موسيقى
بسم الله الرحمن الرحيم القطوة
المخلطية في الإحداثيات القطبية قبل ما نبدأ في هذه
القطوة في بعض الشغلات نشير إليهاالنقطة الأولى ال
ellipse ممكن يأخذ شكل جديد تحت شروط معينة فبجي
بقول لو كان عندنا ellipse we have النقطة الأولى ال
Fc يساوي zero يعني إذا كان بعد البقرة عن المركز
يساوي الصفر يعني البقرة وين بدها تيجي؟ على المركز
يبقى إذا كان البقرة الأولى انطبقت على البقرة
التانية انطبقت على المركز يبقى ال ellipse يصبح على
شكل مين؟ على شكل دائرة يبقى بصير ال ellipse عبارة
عن دائرة بنحصل على هذا الكلام إذا كان اللي هو مين؟
إذا كان البقرة الأولى انطبقت على البقرة التانية
والاتنين انطبقوا على مين انطبقوا على المركز النقطة
الثانية لو C سوى A يعني البورة اتحركت جهة اليمين و
اجت على ال vertex و البورة التانية اتحركت و اجت
على مين على ال vertex ايش بيحصل بصير ال ellipse
عبارة عن خط مستقيم زي ولا تشبيه لو جيت بلون منفوخ
باللون بكورة على شكل ellipse امسك الطرف ده وامسك
الطرف ده وشد
وهنا C ساوت A أجوا البقرتين على ال vertices في
الحالة الأولى ال L سيصبح دائرة بالشكل اللي عندنا
تمام؟ يبقى هذا الفرق ما بين الحالتين بعد هيك، بدنا
نجي لحاجة جديدة هذه ماسمعناش فيها من قبل حاجة
بنسميها ال eccentricity أو بالعربي الاختلاف
المركزيبقول ايش؟ بقول for the ellipse and
hyperbola، القطاع اللي اتنين هدول، the
eccentricity E is defined by، بنعرفها على انها ها،
the distance between فقعي، المسافة بين البقرتين،
فلما نيجي نقول هذا ellipse مثلابالشكل اللي عندنا
هذا هيك وهذه بُقرة وهذه بُقرة المسافة هذه C
والمسافة هذه كم؟ C يبقى المسافة بين البُقرتين كم؟
2C هذا ال vertex A و 0 هذا ال vertex سالب A و 0
يبقى ال major axis طوله كم؟
يبقى المسافة بين البقرتين مقسومة على المسافة بين
الراسين يبقى 2C على 2A وتساوي C على A يبقى الأن
عمليا من الآن فصاعدا قيمة ال eccentricity بشوف
قداش البعد بين البقرة والcenter بقسمه على المسافة
بين ال vertex والcenterبيعطيني مقدار ال
eccentricity طبعا؟ طب هذا الكلام احنا اتكلمنا عليه
بالنسبة لل ellipse و ال high parabola شو اخبار ال
parabola؟ بنقولك اه الآن بدنا نحط remark، هنجيبلك
فيهم التلاتة مرة واحدة، نمر واحدفالـ E تسوي واحد
صحيح يبقى على طول الخط بقول له the conic section
is parabola يقول لو حسب حسبنا ال interest تطلع
بواحد صحيح يبقى القطع المخروف عبارة عن قطع مكافئ
نمر اتنينإذا الـ a أكبر من ال zero أقل من واحد
يبقى كثر موجة أقل من الواحد الصحية يبقى في هذه
الحالة the conic section is an ellipse
الحالة الثالثة والاخيرة F ل A greater than one
يبقى the conic section is hyperbola
يبقى الآن ممكن أحكم على القطع المخروط، مين هو
القطع المخروط، من خلال مين؟ من خلال
الـEccentricity، إذا حسبت الـEccentricity بأي
طريقة إن كانت، وطلعت واحد صاحب الـConnection عبارة
عن ترابلةإذا وجدت كثير أقل من الواحد الصحيح و أكبر
من الـ0 يعني دائما و أبدا الـEccentricity موجبة
يبقى في هذه الحالة بقول إن الـConnection عبارة عن
Ellipse إذا حسبت الـEccentricity و وجدت أكبر من
الواحد الصحيح يبقى الـConnection عبارة عن
Hyperbola، هذه الأمور التلاتةبحكم على ال
connection من خلال ال main من خلال قيمة ال
eccentricity طيب نيجي كمال لنقطة وعدناكوا فيها
سابقا و اليوم بدنا نفي بوعدنا لما في ال 11.6 أخدنا
ال parabola قلنا vertex focus axis directrixهذه
الاربعة الشغلات بالنسبة لل ال ellipse و ال
hyperbola ما تكلمناش عن ال biorectrix مظبوط؟ ايوة
تعالى اطلعليك كويس لو جيت لل ellipse اللى عندها
هذا يبقى ال ellipse اللى عندها هذا لو جيت من هنا
النصفكته و شدته نص لليمين و نص للشمال صار كأن هذا
parabola و هذا parabola و اتنين حبايب موجودين على
بعض يبدأ صار كل واحد له directrix تمام؟ اذا بده
يجيني ال directrix هنا على اليمين و بده يجيني هنا
directrixعلى الإشمال الشجة دي يبقى الصورة ال
ellipse إليها two directrices و ال hyperbola
بالمثل إلي two directrices و هرسملك اتنين بعد قليل
بس بدي أعطيك تعريف لمن لل directrix في حالة ال
ellipse و ال hyperbola يبقى definition بيقول ما
يأتيبيقول ال Directrix of an ellipse ال Directrix
of an ellipse او
هاي الترابولة هذا
او ذاك ال line perpendicular is the line
Perpendicular الخط العمودي to the focal axis على
المحور البُقري and at distance and at distance
وعلى بعديساوي زائد او ناقص a على a from the center
من المركز
مرة
تانيةبايريكتريكس او الدليل للإليبس هو اللي هاي
برابولة هو عذر عن خط عمودي على ال focal axis او ال
polar axis and ال distance وعلى بعد يساوي زادة او
ناقص a على a from the center.الان هروح ارسم ال
ellipseوالـ hyperbola وبيّن الـ two
