1
00:00:00,800 --> 00:00:04,740
اليوم إن شاء الله نكمل في Chapter عشرة نحكي عن الـ

2
00:00:04,740 --> 00:00:09,160
series infinite series Section عشرة أربعة بنحكي عن

3
00:00:09,160 --> 00:00:14,240
كمان Testين من الـ Tests اللي ذكرناها اللي هو

4
00:00:14,240 --> 00:00:17,100
اليوم راح نحكي عن الـ Testين أخذناهم بالتكامل اللي

5
00:00:17,100 --> 00:00:19,720
هو الـ Comparison و Limit Comparison Test

6
00:00:22,580 --> 00:00:25,940
الـ Comparison Test طبعا قبل ما نحكي من الراجع

7
00:00:25,940 --> 00:00:28,200
بالأول إيش اللي أخذناه الـ Test اللي أخذناها طبعا 

8
00:00:28,200 --> 00:00:31,020
فيه يعني ما قلنا خمس Testات إحنا راح ناخدها لل

9
00:00:31,020 --> 00:00:33,760
series of positive terms إيش يعني الـ Series of

10
00:00:33,760 --> 00:00:36,280
positive terms؟ يعني الـ Series الـ An هدولة كلهم

11
00:00:36,280 --> 00:00:39,620
موجبين يعني ما بتكلمش عن إيه يكون An فيها موجبة

12
00:00:39,620 --> 00:00:45,020
بسالب أوي يعني Series من نوع آخر لكن لازم الـ An

13
00:00:45,020 --> 00:00:48,040
تكون دائما كل الـ حدود بعيدًا عنها موجبة بقى أكبر من الصفر

14
00:00:49,940 --> 00:00:52,860
أخذنا النوع الأول أو الـ Test الأول اللي هو الـ

15
00:00:52,860 --> 00:00:55,940
Integral Test وقلنا إيه الشروط وإمتى بنستخدمه

16
00:00:55,940 --> 00:00:58,420
الآن الـ Test الثاني اللي راح نستخدمه اسمه الـ

17
00:00:58,420 --> 00:01:01,700
Comparison Test الـ Comparison Test زي الـ Test اللي 

18
00:01:01,700 --> 00:01:03,880
مار معناه في التكامل كيف يعملنا للـ Improper

19
00:01:03,880 --> 00:01:08,960
Integral هذا الـ Test اللي هو بروح بدي أنا الـ

20
00:01:08,960 --> 00:01:12,680
Series للـ An بدي أشوفها هل هي Converge ولا Diverge

21
00:01:12,680 --> 00:01:16,830
بشوف Series تانية مثلا الـ Series Cn كيف بدأ أختار

22
00:01:16,830 --> 00:01:20,890
الـ Cn؟ الـ Cn بحيث تكون أكبر من الـ An إذا كان جبت

23
00:01:20,890 --> 00:01:24,830
Cn أكبر من الـ An لازم تكون الـ Series تبع الـ Cn

24
00:01:24,830 --> 00:01:27,770
Converge لأن هي الكبيرة لازم تكون Converge عشان

25
00:01:27,770 --> 00:01:32,150
الصغيرة تكون Converge إذا كان لقيت Cn أكبر من الـ

26
00:01:32,150 --> 00:01:36,770
An for all N أكبر من N رقم معين N مش ضروري من

27
00:01:36,770 --> 00:01:41,210
بداية الـ Series والـ Series على الـ Cn كانت

28
00:01:41,210 --> 00:01:44,710
Converge بتكون الـ Series تبع الـ An Converge إذا كان 

29
00:01:44,710 --> 00:01:48,130
ما لقيتش واحدة كبيرة بروح بجيب واحدة إيش صغيرة Dn

30
00:01:48,130 --> 00:01:51,950
تكون أقل من الـ An أصغر منها الصغيرة هنا لازم تكون

31
00:01:51,950 --> 00:01:55,530
Diverge والكبيرة تكون Diverge فإذا كانت الـ Series

32
00:01:55,530 --> 00:01:58,530
على الـ Dn Diverge فبتكون الـ Series على الـ An

33
00:01:58,530 --> 00:02:02,250
Diverge إذا إذا كان الـ ΣCn Converge

34
00:02:02,250 --> 00:02:05,070
فالـ ΣAn also Converge إذا كان الـ 

35
00:02:05,070 --> 00:02:07,410
ΣDn اللي هي الصغيرة Diverge فالـ

36
00:02:07,410 --> 00:02:11,630
ΣAn Diverge also Converge هاي إيش

37
00:02:11,630 --> 00:02:16,000
النظرية ونشوف إيش الأمثلة نطبق عليها هذه النظرية

38
00:02:16,000 --> 00:02:19,240
طبعا الشرط الوحيد إنه Series of positive terms

39
00:02:19,240 --> 00:02:26,100
Test ΣSin تربيع N على خمسة أس N الآن Sin

40
00:02:26,100 --> 00:02:28,760
تربيع يعني معنادلك ليش حتى التربيع ما خلتهاش Sin

