بسم الله الرحمن الرحيم إن شاء الله اليوم هناخد
section خمسة اتنين اللي عنوانه combination of
continuous functions قبل ما ناخد أول نظرية عن الـ
combination of continuous functions نستذكر أو
نسترجع مع بعض تعريف الـ continuous الـ continuity
عند نقطة ف a function f from a to r is continuous
at c نقطة c تنتمي لـ a f and only f لكل إبسلون في
دلتا تعتمد على إبسلون عدد موجب بهات لكل x في a
المسافة بينها وبين الـC أصغر من دلتا لازم هذا
يتضمن أن absolute F of X minus F of C أصغر من
إبسلون طبعا شوفنا أن هذا التعريف بيكافئ التعريف
اللي أخدناه في calculus A هو الشرط
اللي هو بيتألف من تلت شروط وهو أن limit f عن c تكون
موجودة و f عن c موجودة و الاثنين بسوء نفس القيمة
الآن لو في عندي تلت دوال f و g و h بيه functions
from a to r بيه
functions
و c تنتمي إلى a و b real number الـ
functions
are continuous at c
إذا الدوال الثلاث F وG وH كلهم متصلين عند النقطة
C اللي بتنتمي إليها النتيجة F plus أو minus G F
ضرب G B ضرب F are continuous at C
B إذا كان H H of X لا تساوي صفر لكل X في A then F
على H الدالة F على H is continuous is continuous
at C
وهي البرهان proof to
show مثلا الـ function fg is continuous at c
We have لدينا التالي بتثبت
أن الـ F حاصل ضرب الدالتين F و G متصل حاصل ضرب متصل
and C فالاثبات دالك بتثبت ان الشرط هذا تبع الاتصال
على النقطة بتحقق فتعالى نشوف high limit F ضرب G عند
X لما X تقول لـC بنثبت أن هذا بيساوي FG عند C فهذا
بيساوي limit F of X ضرب G of X as X tends to C هذا
من تعريف حاصل ضرب اختراعين وهذا بيساوي أنا عندي
limit F of X لما X تقول لـC existو limit الـ
function g of x لما x تقول ل c exist لأن الـ
function f continuous عند الـ c و الـ function g
احنا فرضينها continuous عند c مش هيكو بس ومن اتصال
ده ل F عن C الـ limit هذه بيساوي قيمة F عن C وكذلك
من اتصال الـ function G عن C الـ limit هذه بتطلع
بيساوي G عن C وهذا بيساوي F ضرب G of C إذن هاي
الشرط تبع الاتصال عن نقطة متحقق للـ function f ضارب
g وبالتالي therefore by definition الـ function f g
is continuous at c تمام الـ proof الـ proof of the
other
parts is similar مشابه للبرهان اللي احنا لسه
ماخدينه يعني لإثبات أن مثلا مجموعة دالتين
continuous برضه ممكن إثبات أن limit f زائد g لما x
تقول ل c بساوي f زائد g and c لو بدنا نثبت ان limit
f على g او f على h continuous عن c فبناخد limit f
على h عن c وهذا بيطلع بساوي limit f of x على h of
x ومع أن limit المقامه لا يساوي صفر لأن H ب X لا
يساوي صفر لكل X في A فممكن نوزع الـ limit نقول
limit البسط يساوي limit البسط على limit
المقام و limit البسط بيساوي F عن C لأن F
continuous عن C و limit المقام عن C اللي هو H عن C
بيساوي قيمة الدالة H عن C لإن أنا متصل عن C
وبالتالي بيطلع limit f على h لما x تقول ل c بس هو
قيمة الدالة f على h and c okay إذا البرهين
المتبقية ممكن يعني أعطاها بنفس الطريقة okay تمام
النظرية
هذه ممكن تعميمها
يعني بدل لو كانت الدالة F و G و H متصلين are
continuous are
continuous على كل المجموعة A على كل المجال على
كل المجال A الـ F والـ G والـ H المجال المشترك
تبعهم المجموعة A فلو كانت الدوال الثلاث كلهم
continuous على كل المجموعة A ف .. then فبتطلع
كل الدوال هذه متصلة على كل المجموعة A على كل
المجموعة A يعني هذا بيصير on A وهذه on .. on A فلو
بدي أبرهن
أي واحدة من الدوال هذه continuous على كل ال A
فإيش بعمل بقول fix C تنتمي إلى A and
then by
above theorem
by above theorem أنا
الآن عندي كل واحدة من الدوال هدول continuous على
المجموعة a وبالتالي
then
بما أنه F و G و H continuous على كل المجموعة A فهي
continuous عند أي نقطة مش هيك تعرف الاتصال على
مجموعة اذا F و G و H are continuous at C وبالتالي
حسب النظرية السابقة
