بسم الله الرحمن الرحيم المحاضرة السادسة مساق تحليل
حقيقة 2 لطلبة قسم رياضيات بكلية العلوم بالجامعة
الإسلامية بغزة. الحديث اليوم إن شاء الله هيكون حول
قواعد لوبيتال (L'Hôpital's Rules)
بتمر في التفاضل والتكامل (calculus) بتمر من ناحية
عملية استخدامها وتوظيفها لحل اللي هي بعض النهايات
اللي بيكون .. اللي هو عجزنا عن حلها بطرق عادية
هنشوف الآن في الحديث عن قواعد لوبيتال حول اللي
هو كيف اللي هو أن نبرهن هذه اللي هي القواعد كيف نشتق
هذه القواعد كيف اللي هو أيضًا بشكل سريع حول اللي
هي استخدام هذه القواعد طبعًا
في الأول هنتحدث عن الكميات الغير معينة
(indeterminate forms) اللي هي اللي بتعالجها اللي هي
قواعد لوبيتال (L'Hôpital's Rules) عندي على سبيل المثال لو جينا أخدنا
الـ limit اللي هو x على x3 على x2 مثلًا as x
goes to zero الـ limit αx على x لما x تروح للزيرو
الـ limit اللي هو x2 على x لما x تروح للزيرو
الـ limit x على x3 لما x تروح للزيرو الـ limit مثلًا
-x على x3 لما x تروح لـ 0 لو طلعنا على
اللي هي الـ limits اللي موجودة هنا كلها على صورة
اللي هي لو تعويض مباشر هنلاقيها على صورة 0 على 0
الآن كمية 0 على 0 بالطرق السابقة كان اللي هو أنه
احنا صعب اللي هو نتعامل معها لكن في بعض الأحيان زي
الحالة هذه هنلاقي أنه احنا بنعرف نتعامل معها و
بنعرف نحكم عليها اللي هلاحظ أنه كل رغم أن كلها 0
على 0 إلا أنها بتعطي في كل حالة شيء مختلف عن
الحالة الثانية الآن هذه مثلًا عبارة عن الـ limit 1 على x
لما x تروح للـ 0 طبعًا 1 على x لما x تروح للـ 0 إيش
مالها؟ does not exist لأنه من اليمين بتعطي ما لا نهاية
ومن اليسار بتعطي سالب ما لا نهاية عشان هيك
كده يبقى نقول عنها does not exist لأن الـ limit αx
على x لما x تروح للـ 0 هو يساوي عبارة عن α
اللي هو عبارة عن عدد حقيقي (real number) لو فرضنا أنه α
ماخدينها احنا عدد حقيقي (real number) إذا أنا أعطتني عدد
أول ما أعطتني اللي هي أنا أعطتني does not exist
الحالة الثانية اللي هي بتطلع الـ limit x لما x تروح ل
0 برضه أعطتنا إيه؟ أعطتنا عدد حقيقي (real number) في الحالة اللي
بعدها أعطتنا اللي هو عبارة عن الـ limit 1 على x2
لما x تروح للصفر يعني أعطتنا إيش؟ مالها؟ زائد ما لا نهاية
في الحالة الثالث الأخيرة هتعطينا اللي هو
ناقص الـ limit 1 على x2 لما x تروح للزيرو بمعنى
آخر سالب ما لا نهاية يعني الـ Indeterminate Form Zero
على Zero أعطتنا اللي هو أجوبة أو قيم مختلفة تابعًا
لطبيعة كل حالة من الحالات اللي موجودة مرة أعطتنا
doesn't exist مرة أعطتنا ما لا نهاية ومرة أعطتنا ما لا
نهاية و1 5 6 ناقص 1 اللي بدناها اللي هو
ناقص ما لا نهاية وما لا نهاية الآن الـ الـ الـ الـ
الـ Indeterminate form هذه اللي الآن يعني بدنا
نحاول نعالجها بـ
نحاول نعالجها بـ الـ الـ بقواعد لوبيتال (L'Hôpital's Rules) الـ
Indeterminate Form اللي عندنا اللي هو 0 على 0 طبعًا
في Indeterminate Form أخرى برضه هتعالجها اللي هي الـ L
'Hôpital's Rule أو Rules اللي هي زي ما لا نهاية على
ما لا نهاية أيضًا هذول الشغلتين الأساسيات اللي
هتعالجها اللي بقواعد لوبيتال (L'Hôpital's Rule) مباشرة بنظريات مباشرة
عليها أيضًا هتظهر لو ظهرت عندنا مثلًا ما لا نهاية ناقص
ما لا نهاية اللي هو Zero to Infinity Infinity to Zero
إلى آخره هذوله حالات أخرى اللي هو بنقدر نحولهم عن
طريق الـ ln أو عن طريق الـ exponential أو بطرق
معينة للّي هي الـ formula هذه ومن ثم استخدام اللي
هو قواعد لوبيتال (L'Hôpital's Rules) هذه عادة الشغلات اللي كانت
تعالجها اليمين اللي هو الـ calculus أو التفاضل اللي
أخدناه في سنة أولى أو سنة أولى أو سنة ثانية نطلع
لفوق نيجي الآن نأخذ النظرية الأولى اللي هي لقواعد
لوبيتال الأولى الـ formula الأولى أو الصورة الأولى
نظرية بسيطة ونظرية مرت عليكم وإثباتها أيضًا
هتلاحظوا أنه اللي هو بسيط إيش النظرية بتقول؟ بتقول
