بسم الله الرحمن الرحيم هذه هي المحاضرة رقم خمسة عشر
لمساق تحليل حقيقي 2 لطلبة وطالبات الجامعة
الإسلامية كلية العلوم قسم الرياضيات المحاضرة اليوم
إن شاء الله التي ستكون على جزئين الجزء الأول
سنكمل ما بدأنا المرة الماضية الذي هو سنكمل
الذي هو تطبيقات على الـ Fundamental Theorem of
Calculus الجزء الأول هذا التطبيق طبعًا هو سيكون عن
evaluation of integrals برضه كنا فيه المرة
الماضية وسنكمله اليوم إن شاء الله الجزء الثاني من
المحاضرة سنتحدث عن الذي هو التكامل أن ندخل
للتعاملية التكامل بطريقة غير ال upper sum وال lower
sum عن طريق شيء اسمه Riemann sum هذا الآن هو الجزء
الثاني الآن بدنا نبدأ في الجزء الأول بس على السريع
نطلع على ما تحدثنا عنه المرة الماضية كنا تحدثنا عن
الـ Fundamental Theorem of Calculus وتحدثنا عن الذي
هو الـ Two Forms إيها أو التفاضل والتكامل كما
تحدثنا وتكامل التفاضل Roughly الكلام وبعدين أتينا
لبعض الملاحظات وبعض التعريفات وتحدثنا عن الـ
evaluation of integralsبدأنا في evaluation of
integrals الذي هو الذي يمثل الجزء الأول من هذه
المحاضرة اليوم تحدثنا عن الذي هو ال integration by
parts ال integration by parts تحدثنا عنه المرة
الماضية وشرحناه ووقفنا عند الذي هو الـ ال .. ال ..
ال .. ال .. ال first substitution form الذي سنبدأ
فيه اليوم إن شاء الله الآن ال first substitution
form أو الذي هو التكامل بالتعويض عن طريق الذي هي
التعويض وهذه طبعًا طريقة كنا نستخدمها كما
استخدمنا الذي هي طريقة ال integration by parts في
calculus B أيضًا استخدمنا الذي هو التكامل بالتعويض
للإيجاد أو لعملية إيجاد الذي هي التكامل الآن بدنا
نعطي النظرية التي تشرح لنا أو نثبت النظرية التي
تسمح لنا بالتكامل بالتعويض نجي نطلع لنظريتنا
التي هي ال first substitution theorem نيجي ناخذ
الذي هو ال J فترة عبارة عن ال closed interval Alpha
و Beta إن نأخذ Φ function من J لعند R have a
continuous derivative on J يعني أخذنا الآن يا
جماعة Φ عبارة عن function من التي هي الفترة
Alpha و Beta لعند R وفرضنا إن هذه الدالة التي هي
Φ ال derivative لها موجودة ونفسها مشتقتها
continuous إذا فرضنا إن الذي هو الـ Φ have a
continuous derivative on the interval J التي
سميناها ليه Alpha و Beta لأن لو كان في عندي function
F is continuous on any interval I containing Φ
of J لأن فرضنا أن F دالة على I تحتوي Φ of J عشان
إن بعد شوية هعرّف .. هيلزمني الذي هو composition
of two functions عشان هيك أنا باخد ال F عبارة عن
function من I لعند من؟ لعند ال R إيش ال I هذه؟
هذه I interval بتحتوي التي هي من الـ Φ of J التي
عندي، يعني هيصير عندي بناء عليها هيصير عندي F of
Φ of I T فيه التي هي الـ J عبارة عن قيمة معرفة
عشان تكون ال composition معرفة، إذا الآن باختصار
Φ التي هي ال derivative التي موجودة والـ
derivative continuous وال function F الصغيرة هذي is
continuous وهنا ال interval I، then الآن نجي
للنتيجة التي نحن نمارسها عمليًا دائمًا التي هو
بكون عندي ال integration من Alpha ل Beta لF of Φ
of T Φ prime of T DT نحن ندعي بتساوي كنا نجي
ماذا نفعل نأخذ هذه التي هي نعوض عن Φ of T ب X
بناء عليه بيصير عبارة عن هذا ال integration F of
X و Φ prime of T نعوض عن Φ of T ب X فبيصير
عند Φ prime of T DT هو عبارة عن من DX كنا هيك
نفعل في ال calculus الآن نجي نقول DX بِسُوء Φ
prime T DT أو DX على DT بِسُوء Φ prime of T ونشيل
Φ prime of T DT ونحط مكانها شمالها DX حدود ال
integration كانت من Alpha ل Beta يعني لما كانت T
ب Alpha بصير X التي هي Φ of T التي هي Φ of
Alpha بتروح لمن؟ ل الذي هي Φ of من؟ Φ of
Beta لماذا؟ لأنه لما كانت T بساوي Beta أكيد الـ X
التي هي Φ of T بتساوي الـ X بتساوي Φ of T، الـ
X بتساوي Φ of Beta إذن نظريتنا هذه التي أمامنا
هي نظرية إحنا يعني استعملناها أو بنستعملها عادة في
الذي هو إيجاد الـ integration وإحدى الطرق لإيجاد
الـ integration فعندي
الآن هذه الآن نظريتنا، بدنا نبرهن هذه النظرية ونشوف
كيف نبرهنها، برهانها بسيط، الآن هي التي بدنا
نبرهنه، خلينا نشوف كيف البرهانة وكيف نبرهن
الكتاب،
عنده يجينا عرفنا، بدنا نعرف function F، لأن عرش
function F لا تنسوا هذا الـ Function ماذا مالها يا
جماعة؟ Continuous وهذا يعني كثير بالنسبة للـ
Fundamental Theorem أعرف الـ Function F من الـ
Interval I لعند من R F Capital أعرف الـ F Capital
F of U بساوي الـ Integration من الذي هو عند الـ I
بتحتوي من الـ Φ of J يعني هي الـ Interval I هي
الـ interval I وفي داخلها Φ of J Φ of J طبعًا
في عند Φ of Alpha لعند Φ of Beta لو كانت التي
هي Alpha أكبر من Beta الأخرى Φ of J التي هم
مفترضينها نحن أين في داخل الفترة التي أمامي الآن
بتأخذ ال integration تعرفه من عند Φ of Alpha
لعند من U الـ U المتغيرة التي ستكون أين موجودة في
داخل الـ I التي تحتوي الـ Φ of G إذا عرفنا
