موسيقى
بسم الله الرحمن الرحيم نكمل ما ابتدأنا بيه في
المرة الماضية وهو الاختبار الثاني بالاختبارات من
خلال أبلغكم على series هل هي converge او diverge
طبعا أخدنا المرة الماضية ال integral test ونصه كان
عندنا ال series with positive terms بدي أشيل كل n
في الحد اللوني في ال seriesوحط بدل المتغير X يبقى
صارت علنا function F of X هذه ال functions لو كانت
positive و continuous و decreasing يبقى تحققت
الشروط التلاتة لكل N اللي أكبر من كرت ال N حيث N
أي رقم صحيح تتحقق من عنده الشروط التلاتة ثلاثةيبدأ
إذا تحققت الشروط التلاتة بقدر استخدام ال test
integral ال test integral هو التكمل اللي بستخدمه
هو improper integral فإن كان ال improper integral
converge يبقى ال series converge وإن كان ال
improper integral diverge فإن ال series diverge
واخدنا على ذلك ثلاثة أمثلة و اليوم بنكمل هذه
الأمثلة يبقى جينا للمثال رقم أربعيبقى بدي أشيل كل
N و أحط مكانها X و أسمي ال function اللي عندنا ليه
من F of X يبقى ال F of X يساوي واحد على X في لن ال
X لكل تربيع
وأقارنها من عندي اتنين فما فوق، هل يتدل اللي عندنا
هذه positive و continuous و decreasing من عند
اتنين فصعدا او لا؟ تعالى نشوفلو كانت X بـ0 بصير
الدالة مش معرفة X برا لأنه لبادة من عنده اتنين لو
كانت X بواحد الدالة غير معرفة لبادة من عنده اتنين
يبقى ماليش علاقة لا بـ0 ولا بالواحد إلي علاقة من
اتنين فصاعدا إذا من اتنين فصاعدا هذه قيم وجبات
اتنين الدالة معرفة تمام يبقى هذه positive
and continuous وده المتاصلة لكل ال X اللي أكبر من
أو يساوى اتنين تمام؟ يبقى ايه؟ صارت positive
continuous بقى يا عزيزي دوس ال decreasing قدامي
طريقين طريق الأول أشتاق وهذا بلجأ له إن كان البص
والمقام متغير لكن إن كان البص مقدار ثابت ولا بد
اشتاق ولا حاجةبعمل مقارنة ما بين الحد النوني اللي
هو واحد على ان لان الان الكل تربية والحد النوني
زائد واحد وهو واحد على ان زائد واحد لان الان زائد
واحد الكل تربية طبعا الأولاني هذا مقامه عقل مدام
مقامه عقل يبقى الكاسر هذا مالهأكبر من الكثر هذا
يعني لحد انني صار أكبر من الحد انني زاد واحد يبقى
هذا ال series decreasing يبقى هذه الصارة تانية ما
لها decreasingما دام decreasing إذا ال function
هذه decreasing إذا تحققت الشروط التلاتة إذا بقدر
استخدم ال integral من اتنين ل infinity لاحد على x
لأن ال x الكل تربيه يعضي xإذا بدل ما كنا بنشتغل
series هنشتغل تكامل الآن هذا improper integral من
النوع الأول نظرا لوجود ال infinityإذا ال limit
integration من اتنين لغاية بيه لما بيه ten to
infinity لمين؟ طلعلي لهابة هيك واحد على X DX مشتقت
لإن ال X يبقى هذا بقدر أكتب ال D لإن ال Xعلى لن ال
X الكل تربية وكأنه احنا بدنا نكامل DY على Y تربية
يعني واحد على Y تربية DY طبعاً نبقى سالب واحد على
Y يعني سالب واحد على لن ال X لما B tends to
infinity اللي سالب واحد على لن ال X بالشكل لأن هذا
والكلام هذا من اتنين لغاية Bهذا بده يساوي هذا ال
limit لما B tends to infinity و I السالب و بيجي
هنا واحد على لن ال B ناقص واحد على لن اتنينالان