ما يلي عندي
Let F be defined على الفترة المغلقة A وB ونفترض أن
F of A وG of A ما يساوي؟ صفر ونفترض أن G of X لا
تساوي صفر في الفترة اللي هي بين A وB ونفترض لو
كانت F وG differentiable عند الـ A وG' عند الـ A
لا يساوي صفر مفترضين G' لا يساوي صفر then the
limit of F على G at A exist وتساوي F' على G' و
إذا كان تحت كل هذا الشروط بيطلع عندي اللي هو ال
limit had exist وبالضبط هذا الـ limit بيساوي F' على
G' of A على F' of A نشوف النظرية ونشوف برهان النظرية
(theorem) عندي ماخد الـ F والـ G عبارة عن دوال من A
وB لعند R مفترض أن الـ F of A بيساوي الـ G of A
بيساوي إيش؟ بيساوي صفر ومفترض أن الـ G of X
لا تساوي 0 لكل X وموجودة في الفترة A وB فرضنا
كمان F وG differentiable عند الـ A F prime
of A وG prime of A exists 60 2 وهذه لا تساوي
إيش؟ لا تساوي صفر تحت هذه الظروف كلها بيكون عندي الـ limit
f of x على g of x as x بتروح لل a طبعًا ال a الفترة
اللي عندنا هي فترة من وين؟ من عند a لعند b إذا
أكيد ال x إذا تروح لل a ما فيش مجال لها ال x اللي
بتروح لل a اللي من وين؟ من جهة اليمين لأنه هي
المنطقة اللي أنا عمال قاعد بشتغل فيها الفترة من a ل
b إذا ال x بتروح لل a من وين؟ من اليمين هيساوي اللي
هو f prime عند ال a على g prime عند الـ A يعني
بمعنى آخر إيش اللي .. إيش .. إيش .. إيش .. كيف هم
نطبق هذه النظرية؟ كانت تعرض علينا الـ limit نيجي
يقول لنا أوجد الـ limit للـ F of X على G of X لما X
تروح لمين؟ لل A من اليمين نيجي الآن الـ F of A نعوض
تعويض مباشر ده طلعت عند 0 على 0 وكانت عندي الشروط
هذه مكتملة اللي هي الـ F والـ G differentiable و
الـ F prime والـ G prime موجودات عند الـ A على طول
نحط هذه إيش؟ بتساوي F prime of A على G prime of A
معايا فهذه اللي هي .. اللي هي .. كيفية تطبيق
النظرية نيجي لإثبات برهان النظرية البرهان بسيط
عندي
خذ عندي for x بين a وبين b لو جيت حسبت الهدف
الهدف الموجودة هذه الـ f of x على g of x إيش هتساوي؟
هتساوي f of x ناقص f of a على g of x ناقص g of a ليش؟
لأن الـ f of a والـ d of a ليش؟ ما أعطينا إياهم بيساوي
صفر ليش عملت هيك؟ لأ بدأت أعمل أكثر من هي بدأت أعمل
أقسم هذا على x minus a وهذا على x ما لها minus a
طبيعي ال x لا تساوي ال a الآن أنا باخد الـ limit
للجهتين وبتجرأ وبأخد موزع لأن أنا ضامن من الـ F
prime of A موجودة والـ G prime of A موجودة ومش هيك
وكمان الـ G prime of A لا تساوي 0 إذا كل أموري تمام
التمام إذا بأخذ الـ limit للجهتين لما X تروح لل A
من اليمين بيساوي الـ limit لما X تروح لل A من اليمين
والشيء اللي تحت وزعت ليش وزعت؟ ضامن أن الـ limit
exist والـ limit اللي تحت كمان لا تساوي صفر هذه
اللي هي عبارة عن مين؟ هذه تعريف F prime of A وهذه
تعريف G prime of A بكون أنا حصلت على اللي هو اللي
بدي إياه هذه اللي هي النظرية الأولى في اللي هو هذا ال
section اللي يعني بتحذير بقول لك أنه أنت يعني تعرضت
عليك الـ limit 17x ولا .. قداش؟ مش مشكلة x زائد 17 أين
كانت بنفع x زائد 17 على 2x زائد 3 مثلًا لما x تروح
لمين؟ للصفر هو مش ميقوم لما نشوف على طول ونروح
نفاضل بنفعش أنت يعني بتلتبس بيصير نفاضل الجهتين
بيطلع 1 على 2 لأ هو أنا بقول بتساوي الـ f
prime على g prime عند ال zero لما نكون هدي zero و
هدي zero لكن لا هدي zero ولا هدي zero إذا بنفعش
تحديد هذا نقول بتساوي اللي هو الـ limit من فعش نقول
بتساوي الـ limit 1 على 2 على اعتبار فاضلنا
ويساوي نصف وهذا الكلام غير صحيح لأن الـ limit زي ما
أنتم عارفين لهذا المقدار بالتعويض المباشر هو
عبارة عن 17 على 3 هذا كلام سهل نأخذ مثال تطبيقي
على النظرية اللي عندنا المثال التطبيقي برضه مثال
مباشر عرض علينا الآن example عرض
علينا بقول أو جد الـ limit x2 زائد x على sin 2x
لما x تروح لمين؟ للزيرو بالمناسبة، النظرية اللي قبل
بشوية حكينا عنها سواء كانت الـ A اللي بتروح لها end
