1 00:00:04,960 --> 00:00:09,520 بسم الله الرحمن الرحيم هذه هي المحاضرة رقم 27 مساق 2 00:00:09,520 --> 00:00:14,620 تحليل حقيقي 2 طلاب وطالبات الجامعة الإسلامية كلية 3 00:00:14,620 --> 00:00:19,740 العلوم قسم رياضيات اللي هنكمل اليوم إن شاء الله 4 00:00:19,740 --> 00:00:23,560 اللي بدأناها المرة الماضية اللي هو tests for 5 00:00:23,560 --> 00:00:26,400 absolute convergence tests for absolute 6 00:00:26,400 --> 00:00:29,770 convergence حكينا المرة الماضية على الـ Comparison 7 00:00:29,770 --> 00:00:33,870 Test وقلنا إنه الـ Comparison Test بنيجي بنقارن 8 00:00:33,870 --> 00:00:37,610 اللي هو Series الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... 9 00:00:37,610 --> 00:00:37,790 .. الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ 10 00:00:37,790 --> 00:00:39,290 الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ 11 00:00:39,290 --> 00:00:39,890 .. الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ 12 00:00:39,890 --> 00:00:40,250 الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ 13 00:00:40,250 --> 00:00:40,570 .. الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ 14 00:00:40,570 --> 00:00:42,550 الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ 15 00:00:42,550 --> 00:00:44,930 .. الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ 16 00:00:44,930 --> 00:00:49,270 الـ converges ولو كانت اللي هي الصغيرة diverges من 17 00:00:49,270 --> 00:00:52,690 باب أولى هتكون اللي أكبر diverges هذا ال 18 00:00:52,690 --> 00:00:55,250 comparison test وبعدين أخذنا ال limit comparison 19 00:00:55,250 --> 00:00:59,570 test اللي هو اللي بيقارن بين اللي هو limit XN على 20 00:00:59,570 --> 00:01:05,070 YN لو كان عندي لا يساوي صفر معناته يتأكد هي ال then 21 00:01:05,070 --> 00:01:07,930 اللي هو summation للـ XN converges و YN دول ال 22 00:01:07,930 --> 00:01:10,450 summation converges يعني التنتين يعني converges 23 00:01:10,450 --> 00:01:14,980 التنتين diverges لكن الـ N لو كان ال limit في الـ .. 24 00:01:14,980 --> 00:01:19,860 في الـ ... في الـ ... في الـ limit XN على YN بيساوي 0 25 00:01:19,860 --> 00:01:24,040 لو ساوي 0 وكانت اللي هي اللي تحت اللي هي is 26 00:01:24,040 --> 00:01:26,980 convergent أكيد اللي هي اللي فوق هتكون is 27 00:01:26,980 --> 00:01:31,950 convergent الآن اللي هو بعد هيك أخذنا اللي هو الـ 28 00:01:31,950 --> 00:01:35,350 Root and Ratio Test الـ Root and Ratio Test قلنا 29 00:01:35,350 --> 00:01:38,470 اللي هو اللي بنيجي بنفحص اللي هو Absolute Value لـ 30 00:01:38,470 --> 00:01:42,030 XN أصغر من 1 ل N لو من عند N أكبر من أو يساوي K طالع 31 00:01:42,030 --> 00:01:45,650 اللي هي عندي XN أصغر من 1 ل N أصغر من R الآن 32 00:01:45,650 --> 00:01:48,910 ال Series اللي عندي هذه بتكون شاملها Absolutely 33 00:01:48,910 --> 00:01:53,610 Convergent لما تكون الـ R أصغر من 1 لو كان اللي هو 34 00:01:53,610 --> 00:01:58,870 طلع عندي الـ Xn-1 لأن أكبر من أو يساوي 1 لكل n أكبر 35 00:01:58,870 --> 00:02:01,630 من أو يساوي K بيكون ال series اللي هي summation Xn 36 00:02:01,630 --> 00:02:06,030 شاملها is divergent أخذنا كورولري عليها اللي هو 37 00:02:06,030 --> 00:02:10,150 بدل ما على ال terms أخذنا ال limit للـ Xn-1 لأن 38 00:02:10,150 --> 00:02:13,270 اللي هو لو لجناها بتساوي R بيكون ال summation 39 00:02:13,270 --> 00:02:16,770 absolutely convergent لما R أصغر من 1 و 40 00:02:16,770 --> 00:02:24,020 divergent لما R أكبر من 1 أو لما الـ R بتساوي 41 00:02:24,020 --> 00:02:28,360 واحد No conclusion بعدين اجينا أخذنا ال ratio test 42 00:02:28,360 --> 00:02:32,500 ال ratio test اللي هو مقارنة في داخل ال series 43 00:02:32,500 --> 00:02:37,060 نفسها يعني الـ XN زائد واحد على XN اللي هو أصغر من أو يساوي 44 00:02:37,060 --> 00:02:43,470 R لجناها لكل N أكبر من أو يساوي K ولاقينا الـ R هنا أصغر من 45 00:02:43,470 --> 00:02:46,290 واحد فبصير ال submission للإكسات is absolutely 46 00:02:46,290 --> 00:02:50,030 convergent لو كانت اللي طلعت عندي هذه أكبر من أو 47 00:02:50,030 --> 00:02:54,670 يساوي واحد بتكون ال series is divergent هذا حكيناه 48 00:02:54,670 --> 00:02:57,850 المرة الماضية وقلنا برضه اللي هو في عندي Corollary 49 00:02:57,850 --> 00:03:01,130 لو كان أخذنا limit للإكسات زيادة واحد على الإكسات لقيناها 50 00:03:01,130 --> 00:03:05,090 بساوى R الآن حسب اللي هي R ده كانت R أكبر من واحد 51 00:03:05,090 --> 00:03:08,670 اللي هو عبارة عن Convergent ولو كانت R أكبر من 52 00:03:08,670 --> 00:03:11,830 واحد بتكون Divergent وعند R بيساوى واحد ال test فعلًا 53 00:03:12,390 --> 00:03:15,930 الآن أوصلنا لعند مين لعند الـ Integral Test 54 00:03:15,930 --> 00:03:19,450 وخلينا اليوم اللي هو نبحث في اللي هو الـ Integral 55 00:03:19,450 --> 00:03:23,770 Test ونشوف كيف نبرهن اللي هو الـ Integral Test 56 00:03:23,770 --> 00:03:31,720 ونشوف إيش هو الآن خليكم معنا ال Integral Test الـ 57 00:03:31,720 --> 00:03:36,740 927 let F be a positive decreasing function on T, 58 00:03:36,800 --> 00:03:40,760 T أكبر من أو يساوي واحد يعني الـ F عبارة عن positive و 59 00:03:40,760 --> 00:03:44,720 decreasing function يعني فوق اللي هو الـ X-axis و 60 00:03:44,720 --> 00:03:48,580 decreasing عالمين على الفترة من واحد إلى ما لا 61 00:03:48,580 --> 00:03:56,530 نهاية العنوان ثم السيريز summation للأف أن تتعامل إذا 62 00:03:56,530 --> 00:04:03,170 انتقلت من واحد إلى ما لا نهاية f of t dt بيساوي limit من 63 00:04:03,170 --> 00:04:07,010 واحد عند n as n goes to infinity f of t dt exists 64 00:04:07,590 --> 00:04:12,570 إذن الآن وكأنه حولنا الحديث من ال convergence اللي 65 00:04:12,570 --> 00:04:17,470 هو series إلى convergence of proper integral يعني 66 00:04:17,470 --> 00:04:21,690 الآن بنقول إن ال series هذه summation f of n 67 00:04:21,690 --> 00:04:26,290 converges إذا وفقط إذا كان ال proper integral من 1 68 00:04:26,290 --> 00:04:31,780 إلى ما لا نهاية الـ f of t dt is convergent In this case 69 00:04:31,780 --> 00:04:35,940 لو كان في ال convergence حادث In this case أو in 70 00:04:35,940 --> 00:04:40,420 the case of convergence The partial sum Sn وال 71 00:04:40,420 --> 00:04:43,460 partial sum اللي هو sequence of partial sum زائد Sn 72 00:04:43,460 --> 00:04:46,900 and اللي بيساوي summation F of K, K من عند واحد 73 00:04:46,900 --> 00:04:51,520 لعند N and the sum S بيساوي ال summation للـ F of 74 00:04:51,520 --> 00:04:55,820 K, K من عند واحد إلى ما لا نهاية satisfy the 75 00:04:55,820 --> 00:05:02,530 estimate التاليدايمًا هنلاقي المسافة بين الـ S وال 76 00:05:02,530 --> 00:05:05,710 الـ Sn S ناقص Sn هتكون أصغر من أو يساوي ال 77 00:05:05,710 --> 00:05:09,150 integration من N إلى ما لا نهاية للـ F of T DT و 78 00:05:09,150 --> 00:05:13,010 أكبر من أو يساوي ال integration من N زائد واحد لعند 79 00:05:13,010 --> 00:05:16,550 ما لا نهاية يعني الـ S minus Sn S اللي هي مجموع الـ 80 00:05:16,550 --> 00:05:19,890 series ناقص Sn اللي هي عبارة عن ال partial sum من 81 00:05:19,890 --> 00:05:23,780 واحد لعند N الحاصل ده يثبت دائماً أصغر من أو يساوي الـ 82 00:05:23,780 --> 00:05:27,300 integration من N إلى ما لا نهاية للـ F of T و أكبر من أو 83 00:05:27,300 --> 00:05:31,340 يساوي ال N زائد 1 لعند ما لا نهاية هذا كله في حال أن 84 00:05:31,340 --> 00:05:34,780 الـ series اللي هي is convergent أو الـ improper 85 00:05:34,780 --> 00:05:40,240 integral is convergent خلينا نبرهن اللي موجود 86 00:05:40,240 --> 00:05:46,560 الآن عندي الـ function F is positive and 87 00:05:46,560 --> 00:05:51,380 decreasing ماشي الحال عندي الـ function is 88 00:05:51,380 --> 00:05:55,620 decreasing على كل الفترة من واحد إلى ما لا نهاية 89 00:05:55,620 --> 00:06:00,280 يعني الآن عندي هي اللي هي من واحد الـ function من 90 00:06:00,280 --> 00:06:03,420 عند واحد إلى ما لا نهاية عاملها شاملها decreasing 91 00:06:04,130 --> 00:06:07,430 الآن بقى جبت أجسم اللي هو خليني أخد الفترة هذه 92 00:06:07,430 --> 00:06:12,210 ببدأ من عند X knot بواحد X بواحد بصير اثنين اللي 93 00:06:12,210 --> 00:06:19,470 هي X واحد بصير مثلًا X واحد وهذا X knot وهذا X 94 00:06:19,470 --> 00:06:24,410 ثلاثة اثنين X ثلاثة لعند الفترة النموذجية XK و XK 95 00:06:24,410 --> 00:06:30,700 ناقص واحد و XK الآن هذه الفترة بدي أخد التجزئة 96 00:06:30,700 --> 00:06:36,760 بعد إذنكم الـ X12 والـ X23 والـ XK-1 اللي هي عبارة 97 00:06:36,760 --> 00:06:41,560 عن K-1 وهذه منين؟ الـ K حر أنا بدي أجزء بالتجزئة 98 00:06:41,560 --> 00:06:45,540 اللي أمامي اللي هتخدمني ماشي الحال الآن على الفترة 99 00:06:45,540 --> 00:06:46,020 هذه 100 00:06:48,590 --> 00:06:53,010 على الفترة هذه هيها عندي اللي هو هذه طولها إيه 101 00:06:53,010 --> 00:06:56,930 شاملها طولها بيساوي واحد لأنه من K ناقص واحد لعند 102 00:06:56,930 --> 00:07:01,790 مين لعند K اللي هو وأخدت طول كل واحد أجداش عبارة 103 00:07:01,790 --> 00:07:05,950 عن واحد فصارت هذه عبارة عن واحد الآن بدي أدرس اللي 104 00:07:05,950 --> 00:07:11,670 هو هذه المنطقة وأقارنها اللي هو بالمساحة إلى الـ F 105 00:07:11,670 --> 00:07:17,970 of K و F of K-1 لنشوف إيش اللي بحكي عشان أصل لللي 106 00:07:17,970 --> 00:07:23,070 بديه أنت بتحكي الآن لو جينا طلعنا لعند ... عند ... 107 00:07:23,070 --> 00:07:28,830 من عند K-1 لعند K لأن K هذه أكيد K عندي اللي هي من 108 00:07:28,830 --> 00:07:33,050 اثنين طالع ماشي الحال إن الفطر تبدأ من عند مين من 109 00:07:33,050 --> 00:07:36,670 عند واحد إلى ما لا نهاية إذا عندي K بتساوي اثنين أو 110 00:07:36,670 --> 00:07:40,390 ثلاثة أو أربعة أو خمسة إيه اللي بدي إياه اللي هنخليني 111 00:07:40,390 --> 00:07:45,670 أجي المساحة تحت المنحنى هذا المساحة تحت المنحنى هذا 112 00:07:45,670 --> 00:07:49,290 هو عبارة عن قيمة ال integration لل function تبعتنا 113 00:07:49,290 --> 00:07:53,190 هذه اللي هي decreasing من وين لو عند K ناقص واحد 114 00:07:53,190 --> 00:07:56,910 لعند مين لعند K إذا ال integration من K ناقص واحد 115 00:07:56,910 --> 00:08:00,630 لعند K f of t dt لأن ال function positive تمثل هذه 116 00:08:00,630 --> 00:08:06,260 المساحة تحت المنحنى طيب، الآن لو جينا للمساحة اللي 117 00:08:06,260 --> 00:08:11,580 هي الآن هذا طوله قيمته واحد وهذا الآن قيمته لهنا 118 00:08:11,580 --> 00:08:16,820 F of K ناقص واحد المساحة هذه هيها الشكل هذا 119 00:08:16,820 --> 00:08:21,660 مساحته اللي هو عبارة عن مساحة المستطيل اللي طوله 120 00:08:21,660 --> 00:08:26,060 ... اللي عرضه واحد وطوله مين؟ F of K ناقص واحد 121 00:08:26,060 --> 00:08:29,880 الآن F of K ناقص واحد في واحد أكيد هذه المساحة 122 00:08:29,880 --> 00:08:34,380 واضحة إنها أكبر من أو يساوي ال integration اللي عندي 123 00:08:34,380 --> 00:08:39,060 الآن أو المساحة تحت المنحنى الآن في المقابل لو 124 00:08:39,060 --> 00:08:46,420 جينا تطلعنا لأ اللي هي المساحة اللي بيمثلها F of K 125 00:08:46,420 --> 00:08:51,910 F of K هي طوله في مين في اللي هو واحد هذا واحد طوله 126 00:08:51,910 --> 00:08:56,870 هذه الآن مساحتها أكيد أصغر من مساحة مين اللي هي 127 00:08:56,870 --> 00:09:00,890 المساحة تحت المنحنى يعني بمعنى آخر هيكون هذه 128 00:09:00,890 --> 00:09:04,770 المساحة اللي هي F of K في واحد اللي هي F of K يعني 129 00:09:04,770 --> 00:09:09,010 أصغر من integration اللي أمامي اللي عندي يعني 130 00:09:09,010 --> 00:09:12,530 هذا اللي هو تمام هذا اللي أنا مسميها تسعة أو 131 00:09:12,530 --> 00:09:17,260 ثمانية أو اللي هي هذه هيكون عندي المساحة الكبيرة 132 00:09:17,260 --> 00:09:19,960 هذه أكبر من أو يساوي المساحة تحت الملحانة الـ 133 00:09:19,960 --> 00:09:26,140 integration أصغر من أو يساوي أو أكبر من أو يساوي المساحة 134 00:09:26,140 --> 00:09:30,680 الأخيرة اللي هي المستطيل هذا اللي طوله F of K في 135 00:09:30,680 --> 00:09:38,690 مين أو عرضه واحد يعني K في الواحد يعني F of K أصغر من 136 00:09:38,690 --> 00:09:39,770 أصغر وأصغر وأصغر وأصغر وأصغر وأصغر وأصغر و 137 00:09:39,770 --> 00:09:42,770 أصغر وأصغر وأصغر وأصغر وأصغر وأصغر وأصغر و 138 00:09:42,770 --> 00:09:43,150 أصغر وأصغر وأصغر وأصغر وأصغر وأصغر وأصغر و 139 00:09:43,150 --> 00:09:44,770 أصغر وأصغر وأصغر وأصغر وأصغر وأصغر وأصغر و 140 00:09:44,770 --> 00:09:56,800 أصغر وأصغر وأصغر وأصغر وأصغر وأصغر وأصغر لأ 141 00:09:56,800 --> 00:10:02,120 اللي هو هذا المقدار كله من عند N من عند 1 لعند N 142 00:10:02,120 --> 00:10:08,720 يعني صار عندي الآن الـ summation الـ summation للـ F 143 00:10:08,720 --> 00:10:14,560 of K كي من عند 2 لعند N أصغر أو يساوي الـ 144 00:10:14,560 --> 00:10:22,220 integration summation طبعاً K-1 لعند K F of T DT K 145 00:10:22,220 --> 00:10:27,360 من عند 2 لعند N أصغر أو يساوي الـ summation F of K 146 00:10:27,360 --> 00:10:35,100 -1 K من عند 2 لعند N تلاحظ هذا الـ summation اللي 147 00:10:35,100 --> 00:10:41,060 هو من عند 2 يعني الـ integration من 1 ل 2 زاد الـ 148 00:10:41,060 --> 00:10:46,820 integration من 2 ل 3 زاد من 3 ل 4 لما نقصل من عند 149 00:10:46,820 --> 00:10:52,140 اللي هو N ناقص 1 ل عند الـ N يعني كل مجموع هذا 150 00:10:52,140 --> 00:10:56,800 هيبقى عبارة عن الـ integration من 1 ل عند الـ N هذا 151 00:10:56,800 --> 00:11:02,360 F of T DT أزرع وساوي الـ summation هذا اللي هو 152 00:11:02,360 --> 00:11:10,170 عبارة عن F of K من عند 2 F of 2 ناقص F of 1 يعني F of 153 00:11:10,170 --> 00:11:18,810 واحد زائد F of 2 زائد F of N ناقص 1 ماشي الحال الآن هذا 154 00:11:18,810 --> 00:11:22,610 أكبر أو يساوي هذا الـ summation عبارة عن مين يا 155 00:11:22,610 --> 00:11:27,670 جماعة اللي هو عبارة عن F of 2 زي F of 3 لما أصل 156 00:11:27,670 --> 00:11:32,450 عند آخر واحد اللي هو F of N في الواقع هذا مين هذا 157 00:11:32,450 --> 00:11:38,130 عبارة عن S N نفسه بس خاسس مين منه الـ F of 1 يعني 158 00:11:38,130 --> 00:11:42,050 ناقص F of 1 أصغر أو يساوي الـ integration من 1 لـ N 159 00:11:42,050 --> 00:11:46,970 F of T DT أصغر أو يساوي هذا عبارة عن الـ summation 160 00:11:46,970 --> 00:11:51,450 لمين من عند واحد لعند N ناقص واحد يعني S N ناقص 161 00:11:51,450 --> 00:11:55,910 واحد لذا حصلنا على اللي هي الـ equality اللي أمامي 162 00:11:55,910 --> 00:12:00,910 اللي هو التالية عند الـ integration من واحد لعند N 163 00:12:00,910 --> 00:12:06,190 F of PDT صارت بين الـ S N ناقص واحد وأكبر أو يساوي 164 00:12:06,190 --> 00:12:13,290 S N ناقص اللي هي F of واحد طيب نيجي الآن نكمل اللي 165 00:12:13,940 --> 00:12:21,700 بدنا إياه أو نصل للي بدنا إياه الآن عندي اللي هو 166 00:12:21,700 --> 00:12:27,300 صار اللي هي القيمة هذه هيها بين اللي هو S N ناقص 167 00:12:27,300 --> 00:12:33,020 واحد وأكبر أو يساوي S N ناقص مين F of واحد الآن 168 00:12:33,020 --> 00:12:36,980 لو فرضنا أن الـ limit للـ S N exist يعني الـ series 169 00:12:36,980 --> 00:12:40,940 هذه الـ summation مع نهايتها F of K من واحد لما لها 170 00:12:40,940 --> 00:12:44,960 نهاية أو من اثنين لما نهايتها exist هيكون عندي هذا 171 00:12:44,960 --> 00:12:48,840 exist وهذا exist لازم الـ limit اللي في النص إيش 172 00:12:48,840 --> 00:12:52,500 ماله برضه يطلع إيش ماله exist إذا صار limit 173 00:12:52,500 --> 00:12:55,680 للـ improper integral exist يعني لو كانت الـ series 174 00:12:55,680 --> 00:13:00,280 converges هتكون الـ improper integral إيش ماله converts 175 00:13:00,580 --> 00:13:04,540 الآن بنفس الطريقة هنعمل مين؟ هنعمل اللي هو 176 00:13:04,540 --> 00:13:08,820 بالنسبة لمين؟ بالنسبة للي هي conversely بدنا 177 00:13:08,820 --> 00:13:12,440 نفترض أن الـ improper integral converge ونصل أنه 178 00:13:12,440 --> 00:13:19,180 الـ series converge الآن زي ما قلنا Sn ناقص F of 1 179 00:13:19,180 --> 00:13:23,720 طلعت عندي أصغر أو يساوي الـ integration من 1 لـ N F 180 00:13:23,720 --> 00:13:30,360 of T DT وهذا أصغر أو يساوي Sn ناقص 1 الآن أنا زي ما 181 00:13:30,360 --> 00:13:35,360 حصرت اللي هي فرضت أنا limit الـ Sn exist وحصرت الـ 182 00:13:35,360 --> 00:13:38,640 integration بين اللي هو اثنين الـ summation هدول الـ 183 00:13:38,640 --> 00:13:41,960 partial sums وقلنا هذا exist الـ limit له وهذا 184 00:13:41,960 --> 00:13:45,660 exist له إذا هذا إيه الـ الشمال اللي جوا exist بدي 185 00:13:45,660 --> 00:13:50,280 أعمل في الـ integration أو في الـ integration اللي 186 00:13:50,280 --> 00:13:53,580 عملته مع اللي هو مين اللي هو الـ partial sums أو 187 00:13:53,580 --> 00:13:58,310 الـ improper integral مع الـ series كيف؟ لأن هذا صحيح 188 00:13:58,310 --> 00:14:04,050 لكل N ماشي الحال الآن عندي هذا أكيد أكبر أو يساوي 189 00:14:04,050 --> 00:14:08,310 الآن لو قلنا أصغر أو يساوي Sn ناقص واحد عندي 190 00:14:08,310 --> 00:14:11,530 Sn ناقص F of واحد أكبر أو يساوي هذا أصغر أو يساوي 191 00:14:11,530 --> 00:14:15,930 هذا وهذا أصغر أو يساوي مين؟ الثاني اللي عندي هذا 192 00:14:15,930 --> 00:14:21,830 الآن عندي بدي أحصر هذا أخليه بين two integrations 193 00:14:21,830 --> 00:14:26,090 أو أخلي هذا بين two integrations أي واحد منهم بنفع 194 00:14:26,680 --> 00:14:30,780 الآن عندي من هذا نفسه الـ integration من واحد لعند 195 00:14:30,780 --> 00:14:39,500 f of t dt صار اللي هو زائد F of واحد أكبر أو يساوي 196 00:14:39,500 --> 00:14:45,860 مين الـ Sn ماشي الـ S N من هنا من هنا الـ S N أكبر أو 197 00:14:45,860 --> 00:14:49,460 يساوي اللي هو الـ integration من واحد بدل الـ N نقص 198 00:14:49,460 --> 00:14:54,040 واحد حطيت مين الـ N ماشي فبيصير عند هذه بدل الـ N 199 00:14:54,040 --> 00:14:58,740 برضه بتصير الـ integration من F of T DT من واحد 200 00:14:58,740 --> 00:15:02,240 لعند N زائد واحد لأنه هذه أكبر من هذه بزيادة واحد 201 00:15:02,240 --> 00:15:05,900 هي هذه أكبر من هذه بواحد من فوق إذا صار عند الـ S 202 00:15:05,900 --> 00:15:10,300 N بين هذه الكمية وهذه الكمية لأن لو فرضنا أنه الـ 203 00:15:10,300 --> 00:15:16,770 limit للـ integration من 1 لـ N F of T DT as N goes 204 00:15:16,770 --> 00:15:21,690 to infinity exist مدام هذا exist الـ limit إذا حصل 205 00:15:21,690 --> 00:15:25,630 هذا كله على بعضه هذا limit exist وهذا هيتلع exist 206 00:15:25,630 --> 00:15:29,370 إذا اللي هيتلع عنده limit اثر إن إيش exist إذا 207 00:15:29,370 --> 00:15:32,650 similarly if limit للـ integration أو الـ improper 208 00:15:32,650 --> 00:15:37,090 integral exist إذا هيتلع limit للأثر إن exist هو 209 00:15:37,090 --> 00:15:42,860 يعني وضحتها أمامكم therefore اللي أثبتناه إنه الـ 210 00:15:42,860 --> 00:15:45,860 summation للـ F of N N من واحد لما لا نهاية اللي هو 211 00:15:45,860 --> 00:15:49,580 الـ series exist يعني limit للـ S n exist if and 212 00:15:49,580 --> 00:15:52,360 only if الـ improper integral exist يعني limit الـ 213 00:15:52,360 --> 00:15:56,100 integration واحد لعند N exist هذا اللي هو اللي 214 00:15:56,100 --> 00:16:00,820 أثبتناه لحتى الآن الآن ضال علي أثبت الجزء الثاني 215 00:16:00,820 --> 00:16:08,360 من اللي هو النظرية اللي هو في حالة مين الـ 216 00:16:08,360 --> 00:16:14,140 Convergence في حالة الـ Convergence لـ Series أو 217 00:16:14,140 --> 00:16:19,300 لـ Improper Integral بدنا نحقق الـ Estimate اللي 218 00:16:19,300 --> 00:16:25,220 هو... اللي هو عندي S ناقص S N يكون بين اللي هو الـ 219 00:16:25,220 --> 00:16:29,160 Two Integration اللي حكينا عنه إشي اللي بقوله نشوف 220 00:16:29,160 --> 00:16:32,600 الآن 221 00:16:32,600 --> 00:16:41,210 نيجي نركز الآن finally assuming الـ relation a for k 222 00:16:41,210 --> 00:16:46,810 بساوي N summing the relation a for k بالن زائد 223 00:16:46,810 --> 00:16:49,890 واحد لعند N we obtain إيش هي الـ relation اللي 224 00:16:49,890 --> 00:16:53,530 حطيتها قبل شوية اللي عبارة عن الـ integration من 225 00:16:53,530 --> 00:16:58,430 واحد لعند N F of T DT أصغر أو يساوي هتبتدي 226 00:16:58,430 --> 00:17:02,490 استخدامها كمان مرة للوصول للـ estimation اللي بدي إياها 227 00:17:03,180 --> 00:17:07,240 أظهر يساوي Sn ناقص واحد وأكبر أو يساوي مين يا 228 00:17:07,240 --> 00:17:13,400 جماعة اللي هو Sn ناقص F of واحد الآن هذه بدنا 229 00:17:13,400 --> 00:17:17,780 اللي هو نعمل summation لها من N زائد واحد لعند 230 00:17:17,780 --> 00:17:24,440 مين لعند M يعني بدي أجي اللي هو أعمل الـ summation 231 00:17:24,440 --> 00:17:38,450 اللي أمامي فبيصير عندي الـ Summation لمن؟ لـ N زائد 232 00:17:38,450 --> 00:17:43,410 واحد لعند مين لعند N خلينا نجمحها خد الـ 233 00:17:43,410 --> 00:17:48,490 Summation الـ summation عندي هي عندي بيصير الـ 234 00:17:48,490 --> 00:17:54,990 summation ل الـ integration اللي 235 00:17:54,990 --> 00:17:59,390 أمامي خليني أرجع لكم لها بس عشان تكون الأمور ت... 236 00:17:59,390 --> 00:18:03,530 ت... من وين... قبل... لأ آسف مش هذه نيجي لها اللي 237 00:18:03,530 --> 00:18:07,370 هي تسعة اللي هالة لأن هذه بعد ما انتجمعت الآن بدي 238 00:18:07,370 --> 00:18:14,830 أجمعها من عند اللي هو N زائد واحد لعند اللي هو 239 00:18:17,110 --> 00:18:23,930 حيث M أكبر من N خليني أجمحها هذه لأن هذه مجموعة 240 00:18:23,930 --> 00:18:29,230 خالصة خليني أجمح هذه لأن خد اجمع لي هذه عندي خد 241 00:18:29,230 --> 00:18:33,610 summation حسابات summation K من عند N زائد واحد 242 00:18:33,610 --> 00:18:39,300 لعند M حيث اللي هو الـ N مفترضها أكبر من N اللي هي 243 00:18:39,300 --> 00:18:43,060 أصغر أو يساوي summation K من N زائد واحد لعند M 244 00:18:43,060 --> 00:18:48,460 حسابات summation K من عند M زائد واحد لعند مين 245 00:18:48,460 --> 00:18:55,170 لعند M الآن هذا في الواقع يا جماعة احنا قلنا الـ S N 246 00:18:55,170 --> 00:19:02,070 هي summation للـ F of K K من عند اللي هو واحد لعند 247 00:19:02,070 --> 00:19:07,430 مين لعند N وقلنا الـ S N طبيعي هتكون summation للـ F 248 00:19:07,430 --> 00:19:14,690 of K K من عند واحد لعند N الآن اطرح هذه من هذه هيظل 249 00:19:14,690 --> 00:19:17,870 الـ summation من N زائد واحد لعند مين عند N يعني 250 00:19:17,870 --> 00:19:23,030 هذه في الواقع هي عبارة عن S M ناقص إيش ناقص S N 251 00:19:23,030 --> 00:19:27,610 أصغر أو يساوي الـ summation اللي أمامي الـ summation 252 00:19:27,610 --> 00:19:34,130 هذا اللي هو من عند N زائد واحد من N زائد واحد لعند 253 00:19:34,130 --> 00:19:44,700 N ومن N لعند N زائد اثنين ومن N زائد 2 لعند N زائد 254 00:19:44,700 --> 00:19:48,900 3 لما أصل من عند M ناقص واحد لعند M زي ما عملنا 255 00:19:48,900 --> 00:19:58,590 قبل شوية هيطلع عبارة عن من N لمين لعند M DT هذا 256 00:19:58,590 --> 00:20:02,770 أصغر أو يساوي اللي هو الـ summation اللي هو الأخير 257 00:20:02,770 --> 00:20:09,050 بنفس الأسلوب ونشوف إيش اللي هيلزمنا عندي هذا زي ما 258 00:20:09,050 --> 00:20:11,790 عملت فوق بالظبط بس هذه بتاخدها في عين الاعتبار إن 259 00:20:11,790 --> 00:20:16,970 هي بتبدأ من عند من عند K-1 يعني اللي هي هذه بتبدأ 260 00:20:16,970 --> 00:20:22,930 تصير N لعند اللي هو مين اللي هي M-1 يعني بمعنى آخر 261 00:20:22,930 --> 00:20:29,530 عبارة عن S M-1 Sn ناقص واحد حسب ما اللي هي حسبنا 262 00:20:29,530 --> 00:20:34,530 فوق أو زي ما حسبنا فوق فبنكون حصلنا على هذه الـ 263 00:20:34,530 --> 00:20:38,310 Inequality نشوف هذه الـ Inequality كيف بدنا نستخدمها 264 00:20:38,310 --> 00:20:43,750 للوصول للي بدنا إياه الآن M أكبر من N أكيد فعندي Sn 265 00:20:43,750 --> 00:20:48,870 ناقص Sn اللي هي صارت اللي هي أصغر أو يساوي الـ 266 00:20:48,870 --> 00:20:52,490 integration من N لعند M اللي أوجدتها وأصغر أو 267 00:20:52,490 --> 00:20:55,910 يساوي الـ Sn ناقص واحد ناقص Sn ناقص واحد زي ما 268 00:20:55,910 --> 00:21:01,280 قلنا اللي هذا سميناها إيه يا أستاذ الآن من الـ star 269 00:21:01,280 --> 00:21:06,560 خلينا نركز على المنطقة اللي هي الآن بتاخد الـ 270 00:21:06,560 --> 00:21:11,220 integration من N زائد واحد عند M زائد واحد F of T 271 00:21:11,220 --> 00:21:16,420 DT ماشي الحال هيصير عبارة عن N زائد واحد وهذا M 272 00:21:16,420 --> 00:21:20,000 زائد واحد بناء عليها هتصير M زائد واحد ناقص واحد 273 00:21:20,000 --> 00:21:24,000 يعني M و N زائد واحد ناقص واحد يعني N فبيصير الـ 274 00:21:24,000 --> 00:21:27,340 integration من N زائد واحد عند M زائد واحد F of T 275 00:21:27,340 --> 00:21:30,360 DT أصغر وأصغر و Sn ناقص من SN 276 00:21:33,320 --> 00:21:39,900 الآن بتنتين مع بعض اللي هي Sm ناقص ل Sn هيها أصغر 277 00:21:39,900 --> 00:21:43,740 أو يساوي الـ integration من N لعند M F of T DT هي 278 00:21:43,740 --> 00:21:49,340 هذه أصغر أو يساوي هذه كتبت هنا وهذه كتبت هنا Sm 279 00:21:49,340 --> 00:21:51,660 ناقص ل Sn أكبر من الـ integration من N زائد واحد 280 00:21:51,660 --> 00:21:56,850 لعند مين لعند M زائد واحد لأن احنا متفقين إن الـ 281 00:21:56,850 --> 00:22:00,870 series converge و the proper integral converge إذا 282 00:22:00,870 --> 00:22:04,030 الآن خذ لـ M ووديها لما لا نهاية لما إحنا ماخدين ال 283 00:22:04,030 --> 00:22:07,590 M شمالها أكبر من الآن بوديها زي ما بده وبتظلها 284 00:22:07,590 --> 00:22:11,570 الآن زي ما بدها الآن as M goes to infinity هتصير 285 00:22:11,570 --> 00:22:15,030 هذه عبارة عن الـ summation للـ series يعني هتصير S 286 00:22:15,030 --> 00:22:18,600 هذه إذاً هذا سيصبح S وهذا سيصبح له proper integral 287 00:22:18,600 --> 00:22:21,860 من N زائد واحد إلى ما لا نهاية وهذا سيصبح له 288 00:22:21,860 --> 00:22:26,260 proper integral من N إلى ما لا نهاية يعني سيصبح 289 00:22:26,260 --> 00:22:31,360 لدي بالضبط الـ S ناقص S N أكبر أو يساوي من N زائد 290 00:22:31,360 --> 00:22:36,340 واحد إلى ما لا نهاية ومن N إلى ما لا نهاية وهو هذا 291 00:22:36,340 --> 00:22:42,040 اللي مطلوب اللي إحنا طلبناه من أول النظرية وقلنا 292 00:22:42,040 --> 00:22:46,760 حيث الـ S هي اللي بتمثل اللي هو limit لـ SM أو هي 293 00:22:46,760 --> 00:22:51,460 عبارة عن قيمة الـ series من واحد إلى ما لا نهاية 294 00:22:51,820 --> 00:22:58,540 examples بدنا الآن نحاول نستخدم اللي هو النظريات 295 00:22:58,540 --> 00:23:03,360 اللي قبل بشوية نوظفها للـ examples اللي عندنا وهذه 296 00:23:03,360 --> 00:23:07,200 طبعاً هتلاقيها معظمها إنتوا أخدتوها في الـ calculus 297 00:23:07,200 --> 00:23:11,700 نذكرها بشكل سريع بس عشان إنه نشوف الـ applications 298 00:23:11,700 --> 00:23:16,440 لهذه النظريات اللي إحنا مركزين على اللي هو النظـ 299 00:23:16,440 --> 00:23:20,520 ر التحليلية لها أو بمعنى آخر على براهين اللي هي 300 00:23:20,520 --> 00:23:24,020 