بسم الله الرحمن الرحيم نعود لل section اللي
ابتدأناه المرة الماضية وكان موضوعنا هو ال extreme
values of a function القيم القصوى أو القيم
المتطرفة لدالت ما طبعا المرة اللي فاتة أخدنا ال
absolute maximum و ال absolute minimum و عرفنا
اللي absolute maximum أقصى قيمة بتاخدها الدالة على
كل ال domain تبعهاوالـ Absolute minimum أقل قيمة
بتاخدها الدالة على كل ال domain تبعها هذا اللي
أتعرضنا عليه المرة الماضية ولاقي ان ال absolute
maximum او ال absolute minimum قد يحدث at interior
point عند نقطة داخلية في ال domain وقد يكون عند ال
end point باهمني سواء كانت هذه ولا هذه المهمة ان
عندي absolute maximum و absolute minimum لدالة ما
لم تكن constant functionإذا كان الصندوق فاكشن ليس
لديه أبسلوت ماكسما أو أبسلوت مينيموم، لكن ما خلّى
ذلك إذا دلّا دلّا متصلة لازم يكون فيها لديها
أبسلوت ماكسما أو أبسلوت مينيموم على ال domain
تابعهاطيب نجي لتعريف جديد بدنا ال local maximum و
ال local minimum بدنا نقرع كويس و نقارن بين هذا ال
definition و ال definition تبع المرة الماضية نقرا
هذا ال definition ثم نعود ل definition المرة
الماضية بيقول ال F has a local maximum او local
minimum value at an interior point يبقى احنا الآن
مالناش علاقة بمين؟بنتكلم عند الـ interior points
النقاط الداخلية للـ domain at interior point C
اللي موجودة في ال domain الدالة F إذا F of X أقل
من أو يسوى F of C فF of C ما لهااكبر ما يمكن ايش
بسميها local maximum اقل ما يمكن f و c اقل من
بسوين for all x in some open interval containing c
على فترة containing cطيب فلّعلي في تعريف المرة
الماضية اول definition في section 4-1 من المحاضرة
الماضية اول definition فاللي هقراه كويس و بنشوف هل
التعريف ده هو نفس تعريف المرة الماضية و الله
بيختلف عنه و اذا بيختلف عنه ما وجه الاختلاف بين
التعريفين بس اقراه كويس و بعدين بنسأل اقراه كويس
definition المرة الماضية اول تعريف في بداية
المحاضرة في اول definition في section 4-1 اه في
فرقات ما بين التعريفين في اتنين و افعوا يديهم
تلاتة اربعة ايوة بدنا كمان فكر كويس و اتطلع في
فرقات ولا فيش فرقات اذا فيش فرقات بلاش خدوا نمشي
ولا في فرقات بدنا نعرفها اه يا ابن التعريف اللي
اجمالي اتقالت فيني تعريف من خلاله كله يعطوني ال
absolute maximum و ال absolute minimum و الشرطة ان
كل ال F اللي اجت لل absolute maximum أكبر F
السيارة
هذه الجزء محلول منها ممتاز جدا يبقى أولا هذه تتكلم
عن النقاط الداخلية فقط هذه الفرق الأول انك ماقلش
intro point انك قلنا على كل domain تبعه سواء كانوا
intro points أو end points سواء كان طرفي ال
interval أو اي نقطة داخلية تمام؟ هنا قال لي لأ انت
بتكلم على نقطة داخلية في ال domain
تعالى نشوف الفرق هذا على الرسمفلّع لي الراسم اللي
عندها، لو جيت عند النقطة C1 هذه، بدأ أخد open
interval حواليها ضمن ال domain، ال domain من أين؟
من هنا، بيبقى أنا أخد جزء من ال domain حوالي
النقطة C، الجزء الأحمر ال interval
طيب بدأ اجي طالع لغاية ما قابل المنحنة تبعد
لجابلته هنا وهنا جي الطالع جابلته هنا يبقى جابلته
هناخلال الفترة اللي عندنا هذه، الفترة الحمرة اللي
أنتوا شايفينها، باجي أطالع فوق، بلاقي إن قيمة
الدلق F of C1 أكبر من أي قيمة حوالها، تمام؟ يبقى
هذه localيةlocal maximum من هنا قلنا هذه local
maximum and when عندي ال C1 طيب تمام بدي أجي عند
ال C2 هاي ال C2 بدي أخد open interval حارف و أجي
طالع بالسلامة هيك و أجي طالع من هناك
الدالة هنا بتاخد أقل قيمة خلال الفترة هذه لو
الـSum Opinent الجزء من الـ domain أخدت أقل ما
يمكن يبقى عند C2 الدالة بتاخدlocal minimum كويس طب
و الأن بدي أجي عند ال C3 بدي أخد open interval
حوالين ال C3 و أجي طالع لغاية ما قابل المنحنى اللي
عندنا و من هنا جيت طالع لغاية ما قابل المنحنى اللي
عندنا قابلته هنا و هنا إذا هنا دلش بتاخدأكبر قيمة
من القيم اللي حواليها، يبقى هذه الـlocal maximum،
طيب، بدا جهنم دي الـC4، لسه ماتكلمش، أنا ماتكلم في
الـlocal فقط، لما خلص، بعدين بنرجع، نربط الكلام
هذا بالكلام العتيقبدي اجي الـC4 بدي اخد open
interval حواليها جد ما تكون ال open interval تكون
قابلة المنحنة و هنا جهة طالع برضه قابلة المنحنة
هنا عندهم نقطتين لكن هنا ها ها الدنيا بتاخد أقل
قيمة لها خلال الفترة اللي عندنا هذه يبقى هذه local
minimum يبقى local minimum شو صار عندي؟ صار عندي
المنحنة على الشكل التالي
الأربع نقاط كلهم نقاط داخلية ما اتكلمتش لا عند أول
نقطة ولا عند آخر نقطة حتى الآن يبقى ان كل النقاط
الداخلية
أقل من F of C يعني F of C أكبر من الكل Local
Minimum إذا F of C أقل من الكل and some open
interval حوالين النقطة C اللي عندنا هذه تمام إذا
اللي جت عندي Local Minimum بدل الواحدة تنتين و
Local Maximum بدل الواحدة تنتين هدف ال interior
points لكن ضال من عندنا طرفينبقول كويس نيدي بدنا
نعرف عند الطرفين فيه ان دي local maximum ولا local
minimum حط ان هذا في صيغة ال remark التالية قلت لو
كانت الدلة دلة متصلة على ال closed interval a و b