41
00:02:28,760 --> 00:02:33,080
لحالها بمعنادلك إيش ضمنها إنه الـ Series تبعتي Of

42
00:02:33,080 --> 00:02:35,520
positive terms لو كانت Sin لحالة بدون التربيع

43
00:02:35,520 --> 00:02:39,140
بيكون الـ Sin مرات تاخد موجب سالب موجب مرات موجب و

44
00:02:39,140 --> 00:02:43,330
مرات سالبة ما بتظبطش إن أعمل عليها دا الـ Test عشان

45
00:02:43,330 --> 00:02:46,350
هي أغطنيها Sign تربيع الآن بدنا نستخدم الـ

46
00:02:46,350 --> 00:02:49,090
Comparison Test دايما بنعرف إن الـ Sin أقل أو

47
00:02:49,090 --> 00:02:51,410
يساوي الواحد وبالتالي الـ Sin تربيع برضه أقل أو

48
00:02:51,410 --> 00:02:55,670
يساوي الواحد بدنا نقسم الطرفين هدول على خمسة أس N

49
00:02:55,670 --> 00:02:59,560
بنقسم على خمسة أس N أسمنة على مقدار موجب وبالتالي

50
00:02:59,560 --> 00:03:02,960
تبقى إشارة الـ Inequality زي ما هي إذا وجدنا هنا

51
00:03:02,960 --> 00:03:06,720
Series 1 على 5 أس N اللي هي أكبر منها لازم تكون

52
00:03:06,720 --> 00:03:09,460
هذه الـ Series عليها Converge طيب نشوف هل هذه 

53
00:03:09,460 --> 00:03:13,060
Converge ولا لأ طبعا 1 على 5 أس N هي 5 أس N إيش

54
00:03:13,060 --> 00:03:15,640
هي 5 أس N من اللي مر علينا في Section 2؟

55
00:03:25,160 --> 00:03:29,360
والخمس أقل من الواحد مع إن الـ Series A تتغير في

56
00:03:29,360 --> 00:03:32,800
الـ Test دا معظم اللي راح نستخدمهم إما Geometric

57
00:03:32,800 --> 00:03:35,440
Series أو P Series اللي راح يكون المقارنات معاهم

58
00:03:35,440 --> 00:03:38,700
يعني ما يحتاجوا إنه Test آخر أو أشوفهم لأ من

59
00:03:38,700 --> 00:03:41,000
الأشياء اللي إحنا حافظينها إما الـ Geometric

60
00:03:41,000 --> 00:03:48,620
Series أو الـ P Series إذن هاد الـ Geometric

61
00:03:48,620 --> 00:03:51,420
Series Converge وبالتالي ما دام الكبيرة Converge

62
00:03:51,420 --> 00:03:54,380
إذن الصغيرة Converge By Comparison Test the Series

63
00:03:54,380 --> 00:04:00,100
Converge مثال اثنين مثال اثنين بقول الـ Test

64
00:04:00,100 --> 00:04:03,160
Σ1 على جذر Ln الـ N for Convergence

65
00:04:03,160 --> 00:04:07,950
واحد على جذر Ln الـ N Ln الـ N دايما أقل أو يساوي N

66
00:04:07,950 --> 00:04:11,650
طبعا نعرف إن الـ N بتقلل من القيمة يعني Ln 2 أقل

67
00:04:11,650 --> 00:04:15,970
من 2 Ln 3 أقل من 3 وهكذا Ln الـ N أقل أو يساوي الـ

68
00:04:15,970 --> 00:04:19,350
N لو أخذنا الجذر التربيعي للطرفين بتظل الإشارة أقل

69
00:04:19,350 --> 00:04:23,150
مش مشكلة لأن الجذر Increasing فجذر هادي أقل أو 

70
00:04:23,150 --> 00:04:26,810
يساوي جذر هادي الآن بدنا نقلب 1 على 1 على

71
00:04:26,810 --> 00:04:29,950
بتغير إشارة الـ Inequality يبقى لما نقلب الطرفين

72
00:04:29,950 --> 00:04:33,310
أقلب هذا أقلب هذا إشارة الـ Inequality هذه الأصغر

73
00:04:33,310 --> 00:04:37,650
بتصير أكبر بتصير أكبر إذا الـ Function هذه تبعتي أو

74
00:04:37,650 --> 00:04:43,830
الـ Series الـ An أكبر من هذه هذه الصغيرة اللي هي 

75
00:04:43,830 --> 00:04:47,530
لازم تكون Diverge لو ما كانتش Diverge ما بتظبطش الـ Test

76
00:04:47,530 --> 00:04:51,590
معنا 1 على جذر الـ N التي هي 1 على N أس نص الآن الـ

77
00:04:51,590 --> 00:04:55,110
Series تبعت 1 على N أس نص هذه عبارة عن P Series P

78
00:04:55,110 --> 00:04:59,230
تساوي نص ونص أقل من 1 Diverge يبقى فعلا إيش 

79
00:04:59,230 --> 00:05:02,770
طلعت معايا الصغيرة Diverge إذا الكبيرة إيش بتكون