So by above theorem
all functions in
parts A
and B are continuous at C مش هي كثبتنا احنا في
النظرية السابقة هذه اللي جاب ال head اللي انا
عدلتهالو كان في عندي تلت دوال و كلهم متصلين عن
النقطة فكل الدول الموجودة في الفرق a و الدول
الموجودة في الفرق b كلهم بيطلعوا continuous عن نفس
النقطة الان بما أن النقطة c was arbitrary since c
belonged to a was arbitrary the above
All functions in A
and B are
continuous
على كل المجموعة A لأن كل واحدة منهم continuous على
أي و كل نقطة C في A وبالتالي هذا يكون برنامج
النظرية إذا النظرية هذه تنتج مباشرة من نظرية
السابقتها وذلك بتثبيت C عنصر في A وطبعا النظرية
السابقة بتقول عند أي عنصرC بما أن الثلاث دوال
متصلة إذا كل ال combinations هدولة بطلعوا متصلين
عن نفس النقطة هذا صحيح لأي نقطة ل C وبالتالي كلهم
متصلين على كل المجال تبعهم اللي هو المجموعة A
تمام ناخد
بعض الأمثلة
every polynomial .. every polynomial function على
الصورة P of X بيساوي A N في X to N plus A N minus
one في X to N minus one زائد .. زائد A one في X
زائد A zero is continuous
on R proof
fix
C ينتمي لـ R و بدي أثبت أن الـ polynomial function P
هذه متصلة عند النقطة C طيب we should أثبتنا في
chapter 4 we should in chapter in chapter four that
لو
في عندي polynomial P
polynomial في X فأثبتنا أن الـ limit للـ polynomial
P عند أي real number
C بسوء قيمتها عن C therefore حسب تعريف تبع الاتصال
النقطة إذا P is continuous at C بما أن الـ C was
arbitrary element
إذا P continuous عند كل الـ C في R وبالتالي P is
continuous على كل المجموعة R هنا ال A اللي هي R
تمام مثال
ثاني if R بتساوي P على Q P على Q where P
و Q R
Polynomials are كثيرات حدود then R is continuous
on الست اللي هي R كل الأعداد الحقيقية معدّى أسفار
المقام كل ال X حيث Q of X بتساوي صفر
Proof برضه Fix C
تنتمي الى R معدّى كل ال X حيث Q of X بتساوي صفر
معدّى أسفار الـ function Q إذن Q and C لا يساوي صفر
So by chapter .. By chapter four احنا أثبتنا انه
في الحالة هذه الـ limit ل R of X as X tends to C
بساوي R of C وبالتالي therefore R is continuous
at C ولما كانت الـ C موجودة في R minus أسفار
المقام was arbitrarily إذن الـ R continuous على كل
الـ sign هذه okay دي الأبارع بنكتبها طيب
في الدوال المثلثية
في الدوال المثلثية زي الدالة مثلا sin مثال
رقم تلاتة f of x بساوي sin x is continuous
on R متصلة على جميع الأعداد الحقيقية proof we
use
هنستخدم الحقائق التالية |sin z| أصغر من أو
ساوي 1 لكل z في R هذا معروف من الرسمة بتاعت ال
sin function ال sin function أكبر قيمة لها
maximum value 1 وال absolute minimum -1
إذاً قيمها محصورة بينهما، إذن هذه واضحة من الرسم أو من
تعريف ال function كذلك في هندسة كمان |
sin z| أصغر من أو ساوي |z| for all z في R
إذن
هذه موجود برهانها في chapter chapter
8 الناس اللي هياخدوا تحليل حقيقي 2 هيشوفوا البرهان
والناس اللي مش هياخدوا تحليل حقيقي 2 ممكن يقرؤوا
البرهان من chapter 8 حتى تعرفوا يعني إيه تتحققوا
أن هذه فعلاً المتباينة الصحيحة كذلك من حساب المثلثات
من ال trigonometry اللي درسناها في calculus A أو
ما حتى في الثانوية العامة كان في متطابقات مثلثية و
من المتطابقات هذه ممكن نستنتج أن sin x - sin
c = 2 في sin (½ (x - c)) × cos (½
(x + c))
في
x + c
إذن هذه المتطابقة ممكن أثبتها كيف نثبتها sin
الفرق x/2 - c/2 sin الفرق = sin
cos - cos sin و cos المجموعة =
cos cos - sin sin وبعدين نجمعهم و
نضربهم وفي 2 فهيطلع في الآخر بتتصف عليه okay
بالمناسبة في برضه كمان هندسة مش |sin z|
أصغر من أو ساوي 1 وكذلك في هندسة |
cos z| برضه أصغر من أو ساوي 1 لكل z في R لأنه
برضه ال cos ال | مجزمة منها 1 وال
absolute minimum -1 وبالتالي قيمة محصورة
بين -1 و 1 الآن خلينا ناخد ال ..
