بسم الله الرحمن الرحيم ابتدأنا المرة الماضية في
section 7 الـ 6 اللي هو الـ inverse trigonometric
functions معكوس الدوال المثلثية واخذنا الدالة
المثلثية الأولى Y تساوي Sin X وجبنا المعكوس ودرسنا
بعض الخواص لهذه الدالة الآن ننتقل إلى الدالة
الثانية وهي Y تساوي Cos Inverse X أو Arc Cos X الآن
القصة اللي رسمناها بالجهة المحصورة بين واحد و سالب
واحد وطالع و نزل على شكل موجات لو جيت رسمت أي
horizontal line هقطعها في العديد من النقاط أو
في مالانهاية من النقط وبالتالي الـ function ليست
one to one إذن مثل ما عملنا restriction على الـ
domain في حالة الـ sine هنعمل restriction على الـ
domain في حالة الـ cosine كيف؟ كالتالي، خلّي بالك
معاه هنا شوية يبقى هذا منحنى الـ cosine الأصلي هذا
محور x هذا محور y هذه نقطة الأصل اللي هي zero منحنى
الكوساين مثل منحنى الـ sine تماما لا بيزيد عن الواحد
ولا بينقص عن السالب واحد يبقى هذا واحد وهذا سالب
واحد بالشكل اللي أنا منحنى الكوساين لا يمر بنقطة
الأصل إن الكوساين صفر تبقى كده؟ واحد يبقى كوساين صفر
تساوي واحد إذا المنحنى يبدأ من أعلى طيب يبقى cosine
صفر تساوي واحد إذا بده يبدأ رسم من وين؟ من فوق من
عند الواحد كالتالي المنحنى هيجي نازل هيك ويجي نازل
هيك ويجي طالع وهيك كده ومن الناحية الثانية زيها
بالشكل اللي عندنا هذه وهيك كده النقطة هذه عبارة عن
zero النقطة هذه عبارة عن باي على اثنين النقطة هذه
هي الـ π اللي هي عبارة عن اللي هي باي وهكذا وهنا
اللي هو ثلاثة باي على اثنين وهذا الخط اللي هو
محور السينات أو الـ x axis بيبقى ماشي بالشكل اللي
أنا أنا الآن بدي أروح أحصر نفسي في منطقة بحيث أضمن
خلالها أن المنحنى يكون one to one لو شيلنا الجزء
اللي على الشمال هذا كله تمام؟ وجيت شيلت الجزء هذا
بالشكل عنده واكتفيت فقط بالفترة من عند الـ Zero
لغاية الـ Pi يبقى من الـ Zero لغاية الـ Pi المنحنى
هذا كل الخط الغامق اللي أنت شايفه هيوقف هنا عند
هذه النقطة الآن الخط الغامق هذا اللي أنت شايفه لو
روحت رسمت أي horizontal line على جيه هتلاقي فيه
نقطة واحدة فقط يبقى بضمن من وجود المعكوس إذا بقوله
هذا المنحنى اللي هو y تساوي cosine الـ x وعند الـ x
هذه أكبر من أو تساوي zero وأقل من أو تساوي y أو
الـ x في الـ closed interval بنانة عليها ضمنت بذلك
وجود الـ Main وجود المعكوس لهذه الدالة لو رسمنا
شكل المعكوس سيكون بالشكل لأن هذا هو محور X وهو
محور Y وهذه
هي نقطة الأصل اللي هي Zero الـ Range تبقى الكوساين
زي ما أنت شايف من سالب واحد إلى واحد وبالتالي
بيصير domain من سالب واحد إلى واحد هذه النقطة اللي
هي سالب واحد وهذه النقطة اللي هي من اللي هي واحد لو
جاءت تخيلت اللي هو الـ X تساوي واحد يبقى الخط
الرأسي اللي عندنا هذا والـ X تساوي سالب واحد الخط
الرأسي اللي عندنا هذا الآن النقطة هذه Zero واحد
بدأت تصير من أين؟ واحد و Zero بالنسبة للمعكوس واحد
و Zero هي النقطة هذه إذا بدأ يبدأ من النقطة اللي
