1
00:00:11,170 --> 00:00:17,190
بسم الله الرحمن الرحيم هذه هي المحاضرة رقم خمسة عشر

2
00:00:17,190 --> 00:00:25,090
لمساق تحليل حقيقي 2 لطلبة وطالبات الجامعة

3
00:00:25,090 --> 00:00:31,380
الإسلامية كلية العلوم قسم الرياضيات المحاضرة اليوم

4
00:00:31,380 --> 00:00:35,940
إن شاء الله التي ستكون على جزئين الجزء الأول

5
00:00:35,940 --> 00:00:40,940
سنكمل ما بدأنا المرة الماضية الذي هو سنكمل

6
00:00:40,940 --> 00:00:45,100
الذي هو تطبيقات على الـ Fundamental Theorem of

7
00:00:45,100 --> 00:00:50,540
Calculus الجزء الأول هذا التطبيق طبعًا هو سيكون عن

8
00:00:50,540 --> 00:00:53,880
evaluation of integrals برضه كنا فيه المرة

9
00:00:53,880 --> 00:00:58,220
الماضية وسنكمله اليوم إن شاء الله الجزء الثاني من

10
00:00:58,220 --> 00:01:04,180
المحاضرة سنتحدث عن الذي هو التكامل أن ندخل 

11
00:01:04,180 --> 00:01:08,620
للتعاملية التكامل بطريقة غير ال upper sum وال lower

12
00:01:08,620 --> 00:01:15,060
sum عن طريق شيء اسمه Riemann sum هذا الآن هو الجزء 

13
00:01:15,060 --> 00:01:19,080
الثاني الآن بدنا نبدأ في الجزء الأول بس على السريع

14
00:01:19,080 --> 00:01:22,540
نطلع على ما تحدثنا عنه المرة الماضية كنا تحدثنا عن

15
00:01:22,540 --> 00:01:26,120
الـ Fundamental Theorem of Calculus وتحدثنا عن الذي 

16
00:01:26,120 --> 00:01:30,800
هو الـ Two Forms إيها أو التفاضل والتكامل كما

17
00:01:30,800 --> 00:01:35,240
تحدثنا وتكامل التفاضل Roughly الكلام وبعدين أتينا

18
00:01:35,240 --> 00:01:38,980
لبعض الملاحظات وبعض التعريفات وتحدثنا عن الـ

19
00:01:38,980 --> 00:01:42,780
evaluation of integralsبدأنا في evaluation of

20
00:01:42,780 --> 00:01:46,600
integrals الذي هو الذي يمثل الجزء الأول من هذه

21
00:01:46,600 --> 00:01:51,320
المحاضرة اليوم تحدثنا عن الذي هو ال integration by

22
00:01:51,320 --> 00:01:55,480
parts ال integration by parts تحدثنا عنه المرة

23
00:01:55,480 --> 00:02:02,130
الماضية وشرحناه ووقفنا عند الذي هو الـ ال .. ال ..

24
00:02:02,130 --> 00:02:06,230
ال .. ال .. ال first substitution form الذي سنبدأ

25
00:02:06,230 --> 00:02:10,650
فيه اليوم إن شاء الله الآن ال first substitution

26
00:02:10,650 --> 00:02:15,310
form أو الذي هو التكامل بالتعويض عن طريق الذي هي 

27
00:02:15,310 --> 00:02:18,870
التعويض وهذه طبعًا طريقة كنا نستخدمها كما

28
00:02:18,870 --> 00:02:22,670
استخدمنا الذي هي طريقة ال integration by parts في

29
00:02:22,670 --> 00:02:27,910
calculus B أيضًا استخدمنا الذي هو التكامل بالتعويض

30
00:02:27,910 --> 00:02:36,840
للإيجاد أو لعملية إيجاد الذي هي التكامل الآن بدنا

31
00:02:36,840 --> 00:02:41,720
نعطي النظرية التي تشرح لنا أو نثبت النظرية التي

32
00:02:41,720 --> 00:02:46,840
تسمح لنا بالتكامل بالتعويض نجي نطلع لنظريتنا

33
00:02:46,840 --> 00:02:51,120
التي هي ال first substitution theorem نيجي ناخذ

34
00:02:51,120 --> 00:02:55,300
الذي هو ال J فترة عبارة عن ال closed interval Alpha

35
00:02:55,300 --> 00:03:01,120
و Beta  إن نأخذ Φ function من J لعند R have a

36
00:03:01,120 --> 00:03:04,620
continuous derivative on J يعني أخذنا الآن يا

37
00:03:04,620 --> 00:03:09,660
جماعة Φ عبارة عن function من التي هي الفترة 

38
00:03:09,660 --> 00:03:17,090
Alpha و Beta لعند R وفرضنا إن هذه الدالة التي هي 

39
00:03:17,090 --> 00:03:22,050
Φ ال derivative لها موجودة ونفسها مشتقتها

40
00:03:22,050 --> 00:03:26,690
continuous إذا فرضنا إن الذي هو الـ Φ have a

41
00:03:26,690 --> 00:03:31,230
continuous derivative on the interval J التي

42
00:03:31,230 --> 00:03:35,080
سميناها ليه Alpha و Beta لأن لو كان في عندي function

43
00:03:35,080 --> 00:03:39,300
F is continuous on any interval I containing Φ

44
00:03:39,300 --> 00:03:46,160
of J لأن فرضنا أن F دالة على I تحتوي Φ of J عشان

45
00:03:46,160 --> 00:03:51,180
إن بعد شوية هعرّف .. هيلزمني الذي هو composition

46
00:03:51,180 --> 00:03:55,160
of two functions عشان هيك أنا باخد ال F عبارة عن

47
00:03:55,160 --> 00:04:00,840
function من I لعند من؟ لعند ال R إيش ال I هذه؟

48
00:04:00,840 --> 00:04:08,290
هذه I interval بتحتوي التي هي من الـ Φ of J التي

49
00:04:08,290 --> 00:04:13,790
عندي، يعني هيصير عندي بناء عليها هيصير عندي F of

50
00:04:13,790 --> 00:04:20,270
Φ of I T فيه التي هي الـ J عبارة عن قيمة معرفة

51
00:04:20,270 --> 00:04:24,790
عشان تكون ال composition معرفة، إذا الآن باختصار

52
00:04:24,790 --> 00:04:28,010
Φ التي هي ال derivative التي موجودة والـ

53
00:04:28,010 --> 00:04:31,670
derivative continuous وال function F الصغيرة هذي is

54
00:04:31,670 --> 00:04:35,510
continuous وهنا ال interval I، then الآن نجي

55
00:04:35,510 --> 00:04:40,050
للنتيجة التي نحن نمارسها عمليًا دائمًا التي هو

56
00:04:40,050 --> 00:04:46,790
بكون عندي ال integration من Alpha ل Beta لF of Φ

57
00:04:46,790 --> 00:04:53,960
of T Φ prime of T DT نحن ندعي بتساوي كنا نجي

58
00:04:53,960 --> 00:04:58,100
ماذا نفعل نأخذ هذه التي هي نعوض عن Φ of T ب X

59
00:04:58,100 --> 00:05:03,360
بناء عليه بيصير عبارة عن هذا ال integration F of

60
00:05:03,360 --> 00:05:09,920
X و Φ prime of T نعوض عن Φ of T ب X فبيصير

61
00:05:09,920 --> 00:05:14,200
عند Φ prime of T DT هو عبارة عن من DX كنا هيك

62
00:05:14,200 --> 00:05:17,890
نفعل في ال calculus الآن نجي نقول DX بِسُوء Φ

63
00:05:17,890 --> 00:05:22,670
prime T DT أو DX على DT بِسُوء Φ prime of T ونشيل

64
00:05:22,670 --> 00:05:26,630
Φ prime of T DT ونحط مكانها شمالها DX حدود ال

65
00:05:26,630 --> 00:05:30,110
integration كانت من Alpha ل Beta يعني لما كانت T

66
00:05:30,110 --> 00:05:33,350
ب Alpha بصير X التي هي Φ of T التي هي Φ of

67
00:05:33,350 --> 00:05:39,190
Alpha بتروح لمن؟ ل الذي هي Φ of من؟ Φ of

68
00:05:39,190 --> 00:05:45,180
Beta لماذا؟ لأنه لما كانت T بساوي Beta أكيد الـ X

69
00:05:45,180 --> 00:05:48,760
التي هي Φ of T بتساوي الـ X بتساوي Φ of T، الـ

70
00:05:48,760 --> 00:05:53,640
X بتساوي Φ of Beta إذن نظريتنا هذه التي أمامنا

71
00:05:53,640 --> 00:05:59,160
هي نظرية إحنا يعني استعملناها أو بنستعملها عادة في

72
00:05:59,160 --> 00:06:02,600
الذي هو إيجاد الـ integration وإحدى الطرق لإيجاد

73
00:06:02,600 --> 00:06:07,860
الـ integration فعندي

74
00:06:07,860 --> 00:06:14,140
الآن هذه الآن نظريتنا، بدنا نبرهن هذه النظرية ونشوف

75
00:06:14,140 --> 00:06:18,840
كيف نبرهنها، برهانها بسيط، الآن هي التي بدنا

76
00:06:18,840 --> 00:06:23,280
نبرهنه، خلينا نشوف كيف البرهانة وكيف نبرهن

77
00:06:23,280 --> 00:06:26,380
الكتاب،

78
00:06:26,380 --> 00:06:32,520
عنده يجينا عرفنا، بدنا نعرف function F، لأن عرش

79
00:06:32,520 --> 00:06:35,990
function F  لا تنسوا هذا الـ Function ماذا مالها يا

80
00:06:35,990 --> 00:06:40,070
جماعة؟ Continuous وهذا يعني كثير بالنسبة للـ 

81
00:06:40,070 --> 00:06:43,210
Fundamental Theorem أعرف الـ Function F من الـ

82
00:06:43,210 --> 00:06:50,310
Interval I لعند من R F Capital أعرف الـ F Capital

83
00:06:50,310 --> 00:06:59,070
F of U بساوي الـ Integration من الذي هو عند الـ I

84
00:06:59,070 --> 00:07:04,870
بتحتوي من الـ Φ of J يعني هي الـ Interval I هي

85
00:07:04,870 --> 00:07:08,870
الـ interval I وفي داخلها Φ of J Φ of J طبعًا

86
00:07:08,870 --> 00:07:12,330
في عند Φ of Alpha لعند Φ of Beta لو كانت التي

87
00:07:12,330 --> 00:07:15,590
هي Alpha أكبر من Beta الأخرى Φ of J التي هم

88
00:07:15,590 --> 00:07:19,990
مفترضينها نحن أين في داخل الفترة التي أمامي الآن

89
00:07:19,990 --> 00:07:24,050
بتأخذ ال integration تعرفه من عند Φ of Alpha

90
00:07:24,050 --> 00:07:29,980
لعند من U الـ U المتغيرة التي ستكون أين موجودة في

