السلام عليكم هنكمل
اليوم section اربعة اتنين في ال section هذا كان
اتبقى بس ان احنا نثبت النظرية اللى كتبتها على
اللوحى النظرية هذه بتنص على ان لو كان في هندي
function من A لRو c cluster point للset a وإذا كان
limit ال function عن c exist وموجبة أو
على التوالي إذا كانت limit f of x عن c موجودة
وسالبة فيوجد
نقدر نلاقي delta neighborhood دي delta لل cبحيث إن
الدالة هتكون إذا كانت ال limit موجبة فالدالة هتكون
موجبة على ال delta never hood ل C وإذا
كانت ال limit سالبة فالدالة هتكون سالبة على جوار
delta ل C هذه
نظرية تشبه نظرية سابقة بخصوص limits of sequences
النظرية اللي فاتت بتاعة الـ sequences المشابهة
بتقول لو كانت ال sequence النهاية تبعتها limit x
in exist وموجبة فلازم ال sequence تكون حدودها من
capital N وانت طالع كلها موجبة و لو كانت ال limit
لل sequence exist و سالبة فلازم حدود ال sequence
من capital N وانت طالع كلها تكون سالبة فهذه شبيهة
فيهاوالبرهان سهل وشبيه بالبرهان تبع النظرية
المشابهة في حالة ال sequences فناخد الحالة assume
ناخد
الحالة اللي فيها ال limit ل
f of x at c exists and equals عدد l موجب
فإذا كانت ال limit موجبة بنا أثبت أن يوجد delta
neverhood إلى آخر A فخلّينا
ناخد let epsilon في الحالة دي let epsilon بساوي
L على 2 فهذا عدد موجبالان by definition of limit
of function by epsilon delta definition لأي
epsilon موجبة زي هذه يوجد delta تعتمد على L على 2
اللي هي ال epsilon عدد موجب بحيث انه لو كان X
ينتمي إلى a و absolute x minus c أصغر من delta
أكبر من 0 فهذا بتضمن أن absolute f of x minus L
أصغر من إبسلم اللي هي عبارة عن L ع 2
فحل المتباينة هذه في f of x فتصير f of x minus L
أصغر من L على 2 أكبر من سالب L على 2 وهذا
بيقدي أن
f of x
من هنا F of X تطلع أكبر من L على 2 لأنه لما أخد
سالب L أنجلها عن ناحية التانية فتصير F of X أكبر
من L سالب L على 2 تطلع L على 2 و ال L موجبة إذا L
على 2 موجبة إذا هيك بنكون أثبتناإن ال F of X طلعت
أكبر من سفر لمين لكل X تنتمي إلى A ومن
المتباينة هذه هذا معناه X لا تساوي Cإن الـ X ينتمي
إلى A و لا تساوي C يعني موجودة في A و مش موجودة في
singleton set C و المتباينة هذه هذي معناها إن X
ينتمي ل V Delta
x-c أصغر من دلتا بكافئ
إن X أصغر من C زائد Delta أكبر من C سارب Delta
فهذا
معناه X تمتني لفترة مفتوحة Delta-neighborhood ل-C
Okay تمام اذا f of x اللي اعطاها موجبة لكل x في a
ومختلفة عن c وايضا من هنا ال x أيضا تنتمي ل delta
neighborhood ل c وبالتالي تنتمي لتقاطع المجمعتين
اذا هذا بثبت المظرية في حالة لما يكون ال limit
تبعتي موجبة
لو كانت ال limit سالبة فالبرهان مشابه لأن ال
proof of the caseلما تكون ال limit ل f of x لما x
تقول ل c بساوي العدد سالب is similar to
above case مشابه
للبرهان السابق علىفي الحالة هذه take start with
epsilon بساوي سالب ال ع اتنين وهذا بطلع عدد موجب
يعني ابدوا البرهان بدل ما بدنا بepsilon بساوي ال ع
اتنين ابدوا ابسون .. ابسون بساوي
البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان
البرهان البرهان
لأن ال L سالمة و هذا صحيح لكل X في جوار Delta ل C
و في A minus single to C okay؟ لأن حاسبكم أنتم
تكتبوا البرهان تبع الحالة التانية تمام؟ واضح؟ في
أي سؤال أو سفسار؟ تمام؟
Okay إذا نبدأ section جديد
section
أربعة تلاتة
بعض التطبيقات .. بعض التطبيقات لـ
limit concept
بعض التعاملات أو توصية بعض مفاهيم النهايات احنا
قبل هيك درسنا في section 4.1 و 4.2 ال limit of
function او ال two sided limit لل function عن نقطة
