1
00:00:04,940 --> 00:00:11,820
بسم الله الرحمن الرحيم اليوم المحاضرة رقم 13 مساق

2
00:00:11,820 --> 00:00:17,100
تحليل حقيقه 2 لطلاب وطالبات الجامعة الإسلامية كلية

3
00:00:17,100 --> 00:00:21,800
العلوم قسم رياضيات إن شاء الله ستكون المحاضرة على

4
00:00:21,800 --> 00:00:28,620
جزئين، الجزء الأول هنستمر في الحديث عن سبعة اثنين

5
00:00:28,620 --> 00:00:34,240
وهو الحديث أو سبعة ثلاثة وهو الحديث سبعة اثنين في

6
00:00:34,240 --> 00:00:40,130
البداية وهو الحديث عن الخواص التكامل الريماني، حكينا

7
00:00:40,130 --> 00:00:45,310
عن اللي هو مجموع دالتين قابلتين للتكامل اللي هو

8
00:00:45,310 --> 00:00:48,510
قابل

9
00:00:48,510 --> 00:00:52,510
التكامل و حاصل ضرب ثابت في دالة قابلة للتكامل برضه 

10
00:00:52,510 --> 00:00:58,630
قابلة للتكامل، واليوم هنكمل الأمر، الحديث عن

11
00:00:58,630 --> 00:01:04,550
composition of two integrable functions هل قابلة

12
00:01:04,550 --> 00:01:08,270
للتكامل أم لا، وإذا قابلة للتكامل بدنا نبرهن وإذا مش 

13
00:01:08,270 --> 00:01:14,750
قابلة بدنا نجيب counter example، الآن الجزء الثاني

14
00:01:14,750 --> 00:01:18,110
هيكون اللي هو برضه تطبيق اللي هو composition 

15
00:01:18,110 --> 00:01:25,410
theorem اللي هي هنشوف بعد شوية إيش المتطلب إن يكون

16
00:01:25,410 --> 00:01:30,190
composition of two functions is integrable، أيضًا

17
00:01:30,190 --> 00:01:35,230
هنتحدث عن اللي هو نوظفها في إثبات اللي هو أن

18
00:01:35,230 --> 00:01:38,950
الدالة الأسية والـ absolute value of the function

19
00:01:38,950 --> 00:01:43,530
F،  و أيضًا اللي هو مقلوب الدالة 1 على F في حالة F 

20
00:01:43,530 --> 00:01:50,090
لا تساوي 0 على الـ domain المُعطى إنها تكون قابلة

21
00:01:50,090 --> 00:01:54,830
للتكامل، و أيضًا اللي هو هيكون في عندنا اللي هو تطبيق

22
00:01:54,830 --> 00:01:59,640
آخر اللي هو حاصل ضرب دالتين كيف يكون integrable أو

23
00:01:59,640 --> 00:02:03,080
كيف تكون integrable في حالة كلا الدالتين integrable

24
00:02:03,080 --> 00:02:06,200
نبدأ الآن في اللي هو النظرية الـ composition

25
00:02:06,200 --> 00:02:09,600
theorem واطولوا روحكم علينا شوية على اللي هو

26
00:02:09,600 --> 00:02:14,930
البرهان، و البرهان شوية بده تركيز، والبرهان طويل 

27
00:02:14,930 --> 00:02:20,110
شوية، خلينا إن نعمل الآن focusing على نص النظرية و

28
00:02:20,110 --> 00:02:25,410
بعدين بنبدأ نحكي عن البرهان، نعمل outline للبرهان، و

29
00:02:25,410 --> 00:02:27,610
من ثم ندخل لتفاصيل البرهان

30
00:02:30,230 --> 00:02:35,470
بنأخذ I عبارة عن closed bounded interval A و B، و J

31
00:02:35,470 --> 00:02:38,550
عبارة عن closed bounded interval سميناها C و D

32
00:02:38,550 --> 00:02:44,830
ونفترض أن F من I لعند R، يعني F عبارة عن دالة من عند

33
00:02:44,830 --> 00:02:49,350
الـ A والـ B لعند R، أنها تكون integrable on I and

34
00:02:49,350 --> 00:02:52,050
Phi من J لعند R

35
00:02:55,070 --> 00:02:58,390
النظرية بتستلزم أن نقول continuous لأن الـ integrable

36
00:02:58,390 --> 00:03:03,270
بالحالها مش هتعطي اللي هو النتيجة زي ما هنشوف قدام

37
00:03:03,270 --> 00:03:07,610
في اللي هو counter example، الآن فرضنا أن Phi من J 

38
00:03:07,610 --> 00:03:12,890
لعند R is continuous، وبدنا نفترض أن F of I .. F of

39
00:03:12,890 --> 00:03:17,450
I جزئية من مين؟ من J عشان نعرف .. نعرف الـ

40
00:03:17,450 --> 00:03:21,670
composition بين الـ two functions، الآن في ضوء هذه

41
00:03:21,670 --> 00:03:26,050
المعطيات، إن الـ function F is integrable والـ

42
00:03:26,050 --> 00:03:30,410
function Phi is continuous، لازم يطلع عندي الآن Phi

43
00:03:30,410 --> 00:03:37,450
composite F is integrable on، mean on I، إذن F من I

44
00:03:37,450 --> 00:03:43,130
لـ R integrable، Phi من J لعند R continuous، الآن Phi

45
00:03:43,130 --> 00:03:46,170
composite F continuous، composite integrable

46
00:03:46,170 --> 00:03:53,500
هيعطيني integrable function on I، الآن بدنا نثبت، الآن

47
00:03:53,500 --> 00:04:00,600
فاى composite F من I لعند R إنّها is integrable

48
00:04:00,600 --> 00:04:04,900
الآن كيف بدي أثبتها؟ بدي أثبتها .. بدي ألاقي

49
00:04:04,900 --> 00:04:09,040
partition ..  ده أقول لكل Epsilon أكبر من 0 بدي ألاقي

50
00:04:09,040 --> 00:04:16,060
partition P element in P of I such that L of أو U

51
00:04:16,060 --> 00:04:24,200
of P و F هذا اللي جبتُه ما أعرف أسأل، آسف أنا فعلاً 

52
00:04:24,200 --> 00:04:30,690
composed of G and F، Phi composite F ناقص L of P وفاي

53
00:04:30,690 --> 00:04:35,730
composite F إن يكون هذا المقدار أصغر من Epsilon، إذا

54
00:04:35,730 --> 00:04:40,590
وصلت لهذه النتيجة معناته أنه أنا أثبتت أنه اللي هي 

55
00:04:40,590 --> 00:04:46,490
الـ Phi composite F is integrable بناء على اللي هو الـ

56
00:04:46,490 --> 00:04:48,870
criterion of integrability اللي حكينا عنها

57
00:04:48,870 --> 00:04:53,700
المحاضرة قبل الماضية، الآن هذا الهدف اللي بدي أوصله 

58
00:04:53,700 --> 00:04:58,020
هيك بدي أوصل، هيك الآن عشان أوصل هيك بدي اللي هو

59
00:04:58,020 --> 00:05:02,900
أستخدم اللي هو المعطيات اللي موجودة عندي الآن

60
00:05:02,900 --> 00:05:08,380
هستخدم أمرين، هستخدم أكيد الـ continuity للـ Phi وهي 

61
00:05:08,380 --> 00:05:14,320
continuous على closed bounded interval إذا حسب

62
00:05:14,320 --> 00:05:18,080
نظرية في تحليل واحد هتكون Phi is uniformly 

63
00:05:18,080 --> 00:05:23,880
continuous وهذا هستغله في الوصول إلى هدفي، الآن هذه

64
00:05:23,880 --> 00:05:27,960
المعلومة بعد شوية هنخزنها ونحطها في .. في مكان ما

65
00:05:27,960 --> 00:05:33,420
لحين نستخدمها مع اللي هو إن F is integrable، مزام F 

66
00:05:33,420 --> 00:05:37,240
is integrable، إذا نبلج partition I بحيث إن الـ

67
00:05:37,240 --> 00:05:40,500
U للـ P والـ F نقص الـ L للـ P والـ F أصغر من مين؟ من

68
00:05:40,500 --> 00:05:44,220
some .. من الـ Epsilon، Epsilon تخدمني، هبدأ أسميها

69
00:05:44,220 --> 00:05:47,490
Epsilon، هبدأ أسميها Delta، أنا حوار، المهم أكيد مدام

70
00:05:47,490 --> 00:05:51,610
الـ Phi عندي integrability للـ F هتحقق إنه لكل اللي

71
00:05:51,610 --> 00:05:56,010
هو Epsilon there exists partition P، وحنلاقي إن الـ

72
00:05:56,010 --> 00:05:59,510
partition هذا اللي .. اللي نفع للـ F هو اللي هينفع

73
00:05:59,510 --> 00:06:04,300
للـ Phi composite F، هنجمج المعلومتين التنتين مع بعض

74
00:06:04,300 --> 00:06:06,680
اللي هي ال .. ال .. ال .. ال .. الـ uniform

75
00:06:06,680 --> 00:06:10,260
continuity للـ Phi مع الـ integrability للـ F للوصول

76
00:06:10,260 --> 00:06:14,920
إلى نتيجتنا وهي هذه النتيجة، هذه خلينا نقول الـ

77
00:06:14,920 --> 00:06:19,660
outline للبرهان، نبدأ الآن في تفاصيل البرهان، وطول

78
00:06:19,660 --> 00:06:25,400
روحكم عليها في اللي هو تفاصيل البرهان للوصول

79
00:06:25,400 --> 00:06:31,780
للنتيجة اللي حكيتها اللي كتبت على اللوح، بدي أقول

80
00:06:31,780 --> 00:06:39,240
الآن أول حاجة given Epsilon أكبر من صفر، أنا أخدت

81
00:06:39,240 --> 00:06:44,600
أي Epsilon أكبر من صفر، بدي أوصل الـ U بي Phi

82
00:06:44,600 --> 00:06:50,610
composite F ناقص الـ L بي Phi composite F أصغر من Epsilon

83
00:06:50,610 --> 00:06:55,150
for some اللي هو partition P، إذا وصلت لهيك بكون خلصت

84
00:06:55,150 --> 00:06:58,770
اللي هو نظريتي، طيب سلموا على النبي عليه الصلاة

85
00:06:58,770 --> 00:07:03,850
والسلام، لأن Phi عندي، Phi عندي continuous على

86
00:07:03,850 --> 00:07:08,950
مين؟ على اللي هي الـ J، الـ J عبارة عن closed bounded

87
00:07:08,950 --> 00:07:12,650
interval، مدام continuous عليها إذا uniformly 

88
00:07:12,650 --> 00:07:16,690
continuous، ماشي الحال، إذا مدام uniformly

89
00:07:16,690 --> 00:07:23,170
continuous، إذا أكيد .. أكيد حتكون اللي هو مدام ..

90
00:07:23,170 --> 00:07:26,750
حتى في الـ continuity أكيد حتكون إيش مالها؟ bounded

91
00:07:26,750 --> 00:07:34,710
إذا بقدر اللي هو أقول K بتساوي الـ supremum للـ Phi

92
00:07:34,710 --> 00:07:41,540
of T such that T element  الـ C والـ D التي هي الـ J

93
00:07:41,540 --> 00:07:45,900
هذه الآن بقدر احكي عن حاجة اسمها Supremum، اه طبعًا

94
00:07:45,900 --> 00:07:51,720
مش هي كلكم كمان، و الـ K هذه هتكون attains for

95
00:07:51,720 --> 00:07:55,500
some T بين C و D، ليه؟ لأنه Phi is continuous on a

96
00:07:55,500 --> 00:07:58,340
closed bounded interval then it attains its 

97
00:07:58,340 --> 00:08:00,920
absolute maximum and absolute minimum on this 

98
00:08:00,920 --> 00:08:05,120
interval، إذن أكيد في عندي K بيتساوي الـ Supremum لو 

99
00:08:05,120 --> 00:08:09,200
سلوك يدفع له 5 T، T Element in C و D، سمّيليها دي K ليش

100
00:08:09,200 --> 00:08:13,280
اتجهت؟ بتعرف ليش؟ هتستخدمها في الوصول إلى هدفي، إذا 

101
00:08:13,280 --> 00:08:16,960
الآن اللي عملته لحد الآن أخدت Epsilon arbitrarily

102
00:08:16,960 --> 00:08:21,860
أخدت اللي هو الـ supremum لهذا المقدار وسميته K، هل

103
00:08:21,860 --> 00:08:24,440
الـ supremum موجود؟ اه الـ supremum موجود و maximum

104
00:08:24,440 --> 00:08:27,480
كمان لأن الـ Phi is continuously on a closed

105
00:08:27,480 --> 00:08:31,840
bounded interval C و D، طيب

106
00:08:34,510 --> 00:08:39,830
الآن بدي آخذ بعيد إذنكم حاجة اسميها let Epsilon

107
00:08:39,830 --> 00:08:45,490
Prime بيساوي اللي هو Epsilon على B ناقص A زائد 

108
00:08:45,490 --> 00:08:49,670
اثنين K، الـ K هذه اللي فوق زائد اثنين K، والـ B والـ

109
00:08:49,670 --> 00:08:54,010
A اللي هي طول الفترة اللي هي I اللي أنا عمال بشتغل

110
00:08:54,010 --> 00:09:01,100
عليها، معرف عليها F، ليش هيك؟ بغرض الحسابات بعد شوية

111
00:09:01,100 --> 00:09:06,060
هتشوفوا ليش، و لو أصلاً احنا في النهاية الـ Epsilon

112
00:09:06,060 --> 00:09:10,140
الـ Prime هذه ما كتبناش بالشكل هذا، وطلع عندي اللي

113
00:09:10,140 --> 00:09:19,940
هو الـ U of P أو Phi composite F ناقص الـ L Phi

114
00:09:19,940 --> 00:09:26,070
composite F يكون أصغر من Epsilon مضروبة في something

115
00:09:26,070 --> 00:09:32,270
أي شيء، something ثابت، برضه هتقدي الغرض، لإنه اللي هي 

116
00:09:32,270 --> 00:09:35,310
زي ما قلنا المرة الماضية، مدام صحيحة لكل Epsilon

117
00:09:35,310 --> 00:09:38,150
في الدنيا إذا صحيح الواحد على N، خد الـ limit 

118
00:09:38,150 --> 00:09:41,530
للجهتين as N goes to infinity بيصير اللي هو هذا 

