بسم الله الرحمن الرحيم هذه هي المحاضرة التاسعة
مساق رياضيات مفاصلة لطلبات الجامعة الإسلامية قسم
الحوثف المتنقلة كلي التكنولوجيا المعلومات اليوم
هيكون الحديث عن اللي هو طرق البرهان الرياضيهنحكي
طبعا هو نزيج من chapter 5 و باقي chapter 1-7
section 1-7 في chapter الأول اللي هو proof
techniques and mathematical induction اللي هي طرق
البرهان و اللي هي الاستقرار الرياضي الان في بعض
الحقائق بس حابين نذكرها على السريع عسى انه تلزمنا
بعد شويةThe product of the non-zero real numbers
is non-zero يعني لو ضربنا عددين حقيقية و لا واحد
فين صفر أكيد هيطلع مش صفار The square of non-zero
real numbers is a positive real number اللي هو لو
كان عندي a real number بيكون a تربيع اللي هو
positive real numberالأن الـ even integer is of
the form 2k لأن لو كان عندي اللي هو عدد زوجي بنقدر
نكتبه على صورة 2k for some k element in and يعني
هذه صورة العدد الزوجي أما العدد الفردي the odd
integer is on the form 2k زائد 1 for some k
element in andحاصل ضرب two even integers is even
وحاصل ضرب two odd integers is odd a real number is
a rational number if it is a common fraction that
is on the form M على N of integers M and N و N لا
تساوي سفر يعني بيقولي العدد النسبي هو العدد اللي
بنقدر نكتبه على صورة M على N حيث و M و N عدد صحيحة
الأن لا يساوي سفر a prime طبعا احنا اعرفناه هو
عبارة عن positive integer بي أكبر من واحد اللي
بيكسب بس على اللي هو الواحد والبي وطبعا هيكسب على
السالب واحد والسالب بيالأن البرهان النظريات أو
اللي هي الأنواع البرهين اللي هي فيه أنواع للبرهين
اليوم بدنا نحكي عن واحد منهم اسمه الـ Direct Proof
أو البرهان المباشر إذا اليوم بس هنحكي عن البرهان
المباشر اللي هي بذكركم في اللي هو ال implication
لما أخدنا ال implication بـ implies a Qقلنا هذه
اللي هي لو بدنا عشان نثبت صحتها لو كانت بيه صحيحة
عشان نثبت صحة الجملة كلها بيه implies q لازم نثبت
ان q إيه شمالها صحيحة إذا ال direct proof هنا
بعتمد على ماذا؟ بعتمد على إنه لو نفترض صحة بيه و
بنبدأ اللي هو نستخدم اللي هواللي هي كل الحقائق
اللي معناها وكل اللي هي المعطيات اللي معناها لما
نصلّمين إلى صحة Q إذاً an implication B implies Q
can be proved by showing that if B is true then Q
is also trueإن ناخد مثال Give a direct proof of
the theorem if N is odd then N تربيع is odd لأن
عندي نظرية أو عندي سؤال أو عندي المثال اللي هو
بقول لي لو كانت N is odd اثبتلي أن N تربيع إيش
ماله is odd كيف بنثبت استخدام ال directive proof
بنيجي بنفترض assume that the hypothesis B of this
implication is true يعني بنفترض أن هذا صحيحوبنبدأ
نستخدم هذه الحقيقة وحقائق معروفة للوصول إلى أن
تربيع is odd then use the rules of inference and
non-theorems to show that the conclusion you must
be true اللي هو أن تربيع is oddيعني الآن بنفترض
صحة أن بنبدأ نستخدم هذه كمعطيات و بنستخدم اللي هو
أي حاجة احنا بنعرف أنها صحيحة و تم إثباتها في
إثبات أن تربيع إيه شماله is odd الان ناخد ناخد
نشوف نبرهن نبرهن هذا السؤال assume that n is odd
إيش معناة n is odd يا جماعة هذا الان مثال على ال
direct proof زي ما قلنا assume that n is oddاللي
هو يعني and then and can be written as يعني and
يمكن كتبتها على صورة اتنين كزائد واحد حيث وk is
and إيش integer ال and أنا بدي مين بدي and تربيع
نتبتها إذا ال and تربيع consequently ال and تربيع
إيش هتساوي هذا المقدار لكل تربيع اتنين كزائد واحد
لكل تربيعالان باجي بربع هذا الطرف بطلع عندى هو 4k
تربيع زي 4k زي 1 تعرفوا تربعوها مربع الأول زي مربع
الثاني زي الأول في الثاني في اتنين الان هذا الرقم
اللى عندى انا بدأ اكتبه على اثبات النقودطب كيف
بتبتد نقود؟ خد للأربعة من هدولة عامل مشترك أو
اتنين عامل مشترك بيصير عند اتنين في اتنين كتر
تربيع زي اتنين K زائد واحد هذا عبارة عن عدد صحيح
لأن K صحيح و هذا K صحيح يعني بقدر اسم هذا العدد كل
ام بيصير عبارة عن اتنين ام زائد واحدصار عندى العدد
هذا انكتب اللى هو الان تربيع على صورة اتنين ام
زائد واحد حيث ام هو هذا العدد اتنين ان التربيع
زائد اتنين is an integer يعني اجدرت الان تربيع
اكتب على صورة اتنين ام زائد واحد معناته انه اثبتت
انه لما كانت unod اذا طلعت عندى الان تربيع can be