معينة اليوم هندرس ال one sided limit ل function عن
نقطة and cluster point للمجال تبعهامقصود بال one
sided limit اللي هو limit من اليمين أو limit من
اليسار ونشوف ما هي علاقة ال one sided limit بال
two sided limit فنعرف
الأول definition نعرف ال one sided limit
definition let
fb function from a to r and c be a cluster point
cluster
point of a واحد او
خلّيالـ cluster point of المجموعة A
تقاطع الفترة المفتوحة من C إلى infinity اللي هي كل
ال X مجموعة كل العناصر X تنتبه إلى A حيث X أكبر من
C نقول
إن العدد alien 10 إلى R is
a right .. is a right hand limit .. right hand
limit of ال function F at ..x بساوي c if الشرط
التالي بتحقق لكل
إبسلون given
إبسلون
أكبر من السفر يوجد delta تعتمد علىepsilon عدد موجة
بهاث انه لو كان x ينتمي ل a و x minus c أكبر من
سفر أصغر من delta فهذا بتضمن ان absolute f of x
minus l أصغر من epsilon in
this case in
this casewe write نكتب أن ال limit لل function f
عندما x تقول إلى c من اليمين بساوي العدد ال ..
تمام؟ لأن هذا تعريف ال limit from the right أو ال
right hand limit لل function f عند النقطة c
إذا أنا عندي هذه خط الأعداد وهي النقطة C وانا عندي
ال C هي cluster point ل
A .. لكل ال X موجود في A و أكبر من C
فبنقول إن ال limit عند x بالساوية c أو ال function
في إلها right-hand limit و ال right-hand limit هي
العدد L إذا كان لأي إبسلون أكبر من السفر بتقدر
نلاقي delta عدد موجة بيعتمد على إبسلون بحيث لكل x
في المجموعة A إذا كانت ال X هذه على يمين ال C
والمسافة بينها وبين الـ C أصغر من Delta فبتطلع
المسافة بين F و XL أصغر من Y بالمثل
ممكن نعرف ال limit from the right يعني أنا بدي
أعرف ال limit from the right أو ال right hand
limitهي نفس let f be function from A to R و C
cluster point للمجموعة A تقاطع الفترة المفتوحة من
سالب مالة نهاية إلى C اللي هي كل ال X في A حيث X
هتكون أصغر من مرة هذه أصغر من Cفنقول إن الـ real
number L هو بدل right hand limit هيكون left hand
limit of f at c if given epsilon there exists
delta depends on epsilon بحيث أنه لكل x ينتمي إلى
aلكل X هنتمي إلى A وال X طبعا موجودة في الفترة هذه
يعني ال X المرة هذه على يسار المرة هذه ال X هتكون
موجودة في A وفي الفترة المفتوحة من سالب مالنهاية
إلى C يعني ال X هتكون على يسار ال C وبالتالي هنا
ال C minus المسافة بين X و C absolute X minus C
هتطلع بساوي C minus X فلو كانت المسافة هذه أصغر من
Delta وطبعا أكبر من سفر
هذا الشرط سيصبح c-x أصغر من دلتا أكبر من سفر فهذا
لازم يضمن أن absolute of f of x minus l أصغر من
إبسمن في الحالة هذه بيقول إن ال limit لf of x لما
x تقول لc من اليسار
بس n بساوي LL okay انها تعريف ال lift hand limit
او ال limit from the lift okay تعديل
بسيط بس طيب
ال limits هذه هنشوف يعني بعد شوية ان ال one sided
limits ده functional نقطةممكن يعني التنتين يكونوا
موجودين عند النقطة ويلهم نفس القيمة أو ممكن
التنتين يكونوا موجودين عند نقطة لكن قيمهم مختلفة
زي الـ Signum function عند الصفر شوفنا أن ال limit
تبعتها من اليمين واحد و ال limit تبعتها من اليسار
ثالث واحدإذا ممكن ال two sided limits يكونوا
موجودات لكن they are different مختلفات، ممكن برضه
one sided limit تكون موجودة and the other may not
exist، ممكن ما تكونش موجودة من أساسه
ممكن ال one sided limits ولا واحدة فيهم تكون
موجودة فكل الحلقات هذه هنشوفها في أمثلة لاحقة لكن
الأول خلّينا نبرهن النظرية التالية
طبعا هنا بنحب ال ..
