بسم الله الرحمن الرحيم مواصلة ما ابتدأنا به في المرة
الماضية وهو موضوع ال power series طبعًا ابتدينا
فيه المرة الماضية وأخذنا على ذلك أربعة أمثلة و
بنعطي الآن مثالًا بشكل آخر غير الأشكال الأربعة اللي
شفناها في المرة الماضية المثال بقول ما يأتي هات لي
فترة التقارب لل power series اللي قدامنا هذه and
find the sum of the series as a function وهات لي
مجموع هذه المتسلسلة كدالة يبقى في الأول بدنا نروح
نجيب فترة التقارب لهذه ال series يبقى solution
حابين نتعرف على شكل ال series فبجي بقول summation
من N equal zero to infinity لل X تربيع زائد واحد
على ثلاثة to the power N الحد الأول بواحد الحد
الثاني X تربيع زائد واحد على ثلاثة الحد الثاني X
تربيع زائد واحد على ثلاثة لكل تربيع بنبقى ماشي
لغاية ما نوصل ل X تربيع زائد واحد على ثلاثة كله to
the power N زائد إلى آخرين يبقى كتبنا ال series
على الشكل اللي قدامنا السؤال هو هل هذه ال series هل هي
من ال series الثلاث المشهورة اللي كنا بنتعامل
معاها طيلة هذا ال chapter بالمرة النهائية يعني هذه
ليست Geometric ليست P Series ليست Harmonic؟
Geometric يعني يعني هي واحدة منها من الثلاث اقسم
الحد هذا على هذا كده إيش بيطلع الجواب أكثر بها زي
واحدة على ثلاثة اقسم هذا على هذا أكثر بها زي
واحدة على ثلاثة يعني كده إذا هذه Geometric Series
Converged إذا كان الأساس تبعها هذا ماله أقل من
الواحد الصحيح يبقى هذه Convergent Geometric Series
إذا كان absolute value لل R لو بدي أسوي absolute
value لإكس تربيع زائد واحد على ثلاثة أقل من مين؟ أقل
من واحد طيب هذه عمرها بتاخد قيمة سالبة تقول
absolute value كتبناها والله شيلناها سياد يبقى هذا
معناه أن ال X تربيع زائد واحد على ثلاثة أقل من مهم
أقل من الواحد أو إن شئتم فقولوا أن هذه convert
geometric إذا كان ال X تربيع زائد واحد أقل من من
ثلاثة وإن شئتم فقولوا X تربيع أقل من اثنين وإذا
أخذنا الجذر التربيعي بيصير absolute value ل X أقل من
square root للاثنين يبقى باجي بقول له the series
converge on the interval على الفترة هذه إيش
معناها؟ X محصورة من سالب جذر اثنين وجذر اثنين، إذا
على الفترة من سالب جذر اثنين إلى جذر اثنين يبقى أنت
هنا من المطلوب الأول قال لي هات لي فترة التقارب لل
power series اللي عندنا أيوة السؤال
بيسأل بيقول أنت كانت بفترة مفتوحة بنعرفش تكون مغلقة
بنقول له تعالى نشوف بنفعله بنفعش إيش سميناها ال
series هذه؟ Geometric وانتش ال geometric converge
طب لو كانت تساوي واحد يعني بنفع نجلها هي؟ هي بنفع؟
خلاص ما يبقى مينفعش ليش؟ لأنه إذا كانت أكبر من أو
تساوي واحد ال series مالها؟ بي vary بقدرش أقول
closed interval وإنما بقول open interval طب
انتهينا من المطلب الأول المطلب الثاني بيقول لي على فترة
التقارب هذه بتجيب لي المجموع تبع السيريز هذه as a
function باجيب أقول له it's sum المجموع تبعها as بدي
أديله capital S capital S يساوي الحد الأول على
واحد ناقص الأساس الأساس يقول X تربيع زائد واحد
على ثلاثة هذه هي اللي هي بدها تساوي من ثلاثة على
مين؟ على ثلاثة ناقص X تربيع ناقص واحد أو إن شئتم
فقولوا ثلاثة على اثنين ناقص X تربيع سؤال هو أليست
هذه function في X يبقى بناء عليه المجموعة S as a
function of X فالـ F of X بدّه يساوي ثلاثة على
الاثنين ناقص X تربيع المطلوب الثاني من المثال
الآن انتهينا من الجزء الأول من هذا ال section بدنا
ننتقل إلى الجزء الثاني الجزء الثاني من هذا ال
section هو differentiation term by term and
