بسم الله الرحمن الرحيم الحمد لله رب العالمين
والصلاة والسلام على سيدنا محمد وعلى آله وصحبه
أجمعين هذه المحاضرة رقم 24 مساق تحليل حقيقي 2 طلاب
وطالبات الجامعة الإسلامية قسم رياضيات كلية العلوم
اليوم هنكمل إن شاء الله الـ section الأخير في
chapter 8 اللي هو 8.4 تحت عنوان the
trigonometric functions وهو أيضا اللي هو الـ section
أو موضوع تطبيق على اللي هو الـ pointwise and
uniform convergence للـ sequence of functions وكيف
بدنا نعرف بطريقة مشابهة جدا لمعرفناها المرة
الماضية أو اللي قبلها بخصوص الـ exponential
function هنعرف اليوم اللي هو بنفس الطريقة كيف نعرف
اللي هو الـ sine والـ cosine as a limit اللي هو
of a uniformly convergent sequence of functions
العنوان is in the trigonometric functions اللي هو
section 8.4 النظرية
الأولى اللي عندنا اللي مشابهة لنظرية سابقة اللي هي
الـ exponential اللي من خلالها بدنا نصل للي هو
تعريف اللي هي الـ cosine والـ sineالنظرية بتقول
مالها there exist functions يوجد دوال الامنّان في
بتوجد دوال C من R لـ R وS من R لـ R such that
اللي هي طبعا مستقبلا هنتسمي الـ C اللي هي الـ cosine
ومستقبلا هنتسمي الـ S اللي هي الـ sine اللي احنا
بنعرفها الآن بنقول في ده اللي ثاني واحدة اسمها c
واحدة s تحقق ما يلي اللي هي c' of x بيساوي
ناقص c of x s' of x بيساوي ناقص s of x ولو
استذكرت أنت الـ sine والـ cosine دي ما سيحدث لاحقا
طبعا لو استذكرت الـ cosine لما ان.. ان.. ان.. ان
فاضلها مرتين هتصير اللي هي ناقص اللي هي نفسها ولو
فاضلت الـ sine برضه فاضلها مرتين هتلاقيها إيش هي
بتطلع سالب S الخاصية الثانية اللي هي C of Zero
بساوة واحد ولو استذكرت الكوسين كوسين الـ Zero بساوة
واحد ولو استذكرت الكوسين لما تاخدها الـ derivative
هتصير عبارة عن سالب Sin عند Zero هتطلع 0 بساوة
Zero and S of Zero بساوة Zero وS' of Zero
بساوة واحد يعني بمعنى آخر يوجد دالتين الـ دالتين
واحدة من C لـ R اسمها S واحدة اسمها C من R لـ R
تحقق الشرطين التاليين C' بساوة ناقص C وS' بساوة
ناقص S على كل R وC عند الـ 0 هي 1 وC' عند الـ 0
بساوة 0 وS عند الـ 0 بساوة 0 وS' عند الـ 0 بساوة 1
وبعد شوية هقولك لا يوجد في الدنيا دالتين بحقق أنّ
الشروط هذولة إلا هي واحدة اسمها C واحدة اسمها S
يعني التنتين واحدات وهذا يجعلنا نسميهم التسمية بعد
ذلك واحدة اسمها cosine واحدة اسمها sine ومن ثم
بنجيب كل الخواص اللي احنا بنعرفها عن الـ sine والـ
cosine من هذا البناء إذن الآن أنا ببني ببني ببني
وجود الـ sine والـ cosine وبعد شوية ببني اللي هو
الـ uniqueness طبقا لهذه الشروط اللي موجودة عندي
الآن كيف بدنا نعمل زي ما عملنا المرة الماضية في
الـ.. في الـ.. اللي هو الـ Exponential عشانك
هتلاقوني شوية مسرع لأن اللي بيحضر اللي هي محاضرة
الـ Exponential هيلاقي أنّ هذا في كثير من الحديث في
إعادة We define the sequence cn as n of continuous
functions inductively as بدنا نعرف اللي هي.. اللي
هو two sequences واحدة نسميها cn وواحدة نسميها sn
كيف بدنا نعرفها؟ زي ما عرفنا الـ exponential بنعرف
C1 of X إيش بتساوي واحد وS1 of X إيش بدنا نسميها
بساوة X الآن S2 of X S2 of X هيساوي الـ integration
من صفر لعند X C2 of T DT طب C2 من وين أجيبها؟ C2
بتجيبها من هنا C اللي هي واحد زائد واحد يعني C2
بساوة واحد ناقص الـ integration من صفر لـ X لـ S1 of
T اللي هذا DT فبكون جيبت الـ C2 وبتجيب الـ S2 من
الـ C2 لأن S3 وC3 بنفس الطريقة in general اللي أنا
عملت sequence of functions اللي هو بدأت اللي هي الـ
C1 بـ 1 S1 بـ X ومن ثم S N بتساوي من صفر لـ X
integration C N of T DT يعني كمالة C N of T DT وC
N زائد واحد of X بتساوي واحد نقص integration من
صفر لـ X S N of T DT الآن هو بيقول اللي هو هذه
sequence of continuous functions طب sequence of
continuous functions هذا الكلام بده إثبات طيب، الآن
عندي اللي هو by induction زي ما أنتم عارفين الآن
عندي الـC1 continuous لأن الثابتة S1 continuous
لأن هي شمالها بتساوي X بناء عليه هتطلع عندي اللي
هي C2 continuous ومن ثم C3 وC4 الآخرين الآن لو
بدنا نثبتها by induction بدنا نفترض أنّ هذولة
الـSn والـCn
continuous سنثبت هنا continuous لأن S1 إيش بتساوي
X؟ C1 إيش بتساوي 1؟ continuous إذا صارت هذه اللي
هي الجملة is true for N بتساوي 1 نفترض الآن
suppose by induction بتأدي suppose that اللي هو star
هذه is true for n إيش بتساوي n بتساوي k معناته
صارت الـ S K والـ CK are continuous بتثبت الآن من
الصحيحة لـ K زائد واحد يعني بتثبت اللي هو CK زائد
واحد وSK زائد واحد أنّ هنا شمال هنا continuous طيب
الآن شوف CK زائد واحد بتساوي حسب اللي هي عندي هان
إيش بتساوي اللي هو عبارة عن CK واحد of X بتساوي الـ
integration واحد نقص الـ integration من صفر X Sk..