characteristics لكل منهما يبقى لو جيت و بدى أخد ال
ellipse في الأول يبقى هذا ال ellipse هذا محور X
هذا محور Y هذه نقطة الأصل جيت رسمت ال ellipse فكان
ال ellipse على الشكل التالي هو من هنا بهذا الشكل
هذا الـ ellipse جينا رسمنا ال high parabola فكان
ال high parabola على الشكل التالي هذا محور X هذا
محور Y هذه نقطة الأصل يبقى قوس جهتي اليمينالشكل
اللي عندنا هذا و من هنا على نفس البعد جوس جهتي
الشمال بهذا الشكل يبقى هاي ال high problem اللي
عندنا بده يجي لمين ال bioelectricies يبقى هنا هذا
لو مديته حاجة بسيطة هك و هذا مديته من هنا حاجة
بسيطة بده يجين ال bioelectricies اللي هو خبط في
الآخر في الناحية هذه هنا هكوخط تاني من هنا بهذا
الشكل المعادلة تبعته هذا X تساوي A على E وهذا X
سالب تساوي سالب A على Eالـ A على E هي عبارة عن
المسافة من الـ Center لغاية ال Directrix هي ال
Center وهذا عندنا ال Directrix يبقى المسافة هذه هي
نفس المسافة هذه الـ A على E والمسافة هذه كذلك اللي
هي A على E فالمعادلة بصير X تساوي سالب A على Eيبقى
هي ال two directrices لمن؟ للإليفس، بنا نيجي لل
two directrices للعيبرابولة، يبقى لو جيت قلت هذا
هو ال directrix الأول، يبقى X يسوى A على Eيبقى a
على e اللي هي المسافة اللي عندنا هذا البعد ما بين
ال center و ال directrix بديجينا ال directrix
التاني بالشكل اللي عندنا هذا يبقى هذا x يساوي
السلب a على e يبقى المسافة هذه كذلك اللي هي من a
على eبدأ أسأل سؤال و بدي الإجابة عليه في حالة ال
ellipse و ال hyperbola هل المسافة لو جيت قلت هنا
هذي focus و جيت قلت هنا هذي focus تانية هذي سميتها
F1 اللي اليحداتي تبعها سالب C و Zero وهذي سميتها
F2 اللي هي C و Zeroسؤالي هو هل المسافة من ال focus
لل vertex جد المسافة من ال vertex لل directrix؟ جد
بعض؟ جد بعض، جد بعض، جد بعض، جد بعض، جد بعض، جد
بعض، جد بعض، جد بعض، جد بعض، جد بعض، جد بعض، جد
بعض، جد بعض، جد بعض،مش جاب بعض، لكن في ال Parabola
من خلال التعريف جال اتنين جاب بعض، بس لم يصر ذلك
لا في ال ellipse ولا في ال high parabola، إيه
السؤال، كده؟
أحنا بنشغل حتى الان كلامي كارتيزيا ولا بنتكلم بولا
حطيت العنوان ده ولسه ما استخدمتش ويمكن ماقدرش
أستخدمه إلا في نهاية المحاضرة أنا حتى الان بنتكلم
كارتيزيا تمام؟ ماشي بنتكلم كارتيزيا لأن ال
directrix المره في ال section اللي فات كنا
كارتيزيا لازم نتكلم كارتيزيا بس دخلنا المعلومة
الجديدة اللي هي ال eccentricityماشي يا سيدي؟ طيب،
نكمل الآن، يبقى هي ال directrix كمان المسافة من
البقرة لل vertex ليس بالضرورة جد المسافة من ال
vertex لمن؟ لل directrix، يبقى رسمناهمفيها انا
حاجة جديدة شباب اسمها focus dielectric equation
يبقى focus dielectric equation بدنا نعرف شوي هذه
المعادلة بنقولك بسيطة جداعشان نعرف هذه المعاملة
انتبه معايا كويس هروح اخد اي نقطة جاية على محيط ال
ellipse او على محيط الhyperbola فلو جيت قلت هي
النقطة اللي عندنا مثلا ل PX1 وصلت
منها ل PF1 وصلت منها ل PF2زيادة على ذلك، من هذه
النقطة رسمت خط مستقيم يوازن فوق ال axis ومدته
لغاية ما تقاطع مع ال directrices يبقى مدته من هنا
أفقي بالشكل اللي عندنا هذا وعلى استقالته من الشجة
التانية لغاية ما تقاطع مع هذا سميت هذه النقطة دي
one والنقطة دي دي twoالـ Focus Direct Sequation
بتقول لي إن الـ PF1 يساوي الـEccentricity في
الـPD1
وكذلك بتقول ال PF2 يساوي ال eccentricity في ال PD2
تعالى نشوف وين ال PF1 وين ال PD2 ولا الكلام ده
معجول و لا مش معجوز طلعلي كويس هنا الان PF1 اللي
هي المسافة الصغيرةهنا PD1 ظاهرها أكبر من هذه
الصحيحة ولا لا لكن لما ال PD1 أضربها في ال
eccentricity في حالة ال ellipse يبقى ال E أقل من
الواحد الصحية يبقى لما أضرب المسافة الكبيرة دي فيك
كثر أقل من واحد الصحية بتصغر ولا بتكبر؟بتظهر بصير
قبل PF1، بالمثل PF2 و PD2، PD2 أكبر من مين؟ من ال
PF2، يعني لو ضربت في كثر أقل من واحد الصحيح، بتظهر
بصير قبل مين؟ ال PF2طب سؤالنا هو هل هذا الكلام هو
نفسه يبقى صحيحا على ال hyperbola ام لا؟ الإجابة
نعم تعالى نشوف كيف ذلك، يبقى هذه البقرة بتسميها
اللي هي ال FYوهذه البقرة الثانية بدي أسميها من ال
F2 بروح أخد أي نقطة على محيط ال hyperbola نفترض
أخدنا النقطة هذه اللي هي النقطة P للإحداث يا X وY
جينا وصلنا ال P F1 ووصلنا ال P F2 بالشكل اللي
لعبنا هذابعد هك روحنا من النقطة P نزلنا عمود على
two directories يبقى جينا من النقطة هذه نزلنا
العمود هذا أفقي بهذا الشكل الزاوية هذه قائمة
والزاوية هذه قائمة النقطة القريبة من F1 بدي أسميها
D1 والقريبة من F2 بدي أسميها main النقطة D2 تعالى
شوفني
PF1 يسهل الـ Eccentricity في الـ PDN شباب PF1 ما
أكبروا و PDN أصغر منه كتير لكن الـ Eccentricity في
