يلا بسم الله الرحمن الرحيم المحاضرات
السابقة يا بنات إحنا درسنا الأساسات في اللي هي
السلسلة الزمنية the time series أخذنا بصراحة كيف
اللي هو ال form تبعت ال moving average و ال auto
regressive والقيمة والسلسلة وأخذنا الأساسات
تبعت اللي هو ال auto covariance التعريف ال
definition تبع ال auto covariance و ال auto
correlation وحكينا عن ال regression العادي ال
linear regression وال smoothing و دي trend و دي
seasonalize وكتير من المفاهيم هذه والآن إحنا ما
زلنا في استكمال المحاضرات السابقة فيما يتعلق بيه
اللي هو ال models تبعون القيمة واللي واحد منهم
ال moving average اليوم إن شاء الله يعني إحنا في
حتى حقيقة ممكن نعتبره هذا exercise يعني مش شيء
جديد ممكن نقول لك استقل ال auto covariance و ال auto
correlation للسلسلة اللي هي moving average سواء
كانت moving average أو في درجة واحد أو moving
average in general of اللي هو ال degree تبعتها أو
ال order يعني اللي هو Q فممكن نعتبره exercise ومع
ذلك أنا ما حبيتش يكون exercise فهنمر عليه على السريع
اللي هو في محاضراتنا كيف نشتق اللي هو ال mean ال
variance ال auto covariance و ال auto correlation
ل moving average ونفس الكلام وبعدين هنعمله ال
auto regressive ثم الأرمى ماشي الحال؟ بالنسبة ل
ال moving average نبدأ في ال moving average of
order واحد ال moving average process of order
واحد اللي بتاني أكتب عليها صيغة هاو مش عارف مش
يعني مش غريبة عليكم ال epsilon هنا white noise ال
mean إيه لها zero وال variance sigma square و
عارف إيش هو يعني white noise يعني uncorrelated
بالزمن ما شاء الله طبعا يا بنات لو سألت واحدة منكم إيش ال
mean اللي هو ال expectation لل X فهتقولوا أنتو ال
expectation لمين ل epsilon T زي θ في epsilon T
ناقص واحد طبعا هذه ال epsilon T وسطها zero و T
ناقص واحد أيضا وسطها zero فإذا واضح أن ال
expectation لل series أو لل process ماله zero
which is what independent of time ولا لأ بالنسبة
للـ variance اللي هو عبارة عن تعريفه اللي بتذكروه
هو ال covariance عند ال lag 0 ال variance صح فهو
عبارة عن شو تعريف ال variance إذا ذكرينه هو
expectation ل X تربيع صح ناقص expectation ل X الكل
تربيع expectation ل X الكل تربيع هذا zero راح شو
صفة expectation X تربيع X تربيع اللي هي high X
اللي هي عبارة عن epsilon زائد θ epsilon T ناقص
واحد صح فلو ربعتيها هيعطيك اللي موجود بالجوس هذا
تربيع جوس عادي يا بنات epsilon T تربيع زائد 2
θ الأول في الثاني صح زائد اللي هو من الثاني تربيع
اللي هو هذا المقدار θ epsilon T ناقص واحد تربيعه
فبيطلع هيك بتعرفوا أن ال expectation linear شو يعني
linear يعني بتوزع على ال summation فلو وزعتيه بصف
في عندك expectation epsilon T تربيع التي هي ال
variance يعني sigma تربيع إذا أول مقدار يا بنات
هانا sigma تربيع زائد وزعيلي بالله ال expectation
على المقدار الثاني اللي هو 2 في θ في
epsilon T في epsilon T ناقص واحد هدول واضح أنه
uncorrelated لإبسلون لأنهم white noise صح؟ يعني ال
expectation اللي هو zero لإنه عند اختلاف الأزمنة T
وT ناقص واحد ففيش correlation فزيرو هذا راح زيرو زائد
المقدار الأخير θ ما هي constant تطلع برة ال
expectation فبتصير θ تربيع في بيضال مين
expectation أبسلون تربيع لمين sub T نقص واحد والتي
هي سيجما تربيع هناك سيجما تربيع وهنا θ تربيع في
سيجما تربيع عامل مشترك سيجما تربيع شو بيصفه إذا
نسيانه ما فيش ده أقوم على اللوح وأعمل واضح بالنسبة
لل auto covariance و ال auto correlation هي ال
auto covariance و هي ال auto correlation هيطلعوا
independent زي ما شايفين أنتو ما إنهم علاقة
بالزمن يعني بصراحة ال moving average of order واحد
طلعت مالها stationary لما نكون يا بنات ال variance
و ال auto covariance و ال auto correlation و ال
mean ما بيعتمدوا على الزمن you got stationary ولا
لا عليها تحادب بالنسبة لل auto covariance عند ال
luggage هي تعريفه شو عبارة عن مش هو عبارة عن
expectation ل XT ضرب XT زائد H بدل T T زائد H
ناقص expectation لل XT ضرب expectation T زائد H مش
هي لحد الثاني خدعة ناقص بروح سفر بيصير شو بصفه ضرب
مين في مين XT في XT زائد H ضربهم لما تضربيهم هدول
يتوافقوا بعض يعني المقدار اللي هان اللي هو epsilon زي
θ في T نقص واحد epsilon θ أ ابس عفوا θ في
epsilon T نقص واحد هذا المقدار اضربه في ذات نفسه
بس بدل ال T بدك تحط مين T زائد H ووزع ال
expectation لأنه linear صح فبيطلع أربع حدود هاهم
لما تضربوهم مش big deal يعني مش قصة كبيرة أنتو ما
شاء الله سنة تالتة بتعرفوا فبيطلع هذا المقدار وهذا و
هذا وهذا حتى نركز مع بعض طلعهم مش رأيكوا ال H ماهي