عندنا هذه النقطة لأن هذه باي على اثنين و Zero ده
تصير Zero و باي على اثنين Zero باي على اثنين اللي
هي النقطة لأن هذه يبقى هذه Zero و باي على اثنين
النقطة لأن هذه الأخيرة هي باي وسالب واحد ده تصير
سالب واحد و باي هذه السالب واحد ستظهر هنا وهي
الاسم الوحيد باي يبقى هذه اللي هي النقطة باي يبقى
النقطة هذه اللي هي السالب واحد و باي إذا الأسفل
الـ excess ما عنديش بالمرة وإنما بدي يكون المنحنى
بالشكل هذا تماما ويجي طالع بالشكل اللي عنها يعني
كأنه حطينا الخط Y تساوي X وقلبنا المنحنى عبر هذا
الخط فهو أصبح الشكل اللي عندنا بهذا الشكل يبقى هذه
رسمة اللي هي الـ cosine inverse X يبقى هذه Y تساوي
cosine inverse X والـ X هذه محصورة ما بين سالب واحد
وما بين الواحد اللي هو الـ domain تبع هذه قبلة الآن
بنتيجي لبعض الخواص main لهذا المنحنى يبقى هذا
اليمين سالب واحد وبالتالي بدي أقول some
properties of
y تساوي cosine inverse x الخاصية
الأولى بتجيب الـ domain تبع cosine inverse x y
الساوية الـ domain زي ما أنت شايف من وين لوين؟ من الـ
closed interval أو من عند الرقم سالب واحد لغاية
واحد as any closed interval والـ range والـ range
لمن؟ and
الثانية الـ y تساوي cos inverse x is equivalent
تو يعني هذه المعادلة equivalent to كافة أثر لي على
الطرفين بكوساين يبقى كوساين الـ Y بدأ تساوي كوساين
لكوساين inverse X الكوساين بيلغي تأثير الكوساين
inverse على X ويبقى الـ X كما هو يبقى بده يساوي الـ
X بشرط الـ X تبقى في دومين مين؟ في دومين الـ Cos
Inverse يعني بشرط الـ X تكون محصورة بين سالب واحد
وواحد النقطة الثالثة، لو أخدت Cos Inverse ليه Cos
X؟ يساوي هذا كده؟ يساوي الـ X يساوي الـ X فقط إذا
كانت الـ X موجودة في دومين مين؟ والدومين الـ cosine
دومين الـ cosine يخلينا نقول أنه من 0 لـ π موجود
في الفترة من 0 لغاية π and لو أخدنا cosine لـ
cosine inverse x يبدو كان خطأ عنا بسيط المرة اللي
فاتت في الكتابة طلع لأنك مكتوب cosine x cosine
inverse هو sin طبعا المرة اللي فاتت sin x لصليح
حالي sin لـ sin inverse x
أقول لك هنا، احنا بشر وإن كنا بشر بنخطأ، ومش عيب
إنك تخطأ، لكن العيب هو الإصرار على الخطأ، اتعلم
هذا كلام في حياتك، الخطأ أو العيب هو الإصرار على
الخطأ لكن إذا بتعترف بالخطأ وبترجع عنه هذا شيء ممتاز
جدا يبقى لأن الـ cosine لـ cosine inverse X هذه
تساوي الـ X بشرط إن الـ X تكون في دومين مين؟ cosine
inverse دومين الـ cosine inverse اللي هو من وين؟ من
سالب واحد إلى واحد بهذا الشكل الخاصية الرابعة لو
بدي آخذ limit لـ cosine inverse X لما الـ X بدي تروح
للواحد من جهة الشمال للواحد من جهة الشمال يساوي
رايحين للواحد من جهة الشمال يبقى قيمة دل قدر أو
القيم اللي رايحة للـ limit لهذه دل قدر Zero and لو
بدنا limit لـ cosine inverse x لما الـ x بده تروح
لسالب واحد من جهة اليمين لسالب واحد من جهة اليمين
بل أجد دالة راحت لمين؟ إلى باي بالشكل لأن هذا الآن