function f of u بيستوي ال integration من Φ of
Alpha ثابت Φ of Alpha يا جماعة لعند U لمن؟ لل f
of x dx لاحظ هذه الدالة التي عندي التي عرفتها من
الـ Fundamental theorem بما أن F is continuous إذا
هذا كله الآن الذي هو صار function في U عبارة عن
differentiable ومش هيك كمان و F prime of U ستساوي
من؟ التي هي الدالة F of U إذا من الـ Fundamental
theorem بما أن F is continuous إذا F prime of U
بتساوي F of U التي هي by Fundamental theorem of
calculus إذا by Fundamental theorem of calculus ف F
of X .. F of U طبعًا هذه ننطقها بسوء ال integration
من C .. C الذي هو نحن نسميه هنا هي التي هي Φ of
Alpha ما أريد أن أخبركم في التسميات على طول من Φ of
Alpha لعند من لعنده إذا الذي فعلته أنا بس لحتى
الآن إن عرفنا دالة التي هي ال func ال F Capital هذه
ال F Capital عرفناها من I من I لعند R by F of U
بسؤ ال integration من C ل U F of X DX for U
element من in ال interval I الآن قاعد أحضر للي
أريدها and now consider the function H من J لعند R
بعد ما عرفنا ال function F هذه التي أمامي بدي
أعرف لكم دالة ثانية الدالة التي أريد أن أعرفها يا جماعة
هي عبارة عن HH هذه أريد أن أعرفها من J لعند R شوف كيف
أريد أن أعرفها بطريقة التي هي تخدمني بعد شوية للوصول
للنتيجة التي أريدها التي هي H of T أريد أن أعرفها H of
T بساوي F Capital هذه التي عرفناها of Φ of T Φ
of T الآن جهة دي اليمين هي الفترة Alpha و Beta Φ
of T التي هي إذا T من في J Φ of T معرّفة على الـJ
الـJ Φ of T مشتقتها معرّفة على الـJ الـF لها
معرّفة لأن الـF domainها I الذي هو الذي يحتوي Φ
of J يعني فعلًا Φ of T موجودة في Φ of J التي هي
موجودة في من في I إذا المعرفة التي دالها H of T
بيساوي Φ of I of T طيب الآن الـ F تفاجأنا للـ F
هذه إنها differentiable الـ F كابيتال والـ Φ
differentiable لماذا differentiable؟ لأن Φ prime
موجودة و continuous إذا أقدر .. هي أفاضل هذه
الدالة إذا أقدر أن أقول إنه عند الـ H prime of T
بيساوي F' Φ of T تشيرن رول طبعًا يا جماعة في Φ
prime of T فإذا تفاضل ال H' هو F' في Φ prime of
T كما نحن ذكرنا في برهان النظرية هنا الآن عندي
أيضًا نحن قلنا ال F prime of U ماذا تساوي F of U
وقلنا لماذا السبب الآن لو أتينا كل هذا تحضير للي
أريدها بعد شوية المعلومات هذه الآن عندي احسب لي H of
Alpha H of Alpha من هذه H of Alpha أكيد كلكم شاهد
أن H of Alpha بتساوي عوض بتساوي F of Φ of Alpha
صحيحة يا جماعة ويساوي F of Φ of Alpha طب ماذا
تعريف F of U؟ هي عبارة عن ال integration من Φ of
Alpha لعند U U أنا الآن ماذا هي؟ اسمها U التي هي 5
Alpha إذا من 5 Alpha ل 5 Alpha يعني ال integration
ماذا سيُساوي هذا؟ يساوي صفر إذا نرى Alpha فعلاً ماذا
بتساوي .. بتساوي إيش .. بتساوي صفر إذا تلت حاجات
الآن عرفت الـ F من I لـ عند R بالطريقة اللي أمامي
وجدت أن F' بيساوي F of U الشغل الثاني عرفت H of T
بيساوي F of Phi of T اللي هو F is differentiable,
Phi is differentiable إذاً نفسي H is differentiable
و الـ derivative إليها إيه؟ الشمال هذه بيساوي اللي
أمامي و الشغل الثاني اللي حصلنا عليه أن H of
Alpha إيش هيساوي يا شباب؟ هو يساوي 0 نيجي الآن
بدنا نوصل لمين إحنا؟ إحنا هدفنا يا جماعة اللي هو
هدفنا سامحونا على اللوح الصغير اللوح هدفنا هو الـ
integration من Alpha لعند Beta F of Phi of T Phi
prime of T dt بساوي الـ integration للـ F of X DX من
Phi of Alpha لعند Phi of Beta هذا اللي بدنا نثبته
شوف كيف بدنا نصل لهذا اللي هو المطلوب نيجي
لهذا الـ integration اللي قبلنا هذا اللي هو الطرف
اللي إحنا بدنا نثبته بساوي هذا الطرف هذا الطرف اللي
أنا ساويه هذا، نبدأ بهذا الطرف اللي هنا ونبني
المعلومات ونحصل على اللي بدنا إياه بكل سهولة الآن الـ
integration من Alpha لعند الـ Beta F of five T five
prime of T DT بتساوي الآن الـ F هذه في الواقع مين
هي؟ هذه هي عبارة عن F prime إذا صار عندي الآن هذا
المقدار هو عبارة عن f prime of five a t five prime
a شماله of t يعني وكأنني مين بفاضل؟ أنا بفاضل كل
هذا المقدار طلع مين هو؟ h prime of t وكل أموره حلوة
ومحترمة الـ f اللي هي continuous والـ Phi prime
continuous معطيني إياها إذاً هذه صارت الـ H' كلها مالها
continuous إذا الـ integration من Alpha لـ Beta
لـ H' of T اللي هو الـ integration بـ cancel الـ
differentiation اللي هي الجزء الأول من الـ
fundamental theorem of calculus يا جماعة فبيصير
إيش بيساوي الجواب؟ H of Beta ناقص H of mean of
Alpha إذن صار عندي الآن h of alpha قبل شوية شهية
نذكّر و كده لسه كاتب إنها إيش بتساوي صفر إذا صار
المقدار هذا كله اللي أنا بدي إياه إيش صار بيساوي؟ h of
Beta إذا اللي أثبتته تقريباً عندي خلصت أثبتت إن الـ
integration اللي أمامي هذا كله بيساوي مين؟ H of Beta