integration term by term يبقى بدنا نيجي اللي هو
differentiation term by term بالنسبة لل power
series يبقى باجي بقول له term by term
differentiation theorem
النص التالي F summation من N equal zero to
infinity ل C N X نقص ال A to the power N converge
for ال A نقص ال R أقل من X أقل من ال A زائد ال R
for some
اللي greater than zero it defines بتعرف
a function هنسميها f of x تساوي هذا ال summation
اللي عندنا summation من n equal zero to infinity
للـCN الـ X نقص الـ A to the power M والـ X بتتحرك
في الفترة من الـ A سالب R إلى الـ A plus R This
function has a derivatives Has derivatives of all
orders
من كل الرتب Inside the interval of convergence
interval of convergence as follow كتابة
النقطة الأولى هي term by term differentiation
theorem والنقطة الثانية term by term integration
theorem خلينا مع النقطة الأولى في الأول فباجي
بقول لو كانت ال series اللي عندنا هذه convert على
الفترة اللي عندنا من a-r أو ال x محصورة من a-r والـ
A زائد R إذا بتذكروا وإحنا لما اتكلمنا في الجزء
النظري تبع ال power series نقول لو عندنا فترة زي
الفترة هذه وأجت A في منتصف الفترة كان هذا نصف قطر
التقارب R وهذا نصف قطر التقارب R يبقى إحداثيات
النقطة هذه A زائد R وإحداثيات النقطة هذه لإيه
الناقصات بعد النقطة هذه ال series مختلفة وقبل
النقطة هذه ال series كذلك مختلفة وفي الداخل هنا ال
series مالها؟ مختلفة بالشكل اللي عندنا هذا فبقول لو
ال series converge على الفترة اللي عندنا هذه it
defines a function يعني ال series هذه يمكن كتابتها
على شكل function f of x تساوي هذا ال summation
صارت هذه فترة التقارب لهذه الدالة اللي هي تعتبر
domain لمين؟ Domain للدالة F of X يعني إحنا لأن
كتبنا ال function على شكل power series بقول لي هذه
الدالة لها مشتقات من جميع الرتب خلال فترة التقارب
تبع السيريز كيف؟ كالتالي يبقى إحنا لو جينا وقلنا
هذا ال F of X اللي تساوي ال summation يبقى C0 زائد
C1 في X نقص ال A زائد C2 في X نقص A لكل تربيع زائد C3
في X نقص A لكل تكعيب زائد زائد CN في X نقص A to the
power N زائد الآخرين يبقى هذا الـ function كتبناها
على شكل ال power series اللي قدامي يعني اللي أنا
بدي أبدأ اشتق لو قلت f prime of x يبقى الأول هذا
مشتقته بقداش؟ مش هيظهر عندي C1 مقدار ثابت الـA
مشتقتها بـ0 مشتقة الـX بـ1 في C1 مقدار ثابت C1 فقط
C2 مقدار ثابت يبقى الأس في القوس مرفوع لنفس الأس
مطروح منه واحد في تفاضل مداخل القوس اللي هو مقدار
ثابت C1 مقدار ثابت C2 مقدار ثابت C1 مقدار ثابت C2
مقدار ثابت C2 مقدار ثابت C2 مقدار ثابت C2 مقدار
ثابت C2 مقدار ثابت C2 مقدار ثابت C2 مقدار ثابت C2
ثابت C2 مقدار ثابت C2 مقدار ثابت C2 مزيد ثلاثة C
ثلاثة X ناقص ال A لكل تربيع في مشتقة مداخل القوس
اللي هو بقداش؟ بواحد زائد زائد N CN X ناقص ال A to
the power N زائد واحد زائد الآخرين يبقى هذا الشغل
اللي اشتغلنا اسمه differentiation term by term يبقى
روحنا اشتقينا term by term كل series لغاية
infinitive شو رأيك إني بقدر أكتب هذه المشتقة على
شكل power series بدل ما هي بالشكل الكبير بدي
أكتبها بالشكل الجديد يبقى summation وبروح بحط
الحد النوني N في CN في ال X ناقص ال A to the power
N زائد واحد من عند ال N تساوي أكثر قدره لغاية
Infinity من أين بدنا نبدأ؟ من عندها تساوي قدره؟
متأكدين؟ فما هو السبب؟ أنا موافق، بس ليش؟ أيوة لأن
الحد الأول هذا طارِ يعني ال series نقصت حدًّا من
