بسم الله الرحمن الرحيم نكمل ما بدأناه في المرة
الماضية وهو موضوع ال comparison test و limit
comparison test احنا المرة اللي فاتة خدنا فقط اللي
هو ال comparison test تمام اختبار المقارنةوقلنا
بنقارن ما بين حدين نونيين ل two series تمام؟ في
طبعا حد نوني اكبر او اقل من الحد النوني الثاني
واحد اكبر منين من التاني يبقى التاني بيكون اصغر
ففاجي بقول لو كان ال a n اقل من ال c nوكان اللي هو
ال cn اللي هو الكبير converged يبقى summation على
an بيكون converged طبعا لو كان ال dn أقل من أو
يساوي ال an وكان ال dn ضيفج summation عليها ال
series هذه يبقىاللي أكبر منها divergence من الباب
الأولى وهي summation على CNN وهذا سمناه المرة
الماضية اختبار المقارنة واخدنا على ذلك مجموعة من
الأمثلة أعتقد ستة أمثلة وهذا هو المثال السابعطيب
طبعا هو بيعطينيش two series هو بيعطيني ال series
واحدة فقط لا غير وانت بدك تخلق series أخرى من ال
series اللي موجودة عندك بهذه ال series المخلقة
تكون انت عارفها هل هي converged او diver فلو جينا
لل series اللي عندنا هذه مين أقرب series على هذه
ال series ممكن اقارن معاها بواحد على interviewيبقى
انا عندى summation 1 على N تربيع من N equal one to
infinity هدى converge ب سيرز السبب because
ان P يسوى 2 أكبر من الواحد الصحيح طيب بدأت أخد
الان اللي هو tan ال N على N تربيع بدأ أشوف شو
علاقتها بواحد على N تربيع tan X أكبر قيمة ممكن
تاخدها لما X تكبر أو ال N تكبر و تروح لما لنهايه
وجداشإذا دائما و أبدا أقل من مين؟ أقل من الواحد
على ان تربية، مادام أقل من الواحد على ان تربية
يبقى بناء عليه الواحد على ان تربية، قولنا أنها
converge seriesيبقى اللي أقل منها بتبقى converge
بروح بقوله by the comparison test the series
summation اللي هو اللي تانشر N على ان تربيها
converge وانتهينا من المثلة السؤال الثامنتمانية
بيقول لي summation من N equal one to infinity لل N
زائد اتنين أس N على N ترابيع في اتنين أس N
بنروح ناخد الحد النوني في هذه ال series يبدأ الحد
النوني في هذه ال series اللي هو مين N زائد 2 أس N
على N ترابيع في ال 2 أس N السؤال هو مين اللي أكبر
ال N ملة 2 أس Nإن أكبر من اتنين أس إن؟ لما ال M
بيبقى تروح للمالة نهائية، لأن اتنين أس M هي الأكبر
دائما و أقلها، حط ان بواحد، بيصير هذه واحدة وهذه
اتنينحُط اتنين بصير اتنين و اتنين ترابيع، حُط
تلاتة بصير تلاتة و اتنين تكعيب، حُط اربعة بصير
اتنين و اتنين ساربعة، يبقى فرق شاسع ما بين
الاتنين، يبقى اذا اللي .. بدي اعتبرها دي مش
موجودة، بضل كدهش، لأن السن هي اللي بتتحكم في البطء
أظن ممكن نختصرها ان اتبعت المقام بضل جديد اقل
من يبقى هذه اقل من وهذا الكثر وهذه N تربية وهذه
اتنين أس N يبقى هذي للبس يبقى بدنا نشيل ال N ونكتب
بس اتنين أس N صحيحغلطة البص أكبر تمام البص أكبر من
البصة اللي عندنا هذا بسيطة مشان أجمع الاتنين مع
بعض لازم أكتب هذه بدلالة هذه إذا انا لو جيت قلت
اتنين قص ان كمان من فعله منفعش من فعليه المينهذه
اقل من هذه ليش المقام هو نفسه اتنين واس ان هي
اتنين واس ان الان اقل من اتنين واس ان يبقى المقدر