written in this form it is odd هذا هو مثال على
البرهان المباشرمثال آخر عن البرهان المباشر بقول
show that the product of two rational numbers is a
rational number بدنا نثبت أن حاصل ضرب two rational
numbers أشمل يا جماعة is a rational number بدنا
نبرهن البرهان كما يلي assume that M و N are
rational numbers يعني بنفترض أن عندي في two
rational numbers S1 اسمه M و S1 اسمه Nمدام M
ريشونال نمبر إذا M ممكن كتابته على صورة ألف على با
حيث ال با لا يساوي سفره الألف والبا أو ال إيه
والبي عبارة عن أعداد صحيحة Similarly بنفس الأسلوب
ال N ريشونال نمبر إذا N ممكن كتابته على صورة X على
Y يعني N ممكن كتابته على صورة X على Y حيثه برضه Y
لا تساوي سفره ال X أشماله والY أعداد صحيحةهدولة
rational numbers from the definition of rational
numbers الان مين بده هو اثبت انه the product of
two rational numbers is rational يعني بدنا نودي
دلان m في n و نثبتها انها روش rational so m في n
بسيطالـ M هي A على B والـ N هي X على Y الـ N هذا
بص تضربه في البص بيصير A في X والمقام في المقام
بيصير على B في Y إذا صار عند الرقم M في N عبارة عن
A في X عبارة عن Integer لأن هذا Integer وهذا
Integerو B في Y انتجر لأن هذا انتجر وهذا انتجر
وحاصل درب زي ما قلنا في الملاحظة الأولى مش هيكون
صفر لأنه ولا واحد فيه صفر إذا صارت M في N مكتوبة
على صورة انتجر على انتجر والانتجر اللي تحت مش صفر
إذا ال M في N عبارة عن rational number يعني الآن
صار ال product of two rational numbers is also a
rational number وهذا أيضا مثال آخرعلى اللي هو الـ
Direct Proof أو على البران المباشر الـ Direct
Proof More Examples اللي هو أمثلة أخرى على الـ
Direct Proof هتلاقوها برضه سهلةشوف الآن show that
ال example تلاتة the sum of two odd integers is
even يعني بدنا نقول أنه نثبت أنه مجموع اتنين odd
integers هيكون أيش معله even انتجار كيف؟الان مدام
اللي هو الاتنين عندى odd إذا بدنا نسميهم let n
بتساوي اتنين k زائد واحد و m ايش بتساوي اتنين j
زائد واحد ب odd integers ماشي الحال طيب الان
مجموحا بدك تقول n زائد m ايش هيساوي؟2k و2j و1 زائد
واحد يعني هيصير عند ال N زائد M عبارة عن 2k زائد
2j زائد 2أذا الان خد الاتنين عامل مشترك فيهم بيصير
N زائد M اللي هو مجموح N زائد M بيساوي اتنين في
العامل المشترك K زائد J زائد 1 يعني ال N زائد M
كتبناه على صورة 2 زائد اللي هو اتنين M prime مثلا
اللي هو is even integer
مش مكتوب المثال لكن سهل و انا حكيته بالتفصيل لان
جرب اكتب ان زائد ام مجمحن و خد اتنين عن مشترك بطلع
ان زائد ام عن اتنينإذا عندي N زائد M زي ما قلنا 2K
زائد 1 زائد 2G زائد 1 اللي هو بسوء 2K زائد 2G زائد
2 أخدنا 2 عامل مشترك من هدولة كلهم وضل عندي K زائد
G زائد 1 وهذا عبارة عن اللي هو integer مضروف في 2
إذا صار ال N زائد M is even هذه اللي هو مثال آخر
على ال direct proofالان المثال الأخير على direct
proof if M and N are both perfect squares يعني
مربعات كاملة M و N ايش معناه مربع كامل يعني ال M
بنقدر نكتبه على صورة B تربيع او ال N بنقدر نكتبه
على صورة B تربيعبقول إذا n في m برضه is also a
perfect square ده نشوف الان الان بدنا نفترض أن ن
assume that m and n are perfect squares يعني m و n
عبارة عن مربعات كاملة إيش يعني؟ يعني m بنقدر نكتبه
على صورة S تربيع و n بتساوي عبارة عن T تربيع هدولة
معناته أن m و n مربعات كاملة حيث أسوة T element
تنزلإذا بدنا نثبت أن M في N برضه مربع كامل اضرب M
في N بصير S تربيع في T تربيع اللي هو عبارة عن S في
T في الكل تربيع أو اللي هو زي ما اعمل S في S في T
في T انتوا عارفينه هذا الكلام سهل S في T اللي هو
في S في T اللي هو عبارة عن S في T لكل تربيع يعني M
في N كتبناه على صورة ST لكل تربيع ST عبارة عن رقم
انتجار لأن هذا انتجار و هذا انتجاريعني MN كتبنا
على صورة integer تربيع أو بمعنى آخر MN is also a
perfect square هيك بيكون احنا اللي هو خلصنا الجزء
الأول اللي هو عبارة عن ال direct proof اللي هو أو
البرهان المباشر بدنا الآن نيجي إلى طريقة ثانية من
طرق البرهان الرياضي
الان نيجي لان للنوع الثاني من أنواع البرهان اللي
هو بنا نسميه البرهان ال indirect proof او البرهان
غير المباشربالظبط هنحكي الآن في البرهان غير مباشر
عن حاجة اسمها Contrapositive أو Contraposition هذه
طبعا مش غريبة عليكم ممكن حكينا عنها في بداية ال ..
