موسيقى
بسم الله الرحمن الرحيم نكمل ما ابتدأنا به في
المرة الماضية وهو الاختبار الثاني بالاختبارات من
خلال أبلغكم على series هل هي converge أو diverge
طبعا أخذنا المرة الماضية ال integral test ونصه كان
عندنا ال series with positive terms بدي أشيل كل n
في الحد النوني في ال series وأحط بدل المتغير X يبقى
صارت عندنا function F of X هذه ال functions لو كانت
positive و continuous و decreasing يبقى تحققت
الشروط الثلاثة لكل N اللي أكبر من أو يساوي ال N حيث N
أي رقم صحيح تتحقق من عنده الشروط الثلاثة يبدأ
إذا تحققت الشروط الثلاثة بقدر استخدام ال test
integral ال test integral هو التكامل اللي بستخدمه
هو improper integral فإن كان ال improper integral
converge يبقى ال series converge وإن كان ال
improper integral diverge فإن ال series diverge
وأخذنا على ذلك ثلاثة أمثلة واليوم بنكمل هذه
الأمثلة يبقى جئنا للمثال رقم أربعة يبقى بدي أشيل كل
N وأحط مكانها X وأسمي ال function اللي عندنا ليه
من F of X يبقى ال F of X يساوي واحد على X في ln ال
X الكل تربيع
وأقارنها من عندي اثنين فما فوق، هل يتدل اللي عندنا
هذه positive و continuous و decreasing من عند
اثنين فصاعدا أو لا؟ تعال نشوف لو كانت X بـ 0 بصير
الدالة غير معرفة X برة لأنه لبادة من عنده اثنين لو
كانت X بواحد الدالة غير معرفة لبادة من عنده اثنين
يبقى ما لي علاقة لا بـ 0 ولا بالواحد إلي علاقة من
اثنين فصاعدا إذا من اثنين فصاعدا هذه قيم موجبة
اثنين الدالة معرفة تمام يبقى هذه positive
and continuous والمتصلة لكل ال X اللي أكبر من
أو يساوي اثنين تمام؟ يبقى إيه؟ صارت positive
continuous بقى يا عزيزي دوس ال decreasing قدامي
طريقين طريق الأول أشتق وهذا بلجأ له إن كان البسط
والمقام متغير لكن إن كان البسط مقدار ثابت ولا بد
أشتق ولا حاجة بعمل مقارنة ما بين الحد النوني اللي
هو واحد على n ln ال n الكل تربيع والحد النوني
زائد واحد وهو واحد على n زائد واحد ln ال n زائد
واحد الكل تربيع طبعا الأولاني هذا مقامه أقل مدام
مقامه أقل يبقى الكسر هذا ماله أكبر من الكسر هذا
يعني الحد النوني صار أكبر من الحد النوني زائد واحد يبقى
هذا ال series decreasing يبقى هذه الصارة الثانية ما
لها decreasing ما دام decreasing إذا ال function
هذه decreasing إذا تحققت الشروط الثلاثة إذا بقدر
استخدم ال integral من اثنين ل infinity لواحد على x
ln ال x الكل تربيع ضرب dx إذا بدل ما كنا بنشتغل
series هنشتغل تكامل الآن هذا improper integral من
النوع الأول نظرا لوجود ال infinity إذا ال limit
integration من اثنين لغاية B لما B tends to
infinity لمين؟ طلع لي هابة هيك واحد على X DX مشتقة
ln ال X يبقى هذا بقدر أكتب ال d ln ال X على ln ال
X الكل تربيع وكأنه احنا بدنا نكامل dy على y تربيع
يعني واحد على y تربيع dy طبعا يبقى سالب واحد على
y يعني سالب واحد على ln ال X لما B tends to
infinity اللي سالب واحد على ln ال X بالشكل لأن هذا
والكلام هذا من اثنين لغاية B هذا بده يساوي هذا ال
limit لما B tends to infinity و I السالب و بيجي
هنا واحد على ln ال B ناقص واحد على ln اثنين الآن
