بسم الله الرحمن الرحيم، نرحب بكم في بداية هذا الفصل
الجديد، وهو الفصل الثاني إن شاء الله، هندرس مع بعض
اللي متفاضل ومتكامل بيه، أنت طبعًا درست إيه بجبايجي
بقول هنا
Calculus بأم Math بألف وأربعين وواحد هذا
طبعًا اسم الكتاب، اسم المؤلف هو اللي درست منه
calculus إيه بالضبط تمامًا اللي هو Thomas المؤلف
في الكتاب
«عالم أف إديشن»
وبالتابعات، خانية عشرة
وبهذا بالنسبة للمساق، بالنسبة للمؤلف، بالنسبة لميل
لا، رقم الطبع، أنت لو روحت المكتب هتلاقي مؤلفين
آخرين وبالتالي يعتبر كل كتب اللي هتلاقي بالكتاب
عشر كتب، كلها تعتبر مراجعة، روح على المكتبة
إلكترونيًا أو فعليًا، زور المكتبة واتفرج عليها كده
ويمكن أن تستعمل أي كتاب لزيادة المعلومات إن شاء
الله تعالى، واضح كلامي؟ طيب، الآن أُذكّركم لأن بعد ما
درستم الفصل الأول في الجامعة، انتقلتم إلى الفصل
الثاني وبالتالي صار عندنا خبرة في الدراسة الجامعية
ووجدنا أنها تختلف كليًا عن الدراسة في المرحلة
الثانوية، إذا صار عندنا خبرة في كيفية الدراسة في
الجامعة، وهذا الشيء أساسي، بحب أذكر ما قلت في بداية
الفصل الأول لأن لأن هو الأساس اللي إيه بدنا نشتغل
عليه، لأن كيف بدنا ندرس دراسة صحيحة ونجيب علامة
عالية، طبعًا المادة أنت عارفين أربع ساعات، وهذه بترفع
المعدل بدرجة كبيرة، يا بتنزلوا بدرجة كبيرة يعني
مقدّشة، بتنزل جهد، بتلاقي علاماتك، لأن بدنا نشوف كيف
بدنا ندرس دراسة صحيحة، نقطة الأولى، ياريت تتحضر المادة
قبل ما تيجي على الجامعة، يعني المحاضرة اللي بنشرحها
تكون جاريها، مارر عليها، موضوع زي قراءة الجريدة، يكون
عندك خلفية بس عن الكلام اللي بدنا نقوله، طبعًا أنت
لما تجري الجريدة، بتأخذش كل حاجة فيها، لكن العناوين
الرئيسية بضل مطموعة في دماغك، إذا احنا بدنا نحاول
يكون عندنا خلفية على الموضوع قبل ما المدرس يلي
يشرح هذه المادة، بعد ما درسنا هذه في البيت، جينا هنا
للمحاضرة، بدي أكيد كنت المحاضرة قاعد فعليًا وليس
شكليًا، شكليًا يعني قاعد لك المخ أكبر شغال في أبصريش
إذا هذا ما بستفيدش ولا شيء، لكن موجود فعليًا، موجود
على أرض الواقع، والمخ متابع مع من مع المدرس، يتابع ما
يقول وينقش ونحو ذلك، يبقى هذه شغلة أساسية بالنسبة
للطالب حتى يستفيد من خلال حضورنا لهذه المدة، طيب
حضرنا وتبعنا المحاضرة، النقطة الأولى حضرنا، النقطة
الثانية تابعنا في المحاضرة، النقطة الثالثة أخدنا
المحاضرة واحدة على البيت، بروح نجريها المحاضرة و
نجري الأمثلة، الأمثلة تطبيق على الجزء النظري اللي
بيجي خلال المحاضرة، إذا أنت اكتفيت بهذا الكلام وبس
معناته أنت ما درستش دراسة صحيحة، طب هاكملوا دراسة
صحيحة، بدك تشتغل لوحدك، يعني تمسك هالجلم وتبدأ تحل
المسائل اللي كالتك بيحلها، طبعًا لن يحدث عندك علم
إلا إذا مسكت الجلم واشتغلت، تقول الله تبارك وتعالى
بسم الله الرحمن الرحيم في سورة القلم، نون والقلم
وما يسترون، يبقى نظرًا لأهمية القلم في التعليم أقسم
الله تبارك وتعالى بالقلم، قال نون والقلم، ماجلش وما
يكترون، فقال وما يسترون، لكلمة يسترون أبلغ من كلمة
يكتبوا، كتابة، يعني أنت بتكتب، لكن أنا ممكن أسطر و
أرسم وأكتب، إذا وما يسطرون وما يكتبون وما يرسمون
وما يشكلون من أشكال إلى آخرين، يبقى من هنا كانت
أبلغ، والله سبحانه وتعالى قال في سورة العلق، اقرأ
باسم ربك الذي خلق، خلق الإنسان من علق، اقرأ وربك
الأكرم الذي علم بالقلم، وإذا القلم هي الوسيلة
الأساسية في التعليم، يبقى أنت بدك تمسك القلم وبدك
تروح تحل مسائل لوحدك، هيك بصير عندك علم، لكن بدك
تكتفي بـ جرأ قراءة نظرية، أنت صار عندك معلومات لكن
المعلومات هذه مش كتير، مش ثابتة في المخ، لكن لما
تشتغل تلزج عندك وكتال بصير من أهل الدراية وأهل