91
00:07:29,980 --> 00:07:35,240
داخل الـ I التي تحتوي الـ Φ of G إذا عرفنا

92
00:07:35,240 --> 00:07:37,440
function f of u بيستوي ال integration من Φ of

93
00:07:37,440 --> 00:07:42,780
Alpha ثابت Φ of Alpha يا جماعة لعند U لمن؟ لل f

94
00:07:42,780 --> 00:07:49,410
of x dx لاحظ هذه الدالة التي عندي التي عرفتها من

95
00:07:49,410 --> 00:07:53,830
الـ Fundamental theorem بما أن F is continuous إذا

96
00:07:53,830 --> 00:07:58,810
هذا كله الآن الذي هو صار function في U عبارة عن

97
00:07:58,810 --> 00:08:03,990
differentiable ومش هيك كمان و F prime of U ستساوي

98
00:08:03,990 --> 00:08:11,090
من؟ التي هي الدالة F of U إذا من الـ Fundamental

99
00:08:11,090 --> 00:08:15,350
theorem بما أن F is continuous إذا F prime of U

100
00:08:15,350 --> 00:08:20,210
بتساوي F of U التي هي by Fundamental theorem of

101
00:08:20,210 --> 00:08:23,370
calculus إذا by Fundamental theorem of calculus ف F

102
00:08:23,370 --> 00:08:27,710
of X .. F of U طبعًا هذه ننطقها بسوء ال integration

103
00:08:27,710 --> 00:08:32,200
من C .. C الذي هو نحن نسميه هنا هي التي هي Φ of

104
00:08:32,200 --> 00:08:35,820
Alpha ما أريد أن أخبركم في التسميات على طول من Φ of

105
00:08:35,820 --> 00:08:40,140
Alpha لعند من لعنده إذا الذي فعلته أنا بس لحتى

106
00:08:40,140 --> 00:08:46,340
الآن إن عرفنا دالة التي هي ال func ال F Capital هذه

107
00:08:46,340 --> 00:08:53,760
ال F Capital عرفناها من I من I لعند R by F of U

108
00:08:53,760 --> 00:08:58,060
بسؤ ال integration من C ل U F of X DX for U

109
00:08:58,060 --> 00:09:03,310
element من in ال interval I الآن قاعد أحضر للي 

110
00:09:03,310 --> 00:09:08,630
أريدها and now consider the function H من J لعند R

111
00:09:08,630 --> 00:09:12,690
بعد ما عرفنا ال function F هذه التي أمامي بدي 

112
00:09:12,690 --> 00:09:18,330
أعرف لكم دالة ثانية الدالة التي أريد أن أعرفها يا جماعة 

113
00:09:18,330 --> 00:09:26,530
هي عبارة عن HH هذه أريد أن أعرفها من J لعند R شوف كيف

114
00:09:26,530 --> 00:09:30,510
أريد أن أعرفها بطريقة التي هي تخدمني بعد شوية للوصول

115
00:09:30,510 --> 00:09:36,730
للنتيجة التي أريدها التي هي H of T أريد أن أعرفها H of

116
00:09:36,730 --> 00:09:46,170
T بساوي F Capital هذه التي عرفناها of Φ of T Φ

117
00:09:46,170 --> 00:09:52,220
of T الآن جهة دي اليمين هي الفترة Alpha و Beta Φ

118
00:09:52,220 --> 00:09:57,740
of T التي هي إذا T من في J Φ of T معرّفة على الـJ

119
00:09:57,740 --> 00:10:03,440
الـJ Φ of T مشتقتها معرّفة على الـJ الـF لها

120
00:10:03,440 --> 00:10:07,640
معرّفة لأن الـF domainها I الذي هو الذي يحتوي Φ

121
00:10:07,640 --> 00:10:11,360
of J يعني فعلًا Φ of T موجودة في Φ of J التي هي 

122
00:10:11,360 --> 00:10:14,600
موجودة في من في I إذا المعرفة التي دالها H of T

123
00:10:14,600 --> 00:10:23,370
بيساوي Φ of I of T طيب الآن الـ F تفاجأنا للـ F

124
00:10:23,370 --> 00:10:27,030
هذه إنها differentiable الـ F كابيتال والـ Φ

125
00:10:27,030 --> 00:10:29,470
differentiable لماذا differentiable؟ لأن Φ prime

126
00:10:29,470 --> 00:10:32,390
موجودة و continuous إذا أقدر .. هي أفاضل هذه 

127
00:10:32,390 --> 00:10:38,340
الدالة إذا أقدر أن أقول إنه عند الـ H prime of T

128
00:10:38,340 --> 00:10:44,340
بيساوي F' Φ of T تشيرن رول طبعًا يا جماعة في Φ

129
00:10:44,340 --> 00:10:51,460
prime of T فإذا تفاضل ال H' هو F' في Φ prime of 

130
00:10:51,460 --> 00:10:59,000
T كما نحن ذكرنا في برهان النظرية هنا الآن عندي

131
00:10:59,000 --> 00:11:03,540
أيضًا نحن قلنا ال F prime of U ماذا تساوي F of U

132
00:11:03,540 --> 00:11:08,920
وقلنا لماذا السبب الآن لو أتينا كل هذا تحضير للي 

133
00:11:08,920 --> 00:11:13,980
أريدها بعد شوية المعلومات هذه الآن عندي احسب لي H of

134
00:11:13,980 --> 00:11:22,380
Alpha H of Alpha من هذه H of Alpha أكيد كلكم شاهد

135
00:11:22,380 --> 00:11:29,960
أن H of Alpha بتساوي عوض بتساوي F of Φ of Alpha

136
00:11:29,960 --> 00:11:33,560
صحيحة يا جماعة ويساوي F of Φ of Alpha طب ماذا

137
00:11:33,560 --> 00:11:37,980
تعريف F of U؟ هي عبارة عن ال integration من Φ of

138
00:11:37,980 --> 00:11:43,520
Alpha لعند U U أنا الآن ماذا هي؟ اسمها U التي هي 5

139
00:11:43,520 --> 00:11:46,420
Alpha إذا من 5 Alpha ل 5 Alpha يعني ال integration

140
00:11:46,420 --> 00:11:51,100
ماذا سيُساوي هذا؟ يساوي صفر إذا نرى Alpha فعلاً ماذا 

141
00:11:51,100 --> 00:11:55,200
بتساوي .. بتساوي إيش .. بتساوي صفر إذا تلت حاجات

142
00:11:55,200 --> 00:11:59,860
الآن عرفت الـ F من I لـ عند R بالطريقة اللي أمامي

143
00:12:00,190 --> 00:12:05,030
وجدت أن F' بيساوي F of U الشغل الثاني عرفت H of T

144
00:12:05,030 --> 00:12:08,530
بيساوي F of Phi of T اللي هو F is differentiable,

145
00:12:08,590 --> 00:12:11,950
Phi is differentiable إذاً نفسي H is differentiable

146
00:12:11,950 --> 00:12:14,850
و الـ derivative إليها إيه؟ الشمال هذه بيساوي اللي

147
00:12:14,850 --> 00:12:19,670
أمامي و الشغل الثاني اللي حصلنا عليه أن H of

148
00:12:19,670 --> 00:12:25,010
Alpha إيش هيساوي يا شباب؟ هو يساوي 0 نيجي الآن

149
00:12:25,010 --> 00:12:31,250
بدنا نوصل لمين إحنا؟ إحنا هدفنا يا جماعة اللي هو

150
00:12:31,250 --> 00:12:38,310
هدفنا سامحونا على اللوح الصغير اللوح هدفنا هو الـ

151
00:12:38,310 --> 00:12:47,210
integration من Alpha لعند Beta F of Phi of T Phi

152
00:12:47,210 --> 00:12:54,670
prime of T dt بساوي الـ integration للـ F of X DX من

153
00:12:54,670 --> 00:12:59,290
Phi of Alpha لعند Phi of Beta هذا اللي بدنا نثبته

154
00:12:59,290 --> 00:13:09,190
شوف كيف بدنا نصل لهذا اللي هو المطلوب نيجي

155
00:13:09,190 --> 00:13:16,090
لهذا الـ integration اللي قبلنا هذا اللي هو الطرف

156
00:13:16,090 --> 00:13:20,580
اللي إحنا بدنا نثبته بساوي هذا الطرف هذا الطرف اللي

157
00:13:20,580 --> 00:13:23,340
أنا ساويه هذا، نبدأ بهذا الطرف اللي هنا ونبني

158
00:13:23,340 --> 00:13:26,920
المعلومات ونحصل على اللي بدنا إياه بكل سهولة الآن الـ

159
00:13:26,920 --> 00:13:29,920
integration من Alpha لعند الـ Beta F of five T five

160
00:13:29,920 --> 00:13:35,620
prime of T DT بتساوي الآن الـ F هذه في الواقع مين

161
00:13:35,620 --> 00:13:41,850
هي؟ هذه هي عبارة عن F prime إذا صار عندي الآن هذا

162
00:13:41,850 --> 00:13:45,790
المقدار هو عبارة عن f prime of five a t five prime

163
00:13:45,790 --> 00:13:51,350
a شماله of t يعني وكأنني مين بفاضل؟ أنا بفاضل كل

164
00:13:51,350 --> 00:13:58,890
هذا المقدار طلع مين هو؟ h prime of t وكل أموره حلوة

165
00:13:58,890 --> 00:14:05,170
ومحترمة الـ f اللي هي continuous والـ Phi prime

166
00:14:05,170 --> 00:14:09,090
continuous معطيني إياها إذاً هذه صارت الـ H' كلها مالها

167
00:14:09,090 --> 00:14:11,970
continuous إذا الـ integration من Alpha لـ Beta

168
00:14:11,970 --> 00:14:17,390
لـ H' of T اللي هو الـ integration بـ cancel الـ

169
00:14:17,390 --> 00:14:19,990
differentiation اللي هي الجزء الأول من الـ

170
00:14:19,990 --> 00:14:22,790
fundamental theorem of calculus يا جماعة فبيصير

171
00:14:22,790 --> 00:14:29,910
إيش بيساوي الجواب؟ H of Beta ناقص H of mean of

172
00:14:29,910 --> 00:14:33,960
Alpha إذن صار عندي الآن h of alpha قبل شوية شهية

173
00:14:33,960 --> 00:14:36,720
نذكّر و كده لسه كاتب إنها إيش بتساوي صفر إذا صار

174
00:14:36,720 --> 00:14:41,860
المقدار هذا كله اللي أنا بدي إياه إيش صار بيساوي؟ h of

175
00:14:41,860 --> 00:14:47,720
Beta إذا اللي أثبتته تقريباً عندي خلصت أثبتت إن الـ

176
00:14:47,720 --> 00:14:54,080
integration اللي أمامي هذا كله بيساوي مين؟ H of Beta

177
00:14:54,080 --> 00:15:01,480
خلّينا نحسب H of Beta H of T إحنا F of Phi of T إذا H