ال lag مش ال H ال lag يعني أعداد صحيحة zero واحد
اثنين وهكذا موجب بقى أو سالب واحد موجب بقى أو سالب
اثنين لو H في zero يا بنات بتبلش حالة حالة لو H في
zero يلا نعود شو هو الحد؟ بيطلع Sigma تربيع ليش؟
لأن H في zero بصف هذا T وهذا T Epsilon T Epsilon
T ف Sigma تربيع الحد الثاني شو ال expectation اللي
له؟
اختلفت الأزمة شو يعنيها؟ يعني zero لأنهم white
noise الحد الثالث هذا شو رأيك لما نكون هذا epsilon
T وهذا اسمه epsilon T زائد ما هو وهذا صار zero
فبيصير epsilon T .. إيش برضه؟ برضه صفر هذا يعني
ثاني حد وثالث حد مالهم صفر أول حد sigma ترمي أخر
حد يلا يا بنات صح صح هاي θ تربيع expectation مين؟
ايوان هادي بيصير sigma تربيع لإنه نفس الأزمة لها
فبيصف عمليا عندك zero مين هو عمليا ال variance اللي
هتهو جبتيها على وهو مين؟ واحد زي θ هيو صح طب
خليني آخذ each بواحد لما آخذ each بواحد أمسكي
معايا بسرعة أول حد اختلفت الأزمة بسرعة جاوبيني أول
حد zero ثاني حد
برضه صفر مالكه لأن هذا اسمه T زائد واحد وهذا اسمه
إيش T نقص واحد فT نقص واحد إبسلون عندها T نقص واحد
و إبسلون عندها T زائد واحد ال covariance بناقتهم
zero لأنهم uncorrelated لأنهم white noise طب هذا
هذا بيطلع سيجما تربيع مضروبا في مين؟ في θ وهذا
هذا هيطلع الصفر إذا انطلع فعلا θ في مين؟ هذا
بالنسبة لمن عند الواحد طب لو عند السالب واحد اعمله
هتلاقوا أيضا ماله نفس الشيء ماشي الحال طب عند
الاثنين plus or minus اثنين اعمله عند الاثنين هتلاقوا
هذا صفر وهذا صفر وهذا صفر وهذا صفر كله صفر عند
العشرة عند السالب سبعة إذا أي شيء بيزيد عن الواحد
سواء بالموجب أو بالسالب شو ماله يعني ال moving
average يا بنات اللي أنتو شايفينه in general أنه
ال covariance هذا أو ال auto covariance إحنا
سميناه إله قيمتين عند ال lag مين zero أو ثلاث قيم
حدث تحديده عند مين الواحد والسالب واحد otherwise
ماله مين عرفت ليش رسمت اللي هو ال auto correlation
هذا في مابعد لما نرسمه تتوقع إنه لما قلتلكوا ..
أنا قلتلكوا همر في مابعد عليه إنه بيكون cut off
يعني ما فيش رسومات ما فيش lag طب هنوريك إذا أنتو مش
صحين معايا وشاكلكوا لسه دي نص بوا هلأ هذا السهل
آخر واحد خلاص اللي هو عبارة عن مين ال auto
correlation الـ raw التي هي ال auto covariance
تقسيم الـ variance فلو قسمت كل واحد من هدول التلات
حدود تبعون ال auto covariance على الـ variance
بيعطيني هدول التلاتة اللي أنتو شايفينهم ماشي ال
ه و اللي طبعا تذكروا معايا role each هي يا واحد
عند الـ lag zero هذا الكلام نعرفه الآن و من أساس
زمان لقناه أصلا دائما و أبدا صحيح و اليوم هي صحيح
عند الـ moving average قراء عند الـ lag واحد أو سالب
واحد هي قيمته مظبوط و otherwise بيكون ماله صفر
فلو أنا عديت الـ slide in تنتين فنجد أن الرسمات اللي
فوق هدول بتبين لك هذي moving average of order واحد
الـ theta مالها يا بنات سبعة من عشرة ملاحظين أنه
عند الـ lag طبعا zero بنحكيش فيه ليش؟ لأنه دائما واحد،
بينما الـ moving average هذه القيمة اللي هي مالها
بتعد مين؟ الخطين الزرق دول اللي هم الـ confidence
limits، مصبوغ؟ ومين بتعرف الآن؟ مين ذاكرة؟ قلت لكم
احفظوها قبل شوية، أعطيتها الـ raw، ايش كان قيمتها؟
ثيتا على واحد زائد ثيتا تربيع هذا هي مين ثيتا يا
بنات؟ سبعة من عشرة موجب على واحد زائد مربع السبعة
من عشرة اللي هو تسعة و أربعين في المئة يعني سبعة من
عشرة على واحد و تسعة و أربعين في المئة بتطلع هي هذه
القيمة بالموجب ولا لا؟ و باقي الـ lags ما لهم؟ أصفار
مظبوط فإذا بين الخطين الزرق اللي لأن هذي يعني
شايفينها أنتو قريبة على الخط الأزرق يعني شبه
confident يعني اللي عدت الـ confident limit مظبوط
يعني كأنه فيه correlation يا ستة هذه من الأشياء
اللي احنا فيما بعد بنشوفها في الحياة فمش big deal
هذي مش معدية كثير يعني مش إشي كبير معدية مظبوط ولا
لا؟ بعدين هذا عند 5% للـ confidence limit يعني 95%
ثقة، في ناس لو كبر الثقة و خلوها 90% بيطلع مش معدية يعني
في ناس بتحبش 95% المهم مش قصتنا كبيرة هذا كمان
مثال آخر الـ moving average الـ theta تبعته سالب
سبعة من عشرة ملاحظين أنه ماله بالسالب مين هذا
القيمة تقولي عبارة عنه ثيتا على واحد
زائد ثيتا تربيع يعني سالب سبعة من عشرة على على واحد
و تسعة و أربعين في المئة فهي بتطلع بالسالب و الباقي ملاحظين
أن تو جوا الخطين الزرق يعني أصفار كانوا هم مش
أصفار exactly السبب أن هديك الـ theory اللي قبل شوية
في الصفحة اللي قبل شوية عملناها يا بنات ركزوا
معايا هذا اللي أنتو بتشوفوه في الحياة العملية في
الحياة العملية اللي بين الخطين الصفر .. الخطين
الزرق عفوا مش أصفار يعني خلّيني نقول بيانات حقيقية
هذه درجات حرارة أو مبيعات حقيقية لكن في النظر ..