حالة اللي هي طرابه لما لها أكبر من الواحد الصحيح
بكمية الصورة مضروفة في حتة أكبر واحد صاحب مالها
تكبر، كلام معقولوالتانية هذه برضه بنفس الطريقة لو
P F2 يساوي ال eccentricity في مين؟ في ال P D2 و
هكذا طبعا لو بدنا نروح للبرهان قصة هذه قصة طويلة
معناها شغلة يبقى أنا بدأ أخد المعادلات و أشوف
كيفية تطبيقها طب لو كان إيه؟ لو كان Parabola
الـ E بيغيب واحد، يبقى بيصير الـ P F و الـ P D
بالظبط، اتنين جات بعض تماما، تمام يبقى لحدنا stop،
الآن خلصنا نصف الجزء النظري تبع هذا ال section،
بدنا ناخد عليه مجموعة من الأمثلة، وبعد ذلك بنذهب
إلى النصف الثاني
بديك تعرفلي معادلة ال directrix ومعادلة ال
eccentricity E تساوي C على A و X تساوي A على E أو
سالب A على E حد يسأل أي سؤال قبل أن ندخل في
الأمثلة؟ حد بدي أسأل أي سؤال؟ إذا ما تكونش أنا
بسأل أسأل؟ السؤال هو طلّعلي في الليلة بالسادةما هي
معادلة ال directrices؟ Y تساوي زادة أو نقص A على A
يبقى أول مثال مثال واحد
بقول find the standard form equation find the
standard form equation المعادلة في صيغتها المتعرف
عليها of the connection للقطع المخروطي with
eccentricity
with eccentricity اللي هي تلاتة and for chi and
for chi و البقرتين اللي هو zero و زائد او ناقص
تلاتة also و كذلك fine وجدنا its
vertices بدنا الرأسين تبعاته and directrices and
directrices
نرجع
لسؤالنا مرة ثانية السؤال بيقول ما يأتيهات ال
standard for equation ل ال conic section يبقى بدنا
المعادلة تبعت القطع المخروطين ال eccentricity
تبعته تساوي تلتة يبقى اول معلومة استفدتها ان ايه
يساوتها بس ماجليش مين هو ال conic section لكن انا
بطلع تلتة مالها اكبر من الواحد الصحية مدام اكبر من
الواحد الصحي يبقى the conic sectionis hyperbola
تمام التمام بعد هيكقال الفوكاي البورتين Zero وزادة
ونقص تلاتة يبقى البورتين جايت على مين؟ على محور Y
يبقى لو روحت Gold هاي المحاور وهذا محور X وهذا
محور Y النقطة Zero وتلاتة وهنا Zero وسالب تلاتة
الشكل اللي عندنا يبقى هدول بقرتين يبقى المنحنة
هيكون مفتوح لأعلى ومن هنا المنحنة مفتوح لأسفل
بالشكل اللي عندنا هذا من خلال البقرتينيبقى هل بقدر
أجيب الشكل المعادلة من خلال المعلومتين بقول الله
أعلم طب كيف؟ أه الله أعلم لكن علمنا علم الإنسان ما
لم يعلم إذا أنا عند هنا C تساوي 3 أول معلومة C ال
eccentricity تساوي و C كذلك تساوي 3 يبقى هنا C
تساوي 3الـ E تساوي كده؟ C على A طيب الـ E ماتينيها
بتلاتة و C بتلاتة على A يبقى الـ A كده تساوي واحد
يبقى الـ A تساوي واحد كويس هيعرفناالـA معروفة
والـC معروفة بقدر أجيب له الـB يبقى باجي بقوله
الـB تساوي الجذر التربيعي أن C تربيع ناقص A تربيع
لأنها Hyperbola يبقى هذا بدي يعطينا أن B تساوي
الجذر التربيعي لـC تربيع 9 ناقص A تربيع 1 يبقى بي
بدها ساوي لـsquare root لمين؟ لـ8الـ focal axis هو
محور Y يبقى المعادلة Y تربية على A تربية ناقص X
تربية على B تربية تساوي واحد يبقى Y تربية على واحد
ناقص X تربية على B تربية ليه بتمانية يساوي قداش
واحد يبقى هذه المعادلة اللي طلبها المطموب الأول
جالي هاتل ال verticesما دام انا جبت له a يبقى هذه
a وهذه a يبقى ال vertices سهلة فبروح بقول له the
vertices are a zero وزائد او ناقص واحد اللي هي
مقدار ال aجالي كمان هاتله ال directrices يبقى بدى
أروح أجيبله ال directrix اللي هنا و ال directrix
اللي هنا أنا عندي ال directrices
بقول الشكس بقول هنا Y تساوي ازايد او ناقص A على E
يبقى ال Y تساوي ازايد او ناقص A بواحد و E بتلاته
يبقى Y يساوي تلت اللي هو الخط اللي عندنا الأزرق
هذا Y تساوي تلت
والخط التاني الأزرق التاني اللى هو Y تساوي سالب
تلت يبقى دول ال two directories انتهينا من المطلوب
نعم انتهينا من المطلوب بدنا نروح للمثال اللى يليه
يبقى example لرقم اتنين بيقول ما يقتل example
two بيقول find the eccentricity find the
eccentricity
و ال vertices
and the standard
form equation of an
ellipse with
center at the origin withcenter at the origin
المركز هو نقطة الأصل one focus إحدى
البُقرتين اللي هي أربعة و zero and the
corresponding directrix
directrix is x يسوى ستاشر على تلت
خلاص؟ طيب، نرجع لسؤالنا، سؤالنا على عكس السابق،
المرة هذه طالب الـ eccentricity المرة اللي فات
اعطاه هاليتانية اتنين طلب ال vertices المرة اللي
فجأة اعطاني البؤراتين وقال هات ال standard form
equation بديها كمان والمرة اللي فجأة طلبها ماعناها
مشكلة جال ال center at the origin واحدة البؤراتين
اربعة وزيره واعطاني ال directrix المناظر لها ماهي
كل بؤرة في الطاقة إذا هذه إلها directrix جريبة
منها وهذه إلها directrix جريبة منهايبقى الاربعة
والزيرو اللي بيعطينا إياها ال direct قد يكون