لما بيبدأ تروح للماء لنهاية بيبقى المقام بماء
لنهاية عدد على ماء لنهاية بيزير و بيظهر سالب سالب
بيصير موجب واحد على لن اتنين اذا يعطاني قيمة عددية
مدام يعطاني قيمة عددية ستتكامل من اتنين لإنفينيتي
لواحد على اكس لن اكس الكل تربية DX convertما دام
هو هذا الـ Convergent بقوله By the integral test
باستخدام اختبار التكامل ال series الأصلية
Convergent هنا من المثل هذا طيب
السؤال الخامسسؤال الخامس بيقول لي summation من n
equal one to infinity لمن؟ لل E أس N واحد زائد E
أس اتنين N بنفس
الطريقة، بدنا ناخد ال F of Xبدي يساوي EOSX على 1
زائد E أقصى 2X عمر البث في و الله المقام بياخد
قيمة سالبة يبقى دي positive على كل ال exponential
عمره بياخد قيمة سالبة إذا هذه موجة بقى تمام في
مقام ممكن ياخد zero
معرفة for all x بلا استثناء يبقى اليسارات positive
and continuous
for
all x which is greater than or equal to oneظلت قصة
الـ decreasing ال bus متغير والمقام متغير ماليش
الا اشتق اذا لو روحنا اخدنا f prime of x المقام في
مشتقة ال bus ناقص ال bus في مشتقة المقام كله على
مربع المقام الأصلي كل تربيةطيب نقدر نختصر هذا
المقدار ونشوف المقام كما هو واحد زائد E أس اتنين
ال X لكل تربية هذا E أس X زائد E أس تلاتة X ناقص
اتنين E أس تلاتة X يبقى E أس X ناقص E أس تلاتة X
واحد زائد E أس اتنين X لكل تربيةهندك E أوس ثلاثة X
بالموجب ونقص اتنين E أوس ثلاثة X بيظل نقص E أوس
ثلاثة X ممكن اكتب هذا بالشكل التالي واحد زائد E
أوس اتنين X لكل تربيع وهدي اخد منها E أوس X عامل
مشترك بيظل واحد ناقص E أوس اتنين X بالشكل اللي
عندنا هذا طلعله هنا كويسةالـ exponential هذه
موجبة، دائما و أبدا، هذا المقام كذلك معله موجب
دائما و أبدا، تمام؟ إذا المشكلة وين؟ أو اللي بدي
أحدد الإشارة المقدار بين القوسينأحنا الصممش البدي
بينامنا من عند N تساوي واحد طب لو حطيت ال X هنا
بواحد بيصير واحد ناقص E تربية موجة والله سالبة
سالبة يبقى هذه أقل من ال zero لكل ال X اللي أكبر
من أو تساوي من الواحد هذا يعني ان ال functionis
decreasing يبقى هنا هذا يعني ال F is decreasingلكل
ال X أكبر من أو تسوى من الواحد إذا تحققت الشروط
التلاتة عندي في آن واحد مدام تحققت الشروط إذا بقدر
أخد منهم تكامل من واحد إلى infinity لل E أس X واحد
زائد E أس اتنين X
يبقى اليمي التكامل من 1 الى B لما B tends to
infinity طلع ليه كويس الان ال E Os X DX مشتقة ال
exponential بال exponential itself يبقى هذه بيصير
E E Os X وهذه مشتقتهايبقى شيلت ال bus هذا كله و
كتبته مشتقة ال EO6 المقام واحد زائد EO6 لكل تربيع
يبدأ احنا كأننا بنكامل DY على واحد زائد Y تربيانهم
ايه؟ tan inverse ممتاز يبقى هذا ال limit لما B
tends to infinity لtan inverse EO6
العوض بحدود التكامل يبقى limit لما B tends to
infinity ل tan inverse طبعا هنا حدود التكامل من 1
إلى B tan inverse E أُس B ناقص tan inverse E أُس 1
و ال limit للي اتنين يبقى هذا الكلام بالدرس يعني
ال E أُس infinityيعني اتنين وسبعة من عشر inverse
infinity ب infinity tan inverse infinity بπاي على