في النظر نتوقع بأن يكون ماله أصفار فاهمين ايه؟ هذا
الـ theory هذا رياضيات mathematics pure mathematics
خلّيني نقول كده فبيطلع هيك ولكن في الـ application
طلع ماله .. طلع ماله مش أصفار بس يعتبر كأنه ماله
أصفار احنا خلصنا حالة الـ moving average of order
واحدة نبدأ نحكي عن moving average of order من Q ال
general case يعني و نشتق لها أيضا الـ mean ال
variance ال autocovariance و ال autocorrelation
نحن على الـ process of order Q بتنكتب بالصيغة هاي
صح يا بنات هايها summation من I تساوي Zero إلى Q
ثيتا أو ابسلون تي اي تي مانس اي و الـ ثيتا زيرو لازم
تكون مالها أول واحدة عشان تصبح تكون واحدة عشان
تصبح و الـ ابسلون تي هي مالها أيضا و اي نازل فطبيعي
جدا لو سألت واحدة منكم شو الـ expectation اللي الـ X
هتقول زيرو السبب من الـ expectation هو linear
فبتوزع الـ summation لهذا المقدر كلياته كل واحدة في
الـ ابسلون الـ expectation تبعها زيرو إذا خلصنا زيرو
نبلش نجيب الـ variance بالنسبة للـ variance هذا اللي
أن تو شايفينه صح؟ كيف طلع معاكم؟ في قانون أعطيتكم
ياه؟ مين ذاكرها عاد؟ variance الـ XT هذا طيب
لما نكون الـ XT عبارة عن summation فالـ variance لل
XT هو عبارة عن الـ variance للـ summation صح؟ مين
ذاكرها قانونه عاد؟
طيب هذا هو .. مش مشكلة .. هذا هو لما نكون احنا
بنحكي عن variance الـ X دي و الـ X دي هذا طبعا هي
summation زي ما أنتو شايفين من I تساوي 0 إلى Q
ثيتا I ابسلون T minus I الآن الـ variance لل
summation بنفك هو هيك ب C summation الـ variance
طبعا من 0 ل Q Variance ال .. اللي هو summation ال
variance يعني فهدول θ I ابسلون T minus I زائد
2 double sum I أقل من J الـ covariance بين الـ θ
I الحد الأول اسمه θ I ابسلون T minus I و الحد
الثاني اسمه θ J عشان J اه ابسلون T minus J
طبعا هذا لما يكون I أقل من J و الـ epsilon white
noise فإذا هذا الـ zero صفر هذا، مصبوغ؟ مش هم white
noise؟ فبيروح هذا، شو بصفي؟ بصفي summation من واحد
.. من zero أفضل من Q لـ variance mean هدول اللي هو
هاي ولا لا؟ مش الـ θ هاي ثابت مش الـ variance
اللي ثابت مضروب متغير بتتربع الثابت فبتصير هاي ايش
summation من zero إلى q θ I تربيع في variance ال
ابسلون T minus I هلأ هذي مين هي مش sigma تربيع
إذا شو بصفي sigma تربيع في summation من zero إلى q
لمين θ I تربيع هذا المقدار اللي أنتو شايفينه هو
اللي موجود على الكمبيوتر اللي هو عمليا سيجما تربيع
افتح قصة θ زيرو اللي هي واحد زي θ واحد تربيع
لحد دي زائد مين θ كيو تربيع من أحيان احفظولي
هذا القانون لما نكون معروف هذا الشيء variance
summation فبنفك هيك من أحيان
ولو أنا سألت الآن بالنسبة للـ covariance طالما أني
وقفت على اللوح اللي هو الـ covariance المقدار هذا
اللي موجود أمامنا على اللوح خلصنا من الـ variance فش
مشكلة تعالوا على الـ covariance على الـ covariance
لما أنا حصلت عليها هذه الـ formula كيف حصلت عليها
حصلت عليها بنفس المنطق اللي عملته على اللوح هتنعمل
اللي هو على اللوح هذا نفس الشيء طب بنفس المنطق أن
أنا بدنا نجيب بعد ما خلصنا من الـ variance بدنا
نجيب الـ auto covariance عند الـ lag h فالـ auto
covariance عند الـ lag h اللي هو هيك يعنيه
covariance بين الـ XT و بين XT زائد H و طبعا أنتو
عارفين من الـ XT اللي هي summation من I تساوي 0 ل Q
θ I ابسلون T minus I و هديك summation من J
تساوي 0 لأ مش 0 هدي هتصير لمين عشان T زائد H فإذا
الزمن هناك بدأ من T تساوي Zero بصراحة الـ J هنا
هيبدأ من وين؟ من H إلى حدية مثلا Q زائد مين هنا
هيكون؟ H مظهر؟ عشان تثبت العداد المهم هذا اسمه
مين؟ θ J ابسلون T minus مين؟ J ولا لا؟ و طبعا الـ J
تنسوش اللي هي عبارة عن مين تقدر تقوله اللي هي الـ H
صح لما نتفك الـ covariance هذا ل some machine بنفس
المنطق اللي عملناه قبل القليل اللي هو هو و في قانون
بالمناسبة هيكون هذا القانون تبعه اللي قلت لكم
احفظوه عدد بس مش هرجع له الآن هنا I و هنا J
covariance لمين ابسلون θ عفوا I ابسلون T minus
I و θ j ابسلون t minus j نحياك؟ ولا لا؟ طبعا
الـ j من وين بتبدأ؟ من h و هذه بتبدأ من وين؟ من
zero هذه q زي الـ h بتنتهي و هذه بتنتهي عند مين؟ ل
q اللي لا تنسوش أن الـ epsilon is white noise شو
يعني white noise؟ خلّيني أكتبها epsilon is white
noise شو يعني؟ يعني باختصار كأنه بيقصد أن ال
covariance أو الـ expectation ممكن أقول عنها
covariance ما هي نفس المعنى خليها أكتبها
covariance هي لفظها covariance فإن الـ covariance
بين epsilon T و epsilon S حيث الـ T و الـ S هدول
زمانين مالهم عندك خيار من خيارين يا sigma تربيع يا
سفر متى الـ sigma تربيع لما الـ S هي T بينما لما الـ
S مش T بيكون ماله صفر إذا أنتم فاهمين عليّ أنه
بناء عليه هذا حسب القاعدة اللي أنا كتبتها واللي هي
مش قاعدة أصلا هي حقيقة المقدار اللي فوق هذا شو
بيطلع بصفر دائما أصفار إلا ماله عندما تتساوى مين