80
00:05:02,770 --> 00:05:05,650
برضه Diverge يبقى By Comparison Test the Series

81
00:05:05,650 --> 00:05:06,590
Diverge

82
00:05:11,560 --> 00:05:14,800
Test ΣTan Inverse N على N تربيع زائد N 

83
00:05:14,800 --> 00:05:17,100
زائد واحد بدنا نشوف في هذه الـ Series هل هي 

84
00:05:17,100 --> 00:05:20,680
Converge ولا Diverge طبعا أول شيء نبدأ بالـ Tan Inverse

85
00:05:20,680 --> 00:05:23,320
Tan Inverse N معروفة أقل أو يساوي باي على اثنين

86
00:05:23,320 --> 00:05:25,800
Tan Inverse دايما محصورة من ناقص باي على اثنين

87
00:05:25,800 --> 00:05:28,480
لباي على اثنين يبقى هاي Tan Inverse N هاي نحطلها

88
00:05:28,480 --> 00:05:31,960
في المربع عشان تحفظوه ما دولة برضه المفيدين جدا

89
00:05:31,960 --> 00:05:38,060
عندك الـ Sine والـ Cosine أقل أو يساوي واحد والـ N

90
00:05:38,060 --> 00:05:43,100
أقل من الـ N الـ Tan Inverse أقل من البيعة 2 الآن 

91
00:05:43,100 --> 00:05:47,260
بنقسم الطرفين على المقام هذا بنقسم الـ Tan Inverse

92
00:05:47,260 --> 00:05:50,880
وهي البيعة 2 بنقسمهم على المقام حصلنا على هذه، هذه

93
00:05:50,880 --> 00:05:55,260
لسه برضه مش معروفة وكبيرة بنبسط في المقام هذا الآن

94
00:05:55,260 --> 00:05:58,360
إن تربيع ودفنالها N ودفنالها ودفنالها مقدار موجب

95
00:05:58,580 --> 00:06:02,640
الـ N تربيع دفنالها موجبة بنحذفه هذا لأن هذا أكبر

96
00:06:02,640 --> 00:06:05,780
منها من الـ N تربيع لإنه دفنالها شغلة موجبة بقى

97
00:06:05,780 --> 00:06:09,540
الواحد عالي بتصير إيش أقل يبقى هذا بتصير إيش أقل 

98
00:06:09,540 --> 00:06:13,520
من هذا يبقى لما أرفع مقدار موجبة من المقام المقام

99
00:06:13,520 --> 00:06:17,540
إيش يعني زغرته فبالتالي الكسر كله بيكبر الكسر

100
00:06:17,540 --> 00:06:22,610
كله بيكبر يبقى هذا كله أقل من بيعة 2 على N تربيع

101
00:06:22,610 --> 00:06:25,930
إذا هنا إيش حصلنا على هذه؟ هذه هي بالحالة المبسطة

102
00:06:25,930 --> 00:06:28,630
اللي أنا ممكن أشوفها هل هي Converge ولا Diverge

103
00:06:28,630 --> 00:06:32,210
إذا Series على بيعة 2 على N تربيع سواء بيعة 2

104
00:06:32,210 --> 00:06:35,510
الصماش 1 على N تربيع طبعا هذه الـ Series هي عبارة

105
00:06:35,510 --> 00:06:39,010
عن الـ P Series والـ P تساوي 2 أكبر من 1 وبالتالي

106
00:06:39,010 --> 00:06:42,190
Converge إذا هذه الـ Series تبعتنا Converge إذا 

107
00:06:42,190 --> 00:06:45,730
الـ Series تبعتها Converge وبالتالي هذه ماذا نسميه

108
00:06:45,730 --> 00:06:49,590
Convergent لكبيرة Convergent لكبيرة Convergent 

109
00:06:49,590 --> 00:06:49,670
لكبيرة Convergent لكبيرة Convergent لكبيرة

110
00:06:49,670 --> 00:06:54,630
Convergent لكبيرة Convergent لكبيرة 

111
00:06:54,630 --> 00:06:56,970
Convergent لكبيرة Convergent لكبيرة Convergent

112
00:06:56,970 --> 00:07:04,530
لكبيرة Convergent لكبيرة Convergent لكبير

113
00:07:04,530 --> 00:07:06,630
Convergent لكبير Convergent لكبير Convergent لكبير

114
00:07:06,630 --> 00:07:09,030
Convergent لكبير Convergent لكبير Convergent لكبير

115
00:07:09,030 --> 00:07:09,650
Convergent لكبير Convergent لكبير Convergent لكبير

116
00:07:09,650 --> 00:07:11,490
Convergent لكبير Convergent لكبير Convergent لكبير

117
00:07:11,490 --> 00:07:12,630
Convergent لكبير Convergent لكبير Convergent لكبير

118
00:07:12,630 --> 00:07:16,110
Convergent لكبير 2-1 2 بيصيروا متساويين طيب مضروب