الاول اقل من المقدر الثانيطب ليش عملت هيك؟ عملت
هيك مشان أقدر أجمع الاتنين مع بعض و يتم عملية
الاختصارات فباجي بقول هذا بدي ساوي اتنين ضرب اتنين
أس N على N تربيع في اتنين أس N يبقى الجواب اتنين
على N تربيع بقول له بطولكن
السبب
إن P يسوى 2 أكبر من 1 الصحيح بروح بقول هنا by the
comparison test the series الهي summation لمن لل N
زائد 2 أس N على N تربية زائد 2 أس N converge
طيب اجى واحد تانى قال انا بفكر في المسألة بطريقة
اخرى بقوله كيف طبعا حل اخر يبقى another solution
اجى
قال لي انا مابديش اشتغل هيك بقوله كيف قال لي هذا
عندنا اللي هو مين ال Nزائد اتنين اص ان على انت
ربيع في اتنين اص ان قلنا له ايوة جالي بدي اوزع ال
bus علي المقام وهذا هي summation اللي عندنايبقى
هذا summation لل N على N تربيع في 2 أس N زائد 2 أس
N على N تربيع في 2 أس N قلنا لهم مافيش مشكلةقال له
هذه كمان summation اختصر بيصير واحد على N في
الاتنين أس N وهذه واحد على N تربيع قلنا له تمام
تمام ممكن يدخل ال summation على الاتنين وبالتالي
هذه بيصير summation تاني بهذا الشكل اظن هذه
conversion دغري مافيها مشكلة مشكلة تبعناهامع هذه
بقول له هذه أقل من summation ل 1 على 2 أس N زائد
summation زائد summation ل 1 على N تربية، مظبوط
ولا لا؟ هذه أقل من هذه، صحيح ولا لا؟مالك و خنش
يعني شيلت N من المقام يبقى أقل منها لإن هذه مقامة
أكبر طيب هذه هاها اللي تساوي مين؟ summation لنص أس
N زي summation لواحد علي N تربيع أظن هذه convert
geometric صح؟ يبقى هذه convert geometric series
وهذه convergence P series وهذه convergence P
series مجموع ال two convergence series is
convergent يبقى ال series اللي أقل منها اللي الأصل
ياشي بتكون convergent يبقى هدول طريقين للحلوحل
بالطريقة اللى تشوفها مناسبة بالنسبة لك طبعا
الطريقة الأولى أسرع كتير من الطريقة الثانية وأبسط
منها هذا كان السؤال الثامن السؤال التاسع بيقول ال
summation من n equal one to infinity لإتنين to the
power n تلاتة to the power nتلاتة to the power n
زائد أربعة to the power n بقول لك كويس، بدنا ناخد
الحد النوني اتنين أس N زائد تلاتة أس N تلاتة أس N
زائد أربعة أس Mطبعا اثنين اث ان اصغر من مين من
تلاتة اث ان يبقى اللي بده يتحكم في الموضوع مين
تلاتة اث ان هنا اربعة اث ان اكبر من تلاتة اث ان
يبقى اللي بده يتحكم في الموضوع مين يبقى بدي اشيل
التلاتة واشيل اتنين مضال تلاتة اث ان على اربعة اث
ان يعني تلاتة ربع كل اث ان geometric convert يبقى
بده يمشي اجل منطبعا يبقى بقى اجي بقول له هذه أقل
منه وهذا إشارة الكثر، لا مش مظبوط غلط، هذا الباص
طبعا المقام دي يخليه زي ما هو، اي تلاتة وسن زي
اربعة سن، مظبوط ذلك؟ مش مظبوطبسيطة يبقى لو كتبتها
تلاتة أس N بصير فعلا اتنين أس N أقل من تلاتة أس N
لكل ال N من عند الواحد لغاية ما لنهايك و ده كلام
صحيح يعني هذه تساوي اتنين في تلاتة أس N على تلاتة
أس N زائد أربعة أس Nهذه تساوي اتنين من
اتنين في تلاتة أُس M على أربعة أُس Mيعني شيلت من؟
شيلت التلاتة و السمنة اللي موجودة في المقام هذي.
تمام؟ هذي مين؟ هذي اتنين في تلت تربع كلوس قداش.
