بسم الله الرحمن الرحيم، المرة الماضية كنا نتحدث في
نقطة النظرية رقم اثنين تبع هذه الـ section وهي الـ
identities of inverse trigonometric functions يعني
بعض المتطابقات المهمة على معكوس الدوال المثلثية
واخدنا المرة الماضية مثالا واحدا اللي هو رسمة الـ
two functions الأولى كانت الـ cosine inverse لسالب
X والثانية كانت 2 tan inverse لمين؟ لسالب X
وشوفنا كيف رسمناهم، ننتقل لمثال رقم اثنين وهو هاتلي
القيمة الحقيقية لكل مما يأتي، بنقدرش القيمة العددية
للمقدار يعني لابد أشوف في المثل كوتان ولا سين انفرس
ولا سيك انفرس، بدي أشوف هذا كله وإنما بدي قيمة
محددة بسيطة جدا، يبقى هذه كوتان، المرة الماضية
المتطابقة على الرقم 2 قلنا أن sin inverse x هي
عبارة عن odd function يبقى السالب يخرج من الـ
function يبقى هذا بقدر أقول سالب sin inverse لنصف
الطالب، المتطابقة رقم ثلاثة، رقم ثلاثة، لثلاث نقاط
النقطة الأولى في رقم ثلاثة كانت sec inverse x
تساوي cosine inverse واحد على x وبشرط أن الـ x
greater than one، أكبر من الواحد الصحيح أو تساوي، إذا
عندي اثنين أكبر من الواحد الصحيح، إذا بقدر أشيل هذه
وأكتب cosine inverse واحد على اثنين، يعني cosine
inverse نصف، يبقى هذه cosine inverse لنصف بالشكل اللي
عندنا هذا، هذا الكلام بده يساوي كوتان، بدنا نأخذ سالب
عام المشترك بيطلع عندنا مين اللي هو sin inverse نصف
زائد cosine inverse نصف بالشكل اللي عندنا هذا
ويساوي كوتان لسالب أبصر قد إيش طلع لي المقدار هذا بين
القوسين، هل النص في domain الـsin inverse وفي domain
الـcos inverse؟ صحيح لأن الـ domain تبعهم من سالب
واحد إلى واحد، إذا فعلا طبقا للمتطابقة الأولى، هذا
الكلام بيساوي قد إيش؟ باي على اثنين، يبقى سالب باي
على اثنين ويساوي، بنرجع لك القول إيه؟ الـ cotan even
ولا الـ cot؟ أد ممتاز جدا، الدوال المثلثية الستة
تين كانوا even اللي هي cosine الـ X هو مقلبها اللي
هو sec X وباقي الأربع نسب odd تمام، يبقى هذه odd
إذا السالب برا سالب كوتان باي على اثنين، كوتان باي
على اثنين طبعا مقدرش بـ zero إذا المقدار كله هذا
اللي عندنا بده يساوي مين؟ بده يساوي Zero، نأخذ
النقطة الثانية نمرا ب، يبقى نمرا ب بدنا نوجد قيمة
سك لمين؟ لـ tan inverse سالب ثلاثة
طب كويس، لأن أنا لا أعرف قد إيش القيمة العددية لهذا
المقدار، يعني لابد أشوف سك ولا تان انفرس في المثل
بيقولوا بسيطة جدا هذا الكلام بده يساوي سك الان تان
انفرس من النقطة الثانية للمرة اللي فاتت قلنا يبقى
مادام قد السالب معها يطلع برا تان انفرس يبقى هاي
سالب تان انفرس ليه؟ لثلاثة، الآن الـ Sec even ولا الـ
Odd؟ سيك،
وايش الكلام اللي قلناه قبل قليل؟ مش قلنا الـ Cos
وSec even والأربعة Odd؟ وين كنت في الفترة هذه؟
يبقى صح، صحيح كويس، يبقى هذا بيتساوي قد إيش Sec لـ tan
inverse ثلاثة، ليش؟ لأن سيك هي عبارة عن Odd
function
طيب الآن التكتيك اللي اتبعناه المرة الماضية بأنه
يتبع عند حسب هذه القيمة، بدي أقوله افترض أن θ تساوي
tan inverse ثلاثة، الثلاثة طبعا في دومين مين؟ tan
inverse والـ tan inverse الدومين تبعها كل الـ real
line، إذا في عندي عبارة مكافئة لهذه العبارة وهي tan
θ يساوي كده؟ يساوي 3، يبقى الظل يساوي 3، ممتاز، لأن
لو رجعنا بالذاكرة إلى الوراء وروحنا وقلنا هي
عندي محاور، هذا محور X وهذا محور Y وهذا نقطة من
الأصل