العلم، طيب درسنا وحلينا المسائل، لكن لما حلينا
المسائل صعبت علينا شوية، مسائل عايزة ساعة discussion
مناقشة مع المعيد، باجي أنا على ساعة الـ discussion
هذه وبروح بحضر الـ discussion، بتلزّم بالوقت المحدد
أنت اللي بدك تشغل المعيد، مش المعيد اللي يشغلك، طب
كيف أنت بدك تشغل المعيد؟ إذا كنت حالل في الدار
يبقى أنت محضر الأسلوب تسأله، لكن إذا كنت مش حالل في
الدار، إيش ما يكتب على اللوح وترسم زيه، ترسم رسم
على اللوح، واستيعابك الله أعلم فيه، لكن لما تكون
أنت محضر وحالل، الموضوع مختمر في دماغك وأنت فاهمه
تمامًا، فأنت روحت تسأله الأسئلة التي صعبت عليك
وبالتالي أنت استفدت، طيب نفترض أن احنا ما قدرناش
نناقش كل الأسئلة أثناء ساعة الـ discussion اللي
موجودة خلال الأسبوع، قدامك طريقين، يا بروح للمعيد على
مكتبه وبأسأله، يا بتجيني أنا في الساعة المكتبية أو
غير المكتبية، لو وجدتني، لو وجدت في الساعة المكتبية
ملتزم بوجودي في المكتب، أستناك، بتجي أهلًا وسهلًا، بتجيش
بصير أنت على كيفك، وأنا الطالب اللي بيجي بيسألني
أحب إلى نفسي من الطالب اللي بيجيش يسأل، لأن اللي
بيسأل بعرف أن هو ده بيشتغل، لكن اللي بيجيش يسأل ما أنت
بيشتغلش ولا بيحل ولا بيسوي عجب، يبقى هذا الطالب زي
ما فهمه ضال، فهمه محدود، لكن لما تحتك في المدرس
تروح له على المكتب تسأله، تناقشه، حتى بتوسع ذهنك
اسألني كمان في خلال المحاضرة، ما عندي مانع أنا أسْرَح
من الطالب اللي يسأل، لأنه فهم وبالتالي أشكلت عليه
بعض الأمور فبيجوّم وبيسأل فيها، وبالتالي بتكون أنت مش
أفدت نفسك، أفدت عشرين طالب زيك، من خلال مين؟ من خلال
السؤال اللي بتسألوا، والمناقشة ضرورية جدًا لمين؟
للتعليم، أخي لن تنال العلم إلا بستة، سأنبئك عن
تأويلها ببياني ذكاء، وطبعًا هذا موزع على الإنسان زي
الأرزاق، واحد قابل كمية، تانية صحيح، وطبعًا درجات
بصير متفاوتة وصعبة، لكن وحارسهم حريص على التعليم
واجتهادهم، بدك تجتهد في الأمور اللي صعبة عليك حتى
تصل لها، وبلغة اللي هو البلوغ إلى مين؟ إلى الهدف
يبقى ذكاء وحرص واجتهاد وبلغة وصحبة أستاذ وطول زمان
صحبة الأستاذ، مستهدف سيجارة وخد سيجارة ولا تشحت
مسكلتك ويركب عليه وروح لمشواره، صحبة الأستاذ هو
الذهاب للمدرس والسؤال وجابك، وبالتالي أنت يا أستاذ
ثاني أن هذه هي صحبة الأستاذ، وطول زماني، يبقى ذكاء
وحرص واجتهاد وبلغة وصحبة أستاذ وطول زماني، هيك
بصير من أهل الدراية وأهل العلم، طيب ذهبنا للمعيد
على مكتبه وما لاقيناش؟ ذهبت إليه وما لقيتنيش في غير
الساعة المكتبية، لقيتني في الساعة المكتبية واللي
في غير المكتبية، بجاوبك، تخجلش تعالي في أي وقت، لكن
في الساعة المكتبية أنا ملتزم أكون قاعد وياه في
المكتب في انتظارك، طيب روحنا وسألنا وكل شيء تمام
كل الأمور هذه اللي نفذناها بحذافرية، ضايق للامتحان
أسبوع والله عشر أيام، مثلًا، مطلوب أنك تروح على
المكتبة، الطالب، وتطبق اللي هو نماذج من الامتحانات
السابقة، مشان تعرف كيف الممتحن بيفكر في وضع الأسئلة
كيف بيربط المواضيع مع بعضها البعض، هيك بصير عندك
دراية حتى بكيفية وضع الأسئلة، وبالتالي أنت لا
تتفاجأ في الامتحان بأي شيء جديد، ممكن الفكرة ما لاقيش
سادة، جت الفكرة التالية، ممكن الفكرة اللي أنت عرفتها
اتطورت شوية إلى آخره، يبقى دورة هيك بقول حسب علمي
ودرايتي المتواضعة، بتكون أنت إن شاء الله يعني مشيت
على الطريق الصحيح لنيل الدرجات العليا، خاصة في
المادة هذه وفي بقية المواد، استعمل هذه الطريقة
بإذن الله، بيكون عندك علم وفهم وجيب درجة عليها في
الامتحان وما إلى ذلك، وإذا مشيت بهذه الطريقة بصير
أنت postal لأقرانك القلاب من الجامعات الأخرى بصير
أنت ما رجع لهم تمام؟ يبقى هذه كيفية الدراسة نجي
لتوزيع الدرجات توزيع الدرجات على مساقة عشرين درجة