النظريات Show that the b series summation 1 ده لأن 301 00:23:24,020 --> 00:23:29,440 b diverges for b أصغر أو يساوي 1 الآن بدنا نستخدم 302 00:23:29,440 --> 00:23:34,920 الـ comparison test فعنده الآن إن قص بي أصغر أو 303 00:23:34,920 --> 00:23:38,940 يساوي أن أكيد لكل أن element in N و الـ بي شمالها 304 00:23:38,940 --> 00:23:42,120 أصغر أو يساوي واحد يعني لـ الـ بي اللي أصغر من واحد 305 00:23:42,120 --> 00:23:47,080 هيكون أن قص بي أكيد أصغر أو يساوي من أن الآن مقلبه 306 00:23:47,080 --> 00:23:50,140 هينقلب واحدة لأن بي أكبر أو يساوي واحدة لأن الآن 307 00:23:50,140 --> 00:23:54,800 الـ summation هذا اللي diverse إذا من باب أولى هيكون 308 00:23:54,800 --> 00:23:58,380 الكبير by comparison test diverse إذا الـ summation 309 00:23:58,380 --> 00:24:01,400 واحد على N بيه diverse for بيه أصغر أو يساوي واحد 310 00:24:01,400 --> 00:24:04,860 وهذا الكلام سهل وإنتوا بتعرفوه إذا نيجي للـ 311 00:24:04,860 --> 00:24:08,540 summation واحد على N تربيع بدنا نشوف كيف هي إياه 312 00:24:08,540 --> 00:24:12,740 converse بدنا الآن نقارنها بـ Series إحنا أخدناها 313 00:24:12,740 --> 00:24:15,620 إنها ضعيفة Converse مين الـ Series اللي أخدناها 314 00:24:15,620 --> 00:24:18,100 الـ Converse اللي هي الـ Telescoping اللي هي 315 00:24:18,100 --> 00:24:21,620 Summation واحدة لـ N في N زائد واحد قلنا عنها دي 316 00:24:21,620 --> 0:24:24,220 إيش مالها أثبتناها المرة الماضية إنها Converse 317 00:24:24,220 --> 00:24:28,640 طيب، الآن هذه مدام هي هت Converge الـ series اللي عند 318 00:24:28,640 --> 00:24:34,160 الـ series هت Converge إذا by example اللي هو 918E هت 319 00:24:34,160 --> 00:24:37,840 Converge بدنا اللي هو نستخدم اللي هو الـ 320 00:24:37,840 --> 00:24:41,180 Comparison Test الآن ماقدرش نستخدم الـ direct ليش 321 00:24:41,180 --> 00:24:45,280 ماقدرش نستخدم الـ direct لإنه الآن الـ summation 322 00:24:45,280 --> 00:24:50,440 اللي هو الـ الـ الـ واحد على n في n زائد واحد اللي هي 323 00:24:50,440 --> 00:24:53,880 الـ convergence هذه اللي هي أصغر أو يساوي واحد على 324 00:24:53,880 --> 00:24:57,800 مين على n تربيع فالآن هذه convergence صح لكن اللي 325 00:24:57,800 --> 00:25:00,120 أكبر منها مش شرط إنها تكون convergence وماقدرش 326 00:25:00,120 --> 00:25:04,080 نحكم الـ comparison test إذا بدنا نستخدم الـ limit 327 00:25:04,080 --> 00:25:07,380 comparison test خذ الـ limit اللي هي 1 على n فان 328 00:25:07,380 --> 00:25:11,040 زائد 1 على 1 على n تربيع بيصير limit عبارة عن n 329 00:25:11,040 --> 00:25:14,680 على n زائد 1 مع الاختصارات اللي هو طبعاً هذا ال 330 00:25:14,680 --> 00:25:17,360 limit اللي هي as n goes to infinity هذي بيصير 1 331 00:25:17,360 --> 00:25:20,820 على 1 زائد 1 على n هذي بتروح للسفر وبتظلها 1 و ال 332 00:25:20,820 --> 00:25:24,140 1 أكيد مش سفر ما زي ما يطلع عند الـ limit لأ اللي 333 00:25:24,140 --> 00:25:28,310 هو ال .. ال .. ال .. ال ..الـ .. ال .. ال .. ال 334 00:25:28,310 --> 00:25:30,870 limit لـ ال .. ال .. ال comparison test أو اللي هي 335 00:25:30,870 --> 00:25:33,990 الـ two series هذول اللي على بعض الـ XN على الـ YN 336 00:25:33,990 --> 00:25:37,610 بيساوى رقم إذا التنتين converged أو التنتين 337 00:25:37,610 --> 00:25:41,550 diverged وبناء على الحديث إنه بما إنه هذه اللي هي 338 00:25:41,550 --> 00:25:45,090 الـ telescope كانت converged إذا الواحد على N تربيع 339 00:25:45,090 --> 00:25:50,530 أو صمشي للواحد على N تربيع is convergent طيب هذا 340 00:25:50,530 --> 00:25:56,030 كلام كله إنتوا طبعاً بتاخدوه في الـ .. هو أخدته كثير 341 00:25:56,030 --> 00:25:58,830 منه في الـ calculus ولكن إحنا عشان يكتمل الموضوع 342 00:25:58,830 --> 00:26:02,770 بدنا ناخد أمثلة على اللي برهنناهم اللي هان show 343 00:26:02,770 --> 00:26:08,190 that summation 1 على n بي converts for b يشمل أكبر 344 00:26:08,190 --> 00:26:12,370 أو يساوي واحد بي أكبر أو يساوي أسف أكبر من واحد 345 00:26:12,370 --> 00:26:15,270 strictly P أكبر أو P أكبر أو P أكبر أو P أكبر أو P 346 00:26:15,270 --> 00:26:16,850 أكبر أو P أكبر أو P أكبر أو P أكبر أو P أكبر أو P 347 00:26:16,850 --> 00:26:22,690 أكبر أو P أكبر أو P أكبر أو P أكبر أو P أكبر أو P 348 00:26:22,690 --> 00:26:25,810 أكبر أو P أكبر أو P أكبر أو P أكبر أو P أكبر أو P 349 00:26:25,810 --> 00:26:28,150 أكبر أو P أكبر أو P أكبر أو P أكبر أو P أكبر أو P 350 00:26:28,150 --> 00:26:29,090 أكبر أو P أكبر أو P أكبر أو P أكبر أو P أكبر أو P 351 00:26:29,090 --> 00:26:30,170 أكبر أو P أكبر أو P أكبر أو P أكبر أو P أكبر أو P 352 00:26:30,170 --> 00:26:30,770 أكبر أو P أكبر أو P أكبر أو P أكبر أو P أكبر أو P 353 00:26:30,770 --> 00:26:34,550 أكبر أو P أكبر أو P أكبر أو P أكبر أو P أكبر أو P 354 00:26:34,550 --> 00:26:40,020 أكبر الـ second method بيقولك أنا بدي استخدم ال 355 00:26:40,020 --> 00:26:44,000 limit comparison test اللي هو 1 على N أقص بي على 1 356 00:26:44,000 --> 00:26:48,360 على N تربيع بيساوى limit 1 على N بي minus 2 و بي 357 00:26:48,360 --> 00:26:53,000 أكبر من أو يساوي 2 إذا 1 على N بي minus 2 اللي هو 358 00:26:53,000 --> 00:26:57,660 هيساوي limit 0 مدام الـ limit 0 وعندي اللي هي اللي 359 00:26:57,660 --> 00:27:02,000 تحت converge إذا من باب أولى اللي فوق تكون 360 00:27:02,000 --> 00:27:06,130 converge إذا summation 1 على N بي اللي هو convert 361 00:27:06,130 --> 00:27:14,370 by limit comparison test طيب show 362 00:27:14,370 --> 00:27:19,170 that the ratio and the root tests fail in the case 363 00:27:19,170 --> 00:27:22,570 of B series يعني الآن لو بدنا نجرب نستخدم الـ ratio 364 00:27:22,570 --> 00:27:26,310 test و الـ root test مش هتظبط طبعاً الـ limit بنقصته 365 00:27:26,310 --> 00:27:31,680 ليش؟ بقولك لو جينا أخدنا limit الـ 1 على N أُس B 366 00:27:31,680 --> 00:27:36,080 أُس 1 على N الـ N through test هذا بيساوى الـ limit 367 00:27:36,080 --> 00:27:41,200 و N أُس 1 على N أُس minus B ماشي الـ N أُس 1 على N 368 00:27:41,200 --> 00:27:43,840 الـ limit اللي لها من example أخدناها في شبطر 3 في 369 00:27:43,840 --> 00:27:49,080 الفصل الماضي أو في تحليل 1 هذا وبرضه بتقف تعملوا 370 00:27:49,080 --> 00:27:52,340 أصلاً لحالكم الـ limit له بيساوي واحد إذا صار عندي 371 00:27:52,340 --> 00:27:56,580 واحد أقصى minus b إذا بيساوي إيش واحد الآن مدام 372 00:27:56,580 --> 00:28:01,500 طالع عندي الـ limit اللي هو الـ Xn أقصى واحدة الآن 373 00:28:01,500 --> 00:28:05,020 بيساوى واحد إذا بيقول الـ test failed الآن 374 00:28:05,020 --> 00:28:10,320 similarly لو جربنا اللي هو الـ ratio test واحدة 375 00:28:10,320 --> 00:28:13,300 الآن زيادة واحدة أقصى b على واحدة أن أقصى b بيساوى 376 00:28:13,300 --> 00:28:18,930 الـ limit لا اللي هي 1 على 1 زائد 1 على أنقص بي 377 00:28:18,930 --> 00:28:23,130 عارفين إيش اللي سوناه اللي هو جسمنا اللي هي اللي 378 00:28:23,130 --> 00:28:26,770 هنا على أنقص بي وهنا على أنقص بي صارت 1 هذا على 379 00:28:26,770 --> 00:28:29,910 أنقص بي وهذا على أنقص بي بيصير 1 زائد 1 لأن كل أس 380 00:28:29,910 --> 00:28:34,080 بي الآن صار عندي limit as n goes to infinity لازم 381 00:28:34,080 --> 00:28:39,040 يصير 1 إذا الـ test برضه الـ ratio test فاشل إذا 382 00:28:39,040 --> 00:28:46,700 مانفعش انحل الـ b series by الـ ratio test و لا ال 383 00:28:46,700 --> 00:28:48,200 anthro test 384 00:28:55,790 --> 00:29:01,050 الآن بقول لي إيش رايك تستخدمنا اللي هو الـ 385 00:29:01,050 --> 00:29:06,360 Integral Test تشوفه بيظبط في الـ B Series ولا لأ الت 386 00:29:06,360 --> 00:29:11,680 F of T بيساوي T Os minus B ده المؤهلة إنها اللي هي 387 00:29:11,680 --> 00:29:16,560 تكون اللي هي الاستخدام اللي هي 1 على T أوس بي 388 00:29:16,560 --> 00:29:21,320 1 على T أوس بي الآن وهذه الـ series decreasing 389 00:29:21,320 --> 00:29:24,960 ويمحلاها إلى آخره and recalled that الـ integration 390 00:29:24,960 --> 00:29:28,580 من 1 لعند إن 1 على T DT إيش بيساوي سهل 391 00:29:28,580 --> 00:29:31,820 إيجادها كمان عبارة عن لن الان ناقص لن الواحد لن 392 00:29:31,820 --> 00:29:36,080 الواحد سفر يعني بتبقى عند لن الان لكن as n goes to 393 00:29:36,080 --> 00:29:39,700 infinity واضح إن هذا مباشرة هيروح إلى ما لا نهاية 394 00:29:39,700 --> 00:29:45,020 يعني هذا عبارة عن diverse إذا صارت عندي الـ summation 395 00:29:45,020 --> 00:29:49,040 للواحد الان diverse by integral test عندي طبعاً الـ 396 00:29:49,040 --> 00:29:55,360 b شمالها بي أصغر أو تساوى الواحد الآن في حالة 397 00:29:55,360 --> 00:30:00,040 .. لا لا آسف الـ b هنا بتساوي الواحد الآن بدنا نشوف 398 00:30:00,040 --> 00:30:06,420 مين إن هي الحالات التانية لو جينا الـ integration 399 00:30:06,420 --> 00:30:12,560 إحنا أثبتنا لمين لـ B بتساوي واحد الآن also recall 400 00:30:12,560 --> 00:30:16,780 that الـ integration 1 على T قص بي دي T من 1 401 00:30:16,780 --> 00:30:21,120 لعند مين 1 لعند أنا بنفضل عندنا الـ بي شمالها هنا 402 00:30:21,120 --> 00:30:26,040 لا تساوي 1 كملة الآن بيصير 1 على 1 minus 403 00:30:26,040 --> 00:30:30,480 بي انقص 1 على minus بي ناقص 1 بعد ما عوضنا 404 00:30:30,480 --> 00:30:31,860 الآن هذه 405 00:30:34,860 --> 00:30:41,960 as n goes to infinity وكانت الـ b أكبر من 1 إذا 406 00:30:41,960 --> 00:30:46,520 الـ b أكبر من 1 إذا الـ b أكبر من 1 وودينا n 407 00:30:46,520 --> 00:30:52,400 إلى ما لا نهاية هذا سيصبح عبارة عن سفر وهذا عبارة 408 00:30:52,400 --> 00:30:56,240 عن ناقص 1 يعني الـ limit هذه as n goes to 409 00:30:56,240 --> 00:31:00,060 infinity في حالة الـ B أكبر من 1 هتصير هذه عبارة 410 00:31:00,060 --> 00:31:03,940 عن ناقص 1 في هذه بيصير 1 على B minus 1 411 00:31:03,940 --> 00:31:08,540 هذا في حالة الـ B أكبر من 1 إذا صارت اللي هي الـ 412 00:31:08,540 --> 00:31:12,640 integration هذا converge وبناء عليه هتكون الـ B 413 00:31:12,640 --> 00:31:16,180 series في حالة الـ B أكبر من 1 by integral test 414 00:31:16,180 --> 00:31:21,460 برضه إياه converge لكن لو كانت الـ B أصغر من 1 415 00:31:22,000 --> 00:31:25,480 الآن فبيصير عندي هذا اللي هو بيروح إلى ما لا نهاية 416 00:31:25,480 --> 00:31:29,260 فبيصير عندي لأن الـ B أصغر من 1 فبيصير عندي الـ 417 00:31:29,260 --> 00:31:33,500 integration هذا as N goes to infinity diverges و 418 00:31:33,500 --> 00:31:37,400 بناء عليه summation 1 على N B diverges هذا في 419 00:31:37,400 --> 00:31:42,060 حالة الـ B شمالها أصغر من 1 و بكون هيك إحنا 420 00:31:42,060 --> 00:31:46,220 استخدمنا ال .. ال .. ال B series في إثبات ال .. ال 421 00:31:46,220 --> 00:31:49,620 .. ال integral test في إثبات أنه الـ B series 422 00:31:49,620 --> 00:31:56,810 converges for b أكبر من واحد and diverges for b أيش 423 00:31:56,810 --> 00:32:01,950 ما لها أصغر من أو يساوي واحد وهذه اللي هي أنتو 424 00:32:01,950 --> 00:32:07,310 عارفينها الـB Series المشهورة نيجي الآن بدنا نحكي 425 00:32:07,310 --> 00:32:12,990 عن اللي هو root test أحيانا اللي هو مدامة اللي هو 426 00:32:12,990 --> 00:32:18,560 ال ratio test اللي هو fails في حالة ال limit يطلع 427 00:32:18,560 --> 00:32:24,380 لنا واحد أو يساوي واحد فبدنا إيش يخلّينا نقول يحللنا 428 00:32:24,380 --> 00:32:28,700 مشكلة اللي هو ال failure for .. for .. for اللي هو 429 00:32:28,700 --> 00:32:33,240 ظهور ال limit بساوة واحد هنا عندي root test 430 00:32:33,240 --> 00:32:38,640 بتعالج الأمر fx بساوة xn is a sequence of non-zero 431 00:32:38,640 --> 00:32:46,670 elements لو وجدنا real number a أكبر من واحد and a 432 00:32:46,670 --> 00:32:50,990 natural number k such that xn زائد واحد على xn 433 00:32:50,990 --> 00:32:54,990 أصغر من أو يساوي واحد ناقص a على n for n أكبر من أو يساوي k then ال 434 00:32:54,990 --> 00:32:58,890 summation لل xn is absolutely ايش ماله convergent 435 00:32:59,220 --> 00:33:02,500 إذا كان هناك a أصغر من أو يساوي واحد وشكل الـ K طبيعي 436 00:33:02,500 --> 00:33:06,500 كذلك الـ absolute value of xn زائد واحد على xn 437 00:33:06,500 --> 00:33:11,100 أكبر من أو يساوي واحد ناقص a على n for n أكبر من أو يساوي k فإن 438 00:33:11,100 --> 00:33:15,880 سلسلة xn ليست مطلقا متقاربة يعني باختصار عشان أريحكم 439 00:33:15,880 --> 00:33:21,920 إيش بنسوي بنحسبلنا الـ xn زائد واحد على xn إذا 440 00:33:21,920 --> 00:33:26,480 وجدنا .. إذا وجدنا نقارن هذه xn زائد واحد على xn 441 00:33:26,480 --> 00:33:31,280 بالمقدار واحد ناقص a على n إذا لجينا إن هذا 442 00:33:31,280 --> 00:33:34,540 المقدار .. المقدار اسمه واحد ناقص a على n إذا 443 00:33:34,540 --> 00:33:38,950 لجينا هذا أصغر من أو يساوي 1 ناقص على a على n وكانت 444 00:33:38,950 --> 00:33:43,050 الـ A أكبر من 1 على طول بنحكم على الـ Absolutely 445 00:33:43,050 --> 00:33:47,030 Convergent للـ Series لكن لو لجينا هذا المقدار بعد 446 00:33:47,030 --> 00:33:51,690 ما حسبناه أكبر من أو يساوي 1 ناقص A على N حتى لو كانت 447 00:33:51,690 --> 00:33:56,040 A أصغر من أو يساوي 1 صغيرة فبنقول إنه في هذه الحالة بنحكم 448 00:33:56,040 --> 00:33:59,760 على إيش على إنه ال series is not absolutely 449 00:33:59,760 --> 00:34:03,500 convergent يعني العملية عملية حسابات هذه على هذه 450 00:34:03,500 --> 00:34:08,660 ونجيبها بدلالة 1 minus a على n أو بنقرنها ب 1 451 00:34:08,660 --> 00:34:12,840 minus a على n 1 minus a على n في حالة إن ال a أصغر 452 00:34:12,840 --> 00:34:16,380 من أو يساوي واحد هتطلع لنا اللي هي هنا في هذه الحالة 453 00:34:16,380 --> 00:34:19,140 it's not absolutely convergent في حالة ال a أكبر 454 00:34:19,140 --> 00:34:24,710 من واحد is absolutely convergent وخلّينا نشوف اللي 455 00:34:24,710 --> 00:34:33,230 هو البرهان لاللي هي هذه النظرية suppose that عشرة 456 00:34:33,230 --> 00:34:39,730 holds عشرة عشرة و اللي هي اللي قبل بشوية حكيناها 457 00:34:39,730 --> 00:34:42,930 عشان تكونوا في صورة نقولكم عشرة نذكركم فيها هذه 458 00:34:42,930 --> 00:34:50,840 عشرة اللي هي xn زائد واحد xn زائد واحد على xn أصغر 459 00:34:50,840 --> 00:34:57,220 من أو يساوي 1 ناقص a على n a أكبر من 1 و n أكبر من أو يساوي k 460 00:34:57,220 --> 00:35:01,500 التاني هذا اللي سميناها عشرة اللي سميناها 11 اللي 461 00:35:01,500 --> 00:35:07,700 هو xn زائد 1 على absolute value xn أكبر من أو يساوي 462 00:35:07,700 --> 00:35:16,820 اللي هو 1 ناقص a على n و a اللي هي a شمالها أصغر من 463 00:35:17,510 --> 00:35:23,610 أو يساوي الواحد ماشي الحال طيب هي هذا عشرة وهذا 464 00:35:23,610 --> 00:35:28,150 احد عشرة عشان بعد شوية هنستخدمهم في البرهان خلوكوا 465 00:35:28,150 --> 00:35:32,800 معنا ان شاء الله البرهان مش صعب الآن suppose that 466 00:35:32,800 --> 00:35:39,080 انه عشرة holds هي for M أكبر من أو يساوي K الآن اضرب 467 00:35:39,080 --> 00:35:43,280 لطرفين في وسطين اضرب هذه في هذه بيصير عندي وبدل a 468 00:35:43,280 --> 00:35:48,980 ا بدي استخدم اللي هي M عندي بدل M زائد واحد خليني 469 00:35:48,980 --> 00:35:51,880 بيصير عند منح دعش عشان انا اجيب لكم يادي كيف اجت 470 00:35:51,880 --> 00:35:56,870 absolute value ل X M زائد واحد أصغر من أو يساوي الـ 471 00:35:56,870 --> 00:36:02,750 absolute value للـ XM مضروبة في واحد ناقص A على M، 472 00:36:02,750 --> 00:36:07,970 مظبوط؟ طيب، الآن اضربولي الجهتين في مين؟ في M 473 00:36:07,970 --> 00:36:14,640 فبصير M هنا، بصير M في هنا هو بيكون حصلنا على M في 474 00:36:14,640 --> 00:36:19,700 هذه و M في هذا المقدار دخلولي ال M الآن جوا فبصير 475 00:36:19,700 --> 00:36:23,580 absolute value XM زي ما هي أنا بصير M ناقص اللي هي 476 00:36:23,580 --> 00:36:31,020 A الآن هذه بتساوي الآن كتبتها على صورة الآن ضفت 477 00:36:31,020 --> 00:36:35,720 اللي هو واحد و طرحت واحد اللي هي هي عندي هنا طرحت 478 00:36:35,720 --> 00:36:39,800 واحد و هنا ضفت الواحد فصارت عبارة عن M ناقص واحد 479 00:36:39,800 --> 00:36:44,830 XM ناقص A ناقص واحد XM أكبر من أو يساوي K صار هذا 480 00:36:44,830 --> 00:36:50,110 المقدار بعد ما ضفت اللي هو ناقص XM وطرحت ناقص ال 481 00:36:50,110 --> 00:36:56,590 XM وضفت اللي هو ناقص اللي هو ضفة ال XM فصار عندي 482 00:36:56,590 --> 00:37:00,630 المقدار هو نفسه هذا زي ما قلت لكم لأن من نقطة فلوس 483 00:37:00,630 --> 00:37:06,680 ذات عندي ال M ناقص واحد في ال XM ناقص جيبلي هذه هنا 484 00:37:06,680 --> 00:37:13,940 وهذه وديها هناك فبصير عندي M-1 في XM ناقص لغاية M 485 00:37:13,940 --> 00:37:17,820 في XM زي 1 أكبر من أو يساوي مين اللي جت هنا هذه اللي 486 00:37:17,820 --> 00:37:24,290 A-1 في XM اللي هو هذه هتكون أكبر من 0 for M أكبر 487 00:37:24,290 --> 00:37:28,390 من أو يساوي K لأن الـA اللي عندنا إيش مفترضينها أكبر 488 00:37:28,390 --> 00:37:32,250 من 1 وهذا absolute value إذا صار المقدار هذا أكبر 489 00:37:32,250 --> 00:37:38,640 من 0 هذا إيه معناه؟ معناه أن الـ sequence اللي الـ 490 00:37:38,640 --> 00:37:44,560 M X M زائد واحد is decreasing sequence لأن اللي 491 00:37:44,560 --> 00:37:49,040 قبل ناقص اللي بعد أكبر من أو يساوي سفر يعني صار اللي 492 00:37:49,040 --> 00:37:54,940 هو اللي بعد شماله أصغر من مين من اللي قبل يعني 493 00:37:54,940 --> 00:37:59,960 صارت ال sequence M X M زائد واحد is a decreasing 494 00:37:59,960 --> 00:38:05,790 sequence for مين M أكبر من أو يساوي اتنين الآن هذه 495 00:38:05,790 --> 00:38:11,430 اللي هي ال relation اللي عندي اللي هي 12 بدنا اللي 496 00:38:11,430 --> 00:38:19,070 هو نجمعها for K for M بتساوي K لعند مين لعند and 497 00:38:19,070 --> 00:38:24,290 and we note the left side تلسكوب اللي هو نشوف كيف 498 00:38:24,290 --> 00:38:28,750 ال left side هذا تلسكوب واضح انه تلسكوب we find 499 00:38:28,750 --> 00:38:37,180 عندي أخد ال summation من عند N من عند K لعند N 500 00:38:37,180 --> 00:38:43,840 عملكم إياها هان من عند K بتساوي أو من عند M بتساوي 501 00:38:43,840 --> 00:38:51,220 K لعند مين لعند N أكبر من أو يساوي ال summation من M 502 00:38:51,220 --> 00:38:58,280 بتساوي K لعند مين لعند N هذه بتصير اللي هو K ناقص 503 00:38:58,280 --> 00:39:07,350 واحد fixed K ناقص اللي هي K في X K زائد واحد اللي 504 00:39:07,350 --> 00:39:12,190 بعدها K زائد واحد اللي هي بيصير K في X K زائد واحد 505 00:39:12,190 --> 00:39:15,250 راحت مع الأولى ناقص كده فكل واحدة بت cancel 506 00:39:15,250 --> 00:39:19,570 الثانية بتظهر أول واحدة و آخر واحدة اللي هي أول 507 00:39:19,570 --> 00:39:25,470 واحدة K ناقص واحد في X K ناقص آخر واحدة اللي هي N 508 00:39:25,470 --> 00:39:30,110 في X N زائد واحد أكبر من أو يساوي ال summation هذا 509 00:39:30,110 --> 00:39:34,560 اللي هو عبارة عن A ناقص واحد عام المشترك لأنه فيها 510 00:39:34,560 --> 00:39:39,620 بيت مضروب مضروب في مين؟ في اللي بضر من عند K لعند 511 00:39:39,620 --> 00:39:44,400 مين؟ لعند XK XK زائد واحد لعند مين؟ لعند X بكون 512 00:39:44,400 --> 00:39:51,380 حصلت على هذه اللي هي ال inequality الآن لاحظوا ما 513 00:39:51,380 --> 00:39:57,930 يليه حصلت يا جماعة انه الـ Series هذه أو الـ 514 00:39:57,930 --> 00:40:02,770 Sequence هذه عندي هذا المقدار منها مدام الـ 515 00:40:02,770 --> 00:40:08,810 Decreasing حصلت و جمعنا و استخدمنا الـ Telescoping 516 00:40:08,810 --> 00:40:15,640 حصلنا هذه أكبر من أو يساوي هذه طيب الآن هذا يظهر أن الـ 517 00:40:15,640 --> 00:40:20,900 partial sums Sn of سميش الـ Xn اللي هي صار عندهاي 518 00:40:20,900 --> 00:40:25,920 اللي هو الـ Sn مظبوط هذا الـ Sn لأنه أصغر من أو يساوي 519 00:40:25,920 --> 00:40:29,740 هذا المقدار على A-1 وA-1 عبارة عن إيه؟ عشان ثابت 520 00:40:30,560 --> 00:40:34,860 الآن الـ sequence of partial sums Sn اللي هو summation 521 00:40:34,860 --> 00:40:40,220 Xn are bounded مدان bounded إذا إيش بده يكون؟ بده 522 00:40:40,220 --> 00:40:46,580 يكون convergent ده نشوف إيش اللي بقوله أكتب فوق 523 00:40:46,580 --> 00:40:53,420 ولا .. طيب شوفوا عندي إيش 524 00:40:53,420 --> 00:40:58,990 اللي حصلنا عليه؟ اللي هو الـ Sn بساوي اللي هو ال 525 00:40:58,990 --> 00:41:00,810 summation absolute value لل 526 00:41:04,710 --> 00:41:10,610 الـ XK أو قبل حتى قبل الأسئلة حصّلنا على الـ A-1 527 00:41:10,610 --> 00:41:16,390 في الـ XK زائد absolute value لـ XN هذا كله على 528 00:41:16,390 --> 00:41:23,690 بعضه أصغر من أو يساوي اللي هو K-1 بحكيها K-1 أيشي 529 00:41:23,690 --> 00:41:29,950 معين K لأنه من عندها M أكبر من أو يساوي من K K أيشي 530 00:41:29,950 --> 00:41:36,200 معين K-1 في ال absolute value لXK ناقص N في الـ 531 00:41:36,200 --> 00:41:41,040 absolute value XN زائد واحد ماشي الحال هذه الـ N 532 00:41:41,040 --> 00:41:51,800 عالميل على ال A ناقص واحد لأن هذا المقدار أصغر من أو 533 00:41:51,800 --> 00:41:58,040 يساوي هذا وهذا أكيد أكيد هذا أصغر من أو يساوي ال K 534 00:41:58,040 --> 00:42:03,400 ناقص واحد في absolute value XK على A ناقص واحد 535 00:42:03,860 --> 00:42:07,840 لأنه الآن الـ Schilt اللي هو المقدار هذا السالب 536 00:42:07,840 --> 00:42:12,520 اللي مطروح إذاً هذا بيكبر فصار هذا المقدار أصغر من أو 537 00:42:12,520 --> 00:42:17,700 يساوي هذا هذا ال K عبارة عن fixed رقم fixed number 538 00:42:17,700 --> 00:42:21,120 اللي هو لإنه احنا بديه من عند K أكبر أو أكبر يساوي 539 00:42:21,120 --> 00:42:26,080 K إذاً K إشي معين بحكي عنه إذاً هذا المقدار من XK 540 00:42:26,080 --> 00:42:30,720 لعند ال XN أصغر من أو يساوي هذاماشي الحال إذا صار 541 00:42:30,720 --> 00:42:42,880 عندي اللي هو المقدار هذا هو عبارة عن sn-sk-1 مظبوط 542 00:42:42,880 --> 00:42:47,780 ولا لأ؟ أكيد للـ absolute values طبعاً يعني بمعنى 543 00:42:47,780 --> 00:42:52,720 آخر صار Sn أصغر من أو يساوي Sk-1 برضه عدد عدد عدد 544 00:42:52,720 --> 00:43:01,500 معين زائد اللي هو K-1 في XK على A-1 صار هذا Sn 545 00:43:01,500 --> 00:43:08,570 أصغر من أو يساوي هذالكل N أكبر من أو يساوي K يعني صارت 546 00:43:08,570 --> 00:43:11,850 الـ S N is bounded يعني بمعنى أخر، طبعا هذا أكبر 547 00:43:11,850 --> 00:43:15,390 من أو يساوي سفر أكيد الـ N، إذا limit الـ S N as N 548 00:43:15,390 --> 00:43:19,910 goes to infinity مهما كبرت الـ N، هذه ما لهاش 549 00:43:19,910 --> 00:43:23,650 علاقة فيها الـ N لأنه N أكبر من أو يساويها، إذا أصغر 550 00:43:23,650 --> 00:43:27,560 من أو يساوي الـ S K ناقص واحد زائد K ناقص واحد في 551 00:43:27,560 --> 00:43:31,660 الـ absolute value of xk على a-1 بمعنى آخر صارت 552 00:43:31,660 --> 00:43:36,640 الـ Sn is convergent أو بمعنى آخر الصممش لل 553 00:43:36,640 --> 00:43:40,040 absolute value of xn is convergent يعني هتصير 554 00:43:40,040 --> 00:43:44,660 السيريز عندي is absolutely convergent 555 00:43:46,650 --> 00:43:51,190 طيب نيجي الآن هذا تفسير انه اللي هو this shows the 556 00:43:51,190 --> 00:43:53,510 .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. 557 00:43:53,510 --> 00:43:53,850 ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. 558 00:43:53,850 --> 00:43:54,190 .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. 559 00:43:54,190 --> 00:43:56,030 ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. 560 00:43:56,030 --> 00:43:57,570 .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. 561 00:43:57,570 --> 00:43:57,730 ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال 562 00:43:57,730 --> 00:43:57,890 .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. 563 00:43:57,890 --> 00:43:57,990 .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. 564 00:43:57,990 --> 00:43:58,010 ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال 565 00:43:58,010 --> 00:43:58,330 .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. 566 00:43:58,330 --> 00:44:04,710 ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. 567 00:44:04,710 --> 00:44:06,150 ال .. ال .. 568 00:44:15,000 --> 00:44:24,940 نأخذ الجزء الثاني الـ similarly نشوف كيف suppose 569 00:44:24,940 --> 00:44:29,660 that suppose that the relation 11 هيها ال relation 570 00:44:29,660 --> 00:44:34,700 11 holds for n أكبر أو يساوي k وطبعا احنا مفترضين ال 571 00:44:34,700 --> 00:44:39,640 a أصغر أو يساوي واحد الآن صار عندي ال n ضربنا طرفين 572 00:44:39,640 --> 00:44:42,800 في وسطين نفس الشيء فبيصير عندي زي ما عملنا قبل 573 00:44:42,800 --> 00:44:47,880 شوية ضربنا هذا بيصير عندي ال n اللي هو xn زائد واحد 574 00:44:48,690 --> 00:44:53,530 a أصغر أكبر أو يساوي هذا في هذا وضربنا في n فصارت 575 00:44:53,530 --> 00:44:57,890 ال n في xn زائد واحد أكبر أو يساوي لما ضربت ال n 576 00:44:57,890 --> 00:45:04,070 هنا بيصير n ناقص a في ال absolute value لل xn الآن 577 00:45:04,070 --> 00:45:08,910 ال a أصغر يساوي واحد إذا ناقص ال a أكبر يساوي ناقص 578 00:45:08,910 --> 00:45:12,230 واحد فما دام ناقص ال a أكبر يساوي ناقص واحد إذا 579 00:45:12,230 --> 00:45:15,710 صارت عندي n ناقص a في absolute value xn أكبر يساوي 580 00:45:15,710 --> 00:45:19,070 n ناقص واحد في absolute value xn لكل n ناقصة وk 581 00:45:19,070 --> 00:45:24,200 هذه لأن ال a أصغر يساوي واحد الآن صار عندي الآن واضح 582 00:45:24,200 --> 00:45:28,580 أنه ال sequence اللي هو الآن xn زائد واحد أكبر أو 583 00:45:28,580 --> 00:45:31,960 يساوي n ناقص واحد xn يعني ال sequence هذه صارت 584 00:45:31,960 --> 00:45:35,900 increasing for n أكبر أو يساوي k ما زم increasing 585 00:45:35,900 --> 00:45:40,680 إذا there exists c such that الآن في ال absolute 586 00:45:40,680 --> 00:45:45,300 value xn زائد واحد أكبر من مين؟ من c for n أكبر أو 587 00:45:45,300 --> 00:45:49,750 يساوي k ماشي الحال صارت مدام هذه ال series increasing 588 00:45:49,750 --> 00:45:55,630 إذا أكيد هتكون أكبر من أي شيء ومن some c لأنها 589 00:45:55,630 --> 00:46:00,630 بتتزايد مدام صارت أكبر من some c وليكن الحد الأول 590 00:46:00,630 --> 00:46:05,230 مثلا and some absolute value xn زائد واحد أصغر من 591 00:46:05,230 --> 00:46:11,300 c عالمين على ال and قسمنا على مين؟ على الآن الآن هذه 592 00:46:11,300 --> 00:46:15,460 ال series diverse تبعتها ال series هذه تبعت اللي 593 00:46:15,460 --> 00:46:18,760 هي واحدة الآن diverse إذا من باب أولى بال 594 00:46:18,760 --> 00:46:23,100 comparison test هذه تكون diverse أو بمعنى آخر ال 595 00:46:23,100 --> 00:46:27,580 series summation xn is not absolutely convergent 596 00:46:27,930 --> 00:46:33,170 وهذا هو الـ Reopts Test الآن ناخذ الـ Corollary له 597 00:46:33,170 --> 00:46:37,150 الـ Corollary طبعا هتنسحب على إيش يا جماعة؟ 