النقطة الأولى ال F has a local minimum local
minimum إذا F of X أكبر من أو تسوى من F of A وين F
of A هيهذه المسافة f of a بدي اجي لاقى interval
حوالها من جهة الشمال ماعنديش يبقى بروح من وين من
جهة اليمين من عند ال a بقول لو المسافة من هنا لهنا
سميتها delta يبقى احداثي النقب عادي بيصير جداش يا
شباب a زائد delta يبقى بدي اجي اقلع رأسي ات لغاية
هناسارت هنا أقل قيمة للدالة خلال الفترة من a لغاية
a زائد دلتا يبقى هذه اللي بتكون ال local minimum
يبقى بعدي بقوله إن النقطة هذه if has local minimum
عند x يسوى aإذا كان الـF of A أقل من أو يساوي الـF
of X أو الـF of X أكبر من أو يساوي F of A لكل الـX
اللي موجودة في الـInterval من عند الـA لغاية A
زائد Delta من عند الـA مغلقة لأنه جاب اللي ماعنديش
ومن عند الـA زائد Delta خلتها فترة مفتوحة Delta
جاب داشت جات مابدأ أخدها واحد من عشرة اتنين من
عشرة واحد صحيها اتنينزي ما بده اخد الفترة اللي بدك
بس بحيث ماتصطدمش بواحدة تانية، تبقى القبلة جد ما
بده اخد هذه، تمام؟طيب، هذا لو كان ايش؟ Local من،
لو كان Local maximum، بدي يكون ال F of X أقل من أو
يسوى ال F of A، يعني ال F of A أكبر ممتازة، أنا
ماعندي شيء، أنا عندي أقل، يبقى اللي بين جثين غير
متحقق عند النقطة مين يسوى A، بس أنا حاطيته لإنه
احتمال مش تبقى جاية من تحت المال، تبقى جاية من
فوق، صحيح ولا لا؟تمام طب نيجي للنقطة الثانية عند
النقطة P ال F has a local maximum عند ال X يساوي
بيه ال F of X أقل من أو يساوي F of B طلعلي هاي ال
B انا بيداجي جابلي ال B يبقى من هنايبقى هذه النقطة
الإحداثي تبعها بـ-Delta صحيح ولا لأ؟ يبقى من عند
الـP مغلقة ومن عند الـP نقص Delta مفتوحة وجاء
الطلب السلامة هيكقابلت المنحنة هنا يبقى صارت
القيمة هي الحمرة اللى فوق عندها دى مالها اكبر ما
يمكن يبقاش بيصير local maximum اذا انا حددت ال
local maximum و ال local minimum على ال closed
interval ايه بيبتدأت بال interior pointsوانتهيت
بمين؟ بالـ end points يبقى هذا كل اللي اتكلمته لسه
في ال local maximum و ال local minimum عرفنا شو
وضع على ال interior point وعرفنا شو وضع على ال end
point تمام؟ وكل زي ما انت شايف فيه عند كل نقطة
باخد
بنرجع بالذاكرة لتعريف المرة الماضية
الـ domain تبعها ممتاز ال domain من A إلى B أكبر
قيمة اللي عندي هذه فوق يبقى هذه قولت absolute
maximum يبقى ال local maximum و absolute maximum
في نفس الوقت طبعا فبتدور أشوف في absolute minimum
ولا لابجعل منحنى بلقى النقطة هذه أقل ما يمكن، لو
يوجد قيمة للدالة أقل منها، يبقى هذه كمان absolute
ما له minimum لهذه الدالة، إذا ربطنا كلام المرة
الماضية بالمرة هذه، هذه المرة هي بيجي تاخد مناطق
أو نقطة موضعية open interval، شغلة موضعية حوالي
النقطة حدات منها ال local maximum، يعني قيمعظمة أو
صغرة محلية، لما أقول محلية يعني في منطقة دون
الاخرى من ال domain تبع الدالة، لكن لما أقول
absolute maximum و absolute minimum، بدي أدور أكبر
قيمة على الفترة كل المعرف عليها الدالة، وأقل قيمة
على كل الفترة المعرف عليها الدالة، شايف شو الفرق
ما بين الاتنين؟فرق شاسع، اذا كل absolute maximum
او absolute minimum هي local maximum او local
minimum، لكن العكس ليس بالضرورة صحيحا، تمام؟ طيب،
هذا لغاية، هذا لغاية النقطة هذه، تعالى شوف النظرية
هذه، ايش بتقول؟النظرية بيقول لو كان ال F لديه
local maximum أو local minimum value عند interior
point موجودة في دمين الدالة وكانت المشتقة معرفة
عندها، لازم تكون المشتقة عند هذه النقطة تساوي كده
تساوي you أنا قرأت النظرية بالعربي وشوفوا قرأتي
هذي صح والله خطأأنا لما قرأتها فهمت ما هي .. بدي
أروح أجيب الدالة و أشتقها اشتقها و لو اشتقها بدي
أشوف ما هي القيمة اللي عند المشتقة تساوي zero
القيمة اللي عندك تشتقها تبقى تساوي zero بتبقى هي
local maximum أو local minimum قرأتيك صح ولا غلط؟
عين الخطأ انت قلبت الموضوع مية و تمانين درجةالدالة
ما قالتش هيك، الدالة بتاع نظريها ما قالتش هيك هذا
مفهوم خاطر طب بدنا نقرأ صح بقوله اه الدالة لو كان
لها local maximum او local minimum ان وجد ال local
maximum و ال local minimum لهذه الدالة كان موجود
تمام ممتاز جدا، من المشتقة عند هذه المواقع المعرفة
الحدث ذلك يجب أن تكون المشتقة تساوي كده؟ Zero شو
يعني المشتقة تساوي Zero؟ يعني المماس للمنحنة
يكونوا أوفقيا موازن لمحورك تعالى نشوف كلامنا هذا
على الطبيعة صحيح ولا لأ انا عند هنا ايش قلت؟ Local
maximum لو جيت رسمت مماسكيبقى هذا مماس أفقي، عند
هذه النقطة تبقى F prime of C1 سوى Zero طيب، بدأ
أجي عند النقطة هذه و أرسم كمان مماس أفقي، يبقى عند
هذه النقطة F prime of C2 يسوى Zero طب بدأ أجي عند
النقطة هذهيبقى F prime of C4 يبقى F prime of C1
يسوى F prime of C2 يسوى F prime of C4 يسوى Zero طب
إيش رأيك في F prime of C3؟
لأ ليش؟ لإن عندي كسب كويس يبقى هنا F prime of C3
is undefined هذه ماهياش معرفة المشتقة عندها لإن في
عندي pingos هنا تقدر تقولي كسبرجوع حاجة للمنحنة
عند النقطة فوق أكم مماس بقدر أرسم فوق ما لنهاية من
المماسة أرسم زي ما بدك أي خط تمر بعد النقطة بصير