هذا Kz واحد.. هذا ك.. of DT طيب أنا مفترض أنّ Sk
من الـ hypothesis induction أنّها continuous إذا
صارت هذه كلها إيش مالها؟ اللي هي Sk integrable
وصارت هذه كلها على بعض by fundamental theorem of
calculus اللي هي الـ derivative إلها موجودة إذا
صارت هذه كلها الـ derivative إلها وموجودة بالنسبة
للـ X إذا صارت مدام هيك هاذ is differentiable إذا
continuous إذا صارت اللي هي Ck زائد واحد
continuous اللي ثبت الآن is Sk زائد واحد Sk زائد
واحد of x إيش بتساوي حسب اللي التعريف بتساوي الـ
integration من صفر لعند x Ck of t زائد واحد هذا N
هذا N K زائد واحد K زائد واحد DT وأنا مثبت فوق أنّ
Ck زائد واحد is continuous إذا صارت هذه كلها على
بعض integrable اللي هي Ck زائد واحد صار هذا الـ
integration exist ومش هيك by fundamental theorem
of calculus برضه الـ derivative له إيه شمالها
موجودة إذا صارت هذه الـ differentiable إذا
continuous إذا صارت Ck زائد واحد وSk زائد واحد are
continuous إذا صارت الجملة هذه صحيحة لـ K زائد واحد
إذا صارت صحيحة دائما إذا صارت عندي الآن مفرغ منه
الـ CN والـ SN are continuous functions وبناء عليه
مدام continuous functions by fundamental theorem
of calculus هتكون هذه الـ SN differentiable والـ CN
زائد واحد differentiable ومش هيك كمان وهيعطيني الـ
SN prime of X حسب الـ fundamental theorem of
calculus الـ differentiation بتضايق الـ integration
بتضال بساوة Cn of x الآن والـ derivative لهذه برضه
exist Cn زائد واحد prime of x اللي هو هي ساوي اللي
هو مين هتطلع ناقص Sn of X إذا صار عندي الآن اللي هي
الـ sequence اللي عندي صارت well defined كلها و
continuous كلها ولأ وdifferentiable كمان الـ SN
prime of X بيساوي CN of X وCN زائد واحد prime of
X بيساوي ناقص SN of X زي ما أنا أثبتها وأوضحت لكم
إياها هنا الآن induction arguments برضه induction
arguments بقول لي we leave this argument for you
خلينا نشوفها مع بعض ما هي اللي بنقصده زي ما عملت
بالضبط لو طلعت على الخطوات هتلاقيها مشابه لخطوات
تبعات الـ exponential عند الـ Sn of X زي ما قلنا
بساوة الـ integration من 0 لـ X Cn of T dt C N زائد
واحد of X بساوة واحد مقص الـ integration من C لـ X S
N of T DT ومعطينا طبعا احنا اخذنا الـ C واحد of X
بساوة واحد والـ c وS1 of x بساوة x هذه اللي هي الـ
sequence of functions اللي أثبتناها هذه الـ
sequence of functions الـ sn والـ cn زائد واحد
التنتين are continuous for every n وهمش هي
codifferentiable والـ derivative إلها زي ما قلنا
Sn prime of x بساوة Cn of x والـ Cn زائد واحد prime
of x بساوة ناقص Sn of x وخلّينا نسجلها هذه لأنّ
هنحتاجها بعد شوية اللي هي S N prime of X بساوي
C N of X and C N زائد واحد prime of X بساوي ناقص S
N of X طيب الآن بدنا اللي هو by induction نثبت
اللي هو CN زائد واحد of X بساوي اللي هو اللي
أمامي هذا طبعا أكيد اللي هو بعضكم قال ما هي by
induction نتطلع على C2 of X C1 في القرآن بتساوي
واحد نثبتها يعني الآن C2 of X ايش بتساوي حسب
القانون بتساوي واحد ناقص ال integration من صفر ل X
أس واحد لأنه بواحد هنا أس واحد اللي هي جداء أس واحد
الـ X integration اللي هي T DT ويساوي التفاضل اللي
هذه بيصير واحد ناقص X تربيع على مين على اثنين إذا
فعلا اللي هي C اللي هي هذه اثنين is true for any
ايش بتساوي n بتساوي واحد بدنا نثبت الثانية معها
اللي هي true for any بتساوي واحد لأنها دي جملة
واحدة بدأ أثبتها أن true for every any الآن for
any بتساوي واحد بيصير عندي أس اثنين of x بدأ أتأكد
أنه اللي هي بتحقق اللي هي الـ .. اللي .. ايه هذه الـ
equation S2 of X بيساوي من وين بده أجيبها من
التعريف اللي فوق بيساوي ال integration من صفر ل X
C2 of X ايش C2 of X هايه اللي هو واحد ناقص T تربيع
على اثنين لكل ما له DT ويساوي الكملة هذا بيصير
عبارة عن X ناقص X تكعيب على ثلاثة وفي اثنين بيصير
X تكعيب على مين على ثلاثة factorial اللي هي جداء
اللي هي ستة إذا فعلا فعلا طلع عندي اللي هو C أس
اثنين هي عبارة عن أنا بواحد يعني أس اثنين بيساوي X
ناقص X تكعيب على ثلاثة factorial يعني صارت الجملة
هذه برضه صحيحة for n بتساوي واحد إذا كلها على بعض
هذه صارت صحيحة for n بتساوي جداء الآن بدنا نفترض
أنها
true for n بتساوي k ونجيب منها مين اللي هو k زائد
واحد نفترض suppose that this is true for n بتساوي
k يعني بمعنى آخر صار عندي ck زائد واحد بتساوي هذا
وهنا اثنين k وهنا k وهنا اثنين K وهنا نفس الشيء
اللي هو نفترض أن صحيحة for N بتساوي K صارت عبارة
عن اثنين K و اثنين K أو أس K ماشي الحال نثبت أن
هذه صحيحة for من؟ for K بتساوي .. for N بتساوي
كدهش؟ K زائد واحد يعني بدي أديب Cك زائد جداء اثنين
لأن في الأصل هي K زائد واحد في الأصل سن زائد واحد
فرضتها صحيحة في القرآن بتساوي k لأن بتثبتها صحيحة
لأن بتساوي K زائد واحد يعني K زائد واحد واحد بيصير
K زائد اثنين of X ماذا يعني حساب تعريفها؟ تعريفها واحد
ناقص ال integration من 0 إلى X هذا K زائد اثنين إذا هذا K
N زائد 1 وهذا N K زائد 2 ماذا؟ هذا سيصبح SK زائد 1
of DT
و يساوي واحد ناقص الفكرة أنت فاهم من صفر لمين
لـ X مين هكامل هكامل S K زائد واحد أنا فرضت أن أنا
أتروه في القرآن بتساوي K اللي هي عبارة عن T ناقص
T تكعيب على ثلاثة factorial لما أصل لآخر واحد زائد
ناقص واحد أس K فيه T 2K 1 2 T 1 كل ايه ايش مالها
factorial الكل دي تي حسابات والله يا جماعة اللي
حالكم بتعملوها دي تي و يساوي واحد ناقص نفتح قوس هذه
T بيصير T تربيع على اثنين factorial هذه ايش بيصير
ناقص T أس أربعة على أربعة في ثلاثة factorial عن
أربعة factorial زائد لما أصل الأخر واحد ناقص واحد
أس K زي ما هي لأن إشارة هذه T بيصير اثنين K زائد
واحد زائد واحد يعني زائد اثنين على اللي هو اثنين K
زائد اثنين في هذا بتطلع اثنين K زائد اثنين الكل
ايه شمالها؟ factorial ماشي الحال هذا طبعا كله من
صفر ل X إذا بتصير هذا عبارة عن X وهذا X وهذا
الأخير برضه ايه؟ X اللي هي هذا عبارة عن ايه؟ هو
يساوي واحد ناقص x تربيع على اثنين factorial زائد x أس 4
على أربعة factorial ضربت الناقص جوا لأن أنا لما أصل