بداية ال series ومشان تتأكد ابدأ حط n بواحد اثنين
ثلاثة في الصيغة اللي عندك شوف يطلع ال series اللي
عندنا هذه ولا لأ فمثلا لو قلنا n بواحد C واحد ودق
ال zero اللي بواحد يبقى الجواب بس جديد C واحد حط n
بـ 2 بصير 2C2 X ناقص A و S 1 يبقى 2C2 X ناقص A 2C2
X ناقص A 2C2 X ناقص A 2C2 X ناقص A 2C2 X ناقص A
2C2 X ناقص A 2C2 X ناقص A 2C2 X ناقص A 2C2 X ناقص
A 2C2 X ناقص A 2C2 X ناقص A 2C2 X ناقص A 2C2
ناقص A 2C2 X ناقص A 2C2 X ناقص A 2C2 X ناقص A 2C2
2C2 X ناقص A 2C2
X ناقص A
2
سي واحد مقدار ثابت يبقى مشتقته مع السلامة بصير هذا
اثنين سي اثنين زائد ستة سي ثلاثة في ال X نقص ال A
زائد زائد N في N نقص واحد في C N في ال X نقص ال A
تدفع power N زائد اثنين زائد الآخرين نبدأ نكتب هذا
على شكل summation من N تساوي أبصر قداش لغاية ال
infinity لل N في ال N ناقص واحد في ال C N في ال X
ناقص ال A to the power N minus two N من وين؟ من
عند اثنين متأكدين؟ آه من عند اثنين لأنه طارت term
الأول لأن هذا راح طيب شوف تعال تأكد كلامنا صح ولا
لأ اثنين اثنين ناقص واحدة بواحد يبقى هذا كله
بـ اثنين سي اثنين وهذا zero يبقى واحد يبقى الحد
الأول اثنين سي اثنين مظبوط بعد اثنين حط ثلاثة بصير
ثلاثة في اثنين اللي هو بستة C3X-A1 يبقى 6C3X-A1
وهكذا يبقى شغلنا سليم مائة بالمائة بنطلع من هذا
الكلام يبقى أنه عند الاشتقاق مرة ال index اللي تحت
ال summation بينقص واحد اشتق كمان مرة، بنقص كمان واحد،
اشتق كمان مرة، بنقص كمان واحد، وهكذا يعني لو
اشتقيت N من ال K من المرات بيصير ال summation هذا
من عند N تساوي K إلى Infinity وهذا بيصير K من
المشتقات، تمام؟ طيب كويس، وهكذا لو استمرنا بهذه
الطريقة، فمش بدنا نوصل ل R صار عندنا two series
جداد وعندنا ال series الأصلية هي هذي converge على
الفترة اللي عندنا هذي السيريز المشتقة التنتين هدول
converge على نفس الفترة وكمان لو اشتقت مئة مرة
كمان بعد ذلك برضه converge على مين يبقى ال series
الأصلية ومشتقتها converge على نفس الفترة يبقى بدنا
نشيل هذا بما يأتي فبروح بقول
هذه الـ derived كل
واحد من هذه السلسلة الوحيدة الوحيدة
الوحيدة موجودة في كل موقع
في كل
موقع في كل موقع في كل موقع
مقارنة مقارنة مقارنة مقارنة مقارنة
original series يبقى كل من المتسلسلات المشتقة
converge على نفس الفترة الاساسية الأصلية converge
عليها نبدأ نيجي للنقطة الثانية والأخيرة في هذا ال
section term by term integration theorem بعد ما
فاضلنا بدنا نروح هنا نكامل
بقول افترض أن suppose that suppose
that ال F of X بده تساوي ال summation من N equal
zero to infinity ل C N X نقص ال A to the power N
converged for X اللي هي أكبر من ال A ناقص ال R وأقل
من ال A زائد ال R وال R greater than zero
نفس الفترة اللي عندنا هذه الـ A ناقص الـ R إلى
الـ A زائد R and وفي نفس الوقت تكامل لل F of X DX
بدي يساوي اللي هو summation من N equal zero to
infinity لمين؟ للـCN X ناقص الـ A to the power n
plus one على n plus one plus constant c على نفس
الفترة اللي هو من a ناقص r إلى a زائد r examples
consider
the function
يعتبر الدالة EO6 يساوي summation من N equal zero
to infinity للـ x to the power n على n factorial
اللي هي واحد زائد x زائد x تربيع على اثنين factorial x
تكعيب على ثلاثة factorial زائد x أس n على n
factorial زائد الآخرين that converge for all x
المطلوب الأول show that بيّن لي أن مشتقة ال EO6 بده
تساوي ال EO6 نمرا بيه show that بيّن لي تكامل ال EO6
DX بده يساوي ال EO6 زائد constant C