لما جينا المعكوس الـ tan خلينا الـ domain تبع الـ tan
حصرناه من إيه إلى أين؟ من سالب باي على اثنين إلى
باي على اثنين، ممتاز as an open interval، إذا لو جيت
على المحاور وقلت هذه ناقص باي على اثنين، هذا لو مشيت
مع عقارب الساعة، لو مشيت ضد عقارب الساعة بتكون
هذه قد إيش؟ باي على اثنين، إذا احنا بنمشي من سالب باي
على اثنين إلى باي على اثنين، يعني أخذنا أي ربعين من
الأربعة؟ الربعين الأول والرابع، ممتازة، لأن لو جيت لي
التان، التان هذا في الرابع، الرابع يسوي قيمة سالب أو
في الربع الأول، احنا عندنا tan θ، القيمة
موجبة، إذا الزاوية θ في الربع الأول، يبقى لو جينا
قلنا هذه ها هي الزاوية θ، هذه الزاوية قائمة
وهذه الزاوية θ، الظل يساوي المقابل على المجاور
يبقى المقابل ثلاثة والمجاور واحد، يبقى هذا بد يكون
جذر عشرة حسب فيثاغورس، إذا صارت المسألة أن هنا سك
لمين؟ لـ tan inverse ثلاثة، بده يساوي sec θ، لو جينا هنا
الـ sec اللي هو الوتر على المجاور، يبقى الوتر
جذر عشرة على المجاور اللي هو واحد، يبقى جذر عشرة
القيمة الحقيقية للمقدار اللي عندنا، طيب نعطي مثال
نربط فيه الجديد بالقديم، يعني نربط section 7.3
بـ section سبعة ستة، نمر الـ C، بدنا .. بدنا قيمة
لا ثنين مرفوعة للأس logarithm باي square للأساس
أربعة ناقص cosine inverse لمين؟ لسالب واحد على جذر
اثنين، بتعرف قد إيش قيمة المقدار هذا أو أبسط المقدار
هذا إلى أبسط صورة، يبقى أنا الكلام يساوي بقول يا
سلام، لو كانت هذه أربعة وهذه أربعة كانت خلاصة من
إيه؟ من الـ log وبظلمة داخل الـ log، لكن بسيطة
الشغلة في دك هذا log باي تربيع للأساس أربعة، يبقى
التربيع هذا أو اثنين بقدر أكتبه مين؟ خارج الـ log
يبقى لو كتبناه خارج الـ log بصير اثنين مرفوعة للأس
اثنين مضروب في logarithm باي للأساس مين؟ للأساس
أربعة، هذا الـ term الأول وجينا هنا ناقص وهيفتحنا
قوس، المرة اللي فاتت أخذنا آخر نقطة اللي هي النقطة
الرابعة كانت cosine inverse لسالب x يساوي قد إيش؟ بي
ناقص cosine inverse x بشرط الـ x من سالب 1 إلى 1، واحد
على جذر اثنين، ما لو أقل من الواحد الصحيح بإشارة
سالب يكون أكبر من سالب واحد صحيح، يعني في domain
الـ main الـ cosine inverse وهيو بالسالب، إذا بدنا نوجد الـ
الـ هي by ناقص cosine inverse واحد على جذر اثنين
بالشكل اللي هنا هذا، طيب هذا الكلام بده يساوي اثنين
تربيع تاني قد إيش؟ أربعة، يبقى هذا أربعة مرفوعة للأس
logarithm باي للأساس أربعة، للأساس أربعة ناقص باي
زائد هذه، ناقص ناقص اتزادت، Cos inverse واحد على جذر
اثنين، طبعا إذا أعطيتك مثال زاده اللي هو كان Cos
أول مثال أخذته في هذا الـ section كان Cos inverse
نصف، قلنا خذ θ بـ Cos inverse نصف، اثر على الطرف
المجوسي صار Cos θ يساوي نصف، يبقى الزاوية θ هي
بقايا ثلاثة، يبقى مين الزاوية اللي جيب تمامها واحد
على جذر اثنين؟ خمسة وأربعين، يبقى باي على أربعة، إذا
هذا المقدار كله بقدر أقول باي على أربعة ويساوي
هنا الأساس أربعة وهنا الأساس أربعة، يبقى هذا
المقدار كله يساوي قد إيش؟ باي، يبقى هاي باي وهاي ناقص
باي وهاي زائد باي على أربعة، يبقى الجواب كله قد إيش؟
يبقى كل المقدار هذا الإجابة تبعت وهي عبارة عن باي
على أربعة، نروح للمثال رقم ثلاثة وهذا المثال جئنا به
كسؤال في إحدى امتحانات أعمال الفصل السابقة، السؤال
اللي بيقول هي solve for x حل بالنسبة لي x، cosine
inverse لسالب x ناقص ln x في e cosine inverse e