لما B تروح للما لا نهاية ln ما لا نهاية بماء
ما لا نهاية عدد على ما لا نهاية بيزير و بيظهر سالب سالب
بيصير موجب واحد على ln اثنين إذا يعطاني قيمة عددية
مدام يعطاني قيمة عددية ستتكامل من اثنين لإنفينيتي
لواحد على x ln x الكل تربيع dx converge ما دام
هو هذا ال Convergent بقوله By the integral test
باستخدام اختبار التكامل ال series الأصلية
Convergent هنا من المثال هذا طيب
السؤال الخامس سؤال الخامس بيقول لي summation من n
equal one to infinity لمن؟ ل e أس n واحد زائد e
أس اثنين n بنفس
الطريقة، بدنا ناخد ال F of X بدي يساوي e os x على 1
زائد e أوس 2x عمر البسط في والله المقام بياخد
قيمة موجبة يبقى دي positive على كل ال exponential
عمره بياخد قيمة موجبة إذا هذه موجبة بقى تمام في
مقام ممكن ياخد zero
معرفة for all x بلا استثناء يبقى اليسارات positive
and continuous
for
all x which is greater than or equal to one ظلت قصة
ال decreasing البسط متغير والمقام متغير ما لي
إلا أشتق إذا لو روحنا أخذنا f prime of x المقام في
مشتقة البسط ناقص البسط في مشتقة المقام كله على
مربع المقام الأصلي كله تربيع طيب نقدر نختصر هذا
المقدار ونشوف المقام كما هو واحد زائد e أس اثنين
ال x الكل تربيع هذا e أس x زائد e أس ثلاثة x ناقص
اثنين e أس ثلاثة x يبقى e أس x ناقص e أس ثلاثة x
واحد زائد e أس اثنين x الكل تربيع هندك e أوس ثلاثة x
بالموجب ونقص اثنين e أوس ثلاثة x بيظل نقص e أوس
ثلاثة x ممكن أكتب هذا بالشكل التالي واحد زائد e
أوس اثنين x الكل تربيع وهدي أخذ منها e أوس x عامل
مشترك بيظل واحد ناقص e أوس اثنين x بالشكل اللي
عندنا هذا طلع له هنا كويسة ال exponential هذه
موجبة، دائما وأبدا، هذا المقام كذلك معله موجب
دائما وأبدا، تمام؟ إذا المشكلة وين؟ أو اللي بدي
أحدد الإشارة المقدار بين القوسين احنا الصممش بدي
بينامنا من عند n تساوي واحد طب لو حطيت ال x هنا
بواحد بيصير واحد ناقص e تربيع والله سالبة
سالبة يبقى هذه أقل من ال zero لكل ال x اللي أكبر
من أو تساوي من الواحد هذا يعني أن ال function is
decreasing يبقى هنا هذا يعني ال F is decreasing لكل
ال x أكبر من أو تساوي من الواحد إذا تحققت الشروط
الثلاثة عندي في آن واحد مدام تحققت الشروط إذا بقدر
أخذ منهم تكامل من واحد إلى infinity ل e أس x واحد
زائد e أس اثنين x
يبقى اليمي التكامل من 1 الى B لما B tends to
infinity طلع لي كويس الآن ال e os x dx مشتقة ال
exponential بال exponential itself يبقى هذه بيصير
e e os x وهذه مشتقتها يبقى شيلت البسط هذا كله و
كتبته مشتقة ال e os المقام واحد زائد e os لكل تربيع
يبدأ احنا كأننا بنكامل dy على واحد زائد y تربيع انهم
إيه؟ tan inverse ممتاز يبقى هذا ال limit لما B
tends to infinity ل tan inverse e os
العوض بحدود التكامل يبقى limit لما B tends to
infinity ل tan inverse طبعا هنا حدود التكامل من 1
إلى B tan inverse e أُس B ناقص tan inverse e أُس 1
و ال limit للي اثنين يبقى هذا الكلام بالدرس يعني
ال e أُس infinity يعني اثنين وسبعة من عشر inverse
infinity ب infinity tan inverse infinity ب π على