المادة قلنا ان implication B implies Q is
equivalent هذه كلها لبعض is equivalent to
Contrapositive إليها إيش Contrapositive يعني not Q
implies not B يعني لو أحنا أثبتناnot Q implies not
B يكون أثبتنا بـ B implies Q يعني عشان نثبت الـ B
implies Q بنفترض عكس الـ Q إنها صحيحة و بنصل لعكس
الـ B إنها صحيحة إذا قدرنا نصل لهيك بكون إن إحنا
اللي هي أن تكون على بعضها دي كلها الـ B implies Q
اللي أثبتناها
أو اللي هو بنثبت ان not q implies not b زي ما قلنا
او q is false implies اللي هو b is false فبكون
عنده اللي هو ال contraposition اللي حكينا عنه اذا
باختصار ال contraposition بنفترض اللي هو عكس ال q
و بنصل لعكس ال b او بنفترض ال q is false يعني عكس
ال q بنفترض و بنصل ل ال b is false يعني عكس ال b
طيبالان نعود لمثال عملي للأمرالمثال العامل يجيب on
indirect proof of the theorem اللي هي التالية ايش
اللي بده نثبت بده يثبت if تلاتة زائد اتنين is odd
then n is odd كيف بدنا نثبتها الآن هذه؟ هذي بدنا
نثبتها بال indirect proof بالcontraposition اللي
الآن بدنا نفترض عكس ال on is odd يعني نقول نفترض
ان on is not odd ونصل لتلاتة n زائد اتنين is not
oddإذا وصلنا لهك بيكون إحنا أثبتنا الـ Contra ..
عملنا الـ Contraposition وبذلك الـ Contraposition
بكافئ أنه 3N زاد 2 is odd يؤدي إلى N is odd إذن
الآن اللي بدي أفعله بدي أفترض أن N is odd is not
true يعني بدي أفترض أن N is not odd يعني بدي أفترض
أن N is even و أصلكم لهذه is not odd يعني بمعنى
آخر it is evenهذا الان اللي بدي أعمله خلّينا مع
بعض نشوف كيف نفترض الان ان is even مدام ان is even
اذا الان بتساوى اتنين k where k is an integer زي
ما انتوا عارفين الان بناء على ذلك تلاتة ان زائد
اتنين اللي هي المطلوبةبنعوض عن n بتنين k بصير
تلاتة في اتنين k زائد اتنين يعني بمعنى اخر ستة k
زائد اتنين بناخد اتنين الان عام المشترك بيصير
اتنين في تلاتة k زائد واحد يعني اقدر اكتب اللي هو
تلاتة n زائد اتنين على صورة اتنين مثلا حيث انزلنا
انتجار او بمعنى اخر وصلنا انه تلاتة n زائد اتنين
is evenأثبتنا الـ Contraposition لذلك تلاتة N زاد
اتنين يعني ليس غير غير غير غير غير غير غير غير غير
غير غير غير غير غير غير غير غير غير غير غير غير
غير غير غير غير
غير
مكافئ لهذا أنه أثبتنا أن is not odd أو بمعنى آخر
even تؤدي إلى تلاتة زائد أن زائد اتنين is not odd
يعني even وهيك بيكون أثبتنا اللي هو بواسط البرهان
غير المباشر هذه الحقيقة وبيكون اللي هو أثبتنا
بواسط حاجة اسمها الcontra positiveاللي هناخد مثال
آخر على الـ Contrapositive let M N أو N element in
N show that if M زيد N أكبر من خمسين then M أكبر
من خمس وعشرين أو N أكبر من خمس وعشرين بقول لو كان
عندي M وN integers بحيث أن M زيد N أكبر من خمسين
لازم لازم يعطينا أن M أكبر من خمس وعشرين أو N أكبر
من خمس وعشرينالـ Contrapositive لها أنه احنا
بنفترض عكس الجملة هذه كلها على بعضها و بنصل لعكس
هذه يعني بدنا نفترض ايش معناه عكس M أكبر من 25 or
N أكبر من 25 ايش نفيه جملة or يعني Mأكبر من 25
false and أن أكبر من 25 false إيش يعني؟ يعني أم
أصغر أو يساوي 25 and أن أصغر أو يساوي 25 إذا
assume not q اللي هي هذه يعني بمعنى آخر assume أن
أم أصغر أو يساوي 25 and أن أصغر أو يساوي 25 بناء
على هذا الحديثM زائد N أصغر أو سوى 25 زائد 25 يعني
M زائد N أصغر أو سوى 50 مدام M زائد N أصغر أو سوى
50 إذن هي عكس هذه اللي هي عكس M زائد N أكبر من 50
إذن وصلنا نط Q نط هذهأدت إلى نط بي اللي هي نط هذه
وهذا هو ال contrapositive فبنكون هيك احنا أثبتنا
ال example بواسطة إثبات ال contrapositive أو
بواسطة ال indirect approve الان في سؤال بيقولي
approve or disapprove يعني اثبت او اللي هو اثبت
صحة او اثبت عدم صحة that يعني بيقول الجملة التالية