point أو نقطة داخلية أو حتى left end point بتظبط
عليها النظرية والبرهان similarly ماشي الحال؟ واضح
هاه؟ طيب، وإيه السبب؟
لأن الاختبار صفر على صفر هذه differentiable وهذه
differentiable كل أمورها مية وكويسة ومش هي كمان
ولو فضلت هتلاقي اللي هنا لا يساوي صفر إذا على طول
بقول 2x عند الـ zero بفاضل جاعد وبعوض يعني هذه
سميتها وكأنها F وهذه g f of x وهذه g of x بعوض f
prime of zero بعوض هنا g prime of zero الآن f
prime of zero 2x زائد 1 في صفر بيصير 2
في صفر زائد 1 وتحت اللي هو تفاضلها 2 cosine
2x بيصير 2 cosine 2x وعوض بصفر بيصير
2 cosine 2 في صفر وهذا يعني بيساوي اللي هو
1 على 2 على اعتبار كوصالة Zero بيساوي 1
هذه اللي هي تطبيق النظرية اللي عندي نيجي الآن للـ
Cauchy Mean Value Theorem الـ Cauchy Mean Value
Theorem تعميم للـ Mean Value Theorem اللي احنا
عارفينها بدل ما هو على دالة نحكي عن إيش عن دالتين
نشوف إيش اللي بيقوله النظرية بتقول ما يلي لأن
theorem عند F و G دالتين من A و B ماخدهم من A و B
لعند R جاي لي نفس شروط الـ mean value theorem
العادية بدل ما هي على دالة دالتين جاي لي F و G
continuous on A و B and differentiable on O B ماشي
الحال ومعطيني أيضاً بيقولي الـ G prime لل X لا تساوي
صفر لكل X وين موجودة في الـA والـB اللي أنا
بيقول له النتيجة then there exist لنتيجة then then
هذا كله معطى if this hold then then
there exist C Element in A و B such that G أو F
prime of C على G prime of C بيساوي F of B ناقص F of
A على G of B ناقص G of A الـ proof ده كلام سهل
كمان الـ proof نشوف كده
عندي يا جماعة أول إشي هو معطيني إيش مالها g prime
of x إيش مالها لا تساوي صفر إذا by rules theorem
هيكون g of b لا تساوي مين g of a كيف أذكركم أذكركم
كيف الآن إيش rules theorem كانت بتقول g من a و b
لعند r continuous on a و b و differentiable on a و
b هذا ما أعطينا إياه هو ماشي الحال بيقول لي if g of
a بيساوي g of b بيساوي صفر then هو في الواقع زي ما
قلنا أن ال role theorem تنفع لو قلنا g of a بيساوي
g of b وسكتنا لأنه الشاهد في الموضوع أنه المماس
يكون معاه موازي لمحور الصينات أه ولما تكون الـ G of
A بيساوي الـ G of B وسكتنا أي قاطع بينهم هيكون
عبارة عن موازي لمحور السينات يعني معناته اللي
مماثل اللي بيجي هيكون موازي لهذا يعني موازي لمحور
السينات طيب then .. then there exists C element in
A و B such that G prime of C بيساوي إيش بيساوي صفر
الآن هذا معطى مفرغ منه اللي فوق معطى عندي الآن عندي
لو كان g of a بيساوي g of b بيعطينا أنه يوجد صفر بين
الـ a والـ b بحيث أن g prime of c إشماله لا تساوي
صفر لكن هو مفترض لي أن g prime of x لا تساوي صفر لكل
x في الـ a والـ b يعني الآن الـ Contraposition هو
اللي hold hand يعني بمعنى آخر أنه بما أنه G prime
of X لا تساوي 0 لكل X element in A و B هيعطينا هذا
نفيه B implies Q تكافئ not Q implies not B وهذا
لسه عمله أنا بما أن g prime of x لا يساوي صفر لكل
x طبعاً في اللي هو b إذا g of a لا يساوي مين؟ g of
b واضح؟ طيب إذا صار عندي الأول حاجة by Rolle's
theorem g of a لا يساوي g of b because G prime of X
لا يساوي صفر لكل X واللي موجودة في الـA والـB هذه
أول نقطة خلصنا هذه بررناها نيجي الآن زي ما عملنا
في إثبات الـMean Value Theorem إذا بتتذكروا بدي
أعرف دالة أطبق عليها برضه خلي رولز الـTheorem
مطبقة أو الـMean Value Theorem مطبقة وأحصل عن
نتيجة اللي أنا بديها الآن هي الشكل اللي بديها بدي
أخد H of X let أو define H of X بيساوي اللي هو
المقدار هذا اللي بديه F of B ناقص F of A على G of
B minus G of A بتخلي المقدار هذا اللي هو يتصفر في
حالة ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
ال ..
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
ال .. ال ..