178
00:15:01,480 --> 00:15:08,220
of Beta بيساوي F of Phi of Beta H of Beta بيساوي F of

179
00:15:08,220 --> 00:15:14,040
Phi of Beta الآن ما يساوي؟ الـ integration .. الـ

180
00:15:14,040 --> 00:15:17,260
integration سبوكوا من الـ D لأن أنا ما أستخدمش الرموز

181
00:15:17,260 --> 00:15:23,040
هذه إيش هذا بيساوي؟ بيصير عندي F .. F اللي هو of

182
00:15:23,040 --> 00:15:28,260
Phi of Beta حسب التعريف F of U هاي و أماني بيساوي الـ

183
00:15:28,260 --> 00:15:37,600
integration من Phi of Alpha لعند Phi of Beta F of X

184
00:15:37,600 --> 00:15:45,960
DX وهو هذا المطلوب صار عندي الـ integration لـ .. اللي

185
00:15:45,960 --> 00:15:49,600
هي F of X DX من five of alpha لعند five of beta

186
00:15:49,600 --> 00:15:54,460
اللي هو H of Beta بساوي اللي هو الـ integration اللي

187
00:15:54,460 --> 00:16:02,040
أمامي وهو المطلوب طيب نيجي الآن للنظرية الثانية

188
00:16:02,040 --> 00:16:08,740
النظرية الثانية اللي هي second substitution

189
00:16:08,740 --> 00:16:20,020
theorem اللي هي .. أيضًا بنستخدمها وحنشوف إيش اللي

190
00:16:20,020 --> 00:16:26,260
هي هذه النظرية وكيف نبرهن النظرية والبرهان برضه

191
00:16:26,260 --> 00:16:33,080
مش صعب أو البرهان اللي هو سهل هنشوف الـ second

192
00:16:33,080 --> 00:16:36,960
substitution theorem بتقول ما يلي عند في function

193
00:16:38,340 --> 00:16:42,180
فاي من J لعند بار J هي نفس الفترة اللي .. الفترة

194
00:16:42,180 --> 00:16:45,700
اللي إحنا حكينا عنها اللي هي عبارة عن Alpha و Beta

195
00:16:45,700 --> 00:16:49,980
بدنا نفترض أن الـ فاي هذه have a continuous

196
00:16:49,980 --> 00:16:57,700
derivative برضه نفس اللي هي المعتاد أولاني ونفترض I

197
00:16:57,700 --> 00:17:02,700
عبارة عن interval بتحتوي Phi of J نفس المعتاد في

198
00:17:02,700 --> 00:17:07,220
النظرية السابقة الآن المعتاد جديد بدنا نفترض أنه

199
00:17:07,220 --> 00:17:12,160
فيه function ψ من I لعند R بـ a function اللي هو

200
00:17:12,160 --> 00:17:16,740
inverse لـ مين اللي هي الـ Phi يعني عندي Phi

201
00:17:16,740 --> 00:17:24,140
بشروط النظرية اللي فاتت من J لعند مين؟ لعند R وعندي

202
00:17:24,140 --> 00:17:29,800
بـ Psi من عند I لعند R ومفترضين أنه بـ Psi هي الـ

203
00:17:29,800 --> 00:17:33,940
inverse لـ مين للـ Phi يعني Phi composite بـ Psi

204
00:17:35,340 --> 00:17:39,940
بساوي مين؟ الـ identity function أو Psi composite الـ

205
00:17:39,940 --> 00:17:45,960
Phi عبارة عن الـ identity function وكل اللي هو عندي

206
00:17:45,960 --> 00:17:53,460
مفترضين أن Phi of J subset من مين؟ من الـ I عشان

207
00:17:53,460 --> 00:18:00,680
يكون اللي هو الـ composition معرف إحنا 

208
00:18:08,270 --> 00:18:15,850
صارت بـ Psi هي الـ inverse لـ Phi و F برضه نفس

209
00:18:15,850 --> 00:18:20,230
المعطيات الفاترة continuous on I إذا ما يعني، إذا

210
00:18:20,230 --> 00:18:25,190
يعني اللي بحكيه وكأنه نفس شروط النظرية السابقة بس

211
00:18:25,190 --> 00:18:30,190
اللي أضفنا إن الـ Phi اللي عندنا في هذه الحالة

212
00:18:30,190 --> 00:18:35,220
فيه إلها inverse فيه لها inverse فبتعطيني مجال

213
00:18:35,220 --> 00:18:39,900
للتحرك أكثر من الأولى إلها دي بتفترضش أنه في

214
00:18:39,900 --> 00:18:42,900
لها inverse وبنبدأ بنعوّض زي ما عوضنا قبل إيش

215
00:18:42,900 --> 00:18:48,580
النتيجة طيب النتيجة هي ما يلي اللي هو إذا الـ

216
00:18:48,580 --> 00:18:56,560
integration أبو حسين ازيحه بس نجاعي شوية

217
00:19:03,530 --> 00:19:21,050
النص اللي لدك على الحيط أصلا السلام

218
00:19:21,050 --> 00:19:22,150
عليكم السلام عليكم

219
00:19:41,080 --> 00:19:43,960
خلاص ساعة سبعة يا عزيزي خلاص خلاص

220
00:19:46,210 --> 00:19:50,670
إذا الآن الـ .. الـ .. الـ .. الـ .. second

221
00:19:50,670 --> 00:19:54,290
substitution theorem نفس شروط اللي هو الـ fair

222
00:19:54,290 --> 00:19:58,590
substitution theorem بس الآن اللي هيضيفنا عليها أنه

223
00:19:58,590 --> 00:20:02,150
بـ Psi عندي فرضنا أنه في عندي Psi function من I

224
00:20:02,150 --> 00:20:07,270
لعند R هي عبارة عن الـ inverse لمين؟ لفاي بناء ..

225
00:20:07,270 --> 00:20:12,990
بناء عليه هيصير الـ integration من Alpha لعند Beta F

226
00:20:12,990 --> 00:20:19,230
of Phi of T DT لأن مش ظاهرة عندنا هنا مين الـ

227
00:20:19,230 --> 00:20:23,650
derivative لمين؟ لإي اللي هي الـ Phi بالرغم من هيك

228
00:20:23,650 --> 00:20:27,470
هيطلع عندي بساوي الـ integration F of X بـ Phi prime

229
00:20:27,470 --> 00:20:31,810
of X DX اللي هو عندي من Phi of Alpha لعند مين؟

230
00:20:31,810 --> 00:20:33,770
لعند Phi of Beta

231
00:20:36,860 --> 00:20:42,520
الآن نشوف اللي هو كيف نبرهن نظريتنا خلينا نكتب

232
00:20:42,520 --> 00:20:46,800
هذه على جهة عشان نعرف إحنا لوين رايحين الـ

233
00:20:46,800 --> 00:20:55,880
integration من Alpha لعند Beta F of Phi of T dt

234
00:20:55,880 --> 00:21:08,520
بساوي الـ integration لـ Psi of Alpha F of أو F of X

235
00:21:08,520 --> 00:21:21,440
Phi prime of .. Psi prime of X DX Phi prime of X

236
00:21:21,440 --> 00:21:27,600
DX من Phi of Alpha لعند

237
00:21:27,600 --> 00:21:36,060
Phi of Beta دعونا نشوف كيف .. نيجي نشوف البرهان جرب

238
00:21:36,060 --> 00:21:42,560
انت لحالك عوض اللي هو عشان تشوف منطقية النظرية زي

239
00:21:42,560 --> 00:21:49,880
ما كنا نعوض في الـ calculus عوض عن X بـ Phi of T ها

240
00:21:49,880 --> 00:21:55,540
هيطلع عندك اللي هو في النهاية DT هو عبارة عن كل

241
00:21:55,540 --> 00:21:59,890
هذه لو عوضت طبعاً باستخدام اللي هو العلاقة بين الـ

242
00:21:59,890 --> 00:22:03,170
.. ال .. الـ inverse اللي هي الـ Psi إنها inverse

243
00:22:03,170 --> 00:22:07,210
على Phi هتحصل على اللي هو .. اللي هو كل هذا

244
00:22:07,210 --> 00:22:12,750
المقدار هو هيطلع مين هو؟ دي T و هتصير بدل Alpha Phi

245
00:22:12,750 --> 00:22:15,550
of Alpha و Beta Phi of Beta زي ما أنتم عارفين

246
00:22:15,550 --> 00:22:19,490
لأنه لما كانت T بتساوي Alpha طلعت اللي هي Phi of

247
00:22:19,490 --> 00:22:21,970
T لعوضة مكانها اللي هي Phi of Alpha و الثانية

248
00:22:21,970 --> 00:22:29,420
هتطلع Phi of Beta طب نيجي الآن لبرهان النظرية الآن

249
00:22:29,420 --> 00:22:34,860
عندي أول حاجة five prime of T بعطينا إياها شماله

250
00:22:34,860 --> 00:22:39,660
لا تساوي صفر طبعاً هذا لزوم لزوم أن تكون الـ inverse

251
00:22:39,660 --> 00:22:44,900
موجودة five prime of T لا تساوي صفر يعني الآن five

252
00:22:44,900 --> 00:22:49,180
prime of T يا أكبر من صفر يا أصغر من صفر عندي

253
00:22:49,180 --> 00:22:52,680
المنطق اللي هيكون عندي اللي هي strictly increasing

254
00:22:52,680 --> 00:22:55,860
أو strictly decreasing على المنطقة اللي هي فيها

255
00:22:55,860 --> 00:23:00,060
إذا في عندي بمعنى آخر strictly monotone مدام

256
00:23:00,060 --> 00:23:04,940
strictly monotone إذا الـ inverse إلها موجود و في

257
00:23:04,940 --> 00:23:08,900
بتساوي الـ inverse زي ما هو معطينا إياها طبعاً إحنا

258
00:23:08,900 --> 00:23:14,410
معطينا الـ فيالـ Phi مش differentiable بس Phi مش

259
00:23:14,410 --> 00:23:17,990
differentiable اللي هو الـ derivative موجودة و

260
00:23:17,990 --> 00:23:22,310
شماله continuous طيب لأن بما أنه اللي هي Phi

261
00:23:22,310 --> 00:23:27,850
prime exist إذا بنظرية أخذناها اللي هي 6 1 9 هتكون

262
00:23:27,850 --> 00:23:32,170
الـ Phi prime exist وبتساوي واحد على في برايم في

263
00:23:32,170 --> 00:23:36,350
مين؟ في بساي كمان مرة يا جماعة أذكركم في النظرية

264
00:23:36,350 --> 00:23:41,410
الآن عندي مدامة بساي بساوي في انفرس والفي نفسها

265
00:23:41,410 --> 00:23:45,450
عبارة عن differentiable هتكون الـ inverse اللي هي

266
00:23:45,450 --> 00:23:48,910
بساي is differentiable والـ derivative اللي هي بساي

267
00:23:48,910 --> 00:23:53,490
برايم هي عبارة عن واحد على في برايم ماله؟ composite

