بسم الله الرحمن الرحيم، حابين نذكر أن الامتحان النصف
الأول إن شاء الله بعد أسبوعين، يعني الثلاثاء بعد
القادم في مثل هذا اليوم إن شاء الله الساعة أحد عشر
والقاعة بجبالكم إن شاء الله في الأسبوع القادم
الحد الأقصى هو القاعة ماشي P 302؟ خلاص بتموم P 302
يبقى شعبكم كلها ليه واحد و ثمانين طالب، القاعة يه
ثلاث مئة و اثنين في المبنى اللي جبال مبنى القدس
طيب، نرجع لموضوعنا هذا، لازلنا في موضوع relative
rates of growth، المرة اللي فاتت أخذنا definition
وهذه ملاحظة مرتبطة بهذا الـ definition وهي آخر نقطة
موجودة في هذا الـ section، بقول إذا كانت الدالة f
grows at the same rate as g أو f grow at the same
rate as x tends to infinity، وفي نفس الوقت كان g
grows at the same rate as h as x tends to infinity
يبقى من الأولى مع الأخيرة، الـ F مع H اثنين grow at
the same rate as X tends to infinity, that is
الكلام اللي قلناه بنروح نعبر عنه بصيغة رياضية
الأولى F grows زي G as X tends to infinity، يعني لو
قسمت اثنين على بعض و أخذت limit لما الـ X بدأت تروح
للمالانية بتعطيني رقم L1، و L1 محصور بين الـ zero و الـ
infinity بعدد موجب، اثنين، النقطة الثانية G و الـ h
grow at the same rate، يبقى مع الكلام أن الـ limit
الـ g of x علي h of x لما الـ x بدها تروح للمالانية
نهاية بدها تساوي L2، و الـ L2 محصورة بين الـ zero بين
الـ infinity، إن حدث ذلك يبقى بكل هذا بيكون الـ F و الـ
H grow at the same rate as X tends to infinity
بيبقى نعبر عن ذلك بصيغة رياضية تالية، limit لما الـ
X tends to infinity للـ F of X على مين؟ على الـ H of
X، هذا limit لما الـ X tends to infinity، هذه ممكن
أكتبها بطريقة أخرى، لو ضربت في واحد صحيح حال تتغير
القيمة، بدي اعتبر الواحد الصحيح هو G of X على G of
X، يبقى بيصير limit الـ F of X على الـ G of X في الـ G
of X على الـ H of X ويساوي، يبقى الـ limit بتدخل على كل
واحدة فيهم، يبقى limit الأولى هذا بقداش؟ الـ one يبقى
هذا الـ one، و limit التاني هذا الـ two، الـ L1 و L2 هم
أعداد حقيقية لأن المحصورة بين الـ 0 و 1، يبقى حاصل
ضربهم برضه يبقى أعداد حقيقية، وهذا ينطبق لـ L1 L2
و L1 L2 أكبر من 0، أقل من 1، 00، ما هو معنى هذا الكلام؟
متى نلجأ لاستخدام هذه الـ remark بحل المسائل
المختلفة؟ لنقل أبدا، المرة اللي فاتت بكذا، ناخد
الـ two functions، نحط الاثنتين على بعض و ناخد الـ
limit و نحسب الـ limit هذه، أحيانا يمكن تيجي تعمل
همجية و تاخد limit لاجيها صعبة، فلما تلاجيها صعبة،
نضطر ندخل دالة وسيطية ما بين الاثنين، الدالة بندخلها،
بنجيبها من مين؟ من شكل الدالتين اللي موجودين، مش
حيالها يعني لا تجيب ولا تحط وخلاص نحطها، لأ بدنا
نحاول نستنتجها من شكل الدالتين الآخرين، نعطي مثال
توضيحي على ذلك، يبقى بنجي ناخد example بيقول
المثال show that، show that بيلي أن الجذر التربيعي
إلى x تربيع زائد خمسة، and اثنين جذر الـ x ناقص واحد
لكل تربيع، اقرأ
at the same rate as x tends to n، عطيني دالتين و
قال بيبيني أن الدالتين هدول grow at the same rate
حسب المفهوم اللي احنا عارفينه قبل ذلك، ممكن نقسم