And مين هذي ال series؟ Geometric، convergent ولا
divergent؟convert إذا اللي أقل منها بتكون مالها
convert بقوله بطوة لكن summation للإتنين تلت تربع
أس N من N equal one to infinity converge geometric
series السبب because
الأساس تبع ال series يسوى تلت اربعة والتلت اربعة
اقل من الواحد الصحيح بروح بقوله by the comparisons
of the seriesاللي هي اللي أقل منها summation من n
equal one to infinity للاتنين أسن زائد تلاتة أسن
وهنا أربع أسن converge وانتهينا من المسألة
سؤال العاشر summation
من N equal one to infinity لل N factorial ال
square root لل N عالمين على N زائد اتنين اللي هو
factorial
ليس بالضرورة اني ابحث convergence و divergence
مباشرة، اذا حابب تحط المسألة في شكل جديد، اتوقع
الله، مش حابب، خلاص درب هنا الأقل من والأكبر من،
تمام؟ اه تختصر دق أن زاد اتنين، أن زاد اتنين، ودق
اخرون اتنين100% يعني قصد زميلكم نحط المسألة في شكل
جديد قبل أن نبحث ال convergence و ال divergence
لهذه ال series بقول يعني ايه؟ يعني هذه هي
summation من n equal one to infinityهذا ال
factorial
يفكه N زائد 2 في N زائد 1 في N factorial
هذا الكلام يساوي ال summation من n equal one to
infinity لل square root لل n على
يبقى هنا باجي بقول N زائد اتنين في ال N زائد واحد
اذا صارت المسألة في شكل جديد سهل الان اتحكم فيه و
اعرف ايه هو converge او bye bye طبعا ال bus جاهز
جدر التربيه ل M المقام بدي اشيل الواحد و اتنين
بصير N في M جداشي M تربيه و فوق نقص نص
يا راجل يا راجل يا راجل كم مرة نكتب ال N أكبر من
الواحد الصحيح بتبقى convert؟يبقى تستعجلش تاني مرة
يبقى بناء عليه تبقى ال serious money converge إذا
عند المقارنة بدي أمشي أقل من إذا باجي بقوله صار
عندي جذر ال N على N زائد اتنين N زائد واحد أقل من
جذر ال N على N في Nطب اللي فوق أس نص يبقى بنختصر
بيضل على N أس تلاتة على اتنين بقوله بطولكن صميشي
لواحد على N أس تلاتة على اتنين من N equal one to
infinity convergeP Series السبب بسبب أن P يسوى
تلتة على اتنين أكتر من واحد بروح بقوله بي the
comparison test ال series الأصلية لصميم من N equal
one to infinity
السؤال الحادي عشربيقول لي summation من n equal one
to infinity لواحد على n factorial بدي أشوف هذا
السؤال هل ال series اللي عندنا هذي converge و الله
ضيفهوالله و الله ما احنا عارفين يعني مش عارفين كيف
نعمل فيها نقارن مع مين يعني تمام؟ لأن ال N
factorial لو بده فرقه بده يصير N من ال terms لكن
خلّينا نتعرف على شكل ال series في الأول و بناء على
الروح نحكم و نشوف كيف فلو جيت هنا بتتعرف على شكل
ال series الحد الأولبواحد على واحد factorial اللي
هو بواحد التاني واحد على اتنين factorial التالت
واحد على تلاتة factorial واحد على اربعة factorial
زائد واحد على n factorial زائد إلى ما شاء اللهممكن
اتعرف على شكلها اكثر من ذلك لو فكت ال factorial في
كل المقامات للحدود اللي موجودة عندنا كيف باجي بقول
هذا الكلام يساوي واحد زاد واحد اتنين في واحد زاد
واحد على تلاتة في اتنين في واحد زاد واحد على اربعة
في تلاتةفى اتنين فى واحد زائد زائد واحد على ان فان
ناقص واحد فى تلاتة فى اتنين فى واحد زائد الى ما
شاء اللهطب كويس اذا انا حطيت ال series في الشكل
