بسم الله الرحمن الرحيمحابين نذكر ان الامتحان النصف
الأول ان شاء الله بعد أسبوعين يعني الثلاثاء بعد
القادم في مثل هذا اليوم ان شاء الله الساعة أحداشر
والقاع بجبالكوا ان شاء الله في الأسبوع القادم
الحدد الكل هو القاع ماشي P 302؟ خلاص بتموم P 302
يبقى شعبكوا كلها ليه واحد و تمانين طالب القعب يه
تلات مية و اتنين في المبنى اللي جبال المبنى القدس
طيب نرجع لموضوعنا هذا لازلنا في موضوع relative
rates of growth المرة اللي فاتت أخدنا definition
وهذه ملاحظة مرتبطة بهذا ال definition وهي أخر نقطة
موجودة في هذا الsectionبقول إذا كانت الدالة f
grows at the same rate as g أو f grow at the same
rate as x tends to infinity وفي نفس الوقت كان g
grows at the same rate as h as x tends to infinity
يبجد من الأولى مع الأخيرة ال F مع H اتنين grow at
the same rate as X tends to infinity that is
الكلام اللي قلناه بنروح نعبر عنه بصيغة رياضية
الأولى F grows زي G as X tends to infinity يعني لو
جسمت اتنين على بعض واخدت limit لما ال X بدأ تروح
للملنيا بتعطيني رقم L1 و L1 محصور بين ال zero و ال
infinity بعدد موجة اتنينالنقطة التانية جي و الـ h
grow at the same rate يبقى مع الكلام ان ال limit
الـ g of x علي h of x لما الـ x بدها تروح للمالة
نهاية بدها تساوي L2 و ال L2 محصورة بين ال zero بين
ال infinityإن حدث ذلك يبقى بكل هذا بيكون ال F و ال
H grow at the same rate as X tends to infinity
بيبقى نعبر عن ذلك بصيغة رياضية تالية limit لما ال
X tends to infinity لل F of X على مين؟ على ال H of
Xهذا limit لما ال X tends to infinity هذه ممكن
اكتبها بطريقة أخرى لو ضربت في واحد صحيح حال تتغير
القيمة بدي اعتبر الواحد الصحيح هو G of X على G of
X يبقى بيصير limit ال F of X على ال G of X في ال G
of X على ال H of X ويساويبقى ال limit بتدخل على كل
واحدة فيهم يبقى limit الأولى هذا بجداش ال one يبقى
هذا ال one و limit التاني هذا ال twoالـ L1 و L2 هم
عمومات حقيقية لأن المحصولة بين الـ 0 و 1 يبقى حاصل
ضربهم برضه يبقى عمومات حقيقية وهذا يستوى لـ L1 L2
و L1 L2 أكبر من 0 أقل من 100ما هو معنى هذا الكلام؟
متى نلجأ لاستخدام هذه الـ remark بحل المسائل
المختلفة؟ لنقول أبدا، المرة اللي فات بكدا، ناخد
الـ two functions، نحط التنتين على بعض و ناخد ال
limit و نحسب ال limit هذه أحيانا يمكن تيجي تعمل
هميجة وتاخد limit لاجيها صعبة فلما تلاجيها صعبة،
نضطر ندخل دالة وسيطية ما بين الاتنينالذلة بندخلها،
بنجيبها من مين؟ من شكل الدليتين اللي موجودين، مش
حيالها يعني لا تجيب ولا تحطق وخلاص نحطها، لأ بدنا
نحاول نستنتجها من شكل الدليتين الأخرين نعطي مثال
توضيحي على ذلك يبقى بنجي ناخد example بيقول
المثال show thatshow that بيلي ان الجذر التربية
إلى x تربية زائد خمسة and اتنين جذر ال x ناقص واحد
لكل تربية اقرأ
at the same rate as x tends to n ماتيني دالتين و
قال بيبيني ان الدالتين هدول grow at the same rate
حسب المفهوم اللي احنا عارفينه قبل ذلك ممكن نقسم
اتنين على بعض واخد ال limit لما ال x بده تروح لما
لنهايةويمكن يطلع الأمر في نوع من الصعوبة لذلك
بنحاول ندخل دالة في المصم بين الدالتين هذول زي ما
كانت جي في المص جاية بين من مين بين ال F وH كيف
باجي بقول مين اللي أكبر لما ال X بتروح للملن يعني
ال X سبيع و الله خمسةالـ X أربعة يبقى الخمسة هذه
مع السلامة وما بيظل إيهاش الذي يتحكم في سلوك هذه
الدلة هو الـ X أربعة بس تحت الجذب يعني باكمة تطلع
X يبقى هذه ممكن أخد X جريبة جدا على هذه الدلة نجي
للدلة التانية هذه لو ربعتها بيصير مربعة الكمية
الأولى أربعة X مظبوط؟زائد ضعف حاصل ضرب الكميتين
زائد أربعة نقص أربعة جذر ال X زائد واحد يبقى
الكبرى فيهم مين؟ اللي هي ال X والله جذر ال X ال X