ناقص لما أصل الأخر واحد زائد ناقص واحد K وناقص أنا
بيصير K زائد 1 في X أس 2K
زائد اثنين على اثنين K زائد اثنين لكل vector يعني
صارت هذه CK زائد واحد زائد اثنين of X بتساوي هذا
المقدار هذا المقدار صحيح صار بالظبط هو هذا اللي هو
المقدار اللي عندي أثبتت و كإلمي يعني الآن أن هذا
اللي عندي is true for mean for k زائد لواحد لأن
لما أحط مكان n بتساوي K زائد واحد بيصير هذه K زائد
اثنين أشوف اللي طلعته صح ولا لأ بيساوي تبحانة واحد
ناقص x تربيع على اثنين فيكتوريا لما أثر الأخر واحد
اللي هي ناقص واحد نقص مين K زائد واحد في x نقص اثنين
في K زائد واحد يعني اثنين K زائد اثنين وها اثنين K
زائد اثنين كل فيكتوريا الآن صارت هذه صحيحة for n
ايش بتساوي K زائد واحد الثاني بنفس الأسلوب بثبتها
صحيحة for ايش for K زائد واحد يعني بدي أحسب مين يا
جماعة بدي أحسب SK زائد اثنين ايش حسب اللي فوق
بتساوي بتساوي ال integration من صفر ل X ل CK زائد
اثنين of T DT و باجي بعوضها هنا و بكملها و بتطلع
عندي بالظبط ال formula هذه يعني صح بيصير عندي
بتعملها لحالك لأن حسابات نفس الأسلوب بتطلع عندي
اللي هي هذه صحيحة for mean برضه for n بتساوي k
زائد واحد إذا هذا صار المقدار صحيح دائما for mean
for any k for any n element in n الآن واضح أن
الخطوات مشابهة لخطوات ال exponential نيجي الآن
قصّل n prime
نيجي الآن وين رايح؟ زي اللي بكونت رايحي الأيام الـ
exponential هثبتلك أن الـ sequence هذه converged
uniformly وهذه طبعا هتصبح converged uniformly
automatically فهتصبح اللي هي differentiable لأن بيصير
طبقة النظرية اللي هي تبعها الـ differentiability
بيصير عند مادام differentiable اللي هي الـ
derivative اللي لها exist و هتكون الـ derivative
متحقق الشروط و بيكون خلاص نعم نشوف ايش بقول طيب
الآن بعد ما طلعنا هدولة let a أكبر من صفر b given
نفس الخطوات تبعت ال exponential then if الـ absolute
value of x أصغر من a and m أكبر من n أكبر من 2a
يعني بتداخد اللي هي الامات لأكبر من n و أكبر من 2a
يعني الآن أنا بشتغل على n يا جماعة الفترة من ناقص
a لعند a وأخدت ال a arbitrarily أكبر من صفر لكن
fixed الآن we have عندي اللي هو .. عندي اللي هي الـ
A الـ A على اللي هي 2N بما أنه N أكبر من 2A اقسم
الجهتين على 2N هنا على 2N و هنا على 2N بيصير عند الـ
A على N .. A على N أصغر من النص، صح؟ هي a تروح
الاثنين مع الاثنين وهذه n مع ال n بيصير a أعليها أصغر
من نص يعني A على 2n أصغر من 1 على 4 قسمت الاثنين
عالميا على اثنين إذا لما تكون ال n أكبر من 2a هتطلع
عندها get بتعرف ليش هذه لأن بتلزمنا في الحسابات
بعد شوية هتكون اللي هي لما الاثنين a أصغر من n
بتكون عند A على اثنين n أصغر من مين من ربع المرة
اللي فاتت كان لازمنا A على n أصغر من نص وكملنا الـ
series اللي متذكر اللي عملنا في اللي هي الـ
Exponential أنا بحكيش تفاصيله و مفترض أن أنتم
فاهمين حسب حكينا اللي هو في الـ Exponential الآن
للامات اللي أكبر من M أكبر من 2A بدي أحسب الـ CM
ناقص اثنين الـ SN عشان تظلها قدامكم اللي فوق هذه عندي
الآن الـ CM الـ C M الـ C M شايفينها؟ بتظلها ماشية
واحد لو ف .. الآن هذه M بدأ الـ N زاد واحد ايش
اسمها؟ M بتظلها ماشية واحد ناقص X أربعة على اثنين
فيكتوريال X أربعة على أربعة فيكتوريال والـ M أكبر من
الـ N هتجيه يقبل في طريقها من الـ N الـ N بيصير
الـ N طبعا ايه شمالها؟ الـ N عبارة عن في جبل الـ
term هذا اللي هو الـ N ناقص واحد اه فبيصير زائد اللي
هو ناقص واحد أس N ناقص واحد في X أس اثنين M ناقص
اثنين على اثنين M ناقص اثنين الكل factorial و
بتكمل هذا و بتبقى مكمل ايه أنت لما اتصل لعند X أس
اثنين M ناقص اثنين لأن هذا لـ M مش لـ N زائد
واحد على اثنين M ناقص اثنين الكل شمالها factorial
لما تطرح ال CM نقص ال CN اللي هو لها بيصير المتبقي
هيه زي ما عملنا بالظبط قبل هيك فبيصير ال CM نقص الـ
CN بتساوي الناقص واحد طبعا في absolute value عند X 2N
عشان هيك طيرنا مش فارقة كتير نقص و سالب أخذنا له
absolute value مش هتفرج معنا ال X 2N على 2N
vectorial ناقص X أس 2 M زائد 2 اللي بعيدها على 2 M
زائد 2 كله factorial لما أصل لآخر term اللي هو X
أس 2 M ناقص 2 على 2 M ناقص 2 كله factorial هذا
الآن هذا نفسه أخذنا احنا ال absolute value لـ X
أصغر من A في هذه الفترة احنا شغالين في الفترة الـ
absolute value X أصغر من A الآن بيصير عند الـ X
نفسها أس 2n أصغر أو يساوي هذه اللي هي a أس 2n على
2n الكل factorial الأولى زائد استخدمت triangle
inequality هذه زائد هذه زائد هذه زائد هذه الآن
زائد اللي بعيدها لما أصل لآخر واحدة x أو اللي جاب
اللي خليني أكتبها عشان x اللي هي بيصير a أس اثنين n
زائد اثنين على اثنين إن زائد اثنين لكل factorial
زائد لما أصل لآخر term عندي هنا لما أصل لآخر term
اللي هو زائد
هذا ال term اللي هو زائد A 2M-2 2M-2 كل A شماله
فكتوريا خلّيني أخد هذا A 2N 2N كل فكتوريا العام
المشترك، بظل عندي 1 زائد a تربيع لأنه بيصير a يساوي 2
a تربيع على مين؟ على 2n زائد 2، أكيد ال 1 على 2n
زائد 2 أصغر من 1 على 2n لأنه 2n أصغر من هذه
فمقلوبها بيصير أكبر، ماشي، وبضل زي ما عملته المرة
اللي فاتت، أسحب منه A أس 2 على N، وفي الآخر أستبدل
اللي هو 2N هذه عن الرقم اللي أكبر منه N، فبيصير هي
مقلوبها أكبر، فبتضلها اللي هي ال inequality زي هيك
وبكون سحبت 2 من هذه، بيصير 2 ام نقص 2، ام نقص ايش؟
نقص 2، وصلنا لعند ال inequality هذه الآن، احنا قلنا a
على 2n أصغر من مين؟ من ربعه، يعني بيصير هذا المقدار
كله أصغر أو يساوي a أس 2n على 2n لكل factorial
مضروب في مين؟ أصغر أو يساوي، لأن الربع أكبر منهم بس
تبدأ كل واحد وقت ما كانوا إياه ربع، واحد زاد واحد
على أربعة تربيع، زائد لما أصل لآخر واحد a اللي هو
عبارة عن واحد على أربعة الكل أس اثنين ام ناقص
اثنين ام ناقص ايش؟ اثنين، هذه الآن الـ الـ الـ الـ
finite geometric series أصغر أو يساوي ال infinite
اللي هي a أس اثنين ان على اثنين ان لكل factorial
في اللي هو الـ summation ده، واحد زائد ربع تربيع
زائد ربع تكعيب، زائد لما أصل ربع أس أربعة، زائد إلى
ما لا نهاية، هذه الآن أساسها جداش وكأنه أساسها كل