119
00:07:16,110 --> 00:07:19,710
الثلاثة ستة ستة مضروب الثلاثة ثلاثة ناقص واحد

120
00:07:19,710 --> 00:07:22,850
ثلاثة ناقص واحد اثنين اثنين تربيع أربعة يبقى ستة

121
00:07:22,850 --> 00:07:27,090
أكبر من الأربعة وهكذا هذه العبارة دائما صحيحة If

122
00:07:27,090 --> 00:07:29,610
Factorial أكبر أو يساوي اثنين ونص If N ناقص واحد

123
00:07:29,800 --> 00:07:33,280
الآن إحنا بدنا 1 على 1 على N Factorial يبقى بنقلب

124
00:07:33,280 --> 00:07:36,360
الطرفين وبالتالي إشارة الـ Inequality برضه الأكبر 

125
00:07:36,360 --> 00:07:39,740
بتصير أصغر يبقى حصلنا على هذه الـ Inequality إن 1

126
00:07:39,740 --> 00:07:43,340
على N Factorial أقل أو يساوي 1 على 2 أس N ناقص 1

127
00:07:43,930 --> 00:07:47,130
الآن هذه اللي كبيرة لازم تكون Converge طب تعال

128
00:07:47,130 --> 00:07:50,530
نشوف مع بعض هل هي Converge ولا لأ 1 على 2 اثنين ناقص

129
00:07:50,530 --> 00:07:53,590
واحد عبارة عن نص اثنين ناقص واحد يعني عبارة عن R

130
00:07:53,590 --> 00:07:56,770
اثنين وقبل تالي هذي Geometric Series الـ R تساوي نص 

131
00:07:56,770 --> 00:07:59,890
أقل من واحد إذا الـ Series Converge Geometric

132
00:07:59,890 --> 00:08:03,750
Series Converge يبقى الـ Series تبعها Converge وهي

133
00:08:03,750 --> 00:08:06,370
الكبيرة يبقى الـ Series تبعها دي برضه بتكون

134
00:08:06,370 --> 00:08:08,810
Converge By Comparison Test

135
00:08:12,380 --> 00:08:17,380
ΣTangent N على N تربيع طبعا معروفة الـ

136
00:08:17,380 --> 00:08:20,260
Tangent إنها أقل أو يساوي واحد فهي نحط نعمل مربع

137
00:08:20,260 --> 00:08:23,920
عشان دول كلهم تتذكروها وتحفظوهم الـ Tangent أقل أو 

138
00:08:23,920 --> 00:08:26,240
يساوي الواحد الـ Tangent محصورة دائما من ناقص واحد

139
00:08:26,240 --> 00:08:30,130
لواحد تانش N أقل أو يساوي واحد لأننا نقسم الطرفين

140
00:08:30,130 --> 00:08:33,890
على N تربيع مقدار موجب نقسم عليه تانش N على N 

141
00:08:33,890 --> 00:08:36,530
تربية أقل من واحد على N تربيع لأن هذه مين؟ هذه

142
00:08:36,530 --> 00:08:41,970
الكبيرة الكبيرة لازم تكون converge لأنها P Series

143
00:08:41,970 --> 00:08:46,050
P تساوي اتنين اكبر من واحد وبالتالي converge يبقى

144
00:08:46,050 --> 00:08:47,930
ال series الكبيرة converge إذا ال series على

145
00:08:47,930 --> 00:08:50,070
الأصغر بتكون برضه converge

146
00:08:55,790 --> 00:09:00,150
فصمعش الواحد على لن ال N لكل تربيع، الآن في عبارة

147
00:09:00,150 --> 00:09:05,410
في المربع برضه تحفظوها ان لن ال N أقل أو يساوي N

148
00:09:05,410 --> 00:09:09,830
أو C for any positive number C لأي عدد C لن ال N

149
00:09:09,830 --> 00:09:14,070
أقل من N أو C يعني قبل شوي احنا أخدنا مثال ان لن

150
00:09:14,070 --> 00:09:17,700
ال N أقل أو يساوي Nوهذه صحيحة يعني الـC تساوي واحد

151
00:09:17,700 --> 00:09:21,320
طب أقل من N أقص نص برضه صحيحة أقل من N أقص تلت

152
00:09:21,320 --> 00:09:26,100
برضه صحيحة أقل من N أقص ربع صحيحة دائما هذه صحيحة

153
00:09:26,100 --> 00:09:29,980
بس الـC تكون H أكبر من صفر طبعا لا تساوي صفر أكبر

154
00:09:29,980 --> 00:09:34,620
من صفر نص تلت ربع خمس اتنين تلاتة أربعة أي عدد بس

155
00:09:34,620 --> 00:09:39,370
يكون أكبر من الصفر دائما هذه العلاقة صحيحة طيب

156
00:09:39,370 --> 00:09:42,590
إحنا بدنا يبقى لن ال N أقل أو يساوي N²C بعدين بنختار