صحيحة ولا مش صحيحةبقول that the product of two
irrational numbers is irrational بقول لي هل حاصل
ضرب two irrational numbers لازم يطلع irrational
عشان نثبت لازم نثبت لكل الحالات يعني نفترض انه اي
اتنين irrational و نصل الهين irrational لو في حالة
واحدة بس يعني مثال واحد اللي هو هذا بنتقش يعني لو
جدرنا نجيباللي هو عددين irrational حاصر ضربهم مش
irrational بتكون هذه الجملة مش صحيحة وفي هذه
الحالة بنقول هذا العمل هو disapprove و ال
disapprove بنجيب counter example يعني بنجيب مثال
عدديبنبين فيه ان هذه الجملة غير صحيحة الان بيقول
ايش الجملة؟ ان ال product of two irrational is
irrational انا بقول هذا الكلام مش صحيح ليش؟ خد هاي
مثال هاي جدر التنين irrational ايش irrational؟
يعني عدد لا يمكن كتابته على صورة ألف على با حيث
ألف وبا أعداد صحيحة وبلده ساوى سفرالجدر التنين مش
irrational وجدر التنين برضه مش irrational حاصل ضرب
هنا بساوة 2 اللي هو rational إذا فعلا لجينا مثال
يبين لإن حاصل ضرب 2 irrational ليس شرطا إنه يطلع
irrational عشان هيك هذه الجملة مش صحيحة عشان هيك
بنسميها ده اسمه disprovedisprove كيف؟ بنجيب
counter example بحقق الجزء اللي هو حاصل الضرب ما
يطلع شمين المطلوب يعني هاي عندى two irrational is
irrational مش صحيح وهي مثل جدر التنين irrational
جدر التنين irrational وحاصل ضرب ما طلعش irrational
طلع rational number و هذا بقولك the product of two
irrational numbers يعني is not necessarily
irrational يعني need not to be irrational وهي مثال
نيجي للسؤال اللي بعده بقول prove that إذا كانت n
بتساوي a في b هذا بيعطينا a أصغر أو ساوي جذر ال n
or b أصغر أو ساوي جذر ال n حيث ال a و ال b عبارة
عن أعداد صحيحة موجبة كمان مرة بدنا نثبت أنه لو كان
n بتساوي a في bهذا سيعطينا او a أصغر او ساوى جدر
الآن او b أصغر او ساوى جدر الآن بدا نثبت هذا عن
طريق مين اللي هو ال contraposition ايش بنا نثبت
بدا نفرض عكس المطلوب هايو بدا نفرض عكس هذا و نصل
لعكس هذايعني بنفترض أنه a أصغر أو يسوي b or b أصغر
أو يسوي جدر الان هذه مش صحيحة كيف جملة هذه على
بعضها or مش صحيحة معناته a أكبر من جدر الان and b
أكبر من جدر الان لأنه لا في الor اللي هو and زي ما
احنا عارفين إذا الأن بنفترض عكس هذا يعني بنفترض
أنه a أكبر من جدر الان and b أكبر من جدر الان منه
بنصل ل a في b أكبر من جدر الان في جدر الان اللي هو
الانمدام a أكبر من ال .. من ال .. من ال .. من ال a
b أكبر من ال n إذا يعني ال a b لا تساوي ال n مدام
a لا تساوي ال a b لا تساوي ال n معناه توصلنا لمين
إلى عكس هذا وهذا معناته أنه احنا بال
contrapositive فرضنا عكس هذه ووصلنا لعكس هذه
فبتكون الجملة الأصلية هذه كلها على بعض صحيحة
وبنكون هذا أثبتناها الجملة عن طريق ال
contrapositive أو ال contrapositionيعني أثبتنا fn
بيساوي a و a أصغر أو أصغر جدر الان او b أصغر أو
أصغر جدر الان الآن في طريقة أخرى أخيرة أو قبل
الأخيرة بالبرهان الهي proof by contradiction
الإثبات عن طريق التناقضما هو الإثبات عن طريق
التناقض؟ طبعاً هذه مهمة كمان اللي هي an important
implication يعني بدنا نثبت بيه implies a Q إيش
بنسوي؟ بنفترض عكس لـQ و بنصل لتناقض بنصل لإيش
بناقض المُعطَى أو بناقض حقيقة إحنا بنعرفها يعني
اللي هو proved by contradiction يتلخص فيما يليه
بنقول Assume B and Assume Not Q وبنصل لتناقض تشوف
كيف بنحصل على تناقض show that هي مثال if the
square of an integer number is odd then the
integer is odd بيقول إذا كان مربعاللي هي عدد is
odd اثبت انه العدد نفسه ايش is odd يعني لو كان n
تربيع odd هيعطينا الان is odd الان assume that
hypothesis B of this implication is true نفترض
اللي هو ال hypothesis ايش ماله الفرضية أنها صحيحة
وبنفرض عكس المطلوب وبنقول and the conclusion if
you is false وبنفرض إن اللي هو المطلوب أو ال