النوّه أن كل نظريات اللي أثبتناها في section 4.1
أو 4.2 بخصوص ال two sided limit هتكون صحيحة بخصوص
ال right limit و كذلك صحيحة بخصوص ال left hand
limit
فعلى سبيل المثال وليس الحصر احنا أخدنا sequential
criterion sequential criterion for two sided limit
الآن هنكتب برضه sequential criterion for right
limit sequential criterion for right
hand
limits let f from a to r be function and c be
cluster
point of A then the following statements are
equivalent الأبارات التالية متكافئة واحد ال limit
ل F of X as X tends to C from the right exist
وبساوي عدد L اتنين
for for every sequence
x in contained in a تقاطع c و infinity such that
limit x in as n tends to infinity بيساوي c we have
limit
لل image of the sequence x in بيساوي العدد L
البرهان شبيه بالبرهان الخاص بالـ two-sided limit
فمثلا لو بدنا نبرهن proof لو بدى برهن الأبعار
الأولى بتأدي للتانية فبنقول assume .. نبدأ ب
assume أن ال limit ال right limitالـ F عند الـ C
exist بساوي L وبدنا
نثبت أن الـ two بيطلع العبارة تنين بتطلع صحيحة
لبرهان العبارة to prove two
holds
لت نبدأ لت xn contained in a تقاطع c إلى infinity
بsequence
such that ال limit تبعتها as n tends to infinity
بساوي c إذا أنا باخد sequence في المجموعة a
وحدودها كلهم أكبر من cو بفرض أن ال limit لل
sequence يادي بيساوي العدد c نحتاج أن نظهر عشان
نثبت اتنين باقي نثبت أن ال limit نحتاج أن نظهر أن
ال limit لل image of the sequence xn as n tends to
infinity بساوي Lهيك بنكون أثبتنا أن العبارة 2
صحيحة، مصبوط، صح؟ طيب لبرهان ذلك to
see this
بدأ اثبت ان ال limit لل sequence هذه بساوي عدد L
فبستخدم تعريف epsilon capital N لل limit فلازم
نبدأ with epsilon أكبر من السفر ب given طيب مش
احنا فرضينSince الـ right limit ل F and C موجود أو
بالساوي L من تعريف ال right limit there exists
delta depends on epsilon positive number بحيث إنه
لو كانت ال X تنتمي إلى A و X minus C أكبر من 0أصغر
من دلتا هذا معناه بيقدي أنه absolute f of x minus
L أصغر من إبسم نسمي ال implication هذي star now
for the aboveالدلتا أكبر من السفر لدلتا هذه
الاتباع الموجبة لدلتا هذه الاتباع الموجبة لدلتا
هذه الاتباع الموجبة لدلتا هذه الاتباع الموجبة
لدلتا هذه الاتباع الموجبة لدلتا هذه الاتباع
الموجبة لدلتا هذه الاتباع الموجبة لدلتا هذه
الاتباع الموجبة لدلتا هذه الاتباع الموجبة لدلتا
هذه الاتباع الموجبة لدلتا هذه الاتباع الموجبة
لدلتا هذه الاتباع الموجبة لدلتا هذه الاتباع
الموجبة لدلتا هذه الاتباع الموجبة لدلتا هذه
الاتباع الموجبة لدلتا هذه الاتباع الموجبة لدلت
natural number عدد طبيعي بحيث انه لو كان ال N أكبر
من أو ساوي capital N فهذا بتضمن ان absolute xn
minus c أصغر من delta نسمي ال implication هذه
double star
hence و بالتالي star and double star imply بيؤدوا