119
00:09:41,530 --> 00:09:45,670
اللي هو يؤدي الغرض، أو الـ Epsilon اللي هنا بتكون 

120
00:09:45,670 --> 00:09:50,730
اللي هو بيصير يعني تؤدي غرض أي أصغر من Epsilon في 

121
00:09:50,730 --> 00:09:53,510
الدنيا، لأن الـ Epsilon مدام أتمضروبة ضرب في ثابت

122
00:09:53,510 --> 00:09:57,930
بقدر الـ Epsilon أزغرها جد ما بدي، وتؤدي الغرض 

123
00:09:58,610 --> 00:10:05,280
المفروض فاهمين، طيب نيجي الآن، نرجع نقول إنه أخدت 

124
00:10:05,280 --> 00:10:08,980
Epsilon Prime بيساوي Epsilon على P minus A زائد 2K على 

125
00:10:08,980 --> 00:10:12,680
أساس أنه اللي هي تطلع عندنا الحسابات في الآخر

126
00:10:12,680 --> 00:10:16,480
مرتبة وخالصة، اللي هي أصغر من Epsilon، طبعًا هو 

127
00:10:16,480 --> 00:10:20,720
الأشرف أن Epsilon Prime بالشكل هذا أصلاً هو برهن

128
00:10:20,720 --> 00:10:23,680
النظرية أو برهنا النظرية وفي الآخر طلع إن Epsilon

129
00:10:23,680 --> 00:10:28,440
مضروبة في رقم جيت اللي هو رتبت حالي بحيث إنه حسبت

130
00:10:28,440 --> 00:10:32,320
إنّه عشان أطلّع Epsilon لحالها، خد Epsilon Prime بالشكل

131
00:10:32,320 --> 00:10:39,070
هذا، طيب نشوف .. نشوف الآن عندي Phi زي ما وعدناكم

132
00:10:39,070 --> 00:10:49,690
Phi is continuous on اللي هو C و D، مدام Phi

133
00:10:49,690 --> 00:10:53,010
continuous on C و D يا جماعة، إذا زي ما قلنا قبل

134
00:10:53,010 --> 00:11:01,660
بشوية إذا Phi is uniformly continuous on C و D، إيش

135
00:11:01,660 --> 00:11:07,680
معنى uniformly continuous؟ يعني اللي هو for every

136
00:11:07,680 --> 00:11:12,100
Epsilon في الدنيا، for every Epsilon .. خليني أخد

137
00:11:12,100 --> 00:11:15,020
Epsilon الـ Prime، for every Epsilon الـ Prime أكبر 

138
00:11:15,020 --> 00:11:21,680
من صفر there exists Delta Prime such that

139
00:11:21,680 --> 00:11:29,560
uniformly continuous، for every S و T element in C و D

140
00:11:29,560 --> 00:11:38,690
تحقق S minus T أصغر من Delta Prime يؤدي إلى Phi of S 

141
00:11:38,690 --> 00:11:43,690
S ناقص Phi of T أصغر من مين من Epsilon prime اللي

142
00:11:43,690 --> 00:11:49,450
أخدتها عندي لأي Epsilon في الدنيا هذا الكلام

143
00:11:49,450 --> 00:11:52,210
بيتحقق من دون أن هم Epsilon prime اللي حكيت عنها 

144
00:11:52,210 --> 00:11:58,090
فوق طيب إذا الآن اللي استخدمته بما أن Phi

145
00:11:58,090 --> 00:12:02,010
continuous على C وD إذا Phi is uniformly

146
00:12:02,010 --> 00:12:08,210
continuous on مين؟ on C أو D إذن الآن حسب التعريف

147
00:12:08,210 --> 00:12:11,530
الـ Uniformly Continuous لأي إبسلون في الدنيا من

148
00:12:11,530 --> 00:12:14,530
ضمنهن الإبسلون الـ prime الأكبر من 0 there exists

149
00:12:14,530 --> 00:12:17,430
delta prime خاصة بالإبسلون الـ prime بحيث أنه لما

150
00:12:17,430 --> 00:12:20,770
S و T في الـ C و الـ D و يكون الـ S minus T أصغر

151
00:12:20,770 --> 00:12:24,950
من delta prime يعطيني أن Phi S ناقص Phi T أصغر من مين من

152
00:12:24,950 --> 00:12:30,990
إبسلون الـ prime الآن أنا في delta معينة بدي

153
00:12:30,990 --> 00:12:35,830
ألاقيها أربطها بهذه واتحققلي هذا الكلام شوفوا كيف

154
00:12:35,830 --> 00:12:44,030
اصبروا عليها الآن if عندي delta prime هذه أصغر من

155
00:12:44,030 --> 00:12:49,430
epsilon prime then there exists Delta بتساوي Delta 

156
00:12:49,430 --> 00:12:53,130
prime بتاخد Delta إيش بتساوي أسميه بتسمي Delta

157
00:12:53,130 --> 00:12:56,370
prime مين يا جماعة؟ Delta و هاد ال Delta اللي

158
00:12:56,370 --> 00:12:58,790
سميتها اللي هي Delta prime اللي سميتها Delta هاد

159
00:12:58,790 --> 00:13:03,670
ال Delta هتحققها ليش؟ لأنها نفسها يعني بمعنى آخر

160
00:13:03,670 --> 00:13:08,150
إذا كانت ال S minus T أصغر من Delta prime بيعطيني

161
00:13:08,150 --> 00:13:10,830
Automatic أصغر من Delta prime اللي سميتها Delta

162
00:13:10,830 --> 00:13:15,810
بيعطيني Phi of S ناقص Phi of T أصغر من مين؟ من

163
00:13:15,810 --> 00:13:23,530
Epsilon prime طيب تشوفوا الآن if delta prime أكبر

164
00:13:23,530 --> 00:13:26,430
أو يساوي epsilon prime يا أي حالتين مافيش غير هيك

165
00:13:26,430 --> 00:13:28,830
يا delta prime أصغر من epsilon يا delta prime أكبر

166
00:13:28,830 --> 00:13:32,090
ساوي epsilon prime الآن if delta .. أهل جاي تفهموا

167
00:13:32,090 --> 00:13:34,530
ليش عملت هيك if delta prime أكبر ساوي epsilon

168
00:13:34,530 --> 00:13:41,100
prime then اللي هو there exists Delta أصغر من

169
00:13:41,100 --> 00:13:45,540
Epsilon prime بلاجي ولا بلاجيش Epsilon prime أكبر

170
00:13:45,540 --> 00:13:50,200
من 0 أكيد between أنا ابسلون prime أكبر من 0 إذا

171
00:13:50,200 --> 00:13:52,620
أنا أكيد بلاجي بين Epsilon prime أكبر من 0 بلاجي

172
00:13:52,620 --> 00:13:57,340
Delta بلاجي عدد نهائي من الأعداد اللي هو Delta أكبر

173
00:13:57,340 --> 00:14:01,400
من صفر وأصغر من إبسلون prime إذاً بلاجي Delta أصغر

174
00:14:01,400 --> 00:14:04,820
من إبسلون prime بلاجي أه بلاجي لإن بين الـ two

175
00:14:04,820 --> 00:14:09,820
real numbers اللي هو بين السفر وبين أي positive

176
00:14:09,820 --> 00:14:14,360
real number في infinite number of numbers بينهم

177
00:14:14,360 --> 00:14:17,600
سميت واحد قلت there exists Delta أصغر من إبسلون 

178
00:14:17,600 --> 00:14:21,860
prime such that .. طيب إيش بدك فيها هذه؟ such that

179
00:14:21,860 --> 00:14:27,400
.. أحنا الـ gate تشوفوا if S minus T أصغر من Delta

180
00:14:27,400 --> 00:14:34,000
فهذه الـ Delta if S minus T أصغر من Delta إذا أكيد

181
00:14:34,000 --> 00:14:37,860
هذه الـ Delta أصغر من مين؟ المختار هي أصغر من Y'

182
00:14:38,320 --> 00:14:42,480
وY' أصغر من مين؟ أصغر أو يساوى Delta prime من هنا

183
00:14:43,910 --> 00:14:50,290
الآن if S-C أصغر من Delta إذا .. إذا حيث الـ S-C

184
00:14:50,290 --> 00:14:54,910
هتكون أصغر من Y' واللي بدورها SY' أصغر بساوي Delta

185
00:14:54,910 --> 00:14:59,090
.. أصغر بساوي Delta prime إذا صارت عندي S-C أصغر

186
00:14:59,090 --> 00:15:03,010
من Delta قطعًا S-C أصغر من مين؟ من Delta prime

187
00:15:03,010 --> 00:15:07,450
وبناءً على اللي كتبته بالأحمر هذا كل إشي S-C أصغر

188
00:15:07,450 --> 00:15:15,270
من Delta prime إشي بيعطيني Phi S- Phi T أصغر من إبسلون

189
00:15:15,270 --> 00:15:20,550
prime إذا يا جماعة سواء دلتا prime أصغر من إبسلون

190
00:15:20,550 --> 00:15:25,710
prime أو دلتا prime أصغر من إبسلون epsilon prime

191
00:15:25,710 --> 00:15:33,020
بقدر ألاقي دلتا تتحقق فيها الخاصية لما S minus T

192
00:15:33,020 --> 00:15:36,900
أصغر من Delta لما S minus T أصغر من Delta يعطيني

193
00:15:36,900 --> 00:15:39,900
هذا المقدار أصغر من Epsilon prime هذا المقدار أصغر

194
00:15:39,900 --> 00:15:44,580
من Epsilon prime إذا أنا في النهاية there exist

195
00:15:44,580 --> 00:15:50,690
لوصلت له there exist Delta أكبر من 0 ونفس الوجد

196
00:15:50,690 --> 00:15:55,170
أشمالها Delta أصغر من إبسلون prime لأنه في الحالة

197
00:15:55,170 --> 00:15:59,650
ده أصغر من إبسلون prime وفي الحالة الأولى برضه الـ

198
00:15:59,650 --> 00:16:03,630
Delta أصغر من إبسلون prime لأنه اختار الدلتة هي

199
00:16:03,630 --> 00:16:08,490
Delta prime إذن في كل الحالات هي المربط الفلسفي

200
00:16:08,490 --> 00:16:13,950
الآن there exists Delta أكبر من 0 وأصغر من إبسلون

201
00:16:13,950 --> 00:16:22,170
prime such that لكل S وT element in C وD إذا حققت

202
00:16:22,170 --> 00:16:27,610
الخاصية S minus T أصغر من Delta بيعطيني على طول Phi S

203
00:16:27,610 --> 00:16:34,130
ناقص Phi T أصغر من مين من إبسلون prime إذن هي

204
00:16:34,130 --> 00:16:41,710
معلومة أخرى بدي أخذنها لأنني هحتاجها هي كمان معلومة

205
00:16:41,710 --> 00:16:46,270
الآن اسمحولي أمسح هذا ال hand عشان أخزن معلومتي

206
00:16:46,270 --> 00:16:49,770
اللي وصلت إلها مع المعلومات اللي موجودة عندي فوق

207
00:16:49,770 --> 00:16:57,090
طيب الآن شطبنا اللي عندنا hand خلصنا منه ووصلنا

208
00:16:57,090 --> 00:17:03,030
إلى المعلومة التالية اللي بدأ أخزنها الآن مع اللي

209
00:17:03,030 --> 00:17:10,620
مخزن فوق لأن there exists Delta أكبر من 0 وأصغر من

210
00:17:10,620 --> 00:17:18,140
Y' such that for every S وT element in C وD إذا

211
00:17:18,140 --> 00:17:25,340
حقق S minus T أصغر من Delta بيعطيني اللي هو Phi S

212
00:17:25,340 --> 00:17:34,140
minus Phi T أصغر من Y' وهذا سمونيها 1 سمونيها 2

213
00:17:34,140 --> 00:17:38,630
سمونيها Star اللي بدكم إياها ماشي الحال هذا الآن

214
00:17:38,630 --> 00:17:44,170
وصلت له وأنا بدي استخدمه بعد شوية

215
00:17:49,890 --> 00:17:54,390
اللي اللي بحب يتابع على التلخيص

216
00:17:54,390 --> 00:17:58,130
هاي اللي وصلت إليه الآن هايها there exists delta و

217
00:17:58,130 --> 00:18:01,390
الـ delta أصغر من epsilon prime if S و T element

218
00:18:01,390 --> 00:18:04,470
in J and S minus T أصغر من Delta then Phi of S

219
00:18:04,470 --> 00:18:08,030
ناقص Phi of T أصغر من إبسلون prime هذه اللي وصلنا

220
00:18:08,030 --> 00:18:15,670
إليها اللي قدرنا أن نصلها عشان بعد شوية بتستخدمها

221
00:18:15,670 --> 00:18:20,950
انتبه عليها الآن الآن استغلقنا معلومة الـ if I is

222
00:18:20,950 --> 00:18:24,490
continuous وحصلنا على معلومة مهمة جداً هي هذه

223
00:18:24,490 --> 00:18:28,630
المعلومة الآن بدي أستخدم المعلومة الموازية لها أن

224
00:18:28,630 --> 00:18:37,770
F is integrable الآن عندي F is integrable on I إذا

225
00:18:37,770 --> 00:18:43,010
حسب then حسب اللي هو ال .. ال .. ال integrability

226
00:18:43,010 --> 00:18:48,570
criterion اللي حكينا عنها there exists partition P

227
00:18:48,570 --> 00:18:56,690
element in P of I بجزء مين I such that اللي هو U

228
00:18:56,690 --> 00:19:05,920
of P وF معقس L بيوقف أصغر من أي إبسلون في الدنيا

229
00:19:05,920 --> 00:19:08,360
الإبسلون اللي في الدنيا الإبسلون اللي بدها

230
00:19:08,360 --> 00:19:12,040
استخدمها اللي حتة في الدنيا اللي هي مين هي Delta

231
00:19:12,040 --> 00:19:17,000
تربيع أصغر من مين من Delta تربيع بقدر أه بقدر طبعا

232
00:19:17,000 --> 00:19:19,960
مش احنا بنقول لكل إبسلون أكبر من صفر مادام F is

233
00:19:19,960 --> 00:19:23,040
integrable لذا لكل إبسلون أكبر من صفر there exist

234
00:19:23,040 --> 00:19:27,590
ال partition P بحيث أنه هذا أصغر من إبسلون الآن