خلّينا نحسب H of Beta H of T إحنا F of Phi of T إذا H
of Beta بيساوي F of Phi of Beta H of Beta بيساوي F of
Phi of Beta الآن ما يساوي؟ الـ integration .. الـ
integration سبوكوا من الـ D لأن أنا ما أستخدمش الرموز
هذه إيش هذا بيساوي؟ بيصير عندي F .. F اللي هو of
Phi of Beta حسب التعريف F of U هاي و أماني بيساوي الـ
integration من Phi of Alpha لعند Phi of Beta F of X
DX وهو هذا المطلوب صار عندي الـ integration لـ .. اللي
هي F of X DX من five of alpha لعند five of beta
اللي هو H of Beta بساوي اللي هو الـ integration اللي
أمامي وهو المطلوب طيب نيجي الآن للنظرية الثانية
النظرية الثانية اللي هي second substitution
theorem اللي هي .. أيضًا بنستخدمها وحنشوف إيش اللي
هي هذه النظرية وكيف نبرهن النظرية والبرهان برضه
مش صعب أو البرهان اللي هو سهل هنشوف الـ second
substitution theorem بتقول ما يلي عند في function
فاي من J لعند بار J هي نفس الفترة اللي .. الفترة
اللي إحنا حكينا عنها اللي هي عبارة عن Alpha و Beta
بدنا نفترض أن الـ فاي هذه have a continuous
derivative برضه نفس اللي هي المعتاد أولاني ونفترض I
عبارة عن interval بتحتوي Phi of J نفس المعتاد في
النظرية السابقة الآن المعتاد جديد بدنا نفترض أنه
فيه function ψ من I لعند R بـ a function اللي هو
inverse لـ مين اللي هي الـ Phi يعني عندي Phi
بشروط النظرية اللي فاتت من J لعند مين؟ لعند R وعندي
بـ Psi من عند I لعند R ومفترضين أنه بـ Psi هي الـ
inverse لـ مين للـ Phi يعني Phi composite بـ Psi
بساوي مين؟ الـ identity function أو Psi composite الـ
Phi عبارة عن الـ identity function وكل اللي هو عندي
مفترضين أن Phi of J subset من مين؟ من الـ I عشان
يكون اللي هو الـ composition معرف إحنا
صارت بـ Psi هي الـ inverse لـ Phi و F برضه نفس
المعطيات الفاترة continuous on I إذا ما يعني، إذا
يعني اللي بحكيه وكأنه نفس شروط النظرية السابقة بس
اللي أضفنا إن الـ Phi اللي عندنا في هذه الحالة
فيه إلها inverse فيه لها inverse فبتعطيني مجال
للتحرك أكثر من الأولى إلها دي بتفترضش أنه في
لها inverse وبنبدأ بنعوّض زي ما عوضنا قبل إيش
النتيجة طيب النتيجة هي ما يلي اللي هو إذا الـ
integration أبو حسين ازيحه بس نجاعي شوية
النص اللي لدك على الحيط أصلا السلام
عليكم السلام عليكم
خلاص ساعة سبعة يا عزيزي خلاص خلاص
إذا الآن الـ .. الـ .. الـ .. الـ .. second
substitution theorem نفس شروط اللي هو الـ fair
substitution theorem بس الآن اللي هيضيفنا عليها أنه
بـ Psi عندي فرضنا أنه في عندي Psi function من I
لعند R هي عبارة عن الـ inverse لمين؟ لفاي بناء ..
بناء عليه هيصير الـ integration من Alpha لعند Beta F
of Phi of T DT لأن مش ظاهرة عندنا هنا مين الـ
derivative لمين؟ لإي اللي هي الـ Phi بالرغم من هيك
هيطلع عندي بساوي الـ integration F of X بـ Phi prime
of X DX اللي هو عندي من Phi of Alpha لعند مين؟
لعند Phi of Beta
الآن نشوف اللي هو كيف نبرهن نظريتنا خلينا نكتب
هذه على جهة عشان نعرف إحنا لوين رايحين الـ
integration من Alpha لعند Beta F of Phi of T dt
بساوي الـ integration لـ Psi of Alpha F of أو F of X
Phi prime of .. Psi prime of X DX Phi prime of X
DX من Phi of Alpha لعند
Phi of Beta دعونا نشوف كيف .. نيجي نشوف البرهان جرب
انت لحالك عوض اللي هو عشان تشوف منطقية النظرية زي
ما كنا نعوض في الـ calculus عوض عن X بـ Phi of T ها
هيطلع عندك اللي هو في النهاية DT هو عبارة عن كل
هذه لو عوضت طبعاً باستخدام اللي هو العلاقة بين الـ
.. ال .. الـ inverse اللي هي الـ Psi إنها inverse
على Phi هتحصل على اللي هو .. اللي هو كل هذا
المقدار هو هيطلع مين هو؟ دي T و هتصير بدل Alpha Phi
of Alpha و Beta Phi of Beta زي ما أنتم عارفين
لأنه لما كانت T بتساوي Alpha طلعت اللي هي Phi of
T لعوضة مكانها اللي هي Phi of Alpha و الثانية
هتطلع Phi of Beta طب نيجي الآن لبرهان النظرية الآن
عندي أول حاجة five prime of T بعطينا إياها شماله
لا تساوي صفر طبعاً هذا لزوم لزوم أن تكون الـ inverse
موجودة five prime of T لا تساوي صفر يعني الآن five
prime of T يا أكبر من صفر يا أصغر من صفر عندي
المنطق اللي هيكون عندي اللي هي strictly increasing
أو strictly decreasing على المنطقة اللي هي فيها
إذا في عندي بمعنى آخر strictly monotone مدام
strictly monotone إذا الـ inverse إلها موجود و في
بتساوي الـ inverse زي ما هو معطينا إياها طبعاً إحنا
معطينا الـ فيالـ Phi مش differentiable بس Phi مش
differentiable اللي هو الـ derivative موجودة و
شماله continuous طيب لأن بما أنه اللي هي Phi
prime exist إذا بنظرية أخذناها اللي هي 6 1 9 هتكون
الـ Phi prime exist وبتساوي واحد على في برايم في
مين؟ في بساي كمان مرة يا جماعة أذكركم في النظرية
الآن عندي مدامة بساي بساوي في انفرس والفي نفسها
عبارة عن differentiable هتكون الـ inverse اللي هي