القريب منها يعني لو روحنا رسمنا الرسمة هذه بنقول
هذه المحاول وهذا محور X وهذا محور Y وهذه النقطة
تمام الأصل قال لي إحدى البؤرتين أربعة وزيرو يبقى
هذه الأربعة وزيرو تمام؟قال ليه؟ و المركز هو ال
origin قال لي هو ال directrix اللي هو قداش 16 على
3 يبقى لو جيت قولت هذا ال directrix X يساوي 16 على
3 إذا ال ellipse يكون ناحية اليمين ولا ناحية
الشمال؟ يبقى كل جهة الشمال هذه بقرة يبقى بدها
تجينا ال vertex هنا و يجينا بالشكل اللي عندنا هذا
هيكتمام يبقى هذا ال ellipse اللي عندنا نجي جالهات
ال eccentricity بدي بقوله بسيطة احنا عندنا هذه
كلها عبارة عن مين؟ Cيبقى ال C تساوي كده اش؟ اربعة
بقوله ال C تساوي اربعة هي المعلومة الاولى نهيك على
ان ال eccentricity E تساوي C على A يعني معناه هذا
الكلام ان E اللي بديها تساوي اربعة على A هذه
المعلومة الاولى طيب عندنا ال directrix ال
directrixX يساوي الست عشر على تلاتة له A على E
مظبوط يعني معنى هذا الكلام انه تلاتة ايه بده يساوي
ستة عشر ايه اذا ال ايه هذه ممكن اشيلها فوق و اعوض
بها تحت بصير عندنا ايش تلاتة ايه يساوي ستة عشر في
اربعة على ايه او ان شئتم فقولوا تلاتة ايه تربية
يساوي اربعة وستين اوالـ A تربية يساوي اربعة وستين
على تلاتة او الـ A بدها تساوي تمانية على جذر تلاتة
طلعت له A تساوي تمانية على جذر تلاتة وبالتالي بقدر
اجيب له من ال vertices طلب ال vertices هو
الوزائد او ناقص تمانية على جدر تلاتة وزيرهأحنا
جيبنا له ال vertices اللي هو الرأسين بعدين قال لي
بدي ال eccentricity بقوله بسيطة احنا عندنا ايه هو
عندنا ال eccentricity but و لكن ايه تساوي اربع على
ايههذا بده يعطيك ان E تساوي 4 على 8 على جدر تلاتة
يبقى هذا بده يعطيك ان E تساوي من شكلها بيصير جدر
تلاتيننص جذر او جذر تلاتة على اتنين يبقى جبتله
مقدار ال eccentricity يبقى جبتله ال eccentricity و
جبتله ال verticesماذا ضايل عليا المعادلة؟ خلاص
نجيبله المعادلة بيكون خلصنا مشان اجيبله معادلة بدي
A وB انا جبت A وC بس B لسه ماحسبتهاش اذا بروح
احسبله B يبقى B يساوي الجذر التربيعي لمين لا ال A
تربيع ناقص C تربيع يبقى الجذر التربيعيللـ A تربيع
اللي هي عبارة عن 64 على 3 ناقص C تربيع اللي هي
مقداش مربع الأربع اللي هي 16 في 3 ب 48 بدي أشيلها
بال 64 بيظل 16 على 3 ومنها إذا ال B تساوي 4 على
جذر 3يبقى بدي المعادلة بروح بقوله equation is
x تربيع على طبعا واضح ان ال major axis محور x يبقى
x تربيع على a تربيع ل 64 على 3 زائد y تربيععلى P
تربيع اللي طلعت عندنا ل 16 على 3 16 على 3 يساوي 1
او ممكن نكتبها 3X تربيع على 64 زائد 3Y تربيع على
16 يساوي من 1 وهذه ال equation اللي عندنا هنا اجي
واحد تانيقال لي ايش؟ قال لي انا بقدر اجيبها طريقة
تانية قلت له كيف؟ قال لي احنا قبل شوية اخدنا ال
focus directed equation بقوله والله كلامك مظبوط
قاللي بتروح على ال focus directed equation وروح
اجيب المعادلة بقوله تمام راح قاللي حل اخر كويس؟
solution
بس بدنا ناخد بعض المعلومات اللي وجدنا هنا لتلزامنا
بدنا نستخدمها هنا يعني جزر اللي استخدمته في الحل
الأول بدنا نستخدمه لكن مابديش أروح أدور على الكلام
اللي هنا بقوله care قاللي هذا ال ellipse مرسومه
خالص إذا أنا بدي أخد نقطة زي نقطة P و أقول الإحداث
تبعها XYو بعدين في ال focus directrix equation فى
عندنا حاجة اسمة PF هدى تعتبر F2 وهدى اللى كانت
عندنا اليمين F1 وفى عندنا عمود على ال directrix
اسمه PD2بقوله كويس قال لي إحداث النقطة هذه جاهز
زيه و إحداث النقطة هذه بد إحداثي من D2 إذا إحداثي
D2 هذا النقطة D2 الإحداثي تبعها عبارة عن الأفق يبد
أعرف كده
دى اتنين هذه النقطة الاحداث الصينى إيها كم؟ ست عشر
ع تلاتة يبقى هذه ست عشر ع تلاتة و الاحداث الصعودى
إيها هذا Y هو نفس ال Y هذا، مظبوط؟ سكت الشعرY هذه
هي Y هذه يبقى الصعبة النقاط كل أحداثيتها موجودة
يبقى باجي للحل الأخر بدي أجيبه من ال focus
birectric equation اللي بتقول P F2 بدي أساوي ال
eccentricity في P D2 يبقى من اللي فات بلزمني
باسمين ال eccentricity يبقى بدي أحسب ال
eccentricity من اللي فاتبعد ذلك ماليش علاقة في
الباقي بيبقى F2 المسافة بين نقطتين يبقى X نقص
أربعة لكل تربيع زي Y نقص Zero لكل تربيع تحت الجذر
التربيعياذا هذه بدها تصير الجدري التربيعي لل X
ناقص أربعة لكل تربيع زائد Y ناقص Zero لكل تربيع
بده يسوي ال eccentricity اللى طلعت عندنا هنا جداش
اللى هى جدر تلاتة على اتنين يبقى هذا ال square ال
root لتلاتة على اتنين بدنا نجي لل Pd2يبقى ال PD2
يبقى X ناقص 16 على 3 يبقى هنا الجذر التربيعي لل X
ناقص 16 على 3 لكل تربيع زائد Zero Y ناقص Y لكل
تربيعهذه Y ناقص Y الكل تربية يبقى Zero الكل تربية
يبقى هاي المسألة اللي عمناها طيب تمام تمام إذا بدى
أروح أربع الطرفين بصير عندي X ناقص أربعة لكل تربية