من المعادلة الأخيرة
من المعادلة الأخيرة بيطلع عندي لو أخدت ال |
value للطرفين فبيطلع عندي |sin x - sin
c| طبعاً هذا الكلام كله صحيح لكل x و c أعداد حقيقية
فهذا بيطلع = أو < أو ≤ 2 في
|sin (½(x-c))| |sin (½(x-c))| ≤
|½(x-c)| اللي هو ½ في |x - c| ×
|cos (½(x+c))| ≤ 1 ≤
أو ≤ 1 تمام؟ وهذا صحيح لكل x و c في R طبعاً
هذا = |x - c| و
من المتباينة هذه بينتج أن ده ل sin متصل عن c okay؟
إذاً to show fix c ∈ R to show أن f of x
= sin x is continuous at c let ε >
الصفر be given it shows
δ = ε > الصفر إذاً يوجد δ
تعتمد على ε عدد موجب فلهذه ال δ لو كان x
∈ R اللي هو مجال الدالة A و |x
- c| < δ فهذا بتضمن أنه |f of
x - f of c| اللي هو |sin x - sin c| شوفنا
هذا ≤ أو < |x - c| من هنا الآن
ال x هذه ماخدها أنا بحيث المسافة بينها وبين ال c
أصغر من δ وأنا اخترت ال δ = ε
عشان يطلع | الفرق بين f of x وf of c| ≤
من ε إذاً هاي شرط ε δ لتعريف ال
continuity والنقطة المتحققة بما أن ε was
arbitrary since ε > الصفر was arbitrary
إذاً حسب تعريف ε δ للاتصال بيطلع عندي ال
function f of x = sin x is continuous at c
وبما أن ال c was arbitrary since
c ∈ R since c ∈ R was
arbitrary وهنا أثبتنا أن ال f continuous at c ف f
is continuous على كل ال R وهو المطلوب
أن ال sin function continuous على كل ال R
بالمثل ممكن إثبات أن ال function g of x =
cos x أيضاً continuous on R هنستخدم ال ..
هنستخدم يعني الحاجات هذه أو 2 منهم و .. بدل ال
sin هنستخدم معادلة أو متطابقة زي هذه بس نبدل ال
sin ب cos فهنا
هيصير في عندي اختلاف هذا هيصير -2 بدل 2
وهيكون عند هنا sin (½(x+c)) sin (½(x+c)) × sin
(½(x-c)) تمام؟
وطبعاً هناخد ال | value للطرفين
فهذا = ال | value للطرف الثاني
وباستخدام المتطابقات هذه فهذا هيطلع أصغر من
|-2| بيطلع 2 وهذا أصغر من
|sin z| أصغر من أو ساوي 1 و
|cos z|
لأ هذه مش cos هذه sin هذه ال sin فهي sin ال
z ال | value لها أصغر من أو يساوي 1
وهي كمان sin أو | value ل sin ال z أصغر
من أو يساوي | ال z ال z هنا اللي هو ½ في x
- c فبيطلع ½ في | في |x - c|
بيطلع هذا = |x - c| وباقي البرهان زي
ما عملنا هنا okay تمام لأي ε > الصفر
choose δ = ε ف this δ will work
تمام إذا باقي البرهان كما عملنا في حالة ال sin
إذاً هذا المثال الرابع شوفنا فيه كيف نثبت أن ال
cos function is continuous تمام واضح
الآن ممكن إثبات بعد هيك أن ال tangent function
tan x اللي هي = sin x / cos x is
continuous
ال sin مستمر على ال R وال cos مستمر على ال R هذه
rational function rational function مستمر
على ال R ما عدا عند أسفار المقام ما هي أسفار
ال cos المضاعفات
ال فردية ل π/2 مستمر على ال R ما عدا
2n + 1 في π/2 حيث أن n عدد صحيح
صح؟
هيك
بمضاعفات الفردية ل π/2 وكذلك cot x
= cos x / sin x is continuous على R ما عدا
أسفار المقام اللي هي مضاعفات ال π مضاعفات ال π
ما عدا n π حيث أن n عدد صحيح
وكذلك بالمثل
ال .. ال .. ال secant .. لأ ال cosecant x اللي
= 1 / sin x متصل على R ما عدا عند
أسفار المقام، إذاً زيها زي ال cotangent وال secant
x اللي هي 1 / cos برضه متصلة زيها زي ال
tangent على R ما عدا المضاعفات الفردية ل π/2
okay تمام طيب
ناخد
ناخد النظرية التالية let f
be a function from A to R
وإذاً if |f| is continuous if |f| is continuous at c
∈ A then |f|
is continuous at c then if |f| is continuous on A
then |f| is continuous on A proof
we
use
we use exercise
exercise
رقم 13
في section 4.2 نرجع لل exercise هذا و