الجديد اللى عندنا هذا وبدأجي الان افحص ال series
اللى عندنا هذا او الشكل الجديد هل ممكن يكون
convergence series و الله divergence series تمام؟
باجب اطلع في المثلة ابتبعتيواحد زائد نص زائد سُدس
زائد واحد على أربع وعشرين زائد زائد وماشاء الله
عليها ماشية كويس طيب الملاحظ ان كل حد بيقل عن الحد
اللي جابله واحد مص سُدس واحد على أربع وعشرين يعني
رايح لوين يعني في احتمال تكون فيه احتمال مظبوط طيب
بلاشمش متأكدين هل هي conversion ولا ضيبية تعال شوف
ليها الرأي هذا ايش رأيك فيه لو جيت قلت هذا واحد
زائد نص زائد واحد على اتنين في اتنين زائد واحد على
اتنين في اتنين في اتنين زائد واحد على اتنين في
اتنين في اتنين في اتنين زائد إلى ما شاء الله
يبقى أنا عند سيريز بالشكل هذا كتبت سيريز تانية،
بدي أبحث ما هي العلاقة ما بين ال two series
الأثنين اللي عندي، ال term الأول هو ال term الأول،
ال term التاني هو ال term التاني، ال term التالت
أقل من ال term التالتالرابع أقل من الرابع واحد على
ربع وعشرين أقل من تمون ست أقل من الرابع نص يساوي
نص واحد يساوي واحد يبقى ال series الأولى شو علاقة
بال series التانية أقل منها ممتاز يبقى بدل اللي
يساوي بدي يصير عندي أقل بالشكل اللي عندنا هذا
تمام؟ إذا أصبحت ال series الأصلية summation واحد
على n factorialمن n equal one to infinity هذا
الأصلية أقل منه أطلع
لي هنا الحد الأول واحد الحد التاني واحد على اتنين
اقصى واحد الحد التالت واحد على اتنين تربيع الحد
الرابع واحد على اتنين تكيبيبقى قيمة الحد الأس تبقى
أقل من الرتبة بمقدار واحد، ممتاز جدا يعني بقدر
أقول هذه ال summation لواحد على اتنين أس N ناقص
واحد من N equal one to infinityخلّيني اتأكد اشوف
هل الكلام اللي كتبته صحيح هذا والله ما هوش صحيح
بحط لإني بواحد بيصير اتنين أقص Zero واحد على واحد
واحد هي مظبوطة بعد واحد بيجيني اتنين اتنين نقص
واحد بواحد يبقى نص الحمد لله تمام تلاتة نقص واحد
باتنين اتنين ترمية اتنين في اتنين اربعة واحد على
اتنين تكييف مية لميةطيب ايه الشرايه كانت ال series
هذه بقدر اخليها تبدأ من عند الصفر بدل من عند
الواحد بيغيروا ال index واخدنا حاجة اسمها re
indexing في section عشر اتنين يعني لو شلت كل انه
حطيت مكانها n زائد واحد بصير هذه ال summation من n
equal zero to infinity لواحد على اتنين نص n
أو الشكل العام صميشن من N equal zero to infinity
لنص to the power N شو رايح في ال series هذه؟
Convert Geometric يتجلي أقل منها بال comparison
تستثمر بقى Convert بقول هنا بطولة لكنSummation
للوسط of the power N من N equal zero to infinity
convergeجيومتريك سيريز السبب ان absolute value ل R
يسوى نص أقل من الواحد الصحيح بقول هنا by the
comparison test السيريز الأصلي اللي عندنا
summation ل 1 على N factorialمن N equal one to
infinity converge.من اللي بدى يسأل ايه؟ بتساوى؟
لا هي راجل، فيه احتمال انه ميتساوى؟سيريز هذي مش
عندي حد هنا سيريز تو infinite يبقى احتمال المساواة
غير وارد بتاتا طبعا طيب الان لحد هنا stop انتهينا
من النصف الاول من هذا ال section وهو ال comparison
test بدنا نيجي للنصف الثاني اللي هو limit
comparison test
يبقى الاختبار الثاني نمرة اتنين اللي هو ال limit
comparison test
أحنا قلنا هذا ال section فيه اختبارين المرة اللي