اثنين على بعض و ناخد الـ limit لما الـ x بدها تروح لما
للمالانية، و يمكن يطلع الأمر في نوع من الصعوبة لذلك
بنحاول ندخل دالة في الوسط بين الدالتين هدول زي ما
كانت G في الوسط جاية بين من مين؟ بين الـ F و H، كيف
باجي بقول مين اللي أكبر لما الـ X بتروح للمالانية يعني
الـ X اس سبعة، و الله خمسة، الـ X اس أربعة، يبقى الخمسة هذه
مع السلامة، و ما بيظل أيهاش الذي يتحكم في سلوك هذه
الدالة هو الـ X اس أربعة بس تحت الجذر، يعني باكمة تطلع
X، يبقى هذه ممكن أخد X قريبة جدا على هذه الدالة، نجي
للدالة الثانية هذه، لو ربعتها بيصير مربع الكمية
الأولى، أربعة X مظبوط؟ زائد ضعف حاصل ضرب الكميتين
زائد أربعة، نقص أربعة جذر الـ X زائد واحد، يبقى
الكبرى فيهم مين؟ اللي هي الـ X، و الله جذر الـ X، الـ X
هي الأكبر، يبقى X من هنا كمان ممكن أخدها قريبة جدا
أو هي اللي تتحكم في سلوك الدالة لأنها هذه، إذا صارت X
هذه كإنها وسيط مشترك بين الـ function الأولى و
الثانية، و الـ function الثانية، إذا بنقدر نقارن هذه
مع الـ X و نقارن الثانية هذه مع الـ X، انطلاقا
الأولى has the same rate، grow at the same rate، و
الثانية grow at the same rate as X tends to
infinity زي ما قلنا في الجيز النظري، إذا بصير الدالة
الأولى و الأخيرة grow at the same rate as x tends
to infinity، الكلام اللي بنحكيه هنا نظري، بنروح نحطه
على أرض الواقع، إذا لو أنا روحت أخذت limit الجذري
التربيعي إلى x تربيع زائد خمسة على x، لما الـ x tends
to infinity
طبعا الجذر هذا للمقادير كلها شبهها، يبقى infinity
على infinity، يبقى يا لوبيتال رول، يا لوبيتال
رول، يا لوبيتال رول، يا لوبيتال رول، يا لوبيتال
رول، يا لوبيتال رول، X تربيع، يبقى كأن المسألة أصبحت
limit لما الـ X tends to infinity للجذر التربيعي لـ
X تربيع زائد خمسة كله على X تربيع، يعني limit لما
الـ X tends to infinity لمين؟ للجذر التربيعي لواحد
زائد خمسة على X تربيع، طبعا هذا بيصير و بيظهر عندي
كذا واحد، الواحد زي ما أنت شايف منه أكبر من الـ zero
أقل من الـ one، معناته الـ two functions دول grow at
the same rate، يبقى هنا الجذر التربيعي إلى x تربيع
زائد خمسة، and الـ x grow at the same rate as x
tends to infinity، بالمثل بروح أخد limit لما الـ X
تنزل إلى infinity للـ X على الدالة الثانية، اثنين جذر
الـ X ناقص واحد لكل تربيع، التعويض المباشر بيجيب لي
infinity على infinity، يبقى بدي أستخدم قاعدة لوبيتال
يبقى لو جيت أخذت استخدام قاعدة لوبيتال بيصير عندي
الـ limit لما الـ X tends to infinity، مشتقة دالة
البسط على مشتقة دالة المقام، اثنين في الجذر زي ما هو
مرفوع للأس واحد في مشتقة مداخل القوس، مشتقة مداخل
القوس يبقى اثنين، مالهاش دعوة، و الله لان نحط فوق هذه
مشتقة، يبقى احنا مشتقة كل المنظومة، والمقام على
حده، يبقى هذا اشتقاه في المقام، فتبقى في المقام، وهذا
واحد على اثنين جذر الـ X، نختصر الاختصارات اللي
موجودة، يبقى الاثنين هذه مع الاثنين هذه، يبقى آلة
المسألة إلى الشكل التالي، جذر الـ X هتنقلب و تطلع فوق
و هنا أربعة جذر الـ X ناقص اثنين، التعويض المباشر بتجيب