نكتبه
ال exercise هذا بيقول if
lim f of x عندما x → c
exists
then lim |f of x| عندما x → c
exists
and equals |lim| |
lim f of x عندما x → c
طبعاً وهنا c is cluster point ال c هنا cluster
point cluster
point of A و طبعاً F function من A إلى R فهذا
التمرين موجود في section 4-2 لو كانت ال function F
ال limit تبعتها عن C موجودة ف limit absolute f of c
برضه بتكون موجودة و بساوي قيمتها ال absolute
value ل limit f of x when x tends to c يعني مقدر نبدل ال
absolute value مع ال limit الآن باستخدام هذا ال
exercise ممكن نبره هنا النظرية السابقة إذا
هنا
لبرهان الجزء الأول to
show that
if f is continuous at c to show absolute if is
continuous at c تنتمي ل a
لدينا اتصالين اتصال
اتصال اتصال اتصال اتصال اتصال اتصال اتصال اتصال
فشوفنا ان لو كانت الـ C ماهياش cluster point
فالاتصال عندها بيطلع متحقق اوتوماتيكي شوفنا في
التعريف then the continuity of
absolute f at C is automatic
اوتوماتيكي
إذا احنا بنهتم بالحالة التانية انه C is a cluster
point of A ففي الحالة هذه by exercise 13
of section أربعة
اتنين
بما أنه limit ل f of x as x tends to c بيساوي c
احنا فرضين ان f continuous by continuity of f at c
بما ان f continuous at c احنا فرضين ان f is
continuous at c فبالتالي
limit f of x لما x تقول ل c بيساوي f of c اذا هاي
في عندي limit f of x لما x تقول ل c exist و بيساوي
f of c اذا by exercise 13 بطلع عندي limit
absolute f of x as x tends to c موجودة وبساوي
absolute limit ل f of x لما x تقول ل c اللي هي
بتطلع بساوي absolute f of cاللي هي عبارة عن
absolute f محسوب عن c إذا هي شرط الاتصال لل
function absolute f عند النقطة c متحقق وبالتالي
therefore absolute f is continuous at c إذا هذا
بثبت الجزء الأول الجزء التاني corollary على الجزء
الأول نتيجة الجزء الأول لأن إذا كانت الدالة F
continuous على كل الـ A معناته F continuous عند كل
C في A وبالتالي بيطلع absolute F متصل عند كل C في
A صح؟ إذن هذا إيه برهن النظرية إذن التاني نتيجة
على الجزء الأول في كمان نظرية أخرى مشابهة زي هذه
لكن بدل absolute f ففي عندى هنا let f be a function
from a to r such that f of x أكبر من أو يساوي صفر
لكل x في a يعني هنا ال function قيمها غير سالبة فلو
كانت f continuous at c فال square root ل f بطلع
continuous at C كذلك لو كانت F continuous on A ف
ال square root ل F is continuous على كل ال A و
المرة هذه البرهان بستخدم exercise ثاني في section
4-2 اللي هو exercise 14الـ exercise هذا بيقول إذا
كانت ال limit للدالة هذه، يعني عند C موجودة، then ال
limit للـ square root .. لل function اللي هي square
root of F عند الـ C موجودة وبتساوي ال square root
وبتساوي جذر التربيع ليه؟ ال limit لل square root
يعني بمعنى آخر أنا ممكن ابدل ال limit مع ال square
root و البرهان زي برهان النظرية السابقة
الحالة التانية اللي هي المهمة لو كانت C cluster
point ل A فحسب exercise 14من section أربعة - اثنين
اللي هو كتبناه هناك بما أنه ال limit بما أنه ال
function if continuous at c إذا ال limit f of x من
x تقوى ل c exist و بساوي f of c الآن من exercise
أربعة عشر إذا
ال limit هي عند ال limit ل f of x من x تقوى ل c
exist إذا by exercise
أربعتاش limit ال square root لل function f لما X
تقول ل C exist و بساوي ال square root لل limit of
the function f when x tends to c وهذا بساوي