هي الأكبر يبقى X من هنا كمان ممكن أخدها قريبة جدا
أو هي اللي تتحكم في سلوك الدلل لأنها هذيإذا صارت X
هذه كإنها وسيط مشترك بين الـ function الأولى و
الماية و الـ function التانية، إذا بنقدر نقارن هذه
مع الـ X و نقارن الثانية هذه مع الـ X، انطلاقة
الأولى has the same rate, grow at the same rate و
التانية grow at the same rate as X tends to
infinity زي ما جل في الجيوز النظريأذا بصير الدالة
الأولى والأخيرة grow at the same rate as x tends
to infinity الكلام اللي بنحكيه هنا نظري بنروح نحطه
على أرض الواقع إذا لو أنا روحت أخدت limit الجذري
التربية إلى x تربية زائد خمسة على x لما ال x tends
to infinity
طبعا الجدر هذا للمقادرة كلها شبههايبقى infinity
على infinity يبقى يابلو بتال رول يابلو
بتال رول يابلو بتال رول يابلو بتال رول يابلو بتال
رول يابلو بتال رولX تربية يبقى كأن المسألة أصبحت
limit لما ال X tends to infinity للجدر التربيعي ل
X تربية زائد خمسة كله على X تربية يعني limit لما
ال X tends to infinity لمن؟ للجدر التربيعي لواحد
زائد خمسة على X تربية طبعا هذا بزير و بظهر اندي
كدهش واحدالواحد زي ما انت شايف منه اكبر من ال zero
اقل من main معناته ال two functions دول grow at
the same rate يبقى هنا الgenre التربية الى x تربية
زائد خمسة and ال x grow at the same rate as x
tends to infinityبالمثل بروح أخد limit لما ال X
تنزل إلى infinity لل X على الدالة التانية نين جذر
ال X ناقص واحد لكل تربيع التعويض المباشر بيجيب لي
infinity على infinity يبقى بدي أستخدمقاعدة lobital
يبقى لو جيت اخدت استخدام قاعدة lobital بصير عندي
ال limit لما ال X tends to infinity مشتقة دالة
البص على مشتقة دالة المقام اتنين في الجوس زي ما هو
مرفوع لل أس واحد في مشتقة مداخل القوس مشتقة مداخل
القوس يبقى اتنين مالهاش دعوةوالله لان نحط فوق هذه
مشتاقة يبقى احنا مشتاقة كل المنظرات والمقام على
حده يبقى هذا اشتقاه في المقام فتبقى في المقام وهذا
واحد على اتنين جدر ال X نختصر الاختصارات اللي
موجودة يبقى الاتنين هذه مع الاتنين هذهيبقى آلة
المسألة إلى الشكل التالي جذر ال X هتنقلب وتطلع فوق
وهنا أربع جذر ال X ناقص اتنينالتعويض المباشر بتجيب
انفينيتي على انفينيتي، يجب نشتق البصة على حده أو
المقام على حده، يجب نقسم كل من البصة والمقال
عالميا على جذر ال X اللي هي موجودة في المقاميبقى x
tends to infinity بيبقى الواحد على أربع ناقص اتنين
على جذر ال x بالشكل اللي عندي هذا تمام هذا كله
بقداش ب zero يبقى طالع الجواب ربع والربع محصور بين
الصفرو ال infinity يبقى معنى هذا الكلام ان ال two
functions هدول معلهم grow at the same rate يبقى
باجي بقول له so ال x and ال اتنين جذر ال x ناقص
الواحد لكل تربيع grow at the same rate as x tends
to infinity
الأن بال remark اللي قبل قليل by the above remark
اللي هو من الجذر لل X تربية زائد خمسة and لاتنين
جذر ال X نقص واحد لكل تربية grow at the same rate
as X tends to infinity
الان وصلنا الى نهاية هذا ال section يبقى بنروح
ناخد exercises اللي هو السبعة تمانية المسائل من
واحد لغاية ستة الأدنى تلت مسائل لكن كل سؤال فيه
حوالى تمان نقاط تقريبا ايش يعني؟
انت فهمت الجزء النظري الأول؟ انا فضّقت حرفيا على
الجزء النظري اللى خدناه تقبيق مباشر لا لف ولا
جوران F of X هي الجدر التربية على X تربية زائد
خمسة وال G of X هي X والH of X هي اتنين جدر ال X
نقص واحد لكل تربية
عندما أخذت أول تنتين تالي عندي مقترا ثابتا يبقى
التنين ي grow at the same rate عندما أخذت التنتين
التانية تالية مقدار ثابت كمان تاني يبقى التنين ي
grow at the same rate يبقى بواسطة ال remark صارت
دالة الأولى الى when saw by the above remarkهذه و
هذه الدليل تنجروا في نفس الوقت كإتران لإنفانية.