بنروح لدالة رقم ثلاثة اليمين Y تساوي كتان inverse
X أو Arc كتان الـ X شكل إنها الآن
لو رجعنا لمنحنى التان تان خلّينا ناخد التان بالأول
وبعدين بنروح للكتان مشان بس الترتيب يبقى خلّينا
ناخد التان وبعدين بنروح للكتان فبقى آجي بقول تان
inverse X واللي بده يساوي Arc تان الـ X لو
رحنا لمنحنى تان بنعرف إن المنحنى تان من كاد كلصية
تكون من مجموعة قطع يعني أشبه بالقطع المتوازية طبعا
لو رسمت أي horizontal line هيقطعها في مالانهاية
من النقاط إذا بدنا نروح نعمل restriction على الـ
domain وناخد فترة نضمن من خلالها الدالة وانت واني
يعني بدنا ناخد قطعة واحدة من المنحنى لو رجعنا
لمنحنى تان بالشكل إن هذا هيك يبقى هذا محور X هذا محور
Y هذه نقطة الأصل هذا الخط اللي عندنا اللي هو π
على اثنين وهذا الخط المناظر اللي هو سالب باي على
اثنين وهذا الخط إلى ثلاثة باي على اثنين وهنا هذه
النقطة التي هي باي وهنا كمان سالب ثلاثة باي على
اثنين وهنا اللي هو سالب باي لو روحنا رسمنا
المنحنى لأن هنا بلاحظ المنحنى بيأخذ الشكل التالي
يبقى المنحنى بيجيني من فوق وبيجي نازل بيجي نازل
بهذا الشكل تمام؟ ومن هنا كمان بنفس الطريقة هذيك
وبيجي نازل بهذا الشكل ومن هنا بهذه الطريقة وبيجي
نازل بهذا الشكل وهكذا يمين وشمال بيضل إلى أن يغطي
الله بالأرض ومن عليها إذا احنا بدنا نعمل
restriction على the domain للدالة تبقى واحدة واحدة،
يبقى هذه القطعة واحدة من المنحنى، يبقى هذه القطعة
منقطة، يبقى دليل على أنها ليست موجودة، كأنها غير
موجودة تمامًا.وبدنا نحصر the domain فقط من عند
السالب π على 2 لغاية π لغاية ال π على
2 لما انحصرناه أروح ارسم أي horizontal line
هلاقي يقطع وين في نقطة واحدة فقط إذا انضمنت أن ال
function هذه صارت مالها 1 to 1 إذا the domain من
سالب π على 2 إلى π على 2 و the range من
−∞ إلى ∞ كويس الآن
بدنا نيجي نرسم رسمة المعكوس يبقى باجي بقول هي
المنحنى بالشكل أن هذا محور X هذا محور Y هذه نقطة
الأصل اللي هي الـ 0 the domain من سالب π على
2 لـ π على 2 بيصير the range لـ tan inverse يعني
هذا المنحنى اللي هو Y تساوي tan الـ X و الـ X هذه
موجودة في الفترة المفتوحة من سالب π على 2
إلى π على 2 زي ما أنت شايف إذا the domain من
سالب π على 2 لـ π على 2 بيصير the range
لمن لـ tan inverse يبقى هنا هيجينا هيك الخط هذا بهذا
الشكل اللي هو π على 2 وبيجي الخط المناظر له
في الأسفل بهذا الشكل اللي هو سالب π على 2
منحنى الـ tan بيمر بنقطة الأصل، إذا منحنى الـ tan
inverse كذلك بيمر بنقطة الأصل، يبقى لو جينا رسمنا
المنحنى هذا، هيأخد الشكل التالي بتنزل هيك وبتنزل
بهذا الشكل يبقى هذا المنحنى Y تساوي tan inverse X
و الـ X هذه موجودة في الفترة من سالب ∞ إلى
∞ يعني الـ tan inverse معرف على كل الـ real
line ما عدا بعض الخواص لهذا
المنحنى
بعدها بدي أقول له some properties of
Y تساوي tan inverse X الخاصية الأولى بدنا the domain ال
tan inverse X Y يساوي the domain من أين يا شباب؟ من
سالب ∞ لغاية ∞ and the range لـ tan