H of A بيطلع صفر لأن بدي اللي هو الجزء الثاني اللي
هييجيب لي قيمة مين قيمة الـ F ناقص G G of B ناقص G of
A أو G of X ناقص H of A عشان نروحهم مع بعض ناقص F
of X ناقص F of A الآن ليش عملت هيك عشان أحصل H of
A H of A هذه صفر
وهدي إيه إيه بيصير صفر H of B إذا صارت عندي H of A
بيساوي صفر و H of B حط H of B بيصير هدي بيه هدي
بتروح مع هدي بيصير F of B ناقص F of A ناقص F of B
ناقص F of A بيروحن مع بعض بيصير H برضه بيساوي صفر
إذا هدي أكيد برضه بتساوي H of B الآن
عندي هذا الـ differentiable و continuous وهذا الـ
differentiable و continuous على ما يناسبها من a و
b أو على ال a و b ال a و b اللي هو open
differentiable وعلى ال a و b closed continuous
تبعاً لها هتطلع أنه ثابت هذا وهدوله ثوابت حيث أن
عندي هذا كله على بعض continuous صار عندي H is
continuous on A و B و differentiable on A و B open
لأنه أنا من رأس الدورة الـ H of X معرفها اللي هي
الـ H for every X element in A و B H of X بيساوي كده
ماعيش يا بابا صارت الآن أنا حققت كل شروط الـ roles
theorem اللي هي الـ H continuous على الـ A و B والـ
differential على الـ A و B open أو H of A بيساوي و
H of B بيساوي اللي هي صفر إذا حسب roles theorem
إذا by roles theorem by أو حتى by main value
theorem by roles theorem there exists C element ال
A و B such that اتش prime of c إيش هيساوي صفر هذا
حسب الـ mean value theorem معايا يا جماعة الآن
بتفاضل هذه دلنا أوجد تفاضل هذه تفاضل هذه معليش
خلينا نكتبها لإنه ندخل على العالـ slide بدي أفاضل
هذه فاضلة H prime of X اللي هي عند الـ C بتساوي
صفر صفر بيساوي H prime of C تساوي فاضل هذه وأعوض
عن الـ X بصفر لأن هذا ثابت وهذا ثابت ده بيصير صفر
تفاضل هذا مع هذا لأن مع هذا بيصير G prime of X
مضروب في هذا إذا صار عندي بيساوي F of B ناقص F of A
على g of b ناقص g of a مضروب في مين؟ فضلت في g
prime of x وأنا بدي أحسبها عند مين؟ عند c، إذا g
prime of c ناقص تفاضل هذه، هذا ثابت صفر لأن هذا
قداش تفاضلها ناقص f prime عند الـ x وأنا باخدها عند
الـ c اللي هي h of c, فـ h prime of c فبيصير ناقص f
prime of c الآن بتدنجل هذه على جهة هذه بيصير عندي
الآن f prime of c نجلته هان وأجسمها جي برايم of c
لأن جي برايم of c لا تساوي صفر بيساوي f of b ناقص f
of a على g of b ناقص g of a وهيك بيكون حصلنا على C
في الـA وB بحيث أنه هذه تتحقق وهو المطلوب هذه اللي
بيسميها Cauchy Mean Value Theorem هذه تعميم لمين؟
تعميم اللي هو الـMean Value Theorem بس خد اللي هو
G of X بتساوي X G of X بيساوي X و G of X بيساوي X
اللي هي تحقق كل الشروط ال differential
بالـ continuous والاخره ماشي الحال بيصير عندي
اللي هي في حالة G of X بتساوي X معايا يا شباب
بيصير G of BB و G of AA وهذه اللي هي G prime اللي
هي 1 فبيصير F prime of C بيساوي F of B ناقص F of
A على B minus A إذا F
أمسح البرهان بس الآن
الـ note اللي عندي الـ note كما يلي note if
g of x بيساوي x then we get from الـ theorem هذه
اللي بقول عليها كوشي mean value theorem we get the
mean value theorem كيف الـ g of x بيساوي x معناه
انتصار الـ g of b بيساوي b و g of a بيصير a يعني
هذا بيصير a, b وهذه بيصير A و G prime of C اللي هي
بيصير 1 فبيصير F prime of C بيساوي F of B ناقص F
of A على B minus A وهذه هي الـ main value theorem
واضح .. اه .. طيب اطلع للي بعده لأن احنا اللي
بيهمنا هذا الكوشي بين الـ value theorem احنا
حكيناها أصلاً عشان خاطر أنه احنا نحكي عن اللي هو
L'Hôpital's rule ال form اللي عنده اللي أمامي دكتور
جديد في السؤال في غيرك مفهوم إن أنا جسمت على X
minus A على E minus A الطرفين أصلاً أنت بتصير F أو
P نقص F أو A على B minus A
البرهان مش صعب اللي قلناه، كتير سهل، ما هو الـ C
اللي لاجيناها في الحالة الأولى، هل هي الثانية؟ إذا
كنت تتعامل بـ Mean Value Theorem أنت؟ مش بدك تطبّق
الـ Mean Value Theorem بدك تطبّق الـ Mean Value Theorem لأن
there exists c1 such that f prime of c1 بيساوي f of
b minus f of a على b minus a ما فيش فيها مشكلة
there exists c2 such that g prime of c2 بيساوي g of
b نقص g of a على b minus a الـ c1 هذه مش شرط يكون
هي نفسها الـ c2 أو احنا لازم نثبتها هي نفسها اه ف .. و
بعدين البرهان سهل ماشي .. نحن الواحد يفكر 100% ..