مرة بتمّد واحد على ستة عشر، فبتصير هذه المجموحة اللي
هي واحد، مجموحة بتعرفوها، واحد ناقص واحد على ستة عشر
Passive واحد على واحد ناقص واحد على ستة عشر، ويساوي
جداش خمسة عشر أو ستة عشر على خمسة عشر، لأن هذه واحد
ناقص واحد على ستة عشر، تطلع خمسة عشر على ستة عشر
مقلوبة، بيصير ستة عشر على خمسة عشر، المفهوم المقصود هو
باسمها Geometric Series، بضل بقول هذه أصغر أو يساوي
الصمّاشن إلى ما له نهاية، وبزبدل هذا باللي أكبر
منها، فبتظل هذه أكبر، الآن مجموحها بيصير عبارة عن 16
في المقدار هذا اللي بدّله موخود عام المشترك، فبيصير
عندي الآن يا جماعة اللي هو ال CM نقص الـCN زي ما
حكينا قبل ذلك بالظبط، أصغر من هذا المقدار اللي هذا
limit، و اين بيروح as N goes to infinity بيروح لـ 0
إذا بيصير هذا المقدار زي ما قلنا المرة الماضية، CM
of X نقص CN of X، اللي هو أصغر أو يساوي Y for very
large M and N، M and N، لأنه لما تكبر M كثير، N كثير
تروح لنا لنهاية، لأنه limit بروح لها صفر as N goes
to infinity، ال M برضه بتكبر، إذا for very large M
هيكون هذا أصغر أو يساوي إبسلون لأي إبسلون في
الدنيا، لأنه هذا بيقدي للصفر فبيصير صغير صغير صغير
صغير لدرجة إنه مضروب في هذا يكون أصغر من إبسلون
وهذه اللي قلنا عنها اللي هي الـ Cauchy criterion
for uniform continuity، هذا الكلام كله لمين؟ صحيح
لأي X، وين؟ على الفترة اللي هو absolute value X أصغر
أو يساوي A، يعني على الفترة المولّقة من ناقص A لعند
A، وهذا بيعطيني أن الـ is uniformly continuous على
الفترة من ناقص A لعند A، is as if is uniformly is
uniformly convergence على الفترة من ناقص A لـ A، يعني
بمعنى آخر، صارت عندي ال sequence هذه اللي هي CNN
converges uniformly to some function عالمياً على
الفترة من ناقص a لعند مين؟ لعند a، الآن، طب ما هو اللي
عملناه أنا على الفترة هذه نقدر نعمله على أي شيء
ثاني، يعني بمعنى آخر لو جيت أخدت x element in R
هلاقي number a بحيث أن هذا ال number a هي ال x في
ال R، بقدر ألاقي a بحيث أن ناقص a و a تكون ال x في
الفترة بين ناقص a و a، يعني بمعنى آخر هعمل نفس اللي
عملته في الأول وهحصر على c أن uniformly
convergence على هذه الفترة، يعني بمعنى آخر الآن صار
عندي limit cn of x for any x exist، بدي أسميها هذه
limit c of x، وبناء عليه بدي أعرف الآن in
particular، this means that cn of x converge for
each x element in R، we define c من R لـR by c of x
بساواية limit cn of x for x element in R
الآن، بما أنه الآن الـCn مرتبط بشكل مرتبط لـC زي ما
قلنا أو الـCn of X كلهم مرتبط حسب اللي هو
النظرية في الـpointwise، الـuniform convergence
اللي هو the limit، the uniform، limit أو الـ
uniform convergence of a sequence of continuous
functions، مصمّد كونتنوياس، الـ limit تبعتها يعني
هتطلع عندي C of X continuous، مثلًا C of X
continuous، إذا عندي اللي هو صار عندي الـ
function هذه continuous اللي هي الـ C اللي احنا
بدنا إياها، ومش هيك، و limitCn of 0 as n goes to
infinity بساوي limit اللي هي Cn of 0 ايش بتساوي؟
واحد، وهي ساوية واحد اللي هي عبارة عن مين؟ الـC of
ايش؟ of 0، لأن احنا متّفقين الـC of X بساوي limit Cn
of X، و in particular for X بتساوي صفر، بساوي limit
Cn of 0 بساوي C of 0، وCn of 0 كلها واحد أيضاً،
limit الواحد اللي هو بساوي واحد، يعني الـC of 0
ايش هتساوي؟ هتساوي واحد، خصّلت كمان شغلة، إنه حصلت
عندي أن الـ c of zero بيساوي واحد
لأ اللي هو الـS، الـCN بعمل شيء مشابه له لمين؟ للـSN
عشان نثبت الآن اللي أثبتناه إنه صار في عندي ده
اللي عرفناها اسمها الـC of X اللي عبارة عن limit
CN of X، حيث الـC من R إلى R، طيب
الآن نأخذ أيضاً ال absolute value X أصغر من مين؟ من
أيه، وال M أكبر أو يساوي N، وأصغر من مين؟ من اثنين
أيه، الآن نحسب ل SM ناقص SN، SM أيه قيمتها؟ DT من صفر
الاندكس، SN، وهي SM
ناقص هذه، هي قيمتها، إذا صار هذه ناقص هذه هي قيمتها
الآن هذه سهل إثباتها أنها تتعامل ال absolute value
لهذه أصغر أو يساوي الـ absolute value لهذه أصغر أو
يساوي ال integration من 0 ل X ل absolute value CM
of T نقص CN of T شماله DT، ماشي الحال، أو بنكمل
اللي هو بنستخدم هذه الخاصية اللي هو بيكون أصغر أو
يساوي من الحسابات اللي حسبناها قبل شوية هذا
حسبناها أصغر من مين؟ الحسابات اللي قبل شوية، أصغر أو
يساوي A أس 2N على 2N الكل factorial، مضروبة في اللي
هو ستة عشر على مين؟ على خمسة، في ال integration من
صفر لل X ل DT، هذا ال integration ايش بيساوي؟ بيساوي
X، ماشي، وال X عندي احنا ماخدينها أصغر أو يساوي مين؟
أيه، أصغر أو يساوي أيه، فبيصير عندي هذا المقدار بيكون
لما نبعد مكانه بيطلع X قيمته أصغر أو يساوي A
فبيصير هذا مضروب في مين؟ في أيه اللي هو هاي المقدار
وهي 16 على 5، وهي ايش؟ ال A، صار هذا أصغر أو يساوي
هذا المقدار نفس ما عملنا قبل بشوية، الآن as N goes
to infinity هذه قيمتها بيساوي 0، إذا هذا المقدار for
very large M و N هيكون أصغر أو يساوي Y، وبالكوشي
criterion بيصير عندي اللي هي ال S N converges
uniformly، والآن على الفترة ناقص A و A، وال A كانت
arbitrary، إذا S من R لـ R بنقدر نعرفها بحيث إنه
limit S N of X اللي صارت موجودة على هذه، وبناء على
الـ A-arbitrary صارت موجودة على كل الـ R زي ما
قلنا، كيف هذا الكلام؟ بسمّي limit S N of X اليمين S
of X، وهذه اللي هي ال function الثانية، بنفس الأسلوب
وبنفس اللي هو المنطق، وبنفس الأسباب، بما أن ال S N
converges uniformly to S، وS N continuous، إذا حدّ
طلع ال S برضه نفس شماله continuous، وأيضًا limit
of S of 0 هو عبارة عن S of 0، وبما أن S of 0 دائمًا
0، إذًا limitها سيكون as N goes to infinity 0، يعني
ستظهر لدي S of 0 ايش؟ بساوي 0، إذًا الآن طلعنا
كمان شغلة أثبتناها، أن S of 0 بساوي 0، و C of 0 بساوي
1، وعرفنا هذولة الدالتين اسمها S و اسمها C اللي هي من R لعند
مين؟ لعند R، إذن الآن احنا الدالتين اللي أثبتنا لوجودهما الآن، اللي بحكي عنهم هذولة الدالتين، اللي هي
الدالة الأولى سمّيتها S، الثانية C، ولاقيت إنه C of
0 بساوي واحد، و S of 0 بساوي 0، وظلّ أثبت هذه وأثبت