598 00:46:37,150 --> 00:46:41,110 هتنسحب زي ما هو المنهج اللي بنعمله إحنا بناخد ال 599 00:46:41,110 --> 00:46:44,910 test وبناخد ال limit تبعه أو limit test تبعه وهنا 600 00:46:44,910 --> 00:46:48,870 ال limit test تبع ال Reopts Test نشوف إيش اللي 601 00:46:48,870 --> 00:46:51,770 بيعطينا إياه وعادة اللي هي ال limits بتكون في 602 00:46:51,770 --> 00:46:56,150 الغالب أسهل أو أسهل في التعامل من اللي هو ال 603 00:46:56,150 --> 00:47:01,180 comparison العادي Latex بيساوي XN بيه sequence of 604 00:47:01,180 --> 00:47:05,340 non-zero real numbers يعني إيش مالها sequence of 605 00:47:05,340 --> 00:47:08,320 non-zero real numbers ماشي مش .. مش .. مش صفار 606 00:47:08,320 --> 00:47:11,580 يعني عشان هيك أصلا فوق احنا لما أخذنا strictly 607 00:47:11,580 --> 00:47:16,040 أكبر من C لإنه هنا .. هنا .. هنا يعني مزام 608 00:47:16,040 --> 00:47:22,130 sequence of non-zero اللي هو numbers عشان لو حد سأل 609 00:47:22,130 --> 00:47:27,250 عن اللي فوق هذه كيف أكبر من C اللي هو strictly 610 00:47:27,250 --> 00:47:31,190 هذول non-zero لو كان أول واحد non-zero إذا قيمته 611 00:47:31,190 --> 00:47:34,550 strictly أكبر من 0 يعني له قيمة محددة والبعده بيكون 612 00:47:34,550 --> 00:47:38,750 أكبر منه إذا أكيد في عندي بديت من رقم C اللي هو 613 00:47:38,750 --> 00:47:43,010 اللي هو ال term الأول اللي هو ال XK مثلا وبعده 614 00:47:43,010 --> 00:47:46,370 بيصير كل اللي بعده أكبر منه اللي هو أكبر strictly 615 00:47:46,370 --> 00:47:52,310 من C وزي ما وصلنا اللي هو diversity إذا الآن let X 616 00:47:52,310 --> 00:47:55,310 بيساوي XN بيبقى sequence of non-zero real numbers 617 00:47:55,310 --> 00:48:01,110 and let A بيساوي limit N في واحد ناقص XN زائد واحد 618 00:48:01,110 --> 00:48:04,850 على XN whenever this limit exists then the series 619 00:48:04,850 --> 00:48:08,030 summation XN is absolutely convergent when A أكبر 620 00:48:08,030 --> 00:48:10,930 من واحد and this series is not absolutely 621 00:48:10,930 --> 00:48:13,790 convergent في A أصغر من واحد وذا كان let A بيساوي 622 00:48:13,790 --> 00:48:17,450 واحد فعلا طيب يعني إيش بيقول له؟ بيقول له تعال احسب 623 00:48:18,370 --> 00:48:23,390 احسب لي اللي هو limit n في 1 ناقص xn زائد 1 على xn 624 00:48:23,390 --> 00:48:26,490 إذا جيت ال limit as n goes to infinity لهذا 625 00:48:26,490 --> 00:48:30,230 المقدار وبيكسّلني أصلا إذا جيت ال limit بيساوي 626 00:48:30,230 --> 00:48:34,890 رقم a إذا كان اللي كده exist يعني ولو جيت بساوي a 627 00:48:34,890 --> 00:48:39,990 بتيجي الآن للحكم إذا a بيساوي 1 بتحكي لك إذا الـ A 628 00:48:39,990 --> 00:48:43,990 أكبر من واحد على تقول بتقول converge وإذا كانت الـ 629 00:48:43,990 --> 00:48:47,570 A أصغر من واحد بتقول إيه؟ اشماله is not absolutely 630 00:48:47,570 --> 00:48:50,990 convergent حتى مش converge absolutely convergent 631 00:48:50,990 --> 00:48:54,650 في الأولى لما تكون A أكبر من واحد was not 632 00:48:54,650 --> 00:48:59,370 absolutely convergent for A اللي هي أصغر من واحد 633 00:48:59,370 --> 00:49:05,370 نيجي الآن ل اللي هو نفترض أنه ال limit هذه exist 634 00:49:05,370 --> 00:49:11,180 ونصل ل اللي بدنا إياه الآن هذه الفكرة عملناها قبل هيك 635 00:49:11,180 --> 00:49:15,940 في ال proof of Corolla 926 الآن بدنا نفترض suppose 636 00:49:15,940 --> 00:49:21,040 that limit 1100-Xn زي 1Xn يساوي إيه؟ أكبر من مين؟ من 637 00:49:21,040 --> 00:49:25,800 واحد الآن suppose that 638 00:49:33,400 --> 00:49:40,040 limit n في 1 ناقص xn زي 1 على xn بيساوي a أكبر من 1 639 00:49:40,040 --> 00:49:43,820 مدام ال limit هذا exist إذا لكل y أكبر من 0 يوجد 640 00:49:43,820 --> 00:49:47,900 يوجد اللي هو k such that هذا المقدار ناقص a أصغر 641 00:49:47,900 --> 00:49:51,280 من y for every n أكبر يساوي k اللي يعني ال epsilon 642 00:49:51,280 --> 00:49:54,480 اللي بدأ اختارها بدأ تخدمني زي ما عملنا قبل هيك في 643 00:49:54,480 --> 00:49:59,320 ال proof تبع 109 اللي هو 6 الآن بما أنه a أكبر من 644 00:49:59,320 --> 00:50:04,180 واحد يعني الفترة بين a والواحد وال a أكيد في a 645 00:50:04,180 --> 00:50:09,740 واحد بينهم الآن عندي ال a واحد ال a واحد ال 646 00:50:09,740 --> 00:50:14,620 element واحد وال a لو جيت يعني بمعنى آخر ال a واحد 647 00:50:14,620 --> 00:50:19,620 أكبر من ال a وأصغر من ال a الآن خذ ال epsilon let 648 00:50:19,620 --> 00:50:24,900 epsilon بيساوي a minus a واحد أكبر من 0 الآن if 649 00:50:24,900 --> 00:50:30,410 there exist then There exists K element in N such 650 00:50:30,410 --> 00:50:35,390 that for every N أكبر أو يساوي K هيكون عندي اللي هو ال 651 00:50:35,390 --> 00:50:39,990 N في الواحد ناقص absolute value XN زائد واحد على 652 00:50:39,990 --> 00:50:46,090 ال absolute value لل XN ناقص ال A أصغر من مين؟ من Y 653 00:50:46,090 --> 00:50:51,050 اللي هي ال A minus A واحد فوق هذا المقدار هيصير 654 00:50:51,050 --> 00:50:56,730 عبارة عن هذا absolute value أصغر من هذا وأكبر من 655 00:50:56,730 --> 00:51:01,650 اللي هو A ناقص أو A واحد ناقص A هذا اللي يهمني 656 00:51:01,650 --> 00:51:06,370 الآن الآن هتلاحظ إن إن في واحد ناقص absolute value 657 00:51:06,370 --> 00:51:10,630 of xn زائد واحد على absolute value of xn اللي هو 658 00:51:10,630 --> 00:51:17,530 أصغر جيب هذه hand بيصير عندك اللي هو ناقص إيه 659 00:51:21,840 --> 00:51:25,820 أو خلينا لأ من الجهة الثانية أنا مش الجهة دي أكبر 660 00:51:25,820 --> 00:51:30,260 من a واحد ناقص a وناقص a بجيبها على الجهة الثانية 661 00:51:30,260 --> 00:51:35,260 بيصير زائد a بيصير هذا المقدار أكبر من a زائد a 662 00:51:35,260 --> 00:51:40,670 واحد ناقص a يعني بتروح ال a مع ال A نقص واحد وبصير 663 00:51:40,670 --> 00:51:45,090 عندي هذا المقدار أكبر من A واحد حيث ال A واحد 664 00:51:45,090 --> 00:51:50,890 أكبر من واحد إذا صار عندي A واحد أصغر من هذا 665 00:51:50,890 --> 00:51:56,100 المقدار لكل N أكبر أو يساوي K ومنه خلينا بنجيب 666 00:51:56,100 --> 00:52:01,680 اللي هو بنجسم على N بيصير اللي هي هذا المقدار 1 667 00:52:01,680 --> 00:52:06,480 ناقص هذا المقدار أصغر من A1 على N بنجيب المقدار 668 00:52:06,480 --> 00:52:09,840 هذا N وبنجيب هذا N بيصير عندي XN زائد 1 على XN 669 00:52:09,840 --> 00:52:15,300 أصغر من 1 ناقص اللي هو A1 على N طبعا بعد ما قسمنا 670 00:52:15,300 --> 00:52:18,840 هذا أول شيء وبعدين بنجيب هذا N بعد ما قسمناه 671 00:52:18,840 --> 00:52:22,120 وبنجيب هذا N بيطلع عندي هذا المقدار فورأن أكبر 672 00:52:22,120 --> 00:52:26,400 شوية صارت اللي هي الصورة هذه صورة مين؟ صورة اللي 673 00:52:26,400 --> 00:52:31,140 هي الراقبست الأولى إذا بقى رقابست هيكون عنده اللي 674 00:52:31,140 --> 00:52:36,990 هو بما أنه A واحد أكبر من واحد لأنه بين الواحد بين 675 00:52:36,990 --> 00:52:41,070 الواحد وال A هيصير عندي اللي هو بيرابستيس 676 00:52:41,070 --> 00:52:46,890 الصممشي لل إكسان is absolutely convergent فأصغر من 677 00:52:46,890 --> 00:52:52,630 واحد فأصغر من واحد بدو يصير الموضوع الآن مشابه بس 678 00:52:52,630 --> 00:52:56,090 بتختلف من هنا خلي أتي نشوف لكم إياه كيف بيختلف 679 00:52:56,090 --> 00:53:03,220 الآن for a أصغر من مين؟ من واحد لما تكون a أصغر من 680 00:53:03,220 --> 00:53:06,040 واحد بدا تبتلكوا يا له from national exam is not 681 00:53:06,040 --> 00:53:10,420 absolutely convergent a أصغر من واحد معناته أنه في 682 00:53:10,420 --> 00:53:14,680 بينهم a واحد خلجينا نقول a أصغر من واحد لإنه 683 00:53:14,680 --> 00:53:16,680 between any two real numbers there exists a real 684 00:53:16,680 --> 00:53:21,080 number اللي هو a واحد بين ال a و بين اللي هو مين؟ 685 00:53:21,080 --> 00:53:26,810 الواحد اللي عالية epsilon a واحد ناقص a A1-A وهي 686 00:53:26,810 --> 00:53:30,010 أكبر من 0 وكله نفسه زي ما هو there exists such 687 00:53:30,010 --> 00:53:38,030 that هذا المقدار أصغر من A 1-A هو أكبر من اللي هو 688 00:53:38,030 --> 00:53:42,530 سالب اللي هو A-A1 هذه المنطقة بديش إياها باخذ 689 00:53:42,530 --> 00:53:46,010 المنطقة هذه بيصير عندي اللي هو زي ما عملنا قبل 690 00:53:46,010 --> 00:53:50,110 بالضبط بيصير عندي هذا المقدار وبجيب هذا ال A هام 691 00:53:50,110 --> 00:53:54,210 بيصير أصغر لما ناقص A تجهان بيصير زائد A مع ناقص A 692 00:53:54,210 --> 00:53:58,710 بتروح بيصير أصغر من مين؟ من A واحد الآن هذا أصغر من 693 00:53:58,710 --> 00:54:02,130 A واحد إذا بيصير عندي بكسب الجهتين على N بيصير على 694 00:54:02,130 --> 00:54:06,090 N وهذه بنجلها على الجهة هذه وهذه بجيبها هنا 695 00:54:06,090 --> 00:54:10,030 بيصير واحد ناقص A واحد على N أصغر من absolute 696 00:54:10,030 --> 00:54:15,270 value XN زائد 1 على ال absolute لل XN بكون حصلنا 697 00:54:15,270 --> 00:54:20,250 على هذا المقدار أكبر من واحد ناقص A واحد على N وهذا 698 00:54:20,250 --> 00:54:25,270 اللي هو لكل N أكبر أو يساوي K إذا حسب B في رقاب ال 699 00:54:25,270 --> 00:54:30,190 test بما أن A واحد اللي هي أصغر من واحد إذا هذه 700 00:54:30,190 --> 00:54:33,450 اللي هي ال series اللي هي summation لل X absolute 701 00:54:33,450 --> 00:54:36,810 value XN is not convergent أو بمعنى آخر summation 702 00:54:36,810 --> 00:54:40,690 الـ XN is not absolutely convergent إذا ال exercise 703 00:54:40,690 --> 00:54:45,390 هذا هيني وضحت لكم يا جماعة طيب 704 00:54:47,450 --> 00:54:51,130 لأن في حالة اللي هي إلا إيه بالساعة واحد قلنا No 705 00:54:51,130 --> 00:54:54,870 conclusion where either convergence or divergence 706 00:54:54,870 --> 00:55:00,490 is possible طيب خلينا نشوف اللي هو examples على 707 00:55:00,490 --> 00:55:04,670 اللي هي الـ Raab's test هنرجع لمين، هنرجع للي هو 708 00:55:04,670 --> 00:55:08,970 الـ B series تبعنا ونشوف كيف نوضح اللي هو ال test 709 00:55:08,970 --> 00:55:12,230 تبعنا الـ Raab's test أو الـ Corollary اللي عليه 710 00:55:12,230 --> 00:55:25,120 كيف اللي هو نستخدمها عندنا في أمثلتنا الآن أخذنا 711 00:55:25,120 --> 00:55:28,780 ال limit على طول اللي هو ال X زائد N زائد واحد على 712 00:55:28,780 --> 00:55:33,520 ال Xn طبعًا هذه جاهزة و positive أصلًا بيصير عندي 713 00:55:33,520 --> 00:55:37,980 اللي هو xn زائد واحد على ال xn واحد ناقصها في n 714 00:55:37,980 --> 00:55:42,380 حسبتها و يساوي limit n في واحد ناقص واحد على n 715 00:55:42,380 --> 00:55:47,140 غلبتها صارت nb على واحد على n زائد واحد الكل أس b و 716 00:55:47,140 --> 00:55:52,860 يساوي limit عندي ال n اللي هي أحطت المقامات فصارت N 717 00:55:52,860 --> 00:55:56,060 زائد واحد أس b N أس b على N زائد واحد وكل أس b في 718 00:55:56,060 --> 00:56:03,020 مين في N ويساوي ال N عبارة عن N زائد واحد أس b ناقص 719 00:56:03,020 --> 00:56:08,660 N أس b على واحد على N وهذه جبت مين لحالها واحد 720 00:56:08,660 --> 00:56:12,300 على N زائد واحد أس b يعني جبت هذه هنا وهذه فصلت 721 00:56:12,300 --> 00:56:17,280 لحالها صارت هذه في هذه لأن هذه limit معروف صار ال N 722 00:56:17,280 --> 00:56:22,980 limit اللي هو هذا المقدار الآن واحد على n جيت اللي 723 00:56:22,980 --> 00:56:29,860 هو جسمت فوق على n أس b و تحت على n أس b ماشي 724 00:56:29,860 --> 00:56:33,760 لما جسمت هذا على n أس b صار هذا عبارة عن واحد 725 00:56:33,760 --> 00:56:37,760 زائد واحد على n كل أس b وهذه واحد ناقص واحد 726 00:56:37,760 --> 00:56:41,140 وهذه زي ما هي دلت ولما جسمت هذا على n أس b 727 00:56:41,140 --> 00:56:45,770 صارت واحد زائد واحد على n أس b الآن و يساوي، 728 00:56:45,770 --> 00:56:50,550 الآن limit الأول في limit مين؟ الثاني الآن limit 729 00:56:50,550 --> 00:56:54,730 الثاني هذا سهل بيساوي واحد اللي فوق صار عبارة عن 730 00:56:54,730 --> 00:56:59,210 الآن اللي هو صفر على صفر، ليش؟ لأن as n goes to 731 00:56:59,210 --> 00:57:02,110 infinity، هذه بيصير صفر، هذه بيصير واحد، و واحد 732 00:57:02,110 --> 00:57:05,030 بيطلع صفر، و هذه صفر، صفر على صفر، ده نستخدم اللي 733 00:57:05,030 --> 00:57:07,610 هو بالتالي الـ L'Hôpital's Rule استخدمت الـ 734 00:57:07,610 --> 00:57:11,450 واشتققت اللي فوق و اللي تحت بالنسبة لل n طبعًا هذا 735 00:57:11,450 --> 00:57:14,970 ال limit طلع و خلصنا واحد اشتققنا طالع عبارة عن b 736 00:57:14,970 --> 00:57:18,870 في واحد زائد واحد على n كل أس b ناقص واحد فطلع 737 00:57:18,870 --> 00:57:22,050 دول جوا ناقص واحد على n تربيع لما فضلت اللي تحت 738 00:57:22,050 --> 00:57:25,570 برضه هيطلع ليه ناقص واحد على n تربيع هذا بيروح مع 739 00:57:25,570 --> 00:57:28,490 حدّه بيصير عندي as n goes to infinity هذا بيروح 740 00:57:28,490 --> 00:57:32,310 للصفر إذا بيصير إيش بيساوي اللي هو عبارة عن b في 741 00:57:32,310 --> 00:57:36,510 واحد أس b ناقص واحد يعني عبارة عن إيه؟ عن b الآن 742 00:57:36,510 --> 00:57:40,390 ما دام b و b أكبر أو يساوي واحد، إذا من الـ Corollary 743 00:57:40,390 --> 00:57:47,350 اللي قبل بشوية الـ B Series إيش مالها، converges 744 00:57:47,350 --> 00:57:53,140 for b أكبر من مين من واحد الآن في حالة الواحد قلنا 745 00:57:53,140 --> 00:57:56,460 اللي هو لما الـ b بتطلع واحد الـ limit بيكون ال 746 00:57:56,460 --> 00:58:00,720 test fail يعني هذه اللي هو بس بنستخدم فيها ال test 747 00:58:00,720 --> 00:58:04,560 for convergence بس في حالة اللي هو مين اللي هو ال 748 00:58:04,560 --> 00:58:08,800 b أكبر من واحد أثبتنا إنه converge بطريقة اللي 749 00:58:08,800 --> 00:58:14,260 يرقب ال test الآن 750 00:58:14,260 --> 00:58:20,270 لو كانت b أكبر من واحد لو كانت b أكبر من واحد 751 00:58:20,270 --> 00:58:26,270 قلنا اللي هي convergence 752 00:58:26,270 --> 00:58:31,570 و for b بيساوي واحد اللي هو no conclusion طيب نيجي 753 00:58:31,570 --> 00:58:38,400 الآن لمثال آخر use the Raab's test to the series 754 00:58:38,400 --> 00:58:42,040 summation اللي أمامنا اللي هو بنفس الأسلوب بدنا 755 00:58:42,040 --> 00:58:48,240 نأخذ اللي هو limit ال xn زائد واحد على xn بيساوي 756 00:58:48,240 --> 00:58:51,940 يعني بده يقول لك أنه احنا ما .. ما ظبطش معنى اللي هو 757 00:58:51,940 --> 00:58:55,920 مين ال ratio test العادي فبدنا نستخدم اللي هو مين 758 00:58:55,920 --> 00:58:59,980 ال Raab's test طيب شوفوا معايا limit xn زائد واحد على 759 00:58:59,980 --> 00:59:04,480 xn ال xn زائد واحد اللي هو n زائد واحد على n زائد 760 00:59:04,480 --> 00:59:08,340 واحد كله تربيع زائد واحد فإن تربيع زائد واحد على n 761 00:59:08,340 --> 00:59:11,960 اللي هي ال xn هذه لما جسمت طبعًا وجلبت في الآخر 762 00:59:11,960 --> 00:59:19,970 فبيصير عندي ال n بيساوي جسمت اللي هو هذه على n بيصير 763 00:59:19,970 --> 00:59:23,150 عبارة عن هذه جسمتها على هذا n زائد واحد على 764 00:59:23,150 --> 00:59:26,270 ال n تطلع عبارة عن واحد زائد واحد على ال n وهذه زي 765 00:59:26,270 --> 00:59:29,710 ما هي n تربيع زائد واحد على هذه وهي تساوي limit 766 00:59:29,710 --> 00:59:35,630 هذا المقدار هنا برضه جسمت على مين على n تربيع صار 767 00:59:35,630 --> 00:59:39,230 واحد زائد واحد على n تربيع وهنا على n تربيع صارت 768 00:59:39,230 --> 00:59:43,650 واحد زائد واحد على ال n الكل تربيع زائد واحد على 769 00:59:43,650 --> 00:59:47,920 مين n تربيع لأن as n goes to infinity هذه واحد as 770 00:59:47,920 --> 00:59:51,940 n goes to infinity هذه واحد وهذه صفر وهذه واحد 771 00:59:51,940 --> 00:59:54,920 يعني المحصلة واحد إذا واحد على واحد بيساوي واحد 772 00:59:54,920 --> 01:00:01,380 الآن إذا بقصه by corollary 926 does not apply أو 773 01:00:01,380 --> 01:00:05,640 corollary 926 اللي هي ال ratio limit limit ratio 774 01:00:05,640 --> 01:00:12,830 limit ratio test does not هنا اللي هو applied ليش؟ 775 01:00:12,830 --> 01:00:16,970 لأن ال limit اللي عندي واحد إذا صار عندي بدنا اللي 776 01:00:16,970 --> 01:00:22,790 هو نحاول نوجد طريقة أخرى لو جيت أو وجدت اللي هو 777 01:00:22,790 --> 01:00:27,370 برضه بال Raab's test اللي هو limit n في 1 ناقص xn زي 778 01:00:27,370 --> 01:00:31,190 1 على xn اللي هو حاول توجد ال limit بنفس الأسلوب 779 01:00:31,190 --> 01:00:34,330 اللي فوق بس إلى هذا المقدار احسبهن 1 ناقص هذه 780 01:00:34,330 --> 01:00:37,130 وبعدين اضرب من في ال n حاول توجد ال limit هتلاقيه 781 01:00:37,130 --> 01:00:41,230 بيساوي 1 إذا صار عندي اللي هو Raab's test برضه أنا 782 01:00:41,230 --> 01:00:51,310 أشمله does not apply لكن لو جيت لو جيت اطلعت على 783 01:00:51,310 --> 01:00:56,760 الملاحظة التهلية أبدًا نوجد حلل أمر Xn زائد واحد على 784 01:00:56,760 --> 01:01:00,240 Xn هتلاقي n زائد واحد على n زائد واحد كل تربيع 785 01:01:00,240 --> 01:01:03,740 زائد واحد في n تربيع زائد واحد على n هذا اللي فوق 786 01:01:03,740 --> 01:01:09,800 هذا اللي هي Xn زائد واحد وهذا مقلوب من Xn الآن لو 787 01:01:09,800 --> 01:01:16,060 جيت حسبت هذه جرب أنت احسب لي أثبت لي أنه it is an 788 01:01:16,060 --> 01:01:19,220 exercise to show that ال Xn زيادة واحدة لل Xn أنه 789 01:01:19,220 --> 01:01:22,400 هذا المقدار هي اللي طلع عندي هتلاقيه أكبر أو يساوي 790 01:01:22,400 --> 01:01:28,150 n ناقص واحد على مين على n الآن ما دام هذا أكبر من هذا 791 01:01:28,150 --> 01:01:32,550 وهذا عبارة عن اللي هو عبارة عن واحد ناقص واحد على 792 01:01:32,550 --> 01:01:36,770 n therefore by Raab's test اللي هي b the series 793 01:01:36,770 --> 01:01:41,290 إيش مالها diverges لأنه كتبت على صورة واحد ناقص 794 01:01:41,290 --> 01:01:45,710 واحد على n وهذا ال a تساوي واحد معناه بال Raab's 795 01:01:45,710 --> 01:01:49,450 test هيكون ال series هذه اللي هي ال summation لل x 796 01:01:49,450 --> 01:01:52,570 and is not convergence is not absolutely 797 01:01:52,570 --> 01:01:57,310 convergence أو بمعنى آخر diverges وبكون هيك احنا 798 01:01:57,310 --> 01:02:02,250 انهينا اللي هو section اللي هو تسعة اثنين والى 799 01:02:02,250 --> 01:02:03,310 لقاء آخر