بساي is differentiable والـ derivative اللي هي بساي
برايم هي عبارة عن واحد على في برايم ماله؟ composite
بساي اللي هي .. أو مش هيك هتطلع .. هتطلع continuous
ليش continuous؟ لأنه أصلاً ما فيش أسفار في المقام
أكيد وعند Phi prime نفسها Phi prime نفسها
continuous معطيني إياها و بـ Psi is continuous لأنها
أصلًا differentiable فهتطلع عندي اللي هي بـ Psi prime
برضه مالها؟ is continuous إذن اللي استنتجناه الآن
أن الـ inverse function is continuous وقيمتها الـ
Derivative إليها هي عبارة عن واحد على Psi Prime في
Phi Prime في مين؟ في Psi نشوف الآن بدنا نعرف اللي
هو بأسلوب مشابه قبل بشوية أنه نعرف دوال بحيث أنه
لما نيجي اللي هو ناخده تبقى derivative لشيء سهل
إيجاده ولما ناخده له الـ integration يطلع اللي هو
نفس الدالة عند نقطة الأولى ناقص النقطة الثانية
اللي هو باستعماله في أنظمة التلفيرموفكالكلاس أيش
اللي بقوله؟ خلّيني نشوفه اللي هنعرّف ليها جمعة جي
من جي لعند R اللي هي عبارة عن ف ليها أنها تكون
إيه شمالها Anti-derivative للـ continuous function
of composite phiF composite Phi continuous؟ أه
continuous لأن الـ Phi is continuous قلنا ال
derivative إليها continuous كمان مش كايكوا بس و ال
F معطينا إياها continuous فلمّا أقول إن عرف G
هتكون antiderivative لمين هذه؟ طب هدي إياها
antiderivative؟ أه مدام continuous و المرة اللي
فاتت قولنا ده كانت الدالة continuous على طول فيه
إليها antiderivative إيش يعني؟ يعني الـ G prime
هتكون مين؟ الـ F composite Phi طيب الآن دي إذا مدام
اللي هي الـ G Antiderivative للـ F Composite Phi
إذا الـ G' Exists إذا الـ G Differentiable و لو
بصي Differentiable إذا الـ Composition اللي هو إيش
برضه هيطلع Differentiable إيش يعني؟ طيب .. طب وإيش
يعني الـ differentiable؟ ها .. هالـ gate هيوصّلني
لإن Decomposite Phi Prime of X ده وجود الـ
derivative بنعرف أنه وجود الـ derivative هي عبارة
عن D Prime of Psi of X Psi Prime of X اللي هي
Chain Rule استخدام الـ Chain Rule ويساوي لأنقلنا
جي برايم هي مين؟ الـ F composite في إذا بشيل الجي
برايم و بحط مكانها F composite إيش يا جماعة في في
بساي of X اللي هو هيها F composite .. هي دي بدلها
F composite في of بساي of X في بساي برايم من of X
و يساوي F of اللي هو في composite بساي of X في
بساي برايم من of X كتبتها بس على صورة هو اللي هي
فكّت ال composition إيه الآن؟ ليش عملت هيك؟ عشان
أسهل عليكم وأقولكم أحنا بيقولوا Psi أشملن ال
inverse للـ Phi مزام الـ inverse مع بعض ده هو ال
identity ده هو الـ identity of X ده هو الـ X يعني
كلها هتصير F of X Psi prime إذا صار عندي هذا
شايفينه؟ هو عبارة عن F small of X في Psi prime of X
طيب سهلة الموضوع الآن إذا ناخد ال integration من
Phi of Alpha لـ Phi of Beta لـ F of X بـ Psi prime of
X DX إيش هذه؟ أه هذه اللي بدنا إياها هيها Psi
prime of X DX إذا نوصلنا إذا الـ integration هذا
بيساوي الـ integration لهذا الـ integration لهذا
عندي هذه اللي هان جي كوميزيت في بسايد الكل برايم
of x dx الان الان هنا الـ domain هذه اللي هيكون من
عندي اللي هي الـ I يعني لما ال .. ال .. ال .. ال ..
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
..
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
.. ال .. ال .. ال ..الآن صارت الـ derivative إلها
الـ integration هيلغي الـ derivative اللي هي by
fundamental theorem of calculus وكل الشروط زي ما
قلنا و انتحققها هيصير هذه اللي جوا عند هذه و هذه
اللي جوا عند هذه حاصل طرحين اللي هي G Phi
Composite Psi الكل of a G composed of Psi الكل of
Phi of X اللي هي الـ X في هذه الحالة إيش اسمها اللي
هي Alpha معلش و هذه الثانية الـ Beta آسف اللي قولها
Beta حد الأول و هذه الحد اللي تحت Alpha ماشي
الحالة هذه يعني كلها على بعض زي ما عملنا قبل هيك
الـ Psi و الـ Phi اللي هو عبارة عن inverse لبعض، إذا
الـ Identity يعني هتصير الـ G of Beta و هذا هتصير
الـ G of Alpha، إذا صار عندي المقدار اللي أمامي هذا
اللي هو اللي أنا ببحث عنه، هذا المقدار، شايفينه؟
هذا المقدار طلع عبارة عن عشان استخدمه بعد شوية
خلينا يمكن أوضح يكون هيصير عبارة عن g of beta ناقص
g of alpha بتثبت لكم الثاني برضه هيكون g of beta
ناقص g of alpha و بكون خلصنا اللي هو برهان النظرية
خلصنا هذا الجزء نيجي ل اللي هو الجزء الثاني اللي
أسهل كمان
شوف يا جماعة صلى الله عليه وسلم بالسلامة احنا قلنا
الـ G هي الـ antiderivative لهذه يعني الـ G' بساوية
هذا المقدار إذا الآن بنقدر نستخدم اللي هو ال
fundamental theorem of calculus أو اللي هو ال
corollary لها بكون عند ال integration هيه للمقدار
هذا هيطلع ليه اللي هو مباشرة بساوية يعني ممكن
بعضكم لاحظ الاشي اللي بتسويه من قبل ما اشرح الآن ال
integration f of I of T من Alpha لـ Beta إيش