اتنين هذا باي على اتنين ناقص tan inverse E هذا كله
يعتبر ايه؟ رقما واحدة يبقى بناء عليه التكامل
Convert يبقى هذا بده يعطينا تكامل من واحد إلى
infinity لل EO6 واحد زائد E أس اتنين X DX Convert
مدام Convert بقوله by the integral test the series
وانتهينا من هذه المسألة
بنجي لمثال رقم ستة يبقى ستة summation من N equal
one to infinity لسيش square N ماذا
كريم وانحنسش والله كله كلام كله كلامطيب ماجهيك مش
قدمت فيه امتحان PGA قارة و نجحت فيه؟ طيب على اي
حال لو حبيت بس اذكر تذكير بمنحنى السش هذا X هذا Y
هذا نقطة الأصل منحنى السش بيجي هيك و من هنا بنزل و
بيجي هيك تمام؟يبقى هذا بيجي بالشكل هذا، هذا zero
وهذا واحد صحيح، تمام؟ يعني ايش؟ اعلى ال X-axis
السش ال X دايما وابدا موجب ليش؟ لإن اتنين على E
والسكس زايد E اثناق السكس، المقام موجب والبص موجب،
فانا موجب، او لما اربيعها بصير سالم؟بتظلها موجة،
بيبقى هذه موجة بدائما و أبدا طيب فيلها
discontinuity على كل ال real line معرفة، أنا بديش
كل ال real line، بدي بس من عند الواحد و الواحد هي
الواحدوطيب يطلع من هنا يعني بدي الجزء هذا من ال
function يبقى positive و continuous لإن السش كلها
continuous أصلا تمام و decreasing هذا السش مش السش
square لكن أنا بدافع فعلا أن السش square كمان
decreasing يبقى باجي بقول هنا اللي هو f of xيساوي
سيش square X is positive and continue و الله هاه
مش لحظة احد يقول كيف جبت هذه يبقى سيش square X
اللي هي عبارة عن اتنين على EOS6 زائد EOS نقص X
الكل ترفيه هالها is positive
and continuous for all x أكبر من أو تسوى من الواحد
ضلت قصة ال decreasing يبقى بعدي بشتقها ال f prime
of x يسوى اتنين في سش ال x في تفاضل سش ال x له
كده؟ سالب سش تانش يبقى سالبسيش ال X في تانش ال X
يعني سالبي 2 سيش square X تانش ال X هدول إذا طلعوا
كلهم بالموجة ومسبقين بإشارة سالب يبقى كلها بصير
أقل من ال zero decreasingطلعني لهذه عمرها بتاخد
قيمة سالبة حتى لو كانت سالبة لما اتربعها بالصغير
يبقى هذه positive دائما و أبدا نجي لتانش لو رجعنا
لمنحنة التانشيبقى هذا محور X هذا محور Y هذا الـ
Zero لو جيت للخط اللي عندي هذا اللي هو واحد والخط
هذا اللي عندنا له مين سالف واحد ورسمنا منحنا
التانش بالشكل اللي عندنا هذا احنا من عند الواحد
جينا طالين يبقى من عند النقطة هذه و تعالى على
اليامين عمره بياخد قيمة سالفةيبقى I أعلى ال X X
زموجة يبقى كمان هذا positive ان ضربه في سالب يبقى
أقل من ال zero لكل ال X اللي أكبر من أو تساوي واحد
يبقى هنا ال سؤال F is decreasing لكل ال X اللي
أكبر من أو تساوي الواحدإذا تحققت الشروط التلاتة
بقدر استخدم ال test integral تكامل من 1 إلى
infinity لسيش square x dx and proper integral من
النوع الأول integration من 1 إلى b لما b tends to
infinity لسيش square x dx يبقى limit لما b tends
to infinityالآخر السؤال كيف بدنا نكامل سش سكوير
هذه؟ ولا
بده أرجع ولا بده أحول، تفضل وتنش بسش سكوير يعني،
بداش تفكير، يبقى هادر، تانش الأكس من واحد لغاية
اللي لسه بده يحول ويبدل ويغيره، هذه خربانة بالمرة