اثنين هذا π على اثنين ناقص tan inverse e هذا كله
يعتبر إيه؟ رقما واحدة يبقى بناء عليه التكامل
converge يبقى هذا بده يعطينا تكامل من واحد إلى
infinity ل e os x واحد زائد e أس اثنين x dx converge
مدام converge بقوله by the integral test the series
وانتهينا من هذه المسألة
بنجي لمثال رقم ستة يبقى ستة summation من N equal
one to infinity ل cos square N ماذا
كريم وانحنسش والله كله كلام كله كلام طيب ما جهيك مش
قدمت فيه امتحان PGA قارة ونجحت فيه؟ طيب على أي
حال لو حبيت بس أذكر تذكير بمنحنى السش هذا X هذا Y
هذا نقطة الأصل منحنى السش بيجي هيك ومن هنا بنزل و
بيجي هيك تمام؟ يبقى هذا بيجي بالشكل هذا، هذا zero
وهذا واحد صحيح، تمام؟ يعني إيش؟ أعلى الـ X-axis
السش الـ X دائماً وأبداً موجب ليش؟ لأن اثنين على E
والسكس زائد E اثناء السكس، المقام موجب والبسط موجب،
فأنا موجب، أو لما أربعها بصير سالب؟ بتظلها موجبة،
بيبقى هذه موجبة دائماً وأبداً طيب فيها
discontinuity على كل الـ real line معرفة، أنا بدي
كل الـ real line، بدي بس من عند الواحد والواحد هي
الواحد وطيب يطلع من هنا يعني بدي الجزء هذا من الـ
function يبقى positive و continuous لأن السش كلها
continuous أصلاً تمام و decreasing هذا السش مش السش
square لكن أنا بدافع فعلاً أن السش square كمان
decreasing يبقى باجي بقول هنا اللي هو f of x يساوي
سيش square X is positive and continuous والله هاه
مش لحظة أحد يقول كيف جبت هذه يبقى سيش square X
اللي هي عبارة عن اثنين على EOS6 زائد EOS ناقص X
الكل تربيع هالها is positive
and continuous for all x أكبر من أو تساوي من الواحد
ظلت قصة الـ decreasing يبقى بعدي بشتقها الـ f prime
of x يساوي اثنين في سيش الـ x في تفاضل سيش الـ x له
كده؟ سالب سيش تانش يبقى سالب سيش الـ X في تانش الـ X
يعني سالب 2 سيش square X تانش الـ X هدول إذا طلعوا
كلهم بالموجبة ومسبقين بإشارة سالب يبقى كلها بصير
أقل من الـ zero decreasing طلعني لهذه عمرها بتاخد
قيمة سالبة حتى لو كانت سالبة لما أتربعها بالصغير
يبقى هذه positive دائماً وأبداً نجي لـ تانش لو رجعنا
لمنحنى التانش يبقى هذا محور X هذا محور Y هذا الـ
Zero لو جيت للخط اللي عندي هذا اللي هو واحد والخط
هذا اللي عندنا له مين سالف واحد ورسمنا منحنى
التانش بالشكل اللي عندنا هذا احنا من عند الواحد
جينا طالعين يبقى من عند النقطة هذه وتعال على
اليمين عمره بياخد قيمة سالبة يبقى I أعلى الـ X X
دائماً موجبة يبقى كمان هذا positive إن ضربته في سالب يبقى
أقل من الـ zero لكل الـ X اللي أكبر من أو تساوي واحد
يبقى هنا السؤال F is decreasing لكل الـ X اللي
أكبر من أو تساوي الواحد إذا تحققت الشروط الثلاثة
بقدر أستخدم الـ test integral تكامل من 1 إلى
infinity لسيش square x dx and proper integral من
النوع الأول integration من 1 إلى b لما b tends to
infinity لسيش square x dx يبقى limit لما b tends
to infinity الآخر السؤال كيف بدنا نكامل سيش سكوير
هذه؟ ولا
بده أرجع ولا بده أحول، تفضل وتنش بسش سكوير يعني،
بداش تفكير، يبقى هادر، تانش الأكس من واحد لغاية