268
00:23:53,490 --> 00:23:58,400
بساي اللي هي .. أو مش هيك هتطلع .. هتطلع continuous

269
00:23:58,400 --> 00:24:01,500
ليش continuous؟ لأنه أصلاً ما فيش أسفار في المقام

270
00:24:01,500 --> 00:24:05,100
أكيد وعند Phi prime نفسها Phi prime نفسها

271
00:24:05,100 --> 00:24:08,520
continuous معطيني إياها و بـ Psi is continuous لأنها

272
00:24:08,520 --> 00:24:11,800
أصلًا differentiable فهتطلع عندي اللي هي بـ Psi prime

273
00:24:11,800 --> 00:24:17,180
برضه مالها؟ is continuous إذن اللي استنتجناه الآن

274
00:24:17,180 --> 00:24:22,590
أن الـ inverse function is continuous وقيمتها الـ

275
00:24:22,590 --> 00:24:26,310
Derivative إليها هي عبارة عن واحد على Psi Prime في

276
00:24:26,310 --> 00:24:31,890
Phi Prime في مين؟ في Psi نشوف الآن بدنا نعرف اللي

277
00:24:31,890 --> 00:24:36,850
هو بأسلوب مشابه قبل بشوية أنه نعرف دوال بحيث أنه

278
00:24:36,850 --> 00:24:41,810
لما نيجي اللي هو ناخده تبقى derivative لشيء سهل

279
00:24:41,810 --> 00:24:45,210
إيجاده ولما ناخده له الـ integration يطلع اللي هو

280
00:24:45,210 --> 00:24:48,350
نفس الدالة عند نقطة الأولى ناقص النقطة الثانية 

281
00:24:48,350 --> 00:24:50,950
اللي هو باستعماله في أنظمة التلفيرموفكالكلاس أيش

282
00:24:50,950 --> 00:24:55,480
اللي بقوله؟ خلّيني نشوفه اللي هنعرّف ليها جمعة جي

283
00:24:55,480 --> 00:24:59,360
من جي لعند R اللي هي عبارة عن ف ليها أنها تكون

284
00:24:59,360 --> 00:25:02,960
إيه شمالها Anti-derivative للـ continuous function

285
00:25:02,960 --> 00:25:06,500
of composite phiF composite Phi continuous؟ أه

286
00:25:06,500 --> 00:25:09,440
continuous لأن الـ Phi is continuous قلنا ال

287
00:25:09,440 --> 00:25:12,160
derivative إليها continuous كمان مش كايكوا بس و ال

288
00:25:12,160 --> 00:25:16,340
F معطينا إياها continuous فلمّا أقول إن عرف G

289
00:25:16,340 --> 00:25:19,180
هتكون antiderivative لمين هذه؟ طب هدي إياها

290
00:25:19,180 --> 00:25:21,320
antiderivative؟ أه مدام continuous و المرة اللي

291
00:25:21,320 --> 00:25:23,260
فاتت قولنا ده كانت الدالة continuous على طول فيه

292
00:25:23,260 --> 00:25:26,640
إليها antiderivative إيش يعني؟ يعني الـ G prime

293
00:25:26,640 --> 00:25:33,270
هتكون مين؟ الـ F composite Phi طيب الآن دي إذا مدام

294
00:25:33,270 --> 00:25:37,130
اللي هي الـ G Antiderivative للـ F Composite Phi

295
00:25:37,130 --> 00:25:40,530
إذا الـ G' Exists إذا الـ G Differentiable و لو

296
00:25:40,530 --> 00:25:42,690
بصي Differentiable إذا الـ Composition اللي هو إيش

297
00:25:42,690 --> 00:25:47,870
برضه هيطلع Differentiable إيش يعني؟ طيب .. طب وإيش

298
00:25:47,870 --> 00:25:50,950
يعني الـ differentiable؟ ها .. هالـ gate هيوصّلني

299
00:25:50,950 --> 00:25:54,290
لإن Decomposite Phi Prime of X ده وجود الـ

300
00:25:54,290 --> 00:25:56,970
derivative بنعرف أنه وجود الـ derivative هي عبارة

301
00:25:56,970 --> 00:26:01,610
عن D Prime of Psi of X Psi Prime of X اللي هي

302
00:26:01,610 --> 00:26:07,600
Chain Rule استخدام الـ Chain Rule ويساوي لأنقلنا

303
00:26:07,600 --> 00:26:11,480
جي برايم هي مين؟ الـ F composite في إذا بشيل الجي

304
00:26:11,480 --> 00:26:15,320
برايم و بحط مكانها F composite إيش يا جماعة في في

305
00:26:15,320 --> 00:26:19,840
بساي of X اللي هو هيها F composite .. هي دي بدلها

306
00:26:19,840 --> 00:26:24,720
F composite في of بساي of X في بساي برايم من of X

307
00:26:24,720 --> 00:26:32,120
و يساوي F of اللي هو في composite بساي of X في

308
00:26:32,120 --> 00:26:37,570
بساي برايم من of X كتبتها بس على صورة هو اللي هي

309
00:26:37,570 --> 00:26:41,510
فكّت ال composition إيه الآن؟ ليش عملت هيك؟ عشان

310
00:26:41,510 --> 00:26:44,530
أسهل عليكم وأقولكم أحنا بيقولوا Psi أشملن ال

311
00:26:44,530 --> 00:26:47,310
inverse للـ Phi مزام الـ inverse مع بعض ده هو ال

312
00:26:47,310 --> 00:26:49,850
identity ده هو الـ identity of X ده هو الـ X يعني

313
00:26:49,850 --> 00:26:54,850
كلها هتصير F of X Psi prime إذا صار عندي هذا

314
00:26:54,850 --> 00:27:02,220
شايفينه؟ هو عبارة عن F small of X في Psi prime of X

315
00:27:02,220 --> 00:27:07,800
طيب سهلة الموضوع الآن إذا ناخد ال integration من

316
00:27:07,800 --> 00:27:11,100
Phi of Alpha لـ Phi of Beta لـ F of X بـ Psi prime of

317
00:27:11,100 --> 00:27:15,540
X DX إيش هذه؟ أه هذه اللي بدنا إياها هيها Psi

318
00:27:15,540 --> 00:27:20,130
prime of X DX إذا نوصلنا إذا الـ integration هذا

319
00:27:20,130 --> 00:27:23,290
بيساوي الـ integration لهذا الـ integration لهذا

320
00:27:23,290 --> 00:27:30,570
عندي هذه اللي هان جي كوميزيت في بسايد الكل برايم

321
00:27:30,570 --> 00:27:37,870
of x dx الان الان هنا الـ domain هذه اللي هيكون من

322
00:27:37,870 --> 00:27:42,600
عندي اللي هي الـ I يعني لما ال .. ال .. ال .. ال ..

323
00:27:42,600 --> 00:27:43,320
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال

324
00:27:43,320 --> 00:27:43,440
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..

325
00:27:43,440 --> 00:27:44,420
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..

326
00:27:44,420 --> 00:27:45,660
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال

327
00:27:45,660 --> 00:27:50,280
..

328
00:27:50,280 --> 00:27:54,440
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال

329
00:27:54,440 --> 00:27:55,100
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال

330
00:27:55,100 --> 00:27:57,300
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..

331
00:27:57,300 --> 00:28:06,760
.. ال .. ال .. ال ..الآن صارت الـ derivative إلها

332
00:28:06,760 --> 00:28:09,620
الـ integration هيلغي الـ derivative اللي هي by

333
00:28:09,620 --> 00:28:12,300
fundamental theorem of calculus وكل الشروط زي ما

334
00:28:12,300 --> 00:28:17,420
قلنا و انتحققها هيصير هذه اللي جوا عند هذه و هذه

335
00:28:17,420 --> 00:28:24,060
اللي جوا عند هذه حاصل طرحين اللي هي G Phi

336
00:28:24,060 --> 00:28:29,140
Composite Psi الكل of a G composed of Psi الكل of

337
00:28:29,140 --> 00:28:33,540
Phi of X اللي هي الـ X في هذه الحالة إيش اسمها اللي

338
00:28:33,540 --> 00:28:39,600
هي Alpha معلش و هذه الثانية الـ Beta آسف اللي قولها

339
00:28:39,600 --> 00:28:44,660
Beta حد الأول و هذه الحد اللي تحت Alpha ماشي

340
00:28:44,660 --> 00:28:49,430
الحالة هذه يعني كلها على بعض زي ما عملنا قبل هيك

341
00:28:49,430 --> 00:28:53,370
الـ Psi و الـ Phi اللي هو عبارة عن inverse لبعض، إذا 

342
00:28:53,370 --> 00:28:58,530
الـ Identity يعني هتصير الـ G of Beta و هذا هتصير

343
00:28:58,530 --> 00:29:04,270
الـ G of Alpha، إذا صار عندي المقدار اللي أمامي هذا

344
00:29:04,270 --> 00:29:11,130
اللي هو اللي أنا ببحث عنه، هذا المقدار، شايفينه؟

345
00:29:11,130 --> 00:29:15,790
هذا المقدار طلع عبارة عن عشان استخدمه بعد شوية

346
00:29:15,790 --> 00:29:22,650
خلينا يمكن أوضح يكون هيصير عبارة عن g of beta ناقص

347
00:29:22,650 --> 00:29:26,910
g of alpha بتثبت لكم الثاني برضه هيكون g of beta

348
00:29:26,910 --> 00:29:31,850
ناقص g of alpha و بكون خلصنا اللي هو برهان النظرية

349
00:29:31,850 --> 00:29:36,990
خلصنا هذا الجزء نيجي ل اللي هو الجزء الثاني اللي

350
00:29:36,990 --> 00:29:38,410
أسهل كمان

351
00:29:41,370 --> 00:29:44,990
شوف يا جماعة صلى الله عليه وسلم بالسلامة احنا قلنا

352
00:29:44,990 --> 00:29:47,790
الـ G هي الـ antiderivative لهذه يعني الـ G' بساوية

353
00:29:47,790 --> 00:29:51,850
هذا المقدار إذا الآن بنقدر نستخدم اللي هو ال

354
00:29:51,850 --> 00:29:53,930
fundamental theorem of calculus أو اللي هو ال

355
00:29:53,930 --> 00:29:58,090
corollary لها بكون عند ال integration هيه للمقدار

356
00:29:58,090 --> 00:30:02,790
هذا هيطلع ليه اللي هو مباشرة بساوية يعني ممكن

357
00:30:02,790 --> 00:30:07,230
بعضكم لاحظ الاشي اللي بتسويه من قبل ما اشرح الآن ال

358
00:30:07,230 --> 00:30:09,670
integration f of I of T من Alpha لـ Beta إيش

359
00:30:09,670 --> 00:30:14,370
بيساوي؟ هذا كله بدك تشيل مكانه منين؟ تحطه G' ال