إلك اعتراض على هذا؟ جدًا، السؤال ما قالك، هذه F و
X و هذه H و Z؟ بقى انت خد اللي بدك هيه، ماعنديش
مشكلة، ان شاء الله تاخد هذه، هرا، و اين راحت؟ خد
هذه F و X و هذه H و Z، شو بأثر يعني؟شوفوا يا سيدي،
لو جلبتم بدل هذه من ربع بالصير أربعة، برضه بين صفر
و infinity، مافيهاش إشكالية، ولا حاجة، يعني ليس
بالضرورة الترتيب، لأن العبرة بالنتيجة وليس
بالترتيب، كنتوا بيكتبوا السؤالات، فضلوا
أنت غاب و حاضر ولا إيه؟ احنا قولنا إذا بنقدر
مباشرة ماشي لكن أحيانا ممكن تلاقي الصعوبة نروح
ندخل ده اللي في النصب و بنشتغل الشغل تبعنا
نحن نقول لك اسمع كده، بتعمل مقارنة بين ال two
functions، يعني بدك تخلق الدلة في المصدر من خلال
شكل الدلتين اللي عندك، مش عشوائيا يعني، وشوفت احنا
لما جينا قارنة، قولنا من اللي بيتحكم في الدلة
الأولى؟هل الخمسة و الله ال X تربيها؟ قلنا ال X
تربيها لأنها أكبر لما ال X بتروح للمألة نهاية،
يبقى بنعتبر كأن الخمسة مش مولودة صار الجدر
التربيها ل X تربيها طلعت X جينا نفدها لتنينين لما
فتكناها، من الجزء الأكبر؟ الجزء اللي هو أربعة X،
أربعة هذا كله صندوق لا بيقدم ولا بيأخر هم دي، يبقى
صارة ال X هذه ياماميبقى صارت هنا X وهي نفس X، يبقى
دخلنا هذا الـX واشتغلنا عليها وهكذا. هو طبعا قليل
ما تلجألها، لكن إن حدث، ممكن نلجأله وخلاصنا. طيب،
لحد هنا، stop، انتهينا من هذا ال section، والآن
بانتهاءنا من هذا ال section، ينتهي هذا ال chapter.