اللي لسه بده يحول ويبدل ويغيره، هذه خربانة بالمرة
المصلعة يبقى هذا الـ limit لما بي بدها تروح إلى
infinity ل tan shall be ناقص tan shall one هذا اللي
بيبقى كده لما بي بدها تروح للمال لنهاية الدولة
بتروح لوين؟ بايتن برضه؟
هذا بيعني ورحمة أنت ويه يعني شايفين الرسم اللي
قدامك هذا؟ يبقى واحد، يبقى هذا ويستوي واحد ناقص
تانش الواحد، تمام؟ لحد هنا تمام يبقى هذا رقم واحد
ماعجبوش قال لي بدي أطلع تانش الواحد قلنا له كيف؟
راح قال لي هذا واحد ناقص وراح قال لي يوس واحد ناقص
يوس ناقص واحد عليوس واحد زائد يوس ناقص واحد قلنا له
هذه والله هو عدد بضل في الآخر تحسبي براحتك يبقى
كله عدد ما دام عدد يبقى تكامل convert يبقى لنا سا
تكامل من واحد إلى infinity لسيش square x dx ما له
convert ما دام convert بقوله by the integral test
the series
ننتهينا من المثال وبانتهائنا من المثال ننتهي من
التمرين يبقى وصلنا إلى exercises عشرة ثلاثة يبقى
exercises عشرة ثلاثة المسائل التالية من واحد لغاية
واحد وأربعين القدر بنضيف عليهم خمسة
وخمسين وستة وخمسين وثمانية وخمسين
بنروح لـ section ثمانية أربعة عشر أربعة ولا يهم
خلاصنا من عشرة ثلاثة لعشرة أربعة نقول لكم comparison
tests اختبارات
المقارنة هذا الـ section يحتوي على اختبارين الـ
Comparison Test والـ Limit Comparison Test زي ما
أخذنا في الـ Improper Integrals اللي هو الـ
Comparison Test والـ Limit Comparison Test هنا
هناخدهم على الـ Series زي ما أخذنا هناك على مين
على التكامل يبقى بينا نيجي للاختبار الأول في هذا
اليوم نتعرض له المحاضرة القادمة نتعرض للاختبار
الثاني يبقى بدنا نجي اللي هو الـ comparison test
اختبار المقارنة نص على ما يأتي let summation على a
n و summation على c n and summation على d n ب
فهي سيريزة مع حدود غير سالبة غير
أقل حدود افترض أنه
for some integer n
integer capital M الـ D N أقل من أو يساوي الـ A N
أقل من أو يساوي الـ C N for all N اللي أكبر من أو
تساوي N نمرة أي
F
Summation على CN Converge
لو كانت summation على CN Converge then summation
على AN also converge نمرة
بيه F Summation على DN Diverse Diverge then
Summation على AN also Diverse Examples
Test
أول سيريز من هذه السيريز ناملة واحدة Summation from
n equal one to infinity to cosine of square root
of n divided by n plus three divided by two بقول
مرة ثانية في هذا الـ section ناخد اختبارين لما ناخد
اختبارين ممكن نخلص نجداش أربع اختبارات الاختبار
الأول هو الـ comparison test و الـ limit comparison
test خلينا المحاضرة القادمة إن شاء الله بيقول
اختبار ما يأتي افترض أن عندك ثلاثة series An وCn
وDn كل حدودهم ليست سالبة Series with non negative
terms افترض for some integer in Dn أقل من أو يساوي
An أقل من أو يساوي CN لكل الـ N اللي أكبر من أو
يساوي الـ N إيش يعني قصده؟ خليك معه احنا عندنا
ثلاثة series جيت من عندها N تساوي واحد لجيت فعلاً
أن الـ D واحد أقل من A واحد بس الـ A واحد مش أقل من
C واحد يابي يقول الـ واحد صف على شجرة باخد الـ N