إحنا هنا كنا بنتكلم عن الاشتقاق لل power series و
as a function محطوطة ال series اللي عندنا as a
function على الشكل اللي عندنا هذا اشتقينا مرة و
مرتين وفي كل مرة بتغير ال index اللي تحت ال
summation كل اشتقاق بنقص ال index بمقدار واحد ال
series المشتقة وال series الأصلية كلهم converge
على نفس الفترة تعليل ال integration term by term
يعني بدنا نكامل كل term من حدود ال series ونعرف ما
هو شكل ال series الناتجة يفترض أن ال F of X مكتوبة
عندي على شكل summation بهذا الشكل طبعًا يمكن
تستغربوا أن ال function مكتوبة على شكل summation
بهذا الشكل ولا تستغرب ولا حاجة المحاضرة القادمة إن
شاء الله يعني ال section القادم كله كيفية كتابة ال
functions على شكل power series وهذه اللي بنسميها
taylor series و maclaurin series يبقى افترض أنه
عنده function محطوط على شكل power series وهذي ت
converge على نفس الفترة اللي عندنا هذي then
summation على ال series هذي هذي شو بتفرق عن هذي سي
إن مقدار ثابت زي ما هو يبقى أرفعنا للأس واحدة وقسمنا
عليها على الأس الجديد يبقى كأنه إيش عملنا
لهذه عاملنا لها تكامل كأنه كاملناها يبقى ال series
هذي converge على نفس الفترة وبالتالي تكامل لل f of
x dx يساوي النتيجة اللي عندنا هذي بالضبط تمامًا زائد
constant زائد constant وعلى نفس ال interval اللي عندنا
بناخذ أمثلة على ال differentiation term by term و
ال integration term by term سواء جلي أو مجليش يعني
مجليش استخدم ال differentiation أو استخدم ال
integration أو أطالي مثلًا وبده حل بقول هنا اعتبر
الدالة EO6 مكتوبة على شكل ال summation اللي عندنا
هذا أو ال summation الطويل اللي عندنا هذا بقول
كويسة اللي بتبقى converge على كل ال real line
بالاستثناء يعني ال interval of convergence من سالب
infinity إلى infinity وإحنا شوفنا في ال power
series ممكن تكون ال series converge على كل ال real
line بلا ستة نار المطلوب الأول بيقول إن مشتقة ال
EO6 هي ال EO6 itself طب هذا خدناه أين؟
أثبتنا إن مشتقة الـ EO6 هي الـ EO6 بس عن طريق الـ
LEN هنا لا بدك تثبت عن طريق الـ Power Series اثنين
بدك تثبت تكامل الـ EO6 هو بالـ EO6 itself زائد كنصة
برضه باستخدام من الـ Power Series نقول كويس خلينا
نمسك الأولى يبقى بداش أقول له D على D لل E وال 6
يساوي بدي اشتق معناته هذه يعني بدي اشتق كل
الحدود اللي عندنا مشتقة الواحد بقداش؟ صفر هذا،
مشتقة ال X بواحد؟ اللي بعده 2x على 2 factorial زائد
2x على 2 factorial زائد 3x تربيع على 3 factorial
زائد n x أُس n ناقص واحد على n factorial زائد إلى
آخرهم طيب تمام يبقى صار عندي D على DX لل EO6 يساوي
واحد زائد هذه لو فكيتها عبارة عن اثنين في واحد factorial هذه ثلاثة في اثنين factorial هذه N
في N ناقص واحد factorial يبقى الاثنين هتروح مع
اثنين والثلاثة هتروح مع الثلاثة يبقى بيظل عندي
زائد x على واحد factorial زائد x تربيع على اثنين
factorial زائد x تكعيب على ثلاثة factorial زائد
زائد بتروح الـ N مع الـ N يبقى X أس N minus الـ one N
minus الـ one factorial بالشكل اللي عندنا هنا زائد
إلى آخره يبقى الـ N بتروح اكتبها على شكل summation
يبقى لو كتبتها على شكل summation بده يصير
summation للحد هنا x أُس n-1 على n-1 factorial
بالشكل اللي عندنا هذا طب الـ index اللي تحت الـ
summation من وين بده يبدأ؟ عند الواحدة لو أصلا عندي
zero طار أول term يبقى summation من N equal one to
infinity بالفعل لو بدأت أحط N بواحد و اثنين و