cosine inverse x، تمام، كل هذا الكلام بده يساوي باي
على اثنين
يقول الحل المعادلة اللي عندي هذه وشوف أنك أد إيش
الإجابة تلتها، هنقوله بسيطة، يبقى المطلوب من هذه
المثلة أنه أجيب قد إيش القيمة العددية بالنسبة لـ X
أنه يقول الـ Solve for X من قبله، بسيطة الحلقة التالية
يبقى بدك تستخدم إيش عندك من معلومات في هذا الـ
section أو الـ sections الماضية عشان نقدر نحصل على
X لوحدها فـ Cos-X هي π ناقص cosine inverse X يبقى
هذه π ناقص cosine inverse X خلصنا من الـ term
الأول اللي بعده لن هذه عبارة عن ln لمين؟ لحاصل ضرب
مقدرين يبقى ln الأول زائد ln الثاني وفي هناك شر
السلب برا سالب ln الأول سالب ln الثاني يبقى هذه
سالب ln الـ X سالب ln E Cos Inverse X كله بده يسمى
كده؟ π على 2 طيب هذه صارت π ناقص Cos Inverse X
ناقص ln الـ X ناقص هذا الـ S بقدر أخده برا الـ ln
بيصير sin inverse X في ln الـ E يعني هذا فقط هو
sin inverse X بدي أساويه بـ π على 2 يبقى هذه π طلع لي
لهذه هه وهذه في بينهم سالب عامل مشترك يبقى بقدر
آخذ سالب وبظل عندك cosine inverse x زائد sine
inverse x بظل عندك هنا ناقص لأن الـ X بدي أساويه بقداش
π على اتنين شو رأيك؟ هذه π ناقص π على اتنين
هذه ناقص π على اتنين بده يساوي ln الـ x
يبقى هذا سيعطيك أن زيرو يساوي مين؟ ln الـ X يبقى E أو
زيرو يساوي E أس ln X يبقى هذا سيعطيك أن X يساوي E أو
زيرو بقداش؟ إذا حل المعادلة عبارة عن مين؟ عن X يساوي
واحد إذا ننتقل الآن إلى النقطة الأخيرة من الجزء
النظري في هذا الـ section وهي مشتقة معكوس الدوال
المثلثية والتكاملات المتعلقة بها يبقى
بدنا نيجي هنا إلى النقطة الثالثة والأخيرة في هذا
الـ section اللي هي الـ derivatives
of inverse trigonometric functions
مشتقة معكوس الدوال المثلثية خلي بالك معناها هنا باجي
بقول لو كانت الـ U f(الـ U is a differentiable
function of X then نم
رايحين خلوا بالك معايا كويس بدنا d على dx لـ sin
Inverse U يوها دي ليست x وانما هي دالة في x ففاجب
أقول مشتقتها واحد على الجذر التربيعي لواحد ناقص
U تربيع في du على dx وبشرط أن الـ absolute value
لـ U أقل من الواحد أو لا تساوي لأن إن ساوى 1 يصبح
المشتقة undefined 1 على صفر مدى نهاية كمية غير
مُعرفة نمر اتنين بدنا d على dx لـ cos inverse U يبقى
واحد على الجذر التربيعي يعني لو واحد ناقص U تربيع
في الـ du على dx والـ absolute value أقل من الواحد
بدي واحد منكم يفت يقول هو بستنى المشتقتين زي بعض
يقول لك نعم زي بعض ولكن بإشارتين مختلفتين يبقى هذه
ناقص تمام؟ طيب بدنا نيجي لمين؟ للتالتة بدنا d على dx
لـ tan inverse U يبقى واحد على واحد زائد U تربيع في
du على dx والكلام هذا صحيح for all X لأن الـ domain
تبع tan inverse كل الـ real line بالاستثناء
طيب بدنا نيجي لمين؟ رقم 4 d على dx لمين؟ لـ cot inverse
U يبقى واحد على واحد زائد U تربيع في الـ d
و على dx absolute value للـ U وهذا الكلام صحيح for
all U بلا استثناء وهذه for all U وليست for all X
للكل بس طلع هذه وهذه زي بعض كمان بيختلفوا عن بعض
بالإشارة فبنروح بنحط هنا إشارة مين؟ سالب بالمثل رقم
خمسة بدنا d على dx لـ sec inverse u اللي هو واحد على
absolute value لـ U الجذر التربيعي لـ U تربيع ناقص
واحد في du على dx والـ absolute value لـ U greater
than one أكبر من الواحد نمر ستة الـ d على dx