inverse X هو عبارة عن الفترة من سالب π على 2 إلى
π على 2 as an open interval مش زي الـ sine inverse
و الـ cosine inverse، قفلنا الفترة، لا هذه فترة مفتوحة،
open and طيب، بنعيش للنقطة الثانية، اليمين Y
تساوي tan inverse X is equivalent
بدي أثر على الطرفين بـ tan فبصير عندي tan الـ Y بده
يساوي X إذا المعادلتين هدول are the same in
تين متكافئتين بدي أخد tan inverse لـ tan الـ X هذا
الكلام بده يساوي الـ X إذا كانت الـ X موجودة في
the domain لـ tan من سالب π على 2 إلى π على 2
as an open interval and tan لـ tan inverse X بد
يساوي قداش بدو يساوي X إذا كانت الـ X موجودة في
الفترة من سالب ∞ لـ ∞ اللي هو the domain
لـ tan inverse هذه الكلام باختصار وليس لتصلي يعني،
بعد قليل لما ناخد أمثلة هنشتغل على يحكي الـ domain
هذا وتتقيد فيها وما إلى ذلك، زي ما هنشوف بعد قليل
طيب النقطة الرابعة، لو روحت أخدت الـ limit لـ tan
inverse X لما الـ X tends to ∞ لما الـ X تروح
لـ ∞، الدالة بتطلع على أين؟ لـ π على 2
تمام and بدنا الـ limit لـ tan inverse X لما الـ X بدها
تروح لـ −∞ يبقى نازلة إلى سالب π على
2 حد
اللي هو بيساوي هنا يا شباب
اللي بيطلع في باله أي سؤال يرفع يده ويسأل ونحن إن
شاء الله جاهزون للإجابة طيب
هذه الحالة الثالثة أو للتوضيح الودك الثالثة، تفضل
اتجهت the domain للـ tan نفسك، للـ tan من سالب π
على 2 لـ π على 2 مغلقة ولا مفتوحة؟ أيش رأيك أنت من
خلال الرسم عند الـ π على 2؟ بالرسم هيقيمة ولا
بتطلع لوين؟ اسمع يا شباب، خلي هو يحكي احنا
بناخدها as an example كواحد، أي واحد فيكوا يوم
بتروح لوين؟ وعند السنة اللي بيعتنا، بتنزل لوين؟
ولذلك خلال هلك كلها فترات مفتوحة open interval
ماذا يعني equivalent بالعربية؟ مكافئة أو تبني على
اثنين نفس الشيء تمام؟ اثنين نفس الشيء عندك Y تساوي
tan inverse أثر لي على الطرفين بـ tan تصير أن tan Y تساوي
tan لـ tan inverse X الدالة لو معكوسة واحدة تلغي tan هو
يبقى من الـ X كأنه ما حصل له شيء تمام؟ يبقى بيصير
tan Y يساوي من؟ يساوي الـ X في تساوي ثاني؟ طيب أروح
للنقطة الرابعة النقطة الرابعة Y تساوي cot inverse
X أو R cot الـ X نيجي لمنحنى الـ cot بشكل عام لأن
أنا يبقى هذا محور X هذا هو محور Y بالشكل اللي لدينا
هنا يبقى هذا محور Y وهذا نقطة الأصل اللي هي 0
قطع و بالتالي الـ horizontal line هيقطع في العديد
من القطع بإن ناخذ قطعة واحدة وهي على الشكل التالي
هذا النقطة اللي هي π وهذا النقطة اللي هي π على
2 من حد الـ cot بيجي من هنا مع محور Y و بيجي
بنزل على Y على 2 وبعدها بيظل ماشي صحبه و الخط X
يساوي Y بيظل الاثنين ماشي مع بعض لغاية ∞
يبقى هنا Y تساوي cot X و الـ X موجودة في الفترة
المفتوحة من 0 لمين لغاية π
بنرسم منحنى الـ cot inverse يبقى هذا X و هذا Y و
هذا 0 لحظة من من من من من من من من من من من
من من من من من من
من من من من من من من من من من من من من من
يبقى π على 2 بدها تجي أين؟ هنا في النص هذا