الـ square root أنا عندي limit f of x عند c exist
و بتساوي f of c إذن هذا بيطلع بساوي ال square root
ل f هذه ك function محسوبة عن c إذن أنا في عند ال
function جذر ال f بالمناسبة جذر f and x كيف
بنعرفها؟ بيه عبارة عن الجذر التربيعي ل f of x
فإذا أنا عندي الدالة تبعتي جذر F هي دي function ال
function هي حسبنا ال limit اللي عند C طلعت موجودة
و بتساوي قيمتها عند C إذا ال square root ل F ك
function is continuous at C تمام؟ إذا هذا بثبت
الجزء الأول من النظرية هذه الآن الجزء التاني
Corollary to the first part نتيجة على الجزء الأول
لأنه إذا كانت إذا
كانت ال F continuous على كل ال A فهي continuous
عند كل C في A وبالتالي ال square root من الجزء
الأول إلها continuous عند ال C وهذا ال C هذا طبعا
ال C was arbitrary إذا ال square root continuous
على كل ال A تمام؟ إذن هذه الحاجات .. هذا هو برهانها
ال exercise 13 و 14 هدول نظريات فالمفروض أن احنا
يعني إيه .. ان .. نبرهنهم فلو
بدنا نبرهن مثلا الجزء الأخير هذا فممكن
نستخدم ال sequential criterion يعني
مثلا ال proof
of exercise 14 section أربعة اتنين we
use sequential
criterion
أنا بتثبت أن عندي limit f of x عن c exist و بتثبت
limit الجذر ال f عن c exist و بساوي الجذر التربيعي ال
limit ف let x n be a sequence طبعا
في مجال الدالة
be a sequence in a such that limit x n بساوي c تمام
then x n
أكبر من أو يساوي صفر لأي قيمة للدالة
طيب اذا ال function عندي f of x إذا
since limit f of x as x tends to c exist هذا
بيقدّي انه ال limitالـ f of x n as n tends to
infinity موجودة
exist و
بتساوي and مثلا equals عدد L كويس هذا by
sequential criterion
الـ function لها limit عن c إذا كان لكل sequence x
in تتقارب ل c نهاية صورتها موجودة وبتساوي عدد معين
الآن أنا عندي since f of x n أكبر من أو يساوي 0
لكل n لأن الدالة قيمها موجبة الدالة هذه قيمها
موجبةفالـ limit فالـ L اللي هي limit f
of x n تطلع موجب ايضا اكبر من أو يساوي صفر
وبالتالي
ال limit وفي
عندي أنا الآن ال sequence هذه by
في مثال أخدناه سابقا او نظرية by theorem 3
و12 في الكتاب بتقول لو في عندي sequence زي
هذه حدودها غير سالبة فال limitللـ square root ل F
of X N as N tends to infinity تطلع موجودة
و
بتساوي جذر ال Lحسب النظرية هذه إذا كان في end
sequence حدودها غير سالبة ومتقاربة إذا ال limit
square root لحدودها بساوي square root ل limit
تبعتها طبما ال square root ل L هي عبارة عن ال
square root ل limit f of x n
من هنا الـ square root لإيه اللي بيساوي ال square
root لlimit f of x n لما n طول لإنفينتيز إذا
انا هيطلع عندي ال limit وهذه عبارة عن limit
للـ square root ل F of XN لما N تقول infinity اذا
انا بدأت ب XN sequence contained in A ونهايتها C
فطلع نهايت نهايت
صورتها صورة ال sequence موجودة وبساوي ال square
root ل L موجودة وبالتالي therefore by sequential
criterion ال limit لل square root ل F of X لما X
تقول إلى C بساوي exist و بساوي ال square root ل F
when x tends to c أو
اللي هو اللي بساوي .. لأ بساوي اللي هو
السكوير روت ال L اللي هو برضه اللي هو
نعم نعم
يعني هاد ممكن هاد يسميها L من الأول فإذا بطلع عندي
the square root function لها limit، limit عن سي
موجودة بساوي square root لـ L إذا هاد بكمل البرهن
بالمثل ممكن نبرهن exercise اللي جابله 13
فحاولوا يكونوا تبرهنوا exercise 13 بنفس الطريقة،
في أي سؤال أو استفسار؟ okay إذا المرة الجاية بال
Campbell