بنروح لل chapter الجديد اللي هو techniques of
integration الطاقة المختلفة للتكامل يبقى chapter
تمانية techniques of
integration
يبقى طرق المختلفة لمان للتكامل أو طرق العملية
لتكامل بعض الدوال المختلفة بإننا نيجي نذكر في
البداية قبل أن نبدأ هذا الشرطر بما سبق دراسته من
التكاملات يبقى بتروح أقول له some integral
formulas
هذا الآن بدنا نذكر ببعض التكاملات اللى خدناها في
الثانوية العامة وفي Calculus A وفي Calculus B لإن
هذا الأساس اللى بنبنى عليه دراستنا في كل ال
chapter هذا يبقى بنا بنبدأ بالتكاملات المشهورة
اللى مرت علينا نيجي لأول تكامل كان تكامل constant
في ال DXبنقول ال constant بنطلعه برا تكامل و تكامل
ال dx هي بx زاد constant c بعد هيك نمر اتنين بدنا
تكامل ال ax to the power n dx حيث ان عدد حقيقي
بنقول ال A مقدار ثابت مالوش دعوة و Lexus N بنضيف
لل أس واحد و بنقسم على الأس الجديد و بنقول زائد
constant C هذا الكلام صحيح بشرط ان ال N ممنوع
يتساويطب لو حدث و سوى تسوى تسوى تسوى تسوى تسوى
تسوى تسوى تسوى تسوى تسوى تسوى تسوى تسوى
تسوى
يبقى صار هنا الـBest هو تفاضل المقام الـX تفاضلنا
بواحد اللي موجودة في الـBest لما كان الـBest تفاضل
المقام قلنا لن المقام إذا بناء أنا عليها بروح
للنقطة الرابعة تكامل F prime of X على F of X كله
DX إذا كان الـBest تفاضل المقام فنتيجة التكامل هي
لنabsolute value للمقام زائد constant C نقطة
الخامسة تكامل E أس AX في DX ال exponential
functionطبعا بالاصل زي ما انت شايف من الدرجة
الأولى في x لكن مضطر في مين هي constant يبقى
تكاملها كما هي مقسومة على a زائد constant c ستة من
تكامل ال x exponentially التانية a to the power x
dx ويساويالـ Exponential كما هي مقسومة عالميا على
لن الـ A زائد constant C طبعا هذا في الsection 7
تلاتة كالكلص B كالكلص B كالكلص B هذا الاتنتين
كالكلص A و ثانوية عامة طيب نجي نمرح 7بننتقل الان
إلى الدوالي المثلثية عندك تكامل ل sin ax dx طبعا
ال ax كلها الزاوية والa كولستن يبقى سالب واحد على
a cosine ax زائد كولستن cثمانية بدنا تكامل بدل ال
sign بنخليه cosine ax dx يبقى واحد على a sine ax
زائد constant Cنمرة تسعة نتكامل لتان ال X DX التي
هي نسبة المثلثية التالتة نعمل تان هي sin على
cosine بصير البسط هو تفاضل المقام بس بده شرف سالب
حسبناها قبل ذلك ناقص لل absolute value ل cosine X
زائد constant Cأو المكافئة لها اللي لم absolute
value لسك X زائد constant C
بدنا تكامل لقطان ال X DX قصين على صين البسطى فضل
المقام يبجلن absolute value لصين ال X زائد
constant C حد عشر وصلنا لتكامل لسكت ال X DXطبعا
ضربنا في سك زائد تاني وجسمنا على سك زائد تاني صار
البسطة فاضل المقام يبجلن absolute value لسك ال X
زائد تاني ال X زائد كلستين C ثانية عشر تكامل
لكوسيكنت ال X DX
اما سالب لن absolute value لكو سي كانت ال X زائد
كتان ال X زائد constant C او لن بالموجة absolute
value لكو سي كانت ال X ماقص كتان ال X زائد
constant C اما هذه الصيرة او هذه الصيرة الاتنين
are the sameثالث عشر طلع هنا كاملنا الدوالي
المثلثية الستة كلها تمام؟ نيجي لتكامل مضروباتها،
إيش تكامل مضروباتها؟ تكامل ل six squared x dx،