النقطة اللي بقولها π على 2 إذا بالمنحنى لا
يمكن أن ننزل تحت محور X بضم أيه؟ أعلى محور X لو
حطينا الخط Y تساوي X وجلبنا الرسم عبر غير الخط
هتجي الرسم عندك كالتالي هيجي نازل هيك وهييجي بالشكل
اللي عندك هذا بس نعيد نقرصه أكثر دقة شوية يبقى
المنحنى هيجي نازل هيك وهييجي نازل بالشكل اللي عندك
هذا يبقى هذا اللي هو Y تساوي cot inverse X و الـ X
موجودة في الفترة اللي هو اللي وين من سالب ∞
إلى ∞ شكل لعنة طيب بدنا نيجي الآن لبعض
الخواص لهذا المنحنيات يبقى بالدادية some properties
of Y تساوي cot inverse X بتيجي لـ the domain الخاصية الأولى
لمن؟ لـ cot inverse X the domain لـ cot inverse X يساوي
واضح الـ domain من −∞ إلى
∞ and the range لمن لـ cot inverse X يساوي من
−∞ إلى π as an open interval
النقطة الثانية Y تساوي اللي هو cot inverse X is
equivalent to cot الـ Y يساوي ما يعني؟
يساوي X النقطة الثالثة بدنا cot inverse لـ cot الـ
X ويساوي اللي هو الـ X بشرط أن الـ X تبقى موجودة في ال
the domain للـ cot يعني من أولى وين؟ من 0 لغاية
π، من 0 لغاية π cot لـ cot inverse X بدو
يساوي الـ X إذا كانت الـ X موجودة في الـ interval من
سالب ∞ إلى ∞
طب النقطة الرابعة لو روحت أخدت الـ limit لـ cot
inverse X لما الـ X بدها تروح لما للنهاية لما الـ X
بدها تروح لما للنهاية بتنزل لوين؟ للـ 0 تمام and
الـ limit لـ cot inverse X لما الـ X بدها تروح لـ سالب
∞
π π π π π π π π π π
π π طيب الآن انتهينا من النقطة الرابعة وبنروح
للنقطة الخامسة من معكوسات الدوال المثلثية
يبقى النقطة الخامسة Y تساوي Sec Inverse X والتي
بدأت تساوي Arc Sec X شوف يا سيدي هذا منحنى الـ Sec هذا
محور X وهذا محور Y وهذا نقطة الأصل اللي هي Zero
الـ Sec ما بين الواحد والسالب واحد ما عنديش أي قيمة له
على الإطلاق يبقى هذا اللي هو الخط اللي هو السالب
واحد واحد المنحنى على الفترة من سالب واحد إلى واحد
لا نجد له أي قيمة الآن المنحنى عبارة عن عدة قطع
بالشكل اللي قاعدنا هذا
هذه zero وهذه π/2 وهذه π وهذه 3
π/2 ونبقى مستمرين على هذه الشكلة ونشج
الشمال بنفس الطريقة -π/2 -π
-3π/2 and so onالمنحنى برا على
قد قطعة القطعة الأولى لهذا المنحنى بهذا الشكل تجين
بالشكل اللي عندنا هذا هيك وبتيجي هنا وبتيجي طالع
بالشكل هذاوبعد ذلك، سير فوق، وبعدها تحت، فوق، تحت،
ومن الشجرة الثانية ومن نفس الطريقة. لو جيت رسمة
horizontal line فوق، بتلاقي قطع المنحنى في نقطتين
وكمان نقطتين وكمان نقطتين، يبقى ملأ ليها من
النظام. يبقى الإنسان إن الدالة هذه one to one. طيب
احنا توسعنا في الـ Tan والـ Cot أخدنا قطعة واحدة وطلعت
one to one هل لو أخدنا قطعة واحدة بطلع one to one
يعني لو أخدت هذه على حدى بلقيها في نقطتين لو أخدت
هذه على حدى نقطتين فبطل تصير one to one إذا أنت
بدك تحصر نفسك في منطقة من الـ Domain تضمن من خلالها
أن الدالة تكون one to one لو جينا و قلنا لهذا الله
ييسهل عليك أنت مش لازم أنت و جينا لهالنص هذا و قلنا