للامتحان الأول عشرين درجة للامتحان الثاني، عشر
درجات في يد المعيد لل discussion يعملها quizzate
يعملها discussion على الحضور والغياب، له مطلق
الحرية ولا دخل ليه في هذه العشر درجات إن جبهالي عشر
و بحطولك عشرة جبهالي تلاتة و بحطولك تلاتة زي ما هي
ماليش دخل فيها يبقى بدك تحلص على الحضور بعكس ما
عملنا في كل قلصي ما اعتمداش العشر درجة لكن الفصل
هذا اعتمدها إن شاء الله تعالى يبقى عشرين لامتحان
الأول عشرين لتاني عشر درجة في هذه المعيد هذه خمسين
هي عمل الفصل الخمسين تانية لامتحان النهائي
الامتحان الأول يكون خلي بالك معايا بعد أربعين يوما
من بدء الدراسة يعني بعد أربعين يوم أنهينا وطالع
يمكن بعدها بيومين تلاتة أربع أيام قبلها بيومين إلى
آخره يبقى في هذه الفترة حولنا هذه الفترة تأهيل
نفسك أنك تجرى من البداية تمام؟ وإياك أن تؤجل عمل
اليوم إلى الغد المحاضرات بتاخدها بتروح تجراها، تمام؟
إن خليتها لبكرا، إذا بدها تلات ساعة جراها، بكرا بده
تلتين ساعة، إن خليتها لنهاية الأسبوع بده ساعتين،
لراسة حتى تستوى وتبدأ تشتغلو هكذا و بدى يتراكم
عليك مواد كثيرة يبقى استغل وقتك وأنظم وقتك بطريقة
صحيحة بحيث تعمل توازن بين المساقات الأخرى كل واحد
يلو فترة من الدراسة وبالتالي بنمشي ونمشي صحيح أو
ندرس دراسة صحية هذا بالنسبة لكيفية الدراسة و
بالنسبة لتوزيع الدرجات أما عن الساعات المكتبية سجل
اللي عندك يوم الأحد والثلاثاء من العشرة للاطماعش
ونص أحد
وثلاثاء من العشرة للاطماعش ونص هذا أنا ملتزم أكون
موجود في المكتب في غير ذلك لو جيت في أي ساعة أخرة
ولا جيتني قبل هذا الوقت بعد هذا الوقت في أي يوم
آخر أنا جاهز ماعندي مشكلة يبقى إياك أن تدخل على
نفسك طيب انتهينا من السعادة المكتبية انتهينا من
توزيع الدرجات الباقي الآن أن نشير إلى ما سندرسه في
هذا الفصل يعني الخطوط العريضة لمساق تفاضل وتكامل
الـ B أول شي أنت في تفاضل A درست six chapters ست
شباتر درست تمين فكرة كولصية احنا الحمد لله في كل
كولص بيه بس أربعة شباتر war chapters لكن الأربعة
شباتات أقل من الستة ليش؟ لأن الست هي تبعت
الثانوية العامة بس واسعانها شوية بس هذا في غالب
جديد يعني خمسة وتسعين في المية من كل قلصمي كله
جديد ما شوفتوش في الثانوية العامة طب إيش بيعتمد على
الأشياء السابقة؟ بيعتمد على ما درست فيه Calculus
يعني مثل قواعد التفاضل، بعض قواعد التكامل اللي
دخلتها زي التكامل بالتعويض أو نحو ذلك الدول
المثلثية عمود فقري في دراستنا اللي هو section 1
تلاتة من كل قلصية اللي هو ال trigonometric
functions وما يتعلق بيها لأن يا شباب حساب المثلثات
مثل ملح الطعام الذي لا يستغنى عنه أي أكلة بدك
تأكلها، لا يستغنى عنه الملح، الرياضية الملح تبعها
هو حساب المثلثات، واضح كلامي؟ طيب تمام نيجي الآن
لكل chapter من ال chapters اللي بنانا ندرسها وما
يحتوي in general يعني مش هتكلم كلام تفصيل هحط
الخواطب العريضة زي .. زي اللي ما تسمع ال national
أخبار بيقولك كان هذا هو الموجز وإليه كل تفصيل
بيحطله خبرين تلاتة أربعة في البداية وبعدين بيبدأ
يفصل فيه واحنا هنفصل على مدار الأربعة أشهر لكن في
البداية بنحطلك المعلومات كلها في نصف ساعة تقريبا
إبن جى أنت خلصت من chapter 1 لغاية chapter 6 ابنبدأ
ب chapter 7 يبقى شبتر سبعة بدنا ندرس فيه مجموعة من
الدوال هنسمي هذا .. طبعا أنت درست بعض الدوال في
calculus ايه؟ الآن احنا بدنا نتجلك الكلمة شوية
يعني بدنا نجيبلك بعض الدوال اللي ما درستاش قبل ذلك
الشبتر سبعة بنسمي ل Transcendental
ماذا يعني Transcendental Functions؟ يعني الدوال
الأسامية نقول yes هو يعني بيرتفع شوية احنا بنرفع من
قدرك شوية من ناحية العلم أول شي درسنا في كل
