بسم الله الرحمن الرحيم أعزائي الطلاب السلام عليكم
ورحمة الله وبركاته في فيديو جديد نشرح فيه موضوع
جديد سنشرح فيه هذا الفيديو سيكشن واحد ثلاثة اللي
هو بيتكلم عن الـ trigonometric functions الدوال
المثلثية وسنقسم السيكشن هذا في جزءين في هذا
الفيديو سناخد الجزء الأول part one طبعا الدوال
المثلثية موضوع مر عليكم في الصف العاشر في المرحلة
الثانوية وفي الصف الحادي عشر والثاني عشر تجد
المعلومات تقريبا أخدتها قبل ذلك ولكن زي ما كنا
هتكون مراجعة لها ونستخدم المصطلحات الإنجليزية فالـ
trigonometric functions بمعنى الدوال المثلثية أول
شيء هنميز بين قياسين من قياس الزوايا القياس الدائري
والقياس الستيني لو فرضنا في عندي دائرة وهي فيها
زاوية مركزية رأسها صفر على المركز ظل عينها مثلًا
بأنصاف أقطار فالقياس الدائري للزاوية هو عبارة عن
نسبة بين طول القوس المقابل لها إلى نصف القطر
فالقياس
الدائري راديان ميجر قياس دائري احنا بنقول θ يساوي
S على R S هو طول القوس وR نصف القطر وإذا كنا في
دائرة الوحدة التي نصف قطرها واحد يعني R بيساوي واحد
فالحالة دي θ بتساوي S لذلك القياس اللي هو
الدائري الـradial measure لأي زاوية بيساوي طول القوس
المقابل لها مقسوم على نصف قطر الدائرة طبعا
بالنسبة للقياس الدائري الـradian الـPi اللي هو
النسبة التقريبية التي نعرفها يقابلها بالقياس الستيني
180 درجة طبعا باي تمثل القوس نصف اللي هو
الدائرة يساوي 180 درجة طبعا هذه معلومة مهمة
للتحويل بين القياس الدائري والستيني لو أخذنا هذا
الجدول يعطينا زوايا بعض الزوايا في القياسين الدائري
والستيني hand degrees الستيني وradian دائري الـ -180
هي عبارة عن سالب by سالب 135 سالب 3 باي على 4 إلى آخره
لو أنا عندي مثلا هذا القياس دائري وأريد أن
أحوله لـ 60 ماعليش أعوض على by 180 اضرب سالب 3 في
180 واضرب سالب 135 في
180 عندما الزاوية بتكون في وضع قياسي standard position
إذا كان رأسها يقع على نقطة الأصل أنا عندي محور الـ
x والـ y هذا اللي هو في مستوى الديكارتي مستوى
الإحداثيات x و y ف أنا لو عندي زاوية رأسها يقع على
نقطة الأصل ال origin يسميها origin يعني نقطة الأصل
وانتوا عارفين إن الزاوية لها ضلعين ضلع ابتدائي
وضلع نهائي initial ray وterminal ray لازم
ضلعها الابتدائي يقع تجاه الموجب على المحور السيني
وهذا هو الضلع النهائي فلو أخذنا القياس للزاوية ضد
عقارب الساعة بيكون positive قياس موجب وإذا
أخذناها من الضلع الابتدائي للضلع النهائي مع عقارب
الساعة بيكون negative measure قياس سالب تلاحظوا
أنه إذا كان لديه نوعين من القياس فالـ positive
measure قياس موجب سيكون ضد عقارب الساعة و negative
measure مع عقارب الساعة ناخد
أمثلة تلاحظوا بالنسبة للزاوية هذه قياسها تسعة باي
على أربعة لماذا؟ لأنه تلاحظوا في هذه هذه درجة
الابتدائية وهذا هو الدرجة النهائية حركة الدرجة
الابتدائية إلى نهاية أو درجة خارج الساعة فهي عملت لنا
دورة كاملة لها هذه اتنين باي زائد هذه باي على أربعة
فلو جمعنا اتنين باي مع باي على أربعة بنجمع تسعة باي
على أربعة
هذه دورة كاملة وهذه دورة كاملة وهذه دورة
كاملة وهذه دورة كاملة
تلاحظوا أن عندي قياسين هنا positive لأنه كان
التحرك من الضلع الابتدائي لإنهاء ضد عقارب الساعة
والمقابل في هذه القياسين بالسالب لأنه تحرك مع عقارب