له أنت زيه مش لازم و جينا لهذا و قلنا له أنت زيه
هيك مش لازم يعني كأنه حصرنا الدالة من عند النقطة
هذه zero لغاية جداش لغاية π عن طريق زرعية π من
نص القطعة الأولى لغاية
هنا بهذا الشكل تمام؟ عليني ارسم horizontal line فوق
ولا تحت، بتلاقي قطعة منحنى في نقطة واحدة يتجهى
الضمن أن الدالة هذه مالها صارت one to one مدام
صارت one to one، إذا المعكوس مالها موجود، ممتاز
مدام المعكوس موجود، بدنا نتعرف على شكل هذا المعكوس
يبقى هذا محور X هذا محور Y هذه نقطة الأصل اللي هي
Z لاحظ الخط هذا الرأسي هو X يساوي π/2
لما نقل و نصير الخط Y تساوي π/2 إذا لو
جيت قلت هذه هي π/2 وهذه هي مين هذه هي
π تمام و روحت و قلت هاي الخط اللي عندنا Y تساوي Y
على 2 الشكل اللي عندنا هنا ابقى هذه النقطة اللي هي
0 و 1 شو بيصير 1 و 0 1 و 0 اللي هي
النقطة اللي عندنا هذه هذه النقطة 1 و 0 روحنا
جلبنا المنحنى عبر الخط Y تساوي X فأصبح شكله بهذا
الشكل. طيب هنتقل منها. بدنا نجي للنقطة هذه. هذه
النقطة اللي هي π و -1. تصير -1 و
π. وينك -1؟ هاي -1 و زيرة الـ -
1 و π، بدها تجي نوعيا فوق. والمنحنى بدريجي
نازل ويمشي هو محترم مع مين؟ مع الخط Y تساوي 2 هذا
الخط يمشي مع الـ X يساوي π/2 وهذا الخط يمشي
مع نفس الخط X يساوي π/2 الـ X صارت Y يبقى هذا
بيبقى ماشي مع نفس الخط Y تساوي Y عتنين وهذا ماشي
مع نفس الخط Y تساوي Y عتنين كيف حدث ذلك؟ حطينا
الخط Y تساوي X جلبنا هذا الرسم تحت وجلبنا هذا
الرسم فوق فصرت على الشكل لأن هذا إذا بدنا نيجي
لبعض الخواص لهذا الملحنة يبقى بدنا نيجي الـ
Properties of Y تساوي Sec Inverse X الخاصية
الأولى خاصية الأولى الـ Domain بتابع الـ Sec Inverse
X بده يساوي من وين لوين من الواحد تذهب لملنة هذا
ومن السالب واحد ترجع لسالب ملنة إذا من سالب
Infinity لسالب واحد وهي مغلقة من عند السالب واحد
لأن المدلة عند السالب واحد بتحطينا كم؟ π يعني
النقطة هذه -1 و π كنقطة كإحداثية نقطة
وليس كفترة إذا من سالب Infinity لغاية -1
مضيف عليها الفترة من 1 لغاية Infinity هذا الـ
Domain نجي الـ Range الـ Range and الـ Range بتابع الـ
Sec Inverse X بده يساوي من 0 لغاية π بس بينا
نشيل منه Main π/2 لإنه هذا القيمة غير
موجودة يبقى بنيجي بنقوله ايه من عند الـ Closed
Interval 0 لغاية π/2 Open Interval
اتحاد π/2 و π بالشكل اللي عندنا واحد
أتي وقال لي أنا بقدر أصير هذه الـ Interval بطريقة
أخرى، بقوله كده، بقولي هذا بقول هي الـ Real Line
كلها، بدي أشيل منها بس الفترة المفتوحة من سالب
1 إلى 1 ليش انه عند الـ 1 و -1 يدلها
معرفة، يعني هذا راح قاللي هذه بدي اكتبها كل الـ
Real Line، بدي اشيل منه الفترة من -1 إلى
1 مظبوط؟ يا بجي هذا الصياغة صحيحة اجا واحد ثالث
جالي أنا ببصية هذا الكلام بصياغة أخرى بقولك ايه؟
جالي Dominate Second Class كل العناصر X بحيث أن
Absolute Value لـ X أكبر من أو تساوي 1 صح؟ لما
نقول Absolute Value لـ X أكبر من أو تساوي الـ 1،