جميل لكن .. يعني .. بس أنه احنا .. الـ C هذه مش
ضمنياً تساوي الـ C2 و بدنا نثبت أنها تساويها .. إذا
كانت بتساويها طيب .. نيجي لها اللي هي النظرية اللي
بعيدها النظرية اللي بعيدها .. أنا مرضيتش أمسح اللوح
أساسي منقررها من الـ theory من الأولى
نشوف نطلع إيش اللي بتقوله هذه النظرية نفس
اللي هنا F و G differentiable on A و B معايا أه؟
الآن such that G prime of X ده يساوي صفر G prime of
X لا يساوي صفر أنا مش موجودة For all X elements in
A و B ونفترض أن limit F of X limit F of X لما X
تروح إلى الـ A من اليمين موجودة و بتساوي إيش؟ صفر
و limit G of X لما X تروح إلى الـ A من اليمين
بتساوي صفر إذا صار limit الحاصل القسمة لأن بيساوي f
prime of a على g prime of a بيساوي limit f of x
على g of x لما x تروح لل a باليمين يعني وكأنه هنا
حول الحديث كله من افتراض أنه عند النقطة اللي هي F'
و G' موجودة ولا تساوي صفر وحول الحديث من إن التعويض
المباشر أن F of A و G of A بتساوي صفر لـ limit لـ ..
limit لل Function لما X تروح لـ A صفر و limit لل
Function لما .. اللي .. اللي هو ال X .. ال X بتروح
لسفر .. لل A بتساوي صفر وحول أيضاً طلب جي برايم نفسه
على كل الفترة اللي تكون لا تساوي صفر مش عند النقطة
بس وقال لك إنه حتى اللي هو النتيجة هتطلع بـ limit
مش هتطلع بـ F prime of A على G prime of A يعني اللي
بقصده إنه الآن طور هذه الحديث هنا إنه لما تُعرض
علينا limit F of X على G of X لما X تروح للـ A من
اليمين أو إن كانت حتى لو في الـ interior point الـ X
بتروح للـ A برضه صحيحة الآن بعدي عندي إذا لجيت limit
الأولى، اللي أنا بحكي عن limit سيرة مش عن تعويض
مباشر زي اللي جابله، الآن limit f of x لما x تروح
لـ a من اليمين و limit f of x لما x تروح لـ a من
اليمين، إذا هذه موجودة و هذه موجودة و طلع عندي 0
على 0، يعني طلع ال limit عبارة عن 0 على 0، هنا بدو
يحدث العلاج، إذا كانت الآن الـ limit اللي طلعت عندي
F prime of X على G prime of X لما X تروح للـ A من
اليمين إذا طلعت عبارة عن قيمة خلاص ارتاح هذه اللي
طلعت هي مين فهمت الـ limit ماشي الحال لو طلعت كمان
مرة zero على zero اللي هو و بتحقق كل الشروط اللي
.. اللي في الأول برضه بأعمل كمان مرة بفاضل لما
بتطلع لكن لو طلعت ال limit هذه does not exist بسكت
و بجاوبي عمش .. بدنا ندور على طريقة أخرى واضح؟ الآن
لو طلعت هذه infinity أو سالب infinity هذه آسف
infinity أو سالب infinity برضه إن النظرية صحيحة اللي
هو هدمين الجزء الثاني من النظرية if limit f prime
على g prime بيساوي L بيساوي infinity أو سالب
infinity هتطلع ال limit على طول لل F على G اللي
ببحث عنها إيش هتساوي برضه ال infinity أو سالب
infinity حسب القيمة هذه إذا أي إن كانت اللي هي ال
limit مادامَ exist سواء ال existence عبارة عن
element in R أو اللي هو عبارة عن ناقص infinity أو
سالب infinity فإن النظرية صحيحة واضح؟ أي سؤال؟ طيب
صلّى على النبي عليه الصلاة والسلام خلينا
نيجي للنظرية ونبرهنها
Theorem كده ش؟ نزلي بس النص يا محمد اللي هي theorem
6 3 3 إيش النظرية بتقول؟ بتقول ما يعني عندي طبعاً
ماخد الـ a أصغر من الـ b strictly و a ممكن حتى تأخد سالب
infinity والـ b تأخد infinity يعني ممكن تكون
الفترة من a .. الفترة كلها a ممكن تكون أي فترة sub
interval من اللي هو 100 من الـ real numbers فرضنا f
و g من a و b لعند اللي هو r وإذا كانت a infinity
أو سالب infinity آسف إذا كانت a سالب infinity أو b
infinity بتكون o من زمن بعرفي لأن عشان اللي هو
ناخدها من real number لـ real number لذا نفترض f و
g من a و b لعند الـ R ونفترض إن f و g differentiable
on a و b ماشي الحال و differentiable on a و b الآن
مش لازم يكونوا continue و تعندى و كده لأنه أنا هدخل
لجوه شغل هيكون لجوه هل جيت بتشوف إيش معنى لجوه
such that g prime of x g prime of x لا تساوي صفر
لكل x وين موجودة في الفترة a و b الآن بقول لي إذا
كانت limit limit اللي هي f of x لما x تروح للـ a من
اليمين بيساوي limit g of x لما x تروح للـ a من
اليمين بيساوي صفر هذا كله موضوع الآن بدو يوصل بدي
أقولك كيف أنا بدي أحصل على نتيجة limit f of x على
g of x لما x تروح للـ a من اليمين بقولك إذا كان أنت
if لأن إيه if limit f prime of x على g prime of x