باتنين جيت حطيت N باتنين لجيت D اثنين أقل من A2 لكن
A2 ماهياش أقل من C2 بلينكولاتي غير محققة صفعة شجرة
روحت لـ N تساوي ثلاثة نفس الموضوع صفعة شجرة N أربعة
نفس الموضوع عند N تساوي خمسة مثلاً لقيت فعلاً D خمسة
أقل من A خمسة أقل من C خمسة وخدها ستة وسبعة و
ثمانية إلى ما لا نهاية كله صحيح، يبقى باجي على
أربعة أول حدود وبقولهم ما ع السلام ما بتلزمونيش
تلزمونيش ما احنا خدنا في الـ section الماضي أنه شطب
عدد اللي جابله شطب عدد محدود من حدود الـ series أو
إضافته لا بيغير من وضع الـ convergence ولا بيغير من
وضع الـ divergence تمام؟ بقول لك يا سيبجي بدي أبدأ من
وين ده in capital مين in capital؟ لخمسة فمع فوق
أيوة فباجي بقول والله إذا كان summation على cin
converted باجي بطلع من cin
السؤال هو هل اختلف الـ comparison test تبع الـ
series عن الـ comparison test تبع الـ improper
integral؟ اختلفت في نهاية الصيغة هو هو بس بدل
التكامل حطينا series إذا لم يتغير شيء بالنسبة لكم
comparison test واضح كلامي؟ طيب حد بدي أسأل أي
سؤال؟ أيوة تفضل
بقول لو كانت CNN هادي باي باي، إيش رأيك فيها؟ إن
والله دي اللي أصغر منها، والله بني عارف، يمكن تكون
converge ويمكن تكون diverge ليه احتماليا الورداد؟ لا
أستطيع الجزم بذلك، يعني بالبلد هيك بينه وبينك،
بنقول فشل اختبار المقارنة في الحكم على ال series
هل هي converge أو diverge ما في حاجة بدو يسأل تاني طيب
نبدأ نطبق هذا الاختبار على أسئلة عديدة السؤال
الأول بقول ال summation من n equal one to infinity
ل cos n على n أس تلاتة على اتنين لحظة
النقطة الأولى صارت علاقة بين two series النقطة
التانية علاقة بين two series طب هو في المثال
مايعطانيش إلا series واحدة يبقى أنت بدك تروح تخلق
series تانية من المسألة اللي عندك و ال series
المخلقة بدك تكون عارف هل هي converge أو diverge
تمام؟ اه يعني أنا من هنا من ال series هذه بدي اروح
أطلع series تانية و ال series التانية بدي أكون عارف
converge أو diverge كيف بدي أطلعها شغل في ذاك أنت
بعدين أنا بفكر هو ال cosine تقريبا محصلة بين مين
ومين هذا فإن الصفر والواحد يبدو هاد رقم مش هيأثر
عندي على وضع مين على وضع ال series إذا اللي بدي
أتحكم في ال series واحد على n أس تلاتة على اتنين
طب سؤال هو واحد على n أس تلاتة على اتنين converge
ولا diverge؟
مع ال converge بدي امشي أقل من ومع ال diverge بدي
امشي من زي ال M proper integral بالضبط تماما إذا
باجي لحد انوني اللي عندك و cos تربيع ال n على n أس
تلاتة على اتنين أجل وهي ال n أس تلاتة على اتنين
قداش أكبر قيمة بياخدها cos تربيع واحد يبقى
دايما وأبدا أقل من وقد يساوي واحد، مظبوط هيك؟
يبقى هذا دايما وأبدا كل حياته أقل منها، طب هاد ال
converge، هذا اللي أجل منها converge تبقى للنقطة
الأولى يعني إذا الكبيرة هذي converged يبقى اللي
أصغر منها converged من باب أولى بروح بقولش but
ولكن بمشي لواحد على n أس تلاتة على اتنين من n
equal one to infinity converged P series السبب
because إن p تساوي 3 على 2 أكبر من الواحدة صحيحة
إذا ما قلتش converge وسكت جيبهم ما هو السبب في