360
00:30:14,370 --> 00:30:19,390
integration لـ G' of T dt من Alpha لعند Beta نفس

361
00:30:19,390 --> 00:30:22,690
الحدود لأنه ما غيرناش اللي هو الـ variability اللي

362
00:30:22,690 --> 00:30:26,170
بدنا نكامل بالنسبة له، ما يساوي على طول هذه اللي هي

363
00:30:26,170 --> 00:30:30,330
تفاضل بـ cancel اللي هي أو التكامل بـ cancel التفاضل

364
00:30:30,330 --> 00:30:32,730
اللي هي الـ corollary اللي حكينا عنها اللي هي

365
00:30:32,730 --> 00:30:36,090
corollary of fundamental theorem of calculus بساوية

366
00:30:36,090 --> 00:30:41,480
G of beta ناقص g of alpha الآن هذه صارت g of beta

367
00:30:41,480 --> 00:30:44,620
ناقص g of alpha و هذه صارت g of beta ناقص g of

368
00:30:44,620 --> 00:30:48,320
alpha إذا صار عندي هذا المقدار بساوي هذا المقدار

369
00:30:48,320 --> 00:30:51,400
أو الـ integration بساوي الـ integration و بكون هيك

370
00:30:51,400 --> 00:30:55,160
أثبتنا اللي هي النظرية الثانية أو اللي هو second

371
00:30:55,160 --> 00:31:00,200
substitution theorem الآن تطبيقات هذه النظريات ما

372
00:31:00,200 --> 00:31:04,500
هو هدولة تطبيقاتهم اللي هو إشبعنا فيها من Calculus

373
00:31:04,500 --> 00:31:04,780
B

374
00:31:08,400 --> 00:31:14,420
فبصير بس انه انت لحالك في البيت لو قعدت و عملتلك

375
00:31:14,420 --> 00:31:18,380
سؤال سؤالين على ال substitution في الحالتين بتكون

376
00:31:18,380 --> 00:31:23,680
اللي هو خليني نقول عمقت المفهوم عندك بشكل أكبر

377
00:31:23,680 --> 00:31:30,370
نيجي الآن نحكي عن اللي هو احنا طبعا حكينا عن الـ

378
00:31:30,370 --> 00:31:32,690
mean value theorem أو نظرية القيمة المتوسطة في

379
00:31:32,690 --> 00:31:36,730
حالة ال differentiation الآن هنحكي عن القيمة

380
00:31:36,730 --> 00:31:44,470
المتوسطة في حالة ال integration اللي

381
00:31:44,470 --> 00:31:48,190
هو نوجينا

382
00:31:49,730 --> 00:31:53,670
أخذنا مثلا خلّيني أخد المنطقة الموجب عشان أسهل في

383
00:31:53,670 --> 00:31:57,850
الحديث هي عندي اللي هو function f على الفترة من a

384
00:31:57,850 --> 00:32:02,790
لعند b الآن بتقول لي اللي هو بتقول لي هذا طبعا نظري

385
00:32:02,790 --> 00:32:06,010
أكثر من هيك أبعد من هيك بس خلّيني أقول خلّيني أخد

386
00:32:06,010 --> 00:32:11,370
الحالة السهلة أو خلّيني أخد الحالة اللي بتوضح

387
00:32:11,370 --> 00:32:17,210
معانا القيمة المتوسطة الآن قيمة ال integration من

388
00:32:17,210 --> 00:32:23,660
a لعند b هو عبارة عن المنطقة هذه ككل مساحتها لو

389
00:32:23,660 --> 00:32:31,070
جسمناها على الـ B minus A وكأننا بناخد متوسط قيمة

390
00:32:31,070 --> 00:32:34,850
الدالة لإنه لو اتخيلنا إنه هي قيمة الدالة و

391
00:32:34,850 --> 00:32:38,810
بنضربها يعني تخيل إنها دي مساحة خط جنب خط جنب خط

392
00:32:38,810 --> 00:32:42,070
جنب خط جنب خط لما اتخلص أدولها إلى أن حصل ضرب

393
00:32:42,070 --> 00:32:45,530
الفترة هذه كلها P minus A في قيمة ال .. الها دي

394
00:32:45,530 --> 00:32:48,530
اللي هي اللي عنده لو فرضنا إنهم يعني ال .. ال ..

395
00:32:48,530 --> 00:32:52,550
ال .. هذه القيمة المتوسطة لهم يعني متوسطهم فبصير

396
00:32:52,550 --> 00:32:57,080
عند كلّه على بعض المساحة بساوي اللي هو حصل ضرب P

397
00:32:57,080 --> 00:33:02,700
minus A في متوسط قيمة التكامل اللي هو عند نقطة

398
00:33:02,700 --> 00:33:07,370
معاه وهذا اللي بتقوله هي بتقول إذا كانت F اللي هي

399
00:33:07,370 --> 00:33:11,370
في شروط معينة بكون عند F of X DX على B minus A

400
00:33:11,370 --> 00:33:18,210
بساوة F of C for some C وين موجودة بين الـ A و الـ

401
00:33:18,210 --> 00:33:23,230
B و هذه اللي هي القيمة المتوسطة للمساحة أو قيمة ال

402
00:33:23,230 --> 00:33:27,930
integration على طول اللي هي الفترة إذن هذه اللي هي

403
00:33:27,930 --> 00:33:34,290
خلّيني أقول حالة خاصة من نظرية القيمة المتوسطة

404
00:33:34,290 --> 00:33:38,300
اللي بصورة عامة اللي هي .. اللي هي .. اللي نسميها

405
00:33:38,300 --> 00:33:41,960
الـ Mean Value Theorem for Integrals نشوف الكلام،

406
00:33:41,960 --> 00:33:45,800
يمكن الآن الكلام يكون أوضح في المن .. بشكل أوضح

407
00:33:45,800 --> 00:33:48,920
لما نبرهن النظرية و ناخد نصها و ناخد الـ Corollary

408
00:33:48,920 --> 00:33:54,070
اللي عليها اللي هي الحالة اللي ذكرته الآن ما بحكيه

409
00:33:54,070 --> 00:33:57,170
عبارة عن الـ Mean Value Theorem for اللي هي أياش

410
00:33:57,170 --> 00:34:01,910
integrals نظرية القيمة المتوسطة على التكامل طبعا

411
00:34:01,910 --> 00:34:05,470
أنتم متذكرين القيمة المتوسطة العادية أنه لو كانت F

412
00:34:05,470 --> 00:34:08,410
is continuous على closed interval differentiable

413
00:34:08,410 --> 00:34:11,710
على الـ open إذاً there exists C element in A و B

414
00:34:11,710 --> 00:34:17,310
such that اللي هي F prime of C سوى F of B ناقص F

415
00:34:17,310 --> 00:34:22,940
of A على B minus A هنا الآن بقول لك اللي في الجزئية

416
00:34:22,940 --> 00:34:28,020
هذه أن F is continuous على الـ A و الـ B إذن there

417
00:34:28,020 --> 00:34:32,220
exists C في الـ A و الـ B such that ال integration من

418
00:34:32,220 --> 00:34:38,160
A لعند B F of X DX بساوي F of C على B minus A

419
00:34:38,160 --> 00:34:44,180
بساوة مين؟ بساوي اللي هي الـ F of C roughly ..

420
00:34:44,180 --> 00:34:47,940
roughly .. roughly .. roughly اتخيل أنه الآن هذه 

421
00:34:47,940 --> 00:34:51,880
عبارة عن الـderivative F هذا ثابت طبعا ال

422
00:34:51,880 --> 00:34:54,920
derivative F prime of C وهذه اللي خدنا derivative

423
00:34:54,920 --> 00:34:58,580
لأن integration كان اللي هو اللي هي متغيرات فبيصير

424
00:34:58,580 --> 00:35:00,580
عند F of B بيروح ال integration مع ال

425
00:35:00,580 --> 00:35:04,040
differentiation بيصير F of B ناقص F of A اللي فوق

426
00:35:04,040 --> 00:35:07,300
هذا الكلام رفلي بس على أساس أن هو أن أنت اللي هو

427
00:35:07,300 --> 00:35:11,260
تستذكر العلاقة اللي هو بين هذه وبين اللي هي

428
00:35:11,260 --> 00:35:16,550
الأصلية، أما القيمة المتوسطة المفهوم بالمتوسط اللي

429
00:35:16,550 --> 00:35:20,510
هو مساحة اللي هو قيمة ال integration على طول فترته

430
00:35:20,510 --> 00:35:24,370
اللي هو بتطلع قيمة متوسطة، هذه القيمة اللي هو عبارة

431
00:35:24,370 --> 00:35:29,050
عن متوسط قيمة وكأنه كل اللي هي قيمة ال integration

432
00:35:29,050 --> 00:35:33,630
عنده اللي هو تحت اللي هي النقطة اللي عنده في F of

433
00:35:33,630 --> 00:35:37,150
C بتساوي قيمة هذا ال integration على B minus A أو

434
00:35:37,150 --> 00:35:41,590
متوسط المساحة على طول الفترة اللي هي بتساوي قيمة

435
00:35:41,590 --> 00:35:47,800
الدالة F of C، وفعلا الـ C موجودة هي المهم أن الـ C

436
00:35:47,800 --> 00:35:51,000
هي دي فعلا هنلاقيها موجودة وبتمثل قيمة ال

437
00:35:51,000 --> 00:35:54,620
integration على طول الفترة، وهذا معناه اللي هو

438
00:35:54,620 --> 00:35:58,340
المتوسط قيمة ال integration على طول الفترة هنلاقيه

439
00:35:58,340 --> 00:36:02,620
فعلا بيمثله مقطع بين ال A و ال B وهذا بسميها

440
00:36:02,620 --> 00:36:08,510
القيمة المتوسطة mean value theorem for integrals

441
00:36:08,510 --> 00:36:12,930
let F be continuous on I and let B be integrable

442
00:36:12,930 --> 00:36:16,920
function on I الـ B هذه أنا ما أخدها بتقبل بشوية في

443
00:36:16,920 --> 00:36:22,680
مثال على أنها بتساوي واحد طيب let F be continuous

444
00:36:22,680 --> 00:36:25,560
on I of A و B and let B be an integrable function

445
00:36:25,560 --> 00:36:29,740
on I and نفترض أن B of X أكبر يساوي صفر for every

446
00:36:29,740 --> 00:36:32,900
X element in I then there exists C element in I

447
00:36:32,900 --> 00:36:37,880
such that الآن هاي الـ C اللي هي بدها تمثل اللي هي

448
00:36:37,880 --> 00:36:40,980
النقطة اللي بنلاقيها في الـ I بحيث أن ال

449
00:36:40,980 --> 00:36:46,230
integration من A لB F of X DX DX على اللي هي ال

450
00:36:46,230 --> 00:36:48,170
integration من a إلى b بيقوم باقوم باقوم باقوم

451
00:36:48,170 --> 00:36:49,190
باقوم باقوم باقوم باقوم باقوم باقوم باقوم باقوم