اللي هو الدوالي؟بتاني ال X زائد constant C طيب
الرابع عشر تكامل ل cosecant square X في DXلو بسالب
كتان ال X زائد كلستن C خمس تاشر يبقى تكامل لسك ال
X تاني ال X DX يساوي سك ال X زائد كلستن C السادس
عشر تكامل لكوسيكنت ال X كتاني ال X DXبسالب cos x
زائد constant Cيبقى دول تكمل من الدوال المثلثية
وضرب الدوال المثلثية نذهب الآن إلى الدوال الزائدية
تكمل لجوش AX DX يبقى واحد على essential AXزائد
كنستان C بالمثل تكامل لسنش AXDX يسوى واحد على A
جوش AX زائد كنستان Cالتاش عملناها سنش على دوش
وصلينا المقام والكوتاش زيها والسش خدناها مثال
والكستش قولنا لك exercise لك تمام؟ يبقى هذا كله
معاك تمام بدنا نيجي لمن؟ الى تسعة تاش تسعة تاش
تكامل لمن؟ لسش Square X
20 تكامل يبقى
سلب potential x زائد constant cالحدي والعشرين
تكامل لسش ال X تانش ال X DX ويساوي سالب سش ال X
زائد constant C الثاني والعشرين اللي هو تكامل لكسش
ال X كتانش ال X DX بسالب كسش ال Xزائد كونستانسية
الثالث والعشرين
الآن بدنا نروح للمعكوسات معكوس الدول المثلثية و
معكوس الدول الزائدية معكوس الدول المثلثية عندنا
تلت تكاملات التكامل الأول واحد على الجذر التربية
لإيه تربية ناقص x تربية dx اللي همين sin inverse
تكامل الرابع هو عشرين هو عبارة عن تكامل لمين؟
لواحد A تربية زاد X تربية DX بدون جذور يبقى يقول
إن هذا عبارة عن واحد على اتان inverse X على A زاد
constant Cخمسة وعشرين بدنا تكامل اللي هو ميم واحد
على X الجذر التربية X تربية ناقص A تربية في DX
اللي هو عبارة عن ميم واحد على A في Sec inverse
absolute value X عليها زائد constant C هدول
التلاتةاللي هي تبعات معكوس الدوال المثلثية، تلتة
تانيات هما هما، بس بإشارة سالب، تمام، إذا بنروح
لستة وعشرين وما أدراك ما ستة وعشرين، تكامل واحد
على الجدر التربية، تربية X تربية DXهذه بس بإشارة
موجب بدل السالب، في حالة السالب sign inverse و في
حالة الموجبفي حالة المجمعشة دي؟ Sin inverse تمام
يبقى Sin inverse X على A زائد constant C سبعة و
عشرين تكامل لدي X على الجدري التربيهي ل X تربيع
ماقص A تربيعيبقى هذا الكلام جوش inverse X على A
زائد كونستان C تمانية و عشرين تمانية و عشرين بدنا
تكامل لمام لواحد على A تربية ناقص X تربية Xقول هذا
له قيمتان القيمة الأولى واحد على ا تانش inverse x
على a زاد constant c وبشرط absolute value ل x أقل
من a او واحد على a cotangent واحد على a cotangent
إنفرس X على A زائد constant C absolute value لل X
أكبر من ال A آخر تكاملين يبقى التكامل التاسع
والعشرون بجول مياتي تكامل واحد على X الجدرى
التربية إلى A تربية ناقص X تربية عضية Xيبقى هذا
سالب واحد على A في C inverse X على A زائد constant
C تلاتين تكامل واحد على X الجدرى التربية اللي A
تربية زاد X تربية DX يسوى سالب واحد على Aكسيش
inverse absolute value لل X على A زائد constant C
يبقى هدول التلاتين ده كامل اللي بده نبني عليهم كل
دراستنا في هذا ال chapter ان شاء الله يعني مشان
تفهم كل سؤال والله كل مثال موجود في هذا ال chapter
بدك تكون ملمب بهذه الثلاثين وهذا مجمل مدرسة في
الثانوية العامة وفي calculus A وفي calculus B اللي