مماس بس هنا لا يوجد إلا مماسا واحدا فقط لا غير
وقيمة المشتقة عند هذه النقطة سواء Zero يعني المماس
يكون أفوقيا لكن فوق هناأنسى الموضوع يبقى مرة تانية
لو كانت دالة لها local maximum و local minimum و
المشتقة معرفة إذا قيمة المشتقة يجب أن تكون يساوي
zero و one عند هذه النقارة يبقى إذا قرأت نظرية أو
عبارة بنقرأها قراءة صحيحة مش روح نفسي على كيفنا
قال، لو في Local maximum أو Local minimum موجودة
والمشتقة معرفة، إذا يجب أن تكون المشتقة مالها
تساوي Zero
خلّي الـ remark التاني اللي عندنا يعني بيقول لي
إيش احنا حتى الآن من أول مدينة ماقلناش فيه extreme
value ماقلناش فيه extreme كله بنتكلم عن المشتقة و
ال local maximum لكن موضوع ال section ال extreme
value له ال function مش هي كتبنا اللي لعلوان المرة
اللي فاتت فهيبقى بدنا نيجي لل extreme values هذه
بيقول لي دلّا if has extreme values only in the
following placesوانا روح ادور على ال extreme
values لمين لهذه الدالة، القيم القصوى لمين لهذه
الدالة، فبقوللي في ثلاثة مواقع، الموقع الأول عند
النقاط الداخلية للمشتقة عندها يسوى وين؟زيرو فعلا
هاي C1 وC2 وC4 يبقى هاي المواقع اللي المشتقة عندها
تسوى Zero إذا هادي Extreme value عند C1 و Extreme
value عند C2 و Extreme value عند C4 النقطة الأولى
النقطة الثانية بدك interior point بهاي المشتقة
عندها مالها غير معرفة يبقى باجبيه عندها C3 هل
المشتقةلأ يبقى هاي أربعة extreme values تلاتة
المشتقة عندهم معرفة وتساوي zero الرابعة المشتقة
عندهم ما لا غير معرفة خلصنا؟ ما خلصناش لسه نقطة
تالتة بيقول ال end points of the domain of
functionاذا عندك closed interval او closed من شجة
و open من شجة تانية بدك تروح عندك closed تحسب قيم
الدالة لان ده اعتبر قيم متطرفة اذا القيم المتطرفة
للدالة هي القيم اللي بتكون عندها طرفي ال interval
وكذلك اذا المشتقة عندها تساوي zero او المشتقة
بتكون مالهاغير معرفة يبقى من دور على ال extreme
values في ثلاثة مواعظة، ادر بالك اه، ركزي كويس،
بعد شوية بدنا ناخد أمثلة على ذلك، بدروح أدور وين
ال extreme values، بدأ اشتقو ساوي ب Zero واطلع قيم
X اللى بتخلى المشتقة تساوي Zero اتنين بدى أدور على
القيم اللى بتخلى المشتقة غير معرفة تلاتة بروح أدور
ورا على الانفوس بكون جبتله Extreme values طبعا
يبقى هاية كل الكلام النظري حاطنا على الرسمة تبعتنا
أجاني التعريف تاني
ماذا يعني نقاط حرجة لدالة؟
اللي المشتقة عندها تساوي Zero أو المشتقة عندها بس
in third point مش الأقراف يعني لو جينا سألنا حالنا
من خلال الرسم اللي عندنا ما هي ال critical points
بقولوا قداشر؟ أربعوC2 وC4 المشتقة عندها تساوي Zero
C3 المشتقة عندها Undefined يبقى هدول الأربعة هم ال
critical point نواصل ما كنا نتحدث به ونحاول أن
نجمل ال remark و ال definition بإتنين بمعلومة نجمل
اتنين بالمعلومة التاليةالمعروف بالتالية يقول from
the above remark and definition هاي ال remark و
هاي ال definition ايش بيقول هذا؟ we say that ان
the extreme values of هالحطلك بكلام في الملاحظة
التالية remark the
function the function f may havemay have a
critical point may have a critical point at x
يساوي c and this point وهذه النقطة need not be
بـ Local Extreme Value مثال
شوف
يا سيدي بتقول ليه؟الدالة F ممكن يكونها critical
point عند X يساوي C لكن هذه النقطة ليست بالضرورة
أن تكون extreme value احنا نقول extreme value
المشتقة عندها بال zeroأو غير معرفة أو end point
طبعا هنا بيقولوا لو عندك critical point ليس
بالضرورة ان تبقى extreme يعني مش كل critical point
هي extreme value لكن العكسطبعا كل value أكتر يجب
أن تكون كراتيكال points بس بشرط ما تكونش in points
طبعا طيب ندى النقطة هذه لو قلت لك خد لل F of X
يساوي X تاكيد اشتغل
يبقى F prime of X يساوي كده؟ تلاتة اكتر بيه هذه
بتساوي Zero وكتير
السؤال هو هل هي extreme؟يعني هل عندها local
maximum أو local minimum تعالى نشوف هذا ال F of X
يساوي X تكعيب هذا محور X هذا Y هذه نقطة الأصل اللى
هي Zero لو جيت رسمت المنحنة اللى عندنا ديجيك
المنحنة بالشكل هذا يبقى هذا Y يساوي X تكعيب وين ال
Zero و أيه ال Zeroبتاخد open interval حوالين الـ
zero حوالين هذه، مشان يبقى local maximum، بديها
تبقى هذه أكبر قيمة حوالها ومش هتكون local من
الوطني بهذه أقل قيمة في الفترة اللي حوالها، بنقول
والله كويس جينا حوالين ال zero، اللي جت قبل ال
zero قيمة دالة سالمة، بعد ال zero قيمة دالةيعني
هذا ما طلعتش أكتر من اللي حواليها و الله أقل من
اللي حواليها، مظبوط ولا لأ؟ إذا بنفع هذه تبقى
local, maximum أو extreme value يبعتلك الله يبقى
من هنا قولنا x الساوية زيرو is a critical point
but ولكن ال x الساوية زيرو is not an extreme
أو Extreme Value لاحظ
ان ال F' موجود وتساوي 0 لكن هذه النقطة Critical
Point لكنها ليست Extreme Point خد هنا مراجعة لو
أخدت F of X يساوي X أس تلتإذا الدالة هي دي ال F is
defined at X يساوي Zero ده لا معرفة صحيح ولا لأ طب
خد F prime of X يبقى تلت X أس سالب تلتين يعني واحد
على تلاتة X أس تلتين هل هذه المشتقة معرفة عند Zero
