الله الرحمن الرحيم نعود إلى نفس ال section اللي
بيننا اللي بيننا نقول linear dependence and linear
independence فكرة اعتدت عليها في المرة اللي قبل
وقبل حاجة المقابلة الماضية اعتدها الماضية مفادهاإن
لو عندي مجموعة من ال vector بقول عنهم linearly
dependent إذا قدرت أكد واحد أو as a linear
combination من من الآخرين إذا جيت لأي vector من
هذا ال vector من المعلاقات و قدرت أكده as a linear
combination من الآخرين بقول هدول المجموعة are
linearly dependentتمام و أعطيني على ذلك مثال واحدة
من المرة الماضية أخدنا two vectors و قدرت أثبت أن
واحدة فيهم مضاعفات تانية و بالتالي الاتنين هذول
صاروا linearly دجالة ننتقل الآن إلى المثال رقم
اتنين اعطيني اربعة vectors زي ما انتوا شايفين في
R3و بيقولي حد اخدي هل ال vectors هذول are linearly
dependent و لا linearly independent بقوله كويس
يبقى انا عندي اربعة vectors اذا جدلت اكتب اي واحد
فيهم بدلات الآخرين يبقى نقطة الخط بيصير هذا الملهم
linearly dependent تبقى لنص النظرية طبعا عندي
اربعة أفك مين منهمهو ناجي جدا كثير ماعناهاش مشكلة
يبقى لو راحت .. لو راحت اخذ اي واحد فيهم على سبيل
المثال و كنت اشوف هل بدر افقلينا ال mobile nation
من الاخرين ام لا فمثلا ماشي رأيك ما انا اخد اخد
فيه اربعة مثلة و نشوف هل بدر افقلينا ال mobile
nation من الأول الي اتي التلاتةأو الأول هالبعد
راكبه ليليا قوم بانيشي من التلاتة اللي بعده، اللي
بتكوينها، مالاش مشكلة، أي واحد منهم يبقى دي واحد،
ماشي؟ فمثلا، لو جيت، قول، بدي أخدكي أربعة، بدي
أجيكي ناجلة، بأكل، و أز، إيه ليليا قوم بانيشي من
الآخرين، بيتبقى المفروض، لذلك، بدي أفترض إنه بدي
راكبه ليليا قوم بانيشي، دلوقت مش افترض يصرح و الله
يرحبالسابق رضّى صح بصبن عليه وانت غلط تجيب كلامنا
وكتبنا غلط وانت تجيب كلامنا وكتبنا غلط وانت تجيب
كلامنا غلط وانت تجيب كلامنا غلط وانت تجيب كلامنا
غلط وانت تجيب كلامنا غلط وانت تجيب كلامنا غلط وانت
تجيب كلامنا غلط وانت تجيب كلامنا غلط وانت تجيب
كلامنا غلط وانت تجيب كلامنا غلط وانت تجيب كلامنا
غلط وانت تجيب كلامنا غلط وانت تجيب
كلامنا غلط وانت تجيب كلامنا غلط و
يجب أن نعرف عليه تقريبا أنت K V1 زي B V2 زي C V3
V7 اللي هو مين؟ فجهته من V1 في A يبقى A و 2A و
ناقص A زي كم جهته من V؟ B و ناقص 2B و Vزائد تلاتة
دولة بقوة C ناقص تلاتة C اتنين C وناقص C كله بدل
شامي بدل شامي بيه اربعة هي اربعة ليه هو اتنين و
اتنين و اتنين طيب هدول لو انجمعتهم يدفعوا سيناولنا
A زائد Bنقص ثلاثة C كمكونة اللغة كمكونة التانية 2A
نقص اتنين B زائد اتنين C كمكونة التالتة نقص A نقص
A زائد B نقص A زائد B نقص C كل هذا الكلام بتساوي
اتنين وزي وزينعمل من هذه المعادلة linear system
الـ linear system تبتعد A زائد B نقص ثلاثة C يساوي
اتنين المعادلة التانية اتنين A نقص اتنين B زي
اتنين C يساوي Zero المعادلة التالتة نقص A زائد B
نقص C يساوي Zeroيبقى هذا system و ال system هذا
معناه non-homogeneous ما هواش homogeneous يبقى
بناءً عليه تردد أعيد صياغة المعادلات هذه بالصياغة
التالية اتربت تالتة اتربت تالتة اتربت تالتة اتربت
تالتة اتربت تالتة اتربت تالتة اتربت تالتة اتربت