لـ cosecant inverse U يساوي سالب واحد على absolute
value لـ U الجذر التربيعي لـ U تربيع ناقص واحد في
الـ du على dx والـ absolute value لـ U greater than
one
نعود إلى هذه المشتقات مرة أخرى ونعقد مقارنة ما
بينها يبقى الآن احنا عطينا مشتقة معكوس الدوال
المثلثية الست هذين ستة ولا تلاتة؟ ستة، لكن في
الحقيقة تلاتة، لأن التلاتة اللي زيهم، اللي التلاتة
هذول زيهم بس بشعرة مخالفة يبقى، هاي خصمنا عليكم
خمسين في المية من اللي هو الحفظ والفهم وما إلى
ذلك، تمام؟ طيب نيجي للتلاتة هذول، المطلوب يعني
نحفظهم ولا بيجيون موجودات في الأداء؟ بدك تحفظهم
مثل اسمك طبعا؟ طيب نشوف حفظه مش صعب ولا سهل، إذا
صعب بدناش ياه، وإذا سهل بدنا ياه، ليه جدال؟ لو
جدل مشتقة الـ tan Inverse اللي في المصفيها جدال؟ لأ،
واحد زائد يوتر بيدي وعلى dx إذا لو كانت هذه tan
inverse X بقول 1 على 1 زائد X تربيع هي مشتقة tan
inverse X صح بيها دي؟ لأ طيب، ظلت الأولى والأخيرة
الأولى والأخيرة هذه اللي فيها جذر يبدأ بالنسبة للـ
sin inverse X مشتقة 1 على 1 ناقص X تربيع لكن الـ 6
inverse جلبناها بصير ايش؟ X تربيع ناقص واحد ضربنا
برا بس في absolute value لـ X يبقى الجذر هو الجذر،
قلبنا لتحت، وهذه كل موقف تبتدوا لتحت، ضربناها في
مين؟ ضربناها في Absolute فلن .. then كله very easy
هذا، easy صحيح بشكل. الحين هذه وسيلة كيف أنا
أحفظها اللي يعني بتلزق في دماغك بعد ما اتحلك كام
سؤال بيتجيك لحالك حافظته بدون ايه؟ بدون ما تحاول
ايه تحفظهم تمام؟ خير لو حبينا نسأل من أين لك هذا؟
يعني أنت كيف جبتهم هديه؟ يعني أخبط ألزج بصحتناهم
ولا اللي هم براهين؟ اللي هم براهين؟ بديش أبرهنهم
كلهم كفيني واحدة بدي أبرهن لك واحدة فيهم مشان تعرف
كيف أجت بعد قليل بنروح نستخدم التكامل نستفيد
معلومات لم نكن نعرفها قبل ذلك خلّيني في الأول اقرأ
طبعا
اللي بيقول هناك بتيجي إذا برهنت واحد أجتك الباقي
زيه خلاص كله مطلوب ييجي وما ميجيش مهمنيش بهمني
تعرف من وين هذا أجا مش نزل من السماء زي ما هو لا
نزل بعلم فهو نجي لو أخد مثلا A على بارة كده، لو
عندنا Y تساوي sin inverse X، بدنا نشتقها عشان
أشتغل أنا ما أعرفش مشتقة الـ sin inverse لكن بقدر
أجيب العبارة المكافئة لهذه العبارة العبارة
المكافئة لهذه العبارة اللي هي الـ sin الـ Y بدل
سواء من؟ بدل سواء X بنقول اه يعني لو كان عندي مثلث
قائم الزاوية بهذا الشكل وهذه الزاوية Y فجيب الـ Y
المقابل على الـ water يبقى هذا المقابل وهذا الـ
water و حسب فيه ثغورت أقبلها التالت واحد ناقص
extra beer طب إن نشتق هذه يبقى هذا بيعطيك تفاضل الـ
sin بيكو sin Y في dy على dx هذا مشتقة
الطرف الشمالي الطرف اليمين مشتقة الـ X بواحد هذا
بيعطيك أن dy by dx بيساوي واحد على cos
الـ Y طبعا هذا بده يعطيك d على dx ليه؟ مين هي
الـ Y؟ sin inverse X صحيح ولا لأ؟ إذا بدي أشيل Y و
أضع بدلها الـ sin inverse X بدي يساوي واحد بتدي d
على الـ cosine زي Y الـ cosine هو المجاور على الـ
water يبقى الجذر التربيعي لمين؟ لو واحد ناقص X
تربيع وهو المطلوب؟ مظلومش هنا it's chain rule بدي
بقول if الـ U is a differentiable function of X
then بدي أطبق الـ chain rule فبقول d على dx لـ
sin inverse U يساوي واحد على الجذر التربيعي لواحد
ناقص U تربيع في du على dx وهنا الـ absolute
value لـ U أقل من الواحد وهنا absolute value لـ X أقل