هذه وأثبت هذولة اللي أستبعتنا بتحققهم، فخلينا نشوف
كيف نثبتها، طيب الآن أوصلنا لعند اللي هو المنطقة
هذه، لأن احنا اتّفقنا على ما يلي، اتّفقنا أن الـ S N
تتعامل بشكل عام لتعمل S، والـ C N تتعامل بشكل عام
لتعمل C، لكن الآن احنا أثبتنا في الأول هي إن ما
محتاجش ال S N برايم بساوي ال C N، مظبوط؟ يعني وكأنه
بناء على هذا مزام ال S N برايم بساوي ال C N، فبيصير
الـ S N برايم، هذه، مكانها دي S N برايم بصير الـ S N
برايم converges uniformly to some function mean C
الآن بما أن الـ S N برايم converges uniformly to C الآن
والـ S N converged to S uniformly برضه حسب نظرية
بتطلع عندي بما أن الـ s n prime differentiable هتكون
الـ limit هـ differentiable والـ c prime اللي هي الـ
s prime هذه هي مين الـ c اللي طلعت هنا يعني الـ s n
prime differentiable أو الـ s n differentiable و
converges to some function إذا بتتذكر كنا نسميها g
وهذه كنا نسميها f فكنا نقول بما أن الـ s n بتروح للـ f
والـ s n prime بتروح للـ g إذا نتيجة النظرية هتكون
اللي هي الـ F هي الـ Differentiable والـ Derivative
لها إيش بتطلع؟ D يعني الـ Derivative للـ S' إيش
هتطلع عبارة عن مين؟ C' آسف C هتطلع مين؟ اللي هي الـ
C إذا أثبتت أنا الآن الـ S' of X بتساوي الـ C of X هذه
اللي أثبتته هنا الآن من جهة أخرى من جهة أخرى إحنا
أثبتنا اللي هي قبل هيك أن الـ C N برايم بسوء ناقص الـ S N
ناقص واحد الـ C N برايم بسوء ناقص الـ S N of واحد يعني
بمعنى آخر الـ C N برايم of X أثبتنا بسوء ناقص الـ S N
ناقص واحد of X الآن بما أن الـ S N converted زي الـ S
خلصنا هذه اه خلصنا هذه المنطقة خليني أشرح بلغة
ثانية عشان أميز بين الكلامين عندي الآن انتبهوا
بتعمل نفسي إشي بس بالنسبة لمن الآن بالنسبة عشان
أجيب الـ derivative للـ S للـ C prime عندي الآن الـ C N
prime of X بسوء نقص الـ S N نقص واحد of X بما أن الـ S N
راحت للـ S إذا اللي هي الـ derivative هي اللي
بتساويها اللي هي الـ C N زائد واحد prime of X هتروح
لمين؟ اللي هي مش هي ناقصها لأن الـ S N ناقص واحد اللي
هي بتساوي ناقص هذه أنجل ناقصها بعد إذنكم يعني بدي
أستبدل الـ S N بمين؟ بقيمتها هذه صارت ناقص الـ C N
prime of X إيش بتساوي؟ بتروح للـ S أو بمعنى آخر صار
عندي من هنا من هنا اللي بتطلع عندي هنا صار عندي
الآن من هنا اللي هو الـ c n زائد واحد prime of x بتروح
لناقص طبعا uniformly بتروح لمين؟ ناقص الـ s لأنه ناقصها
بتروح للـ s إذا هي بتروح لناقص الـ s وفي نفس الوقت
أنا بقول الـ C N نفسها بتروح uniform لمين؟ للـ C بنفس
الإسلوب اللي قبل بشوية اللي هي بما أنه هذه اللي هي
differentiable sequence of functions و converge
uniform to some function إذا هذه هتكون اللي هي
عبارة عن اللي هي الـ C الأصلية differentiable والـ
derivative فيها لها مين؟ ناقص الـ S فبصير عندي الـ C'
of X بسوء ناقص S of X بكون هذه اللي هي النتيجة
الثانية اللي طبقنا عليها طلعت عندي اللي هو هذه
الخاصية وهذه الخاصية متحققة يعني الآن صار عندي
اللي هو تحقق ما يليه أنه تبعتنا هذه الـ C' of X
بيساوي ناقص S of X وطلع عندي اللي هي S prime of X
بيساوي C of X ماشي الحال بيكون هيك إحنا ضال علينا
شغل أخرى لحاول نثبتها بيكون أثبتنا اللي هو كل
الصفات المطلوبة اللي تتحقق في الـ S وحددت هوية الـ S
والـ C
الجزء الثاني سهل فضل الـ c w prime of x
بتصير c double prime هيها وهذه فضلها بنفعلها
لأنها قبل التفاضل اللي فضلناها وبتصير ناقص اللي هي
s prime of x اللي هي s prime of x إيش بتساوي؟ c of
x فبصير ناقص مين؟ c of x والآن S W' of X من أين بدي
أجيبها؟ من هنا S W' بيساوي اللي هو هذه الـ
derivative اللي هي الـ derivative اللي هي عبارة عن
ناقص S of X فبصير عبارة عن ناقص S of X فبصير عندي
هذا برضه إيش تحقق؟ آخر إشي اللي هي C' of Zero C' of
Zero بيساوي ناقص S of Zero و S of Zero بيساوي صفر
إذا C' of Zero بيساوي Zero الـ S' of Zero
وهكذا أثبتنا وجود دالة
اللي هي حققت لي اللي هي الشرط الأول هذا والدالتين
آسف والشرط الثاني اه اللي بعده هذه بتكون أثبتنا
وجود الـ C والـ S لأن بعض النتائج الأخرى على اللي هي
الدالتين
اللي أوجدناهم
نشوف إيش الـ Corollary الأولى بقول لي if C and S
are the functions in 3x, 8x, 4x, 1 then C' of X
بيساوي نقص S of X أثبتناها هيها and طبعا في طريقنا
في البرهان S' of X بيساوي C of X هيها اللي هي خواص
اللي هي أثبتناها طيب الآن بقول لي moreover these
functions have derivatives of all order يعني بأي
order الـ derivative موجودة طبعا هذا by induction
by induction اللي هو بدك تثبت إنه اللي هو اللي هو
C N هتكون موجودة وبيساوي ناقص a of x أو زائد a of x
حسب اللي هي جداش درجة الـ n وممكن تساوي C of x أو
اللي هي ناقص C of x حسب درجة الـ n اللي موجودة إذا
الآن هذه by induction بنقدر نثبت إن الـ derivative
اللي هو موجودة for any order بناء على اللي حكيناه
نيجي الآن لـ Corollary اللي بعدها بقول الآن الـ
function C and S بحقق اللي هي الـ Pythagorean
Identity اللي كنا نعرفها كـ جيب تربيع زائد جتا تربيع
إيش بتساوي؟ بتساوي واحد فكرة البرهان سهلة بسمي هذه
كلها بسميها function اسمها F of X بقول سمي هذه
اللي هي F of X بتساوي هذه فضليها بلا بتفضليها F
prime of X بتساوي اثنين في C of X في تفاضل اللي جوا
اللي هو ناقص S of X والتانية زائد اثنين في S of X
فتفاضلها هي C of X هذه هي هذه بس بالسالب إذا حصل
طرح حلو اسم يساوي صفر إذا صارت عند الـ derivative للـ
function هذه إسمها بتساوي صفر يعني بمعنى آخر
الدالة هي دالة ثابتة يعني F is a constant function
يعني قيمة الـ F عند أي قيمة إيش بتساوي؟ مقدار ثابت
إذا اتفاجأ أنها ثابتة أسهل إشي أسهل إشي أوجد لي F of
Zero عشان أتعرف إيش هذه اللي بتساوي بالضبط C of
Zero واحد S of Zero صفر إذا صار عندي F of Zero
بتساوي واحد وهي ثابتة إذا صارت F of X دائما
بتساوي واحد يعني هذا المقدار بتساوي واحد دائما
طيب نيجي الآن
لأ الـ theorem اللي بعدها الـ functions C and S
satisfy the properties I and II of theorem 8-4-1
are unique لما بقول لي برضه هتلاقي الـ uniqueness
بشبه الـ uniqueness لمن؟ لأ اللي هو الـ .. الـ ..