أنها converge ل P series مدام هيك بروف أقوله by the
سؤال اثنين بيقول لنمرى 2 summation من n equal one
to infinity ل 2 زائد cos n على الجذر
التربيعي ل n زائد 8
برضه بدي اشوف ال series هذي converge ولا diverge
بدي اخذ الحد النوني 2 زائد cos n على
الجذر التربيعي ل n زائد 8 خلوا ذلك كويس بدي
اشوف مين اللي بدي اتحكم في سلوك هذه ال series
بعدين بطلع ال cos أقصى قيمة بياخدها كده؟ 1 و 2،
إذا أقصى قيمة بياخدها ال cos هو 3، بدأجي
لل cos نفسه أقل قيمة بياخدها ال cos كده؟ -1
و 2، إذا ال cos محصور بين 1 و 3 دايما،
يعني يا عدد، يبقى قصتنا سهلة، بلنيجي على المقام،
من عند ال n، لا 1، لا infinity كل ما تكبر ال n
من يتحكم ال 8 والله إن يبقى 8 مع السلم
نعتبرها مش موجودة بضل الرقم والله 1 على جذر
ال n يعني 1 على n أس نص
يبقى هذه أكبر من اه ال cos بده شغل والمقام بده
شغل ما تشتغلش في اتنين مع بعض يبقى نشتغل في ال cos
لغاية ما نوصل لحد معين خلصنا بروح أشتغل في المقام
أو نشتغل في المقام في الأول ما عندنا مشكلة بجيبها ولو
حبيت أشتغل في ال cos من الأول يبقى المقام بدي
أخليه زي ما هو n زائد 8 بده هذه احنا قلنا
أقصى قيمة بياخدها ال cos قداش وأقل قيمة إذا أقول
أكبر من 3 يبقى هذا
أكبر من 1 وقد يساويه يبقى أكبر من 1 وقد
يساويه وبالتالي يبقى
بيكون خلصنا من قصة ال cos السؤال هو هل هناك من
تساوي هنا؟ اه ممكن ممكن الكثير يساوي ال -1
و 2 إذا بحط أكبر من أو يساوي ماشي أكبر من بضل
ماشي أكبر من 1 على جذر ال n صح هيك؟ صح مظبوط؟
طبعا؟ لا مش طبعا، مش صحيح، هذا مقامه أكبر، إذا هذا
أقل، مشيت أكبر، بدك تظلك ماشي أكبر، مش على كيفك،
تشبل بزوم ما بدك، مشيت أكبر، بدك تظلك أكبر، لما
تخلص الجثة هذه بالمرة تماما، كويس؟ يبقى باجي،
بقوله، بدي أحطها n زائد 9 صح، والله غلط، صح، بس
حلت المشكلة؟ زاد 10، زاد 11، زاد 100، بالفعل
بدك تكتبها بدلالة المتغير اللي عندك تقدر تجمعهم مع
بعض يبقى زائد 8 n سؤال هو ممكن الاتنين هدول
يتساوى ولو مرة واحدة في التاريخ؟ بالمرة بتساووش؟
هدى n تساوي 1 تبع ال summation حط n ب 1 بصير
هدى، إذا قد يتساويا، تمام؟ يبقى هدى بدها تساوي
1 على n زائد 8 n تسعة إن التسعة تقلع من تحت
الجذر وبضل جذر ال n اللي هو ال n أس نص بقوله
بطولها 3 summation ل 1 على n أس نص من n
equal one to infinity ال 3 بيبثر على
ال convergence وال divergence؟ ما ليش علاقة، طيب يا
دي مالها؟ divergence P series السبب؟ بسبب أن p
تساوي نص ونص أقل من الواحد الصحيح مدام diverge
يبقى اللي أكبر منها diverge فبروح بقوله by the
comparison test the series summation للي 2
سؤال التالت يبقى والله كويس هذا لا بلزمني أكامل
ولا positive ولا continuous ولا decreasing يبقى
بحط النتيجة على طول الخط سؤال التالت summation من
n equal to infinity لل n زائد 2 على n تربيع ناقص
ال n
مديني سؤال زي هيك وبدي امشي بنفس التفكير السابق
باجي بقول الحد النوني n زائد 2 على n
تربيع ناقص n طبعا الكبير هنا هو n، اعتبر ال n مش
موجود، الكبير هنا n تربيع، اعتبر ال n هذا مش
موجود، يبقى ال n على n تربيع يعني 1 على n لومين diverge