452
00:36:49,190 --> 00:36:50,170
باقوم باقوم باقوم باقوم باقوم باقوم باقوم باقوم

453
00:36:50,170 --> 00:36:55,050
باقوم باقوم باقوم باقوم باقوم باقوم باقوم

454
00:36:55,050 --> 00:36:55,210
باقوم باقوم باقوم باقوم باقوم باقوم باقوم باقوم

455
00:36:55,210 --> 00:36:56,930
باقوم باقوم باقوم باقوم باقوم باقوم باقوم باقوم

456
00:36:56,930 --> 00:37:02,790
باقوم باقوم

457
00:37:02,790 --> 00:37:04,290
ب

458
00:37:11,900 --> 00:37:19,760
الـ integration من a ل b f of x b of x dx على ال

459
00:37:19,760 --> 00:37:23,820
integration نفترض أنه ليس فارق بيه بيه بيه بيه بيه

460
00:37:23,820 --> 00:37:25,260
بيه بيه بيه بيه بيه بيه بيه بيه بيه بيه بيه بيه

461
00:37:25,260 --> 00:37:26,640
بيه بيه بيه بيه بيه بيه بيه بيه بيه بيه بيه بيه

462
00:37:26,640 --> 00:37:29,220
بيه بيه بيه بيه بيه بيه بيه بيه بيه بيه بيه بيه

463
00:37:29,220 --> 00:37:38,400
بيه بيه بيه بيه بيه بيه بيه بيه بيه بيه بيه بيه

464
00:37:38,400 --> 00:37:43,710
بي بيصير هذه واحد اللي هي بيصير هذه B minus A اللي

465
00:37:43,710 --> 00:37:48,390
قلت قبل شوية اللي هو قيمة المساحة أو قيمة ال

466
00:37:48,390 --> 00:37:52,670
integration على طول الفترة بيساوي فعلا مقطع فعلي

467
00:37:52,670 --> 00:38:00,790
في الفترة I، نيجي نبرهن أن هذه هي بصورة عامة عند F

468
00:38:00,790 --> 00:38:08,600
continuous إذا F is integrable and so F اللي هو A

469
00:38:08,600 --> 00:38:12,760
of X في B of X is Integrable لأن B Integrable و F

470
00:38:12,760 --> 00:38:15,300
Integrable صار الـ composition اللي هنا Integrable

471
00:38:15,300 --> 00:38:19,280
اللي هنا Integrable اللي هنا Integrable اللي هنا

472
00:38:19,280 --> 00:38:19,580
Integrable اللي هنا Integrable اللي هنا Integrable

473
00:38:19,580 --> 00:38:20,220
اللي هنا Integrable اللي هنا Integrable اللي هنا

474
00:38:20,220 --> 00:38:20,300
Integrable اللي هنا Integrable اللي هنا Integrable

475
00:38:20,300 --> 00:38:20,360
اللي هنا Integrable اللي هنا Integrable اللي هنا

476
00:38:20,360 --> 00:38:20,380
Integrable اللي هنا Integrable اللي هنا Integrable

477
00:38:20,380 --> 00:38:21,740
اللي هنا Integrable اللي هنا Integrable اللي هنا

478
00:38:21,740 --> 00:38:23,080
Integrable اللي هنا Integrable اللي هنا Integrable

479
00:38:23,080 --> 00:38:25,040
اللي هنا Integrable اللي هنا Integrable اللي هنا

480
00:38:25,040 --> 00:38:27,280
Integrable اللي هنا Integrable اللي هنا Integrable

481
00:38:27,280 --> 00:38:34,460
اللي هنا Integrable اللي هنا Integ

482
00:38:42,230 --> 00:38:46,930
عندي F continuous إذا انتيجرابل و B-integrable إذا 

483
00:38:46,930 --> 00:38:52,610
FB-integrable سمّيلي الـ M small هي الـ infimum للـ

484
00:38:52,610 --> 00:38:55,830
F of I موجودة أه طبعا و هي F is integrable is

485
00:38:55,830 --> 00:39:00,610
unbounded M capital بيساوي ال supremum لمين؟ لل F of

486
00:39:00,610 --> 00:39:05,210
I، إذن الآن الدروب صارت عندي ال F of X بين ال M

487
00:39:05,210 --> 00:39:09,030
small و بين ال M capital الدروب لكل انفمين في B of

488
00:39:09,030 --> 00:39:14,190
X، وبنقدر أه بنقدر لإن بي بيضالها زي ما هي أه لإن

489
00:39:14,190 --> 00:39:20,450
بي موجبة، إذا صار عندي الآن هذه ال inequality صحيحة

490
00:39:20,450 --> 00:39:23,830
و كلها integrable إذا ال integration على الأولى

491
00:39:23,830 --> 00:39:26,350
أصغر أو يساوي ال integration على الثانية أصغر أو يساوي

492
00:39:26,350 --> 00:39:29,850
ال integration على الثالثة و ال M بتطلع برا لإنه

493
00:39:29,850 --> 00:39:38,110
ال M يشملها ثابتة الآن لو ال integration لل .. لل

494
00:39:38,110 --> 00:39:44,710
.. لل .. لل B بيساوي 0 إذا ال integration هيكون اللي

495
00:39:44,710 --> 00:39:49,730
هو اللي فوق ال .. ال .. ال .. ال .. النظرية بتصلح

496
00:39:49,730 --> 00:39:55,930
لأي قيمة اللي هو للـ C لأن هيكون إيش بيساوي ..

497
00:39:55,930 --> 00:40:00,310
أنا أطلعلكم فوق لأن لو فرضنا ال integration للـ B

498
00:40:00,310 --> 00:40:05,930
بيساوي صفر integration للـ B بيساوي صفر بيصير اللي

499
00:40:05,930 --> 00:40:10,990
هو هذه برضه ال integration هذا هيساوي إيش؟ هيساوي

500
00:40:10,990 --> 00:40:14,810
صفر عارفين ليش؟ لأن مادام ال integration هذا صفر

501
00:40:14,810 --> 00:40:16,710
و ال integration هذا صفر إذا ال integration اللي

502
00:40:16,710 --> 00:40:22,170
في النص إيش هيساوي؟ صفر إذا صارت هذا المقدار صفر

503
00:40:22,170 --> 00:40:28,430
وهذا صفر إيش ما تختار C هتتحقق اللي هي مين؟ طرفي

504
00:40:28,430 --> 00:40:33,790
المعادلة، إذن الآن حالة الصفر is a trivial case يعني

505
00:40:33,790 --> 00:40:36,890
حالة أن تكون هذه صفر is a trivial case لأن

506
00:40:36,890 --> 00:40:39,890
automatic زي ما قلنا مدامة هذه صفر وهذه صفر مدامنا

507
00:40:39,890 --> 00:40:43,310
في النص صفر إذن اللي هو أي اختيار للـC هيكون طرف

508
00:40:43,310 --> 00:40:47,410
أي معادلة صحيحة يعني اللي هو ال equality تبعتنا

509
00:40:47,410 --> 00:40:51,470
صحيحة، الآن بدنا نيجي لمين يا جماعة؟ إيش غرضنا؟

510
00:40:51,470 --> 00:40:56,460
غرضنا نلاقي C بحيث أن هذا بيساوي هذا خلصنا حالة اللي

511
00:40:56,460 --> 00:40:59,240
هي ال integration بيساوي صفر، نفترض أن ال

512
00:40:59,240 --> 00:41:02,480
integration مش صفر، ليش؟ أنه بدي أكسب عنه إذا صار

513
00:41:02,480 --> 00:41:05,860
عندي ال integration أكسب الجهتين عن ال integration

514
00:41:05,860 --> 00:41:09,360
لل B ال integration لل B اللي فرضنا أنه مش صفر إذا

515
00:41:09,360 --> 00:41:11,580
صار ال integration هذا على ال integration هذا بين

516
00:41:11,580 --> 00:41:16,840
ال M small و ال M أشمالها capital ماشي، الحالة الآن

517
00:41:16,840 --> 00:41:25,420
احنا بنقول أن هذا صار رقم بين الـ M small والـ M

518
00:41:25,420 --> 00:41:35,540
capital، وبنقول أن F continuous on الفترة A وB then

519
00:41:35,540 --> 00:41:46,560
أي رقم .. أي رقم الآن للدالة اللي هو .. هوضح لكم

520
00:41:46,560 --> 00:41:48,900
هي .. أذكركم الـ intermediate value theorem اللي

521
00:41:48,900 --> 00:41:53,720
نسيها هي عندي مثلا هي أعلى قيمة أقل قيمة وهي أعلى

522
00:41:53,720 --> 00:42:02,140
قيمة، هذه الآن الـ function f of x اللي هي بين اللي

523
00:42:02,140 --> 00:42:12,640
هو M capital M small أو بين مين؟ M capital، الآن

524
00:42:12,640 --> 00:42:20,220
لو إجينا أخدنا أي قيمة أي قيمة عدد أي عدد A بين الـ

525
00:42:20,220 --> 00:42:23,980
M small والـ M capital، متامة الـ F continuously عن

526
00:42:23,980 --> 00:42:28,200
أي قيمة هنا أخدناها قيمة هنلاقي اللي هو there

527
00:42:28,200 --> 00:42:32,040
exists C element في الفترة A وB المعرف عليها

528
00:42:32,040 --> 00:42:38,040
الدائرة هتسميها C مثلا أو D هنلاقي الـ C في الفترة

529
00:42:38,040 --> 00:42:45,030
بين A وB بحيث أن F of C هي مين؟ القيمة F of D اللي

530
00:42:45,030 --> 00:42:47,050
هي الـ Intermediate Value Theorem اللي أنتو

531
00:42:47,050 --> 00:42:50,790
عارفينها اللي هي For Continuous Function، إذا بما

532
00:42:50,790 --> 00:42:55,790
أن الـ function F is continuous و هذه القيمة بين

533
00:42:55,790 --> 00:43:00,490
أعلى قيمة .. بين أعلى قيمة و أقل قيمة للدالة إذا

534
00:43:00,490 --> 00:43:05,950
أكيد هقدر ألاقي C element in I بحيث أن F of C

535
00:43:05,950 --> 00:43:10,830
بيساوى هذا الرقم اللي هو هذه القيمة اللي هو ال

536
00:43:10,830 --> 00:43:16,520
integration بيساوي اللي هو F of C في القيمة هذه وهو

537
00:43:16,520 --> 00:43:22,000
المطلوب يعني النظرية برهانة بسيطة يا جماعة بس مدام

538
00:43:22,000 --> 00:43:27,740
حصرنا قيمة للقيمة هذه اللي هي بين اللي هي ال M و

539
00:43:27,740 --> 00:43:30,840
ال M إذا بال intermediate value theorem في C

540
00:43:30,840 --> 00:43:37,500
وخلصنا طيب اللي بعده ال corollary حكيتها هذه إن