قولوا معايا الـ uniqueness للـ exponential وسمناها
اللي هو let E واحد .. نفترض أنه في E واحد و E
اثنين وسمها فرق بيساوي D وفي الآخر روحنا لفرق
بيساوي إيش؟ بيساوي صفر هنا نفس الإشي هنشتغل وبرضه
هنستخدم اللي هو الـ Taylor's theorem زي ما استخدمنا
هناك الـ Taylor's theorem يعني هتلاقيه الـ sketch
للبرهان هو نفس الـ sketch الأولاني عشان هيك
هتلاقوني سريع فيه بدنا نثبت أن الـ C والـ S are
unique functions طبعا الطريقة let c1 and c2 be two
functions on R that satisfy it satisfies مين الـ
conditions اللي إحنا بنقول عنهم اللي هي الـ I و II
اللي هو بحيث إنه c1 double prime of x بساوي c1 of
x
2﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿﻿
لأن نفترض أن دي بتساوي C1-C2 وبدنا نصل في النهاية
أن دي هذه لازم تطلع إيش بتساوي؟ بتساوي 0 مدام دي
بتساوي 0 مدام C1 بتساوي إيش؟ C2 لاحظ الآن D W' of
X فاضل هذا مرتين تصير C1W'-C2W'
الآن بتساوي هتطلع إيش بتساوي؟ ناقص اللي هي مين؟ D of
X نعملها اللي هي حسابات D of X بتساوي D of X بتساوي
C1 ناقص C2 D prime of X إيش هيساوي؟ اللي هو عبارة
عن S واحد ناقص S واحد ناقص بيصير اللي هو مين؟ الـ S
واحد اللي هي بالنسبة لهذه اللي أوجدناها ناقص S
اثنين بيصير زائد لأن دي double prime بتساوي بتفاضل
هذا كمان مرة اللي هي بترجع مين؟ نفسها C واحد وهذه
ترجع نفسها C2 التي هي ناقص D التي هي ناقص D طيب
إذا الـ D لأنه مفترضين الـ C1 و C2 اسمها بتحقق
الشروط اللي فوق اللي قلنا عنها Double prime بتساوي D
of X أو D double prime بتساوي D double prime بتساوي
بتساوي D W' ناقص D W' D W' ناقص C1 و D W' اللي
هي ناقص ناقص C زائدة سارة D W' بتساوي ناقص D و X
هيك اللي هو دعنا نقول أسلم طيب الآن بستعجل لأن
الكلام معاد يعني أو الأفكار معادة الآن احط لي D of 0
إيش هيساوي؟ Zero لأن D of 0 بيساوي هذه ناقص هذه و
هذه عند الـ zero واحد وهذه عند الـ zero واحد
الاثنتين عند الـ zero واحد انحصل طرحي إن إيش هيساوي
صفر الآن D prime عند الـ zero و D W' عند الـ zero و و
.. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و
.. و
.. و .. و .. و .. و .. و .. وبحكي عن الـ
derivative الـ dw prime عبارة عن اللي هي ناقص d of
0 عند الـ 0 و الـ d عند الـ 00 إذن هذه الـ 0 هذه
لمن؟ لـ k اللي هي إتنين و أربعة و ستة و تمانية
بنفس السبب هتطلع صفر الفرديات بيجي من مين؟ من هذه
فردية الـ Derivative لإيش؟ لأن D' of 0 هتساوي C1'
ناقص C2' C1' عند الصفر صفر و C2' عند ال 0 0 إذا هذه
دي K عند ال 0 بالساوية 0 لكل K سواء زوجية أو إيش
أو فردية إذا جهزنا هذا اللي جهزناه قبل هيك يعمل
Exponential وبتنا نطبّق اللي هو مين الـ Taylor's
theorem نطبّق الـ Now let x element in R be
arbitrary element in R and let I x be the interval
within point 0x طبّقنا عليها إذا since D بتساوي C1
ناقص C2 وT بتساوي S1 ناقص S2 اللي هي مفترضين S1
وS2 اللي هو two functions such that اللي بيحققوا
تبعات الـ sine اللي هي بالساوية S1 ايش هي مسميها
أنا اللي هي بدل C2 prime أو هي C2 prime والـ S2
اللي هي C2 A prime العكسية
ال derivative بيصيح بالنقص are continuous on mean
on Ix عارفين continuous انه احنا مفترضين ان نحقق
نفس اللي هو اللي قبله مدام continuous الـ D والـ T
continuous على closed bounded interval I X إذا في
اللي هو K واحد للأولى و K2 للتانية خدوا ال maximum
إليها واسموها K إذا في K للجهتين بحيث ان ال D of T
bounded علي هذه أصغر شيء T كي على كل الفترة اللي
بنحكي عنها IX وT of T أصغر شيء K for all T
elements of IX لأنه زي ما أقول continuous function
in a closed bounded interval must be bounded الآن
جاهزين نطبق مين؟ الـ Taylor's theorem to d من Ix
and use the fact دي اللي أثبتناه دي 0 سواء 0 دي K0
سواء 0 الآن بنقول for each n unlimited n عملناها
عشان هيك بس ماشي عنه بسرعة عملناها قبل هيك there
exist a point Cn unlimited Ix such that هذا
remainder بتعملي remainderD ب X بيساوي D of 0 زي
دي prime of 0 زائد زائد زائد زائد X ان نقص واحد
لما أصل لمين لل remainder كل هذول أصفار بسبب مين
انه D0 وD prime of 0 وD ان نقص واحد وزير وكلهم إيه
شمالهم بيساوي أصفار عند الصفر بيظل هذا المقدار
يساوي اللي هو المقدار اللي عندي اللي تحت هذا هذا
ال derivative هذا ال derivative أنا بعرفش إيش هي
ما أنتوا عارفين ال derivative لل .. لل .. لل C
أو ال derivative للـC إذا فضلت مرة واحدة بتطلع
الـS أو سلبها فظلت تلت مرات بترجع ليها S بس
بالموجة فظلت خمسة بترجع ناقص S فظلت زوجي بتطلع هي
نفسها أو سلبها عشان هي كادل أنا بعرفش طبعا هنا
عندك اللي هي بتتوزع على مرة derivative تنتين
derivative تلاتة derivative أربعة derivative و
بترجع الدورة زي ما هي لإنه في الأول بيكون اللي هي
تفاضل الـC ناقص S بعدها بتتفاضل بترجع اللي هي ناقص
حالتها بعدها بترجع اللي هي
ببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببب
اللي هي الـC ويصير ناقص C كمان مرة بترجع اللي هي
الـS وكمان مرة بترجع اللي هي الـC بعد هيك بتصير
اللي هي تكرر نفسها يعني بمعنى آخر جربوها أنتم
هتلاقوا أنه حسب الأُس هنا بتطلع اللي هي عبارة عن
هي أو سلبها أو الـS أو سلبها بكل الأحوال بغض النظر
اللي هي DN of CN هي حاصل طرح التنتين اللي هي سمنها
يا D يا T الـ D تبعت الـ C الفرق طبعا والـ T اللي
هي الفرق بين الأسات يعني في الآخر زائد أو ناقص و زاد
أو ناقص سواء هذه أو سواء هذه حضرنا من الأصل انها
bounded و كله أصغر أو يساوي من K أصغر أو يساوي إيش
K بناء عليه هتطلع هذه هيك absolute value أصغر أو
يساوي هذه أي إن كانت K في X أُس N absolute value
على N factorial باشي الحال إذا صلعت عندي هذا
المقدار أصغر أو يساوي هذا as N goes to infinity
هذا بروح لمن؟ للصفر وهذا independent of N بيصير
أكبر أو يساوي الصفر يعني هذا اللي جوا بده يصير صفر
إذا ال D of X هاشي بدها تساوي بتساوي صفر وبكون
أثبتنا ان الـ C1 والـ C2 are equivalent الآن
similar arguments بنفس الأسلوب وخليها إليكم إنه
اللي هي بنثبت إنه S إذا كان S1 وS2 are two
functions such that بيحققوا اللي هما الخواص اللي