conclusion مش صحيحة وبعدين then use roles of
inference and non-theorems to deduce contradiction
وبعدين نبدأ نستخدم اللي هو معلوماتنا من النظريات
ومن الحقائق للوصول إلى تناقض خلينا نشوف هذا الكلام
عمليًاالان نفترض الان assume x تربيع is odd هذا
المعطى فرضناه المعطى زي ما هو بنصبهوش الان و إيش
بدنا نفرض بدنا نفرض إنه المطلوب غير متحقق يعني
بدنا نفرض إن x is not odd مدان x is not odd إذا x
أكيد evenمدام .. لأن أي عدد في الدنيا يا even يا
إيش يقض مدام X even إذا ال X تربيع لل even هيطلع
even لأن X even معناته على صورة 2N 2N لكل تربيع
معناته 4N تربيع يعني X تربيع 4N تربيع is even إذا
وصلنا لعكس mean اللي هو المطلوب يعني وصلنا ل X
تربيع is evenو احنا في الأصل عندي X تربيع is odd
صار عندي X تربيع is even و في نفس الوقت X تربيع is
odd وهذا اللي هو Contradiction لأن وصلنا ل X تربيع
is odd في الأصل و X تربيع is even يعني not odd
يعني وصلنا ل X تربيع is odd and not odd which is a
contradictionTherefore الفرضية الأولى إن فرضنا عكس
المطلوب مش صحيحة إذن لما ال X تربيع is odd لازم
تطلع ال X is odd هذا المرهان by contradiction الآن
نيجي ناخد مثال آخر المثال كمانيبقول let m و n
element in n show that if m زاد n أصغر من 90 then
m أصغر من 45 or n أصغر من 45 by contradiction كيف؟
بنفترض المعطوعة زي ما هو بنفترض أن m زاد n أصغر من
90 وبنفترض عكس المطلوب إذا by contradiction بنفترض
من عكس المطلوبمشابهة دير بالكم لـ Contraposition
بس هنا إحنا بنصل هذا اللي بنصل بعد خطوات إلى شيء
بناقض إما المطلوب أو المعطى بناقض المعطى أو بناقض
حقيقة بنعرفهاأما في الـ Contraposition كنا نفترض
عكس هذا و نصل لعكس هذا في الـ Contraposition مش
شرط تصل لعكس هذا ممكن تصل لإيش بناقض احنا حقيقة
بنعرفها و ممكن تصل طبعا لمين لاللي هو بناقض المعطى
يعني بنكون اللي هو Contraposition و كأنها حالة
خاصة من Contradictionshow that if M زيادة N أصغر
من تسعين then M أصغر من خمسة واربعين or N أصغر من
خمسة واربعين بدنا نفترض الأن suppose M زيادة N
أصغر من تسعين and suppose عكس هذا عكس هذا يعني
بدنا نفترض الأن assume M زيادة N أصغر من تسعين مش
تسعة وتمانين هذا تسعين طبعا and بنفترض عكس هذا إيش
عكس هذا أن M أكبر أو يساوي خمسة واربعين وفي نفس
الوقت لأنه نفي ال or andand n أكبر ويساوي 45 الان
then m زائد n طبعا احنا ماخدين m زائد n أصغر من
100 من 90 من 90 بس أنا غلط بس كتابة m زائد n الان
بما أن هذه أكبر من 45 وهذه أكبر من 45 إذا حاصل
جمحن أكبر ويساوي 45اللي صارت عندي M زاد N أكبر
وسوء وخمسة واربعين و M زاد N أصغر من تسعين إذا هذا
contradiction therefore اللي هو الفرضية اللي
فرضناها مش صحيحة يعني بمعنى أخر لما ال M زاد N
أصغر من تسعين يعطينا ال M أصغر من خمسة واربعين or
N أصغر من مين من خمسة واربعين هذه تسعين برضهالان
اخر جزء في المحاضرة هيكون ان ال mathematical
induction او الاستقراء الرياضي هي طريقة للبرهان
لبرهان بعض الجمل المعينة اللي بتكون بدلالة اللي هي
ال natural numbers او ال integersif we have a
propositional function P of N لو كان في عندنا اللي
هي جملة بتعتمد على اللي هي من على N اللي هي ال
natural number و بدنا نثبت أنه هذه الجملة P of N
صحيحة لكل natural number N طبعا احنا هنعتبر ال
natural number اللي هي عبارة عن واحد اتنين تلاتة
اربعة إلى مال انتهى مش هنعتبر السفر فيها في كل
حديثنا اتفجنا نتفج عليك ان شاء اللهالان عشان نثبت
هذه اللي هي ال بي of ان انها صحيحة على كل natural
number بنعمل ما يلي اول اشي بنثبت انها صحيحة
الجملة عند الان بتساوي واحد يعني بنثبت بي واحد is
true show that بي واحد is true الخطوة الثانية هذه
اللي بنسميها ال basic step الخطوة الثانية بنفترض
ان ال بي صحيحة عند number kوبنثبت أنها صحيحة عند