مع مين الـ J مع مين الـ I طب بس تنسيش أن الـ J بتبدأ
من وين؟ من الـ H، مظبوط؟ يعني هذا دائما أصفار، هيك
أكتب، دائما صفر إلا إذا تساوت مين مع مين I مع J
علماً بأن شو الـ I تبدأ من صفر بينما J تبدأ من وين؟
من H يعني خ .. خليني أقول إيش يعني كإني بقدر أقول،
يعني بقدر أقول أن J minus H معناها بدأ تساوي الـ I،
هيك معناها، مش هي؟ يعني عندما تتساوى الـ J minus الـ
H مع الـ I صح؟ هيك معناه يا ابنتي، يبقى هذا
دائماً صفر إلا في هذه الحالة صح؟ إذا الـ double
summation صح، أنهيني، فالـ double summation هدول
الآن اللي موجودين عندي، مالهم، دائماً صفر بصف في
summation واحد، ولا لا؟ لما الـ I تبدأ من وين عادت
مثلاً من الـ H أو من قيمة اسمها الـ C سفر هتحوض بدل
الـ I هنا والـ I هنا بدل ما يكونوا I و J عفواً بدل الـ
I هنا والـ J هنا بدل ما يكونوا I و J هتصير I واحدة
أو J واحدة واحدة منهم اعتمدي والتانية بالدلالة من؟
التانية بالاختصار يعني هذا الـ double summation
هيصير summation واحد اسمه مثلاً I وهذه حضرها I لكن
حرفها الجي وإيش فأحط بدلها I minus H مثلاً زي هيك
تمام ولذلك بتركها عليكم مش قصة كبيرة طلاب أنت
طالبات سنة رابعة أو تالتة رياضيات المفروض أنكم
بتعرفوا أنه بصلا وين الآن بصلا مين لـ summation
طبعاً بالمناسبة تطلعوا على اللوح كمان مرة كمان مرة
اللوح أنتم بتعرفوا أن الـ covariance لمين هنا θ I
و θ mean جي وهديك إبسلون وإبسلون لما نكون إبسلون
إبسلون نفس الإبسلون نفس الأزمنة فالـ covariance
تبعهم هو مين اللي حتى وكتبته أنا على هو هو مين
سيجما تربيع فبصف سيجما تربيع صح شو بصف بعد سيجما
تربيع لما هناك بصف مين ثتا I و ثتا مين قلنا جي و
هدول يا إما أصفار يا إما ..يا إما مين؟ يا إما مش
صفر صح فمتى بيكون صفر لما تختلف الـ I عن الـ J زي ما
حكيتها طول ومتى بيكونوا مش صفر عندما الـ I و الـ J
العلاقة بينهم هي هي اللي أنا كتبتها هنا في الأخير
أن الـ I هي عبارة عن J minus H ومن هنا تأتي العبارة
للـ summation اللي أمامكم على الكمبيوتر هذا إذا
بصف في Sigma تربيع summation من I تساوي H ولا لا
لوين لـ Q حيث أن تنتين الـ theta واحدة اسمها الـ
theta I والتاني اسمها I minus H اللي هي الـ J
عمالينها طيب وهذا الكلام بيكون صحيح عند مين الـ H
بـ Zero أو سالب أو موجب بواحد أو سالب أو موجب
باتنين وهكذا منيح؟ وإذا بدكم تفهموها أكثر وأكثر
بالسهولة يا ستي قبل ما نصل لهذه الـ formula اللي
أمامكم شو رأيكم اللي على اللوحة اللي كتبتوا أنا
خدي H بـ Zero خدي واحدة H بـ Zero واشتغليه وشوفي
إيش بصير هتلاقي إنه إيش كإن الـ summation هنا ببدأ
من وين من واحد من Zero عفواً وهكذا ثم بعد ذلك حط
الـ H بواحد فبتركها عليكم خلاص مش قصة أعتقد أنها
وصلت الفكرة طيب هذه الآن اللي أنتم شايفينها من وين
H بيبدأ من Zero أو مش من بده عفواً شو بتكون صحيحة
عند .. عند الـ Zero عند الـ plus or minus واحد لحد
دي عند plus or minus Q طبعاً otherwise بتكون مالها
صفر يعني كل ما H أكبر من Q مظبوط فبيطلع صفر سؤال
يا بنادر إيش الـ auto correlation؟ هو عبارة عن الـ
auto covariance مقسومة على الـ variance فبصف هيك من
ناحية طبعاً sigma تربيع هي اللي أنتم شايفينها مع
sigma تربيع اللي منها بتروح فبصف هذا المقدار اللي
هو عملياً مفترض أنكم تحفظوه إذا زي ما أنتم شايفين
طلعوا لي على الـ auto correlation و الـ auto
covariance هل يعتمدوا على الزمن باعتمدوا هل الـ
mean يعتمد على الزمن إذا واضح الـ moving average of
order q ماله ستيشنري دائماً ستيشنري ولا أنا غلطان
وهذا اللي احنا حكيناه سابقاً بأنه بغض النظر عن قيمة
الـ theta دائماً اللي هو الـ moving average يعتبر
ستيشنري أنتم ملاحظين يا بنات أنه في cut off إيش
cut off يعني يعني في قطع قطع مش فجوة قطع وين القطع
بيصير عند الـ H مالها أكبر من الـ Q يعني لو أنتم
رسمتوا الـ auto correlation لـ moving average of
order تلاتة شو بتتوقعه؟ of order تلاتة شو بتتوقعه؟
بتتوقعه أنه الرسم ماله خاطين الزرق أول تلت واحدة
معديّات مظبوط والباقي صفر عندك عشرة أول عشرة مش
هي طيب هذه مش تلاتة هذه order تنين الرسم اللي
أمامكم
هذا هو الـ Simulation طبعاً أول واحدة ما بنحكي فيها
كمان مرة عند الـ lag 0 تلقوا عند الـ lag مين هذا
واحد واثنين معدل خطوط الزرق هدول confidence level
والباقي ما قالوا لأن هذي moving average of order
تنين نحن وبالمناسبة يعني لو طلعتوا على تعريف الـ
theta حسب القانون اللي هو تبع الـ moving average الـ
auto correlation بتلاقوا أنه موجب ومرة سالب على هو
التعريف هدول موجبات هايهم طلع ولا المهم بسيبوا
عليكم مش قصة كبيرة هل هذا θ واحد هي سالب سبع من
عشرة ثتا تنين تلاتة من عشرة طبعاً أول واحد ما
بنحكيش فيه عند الـ zero لأن الـ lag عند الـ zero ما
له واحد وبعدين هذا moving average of order تنين
شو بتتوقع يا رسمتهم يعني أول واحدة هاي معدي وتاني
واحدة ماله معدي والباقي شو ماله يا بنات تقريباً