من الـ main واحد وهو المطلوب التكتيك تبع ذلك الباقي
بنفس الطريقة لكن لكن هذا هيجيب لي الشغلات ما كنتش
أقدر أعملها قبل هيك زي ايش مثلا الآن بالذات
للتكاملات نمر واحد لو جيت قلت لك جد ايش تكامل واحد على
جذر التربيعي لـ A تربيع ناقص X تربيع في dx هذه شبه
هذه اللهم إلا بدل التربيع جدميا لول واحد يعني كأن
هذه حالة خاصة من مين؟ من هذه بنقولها بسيطة، هذه
بنقدر نقول لك الجواب كالتالي يساوي sine inverse للـ X
على A زائد constant C هذه ما كناش بنعرفها قبل هيك لا
في كل كلص A ولا حتى اللي درسناه في كل كلص B طب
النقطة الثانية لو عندك تكامل واحد على A تربيع زائد
X تربيع عن X يعني شبه مهم ابهاديجد إيش النتيجة يبقى
النتيجة واحد على A في تان inverse X على A
زائد كونستانت C طب والتالتة والاخيرة التالتة
والاخيرة يتكامل لواحد على X الجذر التربيعي لـ X
تربيع ناقص A تربيع DX يساوي واحد على A في sec
inverse absolute value of X على A زائد constant C
شوف ازاي ما اديتش عفوية كمان الشغلة لما هي واحدة
اتنين و تلاتة لاحظ اتنين و تلاتة في جابلها واحد
على A لكن في حالة الـ sin ما عنديش واحد على A ليش؟
هذا الكلام اللي بدنا نقوله مشان نثبت صحة التلاتة
التلاتة لهم نفس التعويضة كويس إيش التعويضة اللي
بدنا نحطها؟ بدنا نيجي مشان البرهان بدك تقول لي let X
بده يساوي A T يبقى DX يساوي A في مين؟ في DT يبقى لو
كنت برهن أي واحدة منهم و التكن النقطة الأولى للـ A
تبعتها بعض هأقول لك الآن بيقول لك إنها بعض فعلاً و هأقول لك
و هأقول لك الـ A تبعتهم موجودة كيف؟ فبعدين بقول احنا
بدنا تكامل واحد على الجذر التربيعي لـ A تربيع ناقص
X تربيع DX يساوي التكامل الـ DX مقدر بش A DT يبقى
الـ A DT طبعاً يا شباب كل اللي عندنا هذا الـ A و الـ
A و الـ A كله الـ A greater than zero يبقى تحكمي أن
الـ A أكبر من الـ 0 دائماً و أبداً يبقى باجي بقول على
الجذر التربيعي اللي يمين للـ A تربيع ناقص X تربيع
تعني A تربيع T تربيع يبقى A تربيع T تربيع بالشكل
اللي عندنا هنا يبقى هذا الكلام بيساوي تكامل A DT
على إيه تربيع مع إيه تربيع تطلع برا؟ بـ A يبقى هذا
الـ A وهذا الجذر التربيعي لواحد ناقص T تربيع الـ A
و الـ M على السلامة يبقى تكامل DT على الجذر التربيعي
لواحد ناقص T تربيع بتطلع لي هنا هاي عندك مين مشتاق
الـ sin inverse X هي 1 على 1 ناقص X تربيع لو كملت
هنا بيجيني التكامل اللي هناك صح؟ و لو كملت هنا
هيضيع تفهيم مين بيطلع عندي sin inverse X يبدو هذا
الجواب يبدو يساوي sin inverse T زائد كونستانت C لكن
اتطلع لي هذي T قد إيش بدها تساوي X على A إذا هذي بدها
تساوي sin inverse X على A زائد كونستانت C وهو المطلوب
الأول اللي عندنا نفس التعويضة بدي أضعها للدالة اللي
عندنا هذه، يبقى أنا إيش بدي أشيلها يا شباب؟ إيه
تربيعي تربيع، وهنا قاعدتي، يبقى بدي أخد إيه تربيع
عامل مشتركه فوق، إيه بيظل قد إيش؟ 1 على A هايها و بضل
1 على 1 زي T تربيع اللي هو tan inverse T بشيل الـ T
و بحط مكانها X على A بيقول حصلنا على هذي هذي بنفس
الطريقة اللي بعدها بدي أشيل الـ X و أحط مكانها A T
وهذه A تربيع T تربيع و فوق A DT هنا A تربيع A
تربيع تطلع برا بـ A مع الـ A A تربيع وعندي A فوق يبقى
واحد على A بيظل واحد على T واحد زي A و T تربيع
ناقص واحد لـ sec inverse T بشيل الـ T و بحط مكان X
عليه بيقول وصلنا لمين؟ وصلنا للنتيجة طبعاً استفدنا