هو chapter 7طيب هدول هم الأساسيات اللي بنبني عليهم
دراستنا في هذا ال chapter وبالتالي بننتقل إلى أول
طريقة من طرق التكامل و هذه أخدتوها في الثانوية
العامة لكن انتوا أخدتوها كعنوانو سؤالين تلاتة صغار
لكن احنا هناخدها تفصيليا ان شاء الله يبقى اول
section اننا شباب section تمانية واحد تمانية واحد
اسمه integration by
parts
بابا يقولولكوا المدرسين في الثانوية التكامل
بالأجزاء أو بالتجزيقأيش ما يقولوا يقولوا لكن احنا
بدنا نفهم ايش معناه و لماذا سمي integration by
parts كل الجزء النظري تبع ال section بدي اختصره في
كلمة صغيرة جدا يبقى بعدي بدي اقول if ال U and ال V
are differentiable functions of X thenالتكامل ل
UDV يبقى U في V نقص تكامل V دال U يبقى
هذا التكامل تبع الأجزاء
بنعرف لماذا سميها تكامل بالتجزيء أو بالأجزاء وكيف
طريقة التعامل مع هذا النوع من التكاملات
الان نجي للسؤال هذا، بيعطيني مثلة، المثلة بتبقى
دالة في مين؟ في تكملة بالنسبة لشغل دي اكس، دي واي،
دي ثيتا، دي زد، إلى آخرينالمثلة هذه بدي اقيصها على
هذه المثلة يعني ايش اقيصها على هذه المثلة؟ يعني
بدي اختار جزء يكون يمثل U و جزء يمثل من DV طيب ال
U هذه اللي اخترتها هنا هي ماتغيرتش، لكن هنا ايش
امتلت ال U؟ اشتقتها، DUهذه كانت دي V مشان أحصل على
V هذه معناته بدي أكامل هذه الدلة يبقى هي ال V و هي
ال V معنى هذا الكلام أنه في جزء من المسألة بدي
أفضله أشتقه وفي جزء بتروح من أكامله يعني بدنا نجزء
المسألة إلى جزئينجزء بدأ أكمله بعملية الاشتقاء
وجزء بدروح مين أكامله ومن هنا سمنا تكامل بالتجزيه
تكامل بالتجزيه قال لي U في V ناقص تكامل VW يعني
لسه بالزمن تكامل قد يكون يحتاج هذا إلى تكامل
بالأجزاء من جديد وقد يظهر أحد التكاملات الثلاثين
التي أشرنا اليها قبل قليلممكن هذه و ممكن هذه، طب
السؤال هو لما يجيني السؤال مين اللي بدي اختارها
تكون ال U و مين اللي بدي اختارها DV؟ اه بنقوله
بسيطة تختاري ال U هي الدالة اللي تفضلها سهلمايكونش
تفاضلها مكلكة أو يطلع نص متر، لأ، بيكون شغلنا مش
مظبوط، يبقى بختار ال U بطريقة أقدر أفاضلها و بختار
ال DV بطريقة أقدر أكملها، اه يعني إذا اخترت ال U
كل بضال في المثلة بدي أكون مين؟دى V هذا بدك تقدر
تكمله بسهولة وهذا بدك تقدر تفضله بسهولة طيب يمكن
افضل هذا بسهولة ويمكن اكمل هذا بسهولة لكن ماتنحلش
المثلة ماتنحلش ليه لأن الاختيار كان اختيارا خاطئ
كيف يعني اختيار خاطئ هذا ال U دى لو جيت اشتقتها
بديها تنتهي تكمل مش هتزيد فمثلا لو قولتلك خد U
يسوى X السالب واحدتعا فضل الله، إيش بيطلع؟ X
السالم اتنينيبقى ذالبة لأ كمان مرة X والسالب ثلاثة
بغض النظر عن الكون الصحيح X والسالب أربعة يبقى
ليوم القيامة مفيش بتخلصش إذا الإختيار كان إختيارا
قاطع يبقى بدي أختارها بحيث تنتهي بعد مرة مرتين تلت
أربع مرات تبقى خلصت طبعا طب افترض اخترت وطلعت معاك
تكلكعت تدت تكلكعت وها دي مش عارفين نطلع منهابكي
بخترشت خاطئ بتروح تجلب الخيارة بتبعك و بتلاقي مثلة
اكمالها انحلت على طول الخطيبقى الاختيار مش مزاجي،
وإنما الاختيار عبارة عن دراية علمية، دراية علمية
عن بنانيش، عن مشتقات الدول وتقامل الدول، وبالتالي
بصير القصة هذه بسيطة جدا، إذا أنا لما بدي أعطيك
مثال، بدي أعطيك ثلاثة أنواع من المثال، إنه لو اللي