كولوسيا أول section دخلته هو ال functions تمام؟ هي
الأول section اللي هناخده اللي هو ال inverse
functions المهمين هي كمسات الدوال طبعا المحاضرة
القادمة إن شاء الله هخش فيها تفصيليا بعد ال
inverse functions هنجي لحاجة اسمها logarithmic
functions
المهمين اللي هو الدوال اللوغارتمية
الدوال اللوغارتمية هناخد حاجة اسمها ال nature of
logarithm اللي هو اللوغارتم الطبيعي وبعد هيك هنتقل
إلى اللوغارتم العادي أنتم في التانوية العامة سمعتوا
بحكاية الأساس عشرة تبع اللوغارتم احنا هناخد أي رقم
موجب غير الواحد الصحيح طبعا فكيف دراستنا مبنية
عليه هنجي لحاجة اسمها ال exponential function
الدوال الأُسية بعد
ذلك يوجد نوعين من الدوال النوع الأول نسميه inverse
trigonometric
functions
معكوس الدول المثلثية الدول المثلثية اللي دراستها
في Calculus A هي 6 دول بدنا نشوف معكوسات هذه الدول
بعدين بيجينا hyperbolic functions
يبقى الدوال الزائدية الدوال الزائدية بتعتمد في
تعريفها على ال exponential functions يعني هدول
اتنين مربطات في بعض يبقى هذه الأنواع من الدوال
المختلفة التي ستدرس في هذا الفصل أو في هذا ال
chapter طيب الدول هذا شو بندرس بالنسبة لها؟ بنقول
بسيطة هذه الدوال بدنا ندرس بالنسبة لها بدنا ندرس
ما يأتي لكي نعطي تعريف لكل دالة من هذه الدوال وبعد
ما نعطي تعريف لكل دالة من هذه الدوال بدنا .. بعد
ما نعطي تعريف لكل دالة من هذه الدوال بدنا نشوف ال
limits لهذه ال functions و ال domain و ال range و
الرسم البياني و ال derivatives و ال integrals يبقى
هذه الدوال نعطيها definition وناخد ال domain و
ناخد ال range لهذه الدول وناخد ال graphs الرسومات
البيانية لهذه الدول وناخد لها ال limits وناخد
لها ال derivatives
أما كم دراسة سابقة للدوال البسيطة اللي اتعرفنا
عليه بكل قلصية هنسحبه كله عالمين على الدوال
الجديدة اللي عندنا طيب في الدول المثلثية مثلا أخدنا
ال derivative تبع الـ 6 دول مثلثية لكن التكامل
أخدنا تكامل ال sine و ال cosine فقط لا غير، مظبوط؟
هنيجي في كل قناص بين كامل التان و الكتان و ال
second و ال cosecant كلهم وبالتالي بيكون غطيناهم
كلهم تمام ولهذا يبقى هذه الأمور اللي هندرسها
خلالها بنضيف عليها مدام نتكلم عليها طريقة جديدة من
اللي سلمنا بندرسها في Calculus A اللي هي عبارة عن
قاعدة Lobital Lobitals Rule
اللي هي قاعدة لوبيتال لإيجاد النهايات وهذا بنستخدمه
في وضع خاص سنتعرض له في حينه وبنظر إلى آخر
section موجود في هذا ال chapter حاجة اسمها
relative rates of change
بنشوف كيف سلوك دالتين أو تطور الدالتين أو نمو
الدالتين لأنما الـ X تكبر تصل إلى ما لا نهاية طبعا
ماحدش بيوصل لـ ما لا نهاية يقول لما الـ X تنزل تاوله إلى ما لا
نهاية بنشوف مين أسرع من التانية مين أبطأ من
التانية هل الدالتين The same rate يعني بالطور أو من
نفس المعدل الأولى هذا الموضوع هذا ال section يبقى
هذا كل ما يتعلق ب chapter 7 بعد chapter 7 نروح
لمين؟ لـ chapter 8 chapter 8 يا شباب اللي هو
techniques of integration
ماذا يعني technique بالعربي؟ طرق
المختلفة
للتكامل ما هي الطرق اللي بنستخدمها في تكامل الدالة
طبعًا هذه كلها كلاسية خدنا التكامل بالتعويض وخدنا
التكاملات البسيطة العادية لكن هنا في الثانوية
العامة أخذت integration by parts التكامل بالأجزاء
اللي احنا بنتسميه تكامل بالتجزئة يبقى الحالة دي من
جديد بس ما نا واسعلك كثير عن الثانوية العامة يبقى
الحالة دي أول شغل اللي هو integration by
parts التكامل بالتجزئة بعد هيك هنشرح القاعدة تبع
التكامل بالتجزئة نبدأ نأخذ أمثلة مختلفة عليها في
أوضاع مختلفة للمسائل لكن كلها بالدوران حول نفس مين