235
00:19:27,590 --> 00:19:30,330
أبسط من اللي بحكي عنها Delta تربيع Delta تربيع

236
00:19:30,330 --> 00:19:35,650
أكبر من صفر إذا for Delta تربيع there exists P

237
00:19:35,650 --> 00:19:40,070
element in P of I such that U ناقص L أصغر من مين

238
00:19:40,070 --> 00:19:44,650
من Delta تربيع هذا ال partition P بيجزئلي مين؟

239
00:19:44,650 --> 00:19:51,670
بيجزئلي I بعد أذنكم سموليها بيه X0 و X1 لعند مين؟

240
00:19:51,670 --> 00:19:55,230
لعند Xn سموليها ال partition بس عشان أتعامل معاها

241
00:19:55,660 --> 00:19:57,540
اللي هو partition للـ I partition للـ I معناه

242
00:19:57,540 --> 00:20:00,880
بجزّه I جزّه أو ل X note X واحد X انت جداش أعدادها

243
00:20:00,880 --> 00:20:07,080
مش عارف حسب اللي هو اللي جناه بيه طيب شوف الآن بدي

244
00:20:07,080 --> 00:20:13,520
أعمل اللي هو شغلة بحيث عن الآن أقدر أستخدمها اللي

245
00:20:13,520 --> 00:20:18,360
هي أصل للي بدي من خلالها الآن هجيتوا تشوفوا ليش

246
00:20:18,360 --> 00:20:23,400
جزعين خدوا A الآن يا جماعة صارت Delta بين إيديا

247
00:20:23,400 --> 00:20:28,520
لجهتها Delta طيب الآن خدوا A هي عبارة عن كل ال

248
00:20:28,520 --> 00:20:34,160
indices K اللي هان هذولة و 0,1,2,3 كده هذه جزء

249
00:20:34,160 --> 00:20:38,520
اثنين ال I هي عند X0 لعند Xn هذه الفترة

250
00:20:38,520 --> 00:20:44,000
اللي هي من A لعند B يا جماعة لعند B ماشي الحال طيب

251
00:20:44,000 --> 00:20:49,380
خدوله A هي عبارة عن كل ال K بحيث أن Mk ناقص mk

252
00:20:49,380 --> 00:20:54,900
small تكون أصغر من Delta وخدول ال B بيساوي كل ال K

253
00:20:54,900 --> 00:20:59,740
such that Mk ناقص mk أكبر يساوي Delta إيش هذول

254
00:20:59,740 --> 00:21:04,700
عاملا؟ هذول بس ال indices عند من هنا صفر و واحد و

255
00:21:04,700 --> 00:21:08,480
اثنين عند من؟ عند ال K إذا أتجت جزءات ال indices

256
00:21:08,480 --> 00:21:15,500
هذول إلى جزء A الجزء اللي هو عندي اللي بخاصية

257
00:21:15,500 --> 00:21:19,980
اللي هو ال Mk ناقص mk أصغر من Delta بده يحطه في هذا ال

258
00:21:19,980 --> 00:21:24,280
set إذا هذه عبارة عن إيش مجموعة جزئية من ال .. من

259
00:21:24,280 --> 00:21:27,680
ال .. من ال .. من ال .. من ال .. من ال K من صفر

260
00:21:27,680 --> 00:21:36,490
لعند مين لعند n لعند أنا .. لعند أنا الآن هذه P

261
00:21:36,490 --> 00:21:40,870
هي عبارة عن المتبقي منهن مين المتبقي اللي الـ Mk

262
00:21:40,870 --> 00:21:44,170
ناقص mk أصغر أكبر أو يساوي Delta يعني بمعنى آخر

263
00:21:44,170 --> 00:21:49,430
أداة التجزئة لهذه اللي هي الخاصية أنه Mk نقص mk

264
00:21:49,430 --> 00:21:52,010
أصغر من مين من Delta أنتم عارفين إيش الـ Mk

265
00:21:52,010 --> 00:21:55,730
Capital و mk small؟ أكيد الـ Mk Capital هي

266
00:21:55,730 --> 00:21:59,710
عبارة عن الـ supremum لل F of X such that X

267
00:21:59,710 --> 00:22:04,740
element in Xk-1 لعند الـ Xk و الـ mk small

268
00:22:04,740 --> 00:22:09,560
بيساوي الـ infimum لل F of X such that X element

269
00:22:09,560 --> 00:22:16,640
in Xk-1 والـ Xk إذن يا جماعة اللي جزألي

270
00:22:16,640 --> 00:22:21,900
الـ A و الـ B هو خاصيته إن الـ mk capital يعني

271
00:22:21,900 --> 00:22:25,340
أعلى قيمة هي .. هي .. هي .. هي عندي أنا Xk-

272
00:22:25,340 --> 00:22:29,860
1 وهي Xk فرضنا أن الدالة هي الدالة زي هيك مثلا

273
00:22:29,860 --> 00:22:35,250
في المنطقة هذه الآن هي أعلى قيمة وهي أقل قيمة

274
00:22:35,250 --> 00:22:41,070
ال حاصل طرح أعلى قيمة وأقل قيمة في كل فترة .. كل

275
00:22:41,070 --> 00:22:44,770
sub interval بادي بقول هل هذا أكبر من .. أصغر من

276
00:22:44,770 --> 00:22:49,270
Delta ولا أكبر يساوي Delta اللي خاصيتهم الفرق

277
00:22:49,270 --> 00:22:53,930
بينهم أصغر من Delta بحط هنا الاندسيز هذا كهن واللي

278
00:22:53,930 --> 00:22:59,930
أكبر بحطه هن و بحط تجزيتها ليش هذه؟ هذه طريقة

279
00:22:59,930 --> 00:23:07,130
للوصول إلى اللي بديها وهتشوفه الآن طيب نيجي الآن

280
00:23:07,130 --> 00:23:20,690
لاللي هو نشوف الـ K Fk Element A مدام K Element A 

281
00:23:22,110 --> 00:23:26,470
إذا تحقق الخاصية هذه يعني Mk ناقص Mk أصغر من مين؟

282
00:23:26,470 --> 00:23:32,430
من Delta خذولي الآن أي X و Y في الفترة مين اللي هي

283
00:23:32,430 --> 00:23:39,330
XK ناقص واحد لعند XK شوفوا إيش اللي بديها الـ .. الـ

284
00:23:39,330 --> 00:23:43,130
.. الـ .. الـ .. الـ X و الـ Y هنا هي الـ X و الـ Y وهى

285
00:23:43,130 --> 00:23:46,430
رسمة الدالة في المنطقة هذه الـ X و الـ Y في داخل هدول

286
00:23:46,430 --> 00:23:53,930
طيب الآن الـ X و الـ Y هنا إذا أكيد الـ F of X الـ F

287
00:23:53,930 --> 00:24:00,090
of X ناقص F of Y نقطتين هنا نقطتين من هنا لهنا صور

288
00:24:00,090 --> 00:24:03,750
هنا صور هنا يعني ممكن صورة واحدة هنا و صورة

289
00:24:03,750 --> 00:24:08,440
الثانية هنا يعني ممكن صورة الثالثة هنا وصورة الأولى

290
00:24:08,440 --> 00:24:15,500
هنا يعني بمعنى آخر لو الـ X هنا و الـ Y هنا هي صورة

291
00:24:15,500 --> 00:24:21,400
الـ X وهي صورة مين الـ Y لو جيتوا .. أخدتوا .. هي

292
00:24:21,400 --> 00:24:26,760
صورة الـ Y لو أخدتوا الفرق بين هذه و بين هذه الفرق

293
00:24:26,760 --> 00:24:31,020
بين ما هو قيمة الدالة F of X هنا و قيمة الدالة F

294
00:24:31,020 --> 00:24:36,280
of Y هنا أكيد .. أكيد .. أكيد الفرق بينهم هيكون

295
00:24:36,280 --> 00:24:42,320
أصغر أو يساوي Mk ناقص من Mk لسبب بسيط أصلا لأن

296
00:24:42,320 --> 00:24:49,660
أصلا F of X هذه أصغر أو يساوي ما هو Mk أكيد و F

297
00:24:49,660 --> 00:24:54,400
of Y أصغر أو يساويها ماشي الحال نفس الـ .. يعني ..

298
00:24:54,400 --> 00:24:57,080
و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و

299
00:24:57,080 --> 00:24:57,100
و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و

300
00:24:57,100 --> 00:24:57,360
و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و

301
00:24:57,360 --> 00:24:57,720
و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و

302
00:24:57,720 --> 00:24:58,100
و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و

303
00:24:58,100 --> 00:24:59,480
و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و

304
00:24:59,480 --> 00:25:00,040
و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و

305
00:25:00,040 --> 00:25:07,580
و .. و .. و .. و .. و

306
00:25:07,580 --> 00:25:08,160
.. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و

307
00:25:08,160 --> 00:25:11,200
.. و .. و .. و ..

308
00:25:19,040 --> 00:25:24,000
فبيظل قيمة f of x ناقص f of y أصغر من مين؟ Mk ناقص

309
00:25:24,000 --> 00:25:28,460
Mk اللي مش واضح له من خلال الرسمة اللي عندي هنا

310
00:25:31,440 --> 00:25:34,520
يعني الآن خلّيني أرى أضحّ لحسن تكون مش واضحة للبعض

311
00:25:34,520 --> 00:25:41,360
هذه الرسمة هذه XK ناقص واحد وهذه XK خلّيني أكبر

312
00:25:41,360 --> 00:25:46,180
الرسمة عشان تكون أوضح وهذه XK لأن نفترضها أن هذه

313
00:25:46,180 --> 00:25:53,520
رسمتنا هيك وطلع زي هيك ماشي وهذه عندي أعلى نقطة

314
00:25:53,520 --> 00:25:58,710
خلّيني أصغّر هذه شوية وهذه أصغر نقطة هذه اللي

315
00:25:58,710 --> 00:26:03,970
بتتمثل لـ Mk وهذه بتتمثل لـ Mk Small هذه المسافة

316
00:26:03,970 --> 00:26:09,030
بينهم الفرق بينهم الآن الثانية لو جيت أخذت أي نقطة

317
00:26:09,030 --> 00:26:17,190
هنا X و أي نقطة Y هنا هذه X وهذه Y المسافة بينها دي

318
00:26:17,190 --> 00:26:21,310
و بينها دي قيمتها دي بيصير F of X أنا بصير F of X

319
00:26:22,380 --> 00:26:26,700
وهنا بيصير F of Y الفرق بين F of X و F of Y أكيد

320
00:26:26,700 --> 00:26:31,140
أصغر من الفرق هذا وكل النقاط اللي بين هذه و هذه

321
00:26:31,140 --> 00:26:37,340
هيكون يا إما زي الفرق هذا أو أصغر منه إذا أكيد

322
00:26:37,340 --> 00:26:45,820
عندي صار المفروض وضح الأمر هيكون عندي اللي هو هذا

323
00:26:45,820 --> 00:26:50,910
المقدار أصغر من هو هذا طيب ليش ليش هذا؟ هذا من مين للـ

324
00:26:50,910 --> 00:26:53,990
K اللي في الـ A والـ K اللي في الـ A شخصيتها Mk

325
00:26:53,990 --> 00:26:57,610
ناقصها Mk أصغر من مين؟ إذا صارت أصغر من الـ Delta

326
00:26:57,610 --> 00:27:04,470
إذا صارت F of X و F of Y أصغر من مين؟ من Delta طيب

327
00:27:04,470 --> 00:27:08,430
مادام F of X إيش علاقات هنا F of X و F of Y ما هي

328
00:27:08,430 --> 00:27:13,950
أصلا احنا مفترضين من الأول أن F of I جزئية من الـ

329
00:27:13,950 --> 00:27:18,430
J اللي هي عبارة عن C و D مظبوط ولا لأ إذا حيصير

330
00:27:18,430 --> 00:27:23,600
عندي F of X و F of Y موجودات في الـ C و D F of X و

331
00:27:23,600 --> 00:27:27,000
F of Y موجودات في الـ C و الـ D و بتحقق المسافة

332
00:27:27,000 --> 00:27:32,200
أصغر من Delta بينهم إذا حسب واحد اللي احنا أثبتنا

333
00:27:32,200 --> 00:27:35,960
أي نقطتين في الـ S و الـ D المسافة بينهم أصغر من

334
00:27:35,960 --> 00:27:39,600
Delta لازم صورة الـ .. صورة Phi of S و Phi of T

335
00:27:39,600 --> 00:27:42,540
المسافة بينهم أصغر من مين؟ من Epsilon و Prime إذا

336
00:27:42,540 --> 00:27:47,640
هذا Automatic هيعطيني Phi of النقطة الأولى اللي هي

337
00:27:47,640 --> 00:27:56,290
F of X ناقص Phi of النقطة الثانية يكون أصغر من

338
00:27:56,290 --> 00:28:06,890
مين من Epsilon Prime إذا صار عندي الآن لكل اللي عندي

339
00:28:06,890 --> 00:28:13,740
الـ K اللي في الـ A والـ X و Y في هذه المنطقة F of X

340
00:28:13,740 --> 00:28:17,920
ناقص F of Y طلع ليه أصغر من Delta حتى ملي الـ 5 F

341
00:28:17,920 --> 00:28:25,000
of X ناقص 5 F of Y أصغر من مين؟ من Epsilon إبراهيم ماشي

342
00:28:25,000 --> 00:28:29,820
الحال هذا الكلام لكل X و Y موجودات في الـ XK ناقص

343
00:28:29,820 --> 00:28:33,460
واحد والـ XK لخص الآن اللي وصلنا له لأنه بدي

344
00:28:33,460 --> 00:28:36,920
أستخدمه خليني ألخص خليني أشيل

345
00:28:41,000 --> 00:28:45,820
خلّيني بس أساعدك أكتب لكم في مكان هنا اتحملوني أنه

346
00:28:45,820 --> 00:28:54,640
عشان اللوح شوية A بيساوي كل الـ K مقصد Mk أصغر من

347
00:28:54,640 --> 00:29:05,600
Delta وعند B بيساوي كل الـ K بحيث أن Mk ناقص Mk أكبر

348
00:29:05,600 --> 00:29:10,060
أو يساوي Delta خلّيني أقولها في الذاكرة الآن خلّيني

349
00:29:10,060 --> 00:29:16,140
أمسح حاجة وألخص معلوماتي إيش معلوماتي بتقول دي لـ K

350
00:29:16,140 --> 00:29:26,610
اللي في الـ A ماشي الحال لكل X و Y في الفترة XK-1