بدي أخليه بسيط، بدوش ولا لف ولا دورانالنوع الثاني
بدي أخليك تهرش مخك و تضطر تعمل تعويضة قبل ال
integration by parts وبعد ما تعمل تعويضة صير
مسالتك سهلة بال integration by parts وهكذا بالنسبة
لمن؟ للباقي إذا نبدأ الشغل العملي على هذا القانون
اكتبلي اول مثال احسبلي تكاملات اتاليةيبقى evaluate
the following integrals يبقى
أول مجموعة من الأمثلة examples evaluate
the
following integrals
أحسب لكل من التكاملات التالية أول تكامل تكامل x e
أس تلاتة x في dx نجي
لل a أس تلاتة xسهل تفاضلها وسهل تكاملها، إذا
ماعنديش مشكلة، حتى تفاضلها وتكاملها مش مشكلة
بالدرجة للإكس، سهل تفاضلها وكذلك سهل تكاملها، بس
لو كملت بتخلص، يبقى مش هتخلص أبداًيبقى automatic
بدي اخدها اشتقاق لان الاشتقاق بعد مرتين تبقى خلصت،
مظبوط؟ يبقى من هنا بدي اختيار التفكير بهذه
الطريقة، اذا بدي اخد ال U تبعة القانون تساوي X
والدي V كل اللي بضال، مين اللي بضال؟ اللي هو E أس
ثلاثة Xبدي x طب نشتق ليش نشتق لإنه بدي du يبقى دي
دي دي دي دي دي دي دي دي دي دي دي دي دي دي دي دي دي
يبقى النتيجة تساوي هذه U وهذه V يبقى ال U في ال V
بدي أضرب اتنين في بعض يبقى لو ضربتهم بصير تلت X A
أس تلاتة X هذا السؤال استخدمنا اللي هو القانون تبع
integration by parts مرة واحدة فقط لا غيرطيب بدنا
نجي للسؤال الثاني بدنا تكامل x السابعة في لن ال x
في bx
طبعا بضاجي لن ال X بنعرف ان كاملها لن ال X حتى
الآن ماعرفناش مظبوط لكن نشتاقها سهل جدا واحد على X
إذا بدي أروح أختار ال U تساوي لن ال X و دي V كل
اللي بيظل له X و ال 7 في مين؟ في ال DXنشتاق يبقى
du بواحد على x dx وال V بx أس تمانية على تمانية
هذه ال U و هذه ال V إذا النتيجة تساوي U في V يبقى
تمان X أس تمانيةفى لن ال X ناقص تكامل V دالي V ب X
أس تمانية على تمانية دالي وليه واحد على X من DX
يبقى تمن X أس تمانية فى لن ال X ناقص هذا التمن برا
وهى تكامل فى اختصارات ما بين الاتنين بيصير X أس
سبعة من ل DXيبقى هذا الكلام تمون x أس تمانية لإن
ال x ناقص تمون خليك برا وهذه كان تاني تكامل من
التلاتين لتو يبقى بضيف للأس واحد وبقسم على الأس
الجديد يبقى هنا في x أس تمانية على تمانية زائد
كونستانسي يعني كان واحدعلى 64X أُس 8 زائد constant
C السؤال التالت بدنا تكامل لمين لإن ال X في DXيبقى
هذا اللذي لم نتعرض له قبل ذلك في ال chapter الماضي
لا ال lin ولا ال log كنا بنشتقها صح بس تكامل
ماكناش نقدر عليها لكن الأن أقصدنا بسيطة جدا يبقى
أنا بدى تكامل ل lin ال x يبقى إجباري بدى أخد lin
ال x هي بيومش DV لان انا بدي كاملها اصلا تمام يبقى
باجي بقوله بدي اخد ال U تساوي لن ال X و DV كل اللي
بضل جدش بضل DX بس نشتق هذه يبقى DU بواحد على X DX
وهذه تكاملها ب X يبقى النتيجة تساوي U في ال V يبقى
Xفلان ال X ناقص تكامل V ليه ب X داليه لواحد على X
DX يبقى هذا الكلام بده يسوى X لان ال X ناقص تكامل
واحد في ال DX يبقى النتيجة X لان ال X ناقص X زاد
constant C إذا من الآن فصاعداتكامل من؟ تكامل لن ال
X هو عبارة عن X لن ال X ناقص X يبقى مسألتنا من
الأن فصلا صارت سهلة طب لو كانت log ال X للأساس
تلاتة لن ال X على لن تلاتة واحد على لن تلاتة برا
وتكامل لن ال X هيو