انفينيتي على انفينيتي، يجب نشتق البسط على حده أو
المقام على حده، يجب نقسم كل من البسط و المقام
على جذر الـ X اللي هي موجودة في المقام، يبقى x
tends to infinity، بيبقى الواحد على أربعة ناقص اثنين
على جذر الـ x بالشكل اللي عندي هذا، تمام، هذا كله
بقداش؟ بـ zero، يبقى طالع الجواب ربع، و الربع محصور بين
الصفر و الـ infinity، يبقى معنى هذا الكلام أن الـ two
functions هدول معهم grow at the same rate، يبقى
باجي بقول له so، الـ x and الـ اثنين جذر الـ x ناقص
الواحد لكل تربيع grow at the same rate as x tends
to infinity
الآن بالـ remark اللي قبل قليل، by the above remark
اللي هو من الجذر للـ X تربيع زائد خمسة، and للاثنين
جذر الـ X نقص واحد لكل تربيع grow at the same rate
as X tends to infinity
الآن وصلنا إلى نهاية هذا الـ section، يبقى بنروح
ناخد exercises اللي هو السبع، ثمانية، المسائل من
واحد لغاية ستة، أدنى ثلاث مسائل، لكن كل سؤال فيه
حوالي ثمان نقاط تقريباً إيش يعني؟
أنت فهمت الجزء النظري الأول؟ أنا فضّلت حرفياً على
الجزء النظري اللي خدناه تطبيق مباشر لا لف ولا
جوران F of X هي الجذر التربيعي على X تربيع زائد
خمسة والـ G of X هي X والـ H of X هي اثنين جذر الـ X
ناقص واحد لكل تربيع
عندما أخذت أول اثنتين تالي عندي مقدار ثابت يبقى
الاثنتين ي grow at the same rate عندما أخذت الاثنتين
الثانية تالية مقدار ثابت كمان ثاني يبقى الاثنتين ي
grow at the same rate يبقى بواسطة الـ remark صارت
الدالة الأولى الى when seen by the above remarkهذه و
هذه الدليل تنجروا في نفس الوقت كإشارة لانهائية.
إلك اعتراض على هذا؟ جداً، السؤال ما قال لك، هذه F و
X و هذه H و Z؟ بقى أنت خد اللي بدك إياه، ما عنديش
مشكلة، إن شاء الله تأخذ هذه، هرا، و أين راحت؟ خد
هذه F و X و هذه H و Z، شو بأثر يعني؟ شوفوا يا سيدي،
لو جلبتم بدل هذه من ربع بصير أربعة، برضه بين صفر
و infinity، ما فيهاش إشكالية، ولا حاجة، يعني ليس
بالضرورة الترتيب، لأن العبرة بالنتيجة وليس
بالترتيب، كنتوا بيكتبوا الأسئلة، فضلوا
أنت غايب و حاضر ولا إيه؟ احنا قلنا إذا بنقدر
مباشرة ماشي لكن أحياناً ممكن تلاقي الصعوبة نروح
ندخل ده اللي في النصب و بنشتغل الشغل تبعنا
نحن نقول لك اسمع كده، بتعمل مقارنة بين الـ two
functions، يعني بدك تخلق الدالة في المصدر من خلال
شكل الدالتين اللي عندك، مش عشوائياً يعني، و شوفت احنا
لما جينا قارنا، قلنا من اللي بيتحكم في الدالة
الأولى؟ هل الخمسة والله الـ X تربيعها؟ قلنا الـ X
تربيعها لأنها أكبر لما الـ X بتروح للمالا نهاية،
يبقى بنعتبر كأن الخمسة مش مولودة صار الجذر
التربيعي لـ X تربيع طلعت X جينا نفدها للاثنتين لما
فتكناها، من الجزء الأكبر؟ الجزء اللي هو أربعة X،
أربعة هذا كله صندوق لا بيقدم ولا بيأخر هم دي، يبقى
صارت الـ X هذه يامامي يبقى صارت هنا X وهي نفس X، يبقى
دخلنا هذا الـ X و اشتغلنا عليها وهكذا. هو طبعاً قليل
ما نلجأ لها، لكن إن حدث، ممكن نلجأ له وخلاصنا. طيب،
لحد هنا، stop، انتهينا من هذا الـ section، والآن
بانتهائنا من هذا الـ section، ينتهي هذا الـ chapter.