351
00:29:26,610 --> 00:29:32,750
لعند الـ xk بيطلع عندي الـ Phi f of x يعني Phi

352
00:29:32,750 --> 00:29:40,990
composite f of x ناقص Phi composite f of y أشماله

353
00:29:40,990 --> 00:29:48,600
أصغر من Epsilon Prime واضح؟ إذن اللي وصلنا له لـ K

354
00:29:48,600 --> 00:29:53,700
اللي في الـ A عندي لـ K اللي في الـ A هذا الـ

355
00:29:53,700 --> 00:29:58,380
absolute value أظهر من مين؟ من Epsilon إبراهيم لكل

356
00:29:58,380 --> 00:30:05,580
مين؟ لكل XY في الـ XK ناقص XK ناقص 1 طيب نكمل لكم

357
00:30:05,580 --> 00:30:10,860
عليها هذا خلصنا منه صار عندي الآن شوفوا

358
00:30:19,430 --> 00:30:24,070
الشغل عمودي يا جماعة على الفترة هذه طيب شوف عندي

359
00:30:24,070 --> 00:30:31,590
Phi composite F of X ناقص Phi composite F of Y

360
00:30:31,590 --> 00:30:37,770
أكبر من Epsilon  و أكبر من مين؟ من ناقص Epsilon Prime بدأ أخد

361
00:30:37,770 --> 00:30:43,970
هذه الجهة خلّيني أخد الجهة من الجهتين وأبدأ أشتغل

362
00:30:43,970 --> 00:30:51,300
عليها واضحة هذه هذه أصغر من Epsilon' أكبر من ناقص Epsilon بديش

363
00:30:51,300 --> 00:30:56,980
هذا بتشغل هذه الآن لأن هذا الكلام صحيح لمن؟ لكل X

364
00:30:56,980 --> 00:31:02,740
و Y في الـ sub interval هذه اللي هي لكل مين الـ case؟

365
00:31:02,740 --> 00:31:06,600
الـ case اللي من A بس طيب شوف إذا صار عندي Phi

366
00:31:06,600 --> 00:31:14,580
composite F of X أصغر من Epsilon' بزايد Phi composite F

367
00:31:14,580 --> 00:31:21,720
of Y ماشي يا جماعة .. ماشي هذا الكلام لكل x و y في

368
00:31:21,720 --> 00:31:26,980
.. اللي هو xk ناقص .. من xk ناقص 1 عند xk اللي

369
00:31:26,980 --> 00:31:31,600
هنا .. هذا لكل x و y ثبت لي y .. ثبت لي y .. خلينا

370
00:31:31,600 --> 00:31:34,380
نحكي عن y محدد .. arbitrary y لكن خلينا .. ثبتها

371
00:31:34,380 --> 00:31:40,180
.. خلينا نحكي عن arbitrary fixed y بظل Epsilon' زي الـ

372
00:31:40,180 --> 00:31:47,140
phi composite f of y is true أكبر من هذه لكل x

373
00:31:47,140 --> 00:31:52,500
element in xk ناقص 1 لعند مين؟ لعند الـ xk أكيد

374
00:31:52,500 --> 00:32:00,060
أكيد هذا أكبر من هذا لكل x well موجودة في xk ناقص

375
00:32:00,060 --> 00:32:04,540
1 لعند مين؟ لعند الـ xk إذا صار هذا عبارة عن إيش

376
00:32:04,540 --> 00:32:08,880
يا جماعة عبارة عن upper bound لهذا الـ set مدام

377
00:32:08,880 --> 00:32:13,900
upper bound إلها إذا هيكون أكبر أو يساوي الـ least

378
00:32:13,900 --> 00:32:19,340
upper bound يعني بمعنى آخر الـ supremum لـ Phi

379
00:32:19,340 --> 00:32:25,280
composite F of X such that X element in XK ناقص 1

380
00:32:25,280 --> 00:32:31,240
لعند الـ XK اللي هو أصغر أو يساوي Epsilon Prime زي Phi

381
00:32:31,240 --> 00:32:38,520
composite F of mean of Y for any fixed Y طيب، هذا

382
00:32:38,520 --> 00:32:45,140
مين هو؟ هذا عبارة عن الـ Mk وسميها Delta أساس أو

383
00:32:45,140 --> 00:32:48,080
تلدا أساس اللي هي خاصة بمين الآن في الـ Phi

384
00:32:48,080 --> 00:32:53,100
Composite F عشان نميزها بالـ Mk اسمه بالـ Mk

385
00:32:53,100 --> 00:32:59,400
اللي خاصة بالـ F اللي عندي، ماشي الحال، طيب صار

386
00:32:59,400 --> 00:33:02,800
عندي Mk تلدا بيساوي الـ Supremum لهذا أصغر يساوي

387
00:33:02,800 --> 00:33:07,680
هذا هذا صار عدد صار العدد هذا أصغر من Epsilon Prime

388
00:33:07,680 --> 00:33:11,640
في Composite F of Y for any fixed Y يعني صحيح على

389
00:33:11,640 --> 00:33:16,320
كل Y وين موجودة في الفترة هذه إذا صار عندي الآن

390
00:33:16,320 --> 00:33:21,680
جيب لي هذه على الجهة هذه وهذه على الجهة هذه بيصير

391
00:33:21,680 --> 00:33:28,050
عندي اللي هو ناقص Phi Composite F of Y أصغر أو يساوي

392
00:33:28,050 --> 00:33:34,770
Epsilon و Prime ناقص مين؟ Mk تلدا وإذا بدك ممكن نجيب

393
00:33:34,770 --> 00:33:40,050
اللي هو الـ Epsilon و الـ Prime على الجهة الثانية مش

394
00:33:40,050 --> 00:33:50,310
مشكلة صار عندي الآن هذا يا جماعة صار

395
00:33:50,310 --> 00:33:58,380
عندي هذا اللي هو عبارة عن upper bound لهذا المقدار

396
00:33:58,380 --> 00:34:07,020
أكيد ولا لا؟ عارفين ليش؟ لأن هذا الآن أكبر أو 

397
00:34:07,020 --> 00:34:11,000
يساوي هذا المقدار لكل Y لأن كل الـ Y

398
00:34:11,000 --> 00:34:14,600
arbitrarily fixed لكن arbitrarily، إذا صحيح على

399
00:34:14,600 --> 00:34:19,640
كله، إذا بيصير عندي الآن اللي هو هذا أكبر أو يساوي

400
00:34:19,640 --> 00:34:24,260
الـ supremum لهذا، يعني بمعنى آخر الـ supremum، لا

401
00:34:24,860 --> 00:34:32,200
الناقص Phi composite F of Y such that Y element in

402
00:34:32,200 --> 00:34:39,360
YK as if XK ناقص 1 عند XK هذا الـ Supremum له

403
00:34:39,360 --> 00:34:48,670
أظهر أو يساوي Epsilon' ناقص Mk تلدا طيب هات إيش بتساوي

404
00:34:48,670 --> 00:34:56,670
طلعوا الناقص برا بيساوي ناقص الـ infimum معايا لأ

405
00:34:56,670 --> 00:34:59,790
لأنه مدام ناقص واحد طلع إذا بيقلب الـ supremum لـ

406
00:34:59,790 --> 00:35:05,530
infimum Phi composite F of Y such that Y element

407
00:35:05,530 --> 00:35:09,610
in XK ناقص واحد لعند الـ XK عرفتوا إيش اللي بده

408
00:35:09,610 --> 00:35:16,060
أقوله هذا مين هي يا شباب هذه عبارة عن الـ Mk تلدا

409
00:35:16,060 --> 00:35:19,680
اللي هي الـ infimum للـ Phi Composite F كتبت

410
00:35:19,680 --> 00:35:22,800
التلدة عشان ترمز لمين؟ للـ Phi Composite F وفي عندي

411
00:35:22,800 --> 00:35:28,460
ناقص قبلها إذا صارت عندي ناقص الـ Mk تلدا أصغر

412
00:35:28,460 --> 00:35:33,400
يساوي Epsilon ناقص الـ Mk تلدا بدي أجيب هذه هنا

413
00:35:33,400 --> 00:35:42,400
بيصير عندي إذا Mk تلدا أصغر ناقص Epsilon ناقص Mk تلدا

414
00:35:42,400 --> 00:35:51,080
small أصغر أو يساوي مين؟ Epsilon إذا اللي وصلت له ما

415
00:35:51,080 --> 00:35:59,440
يلي وهذه بده أصله أنه لكل K في الـ A طلع عندي Mk تلدا

416
00:35:59,440 --> 00:36:05,300
ناقص Mk prime أصغر من إيش هو إيش؟ Epsilon خلينا نسجلها

417
00:36:05,300 --> 00:36:11,830
عشان نبني عليها صار عندي الآن يا جماعة طولوا روحكم

418
00:36:11,830 --> 00:36:18,670
عليا إن شاء الله مش هم طوالين نخلص Mk تلدا ناقص M

419
00:36:18,670 --> 00:36:22,890
k تلدا small أصغر من إيش هو؟ Epsilon هذا لكل K وين

420
00:36:22,890 --> 00:36:30,330
موجودة في الـ A لكل K في الـ A طيب هذا اللي احنا إيش 

421
00:36:30,330 --> 00:36:38,150
مالِه أوصلنا إلى هصار عندي الآن الـ MK تلدى ناقص MK

422
00:36:38,150 --> 00:36:52,190
تلدِى أصغر من الـ E' لكل K فيه اللى هي NA الآن

423
00:36:52,190 --> 00:36:58,330
خد الـ summation، الـ summation للـ MK تلدى ناقص MK

424
00:36:58,330 --> 00:37:05,490
تلدِى small K element in A اللي هو هذا اللي هو أصغر

425
00:37:05,490 --> 00:37:09,310
أو يساوي في .. أصغر أو يساوي .. الآن قَدّوا .. قَدّوا

426
00:37:09,310 --> 00:37:11,470
.. قَدّوا .. قَدّوا .. قَدّوا .. قَدّوا .. قَدّوا .. قَدّوا ..

427
00:37:11,470 --> 00:37:12,010
قَدّوا .. قَدّوا .. قَدّوا .. قَدّوا .. قَدّوا .. قَدّوا ..

428
00:37:12,010 --> 00:37:13,570
قَدّوا .. قَدّوا .. قَدّوا .. قَدّوا .. قَدّوا .. قَدّوا ..

429
00:37:13,570 --> 00:37:15,170
قَدّوا .. قَدّوا .. قَدّوا .. قَدّوا .. قَدّوا .. قَدّوا ..

430
00:37:15,170 --> 00:37:17,810
قَدّوا .. قَدّوا .. قَدّوا .. قَدّوا .. قَدّوا .. قَدّوا ..

431
00:37:17,810 --> 00:37:31,850
قَدّوا .. قَدّوا .. قَدّوا .. قَدّوا .. قَدّوا

432
00:37:31,850 --> 00:37:39,180
..K element in A العداد هذا بعيد بعدد الـ K's اللي

433
00:37:39,180 --> 00:37:43,180
في الـ A يعني إبسيلون مضروب في عدد الـ K's اللي 

434
00:37:43,180 --> 00:37:48,060
موجودة في مين؟ في A هذا أكيد أكيد هذا أصغر أو

435
00:37:48,060 --> 00:37:55,320
يساوي الـ summation للإبسيلون على كل الـ K من عند

436
00:37:55,320 --> 00:38:00,980
صفر لعند مين؟ لعند اللي هو HN

437
00:38:03,340 --> 00:38:09,620
بس أنا الآن بدي آجي أودي الـ summation  وأضربه في

438
00:38:09,620 --> 00:38:13,460
مين؟ في طول الفترة؛ لأنه هي لازم لطول الفترة بعد

439
00:38:13,460 --> 00:38:20,660
اسمهم هذا، أضربه ليه؟ في XK بدي أضربه بس أوّسع عقله

440
00:38:20,660 --> 00:38:23,700
معلش، بدي أضربه يعني هذا الـ summation اللي حصلت

441
00:38:23,700 --> 00:38:29,320
عليه، بدي آخذ الـ summation MK تلده ناقص mk تلدِى

442
00:38:29,320 --> 00:38:34,540
وأضربه يا شباب في XK ناقص XK ناقص واحد K element 

443
00:38:34,540 --> 00:38:39,000
in A هيصير أصغر أو يساوي الـ summation للإبسيلون في

444
00:38:39,000 --> 00:38:48,620
XK ناقص XK ناقص واحد على الآن K element in A أكيد

445
00:38:48,620 --> 00:38:52,120
أصغر زي ما قلنا من الـ summation اللي فوق إبسيلون

446
00:38:52,120 --> 00:38:59,980
في XK ناقص XK ناقص 1 K من 0 لعند N ليش؟ هذا الـ

447
00:38:59,980 --> 00:39:02,420
summation بس على العناصر اللي في الـ A هذا الـ

448
00:39:02,420 --> 00:39:05,260
summation على كله على اللي في الـ A وعلى اللي في الـ

449
00:39:05,260 --> 00:39:08,760
B على كل بقى العناصر اللي هي الـ partition اللي

450
00:39:08,760 --> 00:39:15,420
عنده من 0 لـ 1، 2، عند مين؟ لعند الـ N طيب الـ N هذا

451
00:39:15,420 --> 00:39:20,200
المقدار هي اللي بدي إياها الآن هذا bridge كان أو جسر

452
00:39:20,200 --> 00:39:23,860
للوصول للي بدي إياها وحتى ممكن نُهان مباشرة لهذه هذه

453
00:39:23,860 --> 00:39:27,760
أصغر أو يساوي هذا هذا مش هو اللي بتطلع عليه بتطلع

454
00:39:27,760 --> 00:39:32,640
عليه هذا وبتطلع عليه هذا هذا خليه لأن أصغر يساوي

455
00:39:32,640 --> 00:39:36,460
مين؟ هذا المقدار هذا المقدار إيش بيساوي؟ إبسيلون في

456
00:39:36,460 --> 00:39:43,790
مين؟ X note ناقص X واحد زائد X واحد ناقص X اتنين زائد

457
00:39:43,790 --> 00:39:47,810
X اتنين ناقص X ثلاثة لما أصل لآخر واحد يضل اللي

458
00:39:47,810 --> 00:39:53,330
عبارة عن Y في Xn ناقص X note عملناها كثير ويساوي

459
00:39:53,330 --> 00:39:58,710
Y prime ويساوي Y prime في مين؟ في B ناقص A لأن الـ