نفس المفهوم لكن هتلاقي فرق شاسع بين اللي أخذته في
التوجيهي وبين إيه وبين اللي بناخذه هنا في الجامعة
بعد ذلك نجي لحاجة تسمى trigonometric integrals
التكاملات المعتمدة على دوال المثلثية يبقى هنا
التكاملات اللي اعتمدت على دالة مثلثية مثلًا دالة
مثلثية زي sin sin أس خمسة x dx كاملة sin أس خمسة
x dx مثلًا tan أس ستة x dx حاصل ضرب sin في cos هذه
مرفوعة لأس وهذه مرفوعة لأس حاصل ضرب sec في tan
هذه مرفوعة لأسس وهذه مرفوعة لأسس يعني دوال المثلثية
بدنا نضربهم في بعض نرفعهم لأسس نخلي الزوايا مختلفة
هذه مثلًا كانت من x هذه sin أس خمسة x إلى آخرين بدنا
نأخذ القواعد كيفية تكامل مثل هذه المسائل وهذه لم
نتعرض لها في calculus A على الإطلاق بعد الـ
trigonometric integrals بدنا نجي لطريقة الأساسية
الثانية وهي الـ trigonometric substitution
التعويض
بدالة مثلثية في calculus A أخذنا تعويض بدالة عادية
بنشوف في المسألة اللي ممكن تعويض بالشكل اللي في
الـ calculus وبنشيلها وبنحط بدالها دالة متغيرة بنغير شكل
المسألة وبخليها مسألة لطيفة مقدور عليها وبالتالي
بنكامل وبتمشي الأمور طبعًا هنا لأ بدي أعوض في
بدالة مثلثية بدي أعرف أن الـ sign
ليش الثلاث تانيات؟ لأ هنقولك في أهني ليش طبعًا
كله هيأدي لنفس النتيجة يبقى الـ Trigonometric
Substitution التكامل بس التعويض في ذلك المثال، ليس
لكل مسألة، لبعض المسائل اللي بتكون بشكل معين، في
حينها سنكون كما هذا الشكل، ده طبعًا آخر طريقة من
طرق التكامل اللي هو integration by partial
fractions اللي هو بعدها الـ partial fractions
قررنا نشرح الـ directions من معامل الأمام لدوال اللي
بتبقى rational functions دوال نسبة الـ polynomial
في البسط polynomial في المقام وهنشوف كيف هنا
اللي اتعلمنا واحنا في الابتدائي والإعدادي و
الثانوي جمع الكسور عندي كسرين تلاتة أربعة بقدر
أجمعهم بوساطة المضاعف المشترك وبعمله كسر واحد هنا
عن العملية العكسية اللي ما اتعلمناهاش في المدرسة
الابتدائية والثانوية وغيرها كيف العملية العكسية؟
أنا عندي كسر وبدي أرجعه لأصله مجموعة من الكسور بكون
عندي rational function على الشكل كسر وبدي أحولها
إلى دالتين أو تلاتة أو أربعة ومن ثم لأقوم بإجراء
عملية التكامل يعني ببساطة المسألة التي صعب علينا
تكاملها إلى مجموعة تكاملات سهلة وميسورة يبقى هذه
اللي هي الـ partial fractions أي الكسور الجزئية بقيت
مقطعة واحدة فيها
المتكاملات المعتلة التكاملات المعتلة المعتلة هي اللي
فيها علة معينة أول شيء هذه التكاملات تكاملات
محدودة العلة قد تكون في التكامل وقد تكون في
الدالة المتكامل لها العلة الموجودة في التكامل قد
يكون أحد حدود التكامل أو كلاهما infinity وهذا لم
نتعرف به من قبل مرة واحدة في الـ calculus أن تقول
تكامل من رقم لمالانهاية أو تكامل من سالب مالانهاية
لرقم أو تكامل من سالب مالانهاية لمالانهاية هذا كله
لم نتعرف به في الـ calculus على الإطلاق يبدو هذه
الشغلة الجديدة
الدالة المراد تكاملها هذا العلم الثاني إيش يعني
الدالة المراد تكاملها الدالة اللي بدنا نتكاملها قد
تكون غير معرفة عند نقطة وهذه النقطة موجودة داخل
فترة التكامل كيف يعني لغة مبسطة بده تكامل من واحد
إلى خمسة لدالة x على x ناقص ثلاثة لكل تقييم هل
الدالة معرفة عند x تساوي ثلاثة؟ طبعًا لأ، ثلاثة
موجودة من واحد لخمسة معها يبقى هذا improper integral
تمام؟ يبقى .. هنعرف كيف هنحسب مثل هذا التكامل و
هتظهر عندنا كلمتين جديدتين لم نكن نفهمها من قبل أن
التكامل هذا قد يكون converged وقد يكون diverged
مثل الـ Improper Integral هذا قد يكون أنه converge
وقد يكون diverge، واحدة من الاثنين، لا ثالث لها مهما.