إلى ما يلي انه لو كانت ال N أكبر من أو ساوي
capital N فمن
double star
لو كانت n أكبر من أو ساوي capital N فمن double
star بطلع absolute xn minus c أصغر من delta هذا
بيقدّي أن xn
minus C أكبر من سفر أصغر من Delta ليه؟ لأن ال XM
موجودة تنتمي لإيه؟ هو أكبر من C، لذلك هذا لأن XM
أكبر
من Cفبالتالي absolute xn-c أكبر من 0 وبالتالي
absolute xn-c absolute عدد موجب بساوي نفسه لأن ال
absolute value هنا ل xn-c بساوي xn-c لأن xn أكبر
من c وطبعا
هذا أكبر من السفر لأن xn لا تساوي c أكبر من c الان
من ال star هذا بيقدي by starالـ star بتقول إذا
كانت ال X أو هنا في الحالة تبعتنا X in ال X in هذه
تنتمي لإيه؟ ال X in هي تنتمي لإيه؟ و بعدين هي عندي
X in سالب C أكبر من سفر أصغر من Delta إذا by star
بتطلع absolute F of X in minus L أصغر من Y تمام؟
الان نلاحظ ان ابسلون was arbitrary ابسلون
was arbitrary since
ابسلون أكبر من السفر was arbitrary اذا هيك بنكون
احنا أثبتناإنه لأي إبسلون أو لكل إبسلون يوجد Delta
لأ لكل إبسلون يوجد capital N يعتمد على ال Delta
وبالتالي تعتمد على إبسلون لأن ال Delta تعتمد على
إبسلون بحيث إنه لكل N أكبر من أو سوى capital N طلع
عندي absolute f of xn minus L أصغر من إبسلونإذاً
by epsilon capital N definition of limit بيطلع هيك
بيكون أثبتنا أنه limit ال sequence f of x n as n
tends to infinity بساوي L وهذا اللي بدنا يعني هذا
اللي احنا ايه اللي عايزين نثبته
إذاً هيك منكون أثبتنا أنه إيه اتنين holds وبالتالي
هيك هذا بيكمل برهان واحد implies two okay تمام؟
بالمثل ممكن انبرهن اتنين implies one
the proof of اتنين implies العبارة
التانية implies الأولى is similar is
similar to is
similar to proof of
the sequential criterion for two-sided limit
exercises
يعني اتمرنوا عليهاانا ارجع لبرهان ال sequential
criterion for two-sided limit وشوفوا اقرأوا
البرهان و اعملوا التعديلات البسيطة على البرهان لان
هنا احنا نتعامل مع right hand limit او limit from
the right rather than two-sided limit زي ما عملنا
في البرهان تبع واحد implies اتنين okay فحاسيبكم
انتوا تكتبوا البرهان تبع اتنين بيقدي لواحدبنفس
الطريقة اللى برهنها فى حالة ال two sided limit
okay تمام فى اى سؤال طبعا ممكن برضه ايضا يوجد
ممكننا نثبت sequential criterion for left hand
limit او limit from the left نفس الطريقةOkay فيعني
احنا مش هنكتب طبعا نظرية دي هنعتبرها نظرية قائمة و
صحيحة و مش بدون برهان okay تمام؟إذن هذه واحدة من
النظريات اللي برهناها في section 4.1 و 4.2 و
بالمثل كل نظريات اللي برهناهم لـ two sided limit
في section 4.1 و 4.2 هنعتبرهم قائمين أو نعتبر
نظريات هذه صحيحة لـ left limit و right limit
في نظرية أخرى مهمة وهي التعطيل
العلاقة بين ال two sided limits و ال one sided
limits ف
if b function from a to r and let c be a cluster
point
of
المجموعة a تقاطع الفترة المفتوحة from c to