زاد Y تربية يسوى تلت تربعة في X ناقص ست عشر على
تلاتة لكل تربيةبدا فك التربيعات هذه يبقى x تربيع
ناقص تمانية x زائد ستة عشر زائد y تربيع يساوي تلت
تربع x تربيع ناقص هذه في اتنين ليها اتنين و تلتين
على تلاتة بتروح مع التلاتة بصير ناقص تمانية xزائد
256 ع تلاتة في تلاتة ربع 256 على تلاتة بتروح
التلاتة مع تلاتة بيظل 256 على 4 يبقى
64 يبقى هذا من هذا اللي هو 64 مرة تانية يا شباب
بقول ما يأتي فيها اشياء ما غلط بدنا نصليحها احنا
اين هدى صار التلات تربع هدى X تربع يبقى تلات تربع
X تربع ضعف حاصل ضرب الكميتين اتنين في ستاشر على
ثلاثة يعني اتنين و تلاتين على تلاتة في تلات تربع
بتروح التلاتة مع تلاتة و اتنين و تلاتين مع اربعة
فيها التمانية X مربع هدى 256 على 9 مظبوطفى تلاتة
بيبقى الهادي على ثلاثة تمام؟ والـ256 على أربع
لأربع وستين فى أربع هكذا تمام؟ مئة ومية لمية الحين
لو جبت المقدار هذا عند المقدار هذا بيصير بإشارة
مخالفة بينتهي بدي أجيب هذه بيصير X تربيع نقص تلات
تربع X تربيع بيبقى لجديد رابع X تربيع Y تربيع
مافيش غيرهايساوي هنا اربعة و ستين على تلاتة بده
يجيب عندها مين الست عشر يبقى هذا الكلام بده يعطيك
رابع X تربيع زائد Y تربيع يساوي تمانية و اربعية
بده اشيلها من الاربعة و الستينبظل 16 عالمين على 3
بدنا نقسم كله على 16 على 3 بيصير 3X تربية 4 في 16
ب 4 و 60 زائد 3Y تربية على 16 يساوي 1 طلع في
المعادلة دي و طلع في المعادلة اللي فوق هييا الله
قولها الكلامتين اللي زنجاتك اه! هو اللي خدنا الجدر
هذا عمرك سمعت بقانون المسافة بين نقطتين؟قانون
المسافة بين نقطتين، سمعت فيه ولا لا؟ سمعت فيه؟
بالمرة نهائية، يا ري أصدقنا الحديث، كل مرة علينا،
بس نسيت ومات، قولش بس بعد يمتع، يعني إيه؟ ده كتكذب
الناس كله؟خلاص؟ يبقى هذا خدناه في الادادية وخدناه
في الثانوية قانون رباط بين نقطتين وخدناه في
calculus ايه؟ المسافة بين نقطتين يبقى الجدر
التربية بجد تقوله صد اتنين ناقص صد واحد لكل تربية
زاد سين اتنين ناقص سين واحد لكل تربية مظبوط هيك
بجد تقوله؟ يبقى هو اللي استخدمنا هذا وهذاخلاص ما؟
حد لو يتساؤل ثاني؟ طب إذا المثال رقم تلاتة؟
مثال رقم تلاتة بيقول ما يأتي تلاتة
بيقول find the eccentricity find the eccentricity
بدنا ال eccentricity وال vertices
والبرتسيز and the
standard form equation of the high parabola
with center at the origin و
ال focus إحدى البُقرة تاني اللي هي السالب ستة و
زيره and the corresponding directrix and the
corresponding
directrix الدليل المناظر اللي هو as x يساوي سالب
اتنين تمام
السؤال اللي فات كان سؤال ellipse هذا سؤال
hyperaula لكن بنفس المفهومبعدين بقول لك كويسة انا
بدي اخد المحاور يبقى هي المحاور اللي عندنا وهذا X
يسوى Zero وهذا Y يعني هذا محور X وهذا محور Y قال
لي احدى البورتين سالب ستة وزيرو يبقى سالب ستة
وزيرو بدها تجين هنا هاي سالب ستة وزيرو بهذا الشكل
طبعا اذا المنحنةمعقول يكون مفتوح جهة اليمين؟ لأ
لأن هذا هو ال center تمام؟ إذا بدي يكون وين جهة
الشمال بهذا الشكل و من الناحية التانية بدي يصير
جهة اليمين بهذا الشكل يبقى هذا ال high parabola
الامطيب جال ال center و جال اللي بيعطينا ال focus
جال اللي دي cross bonding ال directrix x يساوي
سالب اتنين يبقى سالب اتنين تقريبا تلت المسافة هنا
يبقى بالداجل ال x يساوي سالب اتنينيبقى هذا ال X
يساوي سالب اتنين بالشكل اللي عندنا ال Directrix
المناظر لمين للبقرة اللي عندناهذا البرتقال يبدأ
بالبرتقال الوحيد ليس علاقة بالبرتقال الوحيد ليس
علاقة بالبرتقال الوحيد ليست علاقة بالبرتقال الوحيد
ليست علاقة بالبرتقال الوحيد ليست علاقة بالبرتقال
الوحيد ليست علاقة بالبرتقال الوحيد ليست علاقة
بالبرتقال الوحيد ليست علاقة بالبرتقال الوحيد ليست
علاقة بالبرتقال الوحيد ليست علاقة بالبرتقال الوحيد
ليست علاقة بالبرتقال الوحيد ليست علاقة بالبرتقال
الوحيد ليست علاقة بالبرتقال الوحيد ليست علاقة
بالبرتقال الوحيد ليست علاقة بالبرتقالبعد بين
البقرة والسينتر اللي هو C يبقى بقى دي بقوله C
عمليا تساوي ستة تمام؟ الان احنا عندنا E تساوي C
على A يبقى ال E انا مش عارف ابي اديها C بستة على A
الان بنيجي لل Directrix
المعادلة بتبعته X يساوي سالب اتنين يبقى سالب اتنين
بده يساوي سالب A على E معناه هذا الكلام انه ايه؟
انه اتنين E بده يساوي ال A او هذا بده يعطيلك ان ال
A تساوي اتنين في Eالايمين لستة على ا يبقى صار عندي
هنا ال a تربيع يسوى قداش اتناشر اذا ال a تسوى
اتنين جذر تلتة حصلني على اذا بقدر اعطيه ال
vertices مباشرة يبقى هذه بده يعطينا the vertices ا
زائد او ناقص اتنين جذر تلاتة وقداش وزيرو يبقى ال
vertex اللي عندنا اتنين جذر تلاتة وزيروالفيرتكس
التاني السالب اتنين جدر تلاتة وهذه موجة اتنين جدر