تقريباً بين الخطوط الزرق صفر وإن كان هذا شكله مش
واضح لكن هذول واضح أنهم كبار وزي ما أنتم شايفين
عشان الـ theta هنا مرة موجب ومرة سالب فمرة هنا موجب
ومرة سالب فإذا بنتوقع رسمات الـ moving average تطلع
زي ما أنتم شايفين إذا لما نخلع رسمة الـ auto
correlation function اللي هي إيش نسميناها احنا الـ
ACF نتوقع اللي هو يطلع معي الـ model إيش هو نحدد
الـ model إذا هذا الآن تعلمته كيف احنا ممكن لحد ما
نميز إنه هذا بيعطيني انطباع أن الـ model اللي عنده
moving average ولا لا في أي سؤال؟ طيب نأتي الآن
إلى مثل حسب التطبيق اللي قبل شوية أعطيناه المثال
بيقولك ايجي بي للـ first و second moments تبعه لـ
process هاي لـ process هاي اللي أمامك و Epsilon T
زيادة ستة من عشرة Epsilon T ناقص واحد ناقص تلاتة
من عشرة Epsilon T ناقص اثنين مين تقولي هذا عبارة
عن مين هذي moving average of order مين اثنين
Epsilon T واثنين وصفر و Sigma تربيع Sigma تربيع
هذا ممكن يكون أي رقم ممكن يكون عشرة ممكن سبعة ممكن
أي رقم المهم دائماً موجب الـ expectation يا بنات واضح
بدون ما نقعد نكتر فيها كمين بيطلع صفر خلصنا الـ
variance عيش قانونه ذاكرينه عيش كان يومها واحد زي
ثيتا واحد تربيع زي ثيتا ثاني تربيع حتى وقتنا
مضروباً في مين سيجما تربيع السؤالي من هي ثيتا واحد
طبعاً ثيتا Zero معروف أن هي أنا مين من هي ثيتا واحد
هيها ستة من عشرة في اللوحة أمامكم في الكمبيوتر
عفواً موجودة من ثيتا ثنين سالب اثنين إذا ما عليك إلا
تطبقي وتجمعي خلصتي خلصنا من تقولي إيش auto
covariance عند لأك واحد شو بيساوي قام القانون اللي
جاب له قال هو هو بنواش سيجما تربيع صماش من I تبدأ
عند الـ H والـ H هنا بمين بواحد لحد Q والـ Q هنا
مينتنيّن ثيتا I في ثيتا I minus H مظبوط؟ والـ H
بواحد إذا بيطلع عملياً هو لما تفكي هذا الجوز مظبوط؟
مضروب سيجما تربيع هيو في أي صورة؟ طيب أو كوفيروس
عندي لاجي اتنين صماش يعني من و لا و يعني من اثنين
اثنين من I تساوي H و ال H هنا اثنين من اثنين للاثنين
يعني لحد دي Q و Q اثنين صح؟ فبطلع بس حد واحد ولا لأ
هي عندما مين الاية تساوي اثنين فبطلع عاليا بالسالب
هو هيك منيح طبعا لو سألت واحدة منكن ايش auto
-correlation عند ال lag ثلاثة صفر صفر ولا لأ صفر
طب عند ال lag سالب اثنين بنجاب ولا بنجاب ايش بنجاب
بنجاب بتعملوا لحظة كل أنا اعتبروا زي exercise طب
هاتة نجيب يلا auto-correlation عند ال lag واحدة
ال auto covariance يعني دي لاج واحد مقسومة على ال
variance فبيعطيني هذا المقدار وينه وينه اه يعني
بيطلع 42% مقسومة على كام يا بنات على 1.45 سيجما
تربيع مع سيجما تربيع بطيروا بصفة 27% و ال row اثنين
هيها 19% و طبعا ال row ثلاثة أو أربعة أو أي قيمة H
أكبر من اثنين شو بتطلع Zero إذا خلصنا مش قصة نحن
بنش نحكي عن خاصية مهمة في خصائص ال moving average
اللي هو خاصية ال invertibility احنا قلنا دائما و
أبدأ ال moving average بيحقق خاصية مين ال
stationary صح؟ هلأ هنجي نقعد لخاصية الجديدة اللي
بيحققها ال moving average قالها وهي ال
invertibility و اللي قبل هيك حكينا عنها هي خاصية
الانعكاس في الزمن مش هي قلنا عنها بل أن ال
invertibility حكينا عنه قبل هيك صح و قلنا هو خاصية
الانعكاس في الزمن و قلنا هنحكي عنها بالتفصيل يوم
حكينا عن أن الروس تبعونها مباعظة في الآخرين،
مصبوح؟ هتنبلش نحكي عنها اليوم بشكل تفصيلي في مشكلة
في ال moving average احنا ما انتبهناش إلها و احنا
بنشرح لكن في ناس انتبهولها قلوة هي أن قيمة ال raw
اللي طلعت معاكم إذا بتذكروا مش طلعت معاكم في ال
moving average في order واحد خليني احكي عن moving
average of order واحد اليوم اعطينا لها طلعت ال raw
بتساوي θ على واحد زائد ثيتا تربيع صح هذه كانت لمين
ل moving average في order واحد اللي هو ال MA
هيو بتحرك أمامكم على الكمبيوتر قلوة هي XT بتساوي
epsilon T زائد θ T ناقص ماذا يا بنات لو أنا غيرت
ال theta و حطيت بدلها واحد على theta يعني شغلبتها
أيضا بيضلوا moving average ولكن اختلفت ال theta و
لا شو رأيكوا؟ هذه ال theta و هذه مين؟ واحدة على
ثيتا يعني إذا هذه مثلا عشرة هذه هتكون واحدة على
عشرة يعني خمسة ماشي؟ طب حتى نجيب الحالتين
الحالة هاي و الحالة هاي الرؤلهم في الحالة الأولى
هيها ما فيش فيها كلام خلصنا حتى نبلش نحكي عن مين؟
الحالة الثانية اللي وهي واحد على ثيتا يلا عالسريع
بديش أجوم على اللوحة يعني عوضيلي بواحد على ثيتا
البسط شو بيصير واحد على ثيتا المقام واحد زائد واحد
على ثيتا تربيع المقام اسمه واحد على ثيتا
تربيع صح واحدين المقام البسط ما انتوا عارفين واحد على
ثيتا تربيع زائد الواحد شو بيصفي ثيتا تربيع زائد واحد
على ثيتا تربيع ثيتا تربيع وهذه كمية في بسط ايوه
يعني بتعرفوا لما انشغلة بالمقام واحدة اسمها واحد
على ثيتا وهذه المقام اسمها واحد زائد واحد على ثيتا
تربيع بتعرفوا لما انشغلة بشو بصير؟ بصير ثيتا تربيع
على ثيتا بروحه ترجع تاني، إذا انطلعت نفسها إذا طلعت