فاتت أخدنا نص لاختبار الأول حلنا شوية أمثلة عليه
كملنا اليوم باقل أمثلة الأقل بنروح للاختبار الثاني
اللي هو ال limit comparison test بنص على ما يأتي
suppose that افترض انهالـ A N greater than zero
and ال B N greater than zero for all N greater
than or equal to N capital و ال N هذا is an
integer نمرحل
بيقول ليه؟الـ limit لما ال n tends to infinity لل
a n على b n يساوي constant c with c greater than
zero then summation على a n and summation على b n
and
summation are bothconverge or both diverge
النقطة الثانية من هذا الاختبار نمرة اتنين Fالـ
limit لما ال n tends to infinity لل a n على b n
يساوي zero and ال summation على b n converge then
summation على a n converge كذلكالنقطة الثالثة
والاخيرة if limit لما ال N tends to infinity لل A
N على B N يسوي infinity and summation على B N
diverge then summation على A N diverge كذلك
examples test
the convergence of
the following series
السؤال
الأول نمرة واحد summation
من n equal one to infinity لواحد على n الجذر
النوني لمن؟ لانت كيف
طبعا انا خدنا ال limit comparison test في حالة ال
improper integrals مظبوط وكانت هنا بس النقطة
الاولى لكن في ال series عملنا limit comparison
test على شكل ثلاث نقاط نرجع للنص سبعه ونحاول نناقش
نقاط الثلاث وخليك صحي معايا كويسلحظة عندما أخذنا
الانستير ما دورناش الحدود positive ولا negative،
لكن عندما جينا لل test integral، قالنا الحدود
موجبة. عندما جينا لل test comparison، قالنا الحدود
موجبة. عندما جينا لل test limit comparison، قالنا
كذلك الحدود بدياها موجبة.قال افترض ان ال a n أكبر
من 0 و ال b n أكبر من 0 for all n اللي أكبر من أو
يساوي ال n يعني ممكن اجي عند ال واحد ولاجي ال a
one موجه بلك ال b one سالم
بنفترض بعد عشر حدود يبقى انا بدي ابدأ ان انا نصمش
من n equal العشرة ل infinity بصير ال a n أكبر من
ال zero و ال b n أكبر من ال zero يبقى بقدر استخدم
ال limit comparison تستخدممهما العدد المحدود من
حدود ال series لا يؤثر على ال convergence ولا على
ال divergence لهذه ال series بيقول جيك جسمت الحد
النوني AN على الحد النوني BNيعني BN هذه ال series
تانية هو بيعطيها لي غير ال AN؟ لأ، هو بيعطيني ال
series واحدة، هاي السؤال، بيعطيني ال series واحدة
طب و أنا إيش بدأ أسويه؟ أنت لحالك بدك تروح تجيب ال
series تانية ال series التانية بدأت تكون معروفة
بالنسبالك هل هي converged أو diverged قبل ما نبدأ
يعني ال summation على BN معروفة بالنسبالي هل هي
convergedأو the very waffle غالب بتكون واحدة من
التلاتة المشهورة طب بدي أجيبها من وين؟ بدي أجيبها
من ال series اللي موجودة عندي يعني بدي أخلق series
من ال series اللي موجودة كل سؤال بما يناسبه تمام؟
بقول كويس خلقنا series of motion على BN واخدنا
الحد النوني تبعها يلجأ N على BN أخدت ال limit لما
ال N بدأ تروح لمالة نهاية طلع الناتج قيمة عددية
وهذه القيمة أكبر من 200لا يمكن تجي أقل من ال zero
لإيش؟ لأن ال two are positive من ورم الدجين السالب
يبقى دائما و أبدا هتكون مالها أكبر من ال zero إذا
حدث ذلك طبعا في أي رقم و ليس رقم محدد إذا حدث ذلك
سيكون ال series تبعت البصر و ال series تبعت المقام