المصلعةيبقى هذا ال limit لما بي بدها تروح إلى
infinity لtan shall be ناقص tan shall one هذا اللي
بيبقى كده لما بي بدها تروح للمال لنهاية الدولة
بتروح لوين؟ بايتن برضه؟
هذا بيعني ورحمة انت ويه يعنيشايفين الرسم اللي
قدامك هذا؟ يبقى واحد، يبقى هذا ويستوي واحد ناقص
تانش الواحد، تمام؟لحد هنا تمام يبقى هذا رقم واحد
ماعجبوش قال لي بدي أطلع تنش الواحد قلنا له كيف؟
راح قال لي هذا واحد ناقص وراح قال لي يوس واحد ناقص
يوس ناقص واحد عليوس واحد زاد يوس ناقص واحد قلنا له
هذه والله هو عدد بضل في الآخر تحسبي براحتك يبقى
كله عددما دام عدد يبقى تكامل convert يبقى لنا سا
تكامل من واحد إلى infinity لسيش square x dx ما له
convert ما دام convert بقوله by the integral test
the series
ننتهينا من المثلة وبانتهاءنا من المثلة ننتهي من
التمرين يبقى وصلنا الى exercises عشرة تلاتةيبقى
exercises عشرة تلاتة المسائل التالية من واحد لغاية
واحد واربعين القدر بنضيف عليهم خمسة
وخمسين وستة وخمسين وتمانية وخمسين
بنروح ل section تمانية أربعة عشرة أربعة ولا يهم
خلاصنا من عشرة تلاتة لعشرة أربعة نقولكم comparison
tests اختبارات
المقارنة هذا ال section يحتوي على اختبارينالـ
Comparison Test والـ Limit Comparison Test زي ما
أخدنا في الـ Improper Integrals اللي هو الـ
Comparison Test والـ Limit Comparison Test هنا
هناخدهم على الـ Series زي ما أخدنا هناك على مين
على التكامل يبقى بيننا نيجي للاختبار الأول في هذا
اليوم نتعرض له المحاضرة القادمة نتعرض للاختبار
الثانييبقى بدنا نجي اللي هو ال comparison test
اختبار المقارنة نص على ما يأتي let summation على a
n و summation على c n and summation على d n ب
فهي سيريزة مع كلمات غير اقل غير
اقل كلمات افترض انه
for some integer n
integer capital M ال D N أقل من أو يساوي ال A N
أقل من أو يساوي ال C N for all N اللي أكبر من أو
تساوي N نمرأي
F
Summation على CN Converge
لو كانت summation على CN Converge then summation
على AN also converge نمر
بيه FSummation على DN Diverse Diverse then
Summation على AN also Diverse Examples
Test
أول سيريز من هذه السيريز ناملة واحدةSummation from
n equal one to infinity to cosine of square root
of n divided by n plus three divided by two بقول
مرة تانية في هذا ال section ناخد اختبارين لما ناخد
اختبارين ممكن نخلص نجداش اربع اختباراتالاختبار
الأول هو ال comparison test و ال limit comparison
test خلّينا المحاضرة القادمة ان شاء الله بيقول
اختبار ما ياتي افترض ان عندك تلاتة seriesAn وCn
وDn كل حدودهم ليست سالبة Series with non negative
terms افترض for some integer in Dn أقل من أو يساوي
An أقل من أو يساويC N لكل ال N اللي أكبر من أو
يساوي ال N ايش يعني جصده؟ خلّيك معاه احنا عندنا
تلاتة series جيت من عندها N تساوي واحد لجيت فعلا
ان ال D واحد اقل من A واحد بس ال A واحد مش اقل من
C واحد يابي يقول ال واحد صف على شجرة باخد ال N
باتنين جيت حطيت N باتنين لجيت D اتنينأقل من A2 لكن
A2 ماهياش أقل من C2 بلينكولاتي غير محققة صفعة شجة