نفسها يبجروا لكل الحالتين هاي و هاي طلعوا نفسهم
ولا مش نفسهم؟ وهذه مشكلة يعني ما فيش هنا ايش مشكلة
وحيدة يعني ما فيش uniqueness في مين هو في ال auto
correlation صح؟ و طبعا يا بناتي الحالة العامة هذه
الحالة الخاصة اللي هو هي مين ال moving average of
order واحد الحالة العامة أيضا اللي هي عند ال order
q سنجد أن نفس الفكرة هتتطبق يعني باختصار في
عدم أحدية فش حل واحد خليني أقول ل 100 لل raw لل
auto correlation وهذه مشكلة عشان يحلوا المشكلة
الملاحظة الثالثة عشان يحلوا المشكلة راحوا قالوا
أنه لازم ال series تبعت ال moving average تكون
invertible يعني قابلة للانعكاس في الزمن أو غيره
فقالوا إذا حققت بأن جميع ال roots تبعون اللي هي ال
1 زائد ثيتا واحد في B بيطا ل بي عفوا مش بيطا بي
اللي هي back shift تبعت ال operator تبعت ال shift
operator هذه زائد ثيتا اثنين في back اثنين تربيع في
back تربيع عفوا كم مرة بدأ أقرأها واحد زائد ثيتا
واحد في ال back زائد ثيتا اثنين في back تربيع زائد
لحد دي ثيتا Q في ال back و Q هدول الحلول اللي
هيلهم يعني ايش الحلول يعني حطيهم يساوي صفر الحلول
إلهم القيمة المطلقة لإلهم يجب أن تكون مالها
outside ال unit circle يجب أن تكون أكبر من مين من
واحد فإذا هذا الشرط تحقق حقيقة بيحلوا مشكلة أن هو
مين اللي أنتو شوفتوها قبل شوية و بيكون ال series
مالها ما فيش فيها مشاكل و حقيقة هنشوف أنها بتنعكس
بالزمن أيضا بتنعكس يعني كيف بتنعكس ال slide اللي
جاية ماشي؟ هلأ بالمناسبة هدول اللي أنتو شايفينهم
هدول اللي هي اسمهم واحد زائد ثيتا بيه زائد الاخرين
مش هدول ال big theta مش هي ها إذا أنتو فاهمينها
و عارفينها مش أشديد عليكم طيب هلأ الآن ايش خاصية
الانعكاس في الزمن معناها يا بنات بيقولوا بالنسبة ل
moving average بيقولوا ال moving average of order
q process is invertible if it can be represented
as a convergent infinite AR يعني auto-regressive
of order infinity يعني إذا ال moving average ان
كتب على صيغة auto-regressive بس ال order تبعه
infinity فبنقول عنه ماله invertible كيف هذا بده يصير
هتنا نشوف كيف بدي أكتبه على صيغة auto-regressive
of order infinity شو رأيكوا ال moving average of
order Q هايو بش منكتب عليه أساس إنه XT بيساوي ثيتا
تيو في ال backshift هذي تبع ال B مع ابسلون تي
هذا بتعرفوه هذا ال moving average صح؟ و طبيعي بنت
ال theta هذي ال big theta هي عبارة عن الواحد زائد
الصماش اللي أنتو عارفينه صح؟ ابسلون تي هي white
noise هلأ كيف هذا بدي أنا أكتبه أنتو عارفين؟
خليني أجوم على اللوح أفضل يا شيخ من ال computer
باللوح أفضل بعد ما نكتر حكي على الكمبيوتر نعمل وقت
دقيقتين بتشوفوه بسهولة هلأ الآن moving average هو
هيك XT بيساوي اللي هو big theta ال backshift
operator B epsilon T وطبعا بالمناسبة epsilon T
هي ال white noise zero و sigma تربيع و أنتو عارفين
الأفندي هذا اللي هو ال theta هو 1 زائد theta 1 of B
لحد d زائد theta q of B قصة q نحيا هلأ علشان أكتبه
على صيغة moving of على صيغة autoregressive نذكر مع
بعض ايش ال autoregressive بدي أستخدم جلم آخر لنحطه
من هنا كيف ال autoregressive بنكتب مش XT لأ بنكتب
Phi Phi B of B XT بيساوي منأبسلون T و الفاية دي
خليني أعملها هيك واحد ناقص في واحد بي ناقص لحد دي
ناقص في بي of بي of بي نظبط هيك لما يكون ال order
infinity لازم نروح ل وين هذا لل infinity صح هذا ال
order regressive of order شوية بنات هذا order
regressive of order بيفلو ال order infinity بيكون
هذا رايح لل infinity هيك معناها مفهوم شو بعد كده؟
طيب كيف بدك تبقى الآن هذه ال moving average على
صيغة auto regressive و بدل ما هو ال order تبعه بيه
بده يكون ال order يروح لل infinity سهل جدا تضربي
هذا في المعكوس بتعرف المعكوس بتخلصي منه فلو ضربت
في معكوس هذا و ضربيه في معكوسه المعكوس تبعه يعني
الطرفين كلهم في المعكوس فراح هذا شو بصفي هان بصفي
epsilon T بيساوي المعكوس هذه اللي هي 100 المعكوس
أو واحد على واحد على ممكن تقول زي ما جالت زميلاتكم
بمشي الحق واحد على لإنه هذه linear وهذه عبارة عن
univariate بال multivariate المعكوس بختلف شوية
لازم نكون عشان matrices فبنعمل معيش معكوس المعكوس
بتعرف ال inverse يعني بس عشان univariate بيمشي
الحالة تقولي واحد على فواحد على اللي هي مين هذه ال
theta اللي أنتم بتعرفوها منيحة في مضروب مين XT صح
هلأ هذا اللي مضروب في XT بيساوي epsilon T لو
قارنتي مع هذا مش كأنه شكله autoregressive وللا
خلطان بس بتعرفوا ال Taylor series أنتم في ال
calculus
التيلر سيريز في الكراسة هذه عبارة عن واحد على
function مثلا أو على ال series ما بيكون إلها إيه
أشماله ما بيكون convergent إلا إذا حققت شروط معينة
في ال Taylor series مش الأمور عامة وإلا ال
summation الكبير تبع ال series بيكون divergent
مصبوح؟ ولذلك هذا بالمناسبة كمان بيروح لل infinity
