد تلاتة
شهرات ضيّلي M شهرات
تلاتة وطلع مطلوبين.المطلوب الأول اخبطني ان هذا
المعكوس موجود
أثبت لي أن هذا المعكوس يكون على مين؟ على الشكل
اللي عندنا هنا خلينا مع المطموق الأول بعد ذلك نروح
لمطموق الثاني
بنقول إذا طلعت الدالة one to one يبقى المعقوس
موجود وبعد ذلك بنروح ندور على قصة مين المعقوس شو
شكله هذا يبقى أنا هنا بدي أثبت أن هذا يبقى بدي
أثبت أن هذه مالها one to one بسيطة جدا كله يثبتها
one to one زي ما أثبتنا قبل شويه ممكن ناخد صورة
لو أضفنا سالب تلاتة للطرفين بصير تمانية اكس اكس
واحد تكييب يسوى تمانية اكس اتنين تكييب يبقى
نفسنا على تمانية بصير جداش اكس واحد تكييب يسوى اكس
اتنين تكييبخد الجدرى التالت يبقى X1 يبقى X2 يبقى
هنا ف ال F is one to one هذا سيعطينا ان ال F exist
أجي واحد تاني قال لي انت ليش تعملت كتير هيك؟ مكان
في السطر واحد و خلاصنا بقولك ايه؟ قال لي ماكانش
تقالة دول و خلاص هذه ماهي السهلة لما درجة تلتة
مستقلة لما درجة تانية هي موجبة على طول. قلت والله
كلامك مصبوح يعني لإن انا هادر ثلاثة في ثمانية
اربعة وعشرين X ثابت يجي دايما أول أكبر من أول
تساوي Zero يبقى increasing يبقى one to oneيبقى هذا
حل آخر لمين؟ لأن مثلا يبقى هنا لو جينا وقلنا
another solution، حل آخر.
بالإكس بالاستثناء هذا بدي يعطيك ان ال F is
increasing هذا بدي يعطيك ان ال F is one ten يبقى
هذا الطريقة او الطريقة الأولى سيال اتنين are the
sameبالحالة اللي تشوفها في رحلك ممكن تشتغل
باخلاصها من النقطة الأولى من المثلة بانجلا النقطة
الثانية جالي بيقول لي ان ال F inverse of X سوى نصف
الجذري التالت ل X ناقص ثلاثة كيف بتثبت له ان هذا
المعقوس تبعها؟ طاولة طاولة كيف يعني؟ بقول اه انت
كتبت خواص تنتينلو عملت ال composition من اليمين و
من الشمال سيظهر نفس المتغير الذي هو X صحيح ولا لأ؟
يرجى بالدرجة أقوله مقبل أولى أخد F inverse لل F of
X ويساوي ال F inverse ليه؟ وال F of X هي تمانية
تعريف الـ F inverse هو نص الجذر التالت لل element
اللي عندك ناقص تلاتة، يبقى هذا كله يعتبر element
في دمية مين؟ دمية ال F inverse، يبقى بناء العلم
يبدأ يصير نصالجنرال التالت هو الجنرال التالت X
اللي في domain of inverse هذه كلها في domain of
inverse إذا X أجى مكانها تماما X تكيّب زائد 3 عنده
هنا كماش ماقص 3 الشكل اللي عندنا هذابقص تلاتة مع
السلامة يبقى بصير نص الجدرى التالت لتمانية X تقريب
يبقى نص الجدرى التالت لاتنين X اتنين مع نص الوارد
السهل عليها من مر جداش X بكفي؟ لأ لأ لأ لأ لأ لأ
لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ
لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ
بدوا يسأل ال F او ال F inverse اللي هي النص في
الجدرى التالية لل X ماقص تلاتة. بده يشوف هذا كده و
بده يتعطيه. ال F لما اتأثر على العنصر يسوي تمانية
في مقعب العنصر زي التلاتة. يبقى هاي تمانية.ببنى
الكعب العنصر هذا يبقى ياله نص الجدرى التالت لل X
ماقص تلاتة هذا وهيه لكل تكريم وبتروح بيه فانيه
قداش برا زائد تلاتةلأن هدف لما اتأثر على الانصر
بيكون سوى تمانية في مكعب الانصر زائد تلاتة، تمام
التمام، يبقى هذا الكلام بيكون سوى تمانية فيه،
مستكيب، يبقى دياشر، تمان، هاي تمانالتقريب مع
الجدرى التالت الله سهل عليه بضل قدير X مراقص ثلاثة
وهي التلاتة اللي برا زائد تلاتة يفجر هذا الكلام
بالدراسة تمانية في الكلمة الله سهل عليها بضل قدير
X مراقص ثلاثة وهي التلاتة اللي برا هانا أظن بطلع
الجرم قدير Xيبقى أخدت ال composition اليمني و الله
ال composition الأشمال و أصلني لنفس النتيجة، إذا
المعنى لكلام الدالة هذه فعلا هي عكوس الدالة
الأصلية، يبقى بقالي بقول نص اللي هو ال .. اللي هو
النص ال general
is the inverse function of تمانية X تكييب زائد
تلتة
اللي هي أي طريقة بتاعة ال composition لإن ما
عرفنكش حتى هذه اللحظة كيف بدك تنجد المعكوس، مش
هنطول عليك بكرة ان شاء الله في محاضرة الغد، هنقفل
كيف تحسب المعكوس، هنا أطاني دالة و أطاني دالة
تنبغي يثبت إن هذه معكوس لهذهروحنا على القواس
استخدامناه وطلعنا ان هو دي المعكوس لكن في محاضرة
غدا ان شاء الله هنعلمك كيف بدك توجد معكوس الدالة
من الدالة الموجودة ان شاء الله حد بقى يتصرف هنا يا
شباب؟ او يستخدم؟ اه دي اتصرف من ال domain orange
ال inverse
Domain of the range inverse هو ال range تبع ال F
كتبناه قبل شويه صحيح ولا لأ؟ و ال range تبع ال F
inverse هو ال domain تبع ال F