460
00:39:58,710 --> 00:40:03,950
Xn هي عبارة عن B والـ X note هي مين؟ كانت هي الـ A

461
00:40:03,950 --> 00:40:10,110
إذا اللي وصلت له يا جماعة الآن وصلت إلى ما يلي أنه

462
00:40:10,110 --> 00:40:19,170
الـ summation للـ MK تلدى ناقص MK تلدى small لكي

463
00:40:19,170 --> 00:40:25,790
element A في XK ناقص XK ناقص واحد أصغر أو

464
00:40:25,790 --> 00:40:34,550
يساوي إبسيلون prime في B ناقص إيش؟ ناقص A واضح

465
00:40:34,550 --> 00:40:42,680
أنه هذه خزّنها؛ لأنه بدي إياها بعد شوية اتحملونا

466
00:40:42,680 --> 00:40:46,880
البرهان طويل شوية هي وصلنا إليها summation أزرع

467
00:40:46,880 --> 00:40:50,980
شوية إبسيلون رابع في B ناقص A؛ لأن بدنا نيجي لمين؟

468
00:40:50,980 --> 00:40:59,140
يا جماعة، بدنا نيجي للي هو انتبهوا عليها، بدنا

469
00:40:59,140 --> 00:41:03,280
نيجي للـ M للـ K اللي موجودة في مين؟ هذا الـ K في

470
00:41:03,280 --> 00:41:06,820
الـ A، ضال عند مين؟ احنا جزأتها إلى جزئين اللي هي

471
00:41:06,820 --> 00:41:11,340
الـ indices اللي عنده، K اللي هي في الـ A و K اللي

472
00:41:11,340 --> 00:41:18,060
هي في مين؟ في الـ B خذ الآن K element in B، شوف

473
00:41:18,060 --> 00:41:26,980
إيش؟ الـ MK تلدِى ناقص mk تلدِى إيش بتساوي؟

474
00:41:26,980 --> 00:41:32,380
بتساوي حسب التعريف Supremum للـ Phi Composite F of

475
00:41:32,380 --> 00:41:38,240
X للـ K اللي وين؟ في الـ B اللي هي MK تلدها ناقص MK

476
00:41:38,240 --> 00:41:42,540
تلدها اللي هي small Supremum للـ Phi F of X اللي

477
00:41:42,540 --> 00:41:47,980
هي الأولى هذه Such that X element in XK ناقص واحد

478
00:41:47,980 --> 00:41:54,860
وXK اللي هي زائد أو ناقص اللي هي مين؟ هذه الـ 

479
00:41:54,860 --> 00:42:01,200
infimum لـ فاي composite F of X such that X

480
00:42:01,200 --> 00:42:10,220
والموجودة في الـ XK ناقص واحد والـ XK مظبوط ولا

481
00:42:10,220 --> 00:42:18,690
لأ، احنا قلنا الـ Supremum لكل الـ Phi of T T على كل

482
00:42:18,690 --> 00:42:24,130
الـ C والـ D بيساوي إيش اسمه؟ بيساوي K هذه عبارة

483
00:42:24,130 --> 00:42:29,790
عن مين؟ شايفين، ما بديش أعيدك، بقى أكتب مرتين خليني

484
00:42:29,790 --> 00:42:33,890
أكتبها على شورة بتصير Phi of F of X يعني بتصير

485
00:42:33,890 --> 00:42:42,250
عبارة عن مين؟ Phi of F of X معايا؟

486
00:42:43,040 --> 00:42:48,280
وهاد إيش اسمها؟ بدي أدخل السالب جوا يا جماعة أو

487
00:42:48,280 --> 00:42:56,440
قبل ما أدخله، هد بيصير فاي فاي of F of X بعد

488
00:42:56,440 --> 00:43:01,560
أذنكم، بدي أدخل السالب جوا الـ infimum هتصير إيش ما

489
00:43:01,560 --> 00:43:06,240
لها؟ Supremum إذا بيصير هذا زائد وهد بتصير

490
00:43:06,240 --> 00:43:14,100
Supremum والسالب بدخل جوا طيب .. عندي الـ Phi F of

491
00:43:14,100 --> 00:43:19,800
X والـ Phi F of X للـ X اللي موجودة هنا الـ F of X

492
00:43:19,800 --> 00:43:25,460
هدولة من مين جايت؟ من الفترة C و D لأن زي ما قلنا F

493
00:43:25,460 --> 00:43:30,680
of A و F of I subset من الجهة اللي هي C و D لذا كل

494
00:43:30,680 --> 00:43:35,040
الـ element هنا موجود هنا يعني بمعنى آخر ال .. الـ

495
00:43:35,040 --> 00:43:38,720
supreme من اللي هنا اللي هي الـ K عندي الـ absolute

496
00:43:38,720 --> 00:43:45,400
value للـ Phi of T أكيد أكبر أو يساوي الـ Phi سالب

497
00:43:45,400 --> 00:43:51,080
Phi of T وأصغر أو يساوي الـ Phi of T أو بالسوية

498
00:43:51,080 --> 00:43:55,280
حتى أكيد

499
00:43:55,280 --> 00:43:57,900
خليني آخذها على خطوتين بتسويها دي؛ لأن الـ

500
00:43:57,900 --> 00:44:06,260
absolute value Phi of T أكبر سواء مين؟ سالب الـ Phi

501
00:44:06,260 --> 00:44:11,300
of T فبيصير عندي الـ supremum اللي عندي اللي هالة

502
00:44:11,300 --> 00:44:18,410
هذا Supremom لهذه أكيد أصغر أو يساوي اللي هو الـ

503
00:44:18,410 --> 00:44:22,170
Supremum هذا اللي هو K؛ لأن الـ Supremum هذا عالمين

504
00:44:22,170 --> 00:44:26,370
على كل الفترة C و D هنا اللي هي عالمين على X

505
00:44:26,370 --> 00:44:30,890
element in XK ناقص واحد وXK؛ لأن هذا Similarly

506
00:44:30,890 --> 00:44:35,910
أكيد الـ Supremum للـ Absolute Value هيكون أكبر أو

507
00:44:35,910 --> 00:44:39,070
يساوي الـ Supremum لهذه من جهتين أنه Absolute

508
00:44:39,070 --> 00:44:42,790
Value وفي نفس الوقت اللي هو المجموع هذه جزئية من

509
00:44:42,790 --> 00:44:48,380
اللي فوق إذن ده برضه بيكون أصغر أو يساوي K إذا صار

510
00:44:48,380 --> 00:44:53,800
automatic اللي هو هذه زائد هذه أصغر أو يساوي مين؟

511
00:44:53,800 --> 00:45:01,440
اتنين K من أي حاجة أصغر أو يساوي اتنين K الآن هذه

512
00:45:01,440 --> 00:45:06,160
الـ supremum زائد الـ supremum هذه بس لا يا ش لسانك

513
00:45:06,160 --> 00:45:11,900
يا شباب، وهذه K أصغر يساوي K زائد K عشان التلخيص

514
00:45:11,900 --> 00:45:19,460
بيصير أشملها اتنين K واضح إذا نخزن التانية اللي هي K

515
00:45:19,460 --> 00:45:24,480
element in B بعد إذنكم بيصير عندي الـ MK ناقص بلاش

516
00:45:24,480 --> 00:45:30,200
التفاصيل هذه خلصنا منها بيصير عندي الـ MK ناقص MK

517
00:45:30,200 --> 00:45:37,180
small أصغر من تلد تلد طبعًا أصغر من مين؟ من اتنين K

518
00:45:37,180 --> 00:45:43,280
طبعًا الـ K هنا index الـ K هذه capital هذه الـ K مين؟

519
00:45:43,280 --> 00:45:48,590
الـ K اللي فوق هذه هذا الـ K هو الـ index للـ B وهذا

520
00:45:48,590 --> 00:45:50,690
الـ K هو الـ index للـ B يعني الـ K هذه ليست إيادة

521
00:45:50,690 --> 00:45:57,370
هذه K هي الـ Supremum اللي فوق طيب نجمح

522
00:45:57,370 --> 00:46:03,190
معلوماتنا ونبدأ نجمحها الآن ونكون حصلنا على اللي

523
00:46:03,190 --> 00:46:08,410
بدهد اتنين K آه لب تلخيص 2K يا شباب لما تشوفوها لب

524
00:46:08,410 --> 00:46:13,770
تلخيص 2K الآن وجدت الـ summation على مين؟ على A؟

525
00:46:13,770 --> 00:46:16,710
بدي أوجد الـ summation على الـ P باقي الـ indices؛ لأن

526
00:46:16,710 --> 00:46:21,650
هالجات بدي أقول لكم ليش بالضيقة الآن إذا صار عندي الـ

527
00:46:21,650 --> 00:46:29,930
summation للـ Mk ناقص Mk تلدِى تلدِى في Xk ناقص Xk

528
00:46:29,930 --> 00:46:40,680
ناقص واحد K element in B الآن مظبوط أصغر أو يساوي

529
00:46:40,680 --> 00:46:45,120
اللي هو 2K برضه على الـ summation هذا الـ summation

530
00:46:45,120 --> 00:46:53,040
اللي هو 2K كابيتال كابيتال هذه ما لهاش علاقة بالـ K

531
00:46:53,040 --> 00:47:00,840
الـ element in B هنا في XK ناقص XK ناقص 1 أخذت الـ

532
00:47:00,840 --> 00:47:03,700
summation على الجهتين على كل الـ K الـ element in B

533
00:47:06,360 --> 00:47:20,220
ماشي طيب وين أكتب؟ طيب اتحملوني هلجيت عندي خليني

534
00:47:20,220 --> 00:47:25,300
أكتب هنا أشرح أنا شوية بهمش خليني أشرح على ال ..

535
00:47:25,300 --> 00:47:33,740
الكلف الـ B، الكلف الـ B احنا من تعريف الكلف الـ B بدي

536
00:47:33,740 --> 00:47:39,160
يكون الـ MK ناقص MK أكبر شو مين؟ دلتا صح؟

537
00:47:39,160 --> 00:47:41,980
بيصير عندي الآن دلتا يعني أصغر شو؟ MK ناقص M

538
00:47:41,980 --> 00:47:47,000
K الـ small A بيسمعوا على الـ دلتا هنا؟ هو أنا

539
00:47:47,000 --> 00:47:50,920
على الـ دلتا بيصير هذا إيه شبال، هو واحد، معايا؟

540
00:47:50,920 --> 00:48:02,180
فبيصير عندي الآن الـ summation على الواحد XK-XK- XK

541
00:48:02,180 --> 00:48:07,650
- XK- XK- XK- XK- XK- XK- XK أصغر أو يساوي MK نقص

542
00:48:07,650 --> 00:48:13,130
mk على دلتا ماشي خذ الـ summation للجهتين الـ

543
00:48:13,130 --> 00:48:19,030
summation للجهتين XK ناقص XK ناقص واحد وأنا الـ

544
00:48:19,030 --> 00:48:24,310
summation XK ناقص XK ناقص واحد K element in b

545
00:48:24,310 --> 00:48:28,850
لأن هذا صح للـ B بس لـ K element in B مظبوط ممكن

546
00:48:28,850 --> 00:48:33,880
حصلنا على هذا هي اللي موصول وهذا واحد على دلتا

547
00:48:33,880 --> 00:48:38,720
طلعها برا في الـ summation اللي عندي هذا ماشي وصلنا

548
00:48:38,720 --> 00:48:45,620
لـ هيك إذا الآن صار عندي هذا أصغر أو يساوي واحد على

549
00:48:45,620 --> 00:48:56,360
دلتا في مين؟ في الآن هذا اللي هو الـ UPUF طب أنا دي

550
00:48:56,360 --> 00:49:00,500
MK وMK آه مش MK تلدِى هذه آه

551
00:49:03,350 --> 00:49:07,230
ليش؟ لأنه .. شكروا أن أنا كاتبين هنا MK وMK تلتة

552
00:49:07,230 --> 00:49:15,130
لأن هذه الـ A، الـ B، الـ B، الـ K اللي فيها مصنفة

553
00:49:15,130 --> 00:49:19,530
على أساس MK اسمه ناقص MK أكبر زي دلتة فبيصير عندي

554
00:49:19,530 --> 00:49:25,800
الآن الـ MK ناقص MK اللي هو أكبر أو يساوي دلتا مش

555
00:49:25,800 --> 00:49:31,520
دلتا هذه هذه لمين؟ اللي مصنف عليها الـ B اللي هي

556
00:49:31,520 --> 00:49:35,860
بالنسبة للـ F هذه مش لـ Alpha Composite F إذا هذا

557
00:49:35,860 --> 00:49:38,560
أكبر أو يساوي دلتا على دلتا بيصير أكبر أو يساوي

558
00:49:38,560 --> 00:49:41,740
واحد على الـ summation اللي عملناها قبل بشوية أصغر

559
00:49:41,740 --> 00:49:44,720
أو يساوي واحد على دلتا في الـ summation هذا الآن

560
00:49:44,720 --> 00:49:55,810
.. الآن هذا مين هو؟ هو عبارة عن الـ UP وF مش كله 

561
00:49:55,810 --> 00:50:01,210
حتى جزء منه لأن الـ U P و F أيش مال الـ M كده تبعته

562
00:50:01,210 --> 00:50:08,310
الـ U P و F أيش هو يا شباب؟ هو عبارة عن الـ summation

563
00:50:08,310 --> 00:50:14,090
كي من عند واحد لعند N أو من Zero لعند N من واحد

564
00:50:14,090 --> 00:50:25,770
لعند N مظبوط لمين؟ لـ الـ Mك في xk minus xk minus

565
00:50:25,770 --> 00:50:30,070
واحد هذا الـ summation على مين؟ على كل الـ case من

566
00:50:30,070 --> 00:50:35,290
واحد لعند n بينما هذا الـ summation لمين؟ بس للجزء

567
00:50:35,290 --> 00:50:39,130
اللي هو في مين؟ في الـ B فأكيد الـ summation على هذه

568
00:50:39,130 --> 00:50:44,410
أظهر أوي ساوي الـ summation على هذه بشيء لأن الـ

569
00:50:44,410 --> 00:50:48,430
summation على هذه ناقص هذه برضه بظهر أوي ساوي هذا

570
00:50:48,430 --> 00:50:55,190
ناقص هذاليش؟ لأن الـ M K ناقص M نعمل كمية على جهة