157
00:09:42,590 --> 00:09:45,310
C على حسب هدف بتاعتي المرونة في ال converge و ال

158
00:09:45,310 --> 00:09:50,010
divergence لن تربيع بدنا لن ال N تربيع أقل من N²C

159
00:09:50,010 --> 00:09:56,230
رفعنا الطرفين لتربيع الان بدنا 1 على 1 على 1 على 1

160
00:09:56,230 --> 00:09:56,470
على 1 على 1 على 1 على 1 على 1 على 1 على 1 على 1

161
00:09:56,470 --> 00:09:57,410
على 1 على 1 على 1 على 1 على 1 على 1 على 1 على 1

162
00:09:57,410 --> 00:09:57,530
على 1 على 1 على 1 على 1 على 1 على 1 على 1 على 1

163
00:09:57,530 --> 00:09:58,490
على 1 على 1 على 1 على 1 على 1 على 1 على 1 على 1

164
00:09:58,490 --> 00:10:06,390
على 1 على 1 على 1 على 1 على 1 على 1 على 1 على 1

165
00:10:06,390 --> 00:10:08,430
على 1 على 1 على 1 على 1 على 1 على 1 على 1 على 1

166
00:10:08,430 --> 00:10:08,450
على 1 على 1 على

167
00:10:17,100 --> 00:10:23,880
لازم تكون اقل من او يساوي واحد يبقى we need

168
00:10:23,880 --> 00:10:27,900
summation 1 على 2 C to be diverse so which was C

169
00:10:27,900 --> 00:10:31,900
such that 2 C اقل او يساوي واحد 2 C اقل او

170
00:10:31,900 --> 00:10:34,680
يساوي واحد يعني C اقل او يساوي نصف يعني ممكن نختار

171
00:10:34,680 --> 00:10:38,220
مدام فيها يساوي ممكن اختارها نصف يبقى لما اختار C

172
00:10:38,220 --> 00:10:43,750
تساوي نصف C تساوي نصف فبتصير هذه أس N يبقى هنا ايش

173
00:10:43,750 --> 00:10:48,050
فيه إنه مرونة لإني بدي إياها diverse فبختار الـC

174
00:10:48,050 --> 00:10:52,450
بحيث إن هذه تطلع معاه diverse بدي إياها converge

175
00:10:52,450 --> 00:10:55,350
بختار C بحيث إنها تكون converge بس لازم تكون هذه

176
00:10:55,350 --> 00:11:04,450
الإشارة أقل فبالتالي الآن نختار C تساوي نصف صارت 1

177
00:11:04,450 --> 00:11:10,250
على N لن تربيع ال N أكبر أو يساوي 1 على N الان ال

178
00:11:10,250 --> 00:11:13,230
summation لو 1 على N هي harmonic series diverse

179
00:11:13,230 --> 00:11:18,550
بنقول by comparison this is the series diverse راح

180
00:11:18,550 --> 00:11:22,250
ناخد برضه كمان مثال على ال N أُس C عشان تثبت

181
00:11:22,250 --> 00:11:25,910
المعلومة summation لن ال N لكل تربيع على N أُس 3 ع

182
00:11:25,910 --> 00:11:29,570
2 الان لن ال N برضه بنستخدم أقل أو يساوي N أُس C

183
00:11:31,140 --> 00:11:40,180
الانها دي بدنا 

184
00:11:40,180 --> 00:11:42,920
نزلها على المقام بيصير تلاتة على اتنين ناقص 2 C

185
00:11:42,920 --> 00:11:48,660
الانها دي مين هي هذه الكبيرة هي أقل هذه أقل من

186
00:11:48,660 --> 00:11:51,500
هذا لأن هذه هي الكبيرة بدنا الكبيرة إيش تكون

187
00:11:51,500 --> 00:11:55,380
convergent يبقى الأسس هذا كله بدنا نختاره بحيث

188
00:11:55,380 --> 00:11:58,280
يكون أكبر من الواحد عشان تكون convergent P series

189
00:11:58,280 --> 00:12:01,700
لازم تكون ال P أكبر من واحد يبقى we need summation

190
00:12:01,700 --> 00:12:05,450
لهذه to be convergent So we choose 3 ع 2 نقص 2C

191
00:12:05,450 --> 00:12:09,870
أكبر من 1 طبعا ممكن تختاري أي C أي رقم بدك إياه

192
00:12:09,870 --> 00:12:13,610
مثلا انا اختارت تمانية لما اختارت تمانية ايش صارت هذه

193
00:12:13,610 --> 00:12:17,710
صارت N أقص 5 ع 4 هي أكبر من 1 ممكن تختاري رقم أخر

194
00:12:17,710 --> 00:12:23,080
مش مشكلة المهم أن هذا الـP كلها تظهر أكبر من الواحد

195
00:12:23,080 --> 00:12:25,980
يبقى هنا اخترنا C شوف قد ايش الـC قدتني مرونة في

196
00:12:25,980 --> 00:12:30,340
الاختيار ما التزمتش بإنه C تساوي واحد دائما لن لن