BK BK زائد واحد يعني بنفترض أنه B of K صحيحة
وبنثبت B of K زائد واحد لكل K element in N الـ N
هذا اللي بنسميها الـ B of K is true بنفرضها ده
بنسميها induction hypothesisاللي هي فرضية
الاستقراء a ومنها بنثبت bk زائد واحد لو خلصنا هذا
الكلام هذه و هذه كلها على بعض أثبتناها بنكون
أثبتنا اللي هو then b of n must be true for any n
element in N هذا الطريقة بنسميها اللي هي ال
mathematical induction أو الاستقراء الرياضي بنثبت
الجملة صحيحة عند واحدبعدين مفترض أن صحة الجملة عند
بك ومنها بنثبت أن نثبت صحة بك عند بك زائد واحد
وبكون هي كأثبتنا أن هي صحيحة لكل أن element ان
وخلّينا ناخد أمثلة عملية وهي أول مثال عملي بقول
prove that واحد زائد تلاتة زائد خمسة زائد اتنين
الناقص واحد بيساوي أن تربيع صحيحة هذا المقدار لو
جمعته لبعض بيساوي دايما أن تربيع صحيحة لكل أن
element انبندن اثبت هذه اللاحظة ان الجملة تعتمد
على مين على الان اللي هي ايش ال natural numbers
اذا ال mathematical induction بتظبط فيها طبعا هذه
ايش معناته هي the sum of the first n odd integers
يعني اول n من ال odd integers واحد زائد تلاتة زائد
خمس زائد اتنين ان نقص واحد دول عدد ان ان لو جمعتها
لبعض هيطلع ان بساوين ان تربيةالان مش هو هذا
موضوعنا موضوعنا بنثبت ان هذه صحيحة دائما الان مثال
عليها بس عشان نوضع عليها هذه اللي هي عبارة عن لو
جيت جمعت واحد زائد تلاتة اللي هو عددين فرديين اللي
هو اتنين تربيع اللي هي أربعة لو جيت جمعت العدد
الأول فردي والتاني الفردي والتالت فردي هتطلع قداش
اللي هي تسعة اللي هي تلتة تربيعأو 4 أعداد 1 2 3 4
يعني واحد و تلات أو خمسة و سبعة اللي هو هيطلع
قيمتنا 16 يعني أربعة تربية هذا بس مثال توضيحي لان
نيجي لموضوعنا اللي هو برهان هذه by induction ال
proofأول حاجة بدنا نثبت صحة الجملة هذه ال basic
step الأولى بدنا نثبت صحة الجملة هذه صحيحة لمين
لأن بتساوي واحد يعني لما نعوض هن بأن لازم يطلع
الطرف الأيصر هذا بيساوي الطرف الأيمن لو عوضنا هن
بأن طبعا لو عوضنا هن بأن واضح أنه بيطلع عندى واحد
تربع يعني واحدطب نيجي نعوض هنا بان اللي هو لما انه
بقى واحد بصير اتنين في واحد اللي هي اتنين نقص واحد
واحد يعني مافيش اشي بجموع الا الواحد لحاله يعني
هذه بس اللي هو اول term اللي هو الواحد الان the
sum of the first odd number اللي هو واحد اللي هو
الطرف الأيسر هذا وهذا بيساوي واحد تربيع والتانية
متساويين مدام التانية متساويينإذا هذا الطرف بيساوي
هذا for n بتساوي واحد إذا ال basic step بتحققت إذا
صارت اللي هي الجملة دي صحيحة for n بتساوي واحد
نيجي الآن نثبت إن افترض صحتها ال inductive step
بدنا نقول assume that this is true for n بتساوي K
إيش يعني؟ يعني بدنا نفرض صحة واحد زائد تلاتة زائد
خمسة زائد مادة لل N K بنحط2k-1 تساوي الـ k تربيع
يعني فرضنا صحة هذه الجملة عند n بتساوي k يعني
عوضنا أنا k و أنا k الآن هذه صارت عندنا اللي هو
مفترضين صحتها بدنا نثبت من خلالها أن الجملة صحيحة
now we prove thatإن هذه صحيحة لـ K زائد واحد إيش
معنات لـ K زائد واحد يعني لما ننشيل الان ونحط
مكانها K زائد واحد بتصير واحد زائد تلاتة زائد خمسة
زائد اتنين اللي هو K minus واحد زائد اللي هو آخر
term هذا ميناللي هو اتنين في K زائد واحد نقص واحد
يعني شيلت ال N هذه وحطيت مكانها K زائد واحد إذا
كانت هذه مضايقاتكم سابقوها يعني أنا بقصد ونظل نجمع
واحد زائد تلاتة زائد خمسة زائد سبعة لما نصل لآخر
term هذا اللي حطينا مكان ال N اللي هو K زائد واحد
شيلت ال N هيها وحطيت K زائد واحدبتثبت ان هذا بساوي
هذا المقدار لما اشير لان هنا برضه احط كمان ايش K
زائد واحد فبصير K زائد واحد لكل تربيع هذا الان هو
اللي بدكبته لو أثبتت معناته و أثبتت صحة الجملة هذه
في حالة الان بتساوي K زائد واحد يلا نشوف مع بعض
طبعا اكيد بنستعيني بهذه اكيد تشوف الاننأخد الطرف