بنقولها عنها في النظرية اللي هي S1 double prime
بيساوي نفس S1 ونفس ال S2 وهذا عند Zero بيساوي Zero
وهذا ال prime عند Zero بيساوي Zero هيتلعلك غصب
عنها في الأخر S1 بيساوي S2
بس بدل ما تعملوا على ال D يعني سموا اللي هو T
بتساوي S1 نقص S2 وطبقوا الشروط وامشوا نفس اللي
امشيناها هتلاقوا حالكم انه لازم تطلع ال S1 بيساوي
S2 وبناء عليه صار ال ال two functions ال C والS
are unique functions طيب
ال answer المؤهلين نذهب بالاتجاه نثبت أن افترض أن
الـ Definition of the unique function C من R لR و
اسم الـ R لR اللي يتحقق CW prime of X بيساوية نقطة
C of X هو الاصل الـ differential equation الثاني S
w برامج و X ناقص بيساوي ناقص S X لكل X element in R
و ال C of Zero اللي هو ال condition ال condition
بيساوي واحد و C برامج و Zero بيساوي Zero و ال S of
Zero بيساوي Zero و ال S برامج و Zero بيساوي Zero
الدالتين اللي بحقق إن الكلام هذا اللي أثبتنا إنه
unique بنسميهم respectively the cosine function and
the sine function اللي أنتم بتعرفوها وهي cosine X
اللي بتعرفوها وهي sin X اللي أنتم بتعرفوها نيجي
الآن نأخذ بعض الخواص خلينا نأخذ اللي هو الخاصية
اللي هي نظرية 4.6 بتقول لي إذا كانت f من R ل R is
such that f double prime of x بيساوي ناقص f of x for
x element in R يعني هذه ال differential equation
بتقول لي هذه ال differential equation هي حلولها
مالي then there exist Alpha و Beta Such that F of X
بيساوي Alpha CX زائد Beta S of X بيقول لي هذه ال
differential equation حالة انها عبارة عن linear أو
خليني أقول combination أو linear combination
between F C of X S of X خليني آخذ نسمي g of x إيش
بتساوي اللي هي عبارة عن اللي هي ال c of x و ال a
sub x نسمي هذه f of zero و f prime of zero for x
element in R الآن لو حسبت ال gw prime of x احسبها
فاضل هذه
مرتين هدول ثوابت طبعا و هدول اللي بتنزلك
هتلاقيهم اللي هو بيساوي ناقص g of x أه .. و لو حسبت
الـ g of zero .. g of zero هتلاقيها بيساوي of zero
لإن هذا صفر وهذا .. هذا واحد وهذا صفر الآن صار
عندي gw prime of x بيساوي ناقص g of x و g of zero
بيساوي f of zero الآن احسب الـ g prime of x صار عندي
ثلاث معلومات معلمين جي دابل برايم of X بيساوي ناقص
جي of X و جي of Zero بيساوي أف of Zero خلينا نجيب
جي برايم of X جي برايم of X مش بتساوي فاضل اللي هي
عبارة عن ناقص أس of X و هذا تفضلها اللي هي C of X
صار عندي اللي هي جي برايم of X بيساوي هذا الكلام
زائد هذا الكلام الآن احسب لي g prime of 0 هيصير
عبارة عن هذا طبعا صفر وهذا هتصير واحد فبصير F
prime of 0 صار عندي الآن g prime of 0 إيش بيساوي يا
جماعة؟ جي برايم اف زيرو خليني أطلعلك إياها لفوق
صارت جي برايم اف زيرو بيساوي أف برايم اف زيرو و جي
اف زيرو بيساوي أف اف زيرو الآن بديش ناشر نعيد اللي
هو therefore الآن the functions h بتساوي f ناقص g
is such that يعني عرف لي function h أيش بيساوي؟ f
ناقص مين ناقص g الآن الـ H double prime لها لو جيت
حسبت الـ H double prime اللي هي هتلاقيها بتساوي
ناقص H of X بتحسبوها لحالكم H double prime of X
عشان بتساوي ناقص H of X لكل X element in R لو حسبت
اللي هي H of Zero هتساوي اللي هي zero لأنه احنا
أثبتنا أن g of zero ساوي f of zero و h prime of
zero h prime of zero اللي هي عبارة عن f prime ناقص
g prime عند ال zero الثانية و التساويات إذا إيه مش
ساوي صفر الآن it then thus it follows as in the
proof of the preceding theorem النظرية الماضية إن
h of x إيه مش ساوي صفر يعني بدك تعمل نفس اللي
عملناها قبل هيك على ال Taylor's theorem والآخرين
تصل ال H of X بساوية 0 لكل X ومنه هتقول F of X
بساوية G of X مدام F of X بساوية G of X إذن هذه
اللي هي F of X بتطلع F of X بتساوي اللي هي هذا
اسمها Alpha وهذا اسمها Beta وبكون عندي هي اللي هو
solution لـ اللي هي ال differential equation اللي
احنا حكينا عنها بديش أعيد نفس الكلام عشان هي كأنا
اختصرت لأن الحسابات كلها مشابهة
الآن بدنا اللي هي 8 4 7 the function C is even and
S is odd in the sense that هو بتكون الصحيحة دي
الأصل كلها تكون أو معظمها اللي هي عبارة عن
exercises لإنها تطبيقات على النظرية اللي قلتها في
الأول ال C ناقص X هيساوي C of X يعني عبارة عن even
function S ناقص X بيساوي ناقص S of X لكل X element
in R الآن if x,y المتنار then we have the addition
formula c of x زي اد y بيسبب c of x في c of y ناقص
s of x وs of y اللي هي اللي بتعرفوها انتوا sign ال
x زي اد y بيسبب sign ال x بكسان ال y زي اد كسان ال
y في sign ال x وهكذا هي هذه الخواص اللي احنا
عارفينها قبل هيك وبدنا نشوف كيف اللي هي نبرهن
النظرية نشوف البرهان تبع النظرية الآن سمي لي Phi of
X بيساوي C of ناقص X لكل X element in R احسب لي الـ
phi w prime of x لو اتيت فضلت هذه مرتين هتلاقيها
ناقص phi of x وهذا الكلام تفضله سهل وبتجيبه لحالك
الآن احسب لي ال phi of 0 phi of 0 هتساوي إيش؟
بتساوي واحد phi prime of 0 هتطلع اللي هي عبارة عن
اللي هي ال sign ال sign إيش معناها؟ بتساوي 0 عند
ال zero الآن صار عندي الآن الفاى هي مين؟ هي الـC
ليش الفاى هي الـC؟ لأن حققت الفاى اللي فرضتها
بساوية C-X شروط الـC والـC is unique إذا الفاى هـ
بتساوي C إذا صار عندي الآن C-X بيساوي C of X الفكرة
واضحة أنه أنا جبت سميت الـC-X هي الفاية واتبتت أن
هذه الفاية بتحقق الشرطين اللي احنا حكينا عنهم في
الأول الدالة اللي بتخلي الـC is unique فصارت
الفاية إيش بتساوي الـC الآن بمعنى آخر صارت C of X
هي C من ناقص X اللي فرضناها الـ Phi in a similar
way برضه بدك تعملاش S of ناقص X اللي هو بتسمي اللي
هي ال .. الفا .. بتسميها بـ Psi مثلا Psi بتساوي
مين؟ بتساوي اللي هو ناقص هتجيبها سامي بصي بيساوي
ناقص S ناقص X و تجيب الشروط اللي هي تبعها ال sign
هتلاقيها متطابق متحققة وبما أن ال S is unique أو
ال sign is unique إذا اللي هي اللي حققتها اللي
كتبتها بتساوي ال S وصارتين إيه جهتين متساويات بنفس
الأسلوب طيب الآن نيجي نثبت اللي هو مين VI شوفوا