ثلاثة بلاقي الـ series اللي عندنا هذه يبقى لا يزال
المشكلة عندنا قائمة هل الـ summation اللي احنا
كتبناه هو الـ E و الـ six اللي احنا حكينا عليها هذه
هي بالضبط و الله في خلاف اه في خلاف الـ index اللى
فوق بيبدأ من عند الـ zero هذا الـ index بيبدأ من وين
من عند الـ واحد ما نفعش بدها تتساوي بها بدها تكون
زيها رسمًا بنقوله كويس إذا أصبح عندي D على DX للـ
EO6 يساوي طلّال الـ summation هذاممكن أخليه يبدأ
من اندزيرو لو شيلت كل N وحطيت مكانها N زائد واحد
يبقى بدي أشيل كل N وحط مكانها N زائد واحد ده يصير
N زائد واحد تساوي واحد الى infinity لل X أُس N زائد
واحد وين ناقص واحد على N زائد واحد ناقص واحد
factorial يبقى هذه الـ summation من عند N equal
zero to infinity لل X to the power N على N
factorial بروح واحد وسالب واحد وفوق واحد وسالب واحد
مين هي هذه؟ مش هذه الصيغة لأن هذه بالضبط تماما
يبقى هذه بدها تعطينا مين؟ EO6 وكأن هذا برهان آخر
ليثبت أن الـ derivative لل EO6 بيعطينا مين؟ EO6
itself خلص المطلوب A، روح للمطلوب B بنتكامل لل E أس
X DX يبقى تكامل بدنا نشيل الـ E أس X ونحط المفكوك
تبعها اللي هو واحد زائد X زائد X تربيع على اثنين
factorial X تكعيب على ثلاثة factorial زائد X أس N
على N factorial زائد إلى ما شاء الله كله بالنسبة
لمن؟ إلى DX إذا أصبح تكامل ال EOSX DX بده يساوي
بدنا نكامل الحد الأول تكامله كده؟ الثاني X تربيع
على اثنين ثالث X تكعيب على ثلاثة في الاثنين
factorial كما هي زيد الـ X ثلاثة بيصير X أس أربعة
على أربعة في ثلاثة factorial كما هي زيد X أس N
plus one على N plus one في الـ N factorial زيد إلى
آخرى وهذه بيجيها كمان جداش يا شباب كونس فانتبه عدت
كمّة فهذه بدأت ساوية طلع لي كويس هنا هـ هذه X هذه X
تربيع اثنين هذه مش هتبقى قريب اثنين في واحد يعني
اثنين factorial يبقى اثنين factorial وهذه واحد
ثاني واحد factorial وهذه x تكعيب ثلاثة في اثنين
factorial يعني ثلاثة factorial x أُص أربعة أربعة
في ثلاثة factorial تعني أربعة factorial زائد هذه
كمان بنفس الطريقة xn زائد واحد على n زائد واحد
اللي هو factorial زائد الآخرى زائد constant C طيب
الخطة أحطها على شكل summation يبقى هذه summation
لمن؟ لل x to the power n plus one على n plus one
factorial من عند n تساوي أبصر جداش ل infinity هل
لما نكاملنا هنا الـ series هذه طار أي term من
الترمات؟ لا كله ظلم زي ما هو إذا الـ index اللي تحت
الـ summation بتغير والله بيبقى كما هو يبقى كما هو
كما ذكرنا في الجزء النظري قبل قليل يبقى بدء ظلم
عند n تساوي zero إلى infinity طيب زاد الـ constant
C
خليني أضغط و أقول C1 C1 C1 مثلًا هل هذا شكل الـ E و
S X؟ طبعًا لا هذي بدها تبقى X أس N و هذي N factorial
بسيطة الشغلة في دينها إذا بدي أشيل كل N و أكتب
مكانها N ناقص واحد يبقى هذا الكلام يساوي الـ
summation N ناقص واحد تساوي zero الى infinity لل X
أس N ناقص واحد زائد واحد على N ناقص واحد زائد واحد
كله factorial ويساوي الـ summation من N equal one
to infinity لل X أس N على N factorial
هل هادي يبقى .. طبعًا في constant C1 يبقى هنا زائد
C1 وهنا زائد C1 هل هادي هي الـ exponential اللى
عندنا هادي؟ لا، من هنا بتبدأ من وين؟ من اين دي
Zero؟ من هنا بتبدأ من وين؟ بدنا حل هالمشكلة هذه
وديها بالك بدك تحل وتحافظ على المكتسبات الوطنية
اللي عندك هذه اللي حصلت عليها تلعبش يضيعش ودبر
حالك بأي طريقة رياضية سليمة اقترح أن احنا في أي حد
ممتاز أنا بدي شكل يعطيني الشكل هذا يعني بنفع احذف