يعني الـ X أكبر من الـ 1 و أقل من ثالث 1، or
تمام؟ إما هذه وإما تلك، يبقى هي هذه ولا لا؟ يبقى
عندك صيرة تين تين ثلاثة كله بيأدى الى نفس مين
المعنى هذا مين ايه الدنيا واحد قال له بيداجي لل
Range هذا و بدي أصيبه بالصيرة الأخرى قلت له أيها
قال بيداجيه لـ Closed Interval من 0 لـ π نقص الـ
π as a set كيف يعني؟ يعني راح جالي هذه من 0
لغاية الـ π في نقطة مش معرفة عندها اللي هو π/
2 بقوله ناقص الـ π/2 as a set is
equivalent to
نشوف هذه مكافئة لمن؟ Sec الـ Y يساوي X نقطة ثالثة
بدنا Sec Inverse لـ Sec الـ X بد يساوي X إذا كانت الـ X
في Domain الـ Sec، Domain الـ Sec اشترقنا من وين لوين من عند
الـ 0 لغاية الـ π بس بنشيل منهم من الـ π إذا X
موجودة من عند الـ 0 لغاية الـ π/2 اتحاد
π/2 و π بالشكل هذا and
Sec لـ Sec Inverse X بدل تساوي X إذا كانت الـ X موجودة
في الـ Domain Sec Inverse من سالب Infinity لغاية
-1 اتحاد 1 و Infinity النقطة الرابعة لو
روحت قلت أخدت Limit لـ Sec Inverse X لما الـ X tends
to Infinity لما الـ X تروح الـ Infinity الدالة طالعة
لوين؟ ولو روحت أخدت الـ Limit لـ Sec Inverse X لما
الـ X بدها تروح لـ -Infinity دالة نازلة لمين؟ لنفس
الرقم اللي هو π/2 يبقى على كل الأمرين
اثنين بيعطوه نفس الإجابة تمام؟ الآن وصلنا للنقطة
السادسة والأخيرة Y تساوي Cosecant Inverse X اللي
هو Arc Cosecant LX
أه مرسومة عندك في الكتاب ويلا روح بدك تعمل الأربع
خواص لها، طبعا في الكتاب مش مساوية لخواصك، حكيتها
بأكل وأنت بكتب اعمل مالي واطلع عالي وترسمها
طبعا مرسومة عندك الـ Cosecant مرسومة ومرسومة الـ
Cosecant Inverse وبدك تروح وتطلع لخواصك، ايه
الوضع؟ رقم 1، 2، سارق 1، 1، 2،
2، 2، 2، 2، 2، 2، 2،
2، 2 كيف؟
بينجي لك إني طلعتها؟ Open Interval هادي مش Closed
لو كانت Closed كان طلعتها صحيح لكن كانها Open يبقى
طلت في الـ Domain، مظبوط ولا لا؟ صح؟ عادة هو، دي
ربالة، صح صحيح كويس لو كتبتها كـ Closed Interval
بيصير كلاني غلط يعني بيصير كأن الشلت السالب 1
والـ 1 من الـ Domain هذا لو حطيتها Closed طبعا لكن
كلها Open by لوين في الـ Domain فقلت لك هذه العبارة
تكافئها هذه العبارة تماما ماشي؟ احنا حتى لإن تبقى
نخلصنا الجزء الأول النظري تبع هذا الـ section لسه
فيه جزءين خليني ناخد شوية أمثلة على هذا الجزء
وبعدها إن شاء الله بنواصل في الأسبوع القادم بقية
هذه الأجزاء خليني ناخد بعض الأمثلة على ما درسناه
يبقى لسمعته تقوى نظرها بنا نحط عليه بعض الأسئلة
يبقى بنيجي لـ examples يبقى مثال الأول example one
بقول find the
domain
بتساوي cos inverse لـ اثنين أس إكس ناقص خمسة كله
مقسوم على ثلاثة
أو نمسح حاجة ما أعرفش لزوم بيقول
اهتلي domain هذه الدالة يبقى احنا بيروح نبحث على
domain الدالة هذه فبجي بقوله domain الدالة F هو
عبارة عن كل العناصر X بحيث إن لو رجعت لك cosine
inverse X domain تبعها من وين لوين عشان تكون الـ
cosine inverse X مُعرفة لازم تكون الزاوية تبعتها لـ