وإما التكامل يطلع converge، converge يعني إيش
تقاربه، يعني لما تحسب إن التكامل هذا بدي يطلع عندي
رقم، قيمة عددية طبعًا، لإحتمالية أنه يطلع مالانهاية
أو سالب مالانهاية
لذلك عندما تدخل في الـ improper integral ستسمع أو
تجي على كلمة سامع كلمة converge أو diverge
اللي كنت بتسمعها في الشابتر من الأول لغاية ما نوصل
هنا الـ section طبعًا؟ طبعًا كويس هدول الـ two
chapters إذًا يا شباب الشابتر الأول بدّوا شهر كامل
احنا ندرس فيه الشابتر الثاني بنيجيبه في أسبوعين ونص أو
يعني قصير بس الشابتر الأول طويل طيب نجي للشابتر اللي
بعده الشابتر اللي بعده هذا الشابتر كان يدوني للشابتر تسعة
أو نجر الفاتحة على روحه هذا شابتر معادلات تفاضلية
احنا المعادلة التفاضلية بنزلها مسافة كاملة لطلبة
العلوم والتربية والهندسة الكهرباء والحاسوب و
نحو ذلك إذًا هذه بنطلعها وبنعطيها كمبدأ مستقلة فلما
نعطيها هنا بنرجع على المسافة كأنها بالكهرباء تكرهها
بنقولها خليها يعني بنروح على شابتر عشرة الشركة
العشرة للـ infinite sequences
sequences
and infinite series
وجه المتتابعات اللانهائية المتسلسلات
اللانهائية الـ sequences هذه الـ infinite sequences
سكشن واحد من الشابتر باقي الشابتر كله عن الـ infinite
series إيش بدنا ندرس في هذا الشابتر بدنا ندرس هل الـ
sequence أو الـ series هذي بتبقى converge ولا diverge
فقط الشرطة من الأول للآخر طبعًا كيف converge ولا
diverge بدنا نستخدم لها الشغلة دي أحد الأمور
الثانية قد نستخدم الـ limit للحكم على الـ sequence هل
هي converge أو diverge بالنسبة للـ series فهنا
ثلاثة series مشهورة وهي الـ geometric series والـ
harmonic series والـ P series وفيها ستة اختبارات
بواسطتهم هقدر أحكم على الـ series هل هي converge أو
diverge الاختبار
التست وهذا سيعتمد فقط على الـ preparant brand
يعني يا شباب هذا الشابتر مستقل بباقي علينا عن
الشابترين اللي سبقوا فيش ارتباط بينهم إلا في حالة
أن اختبار التكامل بنرجع للـ preparant brand
مع بعض ما لهمش علاقة يعني كنا في وادي وانتقلنا إلى
وادي آخر سبعة وثمانية بيكونوا مع بعض تمام مترابطين
ملتزمين مع بعض شابتر عشرة ما لهش دعوة إلا section
اللي هو التابع للـ integral test ما هو section الـ
improper integrals يبقى اختبار الحد اللي هو اختبار
التكامل اختبار المقارنة comparison test نهاية
اختبار المقارنة limit comparison test هي أربعة
الخامس الـ ratio test اختبار النسبة السادس اختبار
الجانب النوني الـ infra test بواسطة الشغلات دي بقدر
أكمل على series هل هي converge أو diverge بظل عندنا
نقطتين في هذا الشطر حاجة اسمها taylor series و
maclaurin series يبدأ تجيب هنا كمان taylor series
and maclaurin series
متسلسلة مكلورين هي حالة خاصة لمتسلسلة تايلور
هذه اللي جالها وقت إيش؟ إذا عندي دالة والدالة بدي
أحطها على شكل series على شكل متسلسلة نقدر يعني إن
نحط الدالة الموجودة زي الـSin X على شكل متسلسلة نقدر
يعني نكتب الـSin كمجموعة حدود عاجها الليلة اللي هي
نقدر الـSin والـCos والـExponential Function والـ
Natural Number ودالة واحد على X وكل الـ... يعني
من الدوال هذه؟ هذه هي الدوال التي لها معنى رهاية من
المشتقات تمام؟ إذا الدوال التي لها معنى رهاية من الـ
derivatives نقدر نعمل هذه الـseries كيف؟ هذا ما
ستعرفه في حينه كيف؟ مثل الحلقة الخاصة من تايلور هذا
ما ستعرفه في حينه
بينوميال كثيرة حدود بينوميال حدين بينوميال series
متسلسلة ذات الحدين اه لو راجعنا بالذاكرة على الصف
الـ 11 وناخد النظرية ذات الحدين بس كان
النظرية ذات الحدين سين زائد ألف كله أس نون حيث نون
عدد صحيح موجب صحي ولازم يكون الشعب نسيب
نون زائد ألف كله أس نون يساوي سين أس نون زائد نون
قاف واحد ألف سين أس نون ناقص واحد إيش نون قاف
واحد هذه ترافيق نون من ماشاء ماخودة واحد واحد زائد
نون قاف اثنين ترافيق نون من ماشاء ماخودة اثنين
اثنين اثنين.لو نقع في اثنين ألف تربيع سيل أصل
ناقص اثنين وهكذا زائد زائد.لقاعد ما وصل الى ألف أصل
عدد الحدود N زائد واحد.زي ما نقول سيل زيادة في كل
تربيع.سيل تربيع زيادة اثنين.