تالتة اتربت تالتة اتربت تالتة اتربت تالتة اتربت تو
هنا a-b زائد z يساوي zero هنا a-a زائد b زائد z
يساوي zero قضيت بقدر اجبح؟ اه لو جمالك مش اللي
فيحصل ادول مع السنة اه فالسطرين مضلش عندنا اللي
بينا بنات الا a زائد bمعقص ثلاثة C يساوي اتنين إذا
هذه معادلة كانت مجهولة في ثلاثة مجالين لا يمكن
نتركها في المعادلة هذه إلا إذا حصلت لنا قيمتين من
المجهولين اللي عندنا وجبنا قيمة المجهول الثالث في
دلالت هتين التيبتين فبعدين أقول لغاية لو كانال A
مثلا بدي سوى K1 وال .. وال .. وال C بدي سوى K2
then بصير عشان كده K1 زائد B ناقص ثلاثة K2 بدي سوى
مان؟ بدي سوى ثلاث ومنها ال B اللي بديها اللي هي K2
زائد تلاتة K2 ماقص K1 يبقى بداء عليك تجد قيم ال A
والB والC مش كلهم أصفر ومتاليه دول linearly يبقى
بداء على ال A والB and C are not zeroما دام not
zero إذا ال vectors هؤلاء ما لهم linearly
dependent يبقى هنا saw the vector اللي هو v4 is a
linear combination of
v1 وv2
بالنظرية السابقة V1
و V2 و V3 و V4
linearly dependent وانتهينا من هذا المثال مثال
ثلاثة اعطي مثال ثلاثة
قبل ان نبدأ هل تستطيع ان تسأل اي سؤال هنا؟ هل
تستطيع ان تسأل اي سؤال في الكلام اللي قدامنا هذا؟
واضح يعني؟ طب المثال الثالثبقول افترض ان P1 as a
function of F1 as a function of X بده يساوي واحد
صحيح وال F2 as a function of X بده يساوي ال Xوالـ
F3 as a function of X بده يساوي تلاتة ناقص X وكل
هذا موجود في capital P1 of X where حيث ال P1 as a
function of X هذه is the set of all polynomials is
the set ofall polynomials يبقى مجموعة كثيرات
الحدود of degree less than or equal to one less
than or equal to one السؤال هو is
السؤال هو is F1 و F2 and F3 are linearly dependent
or linearly independent هذا هو السؤال solution
يبقى يعطيني three functions موجودة في المجموعة أو
في ال vector space P1 of X مين P1 of X يبقى هو كل
ال polynomials of degree less than or equal to one
يعني مين يعني كل ال functions اللي من الدرجة
الأولى بزيدش عن الدرجة الأولىدرجة الأولى درجة
الصفرية ماشية كل اللي منه تحتها يعتبر functionيبقى
كل real number اللي خلقهم ربنا بقدر اعتبر كل واحدة
فيهم functions اجمع فيهم functions حط x معاهم
function اضرب x في نص في تلاتة اربعة في اتنين في
خمسين في عشرين في ناقصان اذا ايه اللي اخري يبقى
هذه كلها functions مختلفة موجودة وين في ال P1 of X
من هدول أخدت تلاتة التلاتة من اللي ال F1 يسوى واحد
صحية
هل التلاتة اللي موجودة في P1are linearly dependent
ولا linearly independent بقوله بسيطة إذا جدرت تكتب
واحد منهم بدلالة الأخرين يبقى على طول الخط بيكونوا
التلاتة linearly dependent بنص النظرية اللي
درسناها في المرة الماضية و اللي أعطينا عليها هى
المثال رقم اتنينبعدين بقول كويس يبقى أنا بدي أجي
لأي vector فيهم أشوف بقدر أكتبه بدلالة الآخرين أم
لا إذا كدرت كأنا بيها ماقدرناش بقول كفى الله
المؤمنين القتال يبقى ليس و لين يرضي من ذلكفبجي
بقول ماتي لو روحت أخدت ال F تلاتة of X يا بنات
يبقى ال F تلاتة of X هي مين؟ تلاتة ناقص X الآن هل
التلاتة ناقص X بقدر أكتبهم بدلالة ال two functions
هدول أم لا؟ بنقول الله أعلم تعالى نشوف يبقى هذه