بيساوي؟ هذا كله بدك تشيل مكانه منين؟ تحطه G' ال
integration لـ G' of T dt من Alpha لعند Beta نفس
الحدود لأنه ما غيرناش اللي هو الـ variability اللي
بدنا نكامل بالنسبة له، ما يساوي على طول هذه اللي هي
تفاضل بـ cancel اللي هي أو التكامل بـ cancel التفاضل
اللي هي الـ corollary اللي حكينا عنها اللي هي
corollary of fundamental theorem of calculus بساوية
G of beta ناقص g of alpha الآن هذه صارت g of beta
ناقص g of alpha و هذه صارت g of beta ناقص g of
alpha إذا صار عندي هذا المقدار بساوي هذا المقدار
أو الـ integration بساوي الـ integration و بكون هيك
أثبتنا اللي هي النظرية الثانية أو اللي هو second
substitution theorem الآن تطبيقات هذه النظريات ما
هو هدولة تطبيقاتهم اللي هو إشبعنا فيها من Calculus
B
فبصير بس انه انت لحالك في البيت لو قعدت و عملتلك
سؤال سؤالين على ال substitution في الحالتين بتكون
اللي هو خليني نقول عمقت المفهوم عندك بشكل أكبر
نيجي الآن نحكي عن اللي هو احنا طبعا حكينا عن الـ
mean value theorem أو نظرية القيمة المتوسطة في
حالة ال differentiation الآن هنحكي عن القيمة
المتوسطة في حالة ال integration اللي
هو نوجينا
أخذنا مثلا خلّيني أخد المنطقة الموجب عشان أسهل في
الحديث هي عندي اللي هو function f على الفترة من a
لعند b الآن بتقول لي اللي هو بتقول لي هذا طبعا نظري
أكثر من هيك أبعد من هيك بس خلّيني أقول خلّيني أخد
الحالة السهلة أو خلّيني أخد الحالة اللي بتوضح
معانا القيمة المتوسطة الآن قيمة ال integration من
a لعند b هو عبارة عن المنطقة هذه ككل مساحتها لو
جسمناها على الـ B minus A وكأننا بناخد متوسط قيمة
الدالة لإنه لو اتخيلنا إنه هي قيمة الدالة و
بنضربها يعني تخيل إنها دي مساحة خط جنب خط جنب خط
جنب خط جنب خط لما اتخلص أدولها إلى أن حصل ضرب
الفترة هذه كلها P minus A في قيمة ال .. الها دي
اللي هي اللي عنده لو فرضنا إنهم يعني ال .. ال ..
ال .. هذه القيمة المتوسطة لهم يعني متوسطهم فبصير
عند كلّه على بعض المساحة بساوي اللي هو حصل ضرب P
minus A في متوسط قيمة التكامل اللي هو عند نقطة
معاه وهذا اللي بتقوله هي بتقول إذا كانت F اللي هي
في شروط معينة بكون عند F of X DX على B minus A
بساوة F of C for some C وين موجودة بين الـ A و الـ
B و هذه اللي هي القيمة المتوسطة للمساحة أو قيمة ال
integration على طول اللي هي الفترة إذن هذه اللي هي
خلّيني أقول حالة خاصة من نظرية القيمة المتوسطة
اللي بصورة عامة اللي هي .. اللي هي .. اللي نسميها
الـ Mean Value Theorem for Integrals نشوف الكلام،
يمكن الآن الكلام يكون أوضح في المن .. بشكل أوضح
لما نبرهن النظرية و ناخد نصها و ناخد الـ Corollary
اللي عليها اللي هي الحالة اللي ذكرته الآن ما بحكيه
عبارة عن الـ Mean Value Theorem for اللي هي أياش
integrals نظرية القيمة المتوسطة على التكامل طبعا
أنتم متذكرين القيمة المتوسطة العادية أنه لو كانت F
is continuous على closed interval differentiable
على الـ open إذاً there exists C element in A و B
such that اللي هي F prime of C سوى F of B ناقص F
of A على B minus A هنا الآن بقول لك اللي في الجزئية
هذه أن F is continuous على الـ A و الـ B إذن there
exists C في الـ A و الـ B such that ال integration من
A لعند B F of X DX بساوي F of C على B minus A
بساوة مين؟ بساوي اللي هي الـ F of C roughly ..
roughly .. roughly .. roughly اتخيل أنه الآن هذه
عبارة عن الـderivative F هذا ثابت طبعا ال
derivative F prime of C وهذه اللي خدنا derivative
لأن integration كان اللي هو اللي هي متغيرات فبيصير
عند F of B بيروح ال integration مع ال
differentiation بيصير F of B ناقص F of A اللي فوق
هذا الكلام رفلي بس على أساس أن هو أن أنت اللي هو
تستذكر العلاقة اللي هو بين هذه وبين اللي هي
الأصلية، أما القيمة المتوسطة المفهوم بالمتوسط اللي
هو مساحة اللي هو قيمة ال integration على طول فترته
اللي هو بتطلع قيمة متوسطة، هذه القيمة اللي هو عبارة
عن متوسط قيمة وكأنه كل اللي هي قيمة ال integration
عنده اللي هو تحت اللي هي النقطة اللي عنده في F of
C بتساوي قيمة هذا ال integration على B minus A أو
متوسط المساحة على طول الفترة اللي هي بتساوي قيمة
الدالة F of C، وفعلا الـ C موجودة هي المهم أن الـ C
هي دي فعلا هنلاقيها موجودة وبتمثل قيمة ال
integration على طول الفترة، وهذا معناه اللي هو
المتوسط قيمة ال integration على طول الفترة هنلاقيه
فعلا بيمثله مقطع بين ال A و ال B وهذا بسميها
القيمة المتوسطة mean value theorem for integrals
let F be continuous on I and let B be integrable
function on I الـ B هذه أنا ما أخدها بتقبل بشوية في
مثال على أنها بتساوي واحد طيب let F be continuous
on I of A و B and let B be an integrable function
on I and نفترض أن B of X أكبر يساوي صفر for every
X element in I then there exists C element in I
such that الآن هاي الـ C اللي هي بدها تمثل اللي هي