فائدة كبيرة جداً كثير من المسائل اللي كنا بنقدرش
كاملة في Calculus A أو في الـ sections الماضية هذه
من كاملها بسهولة خاصة إذا المسألة فيها جذور يبقى
قدرنا نخلص من الجذور و نحط التكامل تبعها من الدالة
لإنها طيب إذا بنبدأ ناخد إيش بعض الأمثلة على هذا
الموضوع يبقى Examples أول
مثال بيقول Find the following
Limits بدنا النهايات التالية أول واحدة منهم بدنا
Limit لما الـ X بدها تروح إلى infinity للـ X في Tan
inverse 2 على X طب ما احنا خدنا Limit قبل ذلك و ليه
جاي تعطينا Limit هنا؟ الإجابة بسيطة جداً لإن هناك
أخدنا Limit في حالة L'Hopital وما أخدناهاش لمعكوس
ما كانش ولا سؤال في معكوس لدالة مثلثية لإنه ما
أخدناهاش الدوال المثلثية يوم أن أخدنا قاعدة
L'Hopital إذا بدنا نعمم L'Hopital لمعكوس الدول
المثلثية و لا غيره طب اللي أنا بدي احسب هذه اللي
بتبقى أول خطوة هي التعويض المباشر شيل الـ X و حط
infinity ونشيل الـ X التاني ونحط infinity 2 على
infinity بـ zero Tan inverse zero بـ zero يبقى infinity
بـ zero هي الحالة الثانية يوم ما درسنا الـ section
اللي فيه قواعد نوبة يبقى نحوّر هذه المسألة بحيث
نحوّلها إلى 0 على 0 أو infinity على infinity يبقى
هذه الـ Limit لما الـ X tends to infinity لمين؟ لـ Tan
inverse 2 على X على 1 على X هذه حولت للمثال
لمين؟ واحد عمل نهاية بالـ zero و واحد عمل نهاية
بالـ zero و التاني عمل نهاية بالـ zero يبقى صفر zero
على zero يبقى 0 على 0 إذا بقدر أستخدم قاعدة
L'Hopital يبقى هذا الكلام يساوي الـ Limit لما الـ X
tends to infinity مشتقة البسط على مشتقة المقام
مشتقة الـ Tan inverse أخدناها قبل قليل يبقى واحد
على واحد زائد 2 على X لكل تربيع في مشتقة
الزاوية 2 ما لكش دعوة مشتقة 1 على X بـ سالب 1
على X تربيع يبقى هي عندك الـ 2 في سالب 1
على X تربيع على مشتقة المقام كمان اللي بـ سالب 1
على X تربيع نختصر هذا المقدار مع هذا المقدار
وبالتالي بتقول المسألة إلى 2 برا الـ Limit وهي
Limit لما الـ X tends to infinity بقى عندنا فقط
1 على 1 زائد 2 على X لكل تربيع طب العامة
التعويض المباشر عدد على ما لا نهاية بـ zero بضل قد إيش؟
1 على 1 اللي هو بـ 1 يبقى الجواب 2 في
1 ويساوي 2 قيمة هذه الـ Limit طب نجي ناخد
هذا نمرة 1 و ناخد نمرة 2 بدنا الـ Limit لما
الـ X بدها تروح للـ zero من جهة اليمين للـ sin
inverse X تربيع على الـ sin inverse X لكل تربيع
تعالى نعود بطريقة مباشرة zero تربيع بـ zero الـ sin
inverse zero قد إيش؟ ملحوظة sin inverse بمربوطة نقطة
الأصل هو الرسم أخدناها في مركز الدوال المثلثية
بمربوطة نقطة أولى بمربوطة نقطة أولى بمربوطة نقطة أولى
بمربوطة
نقطة أولى يبقى هذا الكلام Limit لما الـ X بدي يروح لـ
zero من جهة اليمين لمشتقة البسط على مشتقة المقام
1 على الجذر التربيعي لـ 1 ناقص X تربيع لكل
تربيع في مشتقة الزاوية له قد إيش؟ بـ 2 X هذا كله
البسط بنجي للمقام، المقام قوس و القوس مرفوع لأس
يبقى بنجي بنقول الأس في القوس نفسه في مشتقة ما
داخل القوس مشتقة الـ sin inverse اللي هي 1 على
الجذر التربيعي لـ 1 ناقص X تربيع هذا الكلام بده
يساوي Limit لما الـ X بده يروح للـ zero من جهة
اليمين أظن 2 في البسط و 2 في المقام هذي مش
لازمة إيش بده اللي عنده في البسط هذا هذا بدي أعيد
صيارتة فبقول 1 على السؤال هو أليس هذا فرق بين