infinity and of a تقاطعالـ open interval from
negative infinity to c then
الـ two-sided limit للـ function f and c بتكون
موجودة وبتساوي
عدد L if and only ifالـ one-sided limit أو الـ
limit from the right the limit at C from the right
exist و بساوي L and the limit of F at C from the
left exist و بتساوي نفس العدد L وهذه نظرية أخذناها
في تفاضل ألف إذا بتذكروا
متى ال limit عند نقطة في مجالها او cluster point
لمجالها بتكون exist بالساوية عدد اذا كانت ال limit
من اليمين موجودة و ال limit من اليسار موجودة و
التنتين متساويتين و بساوي نفس العدد هناك
بس ماكنش البرهان المطلوب منكم المرة دي احنا
مطالبينبالبرهان البرهان يعني كتير سهل ينتج من
التعريفات proof ف .. هحاول أبرهنلكم ال F part هذا
مسمى ال F part يعني هفرض أنه assume أنه
ال one sided limits
the limit from the right exist وبساوي L وكذلك
limit from the left موجودة
وبساوي العدد L وعايز اثبت ان ال limit from the two
sides exist اذا هنا هذا الفرض المطلوب
أكلم الـ two-sided limit لـ الـ function f at x
بساوي c exist و بساوي نفس القيمة أو نفس الأعداد L
لبرهان ذلك to see this لبرهان ذلك بنحاول نطبق
تعريف epsilon deltaلـ limit of function فبنبدأ
بنقول let epsilon أكبر من السفر be given طيب
أنا من الفرض أنا فارض تعالى نستفيد من الفرض للوصول
إلى المطلوب هذا برهان مباشر البرهان المباشر ده
ناخد الفرض بنشتغل عليه بنحط عليه شوية برات و بعدين
بنطلع منهالمطلوب فمن الفرض فرضين احنا ان ال limit
ل f of x as x tends to c positive لما انه ال limit
من اليمين عن c بساوي L y أكبر من سفر given by
definitionthere exists delta واحد بالساوي delta
واحد تعتمد على epsilon عدد موجب بحيث أنه لو كان x
ينتمي إلى a و x minus c أكبر من سفر أصغر من delta
واحد فهذا بتضمن أن absolute f of x minus l أصغر من
epsilon
نسمي الـ implication head star also كذلك بما أن
احنا فرضين ان ال limit ل f of x as x tends to c
from the left exist وequal نفس العدد L، اذا by
definition of left hand limitthere exists delta
تانية مش صارت الـ delta هذه تكون نفس الـ delta
اللي فوق ماحد بيقدر يجزم ذلك فنسميها delta تانية
there exists delta two depends طبعا بالتأكيد تعتمد
على إبسلون وعدد موجة بحيث أنه حسب التعريف لكل x
تنتمي إلى a و c minus x أكبر من سفر أصغر من delta
و 2 طبعا هذا بتضمن أن absolute f of x minus n less
than epsilon انسمي ال implication هذه double star
خلينا
ناخد كالعادة deltaنعرف delta على إنها minimum ال
minimum الأصغر بين delta واحد و delta اتنين طبعا
هذه بالتأكيد هيطلع الصغيرة بين الاتنين هتكون واحدة
منهم وبالتالي تطلع عدد موجب وتعتمد على epsilon إذن
هيثبت أن يوجد delta تعتمد على epsilon و ال delta
هي عدد موجب الان for this delta تعالى نشوف
لو كان x ينتمي ل a و absolute x minus c أكبر من
صفر أصغر من دلتا الان