بنروح للـ chapter الجديد اللي هو techniques of
integration الطاقة المختلفة للتكامل يبقى chapter
ثمانية techniques of
integration
يبقى طرق المختلفة لمين للتكامل أو طرق العملية
لتكامل بعض الدوال المختلفة بأننا نجي نذكر في
البداية قبل أن نبدأ هذا الشطر بما سبق دراسته من
التكاملات يبقى بتروح أقول له some integral
formulas
هذا الآن بدنا نذكر ببعض التكاملات اللي خدناها في
الثانوية العامة وفي Calculus A وفي Calculus B لأن
هذا الأساس اللي بنبني عليه دراستنا في كل الـ
chapter هذا يبقى بنا بنبدأ بالتكاملات المشهورة
اللي مرت علينا نجي لأول تكامل كان تكامل constant
في الـ DX بنقول الـ constant بنطلعه برا التكامل و تكامل
الـ dx هي بـ x زائد constant c بعد هيك نمر اثنين بدنا
تكامل الـ ax to the power n dx حيث أن عدد حقيقي
بنقول الـ A مقدار ثابت ما له دعوة و Lexus N بنضيف
للأس واحد و بنقسم على الأس الجديد و بنقول زائد
constant C هذا الكلام صحيح بشرط أن الـ N ممنوع
يتساوي -1 طب لو حدث و ساوى -1 ساوى -1 ساوى -1 ساوى -1 ساوى
ساوى ساوى ساوى ساوى ساوى ساوى ساوى ساوى
ساوى
يبقى صار هنا الـ Best هو تفاضل المقام الـ X تفاضلنا
بواحد اللي موجودة في الـ Best لما كان الـ Best تفاضل
المقام قلنا لن المقام إذا بناء أنا عليها بروح
للنقطة الرابعة تكامل F prime of X على F of X كله
DX إذا كان الـ Best تفاضل المقام فنتيجة التكامل هي
لن absolute value للمقام زائد constant C نقطة
الخامسة تكامل E أس AX في DX الـ exponential
function طبعاً بالأصل زي ما أنت شايف من الدرجة
الأولى في x لكن مضطر في مين هي constant يبقى
تكاملها كما هي مقسومة على a زائد constant c ستة من
تكامل الـ x exponentially الثانية a to the power x
dx ويساوي الـ Exponential كما هي مقسومة على a لن الـ A زائد constant C طبعاً هذا في الـ section 7
ثلاثة كالكلص B كالكلص B كالكلص B هذا الاثنتين
كالكلص A و ثانوية عامة طيب نجي نمرح 7 بننتقل الآن
إلى الدوال المثلثية عندك تكامل لـ sin ax dx طبعاً
الـ ax كلها الزاوية والـ a كولستن يبقى سالب واحد على
a cosine ax زائد كولستن c ثمانية بدنا تكامل بدل الـ
sign بنخليه cosine ax dx يبقى واحد على a sine ax
زائد constant C نمرة تسعة نتكامل لـ tan الـ X DX التي
هي نسبة المثلثية الثالثة نعمل tan هي sin على
cosine بصير البسط هو تفاضل المقام بس بده شرف سالب
حسبناها قبل ذلك ناقص لن absolute value لـ cosine X
زائد constant C أو المكافئة لها اللي هي لن absolute
value لـ sec X زائد constant C
بدنا تكامل لـ cotan الـ X DX كوساين على ساين البسط تفاضل
المقام يبقى لن absolute value لـ sin الـ X زائد
constant C حد عشر وصلنا ل تكامل لـ sec الـ X DX طبعاً
ضربنا في sec زائد تان وجسمنا على sec زائد تان صار
البسط تفاضل المقام يبقى لن absolute value لـ sec الـ X
زائد تان الـ X زائد كولستن C الثانية عشر تكامل
لـ cosecant الـ X DX
إما سالب لن absolute value لـ cosecant الـ X زائد
cot الـ X زائد constant C أو لن بالموجب absolute
value لـ cosecant الـ X ناقص cot الـ X زائد
constant C إما هذه الصيغة أو هذه الصيغة الاثنتين
are the same الثالثة عشر طلع هنا كاملنا الدوال
المثلثية الستة كلها تمام؟ نجي لتكامل مضروباتها،