روحتلا N تساوي تلاتة نفس الموضوع صفعة شجة N أربعة
نفس الموضوع عند N تساوي خمسة مثلالقيت فعلاً D خمسة
أقل من A خمسة أقل من C خمسة وخدها ستة وسبعة و
تمانية إلى مالة نهاية كله صحيح، يبقى باجي على
أربعة أول حدود وبقولهم ماع السلام مابتلزمونيش
تلزمونيش ما احنا خدنا في ال section الماضي انه شطب
عدد اللي جابله شطب عدد محدود من حدود ال series او
اضافته لا بيغير من وضع ال convergence ولا بيغير من
وضع ال divergence تمام؟ بقولك يا سيبجي بدي ابدا من
وين ده in capital مين ان in capital؟ لخمسة فمع فوق
أيوة فباجي بقول والله إذا كان summation على cin
converted باجي بطلع من cin
السؤال هو هل اختلف ال comparison test تبع ال
series عن ال comparison test تبع ال improper
integral؟اختلف في نهاية الصيغة هو هو بس بدل
التكامل حطينا series إذا لم يتغير شيء بالنسبة لكم
comparison test واضح كلامي؟ طيب حد بدي أسال أي
سؤال؟ أيوة اتفضل
بقول لو كانت CNN هادي باي باي، إيش رأيك فيها؟ إن
والله دي اللي أصغر منها، والله بني عارف، يمكن تكون
converge ويمكن تكون diver ليه احتماليا الورداد؟ لا
أستطيع الجزم بذلك، يعني بالبلد هيك بينه وبينك،
بنقول فشل اختبار المقارنة في الحكم على ال series
هل هي converge او diverماشي حاجة بدو يسأل تاني طيب
نبدأ نطبق هذا الاختبار على أسئلة عديدة السؤال
الأول بقول ال summation من n equal one to infinity
ل cosine ترابية ال N على N أس تلاتة على اتنى لحظة
النقطة الأولى صارت علاقة بين two series النقطة
التانية علاقة بين two series طب هو في المثل
مايعطانيش الا series واحدةيبجى انت بدك تروح تخلق
series تانية من المسألة اللى عندك و ال series
المخلقة بدك تكون عارفة هل هي converge او diverge
تمام؟ اه يعني انا من هنا من ال series هذه بدروح
اطلع series تانية و ال series تانية بدكون عارفة
convergeاو بايفير كيف بدي اطلعها شغل في ذاك انت
بعدين انا بفكر هو ال cosine تقريبا محصلة بين مين
ومين هذا فان الصفر الواحد يبدو هاجرقم مش هيأثر
عندي على وضع مين على وضع ال series اذا اللي بدي
اتحكم في ال series واحد على انقص تلاتة على اتنين
طب سؤال هو واحد على انقص تلاتة على اتنين converge
ولا diverge؟
مع الconverge بدي امشي اقل من ومع الdiverge بدي
امشي من زي ال M proper integral بالضبط تماما اذا
باجي لحد انوني اللي عندك وصين تربيع ال M على N أس
تلاتة على اتنين اجل وهي ال N أس تلاتة على اتنين
قداش أكبر قيمة بياخدها الكثاية التربية واحد يبقى
دايما و أبدا أقل من و قد يساوي واحد، مظبوط هيك؟
يبقى هذا دايما و أبدا كل حياته أقل منها، طب هاد ال
convert، هذا اللي أجل منهاconverge تبقى للنقطة
الأولى يعني إذا الكبيرة هذي converged يبقى اللي
أصغر منها converged من باب أولى بروح بقولاش but
ولكن صمشي لواحد على n أس تلاتة على اتنين من n
equal one to infinity converged P series السبب
becauseإن P تساوي 3 على 2 أكبر من الواحدة صحيحة
إذا ما قلتش converge و سكت جيبهم ما هو السبب في
انها converge ل P سيرس مدام هيك بروف أقوله باي ذا
سؤال اثنينبيقول لنمرى 2 summation من n equal one