اتنين حبايب هدي converge هدي converge هدي diverge
هدي diverge
تبع المقام Convergent وتبع المصدر Convergent تبع
المقام Convergent وتبع المصدر Convergent
لو أخدت limit الان على ال b انه طلع يساوي zero
وطلعت في تبعة المقام وجدت convert إذا النتج يساوي
zero تبعة المقام convert إذا تبعة ال bus convert
على قول الخطالنقطة التالتة اللي أخدت ال limit و
لجيتها infinity و روحت ل series تبع المقام لجيتها
by var يرجع تبع البصمة لها by var السؤال اللي بدور
الآن في دماغ البعض منكم طيب لو روحنا أخدنا ال
limit هذا و طلعت يساوي zero و روحنا على ال
summation علبي انه لجيتها by varبفشل الاختبار يعني
الاختبار هذا لا نستطيع بيه الحكم على ال series هل
هي converge او diverge و بروح ندورنا على اي اختبار
من الاختبار ذات السابق اللتي سبقت دراستها ما ينطبق
هنا ينطبق هنا يعني لجهة ال limit هذه infinity لكن
هذه convergeمش by verge يبقى تبع تلبس الله أعلم قد
تكون converge و قد تكون by verge احنا بنعرفه يبقى
بيفشل الاختبار في هذه الحالة حد يلو أي تسوان هنا
قبل أن ندخل على الأمثلة فضل اه
يعني عدد الاختبارات قصت لا هي راجل .. لا ما هو انت
لما تحل مثال بصير بمجرد النظر تعرف مين الاختبار
اللي بدك تستخدمهلكن إذا بيكتفي بالأمثلة اللي
بتاخدها هنا، بيقول يمكن تنجح، يمكن، اه يعني
الرياضيات اللي روح تمسك جلمك و تشغل، مااشتغلتش
بجلمك، انت لا سابع رياضيات ولا بتعرف رياضيات، انت
حافظلك أكم مثال ولا طريقة أكم مثل انقاد يزيهم
يتحلوا، خدناشدانا المشوية السؤال تبقى راحة العلم
وانت صافيت على شجة، اذا لازم تتمرس عن طريق حل
المسائل واحنا لما نجيبك سؤال لا نقيدك بأي اختبار،
بيقولك test the convergence of the following
series وانت حر استخدم الاختبار الذي تراه مناسبا
وقد تستغرب ان السؤال يحل ب3 او 4 اختباراتكل واحد
بيحلوا شكل يبدأ كله حسب ما يهديه ربنا في عقله هذا
ويكتشف الطريقة ويكتشف الاختبار اللي بيحله على أي
حال على أي حال كل هذا من نتركه لأن هذا بوسع مدارك
و بصير يتفكر كويس بس لو قلتك استخدم الطريقة
الفلانية انا ماشغلتش بخك بصير انت زي اللي نايم
خلاص automatic بشتغلهاأي نعم، لكن لما أقول لك
استخدام اللي بدك إياه، بصيت فاكر مين اللي بينفع
فيهم، هذا لأ، هذا أه، يبقى أنت صارت ال thumbs
ووسعنا المدارس العالمية بالنسبالك، اعني بالك معاك
هنا، الآن بدنا نبدأ ناخد أمثلة على الكلام اللي
بنقوله، جالي يشوف لي هال series هذي convert، قوله
ضيفين، بدي أنا بقى تساءلمن أقرب series على هذه ال
series أنا عارفهم مسبقا هل هي convergent او
divergent اقرب
واحد عليهم واحد علي n اذا انا بقول عندنا summation
واحد علي n هي divergent harmonic series
يبقى بنروح اخد ال limit لما ال N tends to infinity
لواحد على ان الجذر النوني ل N تكيب تقسيم واحد على
N يبقى يسوي ال limit لما ال N tends to infinity
تطلع ال N فوق على ال N وهذا N تكيبان تكيب أس واحد
على ان تختصر ان مع ان يبقى بصير المسألة limit لما
الان till infinity لواحد على ان أس واحد على ان
الكل تكيب يبقى ان تكيب أس واحد على ان والله ان أس
واحد على ان الكل تكيب الاتنين are the sameالـ
limit هذه لو جيت حسبتها يبقى واحد على .. هذه من ال
standard المعروفة من الست limits المشهورة اللي
أعطينالك في جدول، هذه رقم قداش منهم؟ الرقم اتنين،