تلاتة وهذه موجة اتنين جدر تلاتة وهذه موجة اتنين
جدر تلاتة وهذه موجة اتنين جدر تلاتة وهذه موجة
اتنين جدر تلاتة وهذه موجة اتنين جدر تلاتة وهذه
موجة اتنين جدر تلاتة وهذه موجة اتنين جدر تلاتة
تلاتة وهذه موجة اتنين جدر تلاتة وهذه موجة اتنين
جدر تلاتة وهذه موجة اتنينما دام عرفت ال a بقدر
اعرف ال eccentricity يبقى e يسوى 6 على 2 جذر 3
يبقى هذا بدي اعطيك ان ال e تسوى 3 على جذر 3أضرب في
جذر ثلاثة على جذر ثلاثة هذا سيعطيك ان ال E يساوي
ال square root لمية للثلاثة يبقى جبت له المطلوب
الأول ال eccentricity
بس بد ال equation يبقى بد ال a و ال b ال a حصلنا
عليها ليه باثنين طول عندي بيه يبقى بيه يساوي الجدر
التربيعي ل c تربيع ناقص a تربيع هذا بدي اعطيك ان
بيه يساوي الجدر التربيعي ل c تربيع ال c عندي بستة
ليه جداش؟ ستة و تلاتينناقص ال هو اربعة في تلاتة
باطماشر ويساوي جداش جدر الاربعة وعشرين يعني اتنين
جدر ستة اذا بقدر اجيب له main ال equationيبقى ال
equation واضح ان فوق ال X هو محور X يبقى ال X
تربيع على A تربيع وين ال A هايها؟ اللي هو أربعة فى
تلاتة باطماشر ناقص Y تربيع على B تربيع، اللي يبقى
أربعة وعشرين بده يساوي كده؟ بده يساوي واحدجينا
الآن يا أحمد الفرع والكلام للسماعين مش أحمد برضه،
الآن بدي أحل المسألة بطريقة أخرى زي المرة اللي
فاتتيبقى بدي احلها بال focus directrix equation
هذه تعتبر F1 و لو روحت اخدت نقطة زي النقطة هذه PXY
و منها بدي اروح اوصل لل PF1 و نزل عمود على ال
directrix يبقى هذا D1 اللي يحدث نقطة تبعه جداشكداش
احداث النقطة هذه؟ سالب
اتنين و واعي. تمام؟ هذه معروفة الإحداث، هذه هذه،
ثم بندرجين المعادلة يبقى هنا another solution
بنا نكتب المعادلة بس و أخليك تحل لحالك يبقى PF1
بيستوى ال eccentricity في ال PDO من ال PF1 نجي
لقانون البعد بين نقطتين يحمد والكلام للسامعين يبقى
هذا الجدر التربية وين ال PF1 هي يبقى X ناقص ناقص
ستة بصير X زائد ستة لكل تربيعزائد y ناقص zero لكل
تربية يبقى y تربية يسوى ال eccentricity E اللى
فلعناها بجدر تلاتة يبقى ال square root ل 3 في Pهي
ال PD1 يبقى X ناقص ناقص اتنين يبقى الجذر التربية ل
X زائد اتنين لكل تربية زائد Y ناقص Y اللي هي Zero
حل المعادلة هذه زي ما حلنا الأولانية قبل قليل وهي
الإجابة تمام؟ ربع الطرفين وفك بتكون وصلت لمين
للإجابةحتى الآن يا شباب احنا رافعين عنوان و بنتكلم
بشغلة تانية، العنوان اللي احنا رافعينه اللي هو man
اللي هو ال conics in polar coordinates تمام؟
وبنتحدث عن مين؟ عن كارتيزن، ما جيبناه سيرف مين؟
يبقى لما بدنا نخش على ال polar لمن؟ او ال conic
sections in polar coordinates يبقى بالداخل ال
conic sections in polar coordinates
الان مش هنجيب معادلة ال connect sections في ال
polar coordinates بدنا نروح نخلي إحدى البقرتين في
ال origin يبغى بنكتب بس كلمتين صغيرة بساطرين
وبعدين بنبدأ الشغل تبعنا يبغى بقول ما يتيه if we
placewe a place لو وضعنا و ن focus إحدى البقرتين
at the origin
في مكان نقطة الأصل and the corresponding directrix
والدليل اللي عندنا اللي هو ال X يساوي K is to the
right جهة اليمين of the origin of the origin على
يمين نقطة الأصل we have
الكلام اللى كتبناه بنروح نحطه على الطبيعة يبقى لو
جيت قولت هاي المحاور عندك هذا اللي هو θ تسوى zero
او سابقا بجينا نقول عليه محور X هذا θ تسوى πي على
اتنين او محور Y حطينا احدى البقرتين في ال origin
يبقى ال focus
origin احدى البقرتين في نقطة وين؟ الاصل قال ال
directrix أجوان على اليمين يبقى لو جينا قولنا هذا
هو ال directrix اللي معادلته x يساوي kحسب ما عرفنا
ال directrix قبل ذلك اليوم بأن هو المسافة ما بين
المركز و مين و ال directrix يعني K هي المسافة اللي
عندنا هذه بالضبط تماما طب لو جينا رسمنا المنحنة
هذه البقرة وهذا ال directrix إذا ال vertex بتيجي
ما بين البقرة و بين ال directrix مصبوب لأن ال
directrix خلف ال vertexيبقى المنحنة بده يكون
بالشكل اللي عندنا هذا المنحنة هذا قد يكون ellipse
وقد يكون parabola وقد يكون hyperbola الآن هقولك
كيف نعرف هذا المنحنة يعني كيف هنفرجفي ما بينهم
بقول كويس يبقى بالشكل اللي عندنا هذا بعدين بقول
بدنا نكتب معادلة هذا المنحنة مشان نكتب معادلة هذا
المنحنة بنروح ناخد نقطة واقعة عليه اللي هي النقطة
XY مثلا في حالة ال Cartesianأو R و θ في حالة ال
polar يبقى هذا الخط يعتبر مين؟ اللي هو R والزاوية
اللي عملها ليها دي مع الاتجاه الموجب هي الزاوية ال
theta تمام؟ وهذاها اللي هو بده أسميه PD يبقى هذا
النقطة اللي هي PDكويس بدنا نيجي لان نيجي لل focus
directed equation هدى بقرة يبقى هدى مين؟ اللى هى
ال F صحيح ولا لأ؟ focus نديها الرمز F يبقى من ال
focus directed equation ال P F يسوى ال
eccentricity في ال P DالـPF من هي يا شباب؟ R يبقى