الساعة وهنا تلاحظوا إنه بيتحرك هنا باي على اتنين
وهنا باي على أربعة لجميعهم بيطلع تلاتة باي على أربعة
لأن هذه آخر سالب لأنه مع عقارب الساعة بالنسبة لهذه
وهي عندنا هنا دورة كاملة اتنين باي
مع عقارب الساعة it's basic trigonometric functions
لأننا سندرس الدوال المثلثية الأساسية الستة فرضنا
أنه عندنا في مثلث قائم الزاوية فيه زاوية θ وها قائم
فزاوية θ الأضلاع بالنسبة لي عندها أنا المقابل أنا
المجاور وهذا الوتر حسب نظريه فيثاغورس مساحة المربع
المنشأ على الوتر يساوي مجموع مساحتي مربعين منشئين
على ضلعي القائمة أو بمعنى آخر مربع الوتر يساوي
مجموع مربعي ضلعي القائمة الـsin θ اللي هو مقصود فيه
جيب θ يساوي مقابل على وتر الـcos θ هو جيب
التمام يساوي مجاور على وتر تان θ مقابل على
مجاور تان θ مقابل على مجاور تان θ مقابل على
مجاور
نسقط عمود من الجائرة مركزة
نقطة الأصل مركزة
الجائرة في النقطة x و y نسقط عمود على محور السينات y
نسقط عمود على محور السينات y نسقط عمود على محور
الصادات x نسقط عمود على محور الصادات y نسقط عمود
على محور الصادات x نسقط عمود على محور الصادات y
نسقط عمود على محور الصادات x نسقط عمود على محور
نسقط عمود على محور الصادات ضلعي القائمة واحد طوله x
والثاني y فـsin θ هي مقابل على وتر يعني يساوي y على
r وcos θ هي مجاور على وتر x على r وtan θ بيساوي r
على x
كوتانجنت كتان بيساوي x على y تان θ بيساوي
1 تان θ تان θ تان θ تان θ تان θ تان
θ تان θ تان θ تان θ تان θ تان θ
تان θ تان θ تان θ تان θ تان θ تان
θ تان θ تان θ تان θ تان θ تان θ
تان θ تان θ تان θ تان θ تان θ تان
θ تان θ تان θ تان θ تان θ تان θ
تان θ تان θ تان θ تان θ تان θ تان
θ تان θ أما عند مثلث 45 درجة تكون تساوي الساقين
تساوي
الساقين تساوي الساقين تساوي الساقين
تساوي الساقين بالنسبة للمثلثات بالنسبة للباي على
أربعة وخمسة وأربعين بيساوي
مقابل على وتر واحد على جذر اتنين وكوزان باي على أربعة
بيساوي واحد على جذر اتنين والتان بيساوي واحد بيساوي
مقابل على مجاور واحد بنجيب المثلث التاني اللي بسميه
30 60 لأن زيادة التسعين درجة في قدرها
التسعين لو كانت زيادة 30 60 يبقى 60 في هذه
الزاوية 30 درجة معروف إن 30 60 إن ضلع المقابل
لزاوية 30 يساوي طوله نصف الوتر لو كانت طوله وده
واحد ويكون وده اتنين حسب نظرية فيثاغورس هيكون طول
الوتر جذر تلاتة لأن الضلع المربع هذا 4-1 يبقى جذر تلاتة
تحت الجذر عندما أعرف أن التلاتة أضلاع أطوالهم ،
فأستخدم نسب مثلثية للـ باي على تلاتة و للـ باي على
ستة فلو بدأنا الـ sine باي على ستة أي باي على ستة
الـ sine سيكون مقابل واحد على الوتر نصف وcos باي
على ستة بيساوي جذر تلاتة على اتنين وtan باي على ستة بيساوي
واحد على جذر تلاتة طبعا كل شيء جاء من المثلثات
بالمثل الـ sine باي على تلاتة يساوي هي باي على تلاتة الـ
sine يساوي مقابل على وتر جذر تلاتة على اتنين وال
cosine هيساوي نص اللي هو مجاور على وتر وال tan
هيساوي جذر تلاتة على واحد على جذر تلاتة فهذا
أرسم بدينا كيف الإشارات للدوال المثلثية فهذه ربع
الأول وهذا ربع الثاني والثالثة الرابع فالربع الأول
كل الموجبات ربع الثاني الـ sine موجب فبالتالي الحكم
الـ sine موجب تان موجب موجب موجب تان موجب موجب تان
موجب موجب موجب تان موجب موجب تان موجب موجب تان
موجب موجب تان موجب موجب تان موجب تان موجب موجب تان