بقدر أكتبها تلاتة في مين يا بنات؟تلاتة في واحد
تمام اللي بعد هذه بقدر اكتب زائد ناقص واحد في ال X
مظبوط؟ سويناش شيءيبقى هذا الكلام بده يساوي هاي
التلاتة اللي عندنا الواحد عبارة عن مين عن ال F1
يبقى F1 of X زائد ناقص واحد ال X هي عبارة عن مين
عن F2 of Xيبقى قدرت اكتب ال F3 as a linear
combination من F1 و F2 يبقى هنا ال F3 of X as a
linear combination of
the two vectors
اللي هو ال F1 of X and F2 of X by the previous
Theorem بالنظرية السابقة ال F1 of X وال F2 of X
وال F3 of X are linearly dependent وانتهينا من
المثل
نعطي كمان مثال مثال
أربعة بيقول لـ let ال F1 of X بيساوي واحد زائد X
وال F2 of X يساوي واحد ناقص X تربيعوال F تلاتة of
X يسوى ال X تربية كل هذا موجود في ال P2 of X where
حيث ال P2 of X is the
set of all polynomials
السؤال هو is theVectors هل ال vectors F1 و F2 و F3
are linearly dependent or linearly independent هذا
هو السؤال
نرجع لسؤالنا مرة ثانية ميعطيني تلاتة vectors أو
تلاتة functions f1 of x يساوي واحد زياد x f2 of x
يساوي واحد ناقص x تربيع f3 of x يساوي x تربيع كلهم
موجودات في ال P2 of xمن ال P2 of X يبقى كل ال
polynomials من الدرجة الثانية أو أقل من الدرجة
الثانية يعني من الدرجة الأولى ماشي من الدرجة
الصفرية ماشي لكن مايزيد عن الدرجة يعني بديش أشوف X
تكعيب فما فوق نهائي في أي vector من هذه ال vector
كله X تربيع ويرجع ممكن X تربيع ممكن X من الدرجة
الأولى وممكن ثابتيبقى function يعطيني هنا تلاتة
vectors F1 و F2 و F3 و بيسأل هل التلاتة دول
linearly dependent ولا linearly independent بقول
والله كويس إذا جدرنا نكتب واحد بدلالة الآخرين
الإتنين معناته دول linearly dependentماقدرنا يبقى
linearly independent تعالوا نشوف يبقى نفس الفكرة
تبع المثال السابق قبل قليل إذا بدي أفترض أني بقدر
أكتب واحد فيهم بدلالة من؟ بدلالة الآخرين يبقى هنا
حاجة أقوله هنا assume
مثلا f3 of x يبدو يساوي x تربية is a linear
combination
of
f1 of x and f2 of xThat is أي أن مثلًا A في ال F1
of X زائد B في ال F2 of X بده يساوي ال F في 3 of X
مش هيك؟ هذا معنى أن F3 هي linear combination من
من؟ من اتنين الأخرينمعنى هذا الكلام ان ال A في ال
F1 الى يجداش يا بنات واحد زائد X زائد ال B ال F2
واحد ناقص X تربيع بديه يسوى ال F تلاتة الهمين X
تربيعبدا فك هذه المعادلة بـ GA زائد AX زائد B ناقص
B X تربية كله بدل سوى من X تربيةالان بدي اعمل
مقارنة بين المعادلات في الطرفين والله قبل اعمل
مقارنة بدي اجمع الثوابت مع بعض a زائد b ال a x
لحالها مافيش غيرها السالب b x تربيه لحالها مافيش
غيرها بدي ساوي ال x تمري بتربيهيبقى بدي اقارن
المعاملات في الطرفين و comparing the coefficients
in both sides of the equation we get يبقى لو روحنا
اقارنها بنحصل على ايش على a زائد b بده يساوي zero
و بدنا نحصل على ان ال a بده يساوي zero و بدنا نحصل
على ان سالب b بده يساوي قداش واحدمن هذه بقدر اقول
ما يأتي ال a زائد ال b بده يساوي zero وال a بده
يساوي zero وال b تساوي قداش سالب واحدطيب بدي اخد
هجيب قيمة A وB بدي اشوف هل كلامي هذا صحيح ولا لأ
فبدي اعوض في المعادلة اللي فوق عن قيمة A وB واشوف