ثلاثة رغم أن القس جداش اثنين لو كان القس ثلاثة
بيطلع عندك أربعة حدود لو كان القس أربعة بيطلع خمسة
حدود وهي كده دائماً هو عبارة عن عدد حدود المكون
أكبر من القس اللي عندك المقار هذا لو كان إن عدد
صحيح موجب بتنقل المفكوك اللي عندك تنزل واحد من
الحدود احنا هنا في البرنامج نشتغل صحيح قد إيه بس
القس صحيح لا قبل قد يكون كسر سالب قد يكون عدد
السالب صحيح أولاً نأخذ الـ general form وبالتالي لو
قلت السالب واحد وجدت أشتقه بكمل بيقول السالب اثنين
أو السالب ثلاثة أو السالب أربعة يبقى مستمر لو يبقى
ما له نهاية من هنا سمينا الـ binomial series لحد
هنا نكون انتهينا من الشطر 10 ونأتي الآن لآخر شطر
في المقرر الشطر 11 الشطر 11 يا شباب ما له علاقة
بالإفلاق كله أول شطرين مرتبطين مع بعض هذا انتقلنا
إلى ودي آخر لأنه انتقل إلى ودي آخر ما لهوش علاقة
باللي قبله هذا الشطر كله هندسة تحليلية لو روح
للكتاب الأساسي تبعك هذا ها ها بتلاقي مكتوب عليهم
Calculus و Analytic Geometry يبقى حساب التفاضل
والتكامل وهندسة تحليلية هذا الشطر فيه ثلاث نقاط
رئيسية
Path parametrization of a Plane Curve يبقى
هذه النقطة اللي موجودة في هذا الشطر إيش يعني؟
أول شيء Plane Curve شو معناها؟ منحنٍ موجودة في
المستوى يعني في مستويات الصورة في مستويات اللوحة
اللي قدامك في مستويات صفحات الكتاب اللي قدامك
مرسوم المنحنٍ هذا اسمه plane curve يعني مش في
الفضاء مش في الـ space يعني إنه بعدين وليس ثلاثة بس
لو كان في الفضاء ممكن تخيله تبع المحاور الثلاثية تبع
المحاور الثلاثية تبع الـ Z X axis Y axis
هذا الكلام يقوم بالكالكولاز بيه
بنقول احنا من الترجمة حرفياً بنقول parameter لكن
الترجمة العربية الصحيحة وسيط parameter يعني وسيط
كيف يعني وسيط؟ بنا نفهم أولا بيقولنا متغير ثالث
بدخل متغير ثالث اللي علاقة مع الاثنين دخلنا هذا
الدنيا صار هذا وسيط بصير المعادلة الأصلية كتبناها
بصيغة أخرى أو بمعادلتين أخريين أو بثلاث معادلات
أخريات كدل العالمين على المعادلة الأصلية مثلاً زي
إيش مثلاً لو جلس سألناكم قلنا لكم إيش معادلة
الدائرة اللي مركزها المقطة الرأسية ونصف قطرها
ومساوي إيه؟ كله على الفلال أخدناها في العدالة
أخذناها في الفانة
لكن لو جيت وقلت لك x تساوي a cos θ و y تساوي a
sin θ قلت لك ربع اثنين واجمع ما فيش مصير a تربيع
كسين تربيع تيتا زي a تربيع سين تربيع تيتا خذ a
تربيع عامل مشترك بغير كسين تربيع زي الـ sin تربيع
اللي يبقى عامل يبقى x تربيع زي الـ y تربيع يساوي a
تربيع المعادلتين هذين الـ x يساوي a كوسين تيتا و y
يساوي a سين تيتا بسميهم معادلة الـ parameter يلي
معادلة الدائرة يعني أنا نقلت معادلة دائرة من الصيغة
الكارتيزية إلى الصيغة الجديدة اللي هو اسمه
فيتا بس مثال بسيط هذا مجرد إشارة اليوم لإيه
المفهوم الـ parametric equations أو
parametrization of a plane curve خلاصنا من هذه
نجي لحاجة اسمها النقطة الثانية
ماذا يعني polar coordinates؟ الإحداثيات القطبية
يعني أنت قول قطب polar قطبية إذا polar
coordinates الإحداثيات القطبية من يوم ما صرت تتعلم
رياضيات من الابتداء إلى وراية من أصل إلى رمح النقطة
وأنت بتشرح
الإحداثية الديكارتية والإحداثيات المستقيمة.هنا
هنتقل إلى نوع آخر من الإحداثيات اللي هو الإحداثية
القطبية.بدل ما كله نكتب المعادلة بدلالة X و Y
بالنصيب نكتبها بدلالة R و θيتا. R اللي هو بعد
النقطة اللي موجودة على أول الحلقة النقطة
مع نكس اكس زاوية بيسميها ثيتا وبالتالي بنكتب
المعادلة بدلالة R وثيتا قبل شغال بيقص فيها هذه كيف
أحول النقطة من الإحداثية الديكارتية إلى الإحداثية
القطبية والعكس من قطبي إلى ديكارتي كيف بده أحول