الأيمن هذا الأن أول حاجة من هنا من induction
hypothesis هيها هذه بيساوي K تربيعي يعني واحد زي
تلتة زي خمسة زي اتنين K minus واحد بيساوي K تربيعي
بتعتمد على هدف الوصول من الطرف الأيسر هنا للطرف
الأيمن ناخد الطرف الأيسر هذا ماشي الحال هي الطرف
الأيسر هذا ايش هو؟ هو عبارة عن واحد زي تلت زي
اتنين كده نقص واحد زي مين زي هذا هذابدخل هذه بيصير
اتنين K زائد اتنين ناقص واحد زائد اتنين ناقص واحد
يعني واحد يعني بيصير هذا المقدر هو عبارة عن اتنين
K زائد واحد هذا لما فكه بيصير اتنين K زائد واحدطيب
الجزء الأول هذا كله هيو من هان لهان هيو ماتينايا
في ال induction hypothesis كتربيع فبيصير هذه
كتربيع مكان كل هذا المقدر بيضل كمان جنبه من اتنين
كزائد واحد هذا زائد هذا اللي هو مفقوق كزائد واحد
لكل تربيع زي ما انتوا عارفين يعني ايش اللي وصلنا
له وصلنا لأن هذهاللي هي بتساوي هذه يعني صار اللي
هي الجملة لما ثبتت هذه بتساوي هذه صارت الجملة اللي
فوق صحيحة ل K زائد واحد مدام خلصنا أطبطنا صحيحة ل
K زائد واحد نكون اللي هو ال conclusion اللي هي ال
mathematical induction اكتملت معناته أنه صارت هذه
الجملة صحيحة لكل element inالذي لم يتابع جيدًا في
هذا المثال يتابع في المثال اللي بعده برضه عن
الmathematical induction الان يستخدم
الmathematical induction لكي يثبت أن واحد زاد
اتنين زائد ان ساوي ان في ان زائد واحد هذا كله مجسم
على اتنين لكل ان element انالان بدنا نستخدم اللي
هو ال mathematical induction اللي اتبعت هذا اكيد
ال mathematical induction ليش؟ لأنه بده يبقى اللي
هو لكل n element in n يعني بدنا نتبع صحة الجملة
هذه لكل ال natural numbers n قولنا ال natural
numbers بنقصد فيها من واحد إلى مالة نهايةنيجي أول
خطوة أول خطوة زي ما اتفجناش بنثبت .. بنثبت صحة هذه
الجملة اللي سميتها واحد انا بتثبت صحتها لان بتساوي
واحد يعني لما نعود في الطرف الأيسر بواحد لازم يطلع
ل .. بيساوي الطرف الأيسر لما .. لأي من لما نعود
فيه بواحد ده نجرب لان basic step for ان بتساوي
واحدsince الان لما نعوض هنا بواحد بيصير بس واحد
يعني ماكنت جمعتش ولا شي لسه بيساوي واحد لأن الطرف
الأيمن هنا ايش هو بيصير واحد في واحد زائد واحد
واحد زائد واحد اتنين في واحد بواحد يعني اتنين على
اتنين يساوي واحد اذا بما ان هذا الطرفبساوي واحد
بساوي اللي هو الطرف الأيصر إذا صارت اللي هي واحد
هذه الجملة واحد مقصود فيها الجملة دي كلها صارت هذه
الجملة واحد is true for one بتساوي واحد رقمتها انا
واحد عساس ان أسهر يسهر سهل التعامل معها إذا صارت
هذه عبارة عن صحيحة لان بتساوي واحد إذا ال basic
step اتحققاتي الآن بدنا نفترض صحة بدنا نيجي إلى ال
inductive stepاللي هي inductive hypothesis اللي هي
فرضية الاستقرار اللي هي أش بتقول نفترض أن الجملة
صحيحة assume that واحد is true for أن بتساوي كي
بدنا نفترض أن صحة الجملة هذه لأن بتساوي كي مدام
فرضنا صحتها لأن بتساوي كي إذا واحد زائد اتنين لما
نقصل عند كيهيها هتساوي هذه K يا دماغها مش K مش N
بتساوي K في K زائد واحد بتساوي K في K زائد واحد
إذن مدام فرضت إن هذا صحيح على K بشيل ال N و بحط
مكانها K وهذا اللي هي induction hypothesis ال N
منها بدي أثبت now we prove that one is true for N
إيش بتساوي K زائد واحد يعني بمعنى أخر إيش بدي أثبت
we prove that1 زائد 2 زائد k زائد 1 ماشي الحال إذا
واحد زائد اتنين لما الأصل عند k زائد واحد لأنه
شيلت الان إشمالها k زائد واحد طبعا الجاب اللي k
زائد واحد هي ال k زي ما احنا عارفين أنه بنجمع واحد
زائد اتنين زائد تلت زائد أربعة الاخرينبدأ أثبت
بساوة مين أشيل كل K و أضع مكانها K زائد واحد يعني
K زائد واحد في اللي هي برضه K زائد واحد زائد واحد
على اتنين يعني الآن أنا بدأ أثبت هذه الجملة
بالاستعانة بمين بال induction hypothesis اللي
فرضته هذا اللي هي دي K في K بساوة K في K زائد واحد
على اتنين دعونا نشوف كده الآن ناخد الطرف الأيمن