ما هو هذا واحد على مين؟ على ال series ولا أنا
غلطان؟ فهذا ال order بيروح ل ال infinity صح؟ فإذا
أنا شاكفة كوا ما شاء الله نايمات وكأنكم أول مرة
تسمعوا في ال calculus شاكلكوا هيك عاملة هيك
زمنتكوا نايمة اه؟ طيب هذا الان calculus مش شغل
إحصى، مظبوط ولا غلطة؟ هذا بروح على infinity يا ستي
أنا بدي أسميه اسم جديد بديش أسميه في عشان ما خربطش
بدي أسميه by و ال by هذا ال order تبعه infinity
حقيقة لإن هو infinity أو هو ممكن أكتب عليه هيكا by
ال infinity فيه 60 بتساوي epsilon T هلأ لو سألت
واحدة منكم مين ال by هي عبارة عن هذه و 1 على θ أو
ما هي المعكوس تيلر سيريز يا بنات هيوا أمامنا على
اللوح نحكي كذا مرة على أفوان الكمبيوتر بسرعة اللي
أنا سويته إني ضربت الطرفين التبعون اللي هو من ال
moving average high ال XT تساوي ال θ في إبسلون
ضربت في معكوس ال θ فتخلصت من هذه تبعتي الإبسلون
صفت إبسلون لواحدة و صفها الحد اليسار هو عبارة عن
مين؟ هو معكوس الـ θ مضروب في مين؟ في X وعرفته على
إن مين باي و ال order infinity و السبب إنه هيطلع
ماله من هناك علاقة بال calculus و taylor series و
الأخرى و الأمور هذه إذا أنتم مش ذاكرين عادة هذه
المشكلة بتكونوا تذكرونها ستجدون أن هذه ال epsilon
عفوا مش epsilon هذه باي هذه ال باي التي هي عبارة
عن المعكوس للثيتا بتنكتب على شكل مين؟ ال series
تبعت ال .. ال .. ال binomial بس ال binomial بروح
لل infinity كانت بتروح ل B في ال auto-regressive
هجت بتروح لوين؟ لل infinity فهي عبارة عن واحد ناقص
الصماش من وين؟ من واحد لل infinity بي I .. هد ال
by I بدل مين؟ الفي I فاي اه الفي و بي I و ال B هد
مين هي؟ ال back تبع الزمن ال back shift تبع الزمن
مصبوح؟ طبعا لو أنا سألت واحدة منكم هذه هي هذه ولا
لا؟ اه هي حيث أن ال by اه zero ماله سالب واحد يعني
لو أنا عوضت هذه اي نعم بدل ما العدد يبدأ من واحد
يبدأ من zero وعملتها reformat مش هي نفسها تمام
وشوفوا ال calculus يا بنات عشان هذه تكون ال series
convergent لأنها رايحة لل infinity أنتم بتعرفوا
هذه رايحة لل infinity series فما بتكون convergent
إلا إذا حققت شرطها وهو الشرط اللي يجب أن يكون
الصماشة للقيم المطلقة تبعتوا ال buy مالهم هذا
chapter أقول لكم chapter عشرة في ال calculus بيه
اللي أخذتو infinite series convergent و divergent
يوم ما درستوا ال improper integral وما بعرف مين في
ال calculus ذاكرينه وعملنا test of convergence و
أو الآخر شغل هذا كله يعتمد على ال calculus طيب
الألمانيات هذه الملاحظة اللي موجودة ال condition of
finite sum had to ensure أن ال infinity تبعت ال
auto-regressive اللي هو ال order تبعتها ماله
convergent و بمعنى آخر أن ال moving average
invertible متى بيكون ال moving average invertible
إذا استطعتي أن تكتبيها على صيغة مين؟ auto
-regressive وما بتقدر تكتبيها على صيغة
autoregressive إلا إذا كانت ال series finite شو
يعني finite يعني ال summation هذا اللي بيروح لل
infinity موجود مصبوخ ومتى بيكون موجود إذا هذا
الشرط موجود ومتى هذا الشرط موجود إذا الشرط اللي
قبل شوية قلنا عنه موجود الله وهو أن ال roots أكبر
من واحد كله بيؤدي لكله منيح؟ طب شو رأيكم مثال بسيط
أن نعطيه الله وهو ال moving average ونشوف يمكن
نفهم شكلكوا يا بنات أنتم اليوم عشان أنتم عندكم
امتحانات فركزوا معايا الآن في هذا المثال حتى نكتب
ال moving average of order 1 على صيغة infinity
autoregressive بلش خطوة خطوة وإذا في إشي مش واضح
يا ريت توقفوني لإن إذا مش واضح خليني أنا أوضحه
الآن هلأ إيش رأيكوا في ال moving average ال
process مش تنكتب هيك XT بتساوي 1001 زي θ في B في
مين أبسلون T نحيات هل هذه ال big theta اللي قبل
شوية كنت أحكي عنها إنجنا صح نحو أم لا غلطان اللي
أنا بدأ أخده لما عكوس أضربها بالمعكوس مصبوط ولا لا
فلو أنا ضربت الطرفين بالمعكوس تبعها اللي هو عبارة
عن ال 1 على اللي هو هذا المقدار 1 زي θ بتخلص من
هذا المقدار بصرف باسمين أبسلون T وبتصير ال Xt هي
اللي مضروبة في المعكوس تبعه الواحد على ثتابي مظبوط
ولا لأ فصفة Epsilon T بتساوي هذا المقدار وهذا
المقدار الآن هو عبارة عن باي infinity في ال
backshift operator مظبوط ولا لأ طيب مين تقول لمين
ذاكرة هذه ال series بال Taylor هذه عبارة عن كأنها
مجموع Geometric الأخير هيا تعالي تنشومين الآن
ذاكرة اللي هو في ال Taylor series calculus الواحد
على ال X عفوا الواحد على ال واحد ناقص X عبارة عن
مين؟ Geometric ولا لا؟ حدودها مين؟
يعني يا بنات اتطلعوا بالله كمان مرة واحد على واحد
ناقص اكس هي عبارة عن مين واحد زائد اكس زائد اكس
تربيع زائد الأخي صح بالله قارنوني واحد على واحد
على اكس قارنوها مع واحد على واحد زائد الثيتا في بي
يعني هذا المقدار الماوس بتحرك أماكو صح عشان تكون
الأمور واضحة معليش أنا بحاول أسرع وشكلي عشان
بأسرع ففي عدم التوضيح للرؤية واحد على واحد ناقص P
ناقص X هذا قارنولي يا الله مع واحد على واحد ناقص