بناخد delta بساوي ال minimum ل delta واحد و delta
اتنينطبعا بما ان دلتا واحد ودلتا اتنين اعداد موجب
اذا دلتا اعداد موجب وكذلك تعتمد على epsilon لان
دلتا واحد ودلتا اتنين تعتمد على epsilon الان لو
أخدت x تنتمي لمجموعة a و ال x صارت مختلفة عن ال c
و المسافة بينها و بين ال c أصغر من دلتا هذا معناه
هذا معناه انهال X لا تساوي C وبالتالي
ال X ممكن تكون اصغر من C او ال X اكبر من C فهذا
بيقدي انه ال .. ال
.. ال .. اذا كانت ال Xإذا كانت الـ X أكبر من C لو
كانت الـ X أكبر من C فهذا بقدّي أن absolute X
minus C بساوي X minus C بصير الـ absolute value
هذه عبارة عن X minus C هو أكبر من 0 أصغر من Delta
ولو كانتال X أصغر من C فال absolute value هذه
بيصير C minus X أكبر من سفر أصغر من Delta في
الحالة الأولى ال Delta تبعتي هذه أصغر من أو ساوي
Delta واحد صح؟ ال Delta هذه هي ال minimum ل Delta
واحد و Delta اتنين وبالتالي أصغر من أو ساوي Delta
واحد وبالتالي من ال starإذا كانت x تنتمي إلى a و x
minus c أكبر من سفر أصغر من دلتا واحد من ال star
بيطلع عندي absolute f of x minus L أصغر من يوإذا
كانت ال X أصغر من ال C فبطلع absolute X سالب C
بيطلع بيساوي C سالب X أصغر من Delta وطبعا X مستويش
C أكبر من 0 وال Delta هذه من تعريفها أصغر من أو
يساوي Delta 2باستخدام double star ال implication
double star لما يكون ال X تنتمي ل A و C minus X
أكبر من 0 أصغر من Delta 2 هذا بيقدر أن absolute F
of X minus L أصغر من إبسن إذن في كل الأحوال هذه
بتقدر أن absolute F of X minus L أصغر من إبسن
تمام؟
طب ما هذا هو تعريف epsilon delta لل limit of
function صح؟ إذا نيجي بنقول هنا since epsilon أكبر
من السفر was arbitrary
إذا احنا بنكون أثبتنا لكل إبسلون أكبر من سفر يوجد
Delta تعتمد على إبسلون عدد موجب بحيث لكل X تنتمي ل
A و Absolute X minus C أكبر من سفر أصغر من Delta
طلع عندي Absolute F of X في الحالتين minus L أصغر
من إبسلون وبالتالي إذا هذا صحيح لكل إبسلون
وبالتالي by إبسلون Delta definition of limitأو
function we have أثبتنا أن ال limit ل f of x as x
tends to c بساوي العدد L okay تمام، إذا هذا بثبت
اللي هو لو كان ال two sided limits موجودين
متساويتين، لأ لو كان ال one sided limitsكلا هما
موجودة و بساوة قيمة مشتركة L ف ال two sided limit
تطلع exist و قيمتها بساوة القيمة المشتركة الان
برهان العكس أسهل لذن هكتب هنا ال proof of
the canvas is easier أسهل
So exercise it يعني
اتمرّض عليها لو كانت ال two-sided limit exist فمن
السهل أن نثبت أن ال right hand limit exist و ال
left hand limit exist و كلهم لهم نفس القيمة okay
تمام؟إذا هنوقف هنا و في المحاضرة الجاية ان شاء
الله هناخد أمثلة على one-sided limits إما في اتين
موجودين و متساوياتين أو اتنين موجودين و مختلفتين
أو واحدة موجودة و اتنين مش موجودة و هكذا، هنشوف كل
الأنواع و كل ال situations، تمام؟ okay شكرا لكم و
نشوفكم ان شاء الله المرة القادمة