إيش تكامل مضروباتها؟ تكامل لـ sec squared x dx،
اللي هو الدوال؟ بتان الـ X زائد constant C طيب
الرابعة عشر تكامل لـ cosecant square X في DX لو بسالب
cot الـ X زائد كولستن C الخامسة عشر يبقى تكامل لـ sec الـ
X تان الـ X DX يساوي sec الـ X زائد كولستن C السادس
عشر تكامل لـ cosecant الـ X cot الـ X DX بسالب cos x
زائد constant C يبقى دول تكامل من الدوال المثلثية
وضرب الدوال المثلثية نذهب الآن إلى الدوال الزائدية
تكامل لـ cosh AX DX يبقى واحد على a sinh AX زائد
كونستان C بالمثل تكامل لـ sinh AXDX يساوي واحد على A
cosh AX زائد كونستان C التاسعة عشر عملناها sinh على cosh
وصلنا المقام و الـ cotanh زيها و الـ sech خدناها مثال
و الـ cosech قولنا لك exercise لك تمام؟ يبقى هذا كله
معاك تمام بدنا نيجي لمين؟ إلى التاسعة عشر التاسعة عشر
تكامل لمين؟ لـ sech Square X
20 تكامل يبقى
سالب tanh x زائد constant c الحادية والعشرين
تكامل لـ sech الـ X tanh الـ X DX ويساوي سالب sech الـ X
زائد constant C الثانية والعشرين اللي هو تكامل لـ cosech
الـ X cotanh الـ X DX بسالب cosech الـ X زائد كونستان C
الثالثة والعشرين
الآن بدنا نروح للمعكوسات معكوس الدوال المثلثية و
معكوس الدوال الزائدية معكوس الدوال المثلثية عندنا
ثلاث تكاملات التكامل الأول واحد على الجذر التربيعي
لـ a تربيع ناقص x تربيع dx اللي هي sin inverse
التكامل الرابع والعشرون هو عبارة عن تكامل لمين؟
لواحد A تربيع زائد X تربيع DX بدون جذور يبقى يقول
إن هذا عبارة عن واحد على A تان inverse X على A زائد
constant C خمسة وعشرين بدنا تكامل اللي هو ميم واحد
على X الجذر التربيعي ل X تربيع ناقص A تربيع في DX
اللي هو عبارة عن ميم واحد على A في Sec inverse
absolute value X عليه زائد constant C هدول
الثلاثة اللي هي تبعات معكوس الدوال المثلثية، ثلاثة
تانيات هما هما، بس بإشارة سالب، تمام، إذا بنروح
لستة وعشرين وما أدراك ما ستة وعشرين، تكامل واحد
على الجذر التربيعي، تربيع X تربيع DX هذه بس بإشارة
موجب بدل السالب، في حالة السالب sign inverse و في
حالة الموجب في حالة المجموعشة دي؟ Sin inverse تمام
يبقى Sin inverse X على A زائد constant C سبعة و
عشرين تكامل لدي X على الجذر التربيعي ل X تربيع
ناقص A تربيع يبقى هذا الكلام جوش inverse X على A
زائد كونستان C ثمانية و عشرين ثمانية و عشرين بدنا
تكامل لمام لواحد على A تربيع ناقص X تربيع DX قول هذا
له قيمتان القيمة الأولى واحد على A تانش inverse x
على A زائد constant C وبشرط absolute value ل X أقل
من A أو واحد على A cotangent واحد على A cotangent
إنفرس X على A زائد constant C absolute value لل X
أكبر من ال A آخر تكاملين يبقى التكامل التاسع
والعشرون بجول مياتي تكامل واحد على X الجذر
التربيعي ل A تربيع ناقص X تربيع DX يبقى هذا
سالب واحد على A في C inverse X على A زائد constant
C ثلاثين تكامل واحد على X الجذر التربيعي اللي A
تربيع زائد X تربيع DX يساوي سالب واحد على A كسيش
inverse absolute value لل X على A زائد constant C
يبقى هدول الثلاثين ده كامل اللي بده نبني عليهم كل
دراستنا في هذا ال chapter إن شاء الله يعني مشان
تفهم كل سؤال والله كل مثال موجود في هذا ال chapter
بدك تكون ملم بهذه الثلاثين وهذا مجمل مدرسة في
