1 00:00:19,490 --> 00:00:25,010 بسم الله الرحمن الرحيم نعود الآن إلى محاضرة الصباح 2 00:00:25,010 --> 00:00:30,130 بدأنا في محاضرة الصباح ب Koshi Euler equation 3 00:00:30,130 --> 00:00:34,290 حطينا الصيغة العامة لها و بعدين خدنا حالة منها 4 00:00:34,290 --> 00:00:36,850 خاصة اللي هو كانت من 5 00:00:48,230 --> 00:00:52,730 المعادلة الأصلية تبعت كوشي ولا ريكوشي ان هناك 6 00:00:52,730 --> 00:00:58,380 طريقان للحلالطريق الأول اللي هو بالتعويض قلنا لو 7 00:00:58,380 --> 00:01:04,980 حطينا التعويضة X يساوي E قص T خدنا لن للطرفين فصار 8 00:01:04,980 --> 00:01:11,080 T تساوي لنا X اشتقنا DT على DX يساوي 1 على X ثم 9 00:01:11,080 --> 00:01:15,880 بعد ذلك روحنا جيبنا Y' وYW' بدل ما الاشتقاق 10 00:01:15,880 --> 00:01:20,260 بالنسبة لX حولنا الاشتقاق بالنسبة إلى T وبالتالي 11 00:01:20,260 --> 00:01:24,490 عوضنا طارمينالـ Variables وسمينا هذه هي الطريقة 12 00:01:24,490 --> 00:01:29,270 الأولى يعني الطريقة الأولى بوسط تعويضة بتبعدنا 13 00:01:29,270 --> 00:01:35,110 حولنا المعادلة من معادلة بمعاملات متغيرة إلى 14 00:01:35,110 --> 00:01:39,670 معادلة بمعاملات ثابتة وبالتالي بنروح نحل هذه كما 15 00:01:39,670 --> 00:01:44,090 كنا بنحل في ال sections الماضيةانتقلنا الان الى 16 00:01:44,090 --> 00:01:49,970 الطريقة الاولى اللى كتبناها قبل ساعتين من الان 17 00:01:49,970 --> 00:01:56,510 طريقة يفترض ان Y يسوى X أس R عبارة عن solution و 18 00:01:56,510 --> 00:02:00,170 رحنا اشتغلنا مرة مرتين تلاتة N من المرات و عوضنا 19 00:02:00,170 --> 00:02:07,400 في المعادلةحصلنا على المعادلة المساعدة 20 00:02:07,400 --> 00:02:13,440 أو المعادلة المميزة للمعادلة الأصلية و رحلنا هذه 21 00:02:13,440 --> 00:02:17,880 المعادلة لما جينا نحل هذه المعادلة صار عندي أحد 22 00:02:17,880 --> 00:02:22,780 ثلاثة احتمالاتالاحتمال الأول الاحتمال التاني 23 00:02:22,780 --> 00:02:26,760 الاحتمال التالت سميتها ثلاث حالات نجي للحالة 24 00:02:26,760 --> 00:02:30,800 الأولى لو question double star هذه المعادلة 25 00:02:30,800 --> 00:02:35,900 المميزة has indifferent roots يبقى صار عندي R واحد 26 00:02:35,900 --> 00:02:40,700 لا يسوى R اتنين لا يسوى R ثلاثة لا يسوى لا يسوى RN 27 00:02:40,700 --> 00:02:45,220 ولا واحد زي التاني ما هو الشكل العام للحل يبقى 28 00:02:45,220 --> 00:02:48,160 الشكل العام للحل C1 في X وسط R1 29 00:02:56,780 --> 00:03:01,000 الحلوق يبقى كونصا في الأول و كونصا في التاريب و 30 00:03:01,000 --> 00:03:05,420 يمثل ال general solution إذا الحلوق كانوا real and 31 00:03:05,420 --> 00:03:11,030 differentبنجي للحالة التانية لو equation star has 32 00:03:11,030 --> 00:03:16,070 complex roots المعادلة طالعة عندما فيها جذور 33 00:03:16,070 --> 00:03:20,890 تخيلية فعلى سبيل المثال لو أخد جذرين منهم ماذا 34 00:03:20,890 --> 00:03:25,330 يكون شكل الحل يبقى باجي بقول الحل بيكون x to the 35 00:03:25,330 --> 00:03:31,390 power إيه؟ ليش؟لأنه بدي يطلع اللي هو ال R يسوي A 36 00:03:31,390 --> 00:03:37,450 زائد IB تمام؟ A زائد و ال conduct تبعه A ناقص IB 37 00:03:37,450 --> 00:03:41,470 الحل الأول R واحد A زائد IB و الحل التاني R اتنين 38 00:03:41,470 --> 00:03:47,510 بديه يسوي A ناقص IB يبقى ال E ال X قص A في مين؟ في 39 00:03:47,510 --> 00:03:53,230 C واحد cosine B لن ال X زائد C اتنين sine B لن ال 40 00:03:53,230 --> 00:03:59,050 X يعني يا بناتهنا كنا نقول هناك في الحقيقي في 41 00:03:59,050 --> 00:04:04,550 التخيلة لما كانوا المعاملات حقيقية بقى نقول C1 Cos 42 00:04:04,550 --> 00:04:11,050 Bx ماعنديش Lin لكن هنا جانبين Lin X زي C2 Sin B 43 00:04:11,050 --> 00:04:16,140 Lin X الحالة التالتةالحالة التالتة لحالة الـ real 44 00:04:16,140 --> 00:04:20,000 قد يكون real و repeated و قد يكون complex و 45 00:04:20,000 --> 00:04:24,300 repeated فكيف بنسوي في هذه الحالة يبقى باجي للحالة 46 00:04:24,300 --> 00:04:27,780 الأولى ال equation اتنين has real repeated rows of 47 00:04:27,780 --> 00:04:33,000 multiplicity S عدد مرات التكرار S والباقي يمكن 48 00:04:33,000 --> 00:04:38,320 يكون real يا اما S ممكن يكون كله complex وتساوي N 49 00:04:38,320 --> 00:04:43,740 بس بشرط ان ال N عدد زوجييبقى بيصير R واحد يساوي R 50 00:04:43,740 --> 00:04:48,700 التاني يساوي RS يساوي R يبقى في هذه الحالة شكل ال 51 00:04:48,700 --> 00:04:52,400 general solution زي شكله with constant 52 00:04:52,400 --> 00:04:57,720 coefficients ما عدل X بشيله و بحط بدالهالن ال X 53 00:04:57,720 --> 00:05:02,240 والباقي كل شيء زي ما هو تطلع C1 C2 لن X C3 لن X 54 00:05:02,240 --> 00:05:07,700 نرويها C4 لن X تكريم لغاية ما وصل ل CS لن X أُس S 55 00:05:07,700 --> 00:05:15,890 -1 في X أُس R لأن الأُس هذا صار مكرر تمام؟