النقطة اللي بنلاقيها في الـ I بحيث أن ال
integration من A لB F of X DX DX على اللي هي ال
integration من a إلى b بيقوم باقوم باقوم باقوم
باقوم باقوم باقوم باقوم باقوم باقوم باقوم باقوم
باقوم باقوم باقوم باقوم باقوم باقوم باقوم
باقوم باقوم باقوم باقوم باقوم باقوم باقوم باقوم
باقوم باقوم
ب
الـ integration من a ل b f of x b of x dx على ال
integration نفترض أنه ليس فارق بيه بيه بيه بيه بيه
بيه بيه بيه بيه بيه بيه بيه بيه بيه بيه بيه بيه
بي بيصير هذه واحد اللي هي بيصير هذه B minus A اللي
قلت قبل شوية اللي هو قيمة المساحة أو قيمة ال
integration على طول الفترة بيساوي فعلا مقطع فعلي
في الفترة I، نيجي نبرهن أن هذه هي بصورة عامة عند F
continuous إذا F is integrable and so F اللي هو A
of X في B of X is Integrable لأن B Integrable و F
Integrable صار الـ composition اللي هنا Integrable
اللي هنا Integrable اللي هنا Integrable اللي هنا
Integrable اللي هنا Integrable اللي هنا Integrable
اللي هنا Integrable اللي هنا Integrable اللي هنا
Integrable اللي هنا Integrable اللي هنا Integrable
اللي هنا Integrable اللي هنا Integrable اللي هنا
Integrable اللي هنا Integrable اللي هنا Integrable
اللي هنا Integrable اللي هنا Integrable اللي هنا
Integrable اللي هنا Integrable اللي هنا Integrable
اللي هنا Integrable اللي هنا Integrable اللي هنا
Integrable اللي هنا Integrable اللي هنا Integrable
اللي هنا Integrable اللي هنا Integ
عندي F continuous إذا انتيجرابل و B-integrable إذا
FB-integrable سمّيلي الـ M small هي الـ infimum للـ
F of I موجودة أه طبعا و هي F is integrable is
unbounded M capital بيساوي ال supremum لمين؟ لل F of
I، إذن الآن الدروب صارت عندي ال F of X بين ال M
small و بين ال M capital الدروب لكل انفمين في B of
X، وبنقدر أه بنقدر لإن بي بيضالها زي ما هي أه لإن
بي موجبة، إذا صار عندي الآن هذه ال inequality صحيحة
و كلها integrable إذا ال integration على الأولى
أصغر أو يساوي ال integration على الثانية أصغر أو يساوي
ال integration على الثالثة و ال M بتطلع برا لإنه
ال M يشملها ثابتة الآن لو ال integration لل .. لل
.. لل .. لل B بيساوي 0 إذا ال integration هيكون اللي
هو اللي فوق ال .. ال .. ال .. ال .. النظرية بتصلح
لأي قيمة اللي هو للـ C لأن هيكون إيش بيساوي ..
أنا أطلعلكم فوق لأن لو فرضنا ال integration للـ B
بيساوي صفر integration للـ B بيساوي صفر بيصير اللي
هو هذه برضه ال integration هذا هيساوي إيش؟ هيساوي
صفر عارفين ليش؟ لأن مادام ال integration هذا صفر
و ال integration هذا صفر إذا ال integration اللي
في النص إيش هيساوي؟ صفر إذا صارت هذا المقدار صفر
وهذا صفر إيش ما تختار C هتتحقق اللي هي مين؟ طرفي
المعادلة، إذن الآن حالة الصفر is a trivial case يعني
حالة أن تكون هذه صفر is a trivial case لأن
automatic زي ما قلنا مدامة هذه صفر وهذه صفر مدامنا
في النص صفر إذن اللي هو أي اختيار للـC هيكون طرف
أي معادلة صحيحة يعني اللي هو ال equality تبعتنا
صحيحة، الآن بدنا نيجي لمين يا جماعة؟ إيش غرضنا؟
غرضنا نلاقي C بحيث أن هذا بيساوي هذا خلصنا حالة اللي
هي ال integration بيساوي صفر، نفترض أن ال
integration مش صفر، ليش؟ أنه بدي أكسب عنه إذا صار
عندي ال integration أكسب الجهتين عن ال integration
لل B ال integration لل B اللي فرضنا أنه مش صفر إذا
صار ال integration هذا على ال integration هذا بين
ال M small و ال M أشمالها capital ماشي، الحالة الآن
احنا بنقول أن هذا صار رقم بين الـ M small والـ M
capital، وبنقول أن F continuous on الفترة A وB then
أي رقم .. أي رقم الآن للدالة اللي هو .. هوضح لكم
هي .. أذكركم الـ intermediate value theorem اللي
نسيها هي عندي مثلا هي أعلى قيمة أقل قيمة وهي أعلى
قيمة، هذه الآن الـ function f of x اللي هي بين اللي
هو M capital M small أو بين مين؟ M capital، الآن
لو إجينا أخدنا أي قيمة أي قيمة عدد أي عدد A بين الـ
M small والـ M capital، متامة الـ F continuously عن
أي قيمة هنا أخدناها قيمة هنلاقي اللي هو there
exists C element في الفترة A وB المعرف عليها
الدائرة هتسميها C مثلا أو D هنلاقي الـ C في الفترة
بين A وB بحيث أن F of C هي مين؟ القيمة F of D اللي
هي الـ Intermediate Value Theorem اللي أنتو
عارفينها اللي هي For Continuous Function، إذا بما
أن الـ function F is continuous و هذه القيمة بين
أعلى قيمة .. بين أعلى قيمة و أقل قيمة للدالة إذا
أكيد هقدر ألاقي C element in I بحيث أن F of C
بيساوى هذا الرقم اللي هو هذه القيمة اللي هو ال
integration بيساوي اللي هو F of C في القيمة هذه وهو
المطلوب يعني النظرية برهانة بسيطة يا جماعة بس مدام
حصرنا قيمة للقيمة هذه اللي هي بين اللي هي ال M و
ال M إذا بال intermediate value theorem في C
وخلصنا طيب اللي بعده ال corollary حكيتها هذه إن