to infinity لان اتنين زائد cosine ال N على الجدرى
التربية إلى N زائد تمانية
برضه بدي اشوف ال series هذي converge و لا diverge
بدي اخد الحد النوني اتنين زائد cosine ال N على
الجدرى التربية ل N زائد تمانى خلوا ذلك كويس بدي
اشوف مين اللي بدي اتحكم في سلوك هذه ال series
بعدين بطلع ال cosineأقصى قيمة بياخدها كده؟ واثنين،
إذا أقصى قيمة بياخدها الـBus هو تلاتة، بدأجي
للـBus نفسه أقل قيمة بياخدها الـCos كده؟ سالب واحد
واثنين، إذا الـBus محصور بين واحد وتلاتة دايما،
يعني يا عدد، يبقى قصتنا سهلة، بلنيجي على المقام،
من عند الـM، لا واحد، لا Infinityكل ما تكبر الان
من يتحكم التمانية والله ان يبقى تمانية مع السلم
نعتبرها مش موجودة بضل الرقم والله واحد على جذر
الان يعني واحد على ان قص نص
يبقى هذه اكبر من اه ال bus بده شغل و المقام بده
شغل تشتغلش في اتنين مع بعض يبقى نشتغل في ال bus
لغاية ما نوصل لحد معين خلصنا بروح أشتغل في المقام
او نشتغل في المقام في الأول ماعنا مشكلة بجبه و لو
حبيت أشتغل في ال bus من الأول يبقى المقام بدي
أخليه زي ما هو N زائد تمانية بده هذه احنا قولنا
أقصى قيمة بياخدها ال bus قداشروأقل قيمة إذا أقول
أكبر من تلاتةسيبقى هذا
أكبر من واحد وقد يساويه يبقى أكبر من واحد وقد
يساويه وبالتالي يبقى
بيكون خلصنا من قصة البصل السؤال هو هل هناك من
تساوي هنا؟أه ممكن ممكن الكثير يساوي السالب واحد
واتنين إذا بحط أكبر من أو يساوي ماشي أكبر من بضل
ماشي أكبر من واحد على جذر ال N صح هيك؟ صح مظبوط؟
طبعا؟ لا مش طبعا، مش صحيح، هذا مقامه أكبر، إذا هذا
أقل، مشيت أكبر، بدك تظلك ماشي أكبر، مش على كيفك،
تشبل بزوم ما بدك، مشيت أكبر، بدك تظلك أكبر، لما
تخلص الجثة هذه بالمرة تماما، كويس؟ يبقى باجي،
بقوله، بدي أحطها N زائد 9 صح، والله غلط، صح، بس
حلت المشكلة؟زاد عشرة، زاد أحد عشر، زاد مية، بالفعل
بدك تكتبها بدلالة المتغير اللي عندك تقدر تجمعهم مع
بعض يبقى زائد تمانية Nسؤال هو ممكن الاتنين هدول
يتساوى و لو مرة واحدة في التاريخ؟ بالمرة بتساووش؟
هدى N تساوي واحد تبع ال summation حط N بواحد بصير
هدى، إذا قد يتساوية، تمام؟ يبقى هدى بدها تساوي
واحد على N زائد تمانية Nتسعة ان التسعة تقلع من تحت
الجدر وبظل جدر الان اللي هو الان اص نص بقوله
بطولكن تلت summation لواحد على ان اص نص من ان
equal one to infinityالتلتة بيبثر على
الconvergence والdivergence؟ ما ليش علاقة، طيب يا
دي مالها؟ Divergence P Series السبب؟بسبب ان P
تساوي نص و النص أقل من الواحد الصحيح مدام دايفير
يبقى لي أكبر منها دايفير فبروح بقوله by the
comparison test the series summation للي اتنين
سؤال التالتيبقى و الله كويس هذا لا بلزمني أكامل
ولا positive ولا continuous ولا decreasing يبقى
بحط النتيجة على طول الخط سؤال التالت summation من
N equal to infinity لل N زائد 2 على N تربيع ناقص
ال N
مديني سؤال زي هيك و بدى امشي بنفس التفكير السابق
يمجي باجي بقول الحد انوني N زائدي اتنين على N
تربيع ناقص Nطبعا الكبير هنا هو N، اعتبر ال N مش
موجود، الكبير هنا N تربية، اعتبر ال N هذا مش
موجود، ابقى ال N علىيعني واحد على N لومين Diverge