يبقى هذه قيمتها بواحد تكيب، يبقى النتيجة يسوى قداش
رقم والرقم أكبر من الـ zero يبقى بال limit
comparison test ال series اللي قارننا معاها وال
series الأصلية اتنين زي بعض طب اللي قارننا معاها
by verge إذا ال series التانية معاها by verge
فبروح بقوله by the limit comparison test the
series
السؤال الثاني يقول
من N equal one to infinity للجذر النوني ل N على N
تربيع
ماشي الحاجة high summation 1 على N تربية convert P
series السبب بسبب أن P يسوى 2 أكبر من 1 يبقى بدنا
ناخد limit لما ال N tends to infinity لل N أس 1
على N على N تربية تقسيم 1 على N تربيةيبقى هذا كلام
limit لما ال N tends to infinity لل N أس واحد على
N واحد على N تربية تختصر مع واحد على N تربية بيبقى
ال N أس واحد على N ليه بيجداش بواحد كذلك أكبر من
ال zero بروح بقوله by the limit comparison test
السؤال التالت
سؤال التالت بيقوللي ال summation من n equal one to
infinity ل tan واحد على m بدنا نشوف هل ال series
هذي converge ولا divergeيا الله طلع فيها كويس وشوف
مين أقرب series عليها ممكن نعمل مقارنة بينها
وبينها وبالتالي نتوصل لل convergence أو ال
divergence تبعتان واحد على انف، مين؟ طيب نجرب،
يبقى وقت بسم الله بيقول الانف، ولا لا؟الان الان
اعتبر سمعي مش مظبوط يبقى لو روحنا اخدنا summation
واحد على ان summation واحد على ان هي diverse
harmonic سيريز بدنا نروح ناخد limitلما ال N tends
to infinity لتان واحد على N كله على واحد على M
التعويض المباشر يعطينا Zero على Zero يبقى نستخدم
قاعدة Lobital يبقى limit لما ال N tends to
infinity تفضل التان
نختصر لاختصارات هادي مع السلامة بصير limit لما ال
N tends to infinity لsec تربية 1 على N
زيرو سك الزيرو بواحد تربيع اللي هو بواحد كذلك اذا
سوى الرقم والرقم اكبر من مين من الزيرو يبقى
التنتين هذا اللي لهم بيبقى بعض يبقى باجي بقوله by
the limit comparison test the series summation
لتان واحد على M
سؤال الرابع الرابع
summation من N equal to infinity لواحد على N
الجدرد تربية ل N تربية ناقص واحد واحد
على مين؟
أحد الشباب يقترح انه نقارن مع واحد على ان بقوله
تمام يبقى لمة المقدار هذا مقسوما على واحد على ان
تقلع ان فور وتروح مع ان لتاع بصير واحد على الجذر
واحد على ما لريهاية تبزينه وتبعت المقام بيفيريبقى
فشل الاختبار في الحكم مش اللي فشل الاختبار،
والاختبار فشل بناءً على ال series اللي اختارها،
يبقى اختياره في هذه الحالة اختيارًا خاطرًا، وعلى
ال interviewer، يبقى الأقرب للحساب الذاتي اللي هو
أحد على ال interviewer، ليش؟أي الـ N و هذا جذر الـ
N تربية و كمان N يبقى باجي بقول احنا بنعرف
summation 1 على N تربية converge P series
بسبب أن P يساوي 2 أكبر من الواحدة الصحية نروح ناخد
limit لما ال N tends to infinity لواحد على N
الجدرى التربية ل N square minus one كله بدا يقسم
على واحد على N تربية يساوي limit لما ال N tends to
infinityلمن؟ لل N على الجدرى التربية ل N تربية
ناقصها جلبناها طلعت فوق اختصت مع ال N اللي تعثر
بالشكل هذا الان تعاود مباشر بيعطيني infinity على
infinity ياما بستخدم قاعدة لوميتاليا إما بجسم البص
والمقام على إن المرفوع عليه أكبر Os في المقام يعني
جدوش على إن وليس على إن تربيها لإن وإن تربيها تحت