571
00:50:55,190 --> 00:50:59,290
نعملها

572
00:50:59,290 --> 00:51:03,690
.. نعملها

573
00:51:03,690 --> 00:51:04,770
.. نعملها .. نعملها .. نعملها .. نعملها .. نعملها

574
00:51:04,770 --> 00:51:09,950
.. نعملها .. نعملها .. نعملها .. نعملها .. نعملها

575
00:51:09,950 --> 00:51:10,210
.. نعملها .. نعملها .. نعملها .. نعملها .. نعملها

576
00:51:10,210 --> 00:51:10,270
.. نعملها .. نعملها .. نعملها .. نعملها .. نعملها

577
00:51:10,270 --> 00:51:10,410
.. نعملها .. نعملها .. نعملها .. نعملها .. نعملها

578
00:51:10,410 --> 00:51:18,420
.. نعملها .. نعملها .. نعملها ..أيش هيساوي الـ

579
00:51:18,420 --> 00:51:24,940
summation للـ mk ناقص mk small في xk minus xk

580
00:51:24,940 --> 00:51:30,880
minus واحد هذا k من عند واحد لعند n مظبوط ولا لأ؟

581
00:51:30,880 --> 00:51:35,360
الآن أكيد أكيد هذا لأن هذا موجبة وهذا موجبة لأن

582
00:51:35,360 --> 00:51:42,060
هذا أكيد أكبر أو يساوي الـ summation لل mk ناقص mk

583
00:51:43,610 --> 00:51:51,390
xk-xk-1 k element in B لأن هذوله جزء من هذوله يعني

584
00:51:51,390 --> 00:51:56,150
نقصت من الـ summation هذا بعض الـ terms اللي أكبر أو

585
00:51:56,150 --> 00:51:57,810
يساوي 0 إذا نقص الـ summation

586
00:52:12,960 --> 00:52:19,320
طيب المفروض أن هذا واضح خلينا الآن نتطلع عليه

587
00:52:19,320 --> 00:52:25,060
عندي إذا الـ summation لل XK minus XK minus واحد K

588
00:52:25,060 --> 00:52:30,860
element بيطلع لي أصغر أو يساوي واحد على دلتا في الـ

589
00:52:30,860 --> 00:52:39,040
U ناقص L بس هذا أنا مخزنه لسه عندي الـ U ناقص L اللي

590
00:52:39,040 --> 00:52:40,940
هو هذا كله على الـ partition اللي بنشتغل عليه اللي

591
00:52:40,940 --> 00:52:45,860
لاجنناه في الأول الـU-L هذه أصغر من مين طلعت أصلاً

592
00:52:45,860 --> 00:52:48,880
من دلتة تربيع لأن هذا اعتمدنا عليه على

593
00:52:48,880 --> 00:52:53,660
الـ integrability للـ F الأول إذا لازمتني هنا اللي

594
00:52:53,660 --> 00:52:57,800
هو هذا أصغر من دلتة تربيع في واحد على دلتة بيصير

595
00:52:57,800 --> 00:53:04,160
أصغر من مين؟ من دلتة وهذا كله في ضوء الـ Delta اللي

596
00:53:04,160 --> 00:53:08,060
أنا بدأت فيها أصغر من مين أو أثبتتها أصغر من

597
00:53:08,060 --> 00:53:11,860
Epsilon إبراهيم اللي وجهتها أصغر من Epsilon

598
00:53:11,860 --> 00:53:16,340
إبراهيم إذا صار عندي الـ summation هذا أصغر من Ash

599
00:53:16,340 --> 00:53:22,280
من Epsilon إبراهيم لمين؟ لل K اللي Ash في B إذا

600
00:53:22,280 --> 00:53:25,340
اللي وصلت إليه الآن الـ summation

601
00:53:28,540 --> 00:53:32,980
الـ summation اللي وصلت إليه الـ summation للـ xk

602
00:53:32,980 --> 00:53:41,600
ناقص xk minus 1 k element in B أصغر من إبسلون

603
00:53:41,600 --> 00:53:46,920
إبراهيم الآن

604
00:53:46,920 --> 00:53:53,760
بس إحنا أثبتنا إن الـ summation هذا أيه أصغر أو

605
00:53:53,760 --> 00:54:00,430
يساوي 2k اتنين كيف الـ summation هذا مظبوط بدي أعوض

606
00:54:00,430 --> 00:54:06,850
الآن أشيل هذا بيصير عندي هاي شايفين يا شباب هاي

607
00:54:06,850 --> 00:54:14,070
عند الـ summation هذا أثبته أنه أصغر أو يساوي اللي

608
00:54:14,070 --> 00:54:24,580
هو epsilon prime واضح ومن أربعة بيصير عندي بعوض الـ

609
00:54:24,580 --> 00:54:28,980
summation أصغر من 2 كيف الـ summation اللي أثبتناه

610
00:54:28,980 --> 00:54:34,840
بحيته بس قبل شوية الـ summation أصغر من 2 كيف الـ

611
00:54:34,840 --> 00:54:40,140
summation بشيل هذا اللي هو هذا وأقول أصغر من مين

612
00:54:40,140 --> 00:54:43,760
من epsilon prime بيصير هذا المقدار اللي هو هذا الـ

613
00:54:43,760 --> 00:54:45,680
summation هيه

614
00:54:47,550 --> 00:54:54,290
هيو هذا هيو أصغر من من 2k في ash في الـ epsilon

615
00:54:54,290 --> 00:55:00,110
prime إذا طلع عندي الجزء الثاني summation خلصنا من

616
00:55:00,110 --> 00:55:07,610
هذا صار عندي الجزء الثاني اللي أثبته summation للـ

617
00:55:07,610 --> 00:55:19,240
mk تلدى ناقص mk تلدى في xk-xk-1 k element in B أصغر

618
00:55:19,240 --> 00:55:26,980
من مين طلع من epsilon prime في 2k ابسلون برايم في

619
00:55:26,980 --> 00:55:36,650
2k الآن خلصنا احسبولي إذا احنا لقينا الـ partition B

620
00:55:36,650 --> 00:55:44,330
لكل option أكبر من 0 لقينا B بحيث أنه U B of I

621
00:55:44,330 --> 00:55:54,210
composite F ناقص الـ B of I composite F هذا أيش ماله

622
00:55:54,210 --> 00:55:59,310
بيساوي اللي هو الـ summation اللي هيضع على كل الـ K

623
00:55:59,310 --> 00:56:02,390
و الـ summation اللي هيضع على كل الـ K و الـ K

624
00:56:02,390 --> 00:56:05,910
جزّانها لجزين أيش في الـ A وايش في الـ B إذا

625
00:56:05,910 --> 00:56:14,110
بيساوي اللي هو الـ summation لـ الـ A الـ MK ناقص

626
00:56:14,110 --> 00:56:23,140
MK تلدة تلدة في xk-xk-1 k من واحد لعند n صح ولا لأ

627
00:56:23,140 --> 00:56:28,220
اه طبعاً هو التعريف هذا اللي هو بيثاوي الآن الـ K

628
00:56:28,220 --> 00:56:32,460
اللي عندك جزّالت لجزين واحد في الـ A واحد في مين؟

629
00:56:32,460 --> 00:56:37,080
في الـ B، إذن هذا الـ summation الكل بيساوي الـ

630
00:56:37,080 --> 00:56:41,340
summation على K في الـ A زائد الـ summation نفسه

631
00:56:41,340 --> 00:56:45,720
على K وين ماله؟ في الـ B الـ summation لمين؟ لهذه

632
00:56:45,720 --> 00:56:53,280
اللي هي MK تلد ناقص MK تلد small في XK minus XK

633
00:56:53,280 --> 00:57:01,450
minus واحد زائد MKتلدة ناقص mk small في xk minus

634
00:57:01,450 --> 00:57:08,990
xk minus واحد اه طيب يعني الآن هذا الـ U وهذا الـ L

635
00:57:08,990 --> 00:57:12,030
صار بيساوي هذا الجزء وهذا الجزء وهذا السبب أصلاً

636
00:57:12,030 --> 00:57:17,590
اللي خلّانه أجزء هذا طلع لي الآن مين هو؟ طلع لي أصغر

637
00:57:17,590 --> 00:57:22,970
من epsilon prime أصغر من epsilon prime في b minus

638
00:57:22,970 --> 00:57:32,330
a والتاني طلع أصغر من E' في 2K E' في 2K يعني هدول

639
00:57:32,330 --> 00:57:40,140
الاثنين مع بعض أيش بيساون؟ بيساون E' فيه 2k بيزاق

640
00:57:40,140 --> 00:57:56,220
بيزاق بيزاق بيزاق بيزاق بيزاق بيزاق

641
00:57:56,310 --> 00:58:04,950
على b minus a زي اتنين k في اتنين k زي b minus a

642
00:58:04,950 --> 00:58:10,030
وهذه بتروح مع حد بيساوي أيش؟ ابسلون إذا اللي وصلت له

643
00:58:11,120 --> 00:58:17,600
لكل إبسلون أكبر من صفر لكل

644
00:58:17,600 --> 00:58:22,480
إبسلون أكبر من صفر لكل إبسلون أكبر من صفر لكل

645
00:58:22,480 --> 00:58:25,660
إبسلون أكبر من صفر لكل إبسلون أكبر من صفر لكل

646
00:58:25,660 --> 00:58:27,320
إبسلون أكبر من صفر لكل إبسلون أكبر من صفر لكل

647
00:58:27,320 --> 00:58:28,360
إبسلون أكبر من صفر لكل إبسلون أكبر من صفر لكل

648
00:58:28,360 --> 00:58:32,200
إبسلون أكبر من صفر لكل إبسلون أكبر من صفر لكل

649
00:58:32,200 --> 00:58:34,180
إبسلون أكبر من صفر لكل إبسلون أكبر من صفر لكل

650
00:58:34,180 --> 00:58:36,880
إبسلون أكبر من صفر لكل إبسلون أكبر من صفر لكل

651
00:58:36,880 --> 00:58:47,340
إبسلون أكبر من صفر طيب الآن نيجي بدنا اللي هو نأخذ

652
00:58:47,340 --> 00:58:55,660
اللي هو تطبيقات على هذه النظرية ونشوف

653
00:58:55,660 --> 00:59:02,600
كيف بدنا نطبق هذه النظرية للوصول إلى نتاج أخرى

654
00:59:02,600 --> 00:59:09,280
تتعلق بخواص التكامل أو بخواص تكامل لريمان لأن

655
00:59:09,280 --> 00:59:15,300
عرفنا وجاوبنا على اللي هو المجموع وعلى حسب ضرب K

656
00:59:15,300 --> 00:59:20,100
في الـ .. في الـ F ولقينا على الـ composition وتحت أي

657
00:59:20,100 --> 00:59:24,360
ضارف كان F I composite F is integrable الآن نكمل

658
00:59:24,360 --> 00:59:30,120
اللي هو نأخذ اللي هو الـ corollary اللي عندي اللي

659
00:59:30,120 --> 00:59:39,150
هي بتقولي اللي هي من تلت فروع لو كانت I عبارة عن

660
00:59:39,150 --> 00:59:43,990
الـ closed interval A و B و F من I لعند R is

661
00:59:43,990 --> 00:59:47,370
integrable on I then the absolute value of a

662
00:59:47,370 --> 00:59:50,630
function F obtained by the absolute value is

663
00:59:50,630 --> 00:59:54,410
integrable on I والـ absolute value of integration

664
00:59:54,410 --> 00:59:56,470
أصغر يساوي الـ integration للـ absolute value للـ

665
00:59:56,470 --> 01:00:02,810
F اللي هي أصغر يساوي K K في الـ B minus A حيث الـ K

666
01:00:02,810 --> 01:00:06,750
هذه من أين جاية؟ هي الـ bound لل F of X لأن F is

667
01:00:06,750 --> 01:00:12,260
integrable إذا أكيد bounded فن element in F يعني

668
01:00:12,260 --> 01:00:15,280
اللي بتقولي هذا باختصار ده كانت F is integrable الـ

669
01:00:15,280 --> 01:00:18,100
absolute value لل F أيش ما لها؟ integrable والـ

670
01:00:18,100 --> 01:00:20,160
absolute value لل integration أصغر سوى الـ

671
01:00:20,160 --> 01:00:22,860
integration لل absolute value أصغر سوى K اللي هي

672
01:00:22,860 --> 01:00:26,580
ال maximum لل أو خليني أقول الـ bound لل F of X

673
01:00:26,580 --> 01:00:31,080
absolute value ل F of X في B minus A الجزء الثاني

674
01:00:31,080 --> 01:00:35,460
اللي هو هتطلع لي برضه الـ Fn is integrable لأن Fn

675
01:00:35,460 --> 01:00:41,560
هو إنتجر

676
01:00:42,100 --> 01:00:46,780
الآن إذا كان الشغل الثاني إذا كان فيه Delta بحيث

677
01:00:46,780 --> 01:00:50,400
أن F of X أكبر يساوي Delta يعني F of X أكبر أو

678
01:00:50,400 --> 01:00:53,900
يساوي Delta أكبر يساوي Delta ليش؟ على أساس إنه

679
01:00:53,900 --> 01:00:58,140
يضمن مقلوب هيكون bounded بيصير 1 على F of X أصغر

680
01:00:58,140 --> 01:01:00,680
أو يساوي 1 على Delta يعني بمعنى أكثر F is bounded

681
01:01:00,680 --> 01:01:04,720
إذن بحقله يحكي عن ال Integrability لـ 1 على F ويقول

682
01:01:04,720 --> 01:01:07,780
لي تحت الظرف هذا لو كانت F of X أكبر يساوي Delta

683
01:01:08,470 --> 01:01:12,210
و Delta أكبر من 0 هيكون 1 على الـ F أيش ماله؟ is

684
01:01:12,210 --> 01:01:15,830
integrable on I خليني أترجح واحدة واحدة اللي

685
01:01:15,830 --> 01:01:24,690
عنها الـ gate F عندي من I لعين بR is integrable إذا

686
01:01:24,690 --> 01:01:29,350
there exists K اللي هو أكبر من 0 such that

687
01:01:29,350 --> 01:01:33,330
absolute value of F of X أصغر أو يساوي أيش؟ K مدام

688
01:01:33,330 --> 01:01:36,430
أن تقرأ بالـ F إذا أكيد is bounded إذا الـ absolute

689
01:01:36,430 --> 01:01:43,030
value of X أصغر أو يساوي الـ K طيب الآن يا جماعة