لأ يبقى هذا بدي اعطيه لإن ال F prime is undefined
at X يساوي Zero المشتقة ماهياش معرفة عند Zero
معناته هذي critical points يبقى سا ال X يساوي Zero
is a critical point but
not an extreme point
تعالى تشوف هذا على الطبيعة يبقى لو جينا احنا رسمنا
هذه الدالة هذا محور X وهذا Y مرت علينا الدالة كتير
قبل ذلك مش اول مرة يبقى الدالة لو روحنا رسمناها
تجيني مش شكل هذا هيك يبقى هذا Y يساوي X أس طول او
الجذر التالت ل X تمام؟
يبقى هذا الجدر التالت ناقص اتطلع عند ال zero هو
the open interval حوالين ال zero قبل ال zero
السالب أو بعد ال zero موجبة يعني لا local maximum
ولا local minimum يبقى no extreme value يبقى هذه
ليست extreme value يبقى not extreme point يقول
extreme value وبلاش point يبقى extreme valueتمام؟
يبقى ممكن نقطة تبقى critical point، لكنها ليست
extreme value، هذه الملاحظة اللي بنقولها طيب، بدنا
نطرح السؤال التالي و نحاول أن نضغط الإجابة عليه،
ثم نبدأ إلى أمثلة على كل ما سبق، أمثلة عملية
السؤال بيقول ما يأتي how to find كيف
بدك توجد the absolute extreme
values
of continuous function
on the closed interval a وb الإجابة كالتالية
answer الإجابة
كالتالية النقطة الأولى أحسب
الـ F at all
critical points
نقطة
ثانية والاخيرة
أخذ الأكبر والأكبر
والأكبر
من هذه القيم مثال
أول مثال Find the absolute extreme
values
of the following functions
on
the given interval
given interval and اجرح
the function number a f of xيساوي أربع ناقص X
ترابية و ناقص ثلاثة أقل من أو يساوي X أقل من أو
يساوي الواحد
هاللي موجود .. هاللي موجود بدنا هي
طيب السؤال مرة تانية بقولك كيف بدك توجد ال
absolute extreme values هي جمعك بسيط اللي ما
extreme كنت قولك absolute extrema و سكت انا قولتك
absolute extreme values of continuous function على
الفترة a و b يبقى على الفترة a و b كيف بده اوجد ال
absolute maximum و ال absolute minimum لذلكأحنا
المرة اللى فاتت بقينا بنجده من خلال الرسم نرسم
وندور ونأكى على قيمة على رسم أقل قيمة نقول هذه
absolute maximum وهذه absolute minimum الان بدنا
نستخدم المشتقة في التعرف على وين ال critical
points وين ال extreme values ومن خلالها نجد اللى
هو مين ال absolute maximum و ال absolute minimum
دى بقى بنعمل خطوة تانية أول خطوة بدنا نحسب ال
critical points و ال inputs
أكبر قيمة عند هذه النقاط أكبر قيمة عند هذه النقاط
أكبر قيمة عند هذه النقاطنبدأ نطبق هذا الكلام على
أمثلة متعددة طبعا هذا المثال اللي بين أدينا جليهات
ال absolute extreme values لكل من الدول التالية
على الفترة التي قرسمها هذا السؤال أخدناه المرة
الماضيةبنحل الان عمليا مش زي الرسم المرة الماضية
احنا فعلا رسمنا المرة الماضية وكان رسمها على الشكل
التالي هذا محور X هذا محور Y هذا نقطة الاصل Zero
وعند الأربعةبالشكل هذا وهنا واجف وين؟ عند اللي هو
الواحد وهنا هذا اللي هو سالب واحد وهذه سالب اتنين
وهذه سالب تلاتة ونزل اننا لمين؟ لغاية هنا جداش
اللي هو سالب خمسة تمام؟ وهذه اللي هي الأربعة هنا
المرة اللى فاتت قولنا حسبنا قداش F of سالب ثلاثة
طلعت سالب خمسة و قولنا F of Zero يسوى أربع يبقى
here ال absolute maximum و ال absolute minimum
الان مديش اشتغل بالكلام اللى فات مدي اشتغل الشغل
الرياضي من اللى اتعلمنا اليوم بقوله ماشي الحال
يبقى اول شغلة بتروح اجيب له main F prime of X اللى
هو ناقص اتنين X تمام بنسويها ب Zero في غيرهايبقى
بقوله is the only بدل a is the only critical point
of the function fيبقى هذه هي critical point
الوحيدة يبقى بضروح ادور عندها وين كمان عند ال end
point تمام يبقى بضروح اجيبله ال F of zero يساوي
أربعة ناقص زيرو لكل ترميل يساوي قداش أربعة بروزها
وروح وخلهمبعد ذلك نجيب ال F of A و ال F of B يبقى
بده أجيب له ال F of سالب تلاتة يبقى أي أربع ناقص
ناقص تلاتة لكل تربية يساوي سالب خمسةبعد ذلك بدي
أجيب له ال F of واحد أربعة ناقص واحد تربيه يساوي
كده؟ يساوي تلاتة هدول التنتين هم عند ال end points
اللي هو سالب واحد و تلاتة وهدي مين؟ هدي ال
critical point وهدي end at ال critical point
طب هاي حسبت كل القيم، من هدالة التلاتة، بتشوف أكبر
قيمة تبقى هي ال absolute maximum و أقل قيمة هي ال
absolute minimum، بادي يعني، مين الكبيرة فيهم؟
أربع
absolute maximum قداش 4 at x يساوي 0 ال F has
absolute minimum سالب خمسة at x يساوي قداش سالب
تلاتة المرة اللي فات بجيه نجيبنا الرسم الآن بدينا
نحسب حسابات دقيقة نجي ناخد المثال اللي بعدهيبقى يا
نمرى بيقول ال F of X بده يساوي absolute value لل X
ناقص خمسة وال X هذه مش على إطلاق محصورة ما بين
الأربعة وما بين السبعة
يبقى أول شغلة بدي أشوفه المشتقة مشان أشوف المشتقة
بدي أتخلص من حاجة اسمها absolute value يبقى باجي
بقوله ال F of X يساوي X ناقص خمسة ك absolute value
هذه بيبدأ تساوي X ناقص خمسة وقت إيش لما ال X بديها
تبقى موجبة يبقى من وين لوينالخمسة لغاية سبعة يبقى
هنا ال X أقل من أو تساوي سبعة وأكبر من أو تساوي
مين؟ خمسة وتساوي ناقص X ناقص خمسة يعني خمسة ناقص X