اذا والله النتج طلع ب zero يبقى كلامنا صحيح ودول
linearly dependentوانطلع كلامنا غلط يبقى فرضي غلط
وعكسه هو الصح تمام؟ يبقى بداشي اقول هذه بده تعطينا
المعادلة فوق ا بزيرو وال ب بزائد لسالب واحد بده
يسوي قداش؟ Zero هذا معناه ان سالب واحد بده يسوي
Zero مفقين؟يبقى كلام مش صحيح يبقى this is
impossible
Impossible لأن هؤلاء هم الـReal Numbers عادية لا
يمكن الـ0 في يوم من الأيام يكون مساويا للواحدة
الصحيحة مدام الـImpossible شو وصلنا لهذه الشغلة
الغلط الفرض اللي احنا غلط اذا الـF3 اللي يمكن ان
تكون Linear Combination من الـF1 وF2 يبقى التلاتة
هؤلاء Linearly
Independentيبقى هنا فقط الـ F تلاتة is not a
linear combination
of ال F1 and ال F2 هذا بده يعطينا ان ال F1 و F2
and ال F3 are linearly independent
طيب أنا حليت السؤال على مين؟ على النظرية صح ولا
لا؟ لو أحد أجيها السؤال في الامتحانة ونسيت النظرية
وراحت قالت أنا بدي أفترض عندي ثوابة A وB وC A في
F1 زائد B في F2 زائد C في F3 وساوي Zero وطلعت أن
ال A تساوي ال B تساوي ال C تساوي ال Zero يبقى دوش
معناهإنه تلاتة linearly independent يبقى هذا good
exercise إليك إنك تتأكدي إنه التلاتة هذول linearly
independent بطريقتنا مين القديم هو كتب عندك حل هذا
السؤال عن طريق c1v1
زايد C2V2 يعني C1F1 زايد C2F2 زايد C3F3 يساوي Zero
ومن ثم أثبتين ان C1 يساوي C2 يساوي C3 يساوي Zero
يبقى هذا good exercise لك والجواب هيو عندك لإن
هدول ما لهم لإن يعمل ال independent يعني لازم ال c
hat التلاتة يطلع عندك بأصفر تمام تمام
النظرية بتقول ما يأتي في RM بتقول
ال V1 و V2 و لغاية ال VN موجودة في ال RM النقطة
الأولى Fالـ N أكبر من الـ M then the elements V1 و
V2 و لغاية الـ N are linearly dependent نقطة ثانية
لو حدث إن الـ N ساوة الـ Mيبقى then the elements
V1 و V2 و VN هدول are linearly dependent if and
only if ال determinant لمين؟ لل V1 و V2 و لغاية ال
VN كل هذا الكلام كان يساوي Zeroكمان ملاحظة أخرى if
ال determinant لمن؟ لل V1 و V2 و لغاية ال VN لا
يساوي zero then
ال V1 و V2 و VN arelinearly independent كمان نظرية
بيقول
let each element of
v1 وv2 وvn of
a vector a space capital V ب a linear combination
linear
combination of the vectors of the
vectors U1 و U2ولغاية U M لغاية U M of ال vector
space V itself لو كانت ال M أقل من ال N then اللي
هو V 1 و V 2 و V N areLinearly Dependent
نرجع للنظرية الأولى نقرأ نظرية كويس و ندجج في كل
كلمة مكتوبة حتى نستطيع أن نفهمها و ربما نطرح بعض
التساؤلات بدنا الإجابة عليها النظرية بتقول ياخدلك
مجموعة من ال vector من V1 لغاية VN يبقى عددهم جداش
N من ال vectors موجودات في من؟فى RM مين هى RM؟ the
set of all M tuples يعني كل عنصر مكوّن من M من
المركبات يبقى انه M ممكن يتساوى و ممكن ميتساووش
صحيح ولا لأ؟ اه لأنه قلت هدول انه هدول M طيببقول
النقطة الأولى إذا كان ال N أكبر من M يعني عدد ال
vectors اللي أخدتهم أنا أكبر من عدد المركبات في ال
compound أكتر من عدد المركبات في العنصر الواحد
يعني أنا أخدت مثلا زي المثال اللي قبل الأخر هذا
أخدت أربع vectors موجودات في R3مظبوط يبقى اربعة كل