197
00:12:30,340 --> 00:12:33,380
أقل من N مش دائما تظبط معنا لكن لو حطيناها N أو

198
00:12:33,380 --> 00:12:38,480
الـC إحنا بنختار C بأي رقم إحنا بدنا إياه بحيث بدي

199
00:12:38,480 --> 00:12:42,580
Series converge بختارها C بحيث تكون converge بدي

200
00:12:42,580 --> 00:12:46,470
diverge بنختارها C بحيث تكون diverge الان الكبيرة

201
00:12:46,470 --> 00:12:49,810
هذه بدنا إياها converge فاخترنا C تساوي ثمانية انطلعت هذي

202
00:12:49,810 --> 00:12:53,110
Converge طبعا هذي Converge لأن ال P أكبر خمسة على

203
00:12:53,110 --> 00:12:56,090
أربع أكبر من الواحد وبالتالي By the comparison

204
00:12:56,090 --> 00:13:01,290
test the series converge summation

205
00:13:01,290 --> 00:13:06,350
لن ال N على N تكعيب زائد جذر ال N لأن لن ال N أقل

206
00:13:06,350 --> 00:13:08,590
أو يساوي ال N طبعا أنا اخترت C من الأول تساوي واحد

207
00:13:08,590 --> 00:13:13,550
لأنه ضبطت يعني لن ال N أقل أو يساوي ال N بتطبق لكن

208
00:13:13,550 --> 00:13:16,290
أنت دائما تحطها الـC عادي فش مشكلة لو في الآخر

209
00:13:16,290 --> 00:13:20,270
تختاري الـC=1 لأن الـN أقل أو يساوي الـN نقسم

210
00:13:20,270 --> 00:13:23,150
الطرفين على N تكعيب زائد جذر ال N على N تكعيب زائد

211
00:13:23,150 --> 00:13:26,110
جذر ال N طبعا هذه كبيرة هيك بالشكل هذا لا أنا بدي

212
00:13:26,110 --> 00:13:29,710
أبسطها أكثر لأن N تكعيب زائد جذر ال N بدي أتخلص من

213
00:13:29,710 --> 00:13:34,070
جذر ال N بأخذ الكبيرة و أحذف هذه الصغيرة عشان

214
00:13:34,070 --> 00:13:40,690
أحذفها هذا أكبر من هذا ولكن في المقام بيصير الكثر

215
00:13:40,690 --> 00:13:44,330
كله بيكبر يبقى لما أنا أصغر المقام الكثر كله

216
00:13:44,330 --> 00:13:47,630
بيكبر صغرنا المقام هذا المقام أصغر من المقام

217
00:13:47,630 --> 00:13:52,340
هذا وبالتالي الكثر كله أكبر صار هو الكبير N على N

218
00:13:52,340 --> 00:13:55,560
تربيع هي 1 على N تربيع يبقى هي ضبطت معناه 1 على N

219
00:13:55,560 --> 00:13:59,480
تربيع يبقى هذه أقل من 1 على N تربيع و ال series

220
00:13:59,480 --> 00:14:03,140
تبعت 1 على N تربيع هي P series P تساوي 2 أكبر من 1

221
00:14:03,140 --> 00:14:06,440
يعني converged يبقى by comparison test the series

222
00:14:06,440 --> 00:14:11,860
converged وبهيك إيش أخذنا هنا أمثلة متعددة على ال

223
00:14:11,860 --> 00:14:14,880
comparison test طبعا الأسهل منه هو limit

224
00:14:14,880 --> 00:14:19,380
comparison test طبعا سهل هذا ال test لأنه يستخدم

225
00:14:19,380 --> 00:14:21,840
لأسس في ال بسط و أسس في المقام يعني ما ينفعش تكون

226
00:14:21,840 --> 00:14:25,120
ال sign و ال design و ال link و غريات مشغلة زيها

227
00:14:25,120 --> 00:14:28,560
بنستخدمها إذا كان وجدت هذه ال functions أو ال

228
00:14:28,560 --> 00:14:33,280
series بنستخدمها ال comparison test إذا وجد أسس

229
00:14:33,280 --> 00:14:36,660
في ال بسط و المقام بنستخدم limit comparison test

230
00:14:36,660 --> 00:14:40,670
زي التكامل بالضبط الان هياره ما أعطينا limit

231
00:14:40,670 --> 00:14:45,830
comparison test لو كان عندي AN و BN for all N أكبر

232
00:14:45,830 --> 00:14:48,950
أو يساوي N طبعا التنتين برضه of positive terms

233
00:14:48,950 --> 00:14:52,450
التنتين يكونوا موجبين و الباقي اللي معها برضه تكون موجبة

234
00:14:52,450 --> 00:14:55,690
طبعا بختار أنا ال A ال B N أنها تكون بنفس

235
00:14:55,690 --> 00:14:58,430
درجة ال A N يعني تتمتع ب growth at the same

236
00:14:58,430 --> 00:15:00,830
rate عشان لو ال series على ال A N طلعت

237
00:15:00,830 --> 00:15:03,230
converge هذه برضه زيها converge طلعت diverge و

238
00:15:03,230 --> 00:15:06,410
تكون هذه زيها diverge طبعا لحيث أنه growth at the