Harmonic Series صح ولا لأ؟ summation على واحد عنه
Diverge Harmonic Series المدافع Diverge ما بده
يمشي أكبر من ولا أقل يبقى greater than N على N
تربية نقص N مظبوط هيك المقام هو نفسهو ال bus أكبر
من ال bus هذا بمقدار اتنين صح؟ طيب هذا أكبر من N
على N تربية صح كلامك ذاك؟ لأ طب ما هو الصح؟ صح صح
صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح
صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح
صح صبطال فنسترجع طب و احنا موافقين الرقم هذا
انتباهي لما تطرح منه بيصغر وبالتالي الكثر بيكبر
يبقى فعلا الكثر بقى بس لو كانت هذه زائد فالكلام
غلطيبقى فعلا هذي أكبر من هذي هذي تساوي كتير واحد
على ان بقول بط ولكن summation واحد على ان هي
diverse harmonic series by the comparison test
السؤال الرابع
من N equal one to infinity لعشرة N plus one عشرة N
plus one على N في N زائد واحد في N زائد اتنين
بارضه بدي اخد الحد النوني هي عشرة N زائد واحد على
N في N زائد واحد في N زائد اتنين وبدي اشوف حالي
بدي امشي اقل من ولا اكبر منأظن الباص لو شيلنا
العشر لو شيلنا الواحد مش مشكلة لا أثرش عندي يبقى
بقى عندي في الباص قداش ان هنا بدي أشيل اتنين
والواحد بيصيري بيصيري عندي في المقام انت كده في
الباص ان بقى الواحد اللي هي مينConvert يبقى بدم
شمال أقل من تمام التمام يبقى هذه أقل من عشرة N
زائد واحد على N في N في N مفجئين هيك؟ و ليش البصر؟
القرآن نزل من السماية يا ابني لجابله اشتغال موظف
مراعب يشتغل في المقاموين ما بدك تشتغل اشتغل فى
البصمة مقام بس بحيث يكون شغلك صحيح تمام؟ يبقى
ميمنوش مين ابدا فى البصمة اللى فى المقام بهم الشغل
يكون صحيح طيب المرة انا اشتغل فى المقام هذا مقامه
اكبر اذا الكثر هذا كله اقل من مين؟ من الكثر اللى
عندنا طيبهذا أقل من، مين؟ هذا كله انت كيف؟ وهذا
عشرة ان، صحيح؟
غلط، البصة ده أكبر من البصة ده، إذا لا يمكن الكثر
يكون أقل، يبقى كلام خطأ، بنخليه صح، بدل الواحد بحط
إيه؟ ثلاثةاربع مالحلتش المشكلة بيبقى حط بدلال تمين
المتغير اللي عندى عشان اقدر اجمعهم مع بعض و اتخلص
المثل ابتبعتنا يبقى عشرة N زائد N ال summation بدأ
من هنا شبابيبقى عند ال into سواء واحد هدول بيسووا
بعض صح ولا لا؟ إذا هذا بقول أقل من و قد يساوي يبقى
هذا بيصير 11 N على N تكيب يبقى 11 على N تربيع
بقوله بطوى لكن 11 summation 1 على N تربيعمن n
equal one to infinity converge P series because ال
P يساوي اتنين اللي هو اكبر من الواحد الصحيح by the
comparison test the series اللي هي summationمن N
equal one to infinity لعشرة N plus one على N في N
plus one N plus two converge كذلك حتى
لو يكون الأسئلة بسيطة أو مباشرة نبدأ نخفف شوية و
لا نتجل شويةخفف وانتقل وانت تحكم لوحدك summation
من n equal one to infinity لجذر ال n على اتنين
زائد لن ال n بدنا
ناخد الحد اللوني يبقى هذا جذر ال n على اتنين زائد
لن ال n وبدأ افكركيف بدي أمشي؟ بقول لو شيلنا اتنين
بقى ال search عندي، تمام؟ يبقى ضال عندي جذر ال N
على لن ال N، في اختصارات، فيش اختصارات، لكن لو
استبدلت لن ال N بأقرب رقم موجود عندي، اللي هو 2ان