لما x تروح للـ a من اليمين بيساوي L then أتجرا أقول
فاش عندي مشكلة limit f of x اللي ببحث عنها على g
of x لما x تروح للإيه من اليمين برضه إيش هيساوي؟
هيساوي ال .. من يحياتي هذه هيكون صحيحة طيب خلينا
الآن اللي هو البرهان شوف عليها واضح النظرية شرحناها
يعني نص النظرية شرحناها بشكل كامل الآن since limit
F prime of X على G prime of X لما X تروح لـ A من
وين؟ من اليمين هيعندي الفترة A و B حتى لو كانت
منتهية وين ما بدها، هي حاضرة الآن عندي X تذهب إلى
اليمين اليمين فبدي من الجهة دي طبيعي من اليمين بيساوي
الـ then for every epsilon أكبر من صفر لأي epsilon
أكبر من صفر أي epsilon there exists delta أكبر من
صفر such that لأن X تذهب إلى الامن وين من اليمين
إذن الجوار اللي حوالها هو عبارة عن جوار من A لعند
مين الـ A زي الـ Delta لعند الـ A زي الـ Delta صح ولا لأ
إذن لكل ما دامت الـ limit هي دي بيساوي L، ده لكل
إبسلون بقدر ألاقي Delta بحيث أن X element في A و
A زائد Delta ف X element في A و A زائد Delta، then
قطعاً .. then قطعاً هيكون عندي F prime of X على G
prime of X نقص L، ذويكون أصغر من 100 من إبسلون هذا
تعريف الـ limit للـ F prime of X على G prime of X
بسهولة لما X تروح لمن؟ للـ A من اليمين هو كاتبها
هذه A زائد Delta C في الكتاب يعني مسميها C يعني
مسمي إنه لكل X there exists C بحيث إنه لكل X في ال
A اللي عند الـ A للـ C بكون هذا الكلام متحقق أنا
حبيت أكتب لك اللي هو التعريف الدارجي اللي أنت ده
كسله كمان في ال .. في الحل واضح لحد تلاتة
ماشي الحال بس هي ك .. هذه .. و هذه ك صح و هذه ك صح
و هذه ك صح اللي كاتبها صح بس هذه للطالب أسهله في
ال .. في ال .. لإنه .. خلّيني أقول هذا اللي دارج
عليه في ال .. في .. اللي هو التعبير عن ال .. لكل x
في الجوار الجوار هذا سهل و .. و .. و .. وعبّرنا
عنه
-A هو أكبر من صفر وأصغر من دلتة برضه هيك صح صحيح
نفس الشيء طيب
الآن
هذا الكلام i.e. أو بمعنى آخر that is هيكون هذا اللي
هو F prime of X ناقص G prime of X أصغر ناقص L
بتغيرها عشان أصغر من Y وأكبر من 200 من سالب Y شيل
الـ L هذه بصير اللي هو أصغر من L زائد Y وأكبر من L
ناقص Y هذا متحقق لمين؟ لكل X و N موجودة في الفترة
من A لعند A زائد Delta و اكتب لي هذا سميلي
واحد ماشي الحال سميليه واحد الآن عندي اللي هو شروط
الـ Mean Value Theorem الكوشي Mean Value Theorem
اللي قبل بشوية الـ F والـ G differentiable على الـ A
و الـ B اه و الـ G prime of X لا تساوي صفر و ال ..
أو .. إيش كمان كلّه متحقق بس خلينا نقول
بدي الآن وين أطبّق الـ Mean Value Theorem بدي
أطبّقها على اللي هو اللي جوا عندي لداخل الـ Mean
لداخل الفترة هذه عشان أشتغل وين اللي بتطلع عندي
أضمن تكون هنا عشان القيمة اللي هتطلع عندي اللي
بتحققها تكون بتحقق اللي بتطلع عندي و بتحققها دي
عشان هي كصح اللي أعوض مكان بعض ماشي الحال خد الآن
لجد تفهموا إيش اللي بقصدهم خد الآن four alpha أكبر
من a و أصغر من beta و أصغر من a زائد delta يعني أنا
غرضي أن أنا أشتغل .. أن أنا رايح .. بدي أنا limit
أصلًا و ال limit بديها لما أروح لمين؟ لل A يعني بدي
في الجوار اللي حوالين ال A و جاي ناحيتها هذا اللي
بهم، اللي ما أناش سغاداش، بيكون التصرف مافيش ..
مافيش عنده مشكلة الآن هي ال alpha أخدتها هنا و هي
ال beta
أصغر من Alpha أصغر من Beta أصغر من a زي الـ
Delta؟ By Cauchy Mean Value Theorem there exists
سموها هو نسميها U Element in mean in Alpha و Beta
و ال Alpha و Beta جزء من هذول، إذا اللي بنطبق
على هذه اللي بنطبق على .. اللي بنطبق على هذه بنطبق
على هذه، مظبوط؟ يعني هذه ال U اللي لجيتها بنطبق
عليها الكلام هذا اللي هو F prime of U على D prime
of U بين هذه و بين هذه واضح، و هذا الكلام مهم طيب،
there exists U such that F prime of U على g prime
of u بيساوي إيش يا جماعة بيساوي f of b أو beta
ناقص f of alpha على g of beta ناقص g of alpha واضح
آه؟ هذا سمولي يمين هو اتنين الآن عند هذه اللي
لجيتها هنا اللي بتحقق هذه هي وين موجودة من ضمن
النقاط اللي بتحقق هذه لكل X هنا وهذه جزء منها إذا
F prime of X of U على G prime of U بين ال L ناقص
إبسلون و ال L زائد مين؟ إبسلون وفي نفس الوقت F
prime of U هذه اللي لقيتها G prime of U بيساوي هذا
إذا from واحد
و اتنين we get اللي هو F prime of U على G prime of