طيب لو 56 00:05:15,890 --> 00:05:20,210 كانوا ال roots are repeated complex conjugate لو 57 00:05:20,210 --> 00:05:24,610 كانوا هذا real لو كانوا complex يبقى بدي يصير الحل 58 00:05:24,610 --> 00:05:29,450 X أس A زي ما هي تبعتي تبعت ال complex بس ايش بدي 59 00:05:29,450 --> 00:05:32,930 يصير A واحد زي دي اتنية لن ال X زي دي A أس لن 60 00:05:41,450 --> 00:05:48,130 الثوابت المتغيرات C1 وC2 لغاية CS كلها في SIN BLN 61 00:05:48,130 --> 00:05:54,460 Xيبقى هذه بدي أفهمها إنها عبارة عن مين عبارة عن 62 00:05:54,460 --> 00:06:00,000 الحل X أس A في الجوس الكبير هذا polynomial من 63 00:06:00,000 --> 00:06:05,540 الدرجة لأن S ناقص واحد في ال cosine P لن X زي ال 64 00:06:05,540 --> 00:06:09,000 polynomial من نفس الدرجة sin P لن X في حتة ال 65 00:06:09,000 --> 00:06:13,340 complex لكن في حالتها ال real لا عندي cosine ولا 66 00:06:13,340 --> 00:06:19,360 عندي sin polynomial فقط لغير في X أس Aهل بتحب تسأل 67 00:06:19,360 --> 00:06:24,660 اي سؤال هنا قبل ان ندخل الامثلة؟ 68 00:06:31,850 --> 00:06:35,070 ماشي المثال الأول طبعا احنا حققنا معانا طريقتين يا 69 00:06:35,070 --> 00:06:39,290 بنات ان قيدني بطريقة بدي التزم في انجل يوز the 70 00:06:39,290 --> 00:06:44,330 substitution X يساوي E يساوي T يعني بده مين؟ بده 71 00:06:44,330 --> 00:06:48,450 يحول المعلق يمكن يقول لي كمان اجيبلي السؤال بطريقة 72 00:06:48,450 --> 00:06:52,690 ثانية يعطي المعلق ويقول لي change او use the 73 00:06:52,690 --> 00:06:57,630 substitution X يساوي E يساوي T to changeهذه هي 74 00:06:57,630 --> 00:06:59,670 الاختصار الاختصار الاختصار الاختصار الاختصار 75 00:06:59,670 --> 00:07:00,610 الاختصار الاختصار الاختصار الاختصار الاختصار 76 00:07:00,610 --> 00:07:01,190 الاختصار الاختصار الاختصار الاختصار الاختصار 77 00:07:01,190 --> 00:07:01,570 الاختصار الاختصار الاختصار الاختصار الاختصار 78 00:07:01,570 --> 00:07:04,430 الاختصار الاختصار الاختصار الاختصار الاختصار 79 00:07:04,430 --> 00:07:09,830 الاختصار الاختصار الاختصار الاختصار الاختصار 80 00:07:09,830 --> 00:07:12,630 الاختصار الاختصار الاختصار الاختصار الاختصار 81 00:07:12,630 --> 00:07:14,450 الاختصار الاختصار الاختصار الاختصار الاختصار 82 00:07:14,450 --> 00:07:20,360 الاختصار الاختصار الاختصار الاختصار اليبقى اول 83 00:07:20,360 --> 00:07:23,180 مثال يقول find the general solution of the 84 00:07:23,180 --> 00:07:27,580 differential equation ولم يقيدني ما قيدنيش لكن انا 85 00:07:27,580 --> 00:07:30,720 كونه اول مثال بدي احله بالطريقتين و بدي ابين ان 86 00:07:30,720 --> 00:07:35,380 الطريقتين ما لها نفس الشيء مابتغيرش فيها ايه ولا 87 00:07:35,380 --> 00:07:39,260 حاجة يبقى بدي اجي للحل الأول اللي عندنا هذا 88 00:07:43,620 --> 00:07:51,100 يبقى بداجة اقول استخدم التعويضة put X يساوي E أُس 89 00:07:51,100 --> 00:07:58,260 T هذا بتعطيك T يساوي لن X هذا بتعطيك الـDT على DX 90 00:07:58,260 --> 00:08:05,720 يساوي 1 على X and الـY' يا بنات كده اش طلعت؟ مش 1 91 00:08:05,720 --> 00:08:12,120 على X في الـDY على DT صح؟ طب والـY W' 92 00:08:17,770 --> 00:08:26,430 دي سكوير واي على دي تي سكوير ايوة ناقص دي واي على 93 00:08:26,430 --> 00:08:35,000 دي تيطب الحمد لله بس انت بتفرض التعويضة و تقول اذا 94 00:08:35,000 --> 00:08:37,700 كذا ماعنديش مشكلة ماعنديك تروح تستنتجيها من أول و 95 00:08:37,700 --> 00:08:41,760 جديد لكن اذا كنت نسيها بديك تروح تستنتجيها من أول 96 00:08:41,760 --> 00:08:46,560 و جديد طيب يبقى الان بدي امسك المعلومات هذه و اعوض 97 00:08:46,560 --> 00:08:51,120 وين في المعادلة اللي هي أصلي اللي هي star يبقى 98 00:08:51,120 --> 00:08:55,000 باجي بقول المعادلة star بصير x تربية في ال y w 99 00:08:55,000 --> 00:09:03,930 prime هيهي 1 على X تربيع في D²Y على DT² ناقص DY 100 00:09:03,930 --> 00:09:10,050 على DT بالشكل اللي عندنا هنا اللي بعدها ناقص 3X 101 00:09:10,050 --> 00:09:16,170 فيه بدي أشيل ال Y' و أحط قيمة تالية 1 على X في DY 102 00:09:16,170 --> 00:09:24,510 على DT خلصنا منها زائد 4Y مش غيرهاتمام كل هذا 103 00:09:24,510 --> 00:09:29,590 الكلام يساوي كده؟ Zero اظن X تربيه مع X تربيه راحت 104 00:09:29,590 --> 00:09:35,010 مع السلامة يبقى D Square Y على DT Square ناقص DY 105 00:09:35,010 --> 00:09:42,650 على DT ناقص تلاتة DY على DT زائد أربع Y بدأت ساوي 106 00:09:42,650 --> 00:09:52,040 Zeroلو روحت جماعة تمهدول بصير D2Y على DT2 ناقص 4DY 107 00:09:52,040 --> 00:10:00,600 على DT زائد 4Y بده يسوي قداش Zeroأطلع في المعادلة 108 00:10:00,600 --> 00:10:04,680 star واطلع في المعادلة بعد التعويض كيف صارت 109 00:10:04,680 --> 00:10:09,820 المعادلة star المعاملات عندي متغيرات بدلالة ال X 110 00:10:09,820 --> 00:10:15,400 لكن لما حطيت التعويض هذه حولت إلى معادلة بمعاملات 111 00:10:15,400 --> 00:10:21,460 ثابتة إذا بتروح أحلي المعادلة هذه بمين؟ بالمعاملات 112 00:10:21,460 --> 00:10:29,110 الثابتة كيف بنين الحل؟ let Y تساوي E أسار Tماعنديش 113 00:10:29,110 --> 00:10:33,250 X هنا بطل يصير عندي X الشغل نتهوّل من دلالة X إلى 114 00:10:33,250 --> 00:10:38,810 دلالة T يبقى بداجي أقول له let وسمّيلي هذه 115 00:10:38,810 --> 00:10:47,970 المعادلة رقم Star let Y تساوي E أُس RT ب A 116 00:10:47,970 --> 00:11:00,120 solution ofإذا كانت المقارنة مربوطة ثم المقارنة 117 00:11:00,120 --> 00:11:05,500 الخاصة هي 118 00:11:06,540 --> 00:11:14,900 R تربيع نقص اربعة R زائد اربعة يساوي Zero يعني هذه 119 00:11:14,900 --> 00:11:21,440 مالها R نقص اتنين لكل تربيع يساوي Zero يبقى الجذور 120 00:11:21,440 --> 00:11:31,280 حقيقية ومكررة كم مرة مرتين يبقى هذا معناه ان R 121 00:11:31,280 --> 00:11:41,750 تساوي اتنين of multiبالإضافة لـ ECT2 كرّرة مرتين 122 00:11:41,750 --> 00:11:52,930 إذا بدأت أقول له the general solution of equation 123 00:11:52,930 --> 00:12:00,880 double star is Y to sevenمش طبعا انا كنت ملعب 124 00:12:00,880 --> 00:12:04,660 دلالة text احنا راهيب نشغل على T يبقى شو بدي يصير 125 00:12:04,660 --> 00:12:16,560 تكرار مرتين يبقى C1 زي C2T في قداش في E أس اتنين T 126 00:12:16,560 --> 00:12:19,620 طب 127 00:12:19,620 --> 00:12:27,050 الجواب ايش طلعناه؟دلالة ايش؟ T و الاصل بدرجة او 128 00:12:27,050 --> 00:12:30,370 بدلالة X بكون جيب تحليل المعادلة الأصلية اللي هو 129 00:12:30,370 --> 00:12:34,970 Star يبقى باجي بقوله The general solution of 130 00:12:34,970 --> 00:12:44,730 equation A star is ال Y يساوي C1 زائد C2 مقداش ال 131 00:12:44,730 --> 00:12:57,360 T حطناها مقداش؟لأن الـ X في E أُس 2 لأن الـ Xمظبوط 132 00:12:57,360 --> 00:13:03,480 يبقى ايه صارت بدلة لثمين ال X هذهها يا بنات هي C1 133 00:13:03,480 --> 00:13:12,320 زائد C2 لن X نجي هذه مش هذه E لن X تربيع اتنين 134 00:13:12,320 --> 00:13:17,420 بدخلها جوا اللم ال E و ال L عكس بعض يبقى صار جداش 135 00:13:17,420 --> 00:13:23,860 X تربيع يبقى هذا الحل بالطريقة الأولى بدنا نروح 136 00:13:23,860 --> 00:13:30,980 نحل بالطريقةبالطريقة الثانية نجربها لأنه ماقاليش 137 00:13:30,980 --> 00:13:34,980 احنا اتنين في الامتحان انا اجيب بالي الطريقة 138 00:13:34,980 --> 00:13:37,080 الأولى و روحت حل التباهي انت اجيب بالي الطريقة 139 00:13:37,080 --> 00:13:41,200 الثانية بنشوف هل الطريقتين بيعطوني نفس الحل ولا كل 140 00:13:41,200 --> 00:13:48,100 واحد بتعطيني حل شكل الله أعلم تعالي نشوف ايوة مين 141 00:13:48,100 --> 00:13:52,420 اللي بتسأل احنا؟ طيب بنفعل الحل اللي هي ال 142 00:13:52,420 --> 00:13:54,060 differential equation 143 00:13:56,980 --> 00:14:00,120 بإيش؟ كيف كنا بنحلها في الشفتر الأول؟ مش هاي احنا 144 00:14:00,120 --> 00:14:04,320 قولنا little y ساوي E أقصر R T هي طريقة .. لأ لأ 145 00:14:04,320 --> 00:14:07,660 هي ال equation star two stars هذي بنحلها زي ما كنا 146 00:14:07,660 --> 00:14:10,420 نحلها سابقا star ولا double star? double star و 147 00:14:10,420 --> 00:14:13,560 double star ما احنا بنحلها زي قبل لأ زي اي هم شفتر 148 00:14:13,560 --> 00:14:16,520 واحد second order differential equation أخدنا two 149 00:14:16,520 --> 00:14:20,990 cases special cases T missing و X missingفيش مشكلة 150 00:14:20,990 --> 00:14:24,030 أحديها بأي طريقة، لكن مين اللي أسأله؟ هذي والله 151 00:14:24,030 --> 00:14:27,190 الـx مسجد و الـt مسجد، هذي بيخلّجي بلها الدورة، 152 00:14:27,190 --> 00:14:30,650 وانت حر بقى، تروح و ترجع، تتعقز في الكلام اللي 153 00:14:30,650 --> 00:14:34,210 عطيك، انت حر، هذا شأنك، أنا بدي شغل، بس الشغل يكون 154 00:14:34,210 --> 00:14:39,330 صحيح، بأي طريقة تشتي، ما لم أقيدكي، فيش تقييد، 155 00:14:39,330 --> 00:14:43,310 خلاص، شغل اللي بديكي يعني، ماشي؟ طب لو صار 156 00:14:43,310 --> 00:14:47,990 الـthird orderيبقى نفعش الكلام اللي اتيه يبقى 157 00:14:47,990 --> 00:14:51,590 يخليه يتعود كل طريقة بناخدها نتعودها مش نهملها و 158 00:14:51,590 --> 00:14:58,030 نسيبها طيب بنيجي نكمل يبقى هذا بالشكل اللي عندنا 159 00:14:58,030 --> 00:15:02,970 هذا و خلي كيس تلاتة يمكن تلزم يبقى بالدهجة اللي 160 00:15:02,970 --> 00:15:07,570 اقول الان a second solution 161 00:15:09,270 --> 00:15:20,410 بعد ذلك اقول لت Y تسوى X أُس R بيه solution of the 162 00:15:20,410 --> 00:15:23,770 equation star 163 00:15:26,940 --> 00:15:32,660 بدا اجيب Y' اللي هو مين؟ R X أُس R ماينوس الوان 164 00:15:32,660 --> 00:15:39,260 بعدين بدي اجيب ال Y W' R في R ماينوس الوان في X 165 00:15:39,260 --> 00:15:45,010 أُس R ماينوس الاتونبتاخد المعلومات وروح اعوض وين 166 00:15:45,010 --> 00:15:53,470 في هذه المعادلة يبقى يا بنات ايش بيصير؟ XYW'-3XY 167 00:15:53,470 --> 00:15:57,030 'زائد 4Y يساوي 168 00:16:03,280 --> 00:16:14,800 يبقى X تربية في الـ YW' هي R في R-1 في X أُس R-2 169 00:16:15,220 --> 00:16:22,500 ناقص ثلاثة X في الـ Y' هيها اللي هي R في X أُس R 170 00:16:22,500 --> 00:16:30,200 minus ال 1 زائد أربعة ال Y أنا فرضها بقداش ب X أُس 171 00:16:30,200 --> 00:16:35,880 R X أُس R كله بده يساوي Zero تعالى نشوف في هذه كيف 172 00:16:35,880 --> 00:16:39,420 صارت هل هي X ترميل لما تدخل جيوب الصين هذي X أُس 173 00:16:39,420 --> 00:16:45,340 قداشأس ار ار نقص اتنين و عندك كده اتنين بيصير أس 174 00:16:45,340 --> 00:16:51,200 ار يبقى هذه بيصير الار في الار minus ال one في ال 175 00:16:51,200 --> 00:16:57,760 X أس ار ناقص تلاتة تلاتة 176 00:16:57,760 --> 00:17:05,780 X أس واحد مع X أس R يبقى تلاتة R X أس R زائد أربعة 177 00:17:05,780 --> 00:17:12,770 X أس R يسوى كده؟ Zeroأحنا فرضنا هذا الـ solution 178 00:17:12,770 --> 00:17:17,490 علما بأن الـ X هنا بنات جداش قلنا من Zero إلى 179 00:17:17,490 --> 00:17:20,570 Infinity في الجزء النظري يعني دائما وابدا أكبر من 180 00:17:20,570 --> 00:17:26,090 مين أكبر من الـ Zero إذا ممكن قسمت هذه الطرفين كله 181 00:17:26,090 --> 00:17:31,830 على مين؟ على X أُس R يبقى بصير عنا R في R ناقص 182 00:17:31,830 --> 00:17:40,820 واحد زائد تلاتة R زائد أربع يساوي ZeroR في R ناقص 183 00:17:40,820 --> 00:17:49,120 واحد عندك هنا ناقص اهينا ناقص اهي ناقص R وهذه ايه 184 00:17:49,120 --> 00:17:52,940 اللي هي ناقص بالشكل اللي عندنا هنا يبقى بناء صلة 185 00:17:52,940 --> 00:17:59,860 المعادلة على الشكل R تربية ناقص R ناقص 3R زائد 4 186 00:17:59,860 --> 00:18:06,240 بده يساوي 0 يبقى R تربية ناقص 4R زائد 4 تساوي 0 187 00:18:06,240 --> 00:18:13,030 مين هي هذه؟characteristic equation يبقى هذا معناه 188 00:18:13,030 --> 00:18:18,890 ان الار ناقص اتنين لكل تربية يساوي zero هذا معناته 189 00:18:18,890 --> 00:18:25,110 ان الار بدي ساوي اتنين و مكررة كده مرتين اذا بدي 190 00:18:25,110 --> 00:18:33,650 اطبق عليها اتكرار فبجي بقوله the general solution 191 00:18:33,650 --> 00:18:35,630 is 192 00:18:37,660 --> 00:18:47,800 Y تساوي C1 زي C2 من X، هل في أكتر من ذلك؟ هؤلاء 193 00:18:47,800 --> 00:18:52,920 المقارنة مرتين حطيت حالين، في من؟ في X أُس R، R 194 00:18:52,920 --> 00:18:58,860 بقدرش؟ ب2، طلع إلى الحل هذا و الحل هناك هو 195 00:18:58,860 --> 00:19:04,660 الاختلافيبقى لي اتنين ار داسيم سواء كان الحل اللى 196 00:19:04,660 --> 00:19:08,560 عندي هذا او الحل اللى عندي هذا، مادام ما قيدنيش 197 00:19:08,560 --> 00:19:12,700 اللى بتحل بالحل الثاني ماشي، بتحل بالحل الأول، 198 00:19:12,700 --> 00:19:19,340 ماشي طبعا الحل الثاني أسهل، خلاص انت حرة، بس إذا 199 00:19:19,340 --> 00:19:24,020 قيدتك بدك تلتجي مين، أحيانا بنقيد و أحيانا لا، انت 200 00:19:24,020 --> 00:19:24,860 و بختك عندك 201 00:19:45,810 --> 00:19:53,290 هذا اول مثال له سؤال 6 من الكتاب المثال الثاني له 202 00:19:53,290 --> 00:20:02,450 