harmonic series صح ولا لأ؟ summation على 1 على n
diverge harmonic series المدافع diverge ما بده
يمشي أكبر من ولا أقل يبقى greater than n على n
تربيع ناقص n مظبوط هيك المقام هو نفسه و ال numerator أكبر
من ال numerator هذا بمقدار 2 صح؟ طيب هذا أكبر من n
على n تربيع صح كلامك ذاك؟ لأ طب ما هو الصح؟ صح صح
صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح
صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح
صح طب نسترجع طب واحنا موافقين الرقم هذا
انتباهي لما تطرح منه بيصغر وبالتالي ال numerator بيكبر
يبقى فعلا ال numerator بقى بس لو كانت هذه زائد فالكلام
غلط يبقى فعلا هذي أكبر من هذي هذي تساوي كتير 1
على n بقول بط ولكن summation 1 على n هي
diverge harmonic series by the comparison test
السؤال الرابع
من n equal one to infinity ل 10 n plus 1 10 n
plus 1 على n في n زائد 1 في n زائد 2
برضه بدي اخذ الحد النوني هي 10 n زائد 1 على
n في n زائد 1 في n زائد 2 وبدي اشوف حالي
بدي امشي أقل من ولا أكبر من أظن ال numerator لو شيلنا
العشرة لو شيلنا الواحد مش مشكلة لا أثرش عندي يبقى
بقى عندي في الباص قداش؟ إن هنا بدي أشيل اثنين
والواحد بيصيري بيصير عندي في المقام أنت كده في
الباص إن بقى الواحد اللي هي مين Convert يبقى بدم
شمال أقل من تمام التمام يبقى هذه أقل من عشرة N
زائد واحد على N في N في N مفجئين هيك؟ و ليش البصر؟
القرآن نزل من السماء يا ابني لجابله اشتغال موظف
مراهق يشتغل في المقاميين ما بدك تشتغل اشتغل في
البصمة مقام بس بحيث يكون شغلك صحيح تمام؟ يبقى
ميمنوش مين أبداً في البصمة اللي في المقام بهم الشغل
يكون صحيح طيب المرة أنا اشتغل في المقام هذا مقامه
أكبر إذا الكثر هذا كله أقل من مين؟ من الكثر اللي
عندنا طيب هذا أقل من مين؟ هذا كله أنت كيف؟ وهذا
عشرة N صحيح؟
غلط، البصمة ده أكبر من البصمة ده، إذا لا يمكن الكثر
يكون أقل، يبقى كلام خطأ، بنخليه صح، بدل الواحد بحط
إيه؟ ثلاثة أربعة ما حلتش المشكلة بيبقى حط بدل التامين
المتغير اللي عندي عشان أقدر أجمعهم مع بعض وأتخلص
من المثل ابتبعتنا يبقى عشرة N زائد N ال summation بدأ
من هنا شباب يبقى عند ال into سواء واحد هدول بيساووا
بعض صح ولا لا؟ إذا هذا بقول أقل من وقد يساوي يبقى
هذا بيصير 11 N على N تكعيب يبقى 11 على N تربيع
بقوله بطوى لكن 11 summation 1 على N تربيع من n
equal one to infinity converge P series because ال
P يساوي اثنين اللي هو أكبر من الواحد الصحيح by the
comparison test the series اللي هي summation من N
equal one to infinity لعشرة N زائد واحد على N في N
زائد واحد N زائد اثنين converge كذلك حتى
لو يكون الأسئلة بسيطة أو مباشرة نبدأ نخفف شوية ولا
نتجل شوية نخفف وانتقل وانت تحكم لوحدك summation
من n equal one to infinity لجذر ال n على اثنين
زائد ln ال n بدنا
ناخد الحد اللانهائي يبقى هذا جذر ال n على اثنين زائد
ln ال n وبدأ أفكركيف بدي أمشي؟ بقول لو شيلنا اثنين
بقى ال search عندي تمام؟ يبقى ضال عندي جذر ال N
على ln ال N في اختصارات؟ فيش اختصارات لكن لو
استبدلت ln ال N بأقرب رقم موجود عندي اللي هو 2n