الثانوية العامة وفي calculus A وفي calculus B اللي
هو chapter 7 طيب هدول هم الأساسيات اللي بنبني عليهم
دراستنا في هذا ال chapter وبالتالي بننتقل إلى أول
طريقة من طرق التكامل و هذه أخذتوها في الثانوية
العامة لكن إنتوا أخذتوها كعنوان وسؤالين ثلاثة صغار
لكن احنا هناخدها تفصيليا إن شاء الله يبقى أول
section إننا شباب section ثمانية واحد ثمانية واحد
اسمه integration by
parts
بابا يقولولكوا المدرسين في الثانوية التكامل
بالأجزاء أو بالتجزيء أيش ما يقولوا يقولوا لكن احنا
بدنا نفهم أيش معناه و لماذا سمي integration by
parts كل الجزء النظري تبع ال section بدي اختصره في
كلمة صغيرة جدا يبقى بعدي بدي اقول if ال U and ال V
are differentiable functions of X then التكامل ل
UDV يبقى U في V ناقص تكامل V دال U يبقى
هذا التكامل تبع الأجزاء
بنعرف لماذا سميناها تكامل بالتجزيء أو بالأجزاء وكيف
طريقة التعامل مع هذا النوع من التكاملات
الآن نجي للسؤال هذا، بيعطيني مثلة، المثلة بتبقى
دالة في مين؟ في تكامل بالنسبة لشغل دي اكس، دي واي،
دي ثيتا، دي زد، إلى آخرين المثلة هذه بدي أقيسها على
هذه المثلة يعني أيش أقيسها على هذه المثلة؟ يعني
بدي أختار جزء يكون يمثل U وجزء يمثل من DV طيب ال
U هذه اللي اخترتها هنا هي ما تغيرتش، لكن هنا أيش
امتلت ال U؟ اشتقتها، DU هذه كانت دي V مشان أحصل على
V هذه معناته بدي أكامل هذه الدالة يبقى هي ال V وهي
ال V معنى هذا الكلام أنه في جزء من المسألة بدي
أفضله أشتقه وفي جزء بدي اروح أكامله يعني بدنا نجزء
المسألة إلى جزئين جزء بدي أكمله بعملية الاشتقاق
وجزء بدي اروح مين أكامله ومن هنا سمينا تكامل بالتجزئة
تكامل بالتجزئة قال لي U في V ناقص تكامل VW يعني
لسة بالزمن تكامل قد يكون يحتاج هذا إلى تكامل
بالأجزاء من جديد وقد يظهر أحد التكاملات الثلاثين
التي أشرنا إليها قبل قليل ممكن هذه وممكن هذه، طب
السؤال هو لما يجيني السؤال مين اللي بدي أختارها
تكون ال U ومين اللي بدي أختارها DV؟ اه بنقوله
بسيطة تختاري ال U هي الدالة اللي تفضليها سهل ما يكونش
تفاضلها مكلكة أو يطلع نص متر، لأ، بيكون شغلنا مش
مظبوط، يبقى بختار ال U بطريقة أقدر أفاضلها وبختار
ال DV بطريقة أقدر أكملها، اه يعني إذا اخترت ال U
كل بضال في المثلة بدي أكون مين؟ دي V هذا بدك تقدر
تكمله بسهولة وهذا بدك تقدر تفضله بسهولة طيب يمكن
أفضل هذا بسهولة ويمكن أكمل هذا بسهولة لكن ما تنحلش
المثلة ما تنحلش ليه؟ لأن الاختيار كان اختيارا خاطئ
كيف يعني اختيار خاطئ؟ هذا ال U دي لو جيت اشتقتها
بديها تنتهي تكمل مش هتزيد فمثلا لو قلت لك خد U
يساوي X سالب واحد تعال فاضلها، إيش بيطلع؟ X
السالب اثنين يبقى ذالبة لأ كمان مرة X والسالب ثلاثة
بغض النظر عن الكون الصحيح X والسالب أربعة يبقى
ليوم القيامة مفيش بتخلصش إذا الاختيار كان اختيارا
خاطئ يبقى بدي أختارها بحيث تنتهي بعد مرة مرتين ثلاث
أربع مرات تبقى خلصت طبعا طب افترض اخترت وطلعت معاك
تكلكعت أدت تكلكعت وها دي مش عارفين نطلع منها يبقى
بختيار خاطئ بتروح تجيب الخيارة بتاعتك وبتلاقي المثلة
تكاملها انحلت على طول الخط يبقى الاختيار مش مزاجي،
وإنما الاختيار عبارة عن دراية علمية، دراية علمية
عن بنانيش، عن مشتقات الدوال وتكامل الدوال، وبالتالي
بيصير القصة هذه بسيطة جدا، إذا أنا لما بدي أعطيك