حد من الحدود من هنا نضيف نضيف مش نحذف طب ما هو
الحد اللي جاي في بالك نضيفه كلام كويس الـ zero هل
الـ zero بيغير من هذا الشكل بيغير بس ما تحطش zero
حطه بشكل آخر اللي بدك تضيفه بدك تطرحه
أنا لو روحت أضفت واحد و طرحت واحد كان أضفت كم؟
zero ليش أي إشكالية بقول كويس إذا هذه بقدر
أكتبها واحد زائد summation من N equal one to
infinity لل X to the power N على N factorial زائد C
one ناقص واحد يبقى أضفت واحد و طرحت واحد كأنه أضفت
zero كمقترحة أحدكم لكن الـ zero حطيت واحد وسالب واحد
طيب شوف لهذا شو بيساوي هذا summation من N equal
zero to infinity لل X to the power N على N
factorial هذا الجزء يعني هذا صحيح يقول لك ماشي مصدق
جرب وضع N بزيرو فاكتوريا اللي بيجي داشر بواحد هنا
X و Zero بواحد يبقى واحد على واحد بواحد اللي هو
الحد الأول زائد وضع N بواحد بيجيب الحد الثاني و
الحد الثالث والرابع يبقى بالكلام سليم مئة بالمئة
بالله إن دي زائد مين زائد هذا كله يعتبر constant
كمان بده يسميه C يبقى هذا زائد constant C و الـ C
بده يساوي C one ناقص واحد أليست هذه هي الـ E و الـ 6
زائد constant C تمام؟ لتركها بكويسها لترك هو اللي
جدر اللي جدرنا بواسطته نوصل للصيغة المطلوبة
ويتكامل EO6 يساوي EO6 زائد constant وبالتالي كأنه
احنا أثبتنا أن تكامل EO6 يساوي EO6 زايد constant
بطريقة غير الطريقة المتعرف عليها قبل ذلك في
section 7 3
طيب، هذا مثال يوضح كيف استخدمنا التكامل في الحصول
على شكل الـ series وسليّة قبله كانت فاضل، أيوة ما
الاخر خطوة هذه؟ ابدا، لحد اين تمام هذه؟ ضيف واحد
واطرح واحد كأنك باقي في قداش هل تتغير القيمة؟ لا
بدنا نضيف هي أضفنا واحد و طرحنا واحد الواحد هذا مع
الـ summation بدي أجمعهم بـ summation واحد يبقى هي
جمعتهم بـ summation واحد ممكن ولا مش ممكن تعالى
نشوف حط N ب Zero بطلع الحد الأول عندك بواحد حط in
من واحد إلى المقل النهائي بيعطيك الـ sub machine
الثاني يبقى كلامنا سليم مئة بالمئة جينا على الـ C
والنقص واحد هذا كله constant سميته constant z
ويساوي من C sub machine هو الـ exponential function
وده الـ constant يبقى فعلا تكامل E والـ 6 بـ E والـ 6 زائد
constant C طيب برضه بيناعطيك كمان مثال على هذا
الموضوع وفتح عينك كويس دجج معاي مثال رقم اثنين
بيقول
find a function
f of x that represented
by
بعد عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية
عملية عملية عملية عملية عملية
the result استخدم النتيجة اللي حصلت عليها to find
a
power series that
represent that represent
that
represent the following
التي تمثل الدوالة التالية الدالة الأولى نمرة A
الـG of X يساوي واحد على واحد زائد X لكل تربيع
نمرة B الـG of X بده يساوي Ln واحد زائد X
هاتلي دالة تمثل هذه الـ Power Series
بعد هيك النتيجة اللي تحصل عليها بدك تستخدمها في
الحصول على power series لتو functions اللي عندك
يعني عملية عكسية بتعطيني power series بدي أدلتها
تبعتها يبقى سعر اندي دالة و سعر power series بد
تستخدم هذه النتيجة للحصول على شكل ال power series
لها تين اتدلتينكم مطلوب عندي في السؤال؟ ثلاثة،
خلّينا بالمطلوب الأول نجيبه وبعدين بروح ندور على A
وB يبقى بدنا نيجي للمطلوب الأول قبل ما نبدأ بالمطلوب
الأول بدي أعرف ما هو الشكل ال power series اللي
معطهالي هذه يبقى باجي بقوله summation من n equal
zero to infinity لسالب واحد to the power n لل x to
the power n هذه واحد ناقص x زائد x تربيع ناقص x
تكعيب زائد ناقص واحد to the power n x to the power