X محصورة بين سالب واحد وواحد لكن احنا ما عندناش X
عندنا اثنين أس اكس ناقص خمسة على ثلاثة إذا هذا كله
بيكون محصور بين من و اين؟ سالب واحد وواحد يبقى
الـ Such ده اللي هو لـ اثنين أس إكس ناقص خمسة على ثلاثة
يبقى أقل من اثنين يبقى ثيتا جداش بده تساوي
خلينا مع الفكرة هذه وناخد النقطة رقم B رقم B بيقول
إيش؟ بدي الـ Sin Inverse لـ Sin من سبعة باي على ثلاثة
الجواب
هادي، بتلغي هادي، والنتيجة سبعة باي على ثلاثة، مظبوط؟
استنى شوية استنى شوية كل كلمة كتبناها بدنا نفهمها
لو رجعنا للـ sign inverse مشان تبقى هذه exist بجهة
في دومين الـ sign inverse دومين الـ sign inverse من
وين نوعيا؟ من سالب واحد لواحد. من سالب واحد لواحد. من
سالب واحد لواحد. من سالب واحد لواحد. من سالب واحد
لواحد. من سالب واحد لواحد. من سالب واحد لواحد. من
سالب واحد لواحد. من
واحد لواحد
يعني معناه احنا لم نفهمها لأن جزء من المقابل اللي
كاتبينه يبقى اشتراق ما عشان هذه الـ sign inverse
لـ sin الـ X يساوي X تكون الـ X في دومين الـ sin يعني من
سالب باي على 2 لـ باي على 2 لكن هذا ايش يجيبها دي أكثر برة
يبقى اللي مكتبلي سبعة باي على ثلاثة من كله Zero طيب
كيف؟ تدبري حالك نقول sign inverse لمن؟ للـ sign هذي
سبعة باي على تلاتة مش عبارة عن اثنين باي و تلت
باي و اثنين و تلت باي صح ولا لأ؟ سكت الشعب مش
عبارة عن الممتاز؟ يبقى هذي sign لـ اثنين باي زائد
باي على تلاتة مصبور؟ طيب نرجع بالذاكرة إلى الوراء لـ
Calculus A تان اكس والكتر تان اكس التان تان تان تان
تان تان تان تان تان تان تان تان تان تان تان
يبقى هذا الكلام بيصير sign inverse لمن؟ لـ sign
باي على ثلاثة الآن باي على ثلاثة موجودة في الفترة من
سالب باي على اثنين لباي على اثنين؟ الإجابة صح، إذا
النتيجة جداً أيوة يا ربّ العالك، صح صح، يبقى هذه تساوي
باي على ثلاثة وليس السبعة. دي بالك بنجيبها في
الخيارات المتعددة. بنعطيك شغل زيك و بنحط هذا من
ضمن الإجابات. ولذا بنلاقي خمسين في المئة من
الطلاب يقعوا في هذا القطع. يبقى إياك ثم إياك. بدي
أعطيك كمان سؤال زيه بنفس الفكرة، بس شوف ليه كيف.
بدي أنهين.
بدي الـ sign inverse لمن؟ لـ sign تسعة باي على خمسة
تسعة
باي على خمسة ليست موجودة في الفترة اللي سالب باي
على اثنين اللي بقعت موجودة برا إذا تفضل، تفضل،
تفضل، تفضل، تفضل، تفضل،
تفضل أقل من اثنين باي هذه بس هذه كانت أكبر من اثنين
باي فدوس اثنين باي الذات طب ما تكتب هذه اثنين باي
ناقص مش بصير يعني مظبوط يبقى هذه كأنها تساوي sign
inverse لـ sign اثنين باي ناقص أبصر كدهش
وأنت بتعلمش يا ابني هذا؟ تعرفش تقرح عادي؟ باي على
خمسة يبقى اثنين ناقص خمسة كله في الـ pi بالشكل اللي
علناه هذا الآن هذه الـ sign inverse اللي هي الـ sign
اثنين بي الـ period تبعها الدالة مع السلامة يبقى
صارت سالب بي على خمسة صارت موجودة داخل الفترة من
سالب بي على اثنين لبي على اثنين إذا النتيجة تساوي
ناقص بي على خمسة لما ننتهي بعد لازلنا في نفس
الأمثلة للمرة القادمة إن شاء الله