مثال، بدي أعطيك ثلاثة أنواع من المثال، إنه لو اللي
بدي أخليه بسيط، بدوش ولا لف ولا دوران النوع الثاني
بدي أخليك تهرش مخك وتضطر تعمل تعويضة قبل ال
integration by parts وبعد ما تعمل تعويضة يصير
مسالتك سهلة بال integration by parts وهكذا بالنسبة
لمين؟ للباقي إذا نبدأ الشغل العملي على هذا القانون
اكتب لي أول مثال احسب لي تكاملات التالية يبقى evaluate
the following integrals يبقى
أول مجموعة من الأمثلة examples evaluate
the
following integrals
أحسب لكل من التكاملات التالية أول تكامل تكامل x e
أس ثلاثة x في dx نجي
لل e أس ثلاثة x سهل تفاضلها وسهل تكاملها، إذا
ما عنديش مشكلة، حتى تفاضلها وتكاملها مش مشكلة
بالدرجة للإكس، سهل تفاضلها وكذلك سهل تكاملها، بس
لو كملت بتخلص، يبقى مش هتخلص أبدا يبقى automatic
بدي اخذها اشتقاق لأن الاشتقاق بعد مرتين تبقى خلصت،
مظبوط؟ يبقى من هنا بدي اختيار التفكير بهذه
الطريقة، إذا بدي اخذ ال U تبع القانون تساوي X
والدي V كل اللي بقي، مين اللي بقي؟ اللي هو E أس
ثلاثة X بدي X طب نشتق ليش نشتق؟ لإنه بدي du يبقى دي
دي دي دي دي دي دي دي دي دي دي دي دي دي دي دي دي
يبقى النتيجة تساوي هذه U وهذه V يبقى ال U في ال V
بدي أضرب اثنين في بعض يبقى لو ضربتهم بيصير ثلث X e
أس ثلاثة X هذا السؤال استخدمنا اللي هو القانون تبع
integration by parts مرة واحدة فقط لا غير طيب بدنا
نجي للسؤال الثاني بدنا تكامل X السابعة في لن ال X
في DX
طبعا بضاجي لن ال X بنعرف إن تكاملها لن ال X حتى
الآن ما عرفناش مظبوط لكن نشتقها سهل جدا واحد على X
إذا بدي اروح أختار ال U تساوي لن ال X و دي V كل
اللي بيظل له X و ال 7 في مين؟ في ال DX نشتق يبقى
du بواحد على x dx وال V بx أس تمانية على تمانية
هذه ال U و هذه ال V إذا النتيجة تساوي U في V يبقى
ثمان X أس تمانية فى لن ال X ناقص تكامل V دالي V ب X
أس تمانية على تمانية دالي وليه واحد على X من DX
يبقى ثمان X أس تمانية فى لن ال X ناقص هذا الثمان برا
وهي تكامل في اختصارات ما بين الاتنين بيصير X أس
سبعة من ل DX يبقى هذا الكلام ثمان x أس تمانية لإن
ال x ناقص ثمان خليك برا وهذه كان ثاني تكامل من
الثلاثين لتو يبقى بضيف للأس واحد وبقسم على الأس
الجديد يبقى هنا في x أس تمانية على تمانية زائد
كونستانسي يعني كان واحد على 64X أُس 8 زائد constant
C السؤال الثالث بدنا تكامل لمين لإن ال X في DX يبقى
هذا الذي لم نتعرض له قبل ذلك في ال chapter الماضي
لا ال lin ولا ال log كنا بنشتقها صح بس تكامل
ما كناش نقدر عليها لكن الآن أقصدنا بسيطة جدا يبقى
أنا بدي تكامل ل lin ال x يبقى إجباري بدي أخد lin
ال x هي بيومش DV لأن أنا بدي كاملها أصلاً تمام يبقى
باجي بقوله بدي أخد ال U تساوي لن ال X و DV كل اللي
بضل جدش بضل DX بس نشتق هذه يبقى DU بواحد على X DX
وهذه تكاملها ب X يبقى النتيجة تساوي U في ال V يبقى
X لن ال X ناقص تكامل V ليه ب X دالي لواحد على X
DX يبقى هذا الكلام بده يساوي X لن ال X ناقص تكامل
واحد في ال DX يبقى النتيجة X لن ال X ناقص X زائد
constant C إذا من الآن فصاعداً تكامل من؟ تكامل لن ال
X هو عبارة عن X لن ال X ناقص X يبقى مسألتنا من
الآن فصاعداً صارت سهلة طب لو كانت log ال X للأساس
ثلاثة لن ال X على لن ثلاثة واحد على لن ثلاثة برا