vector من تلت مراكبات موجودة في R3
بقول إن حدث ذلك يبقى العناصر هذه linearly
dependent يبقى المثال قبل الأخر مثال يا بنات اللي
أخدناها في R3 أثبت أن V1 و V2 و V3 و V4 هم
linearly dependent لأنه أخدت واحد منهم لجته linear
combination من الأخرين إذا كان بإمكاني أحل هذا
السؤال كذلك بمين؟بالنظرية هذه صحيح ولا لأ وكان
بإمكان يحل نفس السؤال بأول مبادئ التعريف تبع
linearly dependent و linearly independent يبقى
السعر عندي بدل الطريقة تلاتة لحل السؤال بس للأسف
الشديد هذا الكلام مش في أي vector space بس في RM
يعني المكوّن من M تيوب المركبتين تلاتة اربعة خمسة
زي ما بدك مش اي vector هيجالك في R M يبقى احنا
بنشتغل داخل ال vector space R M فقط طيب خليني اسأل
السؤال التالي حد بتقدر تقول ليه لو كانت ال N أكبر
من ال M يبقى هدول linearly dependent مباشرة
خلّيني أطرح السؤال بطريقة تانية
خدي أمي بتلاتةيبقى كل عنصر في RM مكوّن من كده؟ من
three components تمام؟ بدي أخد أربعة vectors يبقى
صار عندي C1 وC2 وC3 وC4 لما أجي أعمل هدول linear
combination لهم بصير عندي عدد المعادلاتجد عدد
المجاهيل والله أكبر والله أقل مين
اللي أكبر؟عدد المجاهيل أكبر من عدد المعادلات مش
عدد المعادلات أكبر أنا عندي C1 وC2 وC3 وC4 لكن
ماعنديش إلا تلات معادلات إذا لا يمكن حل هذا ال
system إلا إذا فرط قيمة من عندي وبالتالي هدول
بصيروا إيش
بس هنا عندي عدد المجاهل أكبر من عدد المعادلات
وبالتالي لا يمكن حل هذه المعادلاتإلا إذا حطيت قيم
من عندى لمجهول أو لمجهولين أو لثلاثة حسب طبيعة من
حسب طبيعة المسألة وبالتالي ماهياش أسفار حطيت قيم
من عندى وليس بضرورة أسفار وبالتالي صار عندى عدد
لانهائي من الحلول لل homogeneous systemألا اندي
لأن الهوموجين الصسم على الأقل له حل هو مين هو الحل
الصفري إذا هدول linearly dependent يبقى عارف ما هو
السر طيب افترض ان عدد المعادلات يساوي عدد
المعادلات يعني ال N ساوة ال Mأنا عندي R3 أخد ثلاثة
vectors، عندي R4 أخد أربعة vectors، R5 أخد خمسة
vectors، تمام؟ يبقى لو الـN سوى الـM، يبقى هدول
بيكونوا linearly dependent، if and only في
الاتجاهين صحيحان، إذا كان الـdeterminant لهذه ال
vector يساوي 0، كيف؟ يعنييعني بدي اجي ال V1 و بدي
احطه كعمود هو موجود في RM يبقى الأفق يبقى اقدر
اكتبه عمود واخدنا هذا في ال chapter الماضي يبقى
بدي اكتب هذا العمود الأول العمود التاني التاني
واخد المحدد لهذه المصممة لازم المحدد يساوي قدرإذا
المحدد سوى Zero يبقى هدول Linearly Dependent
والعكس لو كانوا Linearly Dependent إيه جباري
المحدد هذا بده يسوى جداش Zero طب إيش رأيك تعالي
ننفل عبارة هذه ننفل عبارة يبقى لو كان هذا لا يسوى
Zeroفهدول إيش بدهم يكونوا؟ linearly independent
يبقى الملاحظة بتقول لو كانت دي determinant ماقلتش
if and واللي في فهد لبالك اه ماقلتش يبقى نفيتي
اتجاه فقط فباجي بقول لو كان هذا لا يساوي zero يبقى
هدول linearly independent وبالتالي كأنه قال اتفضل
هي طريقة أخرى للحكم على ال vectors هل هم linearly
dependentوالله linearly independent إذا باجي على
ال vectors اللي عندنا و بعملهم كمصفوفة باخد لها
المحدد طالع المحدد يساوي zero بجهته linearly
dependent طالع المحدد لا يساوي zero بجهته linearly