سؤال 10 من الكتاب مثال 2 هذا سؤال 10 من الكتاب 203 00:20:02,450 --> 00:20:09,790 يقول السؤالThe differential equation of x تربيع و 204 00:20:09,790 --> 00:20:18,490 y double prime ناقص خمسة x y prime زائد تلتاشر y 205 00:20:18,490 --> 00:20:22,810 بده يساوي zero وهذا اللي بدي أسميها main و اللي 206 00:20:22,810 --> 00:20:31,170 بدي أسميها ال start يبقى 207 00:20:31,170 --> 00:20:32,990 بدي أبدأ solution 208 00:20:36,130 --> 00:20:39,630 أظن أنه لا يوجد دا على الطريقين بيكفيني واحدة لكن 209 00:20:39,630 --> 00:20:44,230 التان تان اتعلمناهم تاني أسهلي خلاص بالتاني يبقى 210 00:20:44,230 --> 00:20:50,270 باجي بيقول في الطريق ان ال Y يسوى X أُس A ب 211 00:20:50,270 --> 00:21:01,410 solution of equation A star with X greater than 0 212 00:21:01,410 --> 00:21:09,400 يبقى thenالـ Y' بدي يسوى R X أُس R مينوس الـ 1 213 00:21:09,400 --> 00:21:17,620 وYW' R في R مينوس الـ 1 في X أُس R مينوس الـ 2 214 00:21:17,620 --> 00:21:28,040 الآن بدي بقوله Substitute in equation star we get 215 00:21:28,860 --> 00:21:34,600 نحصل على ما يدى هى ال X تربيه برا وهى هدى R W 216 00:21:34,600 --> 00:21:40,120 Prime R في R minus ال one في X أُس R minus ال two 217 00:21:40,120 --> 00:21:46,900 اللى بعدها ناقص خمسة X في ال Y Prime R X أُس R 218 00:21:46,900 --> 00:21:53,600 minus ال one اللى بعدها زائد تلتاشر X أُس R كله 219 00:21:53,600 --> 00:22:01,500 بده يساوي Zeroهذه لو فكتها R في R minus ال one في 220 00:22:01,500 --> 00:22:10,460 X أُس R ناقص خمسة R X أُس R زائد تلتاشر X أُس R 221 00:22:10,460 --> 00:22:16,630 بده يساوي Zeroأظن لو جسمنا على الـ X أُس R بنحصل 222 00:22:16,630 --> 00:22:21,650 على الـ characteristic equation على الصيغة التالية 223 00:22:21,650 --> 00:22:30,480 ناقص خمسة R زائد تلتاشر يساوي Zeroأو بمعنى آخر R 224 00:22:30,480 --> 00:22:39,100 تربيع ناقص R ناقص خمسة R زائد تلتاشر يساوي Zero أو 225 00:22:39,100 --> 00:22:49,260 R تربيع ناقص ستة R زائد تلتاشر بده يساوي Zero وهذه 226 00:22:49,260 --> 00:22:52,320 اللي بنسميها ال characteristic 227 00:22:59,700 --> 00:23:04,580 بعد إكسار الشغل الروتيني بدي أحلل المعادلة هذه هل 228 00:23:04,580 --> 00:23:10,740 يمكن تحليل هذه المعادلة؟في إمكانية لكن كلها من 229 00:23:10,740 --> 00:23:14,120 الدرجة الثانية مش قادرة أحللها بروح بحل بالقانون 230 00:23:14,120 --> 00:23:19,260 واللي الله سبحانه وتعالى يفرجها تمام؟ يبقى باجي 231 00:23:19,260 --> 00:23:25,160 بيقول هذا R وانا متأكد انه سيفرج سيفرجها إذا الله 232 00:23:25,160 --> 00:23:28,920 مافرجهاش مين بده يفرجها؟ يبقى هاي ناقص بقى بيصير 233 00:23:28,920 --> 00:23:33,340 ستة زايدة أو ناقص الجدرى التربية ستة في ستة 234 00:23:51,950 --> 00:24:02,040 أربعة في تلاتاش باتنين وخمسين52 مضال 235 00:24:02,040 --> 00:24:13,460 قداش سالب 16 على 2 يعني 6 زائد او ناقص اللي هو 4I 236 00:24:13,460 --> 00:24:21,360 كله مقسم على قداش 2 يبقى بده يساوي 3 زائد او ناقص 237 00:24:21,360 --> 00:24:29,050 2Iيبقى عنا ال a هنا بقدش يا بنات و ال b تساوي كده 238 00:24:29,050 --> 00:24:34,850 اذا بقدر اجيب ال general solution يبقى بروح بقوله 239 00:24:34,850 --> 00:24:46,270 the general solution of the differential equation 240 00:24:46,270 --> 00:24:57,330 star is y تساوي x أُس rيبقى X أُس كده؟ أُس تلاتة، 241 00:24:57,330 --> 00:25:03,850 X أُس إيه؟ فيه عندنا جذرين، اتنين are conjugate 242 00:25:03,850 --> 00:25:10,310 ومافيش غيرهم، يبقاش باجي بقول C واحد كوصين، كده يا 243 00:25:10,310 --> 00:25:14,130 بنات؟ اتنين، اتنين، اتنين، اتنين، اتنين، اتنين، 244 00:25:14,130 --> 00:25:14,130 اتنين، اتنين، اتنين، اتنين، اتنين، اتنين، اتنين، 245 00:25:14,130 --> 00:25:14,130 اتنين، اتنين، اتنين، اتنين، اتنين، اتنين، اتنين، 246 00:25:14,130 --> 00:25:14,130 اتنين، اتنين، اتنين، اتنين، اتنين، اتنين، اتنين، 247 00:25:14,130 --> 00:25:14,130 اتنين، اتنين، اتن 248 00:25:23,910 --> 00:25:30,470 كف الله المؤمنين والقتال هذا كان المثال رقم اتنين 249 00:25:30,470 --> 00:25:37,330 بدنا نروح للمثال رقم تلاتة مثال رقم تلاتة بيقول ما 250 00:25:37,330 --> 00:25:46,280 يأتي solve ذاDifferential Equation مثل المعادلة 251 00:25:46,280 --> 00:25:53,260 التفاضلية X تكيب Y triple A prime Y triple A prime 252 00:25:53,260 --> 00:26:00,240 ناقص X تربيع و Y double A prime زائد X في Y prime 253 00:26:00,240 --> 00:26:05,920 بده يساوي كم؟ بده يساوي Zero وهذه هي المعادلة رقم 254 00:26:05,920 --> 00:26:09,520 start خليني 255 00:26:09,520 --> 00:26:20,060 أسأل السؤال التاليهل هذه كوشي اويلر اكويشن؟ هل 256 00:26:20,060 --> 00:26:25,460 هذه كوشي اويلر اكويشن؟ هل 257 00:26:25,460 --> 00:26:32,080 هذه كوشي اويلر اكويشن؟ هل هذه كوشي 258 00:26:32,080 --> 00:26:38,050 اويلر اكويشن؟ هل هذه كوشي اويلر اكويشن؟أنا كنت 259 00:26:38,050 --> 00:26:41,650 بسألها سؤال مش شايفة، كنت شايفة المكتوب على 260 00:26:41,650 --> 00:26:44,270 الدافع، بس أنا .. ايه مكتوب؟ هي فوق و قدامك أنا 261 00:26:44,270 --> 00:26:53,690 بسأل فيه هذا، هذي كوشويلة equation؟ طلع 262 00:26:53,690 --> 00:26:57,190 في القصة تبع ال X و طلع في المشتقة، زي بعض و الله 263 00:26:57,190 --> 00:27:03,800 بختلفواكلهم زي بعض حتى وان غاب term حتى وان غاب 264 00:27:03,800 --> 00:27:09,220 two terms يعني احنا لو شيلنا كمان هذا بتظهر كوشي 265 00:27:09,220 --> 00:27:12,580 او ايلار اكويشين حتى لو شيلنا اتنين هذول بتظهر 266 00:27:12,580 --> 00:27:18,780 كوشي او ايلار اكويشين بهمن الأس تبع ال X يكون جد 267 00:27:18,780 --> 00:27:23,580 المشتقة بالضمن تكييب يجب علي المشتقة التالتة تربية 268 00:27:23,580 --> 00:27:26,140 يجب علي المشتقة التانية يجب علي الصحة صوتنتين 269 00:27:26,140 --> 00:27:31,310 غاليكم معايا كويس دينا بالكميبقى بدنا نجي لمن؟ ل 270 00:27:31,310 --> 00:27:34,890 الحل يبقى بدي افترض بنفس الطريقة التكتيكي اللي 271 00:27:34,890 --> 00:27:44,390 اتبعته هنا بداشي اقوله افترض ان ال Y تساوي X أُس R 272 00:27:44,390 --> 00:27:49,870 ب solution of 273 00:27:49,870 --> 00:27:58,510 equation star with X greater than 0يبقى بدنا اكتب 274 00:27:58,510 --> 00:28:01,050 ال characteristic equation دغري يا بنات و الله ايش 275 00:28:01,050 --> 00:28:09,330 رايكوا يبقى the characteristic equation is طب يالا 276 00:28:09,330 --> 00:28:12,490 مدام دغري ينجلوني كدهش ال characteristic equation 277 00:28:12,490 --> 00:28:18,310 اللي هي دي R في كدهش في R ناقص واحد في R ناقص 278 00:28:18,310 --> 00:28:28,010 اتنين مظبوط و هنا ناقصهذه قدرات R في R ناقص واحد 279 00:28:28,010 --> 00:28:35,910 وهذه زائد R كله بده يساوي قدر زيب يعني كأنه عوّط 280 00:28:35,910 --> 00:28:40,590 واشتقت وقسمت على X plus R وصلت زي ما كنا بنعمل في 281 00:28:40,590 --> 00:28:45,070 حالة ال equations with constant coefficients 282 00:28:45,070 --> 00:28:49,230 بالضبط تماما طيب ضايق افكك هذه المعادلة اظن ان 283 00:28:49,230 --> 00:28:54,070 عندي هنا Rوعندي هنا R وعندي هنا R بقدر أخدها برا 284 00:28:54,070 --> 00:28:58,630 عامل مشترك إذا لو أخدت ال R برا عامل مشترك كده 285 00:28:58,630 --> 00:29:03,210 بيظل عندي؟ حصل ضرب الأثنين هذول اللي هو R تربية 286 00:29:03,210 --> 00:29:11,350 ناقص ثلاثة R زائد اتنين صح؟ وهنا هذي بيصير ناقص R 287 00:29:11,350 --> 00:29:16,370 زائد واحد وهذه بيظل عندي كدهش لما أخدت منها R بظل 288 00:29:16,370 --> 00:29:19,710 واحد مظبوط هيك؟ أه 289 00:29:23,260 --> 00:29:32,360 هذه R في R تربية عندك ناقص 3R و ناقص 4R ناقص 4R دل 290 00:29:32,360 --> 00:29:37,740 عندك اتنين و اتنين كمان كده اربعة كله بده يساوي 0 291 00:29:37,740 --> 00:29:42,780 اذا شكل ال characteristic equation صارت R في R 292 00:29:42,780 --> 00:29:51,330 ناقص اتنين لكل تربيةيبقى الـ roots واحد 293 00:29:51,330 --> 00:29:55,070 منهم مكرر مرتين ممتاز جدا 294 00:30:17,600 --> 00:30:35,540 Y ثم Y ساعةيبقى C1 في X أُس 0 C2 295 00:30:35,540 --> 00:30:46,940 زائد C3 لأن X في X أُس 2 يبقى هذا شكل ال general 296 00:30:46,940 --> 00:30:51,420 solution اللي عندكحد فيكم لأي استفسار قبل أن أذهب 297 00:30:51,420 --> 00:30:58,580 إلى المثال الذي يليه في أي تساؤل؟ هاي، أروح الآن 298 00:30:58,580 --> 00:31:05,280 للمثال اللي بعده 299 00:31:05,280 --> 00:31:14,740 يبقى 300 00:31:14,740 --> 00:31:16,280 بداجي لـExample 4 301 00:31:27,600 --> 00:31:28,860 Solve the equation 302 00:31:34,610 --> 00:31:43,150 Equation المعادلة X ناقص تلاتة لكل ترابية في ال Y 303 00:31:43,150 --> 00:31:51,090 double prime زائد تلاتة في X ناقص تلاتة في ال Y 304 00:31:51,090 --> 00:31:57,950 prime زائد Y بده يساوي Zero وال X greater than 305 00:31:57,950 --> 00:31:58,770 تلاتة 306 00:32:30,510 --> 00:32:37,270 السؤال الذي سألناه قبل قليل قائماً ولكما Is it a 307 00:32:37,270 --> 00:32:39,170 Cauchy-Euler equation؟ 