الـR تساوي وهذا الـE فيه بدا يجي للـPD PD هي
المسافة من النقطة P لغاية D طيب لو جيت من هنا نزلت
عمود بالشكل اللي عندنا هذا يبقى هذا البعد مش هو
نفس البعد اللي عندنا هذا؟البعد هذا هو نفس البعد
اللي عندنا طيب هذا كله عبارة عن كي بدأ أشيل منه
الجزء الصغير هذا الجزء الصغير هذا اللي هو مين
اعرفي جيب تمام الزاوية ثيتا يبقى هذا اعرفي كوصين
الزاوية ثيتا واضحة؟طيب يبقى ال PD اللي هو ال K بدي
أطرح منه الجزء الصغير هنا اللي هو R في Cos الزاوية
ثيتا طيب هذا صار لو فك جد فكته E في K نقص E في R
في Cos الزاوية ثيتا يسوى Rماذا رايك؟ انا بدي اجيب
هد على الشجة التانية و بدي اخد R عمل مشترك بظل
عندي 1 زائد E في cosine الزاوية ثيتا بده يساوي E
في K او K في Eما عندنا مش مشكلة طيب أنا بديش هذه
المعادلة بدي R لوحدها جداش لإن في ال polar عندنا R
دايما function في θ يبجى هذه تساوي K على E في واحد
زائد E في cosine زاوية θ يبجى هذا معادة ال conic
section في ال polar cone السؤال ما هويا ناس هذه
معادلة ellipse و لا parabola و لا hyperbola اللي
بتحكم فيها هذا المقدار قيمة ال E إذا ال E طلعت
بواحد صحية يبقى هذه معادلة parabola زي ما هي
مرسومة إذا والله ال E محصورة بين ال zero و الواحد
الصحية يبقى معادلة ellipse بنكملها إلى ellipseإذا
ال E أكبر من الواحد الصحيح بمعادلة I Parabola
بنكملها و بنرسم الـ X على الشكل الثاني تمام؟ يبقى
هذا الإشارة بالمجال طب لو كانت الإشارة بالسالم نفس
الرسمة بس ال dialectics بيجيني أين؟ على الشمال
يعني لو كان هي المحاور بهذا الشكلهذا θ تساوي zero
وهذا θ تساوي πي على اتنين وهنا هاد ال focus at the
origin ال direct أجي على الشمال يبقى معادلة x
يساوي كداش سالب k إذا بدي يكون مفتوح جهة اليمين
بهذا الشكليبدأ إذا ال directrix أجعل الشمال
المعادلة كما هي كافية على واحد بس بدل الزائد نكتب
ناقص E في cosine الزاوية ثيتاطب لو حدث ان الفوق
لاكس ماهواش أفقي كما في الحالتين لو صار رأسي باجي
بقوله كويس لو صار رأسي ولا رأسك بدي يكون بالشكل
اللي عندنا هذا يبقى هذا theta تساوي zero و هذا
theta تساوي pi على اتنين لما اقول رأسك بقصدها مشان
تخليك متبقى معايا هنالأن أما الرأس بيطلع معلومة دي
هي أدخلش في راسك ومن ثم في قلبكلقوله تبارك وتعالى
لهم قلوب لا يعقلون بها، يبقى القلوب هي اللي بتعقل
وانا بدي اكتعقل معايا، يبقى هنا شباب مهم ال focus
at the origin، بدي اخل ال directrix فوق، يبقى ال
directrix لو جاني بدي يجيني هك، هذا ال directrix،
بس ايش بصير معادلة هو؟ Y تساوي K، يبقى الملحانة
بصير مفتوح لوين؟الأسفل لإنه ممنوع يقطع ال
bioelectrics بالشكل اللي عندنا هذالو حد ذلك
المعادلة R تساوي K في E على 1 زائد E في Sine
الزاوية ثيتا يبقى بس بدل ال cosine بالصير Sine
اللي هي المعادلة تبعتنا الأولى هذه طب لو ال
directus بدل مكان فوق نزل تحت يبقى المحاور بالصير
بالشكل اللي عندنا هذا هذا ال focusوهذا θ تساوي
zero وهذا θ تساوي باي على اتنين يبقى بده يجين ال
bioelectrics أسفل يبقى بده يصير هذا اللي هو y
يساوي قداشسالب K يبقى المنحنى يصير مانه مفتوح إلى
أعلى بهذا الشكل وبالتالي المعادلة هتصير K في E على
واحد ناقص E في Sine الزاوية ثيتا بالشكل اللي عندنا
هذا يبقى بديك تعرف بمجرد ما تنظر في المثلة Cos
يبقى فوق ال axis أفقيSin يبقى الـFocal Axis راسي
كما في الحالة هذه أو في الحالة هذه إذا ولّا
الإشارة بالموجب يبقى ال DirectX جهتي اليمين مع ال
Cos وإذا الإشارة بالسلبي يبقى ال DirectX جهتي
المين جهتي الشمال هنا إذا الإشارة بالموجب مع ال
Sin يبقى ال DirectX home إذا الإشارة بالسلبي يبقى
ال DirectXلحد هنا انتهى الجزء المظري تبع ال conic
sections التلاتة ببنا نعطي مثال مشان نثبت
هالمعلومات قبل أن ننصرف المثال بيقول المثال واحد
وبيكفي يبقى example مثال
اليوم ومثال بكرا يا شيخ طيب المثال بيقول ما ياتي
Find the polar equation المعادلة القطبية for the
following conic sections with
one focus atthe origin one focus on the origin
نمرا a ال a تساوي واحد و ال vertex اللي من خمسة و
باية على اتنين نمرا bجلل eccentricity E يساوي
اتنين و بايركتريكس
اللي همين R تساوي اربعة سك تيتا نمرة C جلل
eccentricity E تساوي خمس و بايركتريكس Y تساوي سالب
عشرة
أسلة بسيطة خالص الحل ان شاء الله و نمشي أربعة
تساوي سك ثيتار تساوي اربعة سكتين يبقى solution و
بدنا نيجي للمرة eight خلي بالكم معانا هنا لما نيجي
للمرة اذا يعطينا ال E تساوي واحد يبقى ال E تساوي
واحد معناته that connect section is فرابل يبقى هذه
عرفناها من شكل مينمن شكل ال .. ال ايه؟ ميعطيني one
vertex خمسة و by على اتنين يبقى لو روحت رسمت
الرسمة بقوله هذا اللي هو محور X وهذا Y وهذه ال
focus at the origin في نقطة القصيدةمعطيني ال