نفسه صح ولا لأ ان هو اقرب شغل عندي لان الان يمكن
من خلالها نحل مشكلتنا هذه فبعدين بقول لو شلت اتنين
و حطيت مكان الان ان انبصير N أُص نُص على N يعني
واحد على N أُص نُص، diverge ولا convert؟ diverge
مع ال diverge بدأ ماشي مين؟ أكبر من يبقى هذا صار
صعب شوية مش زي اللي جابله، يحتاج إلى تفكير أكثر
وعمق أكثر، طب واحد يقولي طب لو حطيت N تربيع، بقوله
مين اللي أجرب على لن ال N؟ هي ال N والله N تربيع
لأن أقرب إذا انتصرت تفكيره تفكير ماله خاطق وبعيد
عنه يعني إذا ما ضبطتش ال N بروح لل N تربية اللي
بقول عليها هذه يعني إذا فشت القصة باستبدال لن ال N
ب N بروح ل N تربية هذه إذا بقدر أقول هذه أكبر من
جذر ال N على 2 زائد N صحيح يا شباب؟
السؤال هو ممكن
يحدث تساوي فيما بينهما؟يحصل تساوي؟ انسى الموضوع
على الإطلاق لإن العدد عظمه هيساوي العدد يبقى فيش
إمكانية بقوله كويس مشيت أكبر منه بدك تكمل أكبر منه
هدى N أص نص وعلى M مظبوط
هك؟ شيلت اتنين يعني بسغالب لأن هذا مقامه أكبر يبقى
أقل، ماشيت أكبر بدك تبقى ماشي أكبر بسيطة، باجي
اتنين هذه و بكتب هاتنين انيبقى هدول ممكن يتساوي
وين عند الواحد غير ايه اكبر منه اذا هذا greater
than or equal تمام؟ يبقى هذا الكلام بدي يتساوي N
أص نص على تلاتة N يعني واحد على تلاتة N أص نص
بقوله but ولكن
السبب ان P تساوي نص و نص معناه اقل من واحد الصحيح
by the comparison test
الهمين summation لل square root لل N على اتنين زاد
ان ال N من N equal one to infinity مالها diverge
اخر
سؤالبس لشانه سهل يعني و صغير مانعش نكبره عليكم
يبقى ستة summation من n equal one to infinity لإن
ال n plus one على n plus one
بدي أخد الحد إنوني لإن n plus one على n plus one
وبدي افكر كيف بدي اقارن بقول لو الواحد مش موجود
هذا بضل ان الان علي ان صح ولا لا اضرب واحد عليهم
واحد علي ان صح؟ واحد علي ان طيبين إذا بدنا نمشي
مين؟ أكبر من طيب هل هذا أكبر من واحد علي ان زي
واحد؟
هذا أكبر من هذا، من عند الواحد فمع فوق، طب خُط اني
بواحد، بصير جدويا، اشلمني اتنينلن اتنين اقل من
واحد لأن لن ال E بواحد له اتنين والسبعة من عشر
يبدو مش صحيح بلاش ينقص اول حد يا اخي شو بيصير؟ ده
يبدو ان عندنا M تساوي قداش نعم يبقى صين لن تلاتة
فعلا اكبر من واحد صحيح اذا هذا اكبر من واحدة for
all ان اللي greater than or equal to three يعني
معناته اهملتي الحد الأول من حدود ال seriesطيب هل
هذا .. اتنين صح من عند اتنين مظهر صحيح لإن أحب دي
من عند الواحد طيب أليس هذا أكبر من واحد على N لا
بلى ولا حاجة بلى يبعد عن جلدكيبقى هنا بقول زائد N
تمام؟ يبقى واحد على اتنين N هلحين أجي البلة؟
توجعنا في الأول في البلة هلحين البلة تحتك، كده
اللي بتحكي عليها يبقى صار عنا مين؟ summation اللي
هو مين؟ لمص واحد على N من N equal one to infinity
by their harmonic
يبقى باجي بقوله buy the comparison test the series
Low summation من N equal one to infinity لإن ال N
زائد واحد على N زائد واحد Diverge وانتهينا من
المثلة لازلنا في نفس ال section و لازالت هناك
العديد من الأمثلة على ال comparison ثم ال limit
comparison للمرة القادمة ان شاء الله