308 00:32:43,960 --> 00:32:53,640 هو مضمون ان X أكبر من 3 لان X أكبر من 0 لان X أكبر 309 00:32:53,640 --> 00:32:57,360 من 3 لان X أكبر من 100 لان X أكبر من 3 لان X أكبر 310 00:32:57,360 --> 00:33:01,020 من 100 لان 311 00:33:01,020 --> 00:33:01,640 X أكبر من 3 لان X أكبر من 3 لان X أكبر من 100 لان 312 00:33:01,640 --> 00:33:02,100 X أكبر من 3 لان X أكبر من 3 لان X أكبر من 3 لان X 313 00:33:02,100 --> 00:33:05,140 أكبر من 3 لان X أكبر من 3 لان X أكبر من 3 لان X 314 00:33:05,140 --> 00:33:06,740 أكبر من 3 لان X أكبر من 3 لان X أكبر من 3 لان X 315 00:33:06,740 --> 00:33:06,840 أكبر من 3 لان X أكبر من 3 لان X أكبر من 3 لان X 316 00:33:06,840 --> 00:33:06,840 أكبر من 3 لان X أكبر من 3 لان X أكبر من 3 لان X 317 00:33:06,840 --> 00:33:08,880 أكبر من 3 لان X أكبر من 3 لان X أكبر من 3 لان X 318 00:33:19,830 --> 00:33:25,030 يبقى افترض الحل على الشكل طبعا اتطلعي الأس اللي 319 00:33:25,030 --> 00:33:28,530 هنا هو نفس المشتقة الأس اللي هنا هو نفس المشتقة و 320 00:33:28,530 --> 00:33:33,010 هكذا تمام اذا هذه كوشي أولى equation يبقى بدأ 321 00:33:33,010 --> 00:33:41,980 اقوله little y تساوي x ناقص تلاتة أس Rبا solution 322 00:33:41,980 --> 00:33:53,300 of the above differential equation طب 323 00:33:53,300 --> 00:33:59,220 لو جيت بدي أجيب ال Y' يبقى R في ال X ناقص تلاتة و 324 00:33:59,220 --> 00:34:02,920 ر ناقص واحد في مشتقة مداخل القوس 325 00:34:05,730 --> 00:34:15,870 عن طريق الـ YW' يبقى R في R-1 في X ناقص 3 أُس R-2 326 00:34:15,870 --> 00:34:21,400 في مشتقة مداخل القصر اللي هو الجداجعوض في المعادل 327 00:34:21,400 --> 00:34:26,080 اللي فوق لو جيت عوض في المعادل اللي فوق بصير X 328 00:34:26,080 --> 00:34:32,040 ناقص تلاتة لكل تربيع في ال YW prime اللي هو R في R 329 00:34:32,040 --> 00:34:37,320 minus ال one في X ناقص تلاتة to the power R minus 330 00:34:37,320 --> 00:34:44,420 twoزائد تلاتة X ناقص تلاتة في ال Y prime اللي هي R 331 00:34:44,420 --> 00:34:50,500 X ناقص تلاتة to the power R minus one زائد Y اللي 332 00:34:50,500 --> 00:34:54,560 هي X ناقص تلاتة to the power R كله بده يساوي Zero 333 00:34:55,280 --> 00:35:00,200 بتعيد كتابتها يبقى R في R ناقص واحد في X ناقص 334 00:35:00,200 --> 00:35:09,520 تلاتة أس R زائد تلاتة R زائد تلاتة R فاهمين في ال 335 00:35:09,520 --> 00:35:16,820 X ناقص تلاتة أس R زائد X ناقص تلاتة أس R كله بده 336 00:35:16,820 --> 00:35:24,240 يساوي Zeroالـ X ناقص تلاتة هذا مقدار أكبر من الـ 337 00:35:24,240 --> 00:35:28,480 Zero إذا موجب بقدر أقسم عليه بدون مشاكل يبقى لو 338 00:35:28,480 --> 00:35:33,020 قسمت كله على X ناقص تلاتة أس R بحصل على ال 339 00:35:33,020 --> 00:35:39,060 characteristic equationبالشكل التالي اله دي mean R 340 00:35:39,060 --> 00:35:45,320 في R minus ال one زائد تلاتة R زائد واحد بده يساوي 341 00:35:45,320 --> 00:35:51,640 Zero او ان شئتم فقولوا R تربيع و عندك ناقص R زائد 342 00:35:51,640 --> 00:35:56,860 تلاتة R بيظل زائد اتنين R زائد واحد يساوي Zero 343 00:35:56,860 --> 00:36:04,260 يبقى هدى R زائد واحد لكل تربيعيساوي Zero يبقى ال R 344 00:36:04,260 --> 00:36:10,540 تساوي سالف واحد of Multiplicity 345 00:36:10,540 --> 00:36:16,680 كدهش؟ اتنين اتنين مكررة مرتين يبقى أصبح The 346 00:36:16,680 --> 00:36:32,860 General Solution Of The Equation Is Y تساويX وC 347 00:36:32,860 --> 00:36:40,540 ايه يا بنات هنا؟ والله مش بنكتب كرر مرتين يبقى إيش 348 00:36:40,540 --> 00:36:54,040 بدي أقوله؟ C1 زائد C2 لإن كده؟