U بستبدلها و بيصير F of Beta ناقص F of Alpha على G
of Beta ناقص G of Alpha بحيث أنه هذا يكون أكبر من
L ناقص Y و أصغر من 100 من L زائد Y لأن هذا صحيح لأي
Alpha و Beta بشكلهم اللي موجود Alpha أصغر من Beta
و Alpha بين ال A و بين مين؟ ال A زائد دلتا إذا
الألفة هذه حرة في كل المنطقة هذه بنفع يعني الألفة
هذه لو بدها تروح لل A حد مش بمنعها الألفة تروح لها
لأنه صحيح على كل هذه الألفات اللي لجيتها هذه الآن
let alpha goes to mean to a من وين؟ من اليمين
ماشي؟ مقدر و لن تؤثر لأ على ال beta ولا عليها زي
الدلتية الحرة بتروح لهذه وهذه زي ما هي يعني تصرف
alpha يروح لأي a beta بالنسبة لها ثابت ولا تتأثر هذا
الكلام مهم إذا صار عندي الآن لما Alpha تروح لأ من
اليمين ال up of Alpha بيصير عندي limit ال up of
Alpha لما ال Alpha تروح لأ من اليمين بيساوي هو في
الواقع limitها limitها هذه Alpha اللي كنا نسميها X
مثلًا ال up of X سمى X تروح لأ من اليمين لأ من
اليمين الآن ال Alpha راحت لليمين اليمين limitها
أنا ما عطيني إيش بيساوي؟ بيساوي صفر، ما عطيني
limit f of x عندما x تروح لليمين اليمين إيش
بيساوي؟ صفر، أنا سميتها إيش أنا؟ Alpha هذه اللي
بتتحرك، إذا هذا ال limit إيش هيساوي؟ بنفس السبب أو
لنفس السبب limitG of Alpha لما Alpha تروح لل A من
اليمين برضه مش هيساوي صفر إذا الآن برجع لهذه برجع
لهذه بيصير عندي الآن اللي حصلته كله على بعضه لكل ي
أكبر من صفر ماشي الحال ل gate Delta بحيث أنه ال Alpha
و beta بشكل هذا أكبر من a و أقل زي ال Delta
سيبك من ال L Alpha خلاص رديتها أنا beta أكبر من a و
أصغر من a زي ال Delta طلع عندي هذا المقدار أصغر
من L زي ال إبسلون و أكبر من L ناقص إبسلون ماشي؟
الآن رديت و أخدته من ال limit الآن بدي أخد ال
limit لهذا المقدار كله لما ال alpha تروح لمين؟ لل
a من اليمين الآن لما أخد ال limit لهذا زي ما قلت
ال beta مالهاش علاقة بال alpha ال beta ثابتة
بالنسبة لل alpha فال alpha تروح لل a من اليمين زي
ما بدها لن تتأثر beta فبيصير limit اللي فوق على
limit اللي تحت هذا ثابت و هذا ثابت و هذا limit هو
اللي هو صفر و هذا limit هو صفر و هذول أعداد إذا
أصار عندي الآن عندي take the limit بيصير عندي L
ناقص Epsilon أصغر أو يساوي اللي هو F of Beta على G
of Beta أصغر من L زائد Epsilon من وين حصلته هذا؟
when I take the limit of this inequality as Alpha
goes to A from right واضح؟ هذا حصلت عليه هذا عرفت
ثانوية هذا حصلت عليه من وين أن أخدت ال limit
للجهات التلاتة as Alpha تروح لل A من اليمين
واستخدمت هذه الحقيقة أن هذا صفر و هذا صفر صار هذا
المقدار و هذا المقدار بين هذا و هذا إذن اللي حصلت
عليه الآن هو ما يليه لكل epsilon أكبر من صفر لجهة
Delta أكبر من الصفر such that هذه beta كانت
arbitrary بين a و بين مين اللي هو such that if
beta بين ال a و ال a زائد delta we have then إيش
اللي حصلنا عليه اللي هو f of beta على f of alpha
صارت أصغر أو يساوي L زايد إبسلون و أكبر أو يساوي
إبسلون ناقص L أو بمعنى آخر IE F of Beta على F of
Alpha ناقص L absolute value أصغر أو يساوي إبسلون
و هذا هذا this means that hence limit
f of beta على f of alpha as اللي هو limit of فدي g
مالكم فدي g بساكتين g of beta فدي g of beta limit
of beta على g of beta مظبوط؟
as اللي هو طبعًا الآن بيت إيه شمالها لكل بيتها
يعني بيتها وين راحت؟ على اليمين اليمين هان لكل بيتها
وين؟ في الجوار هذا الآن بيساوي ال هو المطلوب مش
عاجبك بيتك تبقى تكسر أي سؤال
بتصور هيك المظهرية واضحة تمامًا هي تلت خطوات في
الواقع تلت خطوات مين هما؟ هو طبعًا في الكتاب يعني لو
لاحظت هتلاقي يعني أنه بدها بس ترتيب الآن لأ بدها
ترتيب طلع عليها الآن عندك هذا الآن استخدمت أنا هذا
في الأول بالعمدان واستخدم هذا استخدمت هذا عشان
أقول لك هذه ال inequality صحيح على كل المنطقة هذه لأن
لجيت U لأن اللي لجيتها U أنا لجيتها لجيت ال U و
أخدت الفترة هنا عشان أقول لك ال U اللي لجيتها في
داخل الفترة هذه الحديث هذه جايب عن هذه بعمل
confusion عند الطالب لأن اللي لجيتها من قال إنه
هنا موجودة ما هي اللي لجيتها هنا وين لجيتها؟ بين A
و B بين A و B أو بين Alpha و Beta يعني بدها يصير
عندي اللي هي ال F prime ال F prime عندي ال limit
.. ال limit لل .. خليني أكتبها يا شيخ ليش؟ ها ..