نفسه صح ولا لأ إن هو أقرب شغل عندي لأن ال ln يمكن
من خلالها نحل مشكلتنا هذه فبعدين بقول لو شلت اثنين
وحطيت مكان ال n إن إن بصير N نصف على N يعني
واحد على N نصف diverge ولا converge؟ diverge
مع ال diverge بدأ ماشي مين؟ أكبر من يبقى هذا صار
صعب شوية مش زي اللي جابله يحتاج إلى تفكير أكثر
وعمق أكثر طب واحد يقولي طب لو حطيت N تربيع بقوله
مين اللي أجرب على ln ال N؟ هي ال N والله N تربيع
لأن أقرب إذا انتصرت تفكيره تفكير ما له خاطق وبعيد
عنه يعني إذا ما ضبطتش ال N بروح لل N تربيع اللي
بقول عليها هذه يعني إذا فشت القصة باستبدال ln ال N
ب N بروح ل N تربيع هذه إذا بقدر أقول هذه أكبر من
جذر ال N على 2 زائد N صحيح يا شباب؟
السؤال هو ممكن
يحدث تساوي فيما بينهما؟ يحصل تساوي؟ انسى الموضوع
على الإطلاق لأن العدد عظمه هيساوي العدد يبقى فيش
إمكانية بقوله كويس مشيت أكبر منه بدك تكمل أكبر منه
هدى N نصف وعلى M مظبوط
هك؟ شيلت اثنين يعني بسغالب لأن هذا مقامه أكبر يبقى
أقل، ماشيت أكبر بدك تبقى ماشي أكبر بسيطة باجي
اثنين هذه وبكتب هاتنين إن يبقى هدول ممكن يتساوي
وين عند الواحد غير إيه أكبر منه إذا هذا greater
than or equal تمام؟ يبقى هذا الكلام بدي يتساوي N
نصف على ثلاثة N يعني واحد على ثلاثة N نصف
بقوله but ولكن
السبب إن P تساوي نصف ونصف معناه أقل من واحد الصحيح
by the comparison test
الهمين summation لل square root لل N على اثنين زائد
ln ال N من N equal one to infinity مالها diverge
آخر
سؤال بس لشأنه سهل يعني وصغير ما نعش نكبره عليكم
يبقى ستة summation من n equal one to infinity لإن
ال n زائد واحد على n زائد واحد
بدي آخذ الحد اللانهائي لإن n زائد واحد على n زائد واحد
وبدي أفكر كيف بدي أقارن بقول لو الواحد مش موجود
هذا بضل إن ال n على n صح ولا لا اضرب واحد عليهم
واحد على n صح؟ واحد على n طيبين إذا بدنا نمشي
مين؟ أكبر من طيب هل هذا أكبر من واحد على n زي
واحد؟
هذا أكبر من هذا من عند الواحد فمع فوق طب خُط إنّي
بواحد بصير جدويا أشيلني اثنين ln اثنين أقل من
واحد لأن ln ال E بواحد له اثنين والسبعة من عشر
يبدو مش صحيح بلاش ينقص أول حد يا أخي شو بيصير؟ ده
يبدو إن عندنا n تساوي قداش؟ نعم يبقى صين ln ثلاثة
فعلاً أكبر من واحد صحيح إذا هذا أكبر من واحدة for
all n اللي greater than or equal to three يعني
معناته أهملتي الحد الأول من حدود ال series طيب هل
هذا اثنين صح من عند اثنين مظهر صحيح لأن أحب دي
من عند الواحد طيب أليس هذا أكبر من واحد على N لا
بلى ولا حاجة بلى يبعد عن جلدك يبقى هنا بقول زائد N
تمام؟ يبقى واحد على اثنين N هلحين أجي البلة؟
توجعنا في الأول في البلة هلحين البلة تحتك كده
اللي بتحكي عليها يبقى صار عنا مين؟ summation اللي
هو مين؟ لمص واحد على N من N equal one to infinity
by their harmonic
يبقى باجي بقوله buy the comparison test the series
Low summation من N equal one to infinity لإن ال N
زائد واحد على N زائد واحد diverge وانتهينا من
المثلة لازلنا في نفس ال section ولازالت هناك
العديد من الأمثلة على ال comparison ثم ال limit
comparison للمرة القادمة إن شاء الله