موجب تان موجب تان موجب تان موجب تان موجب تان موجب
تان موجب تان موجب تان موجب تان موجب تان موجب تان
موجب تان موجب تان موجب تان موجب تان موجب تان موجب
تان موجب فإنها هيكون انجسمة اللي عامل بيه في دالة
طولها باي اللي هتكون الـ tan والـ cot فالـ tan لـ X زائد
باي هو نفسه تان X يعني تان مثلًا الزاوية 30
درجة زائد باي هو نفسه تان اللي هو 30 كتان
نفس الكلام إن الـ period بتاعتها 1π لكن الباقي
الأربع هيكون period بتاعته 2π يعني sin X زائد
2π هو نفسه sin X هذا يعني أن رسمة الـ sine
كل فترة طولها 2π ترجع تتكرر نفس الشيء بالـ cosine
والـ cosecant والـ cosecant الـ tan والـ cot دالة قابلة
طولها 1π هذا يعني أن بكفي أرسم أي الـ tan على فترة
طولها 1π وبعدين أسرق الرسمة cot نفس الشيء لكن الـ
sine والـ cosecant والـ cosecant لازم أرسم على فترة
طولها 2π وبعدين أسرق أكرر الرسمة وهذا بريحنا أن
نعوض في فترة معينة هذه اللحظة سنشاهدها في الأشكال
القادمة هذه اللحظة هي رسمات الست زوايا التي
سنعرضها سنعرف عن كل واحدة ونستطيع أن نعرف ما هي الـ
domain وما هي الـ range وشكل العامل لها وطبعًا
الرسمة تأتي بالتعويض بالزوايا بالنسبة للـ cosine
والـ sin والمقلبات من secant و cosecant سنأخذ فترة
طولها 2π بالنسبة للـ tan والـ cot فترة طولها 1π
الـ cosine هيها والـ sine هيها أول حاجة بالنسبة لي
الـ cosine و الـ sine دومينهم نفس الدومين هو كل R
من سالب infinity لـ infinity و range هم من سالب 1
لـ 1 من سالب 1 لـ 1 هذا الـ domain وهي الـ range
الـ period كل واحدة 2π فنفسها نفسها
بالتعويض نأخذ فترة من صفر لـ 2π ونعوض عن
قيمة θ بعض الزوايا الفاصلة ونرسمها بالتعويض بالنسبة
للـ tan الـ domain هو sin على cosine الـ sin domain هي
كل R و الـ cosine domain هي كل R لكن لو أخذنا
القسمة هيكون domain كل R معادلة أصفار المقام يعني
معادلة أصفار الـ cosine لو اتلاحظوا أن هذا الـ cosine
هي اسمها الـ cosine جزء منها أصفارها جاي عندها سالب
π/2 π/2 3π/2 لو كملنا 5π/2
7π/2 ونسرق 3π/2 ونسرق
3
π/2 ونسرق
3π/2 هذا البرنامج يكفي تأخذ فترة من
سالب π/2 لـ π/2 لـ π/2 لـ π/2
لـ π/2
بتظهر معناها ملحوظة الـ tan وبعد ذلك بيصير أكرره لأن
الـ period 1 زي ما قلنا هي period طوله 1π
وبعد ذلك كل ما تأخذ 1π ترجع تكترر الـ secant
اللي هي 1 على cosine إذا كنت تأخذ مقلوب اسم هذا
1 على cosine فـ domain هتكون نفس الـ domain اللي
هو الـ tan لأنه في مقام الـ cosine هتكون الـ domain كل
R مع أعداد أصفار اللي هو المقام اللي هي أصفار cosine
صفر زاد ونقص بعدين وزاد ونقص 3 بعدين إلى آخر
لما لا نهاية بالنسبة لي الـ range هيكون من 1 لما
لا نهاية ومن سالب ما لا نهاية لسالب 1 فالـ range
هيكون فترة tan لو من سالب ما لا نهاية لسالب 1
اتحاد من 1 لما لا نهاية و الـ P رجعنا تساوي 2π
زي ما درسنا فلو أخذت فترة 2π مثلًا من سالب π
لـ 3π أو من سالب π لـ π ورسمتها
فيها هيطلع معكم الرسمة وبعدين تكرروها تلاقوا هي
هنا تكرار الها لو كملنا الرسمة هذه هي هنا تكرار
الها نفس الشيء فالدورة تساوي 2π نأخذ الـ cosecant
والـ cot الـ cosecant هي 1 على الـ sin
سيكون دومين كل R معادلة أصفار الـ sin لو رجعنا على
رسمة الـ sin هي رسمة الـ sin تلاحظوا الـ sin هو صفر
عند الصفر π و 2π وكملنا 3π 4