لما ال X أكبر من أو تساوي أربعة وأقل من مين؟ أقل
من خمسةيبقى روحت كتبت المسألة على اللي هو شكل
جزيها، لو جهت ال F prime of X يبقى أحد أمرين، يا
إما واحد لما ال X محصورة ما بين السبعة و الخمسة و
استبعدت اليساوي، هنا سالب واحد لما ال X أكبر من
أربعة وأقل من مين، من خمسة، شو رايك؟قيمتين
مختلفتين يعني عند الالتقاء عند اللي هو النقطة X
سوى خمسة بيكون في عندي corner لأن هذه absolute
value لو روحت رسمت الرسمة هيك بقول هذا محور X وهذا
Y وهذا نقطة الأصل اللي هي Zero هذه shift جهتي
اليمين لل absolute valueبمقدار خمسة وبالشكل اللي
عندنا هذا تمام؟ بس قداش هذا اللي بدنا نعرفه الآن
ونحدده على الرسمة يبقى عند الخمسة دالة قابلة
للاشتقاء؟ لأ لإن عندي الخمسة المشتقة من اليمين
تختلف عن المشتقة من الشمال يبقى هنا بقول لؤاتالـ X
يساوي خمسة الـ F prime is undefined لكن هل الدالة
معرفة أن X يساوي خمسة أو لا؟ معرفة، الدالة معرفة،
بس المشتق اللي مش معرفة يبقى at X الـ F prime is
undefined يبقى هذا يعطيك أن X يساوي خمسة is a
criticalأو إذا بدك Extreme كمان Critical and
Extreme
Value طيب تمام معناته بدنا نحسب F of خمسة فيه بره
Extreme Value؟في شغالة يبقى دي the only extreme
value او the only critical point يبقى F of خمسة
absolute value ليه خمسة ناقص خمسة و يسوى كده؟ Zero
بدنا نروح عند الطرفين يبقى بدنا نيجي ناخد F of
أربعة absolute value للأربعة ناقص خمسة absolute
value للسالد واحد يبقى بواحديبقى هنا عند الأربعة،
هي الأربعة بتاتيجي قبلها ممنوعة تطلع أكتر من واحد،
يبقى النقطة هذه الذاتي تبعها أربعة وواحدبعد ذلك
نجيب ف of سبعة يبقى absolute value ل سبعة ناقص
خمسة و يسمي قداش اتنين يبقى هى بتجيلك هى الستة هنا
و هى السبعة هنا اطلع النقطة هذه لسبعة و اتنين يبقى
هذا شكل الدالة فقط بغيرباقي القيام اللي عندنا هنا
ال F of خمسة بزيرو وال F of أربعة بواحد وال F of
سبعة باتنين مين ال absolute maximum؟ سبعة ومين ال
absolute minimum؟ ال خمسة اللي هو Zero عند X يسوي
خمسة يبقى من هذا الكلام بقدر أقوله ما يأتيالـ F
has absolute minimum
zero
at x يساوي خمسة الـ F has absolute maximum اتنين
at x يساوي كده؟ at x يساوي سبعة
المثال الثاني example two determine
determine
the critical points of
theالـ function لدالة f of x يسوى x ترابيع على x
ناقص اتنين
قال لي هات للنقاط الحرجة للدالة اللى عندنا هذه بس
اللى بدهوا absolute maximum بس هات للنقاط الحرجة
الله يعطيك العفو يقول لي ماشي إذا بدي أشتق و أشوف
وقت إيش بتساوي zero و وقت إيش بتكون غير معرفةيبقى
هذا solution السؤال هو هل هذه الدالة معرفة عند X
يساوي 2؟ لأ لأ يعني مثلا بعدك X يساوي 2 لا يمكن ان
تكون critical point هذا فيه ملو طلاق ما طلقتش خلاص
بقول كف الله المؤمن القتال تمام يبقى باجي بقول أول
خطوة ال F is undefined
at x يساوي اتنين وكأنه ال domain تبع الدالة من و
لا و اينمن سالب infinity لغاية اتنين و اتنين
لانفينيتي يعني هذا بده يعطينا كأنه domain الدالة F
بده يساوي من سالب infinity لغاية اتنين اتحاد اتنين
و انفينيتي يعني استبعدنا من ال real line بس فقط من
اتنين فبنجي نشتق الدالة يبقى ال F prime of X يساوي
المقامفي مشتقة البصد باتنين X ناقص البصد في مشتقة
المقام على مربع المقام الأصلييبقى هذه بدها تساوي
ان ال F prime of X بده يساوي اتنين X تربيع ناقص
اربعة X ناقص X تربيع على X ناقص اتنين لكل تربيع
يعني x تربية ناقص اربعة x على x ناقص اتنين لكل
تربية لو أخدت ال x عامل مشترك بيظل ال x ناقص اربعة
على x ناقص اتنين لكل تربيةإذا مشان أجيب ال
critical points بدي أشوف وقت إيش تساوي zero وقت
إيش ماهياش معرفة مظبوط يبقى لو حطيت ال F prime of
X يساوي zero هذا معناه إن X في X ناقص أربعة على X
ناقص اتنين الكل تريد يساوي مين؟ ال zero مين اللي
بدي يساوي ال zero؟ البست ولا المقام؟لو كان المقام
يساوي Zero كان الدالة صارت غير معرفة يبقى هذا
يساوي Zero only at X يساوي Zero و X يساوي أربعة ال
F'
كمان is Undefined
أت اكس يساوي اتنين إذا أقول ال X يساوي اتنين هي
critical point لأ لأن دي غير معرف عندها من الأساس
مش في دمانها برا دمانها يبقى بقدرش أقول إن هذه
critical point يبقى هنا ال F present defined at X
يساوي اتنينولكن الاكس يساوي اتنين is not a
critical point السبب because ان اتنين does not
belong لدمين الدلة Fمش موجودة في الdomain او
بالتالي مايهاش critical طب السؤال قال هاتلي me
critical points بقول له the only critical points
are ال X يسوى 0 و X يسوى 4 ايش رايك هذول extreme
values ولابس ليك سوى اتنين لأ ما يجل ان الدالة غير
معرفة عندها نعطي
كمان مثال
القيم القصوى absolute and localهذه او هذه سيان of
the function لدالة
f of x يساوي الجذر التربيعي لتلاتة زيدي اتنين x
ناقص x تربية
سؤال مرة ثانية بيقول هات لل extreme values سواء
كان absolute maximum أو absolute minimum أو local
maximum أو local minimum لمن لدالة f of x ساوي
الجدرى التربية لتلاتة زي اتنين x ناقص x تربية هل
اعطاني interval يعني على كل ال real life؟لا مش
صحيح مش صحيح انت بدك تروح و تشوف الدالة وين معرفة