هذا proofنروف لهذه .. نروف لهذه هي عندنا أخدت
الطرف الأيسر هنا هي من هنا لهنا بدأ أشيل هذا من
هنا لهنا واحد زائد اتنين و أتقل عند ال K و أعوضها
من هذا اللي فرضته هذا معناه جن عنها دي K حسب هنا
إيش هذي بيصير بدل هذه من هنا لهنا اللي هي K في K
زائد واحد على اتنين بعوض عنها بيصير K في K زائد
واحد على اتنين زائد الأصلي هذه K زائد واحدالان هنا
بده واحد المقامات هنا المقام اللي تحت واحد هنا
اتنين بل لما واحدهم بيصير كيف ك زائد واحد زائد
اللي هو مين اتنين في ك زائد واحد الكل على اتنين
عشان واحدة المقاماتو يساوي الان هنا في عامل مشترك
بقدر اخد ال K زائد واحد ايش ما لها عامل مشترك
فباخد عامل مشترك من هنا اللي هي ال K زائد واحد من
هنا بظل اللي هي ال K و هنا بظل التنين فبصير مضروبة
في ال K زائد التنين و الكل مكسوم على اتنين هذه
بالظبط هي عبارة عن K زائد واحد مضروبة في ال K زائد
اتنين هي عبارة عن K زائد واحد زائد واحد على اتنين
اذا صارت اللي هو هذا المقداربساوي هذا المقدار يعني
أثبتت اللي هو هذه اللي هو أثبتت صحة واحد لمين لان
بتساوي K زائد واحد ومدام أثبتتها لK زائد واحد
معناته أنا اللي هو خلصت ال induction hypothesis
معناته جملتيها دي صارت صحيحة لكل N element in N
يعني لو لخصنا أيش اللي سوناه أثبتنا صحة هذه أول
إشي لان بتساوي واحد و بعدين فرضنا صحتها لان بتساوي
Kومنها أثبتنا صحتها ل K زائد واحد وهذا كله على بعض
هو اللي بنسميه ال mathematical induction أو
الاستقراء الرياضي وبكون هيك أثبتناها لكل N element
in N ناخد مثال أخر شوفوا المثال صلوا على النبي
عليه الصلاة والسلام اللي بيقول show that N أصغر من
2N لكل N element in N طبعا عارفينها ديالان كيف
نرتبطها؟ برضه بنرتبطها بـ Mathematical Induction
لأنه اللي هي جملة تعتمد على اللي هو ال integers أو
الأعداد الطبيعية نشوف ال proof أول حاجة ال basic
stepال basic step اللي هي P of واحد هذا سمنها
الجملة P of n يعني P of واحد يعني n عند n بتساوي
واحد هذه بتساوي واحد وهذه بتساوي اتنين صح؟ اذا
الواحد اصغر من اتنين اذا فعلا اللي هي n اللي هي
واحد اصغر من اتنين is true دائما يعني صارت ال P
واحد is true لإن الواحد اصغر من اتنين في واحد اللي
هو بيساوي ايش اتنينالـ Inductive step بدنا نفترض
الآن Assume that B of K is true وبدنا نثبت منها
إنها BK زائد واحد is true إذن الآن بدنا نفترض إن B
of K is true يعني نفترض صحة هذه الجملة عند K عند N
بالساوية K مثلا مثلا هي عند K إذن K أصغر من 2Kطيب،
لأن we need to show that B of K زائد واحد is true
يعني بدنا نثبت صحة الجملة عند K زائد واحد، إيش
يعني؟ بدنا نثبت صحة إن K زائد واحد هي أصغر من
اتنين في K زائد واحد، لو أثبتنا هذه، بيكون خلصنا
ال induction hypothesisطيب الان بدنا نتبت هذه الان
بدي استخدم اكيد هذه عند ال K أصغر من ال 2 K ماشي
الحال منها لو ضفت الان واحد ده الجهتين بيصير K
زائد واحد أصغر من اتنين K زائد واحد اكيد بتطلع صح
يعنيالان عند ال K زائد واحد اصغر من اتنين K زائد
اتنين اكيد لان هذا زيادة عن هذا بواحد طيب من هدولة
مع بعض التنتين بيصير اتنين K زائد واحد هذه اصغر من
اتنين K اتنين في K زائد واحد اخدت اتنين ايه شمالها
عامل مشترك الان اثبتت هذهمن هذه وهذه أثبتها من فوق
التامتين مع بعض together بيصير عنده اللي هو k زائد
واحد أصغر من هذه وهذه بدورها أصغر من هذه إذا
بخاصية التعد هذه أصغر من هذه يعني k زائد واحد أصغر
من اتنين في k زائد واحد وبهيك احنا بنكون أثبتنا
اللي هو صحة الجملة عند k زائد واحد اللي هي اللي
فوق هذه معناته إذا صارت صحيح على كل element inويا
سيدي هاي كمان اللي هو الآن بنصل ل اللي هو عندي ال
homework اللي بدنا ياه اللي هو للمحاضرة هذه كلها
على طرق البرهان اللي هو ال direct proof أو ال
indirect proof أو ال mathematical induction وإلى
لقاء آخر السلام عليكم ورحمة الله وبركاته