541
00:43:37,500 --> 00:43:38,360
لو كانت F 

542
00:43:43,100 --> 00:43:47,820
الـ Corollary حكيتها لو كانت F continuous على اللي

543
00:43:47,820 --> 00:43:50,940
هي الـ closed interval A و B هنلاقي الـC في الـI

544
00:43:50,940 --> 00:43:53,720
بحيث أن ال integration من A لB للF سواء F of C في

545
00:43:53,720 --> 00:44:00,900
B minus A، قلنا هذه اللي هي حالة خاصة من النظرية بس

546
00:44:00,900 --> 00:44:08,160
حط لي الـF الـB of X بيساوي 1، حالة خاصة من النظرية

547
00:44:08,160 --> 00:44:10,480
النظريتنا

548
00:44:11,580 --> 00:44:17,340
أن الـ integration للـ F في B بيساوي F of C في الـ

549
00:44:17,340 --> 00:44:21,320
integration للـ B من Alpha لعند Beta و لا من A

550
00:44:21,320 --> 00:44:29,620
لعند B من A لعند B for some C element in I، مظبوط؟

551
00:44:29,620 --> 00:44:33,180
الآن بقول لي اللي هو ال integration للـ F بيساوي F

552
00:44:33,180 --> 00:44:36,720
of C في B minus A for some C، حط الـ B بيساوي،

553
00:44:36,720 --> 00:44:41,420
هتجسي ال integration للـ F بس بي بي بي بي بي بي بي

554
00:44:41,420 --> 00:44:48,320
بي بي بي بي بي بي بي

555
00:44:51,410 --> 00:44:58,470
اللي هو dx y بيساوي اللي هو f of c هدف b minus a وهو

556
00:44:58,470 --> 00:45:02,690
المطلوب هنلحقه كمان مرة، إذا الـ Corollary اللي

557
00:45:02,690 --> 00:45:09,030
هي اللي أمامنا تم برهانها مرة أخرى، نيجي الآن للي

558
00:45:09,030 --> 00:45:13,310
هي Taylor's theorem أخدناها Taylor's theorem كان

559
00:45:13,310 --> 00:45:20,900
ال remainder اللي هو اللي هو شيء مفضل أو الـ

560
00:45:20,900 --> 00:45:26,560
Taylor's theorem إذا صح التعبير for integration و 

561
00:45:26,560 --> 00:45:29,500
Taylor's theorem for differentiations الآن الجزء 

562
00:45:29,500 --> 00:45:33,060
اللي هو الـ for integration نشوف شيء اللي بقوله

563
00:45:35,050 --> 00:45:38,890
suppose that the function f and its derivatives f 

564
00:45:38,890 --> 00:45:43,030
prime up to f n and f n زائد واحد are كلهم

565
00:45:43,030 --> 00:45:46,330
أيّ  شمالهم continuous يعني نفترض أن الـ 

566
00:45:46,330 --> 00:45:49,710
derivative الـ n زائد واحد derivative is

567
00:45:49,710 --> 00:45:53,890
continuous exist  وcontinuous نفترض أن الدالة f

568
00:45:53,890 --> 00:45:59,610
عبارة عن دالة قابلة للاشتقاق n زائد واحد من المرات

569
00:45:59,610 --> 00:46:05,310
وتكون الـ n زائد واحد كمان نفسها continuous ماشية على

570
00:46:05,310 --> 00:46:10,290
الفترة a و b then بقول لي اللي هو f of b بيساوي f

571
00:46:10,290 --> 00:46:14,170
of a زائد f prime of a على 1 factorial في b minus a

572
00:46:14,170 --> 00:46:18,990
زائد f double prime of a على 2 factorial في b minus

573
00:46:18,990 --> 00:46:22,410
a تربيع زائد لما أصل عند f n of a على n factorial

574
00:46:22,410 --> 00:46:26,530
في b minus a الكلّ أُسّ n هذا كله إيش معناه؟ عارفينه قبل

575
00:46:26,530 --> 00:46:30,050
كده وعملنا زائد مين؟ الـ remainder are n الـ

576
00:46:30,050 --> 00:46:34,730
remainder are n كتبوا على صورة integration بس الـ

577
00:46:34,730 --> 00:46:37,550
remainder are n كتب على صورة واحدة الـ N factorial

578
00:46:37,550 --> 00:46:41,150
في الـ integration من a لـ b بـ ماينس تي أُسّ n  f n زائد

579
00:46:41,150 --> 00:46:50,010
واحد of T دي تي إذن الآن بقول لك f of b f of

580
00:46:50,010 --> 00:47:02,410
b بيساوي الـ summation f .. f N هو f k of a على 

581
00:47:02,410 --> 00:47:10,470
k factorial في b minus a أُسّ k  k من عند 0 .. من صفر

582
00:47:10,470 --> 00:47:19,390
k من عند صفر لعند مين؟ لعند n زائد الـ remainder مين؟

583
00:47:19,390 --> 00:47:27,090
r n الـ remainder are n مين هو؟ بيساوي اللي هو 1 على n

584
00:47:27,090 --> 00:47:35,390
factorial في الـ integration من a لعند b b minus t 

585
00:47:35,390 --> 00:47:45,690
أُسّ n في f n زائد 1 of T دي تي نثبت لكم إن الـ f of b

586
00:47:45,690 --> 00:47:52,520
can be written as this حيث الـ r n هو هذا الآن

587
00:47:52,520 --> 00:47:59,500
الفكرة في الحل أو الفكرة في البرهان أنه أنا بدي 

588
00:47:59,500 --> 00:48:05,260
أجي أوجد قيمة الـ remainder r n اللي هو هذا المقدار

589
00:48:05,260 --> 00:48:10,700
و بدي أثبت لكم أن هذا المقدار اللي هو منه بقدر أكتب

590
00:48:10,700 --> 00:48:14,040
اللي هو يعني الـ r n أثبت لكم هي عبارة عن f of b

591
00:48:14,040 --> 00:48:19,720
ناقص هذا الـ summation يعني بدي أثبت لكم أن الـ r n

592
00:48:19,720 --> 00:48:23,560
بتساوي f of b ناقص المجموع هذا يعني بدي أبدأ 

593
00:48:23,560 --> 00:48:30,700
بهذا الآن يعني بدي أبدأ بالـ r n بيساوي هذا المقدار 

594
00:48:30,700 --> 00:48:34,740
شايفينه هذا المقدار من a لعند b واحد على n factorial

595
00:48:34,740 --> 00:48:42,380
بدي أكامله أكامله by parts آه بدّه كامل وشوفوا كيف

596
00:48:42,380 --> 00:48:47,280
بتطلع الأمور إن شاء الله سلسة ومنيحة by parts خدوا

597
00:48:47,280 --> 00:48:53,160
الـ u عبارة هنسّميها عبارة عن u وهذه سنّسميها إيش يا 

598
00:48:53,160 --> 00:48:59,970
جماعة dv ماشي الحال بيصير القانون هو عبارة عن اللي

599
00:48:59,970 --> 00:49:07,490
هو u dv يعني بيساوي uv ناقص v du تحت مين؟ تحت الـ

600
00:49:07,490 --> 00:49:11,310
integration هذا كلام تعرفوه أنتم الآن برضه من وين

601
00:49:11,310 --> 00:49:16,150
لوين؟ من a لعند b على السريع عشان اللي هو تأخذوا 

602
00:49:16,150 --> 00:49:20,100
الفكرة اللي هي الحسابات أنت بتعرف تعملوها الكلّ

603
00:49:20,100 --> 00:49:24,620
بيعرف يعملها هي أخذنا الـ u زي ما أخذناها هنا

604
00:49:24,620 --> 00:49:30,200
كتبتها على اللوح وهي الـ dv هيها لـ f n زائد واحد of T

605
00:49:30,200 --> 00:49:36,300
dt الآن الـ du أكيد اللي هو تفاضل هذا n في b minus

606
00:49:36,300 --> 00:49:41,100
t أُسّ n ناقص واحد في تفاضل اللي هو اللي جوا ناقص

607
00:49:41,100 --> 00:49:45,900
واحد بيصير عندي ناقص n في b minus t أُسّ n ناقص واحد 

608
00:49:45,900 --> 00:49:51,040
dt هذه مين هي؟ الـ du اللي بدي أحطها هان الآن الـ v

609
00:49:51,040 --> 00:49:57,380
الـ dv هيها الـ v هتطلع الـ integration هذه بيخفّ

610
00:49:57,380 --> 00:50:01,340
واحد من الـ derivatives بيصير عندي f n of T طبعاً

611
00:50:01,340 --> 00:50:05,620
فاهمين إيش بقول؟ الـ v بيساوي f n of T الآن بيجي

612
00:50:05,620 --> 00:50:09,260
بنعوّض بيصير عندي عبارة عن الـ integration اللي هو

613
00:50:09,260 --> 00:50:15,160
بيساوي الـ r n بيساوي u في v u اللي هو عبارة عن b

614
00:50:15,160 --> 00:50:24,580
minus t أُسّ n في u هذه u في v v اللي هو عبارة عن f n 

615
00:50:24,580 --> 00:50:37,200
of T، مظبوط؟ هذا اللي هو u طبعاً الـ r n احنا مضروب

616
00:50:37,200 --> 00:50:41,730
كله في 1 على n factorial لأنّها هي اللي فضلنا

617
00:50:41,730 --> 00:50:47,110
هي الجزء اللي حسبناه هذا 1 على n factorial موجودة

618
00:50:47,110 --> 00:50:50,490
فيها 1 على n factorial بيصير هنا برضه على n

619
00:50:50,490 --> 00:51:00,050
factorial بدأت أمورنا تظهر ناقص 1 على n factorial

620
00:51:00,050 --> 00:51:06,310
في الـ integration من a لعند b v ، v هي f

621
00:51:08,970 --> 00:51:18,530
of T مظبوط dt في du du إيش du؟ du اللي هو

622
00:51:18,530 --> 00:51:30,650
ناقص n ناقص n في b minus t أُسّ

623
00:51:30,650 --> 00:51:32,330
n ناقص واحد 

624
00:51:35,190 --> 00:51:43,550
واضحة الصورة نجي نخلي الصورة منيحة b-t أُسّ n على n

625
00:51:43,550 --> 00:51:51,210
factorial f n of T خلصنا منه هذا ناقص وهذا ناقص

626
00:51:51,210 --> 00:51:56,250
يصبح زاد يصبح هذا أشمل هو واحد على n واحد factorial

627
00:51:56,250 --> 00:52:04,450
في الـ integration من a لعند b b-t أُسّ n ناقص واحد 

628
00:52:04,450 --> 00:52:12,530
f n of T dt مظبوط؟ مظبوط هذا أوجدنا مين؟ الـ r n

629
00:52:12,530 --> 00:52:18,350
بيساوي هذا زائد هذا طيب اللي عملناه مين هو هذا أصلاً

630
00:52:18,350 --> 00:52:23,570
الـ r n اللي أوجدناه هي اللي هو b-1 t أُسّ n f n زائد 