π وسالب π وسالب 2π فبالتالي الـ cos
كانت 1 على صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر
صفر
صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر
صفر
صفر ص
كل 2π كانت جزئية فهي
2π فهي 2π فهي 2π فهي 2
π
فـ دومين كل R معادلة أصفار الـ sin وكل دومين كل R معادلة
أصفار الـ sin وكل دومين كل R معادلة أصفار الـ sin وكل
دومين كل R معادلة أصفار الـ sin وكل دومين كل R معادلة
أصفار الـ sin وكل دومين كل R معادلة أصفار الـ sin وكل
دومين كل R معادلة أصفار الـ sin وكل دومين كل R معادلة
أصفار الـ sin وكل دومين كل R معادلة أصفار الـ sin وكل
دومين كل R معادلة أصفار الـ sin وكل دومين كل R معادلة
أصفار الـ sin وكل دومين كل R معادلة أصفار الـ
تعود عقليتنا مثلًا π/2 نأخذ صفر نأخذ 3
π/4 مثلًا هي مثلًا 105 3
نأخذ 120 105 70 ونفس الشيء نأخذ
هنا نأخذ 3π/4 آخر رسمة هذه فبعد ذلك بيصير
أسخة لأن الـ period 1 باقي نأخذ من π لـ 2
π نفسها نأخذ من 2π لـ 3π نفس هذا
يطلع ونفس الشيء مثلًا π لـ صفر نفسها هي كانت تكون
تعرفنا بصورة مجملة عن دوال المثلثية 6 كل واحدة الـ
domain و الـ range و الـ period لأنهم ضروريين تقريبًا
هنا بيجي لصفة أخرى ندرسها اللي هو odd و even إذا
اتلاحظوا الرسمات السابقة يعني هي أنا عندي السؤال إن
اتلاحظوا فيه تماثل حول نقطة الأصل صفة باسم الـ
cosine في تماثل حول محور الصادات فهذا يعني مثلًا
بالنسبة للـ tan في تماثل حول نقطة الأصل الـ secant في
تماثل حول محور الصادات الـ cot في تماثل حول نقطة
الأصل cot
في تماثل حول نقطة الأصل cot
في تماثل حول نقطة الأصل cot في تماثل حول نقطة
الأصل cot في تماثل حول نقطة الأصل cot في تماثل
حول نقطة الأصل cot في تماثل حول نقطة الأصل cot
في تماثل حول نقطة الأصل cot في تماثل حول نقطة
الأصل cot في تماثل حول نقطة الأصل cot في تماثل
حول نقطة الأصل cot في تماثل حول نقطة الأصل cot
في تماثل حول نقطة الأصل cot في تماثل حول نقول
كان سالب X وساوى سالب cos X و cot سالب X و
ساوى سالب cot X و...إلخ رايحين في حساب قيم الدوال
عندما نكون نحسب الحساب السالب فنقع في الحساب
الخارج الـ even هي معرفة الـ cosine ومقلوبة على
الـ secant فـ cosine سالب X و cosine X و secant سالب X
وساوى secant X بهذا
الموضوع اللي هو even إذا أنهينا جزء الأول من الـ
section 1 point 3 اللي بتتكلم عن الدوال
ال مثلثية الأساسية أنواع القياس دائري راديان و 60
degree وتحويل بينهم بتكلم عن القياس موجب positive
و negative مجرد سالب بتتكلم عن الدوال المثلثية
الأساسية الساين والكوين والتان مقلباتهم هو كوثيان
وكوثيكان وكوثيان وكل واحدة لازم يعرف أنه قواصها من
ناحية ال domain وال range وال period وكيف يشتغل
الكورس العاملة والشكل طبعا بدأناكم لإنكم بتوصوا
مهدا ما فيش فرصة عامة كبيرة نوصيهم عن طريق اللي هو
التسجيل الآن أتوب التعويض توصيوا من بعضها عشان
تتعرف على شكل العاملها ودرسنا حواصها من ناحية ال
period و ال odd و ال even لجينا إن ال odd أربع لهم
اتصال واتان واثقال واثقال واتان وال even
تنتهي من اتصال واثقال واثقال بهذا ننهي الفيديو
الأول من section 1.3 إن شاء الله في الفيديو التالي
سنكمل هذا ال session ونحل الأسئلة على مواضيع
مختلفة ختاما أتمنى لكم التوفيق والسلام ورحمة الله
وبركاته