هذا بيساوي ال .. اللي هي إيش؟ ما لأ بأخذ ال
infinity بطلع حد برضه إيش؟ infinity يعني الحالة
التانية اللي هي F بساوة infinity هيكون ال limit لل
F على G شمالها بيساوي infinity الآن بدها يصير عنده
بدل ما أقول limit F prime على G prime بيساوي L بدها
يصير أشهر بيساوي infinity كيف بنعبر على إنه الرقم
يروح لما لنهاية ال limit أنه ناخد اللي هو صرنا
متعارفين for every إبسط إنه كانت عبارة عن إيش؟ صغير
for every K Element in R طبعًا لو أخدت K positive
برضه بنفعله لإذا .. إذا بيكون أكبر من ال positive
أكيد هيكون أكبر من مين؟ من ال negative for every K
element in R there exists delta such that لكل X في
هذه المنطقة بيطلع اللي هو F prime of X اللي هو هذا
.. بقى اللي بمسحه هذا بمسح من التعريف ذاك للتعريف
limit F prime على G prime إيش بيساوي؟ ما للهاي بما
أن هذا بيساوي ما لنهاية أيضًا لأ كل K المتنارة بين X
زي الزلتة such that لما تكون X يعني بين ال A و بين
Z زي الدلتة يعني روحت في ال A من اليمين then F
برايم على D برايم أكبر من مين؟ من K ماشي الحالة و
هذا اللي هو الواحد عندي و هذا كله اللي هو كلام
شماله نفس الشيء متحقق فبيصير عندي بأستبدل هذا هذا
مافيش داعي له بيصير التفاصيل هنا و بيصير عندي هذا
لجيته إذا from واحد عند اتنين we have اللي هو
نعملها مع بعض بأستبدل هذا بأحطه هان بيصير عندي f
prime f of beta ناقص f of alpha على g of beta ناقص
g of alpha أكبر من مين؟ من K ماشي الحال ونفس السبب
الأولاني ال alpha اللي هو limit هذه صفر و limit
هذه صفر المعطيلة هي هو بيصير هذه عبارة عن لما ال
alpha تروح لل beta فبيصير عند f في beta و d في
beta أكبر من مين؟ من K صار عندي الآن لكل K element
in R لجهة Delta بحيث أنه لما تكون Beta بين ال A و
A زائد Delta حصلت على هذه أكبر من مين؟ من K وهذا
اللي هو إيه شماله؟ هو تعريف limit F of Beta على G
of Beta as Beta روح للـ A من اليمين سوى ملا نهاية
ولو بدنا سالب ملا نهاية بنفس الأسلوب ده بتقول for
every K K سالمة بيصير أصغر ونفس الكلام
examples .. نشوف الـ examples اللي عندنا
نيجي للـ examples اللي عندي الأولى يعني limit
Sin X على جدر X لما X تروح لـ 0 من وين؟ من اليمين،
ليس بسهل، دعونا نشرح عن الـ الوحش وبالكالكولس هذه لأن
limit Sin X على جدر X لما X تروح لـ 0 من وين؟ من
اليمين، الآن الـ limit اللي فوق لما X تروح لـ 0 من
اليمين، صفر و اللي تحت صفر، إذا صار عبارة عن 0 على
0 وكل أمورها إيش ما لها متحققة الـ differential
الـ continuous و هو و هو و الأخرى و الأخرى إذا بنفضل
اللي فوق و بنفضل اللي تحت فضلنا اللي فوق و طلعني
cos X و اللي تحت 1 على 2 في جدر الـ X الآن اللي ..
اللي .. اللي .. اللي .. اللي .. اللي .. اللي ..
اللي .. اللي ..
اللي ..
الآن اللي بعدها 1-sin x على x تربيع لما x تروح
لمين لسه في رجولنا النظرية صحيحة برضه لو كانت اللي
.. اللي .. اللي بدنا نروحلها جوا نقطة interior أو
على الـ end points كلها صحيحة وبنفس الأسلوب البرهان
زي ما برهننا عن اليمين بنبرهن في الوسط فبناخد بدل
ما هو الجوار من a لعند a زائد delta إذا كانت جوا
من a ناقص delta لعند a زائد delta وده كان على
الجهة الثانية من a ناقص delta لعند الـ a فاهمين
عليها هذه اللي هي برضه عبارة عن لو أخدنا limit للي
فوق صفر و limit للي تحت صفر إلى أن فضلنا اللي فوق
و فضلنا اللي تحت طالع عندي sin x على 2x إلى أن طلع
عندي 0 على 0 كمان مرة و متحقق كل أمورها إذا بنشتقل
كمان مرة بيصير cosine x على 2 و يساوي نص و هكذا
اللي بعدها
limit e to the x نقص واحد على x لما x تروح لمين
للصفر برضه نفس الاشي هذي بيصير صفر على صفر لـ limit
الأولى بنشتق أن تطلع عندي واحد
الآن الأخيرة نفس الشيء لإن الـ X على X minus واحد
برضه نفس الشيء Zero ع Zero بيطلع عندي اللي هو
بالفاضل هذي بتطلع واحد على X بالفاضل هذي واحد
بيصير الآن لما الـ X تروح للواحد بيساوي الواحد أطلع
لفوق بيكون وصلنا احنا عند مين عند آخر نظرية اللي
هي Lobitals Rule اللي هي في حالة اللي هي إنّها تطلع
عندي infinity او ناقص infinity الـ limit يعني الـ
indeterminate form اللي هو infinity على infinity
او ناقص infinity على infinity برضه المرة الجاية إن
شاء الله