لو كانت F
الـ Corollary حكيتها لو كانت F continuous على اللي
هي الـ closed interval A و B هنلاقي الـC في الـI
بحيث أن ال integration من A لB للF سواء F of C في
B minus A، قلنا هذه اللي هي حالة خاصة من النظرية بس
حط لي الـF الـB of X بيساوي 1، حالة خاصة من النظرية
النظريتنا
أن الـ integration للـ F في B بيساوي F of C في الـ
integration للـ B من Alpha لعند Beta و لا من A
لعند B من A لعند B for some C element in I، مظبوط؟
الآن بقول لي اللي هو ال integration للـ F بيساوي F
of C في B minus A for some C، حط الـ B بيساوي،
هتجسي ال integration للـ F بس بي بي بي بي بي بي بي
بي بي بي بي بي بي بي
اللي هو dx y بيساوي اللي هو f of c هدف b minus a وهو
المطلوب هنلحقه كمان مرة، إذا الـ Corollary اللي
هي اللي أمامنا تم برهانها مرة أخرى، نيجي الآن للي
هي Taylor's theorem أخدناها Taylor's theorem كان
ال remainder اللي هو اللي هو شيء مفضل أو الـ
Taylor's theorem إذا صح التعبير for integration و
Taylor's theorem for differentiations الآن الجزء
اللي هو الـ for integration نشوف شيء اللي بقوله
suppose that the function f and its derivatives f
prime up to f n and f n زائد واحد are كلهم
أيّ شمالهم continuous يعني نفترض أن الـ
derivative الـ n زائد واحد derivative is
continuous exist وcontinuous نفترض أن الدالة f
عبارة عن دالة قابلة للاشتقاق n زائد واحد من المرات
وتكون الـ n زائد واحد كمان نفسها continuous ماشية على
الفترة a و b then بقول لي اللي هو f of b بيساوي f
of a زائد f prime of a على 1 factorial في b minus a
زائد f double prime of a على 2 factorial في b minus
a تربيع زائد لما أصل عند f n of a على n factorial
في b minus a الكلّ أُسّ n هذا كله إيش معناه؟ عارفينه قبل
كده وعملنا زائد مين؟ الـ remainder are n الـ
remainder are n كتبوا على صورة integration بس الـ
remainder are n كتب على صورة واحدة الـ N factorial
في الـ integration من a لـ b بـ ماينس تي أُسّ n f n زائد
واحد of T دي تي إذن الآن بقول لك f of b f of
b بيساوي الـ summation f .. f N هو f k of a على
k factorial في b minus a أُسّ k k من عند 0 .. من صفر
k من عند صفر لعند مين؟ لعند n زائد الـ remainder مين؟
r n الـ remainder are n مين هو؟ بيساوي اللي هو 1 على n
factorial في الـ integration من a لعند b b minus t
أُسّ n في f n زائد 1 of T دي تي نثبت لكم إن الـ f of b
can be written as this حيث الـ r n هو هذا الآن
الفكرة في الحل أو الفكرة في البرهان أنه أنا بدي
أجي أوجد قيمة الـ remainder r n اللي هو هذا المقدار
و بدي أثبت لكم أن هذا المقدار اللي هو منه بقدر أكتب
اللي هو يعني الـ r n أثبت لكم هي عبارة عن f of b
ناقص هذا الـ summation يعني بدي أثبت لكم أن الـ r n
بتساوي f of b ناقص المجموع هذا يعني بدي أبدأ
بهذا الآن يعني بدي أبدأ بالـ r n بيساوي هذا المقدار
شايفينه هذا المقدار من a لعند b واحد على n factorial
بدي أكامله أكامله by parts آه بدّه كامل وشوفوا كيف
بتطلع الأمور إن شاء الله سلسة ومنيحة by parts خدوا
الـ u عبارة هنسّميها عبارة عن u وهذه سنّسميها إيش يا
جماعة dv ماشي الحال بيصير القانون هو عبارة عن اللي
هو u dv يعني بيساوي uv ناقص v du تحت مين؟ تحت الـ
integration هذا كلام تعرفوه أنتم الآن برضه من وين
لوين؟ من a لعند b على السريع عشان اللي هو تأخذوا
الفكرة اللي هي الحسابات أنت بتعرف تعملوها الكلّ
بيعرف يعملها هي أخذنا الـ u زي ما أخذناها هنا
كتبتها على اللوح وهي الـ dv هيها لـ f n زائد واحد of T
dt الآن الـ du أكيد اللي هو تفاضل هذا n في b minus
t أُسّ n ناقص واحد في تفاضل اللي هو اللي جوا ناقص
واحد بيصير عندي ناقص n في b minus t أُسّ n ناقص واحد
dt هذه مين هي؟ الـ du اللي بدي أحطها هان الآن الـ v
الـ dv هيها الـ v هتطلع الـ integration هذه بيخفّ
واحد من الـ derivatives بيصير عندي f n of T طبعاً
فاهمين إيش بقول؟ الـ v بيساوي f n of T الآن بيجي
بنعوّض بيصير عندي عبارة عن الـ integration اللي هو
بيساوي الـ r n بيساوي u في v u اللي هو عبارة عن b
minus t أُسّ n في u هذه u في v v اللي هو عبارة عن f n
of T، مظبوط؟ هذا اللي هو u طبعاً الـ r n احنا مضروب
كله في 1 على n factorial لأنّها هي اللي فضلنا
هي الجزء اللي حسبناه هذا 1 على n factorial موجودة
فيها 1 على n factorial بيصير هنا برضه على n
factorial بدأت أمورنا تظهر ناقص 1 على n factorial
في الـ integration من a لعند b v ، v هي f
of T مظبوط dt في du du إيش du؟ du اللي هو
ناقص n ناقص n في b minus t أُسّ
n ناقص واحد
واضحة الصورة نجي نخلي الصورة منيحة b-t أُسّ n على n
factorial f n of T خلصنا منه هذا ناقص وهذا ناقص
يصبح زاد يصبح هذا أشمل هو واحد على n واحد factorial
في الـ integration من a لعند b b-t أُسّ n ناقص واحد
f n of T dt مظبوط؟ مظبوط هذا أوجدنا مين؟ الـ r n