وتكامل لن ال X هيو
سؤال الرابع سؤال الرابع سؤال
الرابع سؤال الرابع سؤال الرابع ممكن أحطها بصيغة
جديدة جذر ال X تعني X أس قداش لو طلعته فوق يبقى
بيصير كأن المسألة X أس سالب نص فإن ال X في DX أظن لو
بدي أخد لإن ال X تكامل ما عنديش مشكلة لإنها موجودة
عندي هيها فوق بس مكلكعة شوية هيك، تمام؟ لكن لو بدي
أشتقها سهل جداً، صحيح ولا لأ؟ هذه ال X أس سالب النص
تشتقها والله تكاملها على كل الأمر، يعني سهلة، يبقى
مدام التنتينة يبقى هذه اشتقاقها أسهل بروح باخد U
تساوي لإن ال X إذا لو أخدت ال U تساوي لن ال X هذا
بدي يعطيك أن ال DU يساوي واحد على X DX الآن ال DV
كل اللي بيظل بيظل قداش X أس و هنا دي X أس نص مع X
بيصير واحد على X أس نص لو طلعناها فوق بيصير X أس
ناقص نص في الـ dx يبقى 2 جذر ال x لأن ال x
ناقص 2 أضيف للأس واحد بيصير أس نص على نص زائد كنص
تن سي أو 2 جذر ال x لأن ال x ناقص 4 جذر ال x زائد
كنص تن سي بيقول التكامل ل 3x تربيع Tan inverse X VX
تفرض
V
و لا تفرض DV
لأ مش صحيح هذا الخراب كل القنصة اللي بنجمعه الآخر
بيقول القنصة أنتو هتعودش تكالكة لأما لكالكة
عينها، ماشي يا سيدي؟ طيب، نجي لسؤال من هذا القبيل،
فباجي بقوله، حد فيكوا بيعرف يكامل Tan inverse X؟
ولا واحد، ما عرفش لكن اشتقاقها سهل يبقى automatic
بقوله خدلي ال U تساوي Tan inverse X يبقى ال DV هذا
الكل بيعرف يكاملها كمان اللي هو مين؟ 3 X تربيع
في ال DX يبقى DU يساوي واحد على واحد زائد X تربيع في
الـ DX أخذنا اشتقاقها والـ V تساوي قداش X تكعيب على
ثلاثة مع الثلاثة الله يسهل عليها يبقى هذا الكلام
يساوي U في V يبقى X تكعيب Tan Inverse X ناقص تكامل
V اللي هيبقى X تكعيب دي يوم واحد زائد X تربيع في
الـ DX وظهر علنا تكامل جديد اللي هو من X تكعيب على
واحد زائد X تربيع بدنا نشوف كيف بدنا نعمل في هذا
السؤال
قسمة مطولة، درجة البسط أكبر من درجة المقام يبقى
قليلة جبل هيك إذا درجة البسط جت درجة المقام أو
درجة البسط أكبر من درجة المقام بإمكانك أن تقسم
قسمة مطولة بدون أي مشاكل إذا بتروح تقسم X تكعيب على
X تربيع زائد 1 تمام؟ بقوله بسيطة X تكعيب على X تربيع
فيها قداش X X تكعيب زائد X زائد خليها ناقص وهذا
ناقص بدل إنه قداش ناقص X يبقى الباقي من الدرجة
الأولى والمقسوم عليه من الدرجة الثانية يبقى يساوي X
تكعيب Tan inverse X ناقص تكامل خارج القسمة اللي هو
X الباقي ناقص X بدنا نجسمه لسه على واحد زائد X
تربيع كله بالنسبة إلى DX يبقى يساوي X تكعيب Tan
inverse X ناقصها تكامل لل X DX زائد تكامل لل X
على واحد زائد X تربيع DX وزائد التكامل لكل منها يبقى
هذا X تكعيب Tan inverse X زي بهو هذه إيش ناقص X
تربيع على الاثنين طيب هذه إيه؟ فاستفادوا للمقام
باستثناء اثنين بسيطة نضرب في اثنين و بنقسم على
اثنين يبقى كانوا ضربين في واحد صحيح لأنه غير
القيمة زائد نص لان absolute value للمقام لما كان
المقام دائماً و أبداً قيمة موجبة يبدو حطيت ال
absolute و لا ما حطيتاش ما عندهاش مشكلة يعني بعد ما عملنا
Integration by parts ظهر لنا تكامل جديد لك تحاول
تتخلص من هذا التكامل الجديد بأي طريقة من طرف
التكامل اللي اتعودناها قبل ذلك لحد هنا stop
ونازلنا في نفس ال section ونحتاج إلى أكثر من نصف
ساعة لإكمال هذا ال section إن شاء الله تعالى في
المرة القادمة يوم غد