X ناقص ثلاثة يبقى X 349 00:36:54,040 --> 00:37:02,540 ناقص ثلاثة تمين في ال X ناقص ثلاثة أس اللي هو 350 00:37:02,540 --> 00:37:11,080 قداشر اتنين هك ماشي للحل صحيح بالمية ال X أس مش 351 00:37:11,080 --> 00:37:18,060 اتنين سالب واحد احنا طلعناها ال R أس سالب واحدلحد 352 00:37:18,060 --> 00:37:21,380 هنا stop in the intersection ولا يكون أرقام 353 00:37:21,380 --> 00:37:29,420 المسائل يبقى أرقام المسائل exercises خمسة خمسة 354 00:37:29,420 --> 00:37:37,200 بدنا المسائل من واحد إلى خمستاشر وكذلك سؤال واحد 355 00:37:37,200 --> 00:37:38,080 وعشرين 356 00:37:43,580 --> 00:37:46,960 في كلمتين حابين نقولهم في ال section اللي بعده 357 00:37:46,960 --> 00:37:52,500 بدون ما نعطي ولا مثال ولا نطلب منكوا تحلوا مثالين 358 00:37:52,500 --> 00:37:58,400 مقدمة اشي احنا بجينا نشتغل يا بنات على ال 359 00:37:58,400 --> 00:38:01,900 homogeneous differential equation بدنا نبدأ الآن 360 00:38:01,900 --> 00:38:06,160 الشغل على ال homogeneous differential equation 361 00:38:06,160 --> 00:38:14,410 فاكتبلي ال section خمسة ستةخمسة ستة الهي non 362 00:38:14,410 --> 00:38:32,010 homogeneous differential equations definition 363 00:38:32,010 --> 00:38:35,730 they none 364 00:38:37,570 --> 00:38:46,150 Homogenous differential equation is 365 00:38:46,150 --> 00:38:54,530 an equation in the form طبعا كل شغل non 366 00:38:54,530 --> 00:39:01,390 homogeneous linear differential equation على الشكل 367 00:39:01,390 --> 00:39:03,810 التالي A0 368 00:39:28,500 --> 00:39:29,900 Y1Y2Y3Y4Y5Y6Y7Y8Y9Y10Y11Y12Y11Y12Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11 369 00:39:31,410 --> 00:39:40,310 Where حيث capital F of X لا يمكن أن تساوي zero عند 370 00:39:40,310 --> 00:39:50,190 ال a naught وال a one و لغاية ال a n may or may 371 00:39:50,190 --> 00:39:53,970 not or may not 372 00:39:58,640 --> 00:40:04,740 بـColostans يعني ممكن يكونوا ثوابت وممكن يكونوش 373 00:40:04,740 --> 00:40:15,880 ثوابت يبقى باجي بقوله F YC يساوي واحد Y واحد C 374 00:40:15,880 --> 00:40:24,640 اتنين Y اتنين CNYN is the 375 00:40:31,990 --> 00:40:44,230 complimentary solution of 376 00:40:44,230 --> 00:40:50,090 the 377 00:40:50,090 --> 00:40:53,570 homogenous 378 00:40:54,300 --> 00:41:01,900 Differential Equation لـ a0 y to the derivative n 379 00:41:01,900 --> 00:41:10,100 زائد a1 y to the derivative n minus one زائد زائد 380 00:41:10,100 --> 00:41:20,800 a n minus one y prime زائد a ny بدو يساوي zero and 381 00:41:20,800 --> 00:41:33,910 ifYP هو مصطلح مصطلح 382 00:41:33,910 --> 00:41:40,090 مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح 383 00:41:40,090 --> 00:41:40,270 مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح 384 00:41:40,270 --> 00:41:45,030 مصطلح مصطلح 385 00:41:45,030 --> 00:41:46,410 مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح 386 00:41:46,410 --> 00:41:46,450 مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح 387 00:41:46,450 --> 00:41:48,730 مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح م 388 00:41:52,260 --> 00:42:00,500 The general solution 389 00:42:00,500 --> 00:42:06,140 of the differential 390 00:42:06,980 --> 00:42:18,600 Equation star is y يساوي yc زائد yp ولو بدي ساوي 391 00:42:18,600 --> 00:42:30,280 c1 y1 c2 y2 زائد cn yn زائد yp 392 00:42:52,970 --> 00:43:10,410 فيرم F U P F U P SA particle is a particular 393 00:43:10,410 --> 00:43:14,970 solution 394 00:43:14,970 --> 00:43:28,270 of the differential equation 395 00:43:28,270 --> 00:43:30,710 L of Y 396 00:43:33,500 --> 00:43:48,680 الـ F of X and if ال V P is a particular solution 397 00:43:48,680 --> 00:44:03,080 of the differential equation L of Y يساوي G of X 398 00:44:06,330 --> 00:44:13,930 ثم مفهوم YP 399 00:44:13,930 --> 00:44:28,490 يساوي UP زائد في P هو مفهوم محدد مفهوم 400 00:44:28,490 --> 00:44:31,450 محدد من 401 00:44:34,590 --> 00:44:43,730 Differential Equation L of Y بده ساوي ال F of X 402 00:44:43,730 --> 00:44:55,730 زاد ال G of X يا 403 00:44:55,730 --> 00:44:59,990 حد هنا ماتكتبش اسمها باللجاعدات؟ خلاص؟ 404 00:45:02,010 --> 00:45:05,890 بيعطيكوا العافية لحد هنا انتهى هذا ال section 405 00:45:05,890 --> 00:45:12,430 المرة القادمة ان شاء الله اللي هو بعد العيد بعد 406 00:45:12,430 --> 00:45:19,970 الإجازة يعني بقى لإن بقينا طيبين بناخد من؟ بناخد 407 00:45:19,970 --> 00:45:25,710 ال two sections اللي ضالات في هذا ال chapter ومحل 408 00:45:25,710 --> 00:45:30,570 لل non homogeneous differential equationبإحدى 409 00:45:30,570 --> 00:45:34,970 طريقتين الأولى ال undetermined coefficients و 410 00:45:34,970 --> 00:45:39,810 الطريقة الثانية ال variation of parameters ان شاء 411 00:45:39,810 --> 00:45:39,990 الله