239
00:15:06,410 --> 00:15:09,410
same rate طب لو مش كتير growth at the same rate

240
00:15:09,410 --> 00:15:12,850
يعني كانت واحدة أسرع من الثانية طبعا في عندنا

241
00:15:12,850 --> 00:15:16,250
كمان هنا زيادة عن اللي حكيناه في التكامل في عندنا

242
00:15:16,250 --> 00:15:20,190
برضه قانون الان اذا كان limit ال A N ع ال B N طلع C و

243
00:15:20,190 --> 00:15:23,370
ال C أكبر من الصفر يعني ما طلعتش لا صفر ولا ما لا

244
00:15:23,370 --> 00:15:26,550
نهاية يعني ما ذلك ال group الدسمرية في ال summation

245
00:15:26,550 --> 00:15:29,550
ع ال AN و ال BN التنتين يا converge يا التنتين

246
00:15:29,550 --> 00:15:32,610
diverse يبقى حسب ال BN اذا كانت ال BN converge

247
00:15:32,610 --> 00:15:34,950
بتكون هاي converge هاي diverse بتكون هادي diverse

248
00:15:35,090 --> 00:15:39,810
زيها إذا كان طلع ال limit C أكبر من ال 0 طب لو طلع

249
00:15:39,810 --> 00:15:43,830
معناه limit 0 ايش يعني ال limit 0؟ ال limit 0 يعني

250
00:15:43,830 --> 00:15:49,830
ال BN أسرع من ال AN يعني ال AN هي الأبطأ يعني هذه

251
00:15:49,830 --> 00:15:53,630
الأسرع يعني هي الأكبر هي الأكبر مادام الأكبر يبقى

252
00:15:53,630 --> 00:15:56,350
لازم تكون converge يبقى في هذه الحالة إذا كان طلع

253
00:15:56,350 --> 00:15:59,170
ال 0 بيكون حالة خاصة لازم ال summation على ال BN

254
00:15:59,170 --> 00:16:03,400
converge بظبطش تكون diverse لو طلع صفر لازم تكون ال

255
00:16:03,400 --> 00:16:06,280
BN converge طب لو طلع ال limit ماله نهاية ماله

256
00:16:06,280 --> 00:16:09,920
نهاية يعني ال AN هي الأسرع يعني هي الأكبر يعني ال

257
00:16:09,920 --> 00:16:13,340
BN هي الأصغر لازم تكون diverse وبالتالي طلع ال

258
00:16:13,340 --> 00:16:16,320
limit ماله نهاية لازم ال summation على ال BN يكون

259
00:16:16,320 --> 00:16:19,000
diverse بظبطش تكون converge إذا كان طلع converge

260
00:16:19,000 --> 00:16:23,730
بكون هذا ال test fail إذا كان طلع ال limit صفر لازم

261
00:16:23,730 --> 00:16:26,410
تكون ال Summation على ال BN Converged إذا كان

262
00:16:26,410 --> 00:16:29,870
طلعها طبعا هذا بخفف علينا كل شيء لو طلع عدد له

263
00:16:29,870 --> 00:16:33,650
صفر وله ما لا نهاية طبعا نحسب إذا كان هذا Converged

264
00:16:33,650 --> 00:16:36,430
و هذا Converged زيها دا يجب أن تكون Diverged زيها

265
00:16:36,430 --> 00:16:40,570
كويسة هذا ب Limit Comparison Test و طبعا بنعرف

266
00:16:40,570 --> 00:16:43,370
كيف نختار اللي هي ال BN طبعا لاحظوا أن هذا

267
00:16:43,370 --> 00:16:46,870
دائما مستخدم لأسس البسط و أسد في المقام مثل هذا

268
00:16:46,870 --> 00:16:51,170
السؤال Summation 2N زائد 1 على N زائد 1 لكل تربيع

269
00:16:51,330 --> 00:16:54,350
نأخذ أكبر جزء في ال بسط اللي هو N أكبر جزء في

270
00:16:54,350 --> 00:16:58,190
المقام هو N تربيع N تربيع يعني واحد على N لأن

271
00:16:58,190 --> 00:17:01,730
الواحد على N بدي أقارنها مع هذه لازم نجيب ال limit

272
00:17:01,730 --> 00:17:07,210
عشان نشوف converge ولا diverge ال limit ل A N على

273
00:17:07,210 --> 00:17:10,610
B N يعني ضرب مقلوب درب N بتصير يعني على واحد على N

274
00:17:10,610 --> 00:17:14,650
يعني ضرب N طبعا هذه ال 2 N تربيع و المقام N

275
00:17:14,650 --> 00:17:17,430
تربيع درجة ال تساوي درجة المقام نأخذ

276
00:17:17,430 --> 00:17:20,690
المعامل يبقى ال limit يساوي 2 2 2 مالها

277
00:17:20,690 --> 00:17:25,030
أكبر من الصفر مادام أكبر من الصفر يبقى هذي لو كانت