n زائد إلى آخرين طيب السؤال هو مين ال series هذه هل
واحدة هذه من التلاتة series المشهورة ال geometric
ال P ال harmonic هذه واحدة منهم geometric ليش اجسم
اي حد على السابق له بطلع كله سالب X يبقى هذه بقوله
convert geometric series إذا كان ال absolute value
ل R هو absolute value ل سلب X قداش absolute value
ل سلب X أليس هو absolute value ل X وهذا يجب أن
يكون أقل من واحد إذا كان ال absolute value ل X أقل
من واحد إذا كان ال absolute value ل X أقل من واحد
إذا كان ال absolute value ل X أقل من واحد إذا كان
ال absolute value ل X أقل من واحد إذا كان ال
absolute value ل X أقل من واحد إذا كان ال absolute
value ل X أقل من واحد interval of convergence as
سالب واحد و واحد
يبقى الرياضة اصلا كده؟ برضه واحد بهمني شرية دي
الصينة خلاص نجيبناله فترة التقارب تبع ال series
يبقى على فترة التقارب من سلب واحد إلى واحد بقدر
اوجد مجموع هذه ال series جالي هاتلي الدالة التي
تمثل هذه ال power series يبقى باجي بقوله the sum of
the series S ال S تساوي الحد الأول على واحد ناقص
الأساس هذا شو بيعطينا؟ هذا بيعطينا أن ال S يساوي
واحد على واحد زائد ال X أليس هذه function في X؟ صح
ولا لا؟ يبقى هذه بدها تساوي ال F of X تمام تمام
يبقى هاي كتبتله المجموع تبع ال series as a
function هات ال F of X التي تمثل بال power series
يبقى كأنه جمعت ال power series فطلها المجموع
بالشكل هذا يبقى هذا الذي يساوي منF of X. إذا خلصنا
المطلوب الأول جيبنا دالة ان ال power series عندها
المُعطَع يبقى ال power series كان هبقى L 1 على 1
زائد X. تمام؟ طبعا كويس. بدنا نيجي الآن للمطلوب
الأول جاب المبدأ المطلوب الأول بدي أقوله f of x ليه
واحد على واحد زائد x وليه بدي تساوي واحد ناقص x
زائد x تربيع ناقص x تكعيب زائد ناقص one to the
power n x to the power n زائد إلى آخرين
هذه المقارنة هي نفس النتيجة بس المقارنة مربع يعني
نربعها و نمشي الحال خلاصنا طيب خلنا نناقش احنا
وياكم لو ترمين وربعتهم بتطلع تلت ترمات ودي سهل
مربع الأول اتنين حصل ضرب اتنين مربع التاني سهل طيب
لو كانوا تلاتة بيبدأ الحرارة ترتفع عندك بتقدروا
تلت ترمات زي تلت ترمات اضربهم ببعض طيب لو قلت خلي
تملك أربعة بتبقى النبض يرتفع، مش هيك؟ لو قولتلك خمس
ترمات، ستة بعشر ترمات، وقول اه ورا دي بدي أقعد
ساعتين وانا أضرب فيهم ولا تلت ساعات، فما بالك إذا
كان مالة نهاية من الحدود، يبقى إحكاية إن ربي
أحصفها على شجة ده بتوصلكش إلى نتيجة طبعا فادبر حالك
شو موضوع ده هنا موضوع من derivative term by term
او integration term by term بدي بسأل نفسي هل الدلة
دي لو عملت لها derivative او integral بحصل على
واحد على واحد زائد X لكل تربيع نشتاق نشتاق اذا لو
اشتقنا بتطلع الدلة المطلوبة بقولك كويس يبقى اذا
تعال نشتاق .. ماجالليش هو اشتق انا لحالة أرفقهذا
يجب أن تبقى دقيق الملاحظة لما هو المطلوب، أما لو
ربعتها تقول تربيها 12 أكل استراليزي، تقول يا الله
من أعرف فيش حاجة مش عارف انت بيجي جيبلي ال series
اللي تمثله هذه الدلة و بعدين جالك ايش مش جالك روح
ربها جالك use the result يعني قيدك كيف تشتغل بقوله
انا بروح اشتقها يبقى هذه ال F prime of X سالب واحد
على واحد زائد X لكل تربيع what و ساوي أظن الأول
بيروح ناقص واحد زيدي اتنين X ناقص ثلاثة X تربيع زيد
أبصر مين؟ زائد ناقص واحد to the power N في ال N في
ال X أس N ناقص واحد إلى ما شاء الله
طب انا بديش سالب واحد على المقدار اللي عناها، بدي
بياها مين؟ بالموجب، إذا بدي أضغط الطرفين كله في