الجدر التربيعي إذا لو جسمنا كل من البص والمقام على
إن بصير عندي واحد هنا لما أجسمها إن هدخلها تحت
الجدرتدخل تحت الجدر بإن تربية بصير ال square root
ل واحد ناقص واحد على إن تربية هذا ب zero والنتيجة
يستوي واحد الأولية converge إذا التانية مالها يبقى
باجي بقوله by the limit comparison test the series
summation واحد على إن الجدر التربي لإن square
minus oneconverge كذلك سؤال
الخامس summation من N equal one to infinity لواحد
على واحد زائد ضمن ال N
خلّوا يباركوا هنا خلّوه
يباركوا هنا خلّوه يباركوا هنا خلّوه يباركوا هنا
خلّوه يباركوا هنا خلّوه يباركوا هنا خلّوه يباركوا
هنا خلّوه يباركوا هنا خلّوه يباركوا هنا خلّوه
يباركوا هنا خلّوه يباركوا هنا خلّوه يباركوا هنا
خلّوه يباركوا هنا خلّوه يباركوا هنا خلّوه يباركوا
هنا خلّوه يباركوا هنا خلّوه يباركوا هنا خلّوه
يباركوا هنا خلّوه يباركوا هنا خلّوه يباركوا
هنا خلّوه
يبقى لما أقعد أطلع في المثل هذه بلاحظ أنه أقرب
series عليها من اللي احنا عارفينهم واحد علي N
مظبوط، بنجرب، ضبطت، أهل الوسالة، ما ضبطت، بنقوا،
هنغيرها، الشغل في بيننا، إذاً بدي أجرب summation
واحد علي N اللي هي diverse harmonic series
يبدأ باخذ limit لما ال N tends to infinity ل 1 1
زائد لن ال N تقسيم 1 على Nيبقى هذا الكلام بده
يستوي ال limit لما ال N تنزله infinity لل N واحد
ذائب من ال N نرجع لسؤالنا التاني يبقى جلبنا طلعت
ال N فوق و صارت تانية تحته تعوده المباشر بيجيبلي
infinity على infinityيبقى بقاعدة Lobital limit لما
ال N tends to infinity للواحد على مشتقت هذا بالصفر
ومشتقت هذا بالواحد على N يبقى الصعب limit لما ال N
tends to infinity لمن؟ لإن النتج جدوش Infinityطيب
تبعت المقام diverse والنتيجة infinity بقوله by the
limit comparison test the series summation للواحد
على واحد زائد لن ال N اللي هو diverse كذلك ات واحد
من الشباب قال ايه؟قال انت بشوفك كله limit
comparison يعني بنفعش بال comparison والله التكامل
والله ال end term والله اللي فات بقولك ممكن ينفعش
جرب الحين هذا لو بدي اجي اخد ال end term شاف احد
عمل نهاية ب zero فاشل لحد انونينستطيع ان نكمل واحد
على واحد زائد لان جمل لم يتم تكمله بعد انك تبحث عن
الشروط التالتة جزء طويلة وبعدين تكملها سابع يبقى
بروح ال comparison ووصلت ال comparison بقوله اه هو
الواحد على واحد زائد لان ال Mطبعا اقرب واحدة اللي
احنا طلعناها diverge مظبوط اذا diverge معناته ده
ماشي اكبر من بقولها اكبر من واحد على لن الان صحيح؟
لأ مش صحيح يبقى بقوله زائد لن لن تمشي الحال؟ يعني
هذا واحد على اتنين لن لن شو علاقة بواحد على اتنين
ان؟أقل ولا أكبر؟ أقل لغرثم العدد أقل من العدد إذا
الكثر هذا له أكبر إذا هذا الكثر أكبر من الكثر اللي
عندنا هذا واحد على اتنين لإن ال N أكبر كثيرا من
واحد على اتنين N بقوله بطوى لكن نص summation واحد
على N by very harmonicالسي ريز يفجه هنا by the
comparison test the series summation للواحد زائد
ذن ال N diverged وانتهينا من هنا على أي حال يعني
احنا لما نيجي نشغل في ال section هذا كل اختبارات
السابقة يمكن استخدامها تهرب تستخدمها ماشي بدكش
تستخدمها ماشي سياملازم في نفس ال section و لما
ننتهي بعد يوم السبت ان شاء الله بنكمل هذا ال
section و بنبدأ في ال section الجديد