هذه صحيح وبناء عليه بدك تشتغل اذا اول خطوة بده حدد
بده احدد domain هذه الدالة وبناء عليه بده ابدا
اشتغل اذا لو بداجي اخد domain الدالة
بجي بقوله كل العناصر X بحيث ان كل المقدار اللى تحت
الجذر بديه أكبر من أو يساوي Zeroيبقى هذا كل
العناصر X بحيث أنه أظن بقدر أحلل هذا إلى حاصل ضرب
قوسين و أكبر من أو يساوي ال zero هنا تلاتة وهنا
واحدوهنا X وهنا X وظلت الإشارة لو قلنا هذه بالناقص
بالناقص يبقى هذه بيكون بالزائد ناقص X وزائد 3X
وزائد 2X يبقى تحليلنا سليم 100% هذهيبقى كل العناصر
X بحيث ان تلاتة ناقص X في واحد زاد X greater than
or equal to min to zeroإذا أنا بتروح أحدد ال
domain من خلال هذه المعلومة إذا بتروح أبحث إشارة
كل قوس من هذين القوسين يبقى بدي أروح أقول له بدي
إشارة التلاتة ناقص X بقول له هذا ال real line
بتاخد ال zero تبعها وين؟ عند التلاتة هي التلاتةإذا
لو جيت بعد التلاتة زي أربعة، بصير هذه مالها سالبة،
مظبوط، يبقى هذه سالبة، لو جيت قبل التلاتة زي
اتنين، يبقى موجبة، يبقى قبله موجبة، موجبة، موجبة،
شكل عنهابعد ذلك بدي أجيب إشارة الجوز الثاني واحد
زائد X بياخد ال zero تبع وين عند السالب واحد بعد
السالب واحد زي ال zero بيصير بالموجب يبقى هاي موجب
موجب موجب موجب موجب الاخري قبل السالب واحد زي سالب
اتنين بيصير سالبةطيب أنا بدي إشارة حاصل الضرب
تلاتة ناقص X في واحد زائد X يبقى باجي بقول هي ال
real line و بروح بحدد الحدود الإقليمية اللي عندى
هاي هنا تلاتة وهي هنا مين له سالب واحد هنا سالب
هنا موجب هنا سالبطيب انا بدي هذا الكلام يعني اما
zero او اكبر من ال zero موجب اذا ماعنيش الا الفترة
المغلقة سالب تلاتة و واحد مش مصدق خد اربعة و عوض
في الجدر شوفوا بطلع معرف ولا غير معرف بتلاقيما هوش
معرف يبقى أصبح domain الدالة هذه بده يساوي الفترة
من عند السالب واحد لغاية التلاتة يعني كل المنطقة
هذه يا شباب برا الاحساب وهذه كمان برا الاحساب بس
ماعنديش ألا من و لا وين من سالب واحد إلى تغير هيك
ماليش علاقة فيهطيب تعالى شوية اذا انا حددت ال
domain تبع هذه الدولار فبقى كويس اذا بدنا نرجع
نشتغل اللي دايما اشتغلنا هنا بدنا نروح ندور عالمين
على ال critical moments اللي يمكن تكون extreme
ويمكن ما تكونشالله أعلم يبقى بدنا نيجي نشتق يبقى
بدنا نروح أخدله ال F prime of X ففاضل الجذر واحد
على اتنين الجذر ثلاثة زائد اتنين Xناقص X تربية في
مشتقة مداخل الجدر له اتنين ناقص اتنين X يبقى هذه
بدها تساوي واحد ناقص X على الجدر التربية علميا
لتلاتة زيدي اتنين X ناقص X تربيةالسؤال هو هل
المشتق هذه معرفة عند السلب واحد والتلاتة؟
معرفة؟ لأ يبقى هدول السلب واحد بدهم يطلعوا من ال
domain تبع مين تبع الدلة الأصلى يطلعوا يطلعوا
يطلعوا يطلعوا يطلعوا يطلعوا يطلعوا يطلعوا يطلعوا
يطلعوا يطلعوا يطلعوا يطلعوا يطلعوا يطلعوا يطل
الواحد ناقص x يساوي zero هذا معناته ان x يساوي
قداش يساوي واحدطيب المشتقة هذه غير معرفة عند السلب
واحد والتلاتة عند السلب واحد والتلاتة بصير المقام
zero تمام يبقى هذول يعتبر ميني critical points
كذلك المشتقة عندهم مالها is undefined فبجي بقوله
alsoالـ F prime is undefined
غير معرفة at X يساوي سالب واحد and X يساوي تلاتة
حُفظ سالب واحد بصير هذه سالب اتنين و سالب واحد
بصير سالب تلاتة و تلاتة zero عدد على صفر المالة
نهاية والتلاتة زيه بالضبط تماما يبقى solid
critical point كام نقطةأستبعد السالب واحد والتلاتة
بستبعدهمش لإن الدالة معرفة عندهم مش زي السؤال اللي
جابله اتنين ماكنش الدالة معرفة يبقى باجي بقوله
الأن the critical points are اللي هم من؟الاكس
يساوي سالب واحد والاكس يساوي واحد والاكس يساوي
تلاتة
طالب ال absolute وطلب ال local طيب تعالى نشوف ال
absolute و ال local مين منهم absolute و مين منهم
local
انت مش عارف ليش وقتاش ابني عرفت ان النقطة هي
extreme value اسمع يا اولى خلنا نتناقش عن ده
وانتوا نستفيدوا هو هى يجاوب اللى حاله انا متأكد هى
يجاوب وقتاش
في المحاضر اللى فاتت
لا ماكنتش أجيب مرة ساعة، كنت أروح أشتاق، و كتبنا
هي فوق، وقعد في الحالات التالية، بيبقى لك سنة فعلا
اللي بيدور عليها وين؟المشتقة Zero او عند الطرف
ايه؟ كلام
صحيح ليس بالضرورة نفسه، مظبوط ولا لأ؟
صحيح لأن الصحراء اللي عندها زي ابل Y تساوي X تلت
وزي المعادلة Y تساوي X تكيبكانت critical points
فعلا، لكنها ليست extreme، وهنا إيش طلب عندي؟ قاللي
هات لل extreme، مظبوط ولا لأ؟ احنا حتى الآن قولنا
له إن هدول critical، لكن هل قلت extreme؟ ماقلتش
لسه، استغلنا شوية بسو بعدين قاللي إذا في عندك
absolute maximum بديها و إذا absolute minimum
بديها طب خليني أحسب قيمة ده اللي أنا و نتفاهم على
الباقى مش مشكلة طيب إذا أنا بضلوح أجيب له main ال
F of سالب واحد هو ال F of تلاتة أكيد اللي هو جداش
Zero هذا حسبناكويسة طيب هذا بده ساوي zero يبقى دي
تعتبر كام قيمة؟ قيمة واحدة بس عند موقع عيني تمام
بدنا نجيب F of واحد برجع بقول هاي الجذر التربية
تلاتة زائد اتنين في واحد ناقص واحد تربية يبقى جذر
الأربعة يبقى قداش اتنين امتاز جداأنا مش هان هجيب
ال absolute بتتأكد وين لسه بقدر أحكم الآن من
خلالهم على absolute maximum ولا absolute minimum