independent واضح هذه طبعا هعطيكي كذا مثال عليها
الآنالان بنجي للنظرية التانية بقول لو كان كل عنصر
في المجموعة هدول اللي موجودة في ال vector space B
كتبته ك linear combination من vectors أخرى في V
هدول عددهم N و هدول عددهم Mيبقى ال V هات غير ال U
هات غيرهم في الشكل و غيرهم في العدد كمان مش جات
بعض ايش بيقولي لو كانت ال M أقل من N يعني عدد ال
vectors هذول أكبر من عدد ال vectors هذول تمام؟ إن
حدث ذلك يبقى على طول الخط هذول الأولانيات بيكونوا
linearly dependentوالله هي فرضه فكرة كويسة وحنعطيك
الأمثلة عليها الآن كمان تبقى وحنبدأ نعطي أمثلة على
النظريتين الأولى كنا بنتحدث يا بنات بس على مين على
RM هنا مين مكان ال vector يكون ماحطيتش قيود عليه
ال vector space طلعي هنا قلت هدول وين؟في RM هدول
قلت وين في ال vector space في mean مكان يكون ليس
بالضرورة RM و اين ما ممكن يكون any another vector
space اي vector space اخر نبدأ ناخد بعض الأمثلة
على الكلام اللي احنا بنقول يبقى نبدأ ل example one
Determine whether the
following vectors
are
linearly dependent or linearly independentنمر ايه؟
هذا السؤال الأول من الكتاب رقم C مواطيني V1 يساوي
2 و 1 و V2 يساوي 3 و 0 و V3 يساوي 1 و 4
يبقى سؤال قال حدد لي ال vectors التالية هل
linearly dependent ولا linearly independent بسيطة
جدا انا بيعطيني ثلاثة vectors طب التلاتة vectors
وين موجودة تدريبا تار تو تمام يبقى solution ال
V1و ال V2 و ال V3 اللي ميعطينيهم موجودات في R2 ليش
ان كل واحد منهم عبارة عن two components طيب عدد ال
vector اللي خدتهم كده؟ تلاتة و عندنا هنا كده؟ يبقى
هذا بده يعطيني ان N تسوى تلاتة and Mتساوي قداش
اتنين يبقى هنا since بما ان ال N تساوي تلاتة اكبر
من ال M اللي يبدأ تساوي اتنين فباشي بقوله by the
first theorem من
نظرية الأولى اللي هو ال V واحد وال V اتنين andالـ
v3 are linearly dependent وانتهينا من المثل طيب
انت في الامتحان وجاكي سؤال زي هذا وماجعش في بالك
هالنظرية كيفيك تسويها بقول constant في الأول
constant في التاني constant في التالت يساوي zero
وبروح أجيب ال c1 و ال c2 و ال c3 انطلعوا بأسفار و
لن يطلعوا بأسفاربقول linearly independent ليش لن
يطلع عليهم هيهم linearly dependent هم يعني مرة
بيصيروا linearly independent ومرة linearly
independent مافيش independent مافيش إمكانية يا يا
linearly independent يا linearly independent مافيش
فادةطيب إذا بناءنا عليه هيطلع عندك ان C1 وC2 وC3
not all zero يعني هذا check لو بدك تتأكد ان كلامنا
هذا صح ولا غلط حابب good exercises لك حابب ماتكيش
بلاش مافيش إجبار يعني في هذه الحالة يبقى مش هيتأكد
هدول nearly dependent نيجي نمر بيه من السؤالنبرمى
من السؤال اللى هو السؤال الاول رقم G السؤال الاول
رقم G بيقول V واحد يساوي اتنين وسالب واحد واحدو V2
بده يساوي 2-3-2 و V3 بده يساوي 2 3 7 و هدول كلهم
موجودة هنا في R3 بده أشوف هل هدول are linearly
dependent ولا linearly independent كام vector
هدول؟الموجودات مين؟ يبقى N تساوي M مظبوط يبقى هنا
بقوله solution يبقى هنا ال N تساوي ال M تساوي
التلاتة برجع للنظرية بيقول إذا عندك N تساوي M عشان