المعادلة اللي عنده من ديكارتي إلى معادلة قطبية أو
من معادلة قطبية إلى معادلة ديكارتية مش عاجبكوا بس
لابدنا نعرف كيف بدنا نرسم المنحنٍ اللي عندنا في
الإحداثيات القطبية دون الرجوع إلى كم كبس إيه تشوف
لمقاطع تقاطع ونشتاق ونجيب الـ asymptotes ونجيب الـ
increasing والـ decreasing والـ local maximum هذا
كلام عرفناه عليه الزمن اللي هنعلمك طريقة كيف ترسم
المنحنٍ بالإحداثيات القطبية مش هجدكوا بس، لكن ما
نعرف كده المساحة اللي موجودة بين المنحنيين في
الإحداثيات القطبية زي ما درسناها ديكارتي في
calculus A هدرسها في calculus B الإحداثيات كيف
نحسبها بالإحداثيات القطبية يعني في هذه النقطة
الثانية من هذا الشطر بقية النقطة الثالثة والأخيرة
الـ mainly conic sections
ماذا يعني conic sections بالعربي؟ ممتاز يبقى هنا
مقول conic sections القطوع المخروطية جاء من كون
مخروط conic مخروطي يبقى conic sections القطوع
المخروطية اللي بارد اللي يفيد إيده فوق كم قطع
مخروطي موجودة لها؟ قبل اه ثلاثة
على الدنيا هي في رواية ثانية اخترق العلماء واحد
خلقه فيه والواحد انفع إليه ها في حد عارف إنه
جابها؟ طيب القطوع المخروطية المعروفة والمشهورة بين
العلماء ثلاثة
أقول دراسة نص قطعة دراسة أنت ما أنت داري إنه هذا
نص قطعة مخروطة كيف؟ أول حاجة الخط المستقيم كله
دراسة الخط المستقيم مظبوط سواء كيميكال كولاسية ولا
بالثانوية هذا الأمر لا يعني لو جيبنا مخروط زي
الورقة بتاعت التورط ولا بتاعت الفلافل اللي بيساويها
أو زي التاج اللي بيحطوه على رؤوس الأولاد الصغار في
المناسبات هذا مخروط لو جيت عامل له مقطع على من شقّ
المستوى اللي بتعمله ويقطع هذا المخروط بطبع شكل
القطع قد يكون خط مستقيم أو خطين مستقيمين متقاطعين
ويعتبر خط مستقيم درسنا عن الخط المستقيم قد يكون
دائرة درسناها كويس قد يكون قطع مكافئ القطع
المكافئ حسبنا له الـ vertex و الـ axis من هنا هذا
خدمة قبلك اللي هو المصطلح
بالقطع المكافئ والـ Directrix اللي هو الدليل للقطع
المكافئ يبقى في عند الـ focus والـ direct يبقى على
نفس المستوى اللي هم نتكلم عنه احنا على كل ما ما ناخدش
ولا حاجة ونرجع للصفارة بالنسبة لمن؟ للقطع المكافئ
طيب يبقى القطع المكافئ اللي هو اللي هو القطع رقم
ثلاثة بالنسبة للقطوع المخروطية اللي كانت المعادلة
يمكننا نقول Y تساوي X تربيع أو X تساوي Y تربيع حسب
ما هم متواجد فوق ومن اليمين أو الأسفل أو من الشمال
طبعًا يعني هنعطيه في الـ general form هنعطيه في
الصورة العامة القطع الرابع هو القطع البيضاوي القطع
الناقص يبقى هذا هو اللي بس طبعًا في calculus إيه
بذكركم في section واحد اثنين في موضوع الـ shifts
درسنا مين درسنا بس إشارة خفيفة نعملوا القطع الناقص
احنا هناخده تفصيليًا وهتلاقي له مش لفوكس واحدة إلا
two فوكس اثنين مش واحدة تمام؟ وبعد ما نخلص القطع
هذا بنروح للقطع الخامس اللي هو القطع الزائد اللي
هو الـ hypergula يبقى hypergula قطع مكافئ إلبس قطع
ناقص hypergula اللي هو قطع زائد وبرضه إلا بفوكسين
كمان
والقطع الناقص ما هو two direct traces دليلين لكن
المكافئ اللي هو دليل واحد و focus واحدة تمام؟ طب
الـ conic sections هذا بنا ندرسه كارتيزيا ولا كولي
ولا كلاهما؟ كلاهما المحور هو الـ conic sections
هنا ستاند بيكون غطينا ما هو مطلوب أن ندرسه خلال
مين خلال هذا الفصل إن شاء الله تعالى. الآن افتح
المجال لأي تساؤل في دماغك حول المادة حول المثاق
حول أي حاجة نفسنا احنا جاهزين لأن نستمع ليه بيحب
يسأل أي سؤال عندي؟ التطبيق
في غير الملنجة، في الكلام اللي أنجزته، في الكلام
اللي بحيث أنه لم يقل وكان من الواجب أن يقال، مع
أنه شمال عم نسمع. اه؟ خلاص؟
إذا حضرنا ما يكتر منكم، نكتر من هذا القدر. السلام
عليكم.