vertex خمسة و باية على اتنينإذا بداني ل ال vertex
اللي مدينيها بدي أمشي زاوية مقدرها باية اتنين و
جيس هنا كده؟ خمسة يبقى هذه بده يجينا مفتوح إلى
أسفل ليش ان ال focus بتبقى دائما و أبدا و اين؟ في
الداخل و هذا المحور بيضل طالع لفوض اللي هو محور Y
في حالة ال Parabola ال Directrix على نفس البعد من
ال vertex كما ال focus بعيد عن ال vertex يبقى
مضيجين ال Directrix هذا بالضبط تماما يبقى معادلة Y
تساوي كم؟ خمسة لإن المسافة هذه خمسة وبعي على اتنين
يبقى هذه خمسة هذه كذلك خمسة يبقى ال Directrixwhy
تساوي عشرة يبقى باجي بقوله the directrix why تساوي
خمسة زائد خمسة ويساوي عشرة معناته كده كده تساوي
عشرة يبقى اذا بد يعطيك ان ك تسوى عشرة لان البعد ما
بين ال biorectrix و ال origin هو نقدر من اللي هو
بعد ال biorectrix عن ال origin طيب الآن مش هنجيب
المعادلة لان هو طلب المعادلة مش هيك find a polar
equation ال E معروفة و ال K معروفة ايضا خلصنايبقى
بدي بقوله the question is R تسوى كيف إيه على الله
أعلم؟ واحد مش عارف زاد ولا ناقص، بدي بتطلع
directives وين؟ فوق، يبقى موجبزائد ال a فوق ال
axis محور Y يبقى sin θ التي هي من العلة الرسمى رقم
تلاتة قبل قليل العوض يبقى R يساوي كله عشرة
عشرة عشرة عشرة عشرة عشرة عشرة عشرة عشرة عشرة عشرة
عشرة عشرةيبقى E تساوي اتنين اكبر من الواحد الصحيح
يبقى the conic section عبارة عن ايش is hyperbola
تمام تمام يبقى هذه المعلومة حدد ما هو ال
connection المعلومة التانية بيقول ال directrix هو
X هو R يسوى أربعة سك ثيتا يبقى عندنا ال directrix
R تسوى أربعة في سك ثيتا بقوله أه هو مطنية في ال
polar و ليستبالكارتيزيان، لكن احنا اول section
أخدنا في ال polar coordinates قدرت احول المعاملة
من كارتيزيان إلى polar او من polar إلى كارتيزيان،
اذا مش هنعرفها هذي هي X والله Yوهل هي فوق و لا
تحتهم و لا الله أعلم أو ذات اليميني أو ذات الشمال
بقدر أقول له ال R تساوي أربعة على كوسين يزاوية
ثيتا أو R كوسين ثيتا تساوي أربعة أو ال X يساوي
أربعة مدام ال X يساوي أربعة يبقى المعادلة بدلالة
الكوسينبس بدي أعرفها يمين والله شمال تعالوا نرسم،
قولنا ال connection اعمارها عن مين؟ ها ال
parabola، يبقى بقوله هذا المحاولة، هو هذه ال focus
At the origin وهذا θ تساوي zero وهذا θ تساوي باي
على اتنين ال X يساوي اربعة يبقى هذه المعادلة ال X
يساوي اربعة X يساوي اربعة وهذه ال focus يبقى ال
course يكون جهة الشمال حتى تكونحتى تكون ال focus
في الداخل يبقى هذا الجزء الأول تبع ال hyperaula طب
الجزء التاني وين بده يكون؟ في الناحية التانية
المفتوحة على اليمين يبقى بده يجيني هذا هو ال
center وعلى نفس البعد من ال center بده يجيني من
الجزء الثانييبقى هي رسمنا له الرسمة، بدنا مين؟
بدنا المعادلة، مشان المعادلة إيه معروفة، يبقى ب ..
شو بقى إيه اللي عندي؟ كيه، آه بقوله بدنا كيه،
الحين كيه تساوي قداشر عندي؟ أربعةوالـ K كذلك تساوي
أربعة ليه مقدار ال X يبقى بناء عليه بالصيلة عندنا
R يساوي K في E على واحد ال direct X جاي وين؟ جهة
اليمين يبقى بالزائد و فوق ال axis أفقي يبقى كوصين
الزاوية θتمام؟ يبقى ال R يساوي كيب أربعة وال E
بتنين تمام على واحدزائد اتنين في cosine زاوية ثيتا
يبقى بناء عليه سارة R يسوى تمانية على واحد زائد
اتنين cosine ثيتا هذه المعادلة اللي لدينا اخر حاجة
نمر ال C نمر ال C ال A تساوي خمس والخمس اقل من
الواحد الصحيحيبقى باجي بقول the conic section is
an ellipse هبقى كويس ميعطيني ال directrix y تسوى
سالب عشرة إذا بقدر أرسم دوري يبقى لما أجي أقول هذه
المحاولةهذا الرسم وهذا محور ثيتا تساوي زيرو وهذا
اللي هو ثيتا تساوي باي على اتنين وهذا ال focus at
the origin جلب directrix y تساوي عشرة يبقى لو مديت
هذا وروحت وقلت هذا ال y تساوي سالب عشرةإذا ال
vertex بدها تجينا هنا، بدها تجينا هنا، بد يكون ال
veil ellipse، و ellipse قلنا آية، بالشكل اللي
عندنا هذا هيك، يبقى هذا شكل ال ellipse
قال لي بدي المعادلة يبقى E عندي ضايل علينا بس K
المسافة اللي عندنا هذهعشرة يبقى البعد هدى كله K
تساوي عشرة يبقى ال equation صارت R تساوي K في E
على واحد البرنامج أجا تحت يبقى ماقص E فوق ال axis
محور Y يبقى ال sign الزاوية ثتايبقى ال R تساوي ال
K بعشرة وال E بخمس على مين على واحد ناقص خمس في
صيني الزاوية ثيتا يبقى النتيجة R تساوي عشرة على
مين على خمسة ناقص صيني الزاوية ثيتا، مظبوط هك؟يعني
لو ضربنا فوق في خمسة وقسمنا تحت على خمسة، خمسة
بتروح على خمسة بيظل عشرة، بيجي لك هنا خمسة، هنا
بتروح، بيظل المعادلة بالشكل اللي عندنا هذا، يبقى
هاي جيبنا المعادلة، غدا ان شاء الله بدنا نعمل
العملية العكسية، بدنا نعطيك المعادلة هذه أو
المعادلة هذه أو المعادلة اللي نطلب الشغلات الأخرى
ان شاء الله تعالى