واحد زائد θ P شو هو مش زيها؟ مع شوية ش اختلافات هي
حتى نشوف شو عاملة هنا هو فواحد على واحد زي ال
theta P هي عبارة عن واحد على واحد هيها ناقص ناقص
وكأنها هذا هي ال X ها وعسب المفهوم تنفك هيك ولا
لأ صح يا مانا وملاحظين أنها راحت ل ال infinity
إذا أنتم فهمتوا ليش سميتوا أنا by infinity لأنه
دائما دائما المعكوس تبع الإشي اللي بندرف في ال
epsilon بيروح لل infinity ك Taylor series وصلها إذا
هذا الأفعال دي لما أنتم فكتي بال Taylor طلع ماله
infinity series ولا لا هو عبارة عن واحد ناقص
theta في b زي theta تربيع بي تربيع زي ناقص theta
تكعيب بي تكعيب and so on إلى ال infinity في أي
سؤال؟ طب يبقى هنا السؤال هذا اكتبوليه على شكل
summation بتعرف تكتبوه؟ اه هو summation من وين؟ من
zero to infinity سالب ثيتا الكل to the power I في
بي I صح؟ بالله تتطلعوا هذا الآن اللي أنتم شايفينه
نح؟
اللي هو عمليا هو عبارة عن مين؟ واحد على 1 زائد θ بي
اللي هي هذه صح؟ مصبوح؟ و اللي مضروبة في ال X طبعا
بالمناسبة حرفة هذا المقدار الذي هو عبارة عن 1 على
1 زائد θ بي و أحط بدله مين؟ ال summation هذا هو صار
اسمه summation المقدار هذا كله بيجي في مين؟ في XD
بيساوي الـ by infinity الـ by infinity هذه يا بنات
مش هي أيضا summation هي الـ mouse بتحرك عنكم
summation من وين؟ من 0 إلى infinity by I في B صح؟
إذا أصبح الآن المقدار هذا اللي أنتم شايفينه
الماوس بتحرك أمامه هو نفسه مين هذا المقدار ولا
أنا غلطان هتشوفوا الـ next slide وصلتوا لها أنتم
هتشوفوا الأولى من ون أجدكم من الـ geometric تبعت
اللي هي الـ terror معكوس الواحد على θ في B الثاني
من ون أجدكم من الـ by infinity صح تطلع نتين
مساويات لبعض equate يعني الساوي الـ power تبع الـ B
في الـ power تبع الـ B إيش بيصف يا بنات المقدار الـ
coefficient بيساوي الـ coefficient دي بيبقى ساوي الـ
by ساوي مين تمام لما نساويهن هيطلع الـ by هتطلع هذا
هي بصراحة تحفظوها إذا الآن الـ moving average والـ
process واللي كانت هي هيك في الـ auto-regressive
infinity representation اللي بتكتب على الصيغة الآن
يلا شو XT متساوي summation من واحد إلى infinity
by I في الـ backshift operator to the power I XT
زاد YT حيث أن الـ by I مين هو؟ هو هذا اللي بدلّ
تثيتا اللي من ورن θ من الـ moving average
منيحها؟ إذا أنتم واحد أظن معايا أنه الـ moving
average انكتب auto-regressive ولا لا؟ بس متى؟ إذا
كان بنعكس بالزمن الآن يا بنات بالنسبة للـ roots
تبعون اللي هو الـ .. الـ .. الـ moving average في
order واحد من هي كانت؟ واحد زي هي θ في B هذا
ماله؟ بيساوي صفر، إيش بيقدّم؟ إن الواحد على θ
أكبر من مين؟ من واحد عشان إحنا بدنا إياها outside
الـ unit root .. مش لما يكون واحد على θ أكبر من
واحد هو نفسه مكافئة أن θ أكبر من واحد ولا لا؟
إذاً هذا وصلة المثال اللي أنا بتعطيه و نختم عنده الآن
و هان الامتحان النصفي هيوا أمامنا بسرعة شو رأيكم
بالـ moving average process هذي ε T بتساوي في
XT بتساوي ε واحد زيادة أربعة من عشرة هذي مش
واحد هذي T هذي ε T ε T زيادة أربعة من
عشرة ε T ناقص واحد هذي تعتبر invertable ليش
بسرعة؟ ليش invertable؟ لأنه على السريع الـ theta
اللي هي 4 من 10 absolute value تبعتها أقل من 1 أو
الـ roots تبعون مين؟ الـ roots تبعون الـ 1 زيادة الـ 4 من
10 اللي بتساوي الـ zero مالهم؟ بيطلعوا بالسالب
خديلها الـ absolute هيطلع بالموجب مش هيك بنعمله
بيطلع 2.5 أكبر من 1 مصبوط ولا لا؟ فالـ roots طلعوا
أكبر من 1 أو اللي هو الـ coefficient زي نفسه أقل
من 1 فخلصنا طلعت مالها invertible طب تعالوا نكتبها
على moving على auto regressive of order infinity
يلا الصيغة شو هي؟ Xt بيساوي summation من واحد إلى
infinity by I في مين؟ Xt minus I أنتم عارفين الـ
back shift ما هو بيعمل في الزمن إيه؟ T minus بس هذا
هيجت من الـ back shift من هي الـ by I القاعدة شو
بتقول؟ القاعدة اللي قبل شوية أيوة يا بنت عوضي ب θ
بقيمتها بيطلع لك الـ byات هدول .. منيح؟ سهل يلا يا
بنات .. يلا مين هي by واحد؟ by واحد سالب واحد وتبور
اتنين في أربعة من .. يبقى أربعة من عشرة .. مين by
اتنين؟ سالب هيطلع هذا .. أربعة من عشرة تربيع ..
مين by تلاتة؟
جاب أربعة من عشرة تكعيب مين ساوي أربعة وهكذا إذا
أنتم لاحظين هياهين كتبت على الصيغة الـ infinity
بالشكل هذا بسرعة شديدة يا بنتي الـ moving average
اللي أمامكم في order واحد هذا invertable ولا مش
invertable؟ مش invertable ليه؟ لأن الواحد و ثمانية
هذا يعتبر .. إذا مش أصغر أكبر طلع أو الـ roots
تبعون مين؟ الواحد زيادة واحد و ثمانية من عشرة ما لهم
طلعوا أقل منه من أسهل بيطلعوا على الـ coefficient
بسرعة ولا تجيبوا الـ roots على الـ coefficient
بسرعة طيب هيك خلصنا الحالة الخاصة التي هي moving
average of order واحد عندها الامتحان النصفي داخل
محاضرة جام يكملوا في order Q وهكذا يعطيكم الأوفر