690
01:01:43,030 --> 01:01:47,230
عندي هاد الـ corollary أصلاً اللي جابله بدي أظبط لي

691
01:01:47,230 --> 01:01:54,070
two functions بدي أعرف الآن صارت عند الـ F of I الـ

692
01:01:54,070 --> 01:02:00,230
F of I صارت الـ F of I أكيد subset بين نقص K ومين؟

693
01:02:00,230 --> 01:02:01,210
أو K

694
01:02:07,180 --> 01:02:19,960
طيب يعني الآن لو جيت عرفت Phi من اللي هو عنده ناقص

695
01:02:19,960 --> 01:02:27,990
K لعند الـ K لعند الـ R عرفتها على أساس فاي ما هو

696
01:02:27,990 --> 01:02:30,950
absolute value إذا مضحكت تجيب الـ absolute value

697
01:02:30,950 --> 01:02:38,250
فاي of T بيساوي absolute value لمين؟ لل T ماشي الحال

698
01:02:38,250 --> 01:02:42,430
هي الدلال عندي أكيد الـ absolute value أيش ما لها؟

699
01:02:42,430 --> 01:02:47,370
is continuous مدام الـ absolute value الفاي is

700
01:02:47,370 --> 01:02:52,870
continuous و الـ F معطيله إيها integrable أيضا by 

701
01:02:52,870 --> 01:03:00,670
the above theorem, Φ composite F is integrable, Φ

702
01:03:00,670 --> 01:03:07,610
composite F of T يساوي Φ of F of T اللي هي 

703
01:03:07,610 --> 01:03:12,330
بتساوي إيش؟ 1 absolute value Φ of T بتساوي

704
01:03:12,330 --> 01:03:17,490
absolute value لمين؟ للـ F of T إذاً عندي

705
01:03:17,490 --> 01:03:23,460
absolute value للـ F is integrable, إذاً مدامة Φ

706
01:03:23,460 --> 01:03:27,460
is continuous و F integrable لأن حسب النظرية Φ 

707
01:03:27,460 --> 01:03:30,640
composite F is integrable و Φ composite F هي

708
01:03:30,640 --> 01:03:33,400
طلعت من الـ absolute value للـ F طبعاً Φ

709
01:03:33,400 --> 01:03:36,880
composite F من وين هتشتغل؟ من عند اللي هي ال

710
01:03:36,880 --> 01:03:42,920
interval I لعند مين؟ لعند R لأن Φ اللي هو F of T 

711
01:03:42,920 --> 01:03:49,980
هيجي يقعد في الفترة هذه و Φ هترسل اللي بيجي لوين؟

712
01:03:49,980 --> 01:03:55,250
لعند I. ما ضحك ها طيب الآن عندي بدي أثبت أن ال

713
01:03:55,250 --> 01:03:58,590
integration ال absolute value لل integration أصغر

714
01:03:58,590 --> 01:04:01,350
ساوي ال integration لـ absolute value هذه صارت

715
01:04:01,350 --> 01:04:07,670
بعضها معلومات صادقة اللي هو عندي ال F أكبر أو يساوي

716
01:04:07,670 --> 01:04:11,610
اللي هي absolute value لل F بالسالب و أصغر أو يساوي

717
01:04:11,610 --> 01:04:14,790
ال absolute value للـ F. صارت الآن احنا أتبعت

718
01:04:14,790 --> 01:04:17,990
أن ال absolute value is integrable. إذاً الآن بما أن

719
01:04:17,990 --> 01:04:21,270
F بين هذولة الدالتين حسب نظرية أخدناها المرة

720
01:04:21,270 --> 01:04:24,910
الماضية أو remark, إذا بيصير ال integration لل

721
01:04:24,910 --> 01:04:28,590
absolute value لل F من A ل B أصغر أو يساوي ال

722
01:04:28,590 --> 01:04:32,330
integration لل F من A ل B أصغر أو يساوي ال

723
01:04:32,330 --> 01:04:38,190
integration لل F من A ل B. وهذا إيش معناته؟ هذا

724
01:04:38,190 --> 01:04:43,610
معناته إذا ال absolute value لل integration لل F 

725
01:04:43,610 --> 01:04:49,150
من A ل B أصغر أو يساوي اللي هو ال integration لأبسل

726
01:04:49,150 --> 01:04:57,690
و لأ للـ F من A ل B. ماشي الحال و طبيعي عندي هذه

727
01:04:57,690 --> 01:05:02,270
أثبتناها بهذه و طبيعي مدام عندنا لسه ما 

728
01:05:07,890 --> 01:05:12,470
أو ملاحظة سابقة، لبس ال integration من a ل b، لبس ال

729
01:05:12,470 --> 01:05:18,070
value of F of x أصغر أو يساوي اللي هو من K في طول 

730
01:05:18,070 --> 01:05:27,050
الفترة بـ-a. مع هذه together بنحصل على اللي هو

731
01:05:27,050 --> 01:05:30,750
المطلوب، ال absolute value لل integration أصغر أو يساوي

732
01:05:30,750 --> 01:05:34,690
ال integration لل absolute value أصغر أو يساوي K في ال

733
01:05:34,690 --> 01:05:39,510
B minus A. هذه اللي هو الجزء الأول من ال corollary.

734
01:05:39,510 --> 01:05:44,310
خلينا نشوف الجزء الثاني من ال corollary برضه اللي

735
01:05:44,310 --> 01:05:51,270
هو برهانه سهل و برهانه اللي هو مشابه للمنطق اللي 

736
01:05:51,270 --> 01:05:57,070
حكيناها عندنا قبل بشوية. طيب صلى الله علينا يا عزيزي

737
01:05:57,070 --> 01:06:01,410
عليه الصلاة والسلام. الآن يا شباب عندي اللي هو

738
01:06:01,410 --> 01:06:05,110
الجزء الثاني، بدنا نثبت أن الـ F أس N is integrable

739
01:06:05,110 --> 01:06:09,110
في حالة الـ F integrable لأن أكيد شكلنا بدنا نيجي 

740
01:06:09,110 --> 01:06:16,950
عند الـ F من I لعند R is integrable. الآن عندي اللي

741
01:06:16,950 --> 01:06:21,470
هو .. بدي أسأل أن أثبت أنها Integrable. فلو جيت أنا

742
01:06:21,470 --> 01:06:30,170
عرفت F, F أو اللي هو Φ function من اللي هو domain 

743
01:06:30,170 --> 01:06:35,150
اللي هو F of I من اللي هو range لل F, range لل F

744
01:06:35,150 --> 01:06:45,640
range لل F لعند ال R بحيث أن أقول Φ of T يساوي T

745
01:06:45,640 --> 01:06:51,120
أس N. five of T إيش بيساوي؟ بيساوي T أس N أو 

746
01:06:51,120 --> 01:06:54,180
إذا كان بدك اللي هو بدك إيش تكون ال range ل F خلاص

747
01:06:54,180 --> 01:06:57,460
من عارفها من وين؟ من اللي من اللي قبل بشوية من ناقص 

748
01:06:57,460 --> 01:07:01,980
K لعند K. عارفين ليه؟ لأن ال absolute value لل F of

749
01:07:01,980 --> 01:07:06,840
X أصغر مش هو ال K؟ إذاً أكيد لما ترمي ال F of X 

750
01:07:06,840 --> 01:07:11,410
هتكون ترمي في الفترة من ناقص K لعند K أو subset

751
01:07:11,410 --> 01:07:15,970
بيصير الـ F of I subset من ناقص K و K. إذاً صارت

752
01:07:15,970 --> 01:07:22,510
الـ Φ composite F, Φ composite F is defined من

753
01:07:22,510 --> 01:07:31,140
I لعند ال R وعندي Φ composite F of T يساوي Φ

754
01:07:31,140 --> 01:07:37,200
of F of T ويساوي F of T اللي هو Φ of T يساوي T

755
01:07:37,200 --> 01:07:41,560
أس N. بيصير Φ of F of T اللي هي عبارة عن F of T

756
01:07:41,560 --> 01:07:48,540
يا جماعة أس N. الآن كل الأمور طيبة ومنيحة. ليش؟

757
01:07:48,540 --> 01:07:53,260
ووصلنا كمان عندي F integrable و F continuous

758
01:07:53,260 --> 01:07:57,420
هتتدللوا الـ C شمالها اللي هو الـ T أس N is

759
01:07:57,420 --> 01:08:03,540
continuous اللي جزء من البلونوميال. بيصير عندي F I

760
01:08:03,540 --> 01:08:06,660
is continuous و F integrable. لذلك حسب النظرية اللي 

761
01:08:06,660 --> 01:08:10,680
قبل بشوية، إيش هيطلع عندي؟ F I composite F is 

762
01:08:10,680 --> 01:08:16,440
integrable بمعنى أن F أس N is integrable. فكرة معادلة

763
01:08:16,440 --> 01:08:22,570
أصلها أنه سنة يعني اللي هو الأمور واضحة الآن. ضال

764
01:08:22,570 --> 01:08:30,190
عند مين؟ اللي هو الـ .. الـ .. الـ .. الـ .. نثبت الجزء 

765
01:08:30,190 --> 01:08:36,010
الثالث من ال corollary اللي هي بدنا نثبت أنه لو 

766
01:08:36,010 --> 01:08:43,490
كانت ال F of X أكبر أو يساوي واحد على دلتا اللي هي 

767
01:08:43,490 --> 01:08:47,530
for every x element in I وعندي there exists دلتا 

768
01:08:47,530 --> 01:08:52,390
كمان وصفر ساشرات. إذا كان هذا متحقق إذن هتطلع عندي

769
01:08:52,390 --> 01:08:55,970
اللي هي الواحد على ال F, بيدثبت أن الواحد على ال F

770
01:08:55,970 --> 01:08:58,950
إيش is integrable. بدنا نعمل .. نجيب continuous 

771
01:08:58,950 --> 01:09:02,890
function. أكيد كل جمجال نجيب مقلوبة دالة يعني في حوض 

772
01:09:02,890 --> 01:09:09,800
five من ناقص K لعند K لعند R وخد Φ, عارفين ما هو

773
01:09:09,800 --> 01:09:13,000
ال scale كده. سبب اللي قلت قبل شوية Φ دي إيش

774
01:09:13,000 --> 01:09:17,600
متساوي؟ أكيد كلكم حيقول واحد على T. ماشي الحال، واحد 

775
01:09:17,600 --> 01:09:26,180
على T بس اه لأ، عدم ديش أقدر أعمل hand أفععل عشان

776
01:09:26,180 --> 01:09:31,250
مانبدعش في السفرة يا شباب. خدوها من عند Delta لعند 

777
01:09:31,250 --> 01:09:36,470
مين؟ لعند K. ليش .. ليش .. ليش اللي هو عكيفك؟ أه F

778
01:09:36,470 --> 01:09:40,670
of X اللي هو absolute value أصغر أو تساوي K يعني F 

779
01:09:40,670 --> 01:09:46,160
of X أصغر أو تساوي K وأكبر أو تساوي ناقص K. و أثناء هذه

780
01:09:46,160 --> 01:10:12,580
أكيد ما عطينيها أكبر شو مين Delta 

781
01:10:14,710 --> 01:10:21,230
اللي هو .. إيه الكلام هذا؟ مشروع هو بيصير عنده ..

782
01:10:21,230 --> 01:10:24,170
اللي هو Φ of T يساوي واحدة على T ما فيش أي مشكلة،

783
01:10:24,170 --> 01:10:27,470
ما فيش مشاكل أسفار، ما فيش مشاكل كده، إذا صارت ده

784
01:10:27,470 --> 01:10:31,490
اللي إيش مالها؟ continuous. continuous. هفهم إن فهمت

785
01:10:31,490 --> 01:10:34,810
القصة، Φ composite of F continuous و integrable

786
01:10:34,810 --> 01:10:38,310
إذا كلها على بعضها integrable. يعني Φ of T بتصير

787
01:10:38,310 --> 01:10:44,750
Φ of F of T يعني بتساوي واحد على F of T. يعني صارت 

788
01:10:44,750 --> 01:10:51,650
الدالة واحد على F is integrable. وهك

789
01:10:51,650 --> 01:10:55,670
مكون، احنا خلصنا اللي هو ال corollary. ضال عندي الآن 

790
01:10:55,670 --> 01:11:01,570
نجاوب على السؤال الثاني، هل حاصل ضرب ضرب دالتين 

791
01:11:01,570 --> 01:11:06,650
integrable is integrable؟ بنقول اه integrable يعني

792
01:11:06,650 --> 01:11:11,380
بمعنى آخر بقول ليه النظرية اللي هي اللي بعدها 7,2,7

793
01:11:11,380 --> 01:11:18,020
بتقول ما يلي، بتقول لو كانت F و G integrable يعني

794
01:11:18,020 --> 01:11:25,480
لو كان عندي خليني أكتب بالأصفر أفضل F و G من I

795
01:11:25,480 --> 01:11:33,700
لعند R كانت integrable functions بيعطيني هذا أن FG

796
01:11:33,700 --> 01:11:42,500
من I لعند R برضه إيش ماله؟ Integrable Function. الـ 

797
01:11:42,500 --> 01:11:46,740
L صار إن حصيلة من المعلومات بتسهل علي الوصول

798
01:11:46,740 --> 01:11:53,820
للنتيجة و Proof. و Proof بما أن F is Integrable إذن

799
01:11:53,820 --> 01:11:57,700
فال Corollary اللي قبل بشوية أكيد F تربيع اللي هي

800
01:11:57,700 --> 01:12:01,040
Integrable و G Integrable من النظرية اللي قبل

801
01:12:01,040 --> 01:12:04,940
بشوية و Corollary برضه شمالها G تربيع برضه

802
01:12:04,940 --> 01:12:10,060
Integrable صح ولا لا يا جماعة؟ صح. طيب F تربيع 

803
01:12:10,060 --> 01:12:14,260
Integrable و G تربيع Integrable و برضه من نظرية

804
01:12:14,260 --> 01:12:18,580
سابقة مدام F و G Integrable إذا F زائد G برضه إيش؟

805
01:12:18,580 --> 01:12:24,980
Integrable. لأ F زائد G تربيع Integrable كمان لأن F

806
01:12:24,980 --> 01:12:27,800
و G Integrable أدت ل F زائد G Integrable و F زائد 

807
01:12:27,800 --> 01:12:31,640
G Integrable أدت من القرول اللي قبل شوية أنه تربيعه

808
01:12:31,640 --> 01:12:40,520
يكون إيش؟ Integrable. طيب خلصنا إذا إذا F تربيع زائد 

809
01:12:40,520 --> 01:12:49,780
G تربيع is integrable صح؟ مظبوط وناقص F تربيع 

810
01:12:49,780 --> 01:12:54,220
وناقص G تربيع برضه integrable مظبوط برضه لأن اللي

811
01:12:54,220 --> 01:13:00,060
هو عندي اللي هو ثابت في هذه integrable و ثابت في

812
01:13:00,060 --> 01:13:03,560
ال integrable integrable ومجموع انصار انتجرابل إذاً

813
01:13:03,560 --> 01:13:09,020
انصار هذا integrable زائد F زائد G لكل تربيع هذه 

814
01:13:09,020 --> 01:13:12,980
integrable وهذه integrable وهذه integrable مجموحين

815
01:13:12,980 --> 01:13:17,520
هذا إيش بيساويهذا .. هذا integrable و هذا

816
01:13:17,520 --> 01:13:19,860
integrable و هذا integrable إذاً المجموع integrable

817
01:13:19,860 --> 01:13:23,220
إذاً هذا كله على بعض integrable. طب هذا مين هو؟ هذا

818
01:13:23,220 --> 01:13:29,160
عبارة عن F تربيع زائد G تربيع ناقص اللي هو إيش؟ زائد

819
01:13:29,160 --> 01:13:35,760
2FG بيصير عبارة عن 2F main G. صارت 2FG integrable.