المربعين يعني بقدر أحلله 1 ناقص X تربيع و 1
زائد X تربيع كله تحت مين؟ تحت الجذر وبالتالي بقدر
أوزع الجذر لكل منهم يعني هذا كأنه الجذر التربيعي
إلى 1 ناقص X تربيع في الجذر التربيعي إلى 1
زائد X تربيع هذا الجذر الأول اللي عندنا هذا تمام؟
و فوق ضلت أن هذا الواحد مضروب في X يبقى بـ X دغري
يبقى اصبح أن X على حاصل ضرب الجذرين هذا من البسط
نجل المقام
1 على sin inverse X هذا الجذر يجب أن ينجلب و يطلع
فوق يبقى لو انجلب و يطلع فوق يصبح الجذر التربيعي
إلى 1 من ناقص X تربيع أظن في اختصارات الجذر هذا و
الجذر هذا معاهم مع السلامة إذا آلة الـ Limit اللي
عندنا إلى X بدأت تروح لـ zero من جهة اليمين يبقى في
البسط فقط X لا غير في المقام صار عندنا الجذر
التربيعي لـ 1 زائد X تربيع في sin inverse X
ويساوي لو جيه تعويض مباشر يبقى هدف zero هدف zero في
1 يبقى بـ zero يبقى L'Hopital كمان مرة يبقى
High Limit لما الـ X بده يروح لـ Zero من جهة اليمين
تفاضل البسط واحد على تفاضل المقام المقام مشتق
تحاصل ضرب دالتين يبقى الدالة الأولى في مشتقة الدالة
الثانية مشتقة الـ sign inverse اللي هو واحد على
الجذر التربيعي لواحد ناقص X تربيع زائد الدالة
الثانية اللي هو sign inverse X في مشتقة الأولى
مشتقة الجذر بواحد على اثنين الجذر تمامًا في مشتقة ما
داخل الجذر اللي هو كده بتنين X طيب نجي نشوف التعويض
عن X بزيرو يبقى هتصير واحد على زيرو بتطير هذه
زيرو بتطير هذه بظل واحد على واحد اللي هو بواحد وصل
لزائد زائد sign inverse لـ zero في zero على اثنين
يبقى الجواب
كله قداش يساوي واحد صحيح هو نهاية هذه الدالة حد
بدي أسأله سؤال بالنسبة لهذه الـ limit
طيب تهيأنا من المثال اللي هو الأول بابنا نروح
للمثال الثاني يبقى example two يقول
find y prime for each of
بنجد مشتقة كل من المقادير التالية نمرا واحد هو
يساوي tan inverse لإن الـ X يبقى كأن المثال Y تساوي
tan inverse U يبقى
واحد على واحد زائد U تربيع في مشتقة الـ U حسب ما أخذناه
قبل قليل يبقى هذا يعطيك أن Y prime يساوي مشتقة الـ
tan inverse واحد على واحد زائد U تربيع يعني لإن الـ
X الكل تربيع في دي U على دي X يعني في مشتقة كدوش
يعني واحد على X اختصارات ما فيش بروح بخليها نمرا
اثنين بدنا Y تساوي cotan inverse cotan inverse الجذر
التربيعي لـ X تربيع ناقص واحد Y'
يساوي الـ cotan inverse شرطة عند اشتقاق بالسالب يبقى
السالب واحد على واحد زائد الجذر التربيعي لـ X
تربيع ناقص واحد الكل تربيع
مشتقة الجذر واحد على اثنين الجذر في مداخل الجذر
اثنين X
طبعا هنا تربيع حيُطير الجذر يبقى بضال واحد زائد X
تربيع ناقص واحد هيربع من هذا المقدار اثنين مع
اثنين الله يسهل عليها بضالة من يمين X على مين على
الجذر التربيعي لـ X تربيع ناقص واحد يبقى هذا الكلام
يساوي سالب واحد على X تربيع واحد وسالب واحد مع
السالب بظل مضروب في X على الجذر التربيعي لـ X تربيع
ناقص واحد نختصر الـ X مع الـ X بظل ناقص واحد على X
الجذر التربيعي لـ X تربيع ناقص واحد طيب السؤال
الثالث السؤال الثالث بيقول لي Y تساوي general x الـ
square root للـ X في cosine inverse الـ square root
للـ X كله أس أربعة يبقى بدنا Y prime تساوي يلا
فكروني في الموضوع كيف بنحل السؤال هذا؟
طلعنا كويسة يباشر من هنا عصر البرد دل ثاني يبقى
الدالة الأولى في مشتقة الدالة الثانية cos مرفوع لأس
يبقى الأس في الـ cos مرفوعة لنفس الأس مطروح منه واحد في