تحكم linearly dependent بدك تروح تاخد مين؟الـ
Determinant تبع الـ V1 والـ V2 والـ V3 يبقى بناءً
عليه بدي أجي أخد الـ Determinant لمين؟ للـ V1 والـ
V2 والـ V3 واللي هو بده يساوي المحدد باجي لـ V1 يا
ماناته و بكتب زي ما هو 2 سالب 1 1V2 هو العمود
التاني اتنين سالب تلاتة سالب اتنين V تلاتة اتنين
تلاتة سبعة بالشكل اللي عندنا هو Y بالساوية بدا فك
المحدد باستخدام عناصر اي صفة او اي عمود عندنا
فمثلالو جيت قولت بدي أفكه باستخدام عناصر الصف
الأول يبقى أي اتنين فيه قشط بصفه عموده بصير سالب
واحد وعشرين زائد ستة يبقى سالب واحد وعشرين زائد
ستةهيو بالسالب وهذا بيصير بالموجب حسب قاعدة
الإشارات بسالب اتنين فيه اشط بصفه عموده يبقى ناقص
سبعة ناقص تلاتة يبقى ناقص سبعة ناقص تلاتة حسب
قاعدة الإشارات اتنين بالموجب اشط بصفه عموده يبقى
اتنين زائد تلاتة اتنين زائد تلاتة هذا الكلام بده
يساويستة بده اشيل منهم سالب واحد وعشرين ويظل سالب
خمستاشر فى اتنين بسالب تلاتين هذا سالب عشرة فى
سالب اتنين بزايد عشرين هذا خمسة فى اتنين بزايد
عشرة قداش الناتج Zero ممتاز جدا جالى اذا انتوا
ساوي م المحدد يساوي Zero يبجى هدول بقى لهميبقى هنا
باجي بقوله by the first theorem part
الي هو two الجزء الثاني
إن الـ V1 والـ V2 والـ V3 are linearly dependent
هذه
نمرة V من السؤال، نروح لنمرة C
نمرى C بيقول V1 تساوي تلاتة واحد واحد و V2 تساوي
اتنين وسالب واحد وخمسة و V3 يساوي اربعة وزيرو
وسالب تلاتةوكل هؤلاء موجودين في R3 نرى هل هؤلاء
Linearly Dependent او Linearly Independent اذا نحن
لا نتكلم عن نظرية ثانية لازم نكون في نفس main
النظرية الأولى ليش؟ النظرية الأولى على R to the
power M بقول كويس يبقى انا عند ال N يسوى main يسوى
ال Mقال لي لما ال N يساوي N بدك تتكلم عن المحدد
إذا المحدد يساوي Zero يبقى هدول Linearly Dependent
وإذا المحدد لا يساوي Zero يبقى هدول Linearly
Independent
يبقى بداجي هنا شوف هل هدول linearly dependent و
الله linearly independent يبقى بناء عليه بقوله
solution احنا عندنا بلقت هنا ان ال N تساوي ال M
تساوي 3 اذا بناء عليه بدي اروح اخد ال determinant
لل V1 و V2 و V3 اللي هو المحددV1 هو تلاتة واحد
واحد V2 هو اتنين اتنين ناقص واحد خمسة V3 هو اربع
زير سالب تلاتةيبقى هذا المحدد يابروح أفكه باستخدام
عناصر الصف الثاني أو العمود الثالث سياب يبقى لو
جيت أفكه باستخدام عناصر العمود التالت مثلايبقى هذا
الكلام بده يساوي أربعة فيه أشط بصفه عموده بيصير
خمسة زائد واحد خمسة زائد واحد نيجي لبعده ناقص Zero
في محدد Zero مع السلامة اللي بعده ناقص تلاتة كما
هو لإن الشرط في الأصل موجب أشط بصفه عموده بيصير
سالب تلاتة سالب اتنين سالب تلاتة سالب اتنين5 1 6 4
24 5 5 3 15 39
39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39
39 39 39 39 39 39 39
39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39
39 39 39 39 39 39 39 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
9 9 9 9 9 9 9 9يبقى هنا صح V1 و V2 و V3 are
linearly independent و ليسوا linearly dependent
هذا طبعا هو المثال الأول بدنا نروح الآن للمثال
الثاني المثال الثاني الحقيقي بياخد وقت فأقرا أنه
أجيله للمحاضرة تبعت بعد الظهر ان شاء الله تعالى