820
01:13:35,760 --> 01:13:40,840
طب لو جينا قولنا خل نص هنا يعني ضربنا ثابت في 

821
01:13:40,840 --> 01:13:43,960
integrable إذاً هيطلع اللي هو كله integrable إذاً FG 

822
01:13:43,960 --> 01:13:48,520
إيش مالها؟ is integrable. صار عندي الآن FG

823
01:13:48,520 --> 01:13:54,040
integrable تابعا لأن F تربيع و G تربيع و F زائد G

824
01:13:54,040 --> 01:13:59,860
كل تربيع حاصل جمعهم و ضرب النص في هنا ثابت و بيطلع 

825
01:13:59,860 --> 01:14:04,720
عبارة عن integrable function. نيجي لآخر اللي هو

826
01:14:04,720 --> 01:14:11,850
نقطة في الفي الـ .. في الـ .. في الـ section 7-2 اللي

827
01:14:11,850 --> 01:14:14,790
هو السؤال اللي سألناه في الأول، قولنا لو كانت F is

828
01:14:14,790 --> 01:14:19,570
integrable function و Φ is integrable هل Φ

829
01:14:19,570 --> 01:14:24,310
composite F is integrable؟ قولنا أكيد هو لو .. في

830
01:14:24,310 --> 01:14:28,430
البداية قولنا أن Φ composite F need not to be 

831
01:14:28,430 --> 01:14:32,280
integrable. إذاً the composition of two integrable 

832
01:14:32,280 --> 01:14:35,720
functions need not to be integrable يعني هذا إعلان

833
01:14:35,720 --> 01:14:38,340
the composition of two integrable functions need

834
01:14:38,340 --> 01:14:42,420
not to be integrable but if phi the first one is

835
01:14:42,420 --> 01:14:46,340
continuous then phi composite of f is integrable

836
01:14:46,340 --> 01:14:50,620
كما شفنا في العقل اللي هو النظرية الأولى. طيب نيجي

837
01:14:50,620 --> 01:14:53,000
الآن المثال الأخير بيقولنا يا جماعة the 

838
01:14:53,000 --> 01:14:55,760
composition of integrable functions need not to be

839
01:14:55,760 --> 01:14:59,540
integrable. في عندي سؤالين أصلاً معاكم homework

840
01:14:59,540 --> 01:15:03,860
السؤال الأول بيقول لنا لو كانت F of x بتساوي واحد 

841
01:15:03,860 --> 01:15:07,540
ده كانت x بتساوي صفر و zero ده كانت x is 

842
01:15:07,540 --> 01:15:11,760
irrational و كانت f of x بتساوي واحد لما x بيساوي 

843
01:15:11,760 --> 01:15:16,160
m على n حيث الـ m و الـ n عبارة عن integers و العامل

844
01:15:16,160 --> 01:15:19,740
المشترك الأعلى بينهم  بيساوي واحد

845
01:15:19,740 --> 01:15:23,540
يعني شيلنا كل العامل المشترك اللي بينهم و كتبنا x

846
01:15:23,540 --> 01:15:28,900
بتساوي m على n طيب، هذه عبارة عن دالة معرفة من الـ 0

847
01:15:28,900 --> 01:15:32,460
والـ 1 لعند الـ R يعني هذي X is rational well في

848
01:15:32,460 --> 01:15:36,320
الفترة 0 و1 و X بيبقى بيساوي M على N يعني rational

849
01:15:36,320 --> 01:15:41,260
في الفترة 0 و1 وفرضنا للـ X بتساوي صفر قيمته إيش

850
01:15:41,260 --> 01:15:48,070
بتساوي؟ بتساوي 1 هذي الآن by exercise 7.1.11 مطلوب

851
01:15:48,070 --> 01:15:51,790
منك أنك تثبت أن F is integrable on I

852
01:15:51,790 --> 01:15:55,070
ويوم ما تعرفوش تحلوه إن شاء الله بنحلوه و بنصوره 

853
01:15:55,070 --> 01:16:00,030
بإذن الله الآن السؤال الثاني اللي هعتمد عليه برضه 

854
01:16:00,030 --> 01:16:03,170
أنه الـ function الثاني اللي هي G من I لعند R هذه

855
01:16:03,170 --> 01:16:07,790
سهلة أصلا لإثباتها be defined by G of X step

856
01:16:07,790 --> 01:16:12,090
function بسيطة يعني أو خلّيني أقول فيها jump و بس 

857
01:16:12,090 --> 01:16:17,030
jump على نقطة بس جيوب x بتساوي 0 إذا كانت x بتساوي 

858
01:16:17,030 --> 01:16:21,410
0 و بتساوي 1 إذا كانت x في الفترة من 0 لعند 1 اللي

859
01:16:21,410 --> 01:16:25,410
هو a closed عند الواحد يعني الآن هذا الـ function

860
01:16:25,410 --> 01:16:29,110
بيقول لي برضه في الـ exercise مطلوب برضه في exercise

861
01:16:29,110 --> 01:16:33,090
717 برضه اللي هو homework معكم في الـ exercise

862
01:16:33,090 --> 01:16:36,270
بيقول لك اثبت أن g إيش معناها is integrable function

863
01:16:36,920 --> 01:16:40,960
إذا الـ F والـ G عبارة عن two integrable functions

864
01:16:40,960 --> 01:16:46,780
two integrable functions هاي الـ F من I لعند R والـ 

865
01:16:46,780 --> 01:16:55,200
G اللي هو من عند I لعند R لاحظ أن الـ G فيه لغة

866
01:16:55,200 --> 01:17:00,600
ثانية zero لمين يا واحد عندي هذه فئلها الـ 1 و 0 و

867
01:17:00,600 --> 01:17:06,800
في عندنا قيم أخرى اللي هو كثيرة طيب، الآن عندي ..

868
01:17:06,800 --> 01:17:09,660
لو جيت حسبت الـ G composed of F مش غريبة عليكم

869
01:17:09,660 --> 01:17:14,480
الدالة هذه G composed of F of X خلينا نحسبها مع 

870
01:17:14,480 --> 01:17:20,860
بعض و بنقول خلصنا اللي هو S section أو قولنا أن

871
01:17:20,860 --> 01:17:24,320
الـ G composed of F هذه اللي أنتم بتعرفوها أن هي 

872
01:17:24,320 --> 01:17:36,430
is not integrable جي كومبوزيت F of اللي هو عندي

873
01:17:36,430 --> 01:17:46,900
الـ جي الـ F of X هيها لأخد جي of اللي هو Zero بتساوي

874
01:17:46,900 --> 01:17:55,920
g of f of 0 بتساوي g of f of 0 بتساوي 

875
01:17:55,920 --> 01:17:57,880
g of f of 0 بتساوي g of f of 0 بتساوي g of f of 0

876
01:17:57,880 --> 01:18:06,220
بتساوي g of f of 0 بتساوي g of f of 0 بتساوي g of f 

877
01:18:06,220 --> 01:18:07,060
of 0 بتساوي g of f of 0 بتساوي g of f of 0 بتساوي g

878
01:18:07,060 --> 01:18:07,140
of f of 0 بتساوي g of f of 0 بتساوي g of f of 0

879
01:18:07,140 --> 01:18:08,100
بتساوي g of f of 0 بتساوي g of f of 0 بتساوي g of f

880
01:18:08,100 --> 01:18:09,880
of 0 بتساوي g of f of 0 بتساوي g of f of 0 بتساوي g

881
01:18:09,880 --> 01:18:14,160
of f of 0 بتساوي g of f of 0 بتساوي g of f of 0

882
01:18:14,160 --> 01:18:17,110
of 0 بتساوي g of f of X اللي هو irrational يعني

883
01:18:17,110 --> 01:18:22,230
irrational G of irrational اللي هو اللي هو الموجود

884
01:18:22,230 --> 01:18:25,910
في الفترة Zero و واحد G of irrational إيش هيساوي

885
01:18:25,910 --> 01:18:31,290
حسب التعريف .. التعريف هنا بيساوي G of F of

886
01:18:31,290 --> 01:18:38,750
irrational irrational هاي بيساوي اللي هو G of F of 

887
01:18:38,750 --> 01:18:44,240
irrational إيش بيساوي صفر G of 0 إيش بيساوي هنا G 

888
01:18:44,240 --> 01:18:52,420
of 0 بيساوي Zero معرف ليها بيساوي إيش صفر؟ الثالثة 

889
01:18:54,350 --> 01:18:58,630
Composite F of مين ضال؟ Of اللي هي irrational 

890
01:18:58,630 --> 01:19:02,530
البوجيات غير الـ Zero هذا أصلا هو جسمها irrational

891
01:19:02,530 --> 01:19:08,410
و rational جهتين واحدة واحدة واحدة Zero لحالها و

892
01:19:08,410 --> 01:19:11,650
واحدة كل الـ rational اللي بين Zero و واحد ما عدا

893
01:19:11,650 --> 01:19:18,870
الـ Zero اللي هو G of X اللي هي عبارة عن M على N 

894
01:19:19,590 --> 01:19:23,630
اللي هي rational في الواقع رياشونال كلهم معدّن اللي 

895
01:19:23,630 --> 01:19:28,790
فوق اللي فوق حسبناها طلعت واحد وبتساوي G of F of M 

896
01:19:28,790 --> 01:19:34,350
على N وبتساوي G of F of M على N إيش بتساوي واحد على

897
01:19:34,350 --> 01:19:38,910
N وبتساوي G of واحد على N إيش بتحسبها هذه هذا أصلا

898
01:19:38,910 --> 01:19:42,070
الدالة دايما بتساوي واحد معدّن عند سفر حتى سفر عشان

899
01:19:42,070 --> 01:19:46,750
عملنا المشكلة G of واحد على N إيش بتساوي واحد هو 

900
01:19:46,750 --> 01:19:53,580
بيساوي واحد من هذا كله صار عندي g composite f of x

901
01:19:53,580 --> 01:20:06,710
بتساوي 0 if x is irrational وبتساوي 1 1 إذا 

902
01:20:06,710 --> 01:20:11,790
كانت X is هاي الـ rational كله ما عدا السفر وهي

903
01:20:11,790 --> 01:20:16,670
السفر برضه طلع واحد if X is rational وهدّدت دالة

904
01:20:16,670 --> 01:20:20,610
تبعتنا اللي اعتمدناها المرة الماضية أن هي is not 

905
01:20:20,610 --> 01:20:24,590
integrable function لاحظوا أنتم بس خليني نقول شوف 

906
01:20:24,590 --> 01:20:32,660
هالغرابة مش غرابة لأ هو مهم بالكلام أنه اللي خلف 

907
01:20:32,660 --> 01:20:37,380
الموضوع لو كانت G continuous على كل الـ domain على

908
01:20:37,380 --> 01:20:40,820
طول الـ G continuous ده هتطلع أن انتجر بالغصب عنها

909
01:20:40,820 --> 01:20:44,560
من النظرية اللي قبل شوية لكن اللي خلف الموضوع شغلة

910
01:20:44,560 --> 01:20:49,440
واحدة شايفين هالدالة هاد الـ G of X الـ G of X G of

911
01:20:49,440 --> 01:20:55,000
X بتساوي اللي هو صفر عند السفر ومن عند الـ zero

912
01:20:55,000 --> 01:21:01,130
لعند الواحد هنا الدالة قيمتها إيش بتساوي؟ واحد، هاي

913
01:21:01,130 --> 01:21:04,270
قيمتها واحد، بين Zero والواحد قيمتها واحد، هذا

914
01:21:04,270 --> 01:21:09,540
الـ G of X اللي عندي يعني هذا كل حال عالي العالي ما 

915
01:21:09,540 --> 01:21:14,120
عدا عند من عند السفر فيه jump point هذه النقطة

916
01:21:14,120 --> 01:21:20,200
الوحيدة اللي فيها discontinuity هي اللي .. اللي 

917
01:21:20,200 --> 01:21:25,340
أنا بنشرت لي أن تصير decomposed F is continuous و

918
01:21:25,340 --> 01:21:29,200
هذا عشان نعرف جداش الرياضيات أو جداش التحليل الدقيق

919
01:21:29,780 --> 01:21:35,960
الدقيق أن إن احنا نقطة واحدة .. نقطة واحدة اللي كانت 

920
01:21:35,960 --> 01:21:40,360
عندها point of discontinuity قالت لي أن الـ

921
01:21:40,360 --> 01:21:44,680
decomposed F need not to be integrable وهي المثال 

922
01:21:44,680 --> 01:21:50,720
أمامكم و .. و هيك بيكون احنا خلصنا الـ section

923
01:21:50,720 --> 01:21:56,730
الثاني من اللي هو chapter 7 و هاي الـ homework عندكم 

924
01:21:56,730 --> 01:22:02,630
مطلوبة 1,2,4,7,10,17,18,19 وإن شاء الله المرة

925
01:22:02,630 --> 01:22:08,950
القادمة بنكمل وبنشرح 7.3 اللي هو الـ fundamental 

926
01:22:08,950 --> 01:22:10,550
theorem of calculus