لكن بيبقى لل local صحيح بدك تجيب هذا الكلام بقوله
بسيطة وين ال F prime هى هى امشي لحد هنا تمام يبقى
هذه الحددناها يبقى المشكلة هذه وينعند الواحد، صحيح
ولا لا؟ يبقى لو بدي أحسب الإشارات، بدي أدخل حساب
الواحد في الموضوع، تمام؟ هدول جيبنا إشاراتهم،
القصة دهيةصحيح ولا لا؟ يبقى دول المشتقة مقسمة على
بعض جسمها يعني أنا عند ال F prime of X يساوي واحد
ناقص X على الجذري التربيعي لمين ليه تلاتة ناقص X
في واحد زايد X كويس؟ الآن هذه الإشارات اللي عندي
هذا كله عندنا إشارةالأمين واحد ناقص X بقول هي ال
real line وهي الواحد اللي عندي الآن بعد الواحد زي
اتنين والتلتاش بتكون سالف أو قبله موجب تمام؟ الآن
بدي أخد إشارة تلاتة ناقص X يبقى بروح وين؟ عندي
التلاتة التلاتة بتيجي بعد اتنين لو أخدت أربعةتبقى
سالب، مصبوح؟ جابلي التلاتة، ها جابلي تزاية اتنين،
بتكون موجب، موجب، موجب، بس ممنوعة ترجع عن سالب
واحد، وهنا ممنوعة تزيد عن مين؟ عن التلاتة، وعيزة
وهنا ممنوعة لحد هنا بس، لإن ال domain تبع الدالة
كان من سالب واحد لوين؟لغاية تلاتة بعد هيك بدك تروح
تجيب إشارة اللي هو الواحد زائد ال X و برضه من عند
هنا لغاية تمينية تلاتة عندي السالب واحد بعد السالب
واحد هاي سالب واحد زي Zero بيصير موجة
مظبوط؟ وبقدرش اجابل السالب واحد بصير سالب بس
ماعنديش يبقى أنا مقيد بالحدود الإقليمية اللي عندي
هذه واي مين واي الواحديبقى بداجي اخد اشارة واحد
زائد اكس ولا واحد ناقص اكس اللي انا في البصرة واحد
ناقص اكس على الجدري التربيعي لتلاتة زائد اتنين اكس
ناقص اكس تربية وهذا ال real line اللي عندنا يبقى
الفترة هذه سالبة وهذه موجبةيعني الدالة كانت
تزايدية وراحت سرطاش تناقصية، طبعا؟ يعني الدالة
كانت قلعة من تحت لفوق و من فوق نزل ثوان لتحت، يبقى
ال absolute maximum جداش، absolute maximumabsolute
maximum نين عند اكس يساوي واحد هذا الواحد و هذا
التلاتة و هذا السالب واحد ال F has absolute
maximum و في نفس الوقت local maximum لنغيرك من زاد
إلى ناقص and local
ماكسيمم اتنين ات اكس يساوي واحديبقى عند اكس يساوي
واحد فيه عندي absolute maximum و local maximum،
ضال مين؟ ضال عند السالب واحد وعندي التلاتة، إيش
رأيك عندي السالب واحد؟ كانت وين؟ تحت وقادر طالع
وعندي التلاتة كانت فوق ونزلة، يبقى عندي التلاتة
والواحد عشان فيه عنديlocal minimum وفي نفس الوقت
absolute minimum لأنه أقل ما يمكن وهو الصفر عندهم
يبقى هنا ال F has absolute minimum and local
minimum at طبعا zero0 at x يساوي سالب واحد and x
يساوي تلاتة ايش عرفك انه التنتين minimum لان اتنين
يعطوني مين نفس القيمة و الدالة من تحت اجت طالع على
فوق و هنا نزلت لورين لتحت و هكذا
ناخد كمان مثال
طب حد فيكم بيقدر يقولي هذه معادلة ايش هي اللي تو
هذه هي Y يسوى الجذر التربيعي ثلاثة زيادة اتنين X
نقص X تربيع حد بيقدر يقولي معادلة ايش هذه
طبعا دائرة بس مش دائرة كاملة نصف دائرة اقولي بس
مركزها ماهواش نقطة الاصل يعني هذه ها لو حبيت اعرف
مين هي هذه الدائرة باجي بقوله هذه و تساوي الجذر
التربيه هذه مشان تصير مربع كامل بضع فيها واحد و
بطرح واحد يعني هذه اربع ناقص واحد زائد اتنين Xنقص
X تربيع أربعة ناقص واحد اللي هي بتلاتة ماسويتش شي
تمام هذه بقدر أقول اللي هو الجذري التربيعي لأربعة
ناقص عامل مشترك بظل X تربيع ناقص اتنين X زاد واحد
أخدت من التلات ترمات عامل مشترك اللي هو الإشارة
سالب يبقى هذا الجدر التربيعي لأربعة ناقص X ناقص
واحد لكل تربية يعني هذه لو ربعت بصير Y تربية يساوي
أربعة ناقص X ناقص واحد لكل تربية يعني هذه X ناقص
واحد لكل تربية زائد Y تربية تساوي أربعة هذه بس
مجرد معلومات زيادةمش هنأكدك الوضع اللي عندنا يبقى
لو جيت ارسمها باجي بقوله كويس هذا محور X هذا محور
Y هذا نقطة الأصل اللي هي Zero هذه دائرة مركزها
النقطة واحد و Zero يعني Shift جهة اليمين بمقدار
واحد واحد و Zero اللي هي النقطة هذه و نصف القطر
يسوى كده اتنين يبقى هذا اتنينيعني بيصير هذا كله
اتنين يعني هنا جداش بتبقى تلاتة وزيرو وهنا بدي
ارجع اتنين له سالب واحد وزيرو ونصف القطر اتنين
يبقى بدي اطلع هنا لغاية جد اقل قلي شوية يبقى
الدائرة بتجيلك هيك الشكل اللي عندها هنا هذا بدي
يكون اللي هو واحد واتنينلاحظ هذه absolute maximum
وفي نفس الوقت local maximum وهذه absolute minimum
وفي نفس الوقت local minimum يبقى هذه absolute and
local maximum
المثال الأخير في هذا الـ section هو مثال 4مثال
اربعة بيقول find the domain ال domain و ال
critical points و
ال critical points and the extreme values and the
extreme
Values سواء كان absolute and local and local for
the function f of x يساوي x تربيع الجذر التربيعي
لتلاتة ناقص x
عظام الخلع دى كانت هنا منها زمان هذا
الرسمة حد بدهيها
طيب نرجع لسؤالنا مرة تانية قال هاتي ال domain
افضلها يبقى خليني نجيب ال domain قبل ان نبدأ نشتغل
هذه يا شباب تعتبر function وهي تعتبر هي function
تانية وحاصل ضرب two functions حاصل ضرب ال domain
تبعهم ال intersection بين two domains هذي ال
domain تبعها من و لا و يامهذا الـ domain هو الـ
F وكل
العناصر X بحيث أن التلاتة ناقص X بديها greater
than or equal to zeroبديت كل الكمية اللى تحت الجدد