مشتقة مداخل القوس اللي هو مين؟ سالب واحد على واحد
زائد مربع هذا اللي هو جذر الـ X الكل تربيع في مين؟
في مشتقة الزاوية اللي هو قداش؟ واحد على اثنين جذر
الـ X يبقى كل اللي عملناه الكلكة علي كتيرة لسه
الأول في مشتقة الثاني زائد الثاني زائد cosine
inverse لجذر الـ X الكل أس أربعة في مشتقة جذر الـ X
بواحد على اثنين جذر الـ X واحد على اثنين جذر الـ X
طبعا في اختصارات هذه X جذر الـ X في المقام وجذر الـ
X في البسط اثنين هذه وهنا أربعة بظل اثنين يبقى
أصبحت النتيجة كالتالي يبقى أن هذا كله ناقص اثنين
وهنا cosine inverse لجذر الـ X الكل تكعيب عالمين
واحد زائد X فقط لا غير هذا الجزء الأول الجزء الثاني
مش فيه اختصارات يبقى يبقى كما هو cosine inverse
لجذر الـ X الكل أس أربعة على اثنين جذر الـ X الخطوة
ليه المرة الثانية قال يبقى بالك معايا كويس صح صح
اللي كان سرحان اللي مش فاهم اللي ناسي إيه اللي إيه
اللي يخلمك معايا هذا المثال اللي عنّاه يبقى إحنا عندنا
هذه دالة هذه function وهذه function ثانية إذا
السؤال هو مشتقة حاصل ضرب دالتين مضايق أقوله
الدالة الأولى في مشتقة الدالة الثانية الدالة
الأولى جذر الـ X الدالة الثانية cos ومرفوعة لأس في
كل قوس إيه علموكم المدرسين إن شروطة الأس في الـ cos
مرفوعة لنفس الأس مطروح من واحد فيه مشتقة مداخل
القوس مش هيك بدنا نترجمها عرفيًا يبقى هذا الأس الـ
cos زي ما هو مرفوع لنفس الأس مطروح من واحد يبقى
صارت ثلاثة مشتقة مداخل القوس يعني مشتقة الـ cosine
inverse اللي سالب واحد على واحد زائد مربع الزاوية
طيب، الزاوية هذه دالة في X مش X، يبقى بدنا نروح
نضرب في مشتقة جذر الـ X اللي واحد على اثنين جذر
الـ X أظن التالي ما فيش فيها مشكلة؟ ولا حاجة، أيوا
اسمع طيانات، أيوا؟ هذه، كم مرة؟
يا رجل تجي الله، مشتقة هذه هي نصف وهي تكوين في
مشتقة دي اللي جوا القوس، مشتقة الـ cosine inverse
سالب واحد على واحد زائد مربع المقدار هذا، قرب اسمها
تينا، وهو الجذر
آه آه الجذر قصدك هذه آه صحيح هذه مظبوط وهذه آه
cosine inverse سبحان الله هذه سالب مظبوط كلامك صحيح
هذا صح طبعًا وفوق كل ذي علم عليم أقر أن أخطأ
الراجل بيحكي صحيح لإن هذه مشتقة الـ cosine inverse
هي واحد على الجذر التربيعي لواحد ناقص X تربيع يبقى
هذه بالسالب يبقى هذه بتصير بالسالب بالشكل اللي هنا
واحد ناقص X وتحت الجذر فقط لا غير أنا أسمع يبقى
هاي عدلناها طيب هنجي للنقطة الرابعة النقطة
الرابعة بيبني Y تساوي ثلاثة tan inverse X زائد و
tan inverse لثلاثة و سنأخذها لكن بنشتق
هذه وننهي المحاضرة إن شاء الله تعالى بالنوايا
قواعد يساوي هذه كأنها AOSU يبقى AOSU في ln الـ F
ومشتقة الـ U مظبوط؟ يبقى AOSU الدالة كما هي في ln
الثلاثة في مشتقة الـ tan inverse لواحد زائد X تربيع
طبعا خلاص ما منها الـ quotient inverse شريتها
بالسالب يبقى سالب واحد على واحد زائد ثلاثة أس X
لكل تربيع في مشتقة مين؟ الثلاثة أس X اللي ثلاثة أس
X في ln الثلاثة أكثر من هيك ما عنديش اللهم إلا إذا بدك
تكتب هذه ثلاثة أس اثنين X ما عندناش مشكلة وإذا بدك
تكتبها تسعة أس X كمان ما عندناش مشكلة هذا أس
مركب بيصير ثلاثة أس الـ X في اثنين اللي هو
بـ اثنين الـ X أو ثلاثة ربعة أس X يعني تسعة و أس
أكتبت إيه؟ كتبت إيه؟ كتبت إيه؟ كله زي ما هو ما عنديش
اختصارات يبقى بيخليها وبروح وبس يبقى نكمل إن شاء
الله المرة القادمة