صلوا على النبي عليه الصلاة والسلام هنثبت الآن إن VI
let y المتن عار بيجيبنا let f of x بيساوي c of x
زي dash زي y for x المتن عار الآن a calculation
shows that يعني فضلي هذا مرتين التفاضل سهل والله
يا جماعة عشانك أنا يعني ما بديش نضيع وقتنا في
التفاضل أو في الحسابات f w prime of x طبعا فاضل
بالنسبة لي x y إيش ما على f x ثابت أسيبك منها لأن
لو فضلت مرتين هتلاقي ناقص f of x for x element in
R مدام f w prime بيساوي ناقص f of x بالحصارة اللي
هي حل المعادلة التفاضلية هذه اللي هي بالنظرية اللي
قبل شوية هي 8 4 6 هتكون اللي هي ال f of x عبارة عن
linear combination هذه اللي هو α C of X زي Beta S
of X والـ F of X مين هي احنا فرضينا C of XY صارت
هذه عبارة عن هذه يعني هذه بتساوي هذه من حال
المعادلة التفاضلية هذه بواسطة النظرية هذه وهذه
أصلًا أنا نسميها هيك صارت هذه بتساوي هذا المقطع الآن
جيب له F prime F prime of X اللي هي هذه التفضيلة
بـ C ناقص S of X زائد Y وفاضل هذه بيطلع اللي هو
عبارة عن ناقص Alpha S of X زائد Beta C of X ثم
فضلت ماشي الآن خد X بيساوي 0 X بيساوي 0 لما X
بتساوي 0 بنحصل الآن عندي .. بيصير عندي عوض X بتساوي
صفر في اللي هي المعادلة اللي عندي هنا بيصير عندي S
of Zero و C of Zero بيساوي مين؟ F of Zero F of Zero
اللي هي عبارة عن F of Zero هي C of Y هذه فاهمين
عليها؟ خليني أقولها واضحة أحسن الآن بدنا ناخد F
مين؟ F عند Zero فاشر؟ بيصير هذا C of Y بيساوي مين؟
Alpha في c of zero واحد وهذه beta s of zero زيرو
إذا صارت عندي ال alpha بتساوي c of y هاي واحدة لأن
similarly اللي هو ناقص خد عند ال zero عند ال zero
بيصير ناقص s of y بيساوي هذي بيصير صفر وهذه بيصير
beta بيساوي beta الآن بنعوض وين؟ في ال formula
الأولى بيصير عندي الآن ال formula اللي عندي اللي هي
بتحط مكان C of Y بيساوي Alpha والفورمولة الأولى
اللي احنا عملناها بيصير عندي اللي هي C
Half X زائد Y بيساوي Alpha اللي هي اسمها قلنا طلعت
عندنا C of Y بيصير C of Y في C of X هيها مظبوطة
وهذه ناقص S مكان ال Beta بيصير ناقص S of Y في S of
X صحيحة إذا بكون إحنا خلصنا اللي بدنا إياه وهذه بتعوض
عن اللي هي Alpha C of Y بـ C ناقص C of Y وهذه بتعوضها
هنا بتطلع هذه بتساوي ناقص هذه اعمل الحساب الأخير
وضروف الدقيقتين بنقص بتطلع عندك هذا المخضر يعني
هذه التعويض فيها عن قيمة Alpha و Beta بهذه هنا
بتطلع هذه وهذه التعويض هذه عن alpha و beta هنا اللي
بتطلع الأولى بكون إحنا خلصنا اللي هو اثبات هذه
اللي هي النظرية وضال عندي اللي هو النظرية هذه
الأخيرة والباقي اللي هو لو اتطلعتوا على اللي هي
باقي النظريات اللي هي بس اتطلع لعند الها بيكون
إحنا بيكون خلصنا chapter اللي هو المطلوب في
chapter في ثمانية أربعة هذه اللي هي ال theorem
خليني أطلع لك عليها على السريع لإن حسابات كلها
بتعملها لحالك أكيد بتعرف إذا كان الـ x أكبر أو أقل
من 0، فهناك Sx بنقص الـ x والـ x والـ c of x بين
الواحد ناقص x أربع عذر تو واحد والـ c of x بقدر
أكمل الـ polynomial
باللي عملناها اللي هي الـ CN of X اللي جابله شوية و
الـ SN of X لأنه في النهاية limitها ال series
الأولى as N goes to infinity ما أنتو عارفين اللي
هي نقدر نكتب الـ C of X على صورة ال series اللي في
الأول و الـ S of X عبارة عن limit ال series الثانية
ال terms إضافة term و طرح term و وجوف عند حدود بال
term بتعمل ال inequality اللي عندنا اللي هو كل هذه
شغلات اللي أخذناها في ال calculus مافيش داعي
للتفصيل فيها الآن الأولى عندي ال .. ال .. احنا قلنا
sign تربيع زائد plus sign تربيع بيساوي واحد يعني في
النهاية ال C of T بين ناقص واحد و واحد ده ممكن
هتتجاوزها لأنه بتختل اللي هي ال C .. لو كانت أكبر
من واحد معناته بـ C .. C of T تربيع زائد S of T
تربيع يتجاوز من واحد لكن مجموعها بيساوي واحد إذا هدي
بين .. يعني هدي اللي وين جاية من C تربيع زائد S
تربيع بيساوي واحد طيب اللي هنعمل integration لجهتين
من صفر لعين DX هذه اللي هي بتطلع اللي هي main ال S
of X وهذه بتطلع ناقص X وهذه بتطلع X فالمعمل ال
integration هدول الآن بدي
أجيب التانية فضلي ال S of T هذه وهذه فاضليها هذه
فاضليها بنقل صفر عند X بتطلع اللي هي بين هذه وهذه
هيتفاضوا لهذه وهذه الآن بدنا اللي هو نجيب الواحد
ناقص X التربيع اللي هو هذا قيمته اللي هو عبارة عن
C في X بيساوي واحد ناقص هذه بنضرب الناقص و بنجمع
الجهتين واحد بيطلع عندي اللي هي ال inequality اللي
عندي هذه زي ما قلنا ضربنا في ناقص و جمعنا واحد طلعت
هذه أو عوضنا هذه مكان هذه تعويض عادي وبعدين ضربنا
في ناقص فبيصير عندي هذه المقدار اللي عندي c of x
أكبر سواء هذه و ناقص هذه واللي بتستخدم الثانية
بتطلع نفس الشيء الموضوع موضوع حسابات بحت عشان هيك
بحت عشان هيك ما في داعي للتكميل وانتو بتكملوا
باقي الحسابات اللي هي المطلوبة في هذا اللي هي
النظرية الآن الجزء المتبقي هذا حبيته تطلعوا عليه
لكن اللي هو مش مطلوب من ضمن حديثنا وهيك ممكن
نخلصنا اللي هو section ثمانية أربعة متسمة سبتر
ثمانية هذا اللي هو الجزء الثالث من المادة الجزء
الأول كان الـ differentiation والثاني الـ
integration والثالث اللي هو pointwise
convergence المرة الجاية إن شاء الله اللي هو بنبدأ
في الجزء الرابع من المادة اللي هو الـ series وأن
شاء الله بقدر الإمكان هأحكي الجزء الخامس في .. من
المادة اللي هو عبارة عن اللي هو Topology in ℝ أو
اللي هو اللي هي العلاقة بين اللي هي Topological
Spaces والـ Normed Spaces والـ Hilbert Spaces إلى آخره
ويمكن بتكون هي اتجاوزت خلينا نقول حد الـ .. الـ .. الـ
.. المطلوب في المادة لكن على أساس إنه لو يكون
الوصف كامل للـ .. للوصف اللي أنا اقترحته أو اللي
هو الوصف اللي مقترح في الجسم اللي هو لعين نهاية الـ
series وطبعًا هذا الكلام قلنا احنا فيه له سبب لما
بدأنا في الأول إنه الـ series بتأخذوها في advanced
calculus واحد فعشان هيك يمكن اللي هو
هيكون منطقي إنه ما نأخذش الـ series ونأخذ بدلًا منها
اللي هو الـ topology in ℝ أو اللي هو العلاقة بين الـ
topological spaces والـ metric spaces وإلى لقاءٍ و
السلام آخر والسلام عليكم ورحمة الله وبركاته