إشارة يبقى بيصير الـG of X اللي بده إياها واحد على
واحد زائد X لكل تربيع يساوي واحد نقص اتنين اكس زائد
تلاتة اكس تربيع نقص ابصر مين زائد نقص واحد قص ابصر
جديش ان اكس نقص واحد زائد نقص واحد قص جديش
أنا عندي ناقص واحد أس ان في الأصل وجدوا كمان إشارة
سالب يعني كمان سالب واحد يبقى صير سالب واحد أس
كده؟ N زائد واحد يبقى بصير أس N زائد واحد وهي هي
سيدي على الشكل summation لناقص واحد أس N زائد واحد
لل N X أس N ناقص واحد وال summation ببدأ من وين؟ من
عند الواحد لأنه طار أول term تمام؟ اللي هي مين؟
انت عندك سالب واحد قسين أجاله كمان سالب واحد قس
واحد بصير كده؟ تساوة الأساسات بنجمع الأساس بصير N
زائد واحد خلصنا؟ يبقى يا بيخليها زي هيك يا حابب
أخلّيها من عند ال zero بروح بشيل كل N و بحط مكانها
N زائد واحد حابب زيكي أهلا وسهلا بدكش تقولي ال
summation من عند ال zero ل infinity لنقص واحد أس N
زائد اتنين لل N زائد واحد لل X أس N يعني شيلت كل
إنه حطيت مكانها، انزلت، كتبتها على الصيغة هذه، و
الله على الصيغة هذه، الأتنين are the same طيب،
خلصنا، نمر بيه؟ نمر بيه جالي هاتلي الدالة هذه،
الدالة هذه عبارة عن إيش؟ تكامل الدالة هذه مظبوط إذا
لو جي تقوله ها ال جي of X هي تكامل واحد على واحد
زائد X DX معناته الدالة اللي فوق بدي أعملها إيش
integration term by term يبقى X ناقص X تربيع على
اتنين زائد X تكعيب على تلاتة
يبقى هذا نتيجة التكامل بروح اضيف له زائد constant
C كويس الان شوفيش النتيجة اللي حصلنا عليها الان
قولنا زيادة كونستانسية احنا عندنا ال interval و ال
convergence اللي هذى اتدالى من و لا وين يعني محتوى
على ال zero كويس بدي بقوله at x يساوي zero بس قبل
ال X يستوي Zero التكامل هذي بقداش أبلن absolute
value ل 1 زائد X بدي أشوف هل ال absolute هذي
ضرورية ولا ماهياش ضرورية احنا عندنا ال interval من
واحد لسالب واحد لا بيساوي واحد ولا بيساوي سالب
واحد إذا عمره المقدار بين القوسين بدي أخد قيمة
سالبة مش إمكانية على ال interval من سالب واحد إلى
واحد يعني أكبر من سالب واحد و أجل من واحد إذا لا
يمكن هذا عمره ياخد قيمة سالبة يبقى هذا بده يساوي لن
واحد زائد X on الفترة من سالب واحد إلى واحد يبقى
ايش حصل عندنا حصل عندنا اللي هو لن وقبل لن واحد
زائد X بالشكل أن هذا اللي هو g of x بده يسوي قداش x
ناقص x تربيع على 2 زائد x تكعيب على 3 ناقص x أربع
على 4 زائد ناقص 1 to the power n x أس n زائد 1 n
زائد 1 زائد constant C الان zero موجود في الفترة
عادية صحيح ولا لا ممكن أحسب ال constant عند ال
zero فبجي بقوله at x يساوي zero وبيحط x بزيرو
بظهر جداش لن الواحد لن الواحد اللي هو بزيرو زيرو
زيرو كله زائد زيرو زائد زيرو زائد مش عارف إيه زائد
ال constant c يبقى بناء عليها ال c جداش بده يساوي
يبقى ال c بيساوي زيرو إذا أصبح عندي لن واحد زائد x
هو x ناقص x تربيع على اتنين زائد x تكعيب على 3 ناقص x
أس 4 على 4 زائد ناقص 1 to the power n x to the
power n plus 1 على n plus 1 أو إذا حبيت تكتبها
summation من عند ال n equal 0 to infinity لسالب 1
to the power n ل x أس n زائد 1 على n زائد واحد
انتهى ال section وإليكم أرقام المسائل يبقى
exercises اللي هو عشرة exercises عشرة عشرة سبعة
عشرة سبعة المسائل يا سيدي من واحد لتمانية وأربعين
من واحد لتمانية وأربعين multiple of three الامتحان
واصل حتى نهاية هذا ال section يعني ال section اللي
نبدأ بكرا إن شاء الله مش داخل في الامتحان القادم
يعني ابتداء من section تمانية تلاتة وحتى نهاية
section عشرة سبعة إن شاء الله تعالى