سؤال الرابع سؤال الرابع سؤال
الرابع سؤال الرابع سؤال الرابعممكن احطها بصيغة
جديدة جدر ال X تعني X وسقداش لو طلعته فوق يبقى
بيصير كأن المسألة X أسالب نص فإن ال X في DXأظن لو
بدي أخد لإن ال X تكمل ماعنديش مشكلة لإنها موجودة
عندي هيها فوق بس مكلكعة شوية هيك، تمام؟ لكن لو بدي
أشتقها سهل جدا، صحيح ولا لأ؟ هذه ال X أسالة بالنص
تشتقها و الله تكملها على كل الأمر، يعني سهلة، يبقى
مدام التنتينة يبقى هذه اشتقاقها أسل بروح باخد U
تساوي لإن ال Xإذا لو أخدت ال U تساوي لن ال X هذا
بدي يعطيك ان ال DU يساوي واحد على X DX الآن ال DV
كل اللي بيظل بيظل قداش X أص و هنا دي X أص نص مع X
بيصير واحد على X أص نص لو طلعناها فوق بيصير X أص
ناقص نص في مهمفي الـ dx يبقى 2 جذر ال x لأن ال x
ناقص 2 اضيف لل أس واحد بصير أس نص على نص زائد كنص
تن سي او 2 جذر ال x لأن ال x ناقص 4 جذر ال x زائد
كنص تن سي بيقول التكامل ل 3x تربيعTen inverse X VX
تفرض
V
و لا تفرض DV
لأ مش صحيح هذا الخلابكل القنصة اللي بنجمعه الاخر
بيقول القنصة انتوا هتعودش تكالكة لأما لكالكة
عينها، ماشي يا سيدي؟ طيب، نجي لسؤال من هذا القبيل،
فباجي بقوله، حد فيكوا بيعرفي كامل تان inverse X؟
ولا واحد، ماعرفاشلكن اشتقاقها سهل يبقى automatic
بقوله خدلي ال U تساوي 10 inverse X يبقى ال DV هذا
الكل بيعرفي كاملها كمان اللي هو مين؟ تلاتة X ثربية
في ال DXيبقى DU يسوى واحد على واحد زائد X تربية في
الـD X أخدنا اشتقاقها والـV تسوى قداش X تكايب على
تلاتة مع التلاتة الله يسهل عليها يبقى هذا الكلام
يسوى U في V يبقى X تكايب تان Inverse X معقز تكامل
V اللي هيبقى X تكايبدل يوم واحد زائد X تربيع في
الـDX وظهر علنا تكامل جديد اللي هو من X تكييب على
واحد زائد X تربيع بدنا نشوف كيف بدنا نعمل في هذا
السؤال
قسمة مطولة، درجة البسط أكبر من درجة المقام يبقى
قليلة جبل هيك إذا درجة البسط جت درجة المقام أو
درجة البسط أكبر من درجة المقام بإمكانك أن تقسم
قسمة مطولة بدون أي مشاكل إذا بتروح أقسم X تكيب على
X تربيع زائد1 تمام؟ بقوله بسيطة X تكيب على X تربية
فيها جداش X X تكيب زائد X زائد خليها ناقص وهذا
ناقص بدل انه جداش ناقص X يبقى الباقي من الدرجة
الأولى والمقسوم عليه من الدرجة الثانيةيبقى يساوي x
تكييب تان inverse x ناقص تكامل خارج القسمة اللي هو
x الباقي ناقص x بدنا نجسمه لسه على واحد زائد x
تربية كله بالنسبة إلى dxيبقى يساوي X تكييب تان
inverse X ناقصها تكامل لل X DX زائد تكامل لل X
واحد زائد X تربيه DX وزائد التكامل لكل منهايبقى
هذا x تكريم تان inverse x زي بهو هذه ايش ناقص x
تربية على الاتنين طيب هذه ايه؟فاستفادوا للمقام
باستثناء اتنين بسيطة نضرب في اتنين و بنقسم على
اتنين يبقى كانوا ضربين في واحد صحيح لانه غير
القيمة زائد نص لان absolute value للمقام لما كان
المقام دائما و أبدا قيمة موجبة يبدو حطيت ال
absolute و لا محطتاش ماعناه مشكلةيعني بعد ما عملنا
integration by parts ظهر لنا تكامل جديد لك تحاول
تتخلص من هذا التكامل الجديد بأي طريقة من طرف
التكامل اللي اتعودناها قبل ذلك لحد هنا stop
ونازلنا في نفس ال section ونحتاج إلى أكتر من نصف
ساعة لإكمال هذا ال section ان شاء الله تعالى في
المرة القادمة يوم غدا