بيساوي هذا زائد هذا طيب اللي عملناه مين هو هذا أصلاً
الـ r n اللي أوجدناه هي اللي هو b-1 t أُسّ n f n زائد
واحد of T dt طلع عبارة عن اللي هو اللي جوا هذا بأسّ
n وهذا زي ما هو أُسّ n ناقص بيصير هو هذا زائد واحد صار
زائد طبعاً ما عرفتم كيف صارت زائد واحد على n
ناقص واحد factorial واحد على n ناقص واحد
factorial في هذا المقدار لاحظوا أن هذا المقدار
شبيه بالـ remainder يعني بالضبط اللي عملناه على الـ
remainder بنعمله هان بنعمله على هذا اللي هنعمله هان
هييطلع مقدار زي هذا ومقدار زي هذا بس هينقص كمان
واحد اللي n هيصير هذا n ناقص اثنين كان n .. كان
n صار هيصير n ناقص اثنين والخطوة اللي بعدها
بنعمل كمان مرة بنوجد بيصير n ناقص ثلاثة وn ناقص
أربعة في الآخر الـ and finite إذا هنصل للنهاية إذا
هذا هيصير بيساوي b-t أُسّ n على n factorial f n of t
زائد هذا بتعمله بالضبط زي ما عملت مين؟ زي ما عملت
الـ r n يعني وكأنه اسم هذا r n-1 بيصير بنفس الأسلوب b
minus t أُسّ n ناقص واحد على n ناقص واحد factorial f
n ناقص واحد of t زائد بعتقد
بس في ناقص هنا في الـ u في v u في v
آه ما حسبناش عند a و b آه بس هذا نسينا نحسب هذا عند
b، من عند a لعند b، معلش سامحونا، من عند a لعند b
هذا الكلام صحيح، بس بدي أحسبه من a لعند b، عند b
صفر، صح؟ عند b صفر، مش احنا حسبنا قيمة الـ
remainder، قيمة الـ integration، هذا الـ integration
اللي هو من وين لوين؟ من a لعند b الآن هذا من a لعند
b بيصير عند b ناقص b بيصير صفر الآن ناقص من b ناقص
a فبيصير هذه شمالها b ناقص a وهنا ناقص وهنا a
شمالها f of a لأنّ عوضنا عن مين؟ عن a فبيصير عند b
ناقص a أُسّ n بالسالب على n factor of n of a زائد
هذا المقدار لأنّ هذا المقدار زي هذا المقدار هذا
المقدار بنفس الأسلوب زي ما قلنا بيصير عبارة عن زي
هذا ماشي بس برضه هيطلع لي إيش؟ برضه هيطلع لي نقص لما
نعوض بيصير b minus a أسئلة ناقص واحدة الآن ناقص
واحدة factorial f n ناقص واحد of 2 of a زائد اللي
بيطلع هنا n ناقص 2 factorial في الـ integration من
a لـ b b minus t أسئلة ناقص 2 الآن وهذه f n ناقص
واحدة of t dt نفس
اللي عملته على هذا بدي أعمله على هذا هأظلّ مستمرّ
لما يوصل عندي اللي هو .. وين بدي أكتب؟
خليني أكتب فوق
الآن تفجّأنا يا جماعة إنّ الـ r n هي هو هذا اللي هو r n
بيساوي هذا المقدار ناقص هذا المقدار ناقص ناقص زائد
هذا إذا صار عند الـ r n بيساوي
ناقص b minus a أُسّ n على n factorial f n of a ناقص b
minus a زائد n ناقص واحد على n ناقص واحد factorial
f n ناقص واحد of a زائد المقدار هذا الآن بتعملوا
هذا اللي عملته مع جابلو هيظلّوا بنفس الأسلوب ماشي
لما أصل لعند اللي هو آخر term اللي هو هيكون عندي
هييطلع عندي اللي هو b minus a في f يعني n اللي هي
بيصير باتنين b minus a في f prime of a على اللي هو
1 factorial زي ما هي زائد اللي بعدها الـ
integration تبعها اللي هي هذه عند n بجدّاشها أنا بـ 2
n بـ 2 اللي هي بيصير 1 إلى 0 factorial يعني بيصير
اللي هو 1 بمعنى آخر فالـ integration من a لعند b
وهذا بيصير b minus t أُسّ 0 يعني 1 في f prime of dt
لما أكرّر العملية أظلّ أكرّرها لما أصل لهذه الخطوة
وحنّتي لأنّ الـ n is finite ويساوي اللي هو المقدار
هذا كله اللي هو عبارة عن الـ summation طبعاً كله
بالسالب هذا مع هذا الأخير بالموجب بيصير ناقص الـ
summation لـ b minus a أُسّ k على k factorial في f k of
a k الآن من عند اللي هو واحد عند واحد هيها لعند مين
لعند n هذا مجموع من هنا من هنا لهنا هذا كله في
قيب واحد بتطلع هذه kيب 2 بتطلع اللي هان kيب 3 لما
نقصها لكيب n بتطلع اللي عندها هان زائد الـ
integration هذا الـ integration هذا اللي هي f
continuous اللي عند الـ integration للـ f طبعاً الـ f
نفسها كانت continuous فالـ integration هذا بفرض ضمن
الـ fundamental of calculus على طول بيطلع عبارة عن f
of b ناقص من f of a ماشي الحال فبيصير الآن اللي هو
وصلنا للي بدّنا إياه كيف؟ شوف كيف وصلنا للنتيجة الآن
طلعت عندي خلّي اللي هو الـ remainder احنا الـ f of
P خليها في الجهة هذه وانقل كله هنا فبيصير F of P
بساوي هذه بتنضف لهذه ما هي ناقص الثانية بيصير ..
لما تيجي الجهتين علي الجهتين بيصير موجة بس
summation لـ B minus A أُس K FK the derivative هذه
of A على K factorial K الـ N من واحد لعند N وهذه
حالة السفر K من صفر لعند N زائد مين الـ remainder
are n ليش حالة السفر هذه لأن في حالة K بصفر بيصير
هذا واحد وهذا واحد وهذا مافيش derivative يعني
بيصير F of A فبيصير عندي اللي هو F of B بساوي ال
summation زائد ال remainder are n the remainder
اللي هو اللي احنا بدأنا فيه وهو المطلوب فعلا أنا
قدرت أكتب اللي هي ال F of B على الصورة اللي أمامي
هيك بنكون احنا برهنا Taylor's theorem وهي آخر
جزء في هذا ال section والآن إن شاء الله بكون
خلصنا الجزء الأول من المحاضرة ونبدأ إن شاء الله
بعد شوية في الجزء الثاني بارك الله فيكم