اكباركما سوى Zero يعني كل العناصر X بيحيطوا ان
تلاتة greater than or equal to X يعني X أقل من أوي
سوى قداش تلاتة يعني من سالب infinity لغاية تلاتة
close من عند التلالة فهي جيبنا له المطلوب الأول من
المسألة أجرنا الرسم هذا انتهينا منها
طيب انتهان من المطلوب الأول المطلوب التاني قال
هاتلي me critical points ال critical points بده
اشتق و أسوي بال zero او تبقى غير معرفة بجي بقوله
كويس يبقى بده أجي أخد ال F prime of X هذي مشتقة
حاصل ضرب دالتينالدالة في مشتقة الدالة الثانية واحد
على اتنين الجدر التربيه اللي ثلاثة ناقص X في مشتقة
ما تحت الجدر اللي هو الجدار بسالب واحد يبقى هذه
الأولى في مشتقة الدالة الثانية زائد مشتقة الدالة
اربع X تربيه كله على اتنينالجذر التربيعي لتلاتة
ناقص X يبقى أصبحت النتيجة على الشكل التالي اتناشر
X ناقص خمسة X تربية على اتنين الجذر التربيعي
لتلاتة ناقص X يعني هذا لو أخدت ال X عمل مشتركبظل
12-5x كله على الاتنين الجدري التربيهي اللي تلاتة
ناقص x لو حطيت هذا الكلام يساوي zeroهذا بدي أعطيك
مين؟ ال bus هو الذي يساوي zero يبقى هذا يعطينا
مين؟ يعطينا ان X في 12 ناقص خمسة X بدي يساوي Zero
هذا بدي أعطيك ان X يساوي Zero و X يساوي 12 على
خمسةطيب سؤال هل المشتقة معرفة عندى التلاتة؟ لأ طيب
التلاتة في ال domain تبعته الدل؟ موجودة يبقى باجي
بقوله هنا ال F prime is undefined
أت X يساوي تلاتة من هذا الكلام بس تنتج ال points
اللي هم مين X يساوي Zero وال X يساوي اتناشر على
خمسة and ال X بدي يساوي تلاتة are the critical
points
أو absolute minimum لمين لهذه الدالةطيب لاحظ ان
التلاتة هادى هي end point لمين لل function اللى
عندنا يبقى هى كل القيم اللى بدى احسبهم بس وين في
ثلاثة مواضع يبقى بداجي اقوله بدى احسبله ال F of
Zero قداشة تساوي0 مظبوط بدي أحسبله ال F of 12 عالى
5 هو يساوى 12 عالى 5 لكل تربية في الجدرى التربية
اللى تلاتة نقص 12على خمسة مية وأربعة واربعين على
خمسة وعشرين الجذر التربيعي خمستاشر لتلت أخمس
خمستاشر لخمستاشر لتلت أخمس يبقى هاي القيمة بدنا
نحسبله كمان F of تلتة F of تلتة طبعا يبقى الداشر
بزيروطبعا يبقى حسبته قداش قيمة دالة عند النقاط
الثلاث اللي عندنا لكن انا بدي اعرف هي المشتقة،
امشي هي المشتقة اللي عندىبدي اشوف وين ال local
maximum و ال local minimum و التزايد و ما إلى ذلك
يبقى بدي احسب الإشارات اللي عندنا هنا بقوله بسيطة
جدا اذا بروح اخد إشارة من ال Xبقول له هاي ال line
كله هاي ال zero بعد ال zero positive و قبل ال zero
ايه نجد بس ممنوع تفوت التلاتة صح؟ مش على اطلاقه
إذا لو قلت هنا تلاتة stop ممنوع تتعدىها بعدك بدات
ياخد إشارةاللي هو اتناشر ناقص خمسة X هذا ال real
line قولنا ال X عندها بتسوزن عند اتناشر على خمسة
اتناشر على خمسة يعني اتنين وخمسين يعني اقل من
تلاتة يعني اتناشر على خمسة بتجيني هنا يبقى هذا
اتناشر على خمسة إذا لو جيت بعد اتناشر على خمسةهها
بعد زي التلاتة مثلا بتكون سالبة مظبوط يبقى هذه هنا
اية اتناشر على خمسة بتصير سالبة و اي تلاتة تتعداش
و لو جيت قبلها تبقى موجبة وخليك ماشي زي ما بدك من
هنا لسلب infinityبتداجر للي بعدها لإتنين الجذر
التربيعي لتلاتة ناقص X هذا ال real line وهذه بتاخد
ال zero تبعها وين؟ عند التلاتة بعد التلاتة ماعنديش
قبل التلاتة زي اتنين دايما و أبدابالموجة يبقى هذا
الموجة بالشكل اللي عندنا هذا كله طيب كويس نحط
الحدود الإقليمية يبقى هذا الحدود هذه ال zero وهذه
الأتناشر على خمسة وهذه مين اللي هي التلاتة وهذه
هنا اللي هي الأتناشر على خمسة
وهذه هنا ال zero وهذه هنا من التلاتة طبعا زائد في
ناقص بناقص على زائد بناقص زائد في زائد بزائد على
زائد بزائد ناقص في زائد بناقص على زائد بناقص
بالشكل اللي عندنا هنا يعني الدالة كانت decreasing
صارت increasing، رجعت decreasing، تمام؟ السؤال هو،
في عندي absolute maximum؟ absolute maximum، بقولش
local، absolute maximumأنا جاي من عندي سالب
infinitive من مجال الله الله صحيح ما بقوله و جاي
نازل
لوكال ماكسيمم وين؟ عند اتناشر على خمسة هذه عند
اتناشر على خمسة عند اتناشر على خمسة F of اتناشر
على خمسة وين جيبناها؟ F of اتناشر على خمسة وين
رقمها؟ يبقى باجي بقوله ال F
لوكال ماكسيمم الهو مية و أربعة و أربعين على خمسة و
عشرين جادر تلت أخماس at x يساوى اتماشى على خمسة
كدوش قيمة الدالة عندي ال zero لفه zero وكذلك عند
من عندي التلاتة يبقى ال F has local بنفع كمان
absolute؟
ينفع فيش غيرهم تنزلش عن مين؟ عن ال zero بتاتا لأنه
انزل نزلت لغاية ال zero و طلعت ل 104 و عوضت نزلت ل
مين ل ال zero عند التلاتة و بعد التلاتة ماعنديش
دالةبس لو عندى بعدى التلاتة ماشي لإنفينتي اللى
هبقى اللى هتنزل لو انا لسالب infinity وبالتالي
بصير ماعنديش local minimum يبقى if has a local and
absolute minimum 0 at x يساوي 0 and x يساوي 3يبقى
عند الـ0 وعند الـ3 في local minimum وفي absolute
يعني السعر ال absolute في موقعين لكن نتنمية نفس
النتيجة اللي هو الـ0حد ايه اللي هو يتساول هنا طيب
وصلنا الان لنهاية هذا ال section اللي هو اربعة
واحد عليكم ال exercises من
واحد لتسعة وستين الأد ومن
سبعين لغاية تلاتة أسمة