631
00:52:23,570 --> 00:52:29,370
واحد of T dt طلع عبارة عن اللي هو اللي جوا هذا بأسّ

632
00:52:29,370 --> 00:52:38,770
n وهذا زي ما هو أُسّ n ناقص بيصير هو هذا زائد واحد صار

633
00:52:38,770 --> 00:52:42,670
زائد طبعاً ما عرفتم كيف صارت زائد واحد على n

634
00:52:42,670 --> 00:52:46,130
ناقص واحد factorial واحد على n ناقص واحد

635
00:52:46,130 --> 00:52:49,850
factorial في هذا المقدار لاحظوا أن هذا المقدار 

636
00:52:49,850 --> 00:52:56,610
شبيه بالـ remainder يعني بالضبط اللي عملناه على الـ

637
00:52:56,610 --> 00:53:01,750
remainder بنعمله هان بنعمله على هذا اللي هنعمله هان 

638
00:53:01,750 --> 00:53:05,810
هييطلع مقدار زي هذا ومقدار زي هذا بس هينقص كمان

639
00:53:05,810 --> 00:53:09,770
واحد اللي n هيصير هذا n ناقص اثنين كان n .. كان

640
00:53:09,770 --> 00:53:13,210
n صار هيصير n ناقص اثنين والخطوة اللي بعدها 

641
00:53:13,210 --> 00:53:15,850
بنعمل كمان مرة بنوجد بيصير n ناقص ثلاثة وn ناقص

642
00:53:15,850 --> 00:53:20,070
أربعة في الآخر الـ and finite إذا هنصل للنهاية إذا

643
00:53:20,070 --> 00:53:29,950
هذا هيصير بيساوي b-t أُسّ n على n factorial f n of t

644
00:53:29,950 --> 00:53:35,250
زائد هذا بتعمله بالضبط زي ما عملت مين؟ زي ما عملت

645
00:53:35,250 --> 00:53:42,150
الـ r n يعني وكأنه اسم هذا r n-1 بيصير بنفس الأسلوب b

646
00:53:42,150 --> 00:53:49,410
minus t أُسّ n ناقص واحد على n ناقص واحد factorial f

647
00:53:49,410 --> 00:54:00,270
n ناقص واحد of t زائد بعتقد

648
00:54:00,270 --> 00:54:08,770
بس في ناقص هنا في الـ u في v u في v

649
00:54:17,570 --> 00:54:22,590
آه ما حسبناش عند a و b آه بس هذا نسينا نحسب هذا عند

650
00:54:22,590 --> 00:54:27,990
b، من عند a لعند b، معلش سامحونا، من عند a لعند b

651
00:54:27,990 --> 00:54:33,230
هذا الكلام صحيح، بس بدي أحسبه من a لعند b، عند b

652
00:54:33,230 --> 00:54:38,250
صفر، صح؟ عند b صفر، مش احنا حسبنا قيمة الـ

653
00:54:38,250 --> 00:54:40,830
remainder، قيمة الـ integration، هذا الـ integration

654
00:54:40,830 --> 00:54:47,820
اللي هو من وين لوين؟ من a لعند b الآن هذا من a لعند

655
00:54:47,820 --> 00:54:56,920
b بيصير عند b ناقص b بيصير صفر الآن ناقص من b ناقص 

656
00:54:56,920 --> 00:55:01,680
a فبيصير هذه شمالها b ناقص a وهنا ناقص وهنا a 

657
00:55:01,680 --> 00:55:06,760
شمالها f of a لأنّ عوضنا عن مين؟ عن a فبيصير عند b

658
00:55:06,760 --> 00:55:11,220
ناقص a أُسّ n بالسالب على n factor of n of a زائد 

659
00:55:11,220 --> 00:55:15,190
هذا المقدار لأنّ هذا المقدار زي هذا المقدار هذا 

660
00:55:15,190 --> 00:55:19,010
المقدار بنفس الأسلوب زي ما قلنا بيصير عبارة عن زي

661
00:55:19,010 --> 00:55:24,650
هذا ماشي بس برضه هيطلع لي إيش؟ برضه هيطلع لي نقص لما

662
00:55:24,650 --> 00:55:27,730
نعوض بيصير b minus a أسئلة ناقص واحدة الآن ناقص 

663
00:55:27,730 --> 00:55:33,830
واحدة factorial f n ناقص واحد of 2 of a زائد اللي

664
00:55:33,830 --> 00:55:38,630
بيطلع هنا n ناقص 2 factorial في الـ integration من

665
00:55:38,630 --> 00:55:47,770
a لـ b b minus t أسئلة ناقص 2 الآن وهذه f n ناقص

666
00:55:47,770 --> 00:55:55,740
واحدة of t dt نفس

667
00:55:55,740 --> 00:55:59,960
اللي عملته على هذا بدي أعمله على هذا هأظلّ مستمرّ

668
00:55:59,960 --> 00:56:10,880
لما يوصل عندي اللي هو .. وين بدي أكتب؟ 

669
00:56:10,880 --> 00:56:12,360
خليني أكتب فوق

670
00:56:16,010 --> 00:56:22,150
الآن تفجّأنا يا جماعة إنّ الـ r n هي هو هذا اللي هو r n 

671
00:56:22,150 --> 00:56:28,690
بيساوي هذا المقدار ناقص هذا المقدار ناقص ناقص زائد

672
00:56:28,690 --> 00:56:34,370
هذا إذا صار عند الـ r n بيساوي

673
00:56:34,370 --> 00:56:49,900
ناقص b minus a أُسّ n على n factorial f n of a ناقص b

674
00:56:49,900 --> 00:56:54,740
minus a زائد n ناقص واحد على n ناقص واحد factorial 

675
00:56:54,740 --> 00:57:04,840
f n ناقص واحد of a زائد المقدار هذا الآن بتعملوا

676
00:57:04,840 --> 00:57:09,500
هذا اللي عملته مع جابلو هيظلّوا بنفس الأسلوب ماشي

677
00:57:10,430 --> 00:57:17,990
لما أصل لعند اللي هو آخر term اللي هو هيكون عندي

678
00:57:17,990 --> 00:57:28,270
هييطلع عندي اللي هو b minus a في f يعني n اللي هي

679
00:57:28,270 --> 00:57:41,300
بيصير باتنين b minus a في f prime of a على اللي هو

680
00:57:41,300 --> 00:57:46,360
1 factorial زي ما هي زائد اللي بعدها الـ 

681
00:57:46,360 --> 00:57:51,200
integration تبعها اللي هي هذه عند n بجدّاشها أنا بـ 2

682
00:57:51,200 --> 00:57:56,060
n بـ 2 اللي هي بيصير 1 إلى 0 factorial يعني بيصير

683
00:57:56,060 --> 00:58:00,060
اللي هو 1 بمعنى آخر فالـ integration من a لعند b

684
00:58:00,060 --> 00:58:06,660
وهذا بيصير b minus t أُسّ 0 يعني 1 في f prime of dt

685
00:58:08,080 --> 00:58:12,180
لما أكرّر العملية أظلّ أكرّرها لما أصل لهذه الخطوة 

686
00:58:12,180 --> 00:58:17,620
وحنّتي لأنّ الـ n is finite ويساوي اللي هو المقدار

687
00:58:17,620 --> 00:58:20,220
هذا كله اللي هو عبارة عن الـ summation طبعاً كله

688
00:58:20,220 --> 00:58:23,060
بالسالب هذا مع هذا الأخير بالموجب بيصير ناقص الـ

689
00:58:23,060 --> 00:58:32,660
summation لـ b minus a أُسّ k على k factorial في f k of 

690
00:58:32,660 --> 00:58:43,520
a k الآن من عند اللي هو واحد عند واحد هيها لعند مين

691
00:58:43,520 --> 00:58:51,280
لعند n هذا مجموع من هنا من هنا لهنا هذا كله في

692
00:58:51,280 --> 00:58:56,640
قيب واحد بتطلع هذه kيب 2 بتطلع اللي هان kيب 3 لما 

693
00:58:56,640 --> 00:58:59,580
نقصها لكيب n بتطلع اللي عندها هان زائد الـ 

694
00:58:59,580 --> 00:59:02,580
integration هذا الـ integration هذا اللي هي f 

695
00:59:02,580 --> 00:59:05,660
continuous اللي عند الـ integration للـ f طبعاً الـ f

696
00:59:05,660 --> 00:59:08,820
نفسها كانت continuous فالـ integration هذا بفرض ضمن 

697
00:59:08,820 --> 00:59:11,140
الـ fundamental of calculus على طول بيطلع عبارة عن f

698
00:59:11,140 --> 00:59:20,780
of b ناقص من f of a ماشي الحال فبيصير الآن اللي هو

699
00:59:20,780 --> 00:59:28,010
وصلنا للي بدّنا إياه كيف؟ شوف كيف وصلنا للنتيجة الآن

700
00:59:28,010 --> 00:59:37,210
طلعت عندي خلّي اللي هو الـ remainder احنا الـ f of

701
00:59:37,210 --> 00:59:42,430
P خليها في الجهة هذه وانقل كله هنا فبيصير F of P

702
00:59:42,430 --> 00:59:48,760
بساوي هذه بتنضف لهذه ما هي ناقص الثانية بيصير ..

703
00:59:48,760 --> 00:59:51,380
لما تيجي الجهتين علي الجهتين بيصير موجة بس

704
00:59:51,380 --> 00:59:57,440
summation لـ B minus A أُس K FK  the derivative هذه

705
00:59:57,440 --> 01:00:04,160
of A على K factorial K الـ N من واحد لعند N وهذه

706
01:00:04,160 --> 01:00:09,340
حالة السفر K من صفر لعند N زائد مين الـ remainder

707
01:00:09,340 --> 01:00:13,900
are n ليش حالة السفر هذه لأن في حالة K بصفر بيصير

708
01:00:13,900 --> 01:00:17,500
هذا واحد وهذا واحد وهذا مافيش derivative يعني

709
01:00:17,500 --> 01:00:22,320
بيصير F of A فبيصير عندي اللي هو F of B بساوي ال

710
01:00:22,320 --> 01:00:25,160
summation زائد ال remainder are n the remainder

711
01:00:25,160 --> 01:00:30,500
اللي هو اللي احنا بدأنا فيه وهو المطلوب فعلا أنا 

712
01:00:30,500 --> 01:00:36,940
قدرت أكتب اللي هي ال F of B على الصورة اللي أمامي

713
01:00:36,940 --> 01:00:42,600
هيك بنكون احنا برهنا Taylor's theorem وهي آخر 

714
01:00:42,600 --> 01:00:48,860
جزء في هذا ال section والآن إن شاء الله بكون

715
01:00:48,860 --> 01:00:54,800
خلصنا الجزء الأول من المحاضرة ونبدأ إن شاء الله 

716
01:00:54,800 --> 01:00:58,740
بعد شوية في الجزء الثاني بارك الله فيكم