278
00:17:25,030 --> 00:17:27,250
converge بتكون هذي converge و لو كانت هذي diverse

279
00:17:27,250 --> 00:17:30,450
بتكون هذي diverse لكن ال summation الواحد على N is

280
00:17:30,450 --> 00:17:33,610
harmonic series diverse وبالتالي by limit 

281
00:17:33,610 --> 00:17:36,670
comparison تسمى series diverse يبقى هنا فينا خطوة

282
00:17:36,670 --> 00:17:40,030
لازم نجيب ال limit وبعدين نقرر إيش بدنا .. هل هي 

283
00:17:40,030 --> 00:17:41,210
converge ولا diverse

284
00:17:44,810 --> 00:17:48,650
تسمح أن واحد على اثنين أس إن ناقص واحد الآن هذه لو

285
00:17:48,650 --> 00:17:51,050
جيت أقارنها مع واحد على اثنين أس إن مافيش غيرها

286
00:17:51,050 --> 00:17:53,690
فالبسط واحد والمقام مافيش غير اثنين أس إن هي

287
00:17:53,690 --> 00:17:56,570
الكبيرة مع واحد على اثنين أس إن طبعا بقارن مع

288
00:17:56,570 --> 00:18:00,930
series معروفة الآن هذه وهذه نشوف هل grow at the

289
00:18:00,930 --> 00:18:04,170
same rate limit واحد على اثنين أس إن ناقص واحد على

290
00:18:04,170 --> 00:18:08,440
واحد على اثنين أس إن يعني ضرب اثنين أس إن الآن

291
00:18:08,440 --> 00:18:11,440
طبعاً درجة البسط 2 أُس N على 2 أُس N اللي هي

292
00:18:11,440 --> 00:18:14,020
بتطلع ال limit إيه عشان واحد ولو قسمنا البسط و

293
00:18:14,020 --> 00:18:17,080
المقام على 2 أُس N بتطلع ال limit يساوي واحد أكبر 

294
00:18:17,080 --> 00:18:20,000
من الصفر يبقى إذا كانت هذه converge هذه converge

295
00:18:20,000 --> 00:18:23,100
زيها لو كانت diverse هذه diverse ولكن summation 1

296
00:18:23,100 --> 00:18:25,980
على 2 أُس N ما لها؟ هي عبارة عن ال summation لنصف

297
00:18:25,980 --> 00:18:29,140
أُس N يبقى هذه geometric series والـ R تساوي نصف

298
00:18:29,140 --> 00:18:32,220
أقل من واحد وبالتالي converge يبقى هذه converge

299
00:18:32,220 --> 00:18:35,440
إذا هذه برضه converge زيها by limit comparisons

300
00:18:35,440 --> 00:18:37,360
test the series converge

301
00:18:46,630 --> 00:18:54,490
طبعا لو أخذت كل N لن الـ N بيصير يعني صعب استخدامها

302
00:18:54,490 --> 00:18:57,930
فبدأ أخذ يا N يا أخذ لن الـ N طبعا باخد N لأن الـ N

303
00:18:57,930 --> 00:19:03,220
هي الأكبر الـ N بتزغرها الـ N فباخد N من البسط على

304
00:19:03,220 --> 00:19:07,300
N تربيع من المقام يعني 1 على N الآن نجيب ال limit

305
00:19:07,300 --> 00:19:10,320
ال limit 1 زائد N لن الـ N على N تربيع زائد خمسة 

306
00:19:10,320 --> 00:19:14,300
على 1 على N يعني ضرب N طبعا لما نضرب الـ N هنا في

307
00:19:14,300 --> 00:19:17,580
البسط بيصير مالها نهاية على مالها نهاية بنعمل لوبيتال

308
00:19:17,580 --> 00:19:21,980
rule هي ال limit بنروح بنفاضل البسط على تفاضل المقام

309
00:19:21,980 --> 00:19:26,180
تفاضل البسط برضه لما نعود في مالها نهاية على مالها 

310
00:19:26,180 --> 00:19:30,330
نهاية بنروح نعمل لوبيتال rule كمان مرة limit طبعا هذه 

311
00:19:30,330 --> 00:19:33,910
تفاضلها 0 وهذه تفاضلها 1 وهذه الواحد وبعدين اثنين

312
00:19:33,910 --> 00:19:36,550
N لن الـ N الأولى في تفاضل الثانية زائد الثانية في

313
00:19:36,550 --> 00:19:40,670
تفاضل الأولى على تفاضل المقام ال unlimited لما أنت

314
00:19:40,670 --> 00:19:43,470
تقول لما لا نهاية لن ما لا نهاية ما لا نهاية على

315
00:19:43,470 --> 00:19:46,870
اثنين بطلع إيه الجواب ما لا نهاية إيش يعني ما لا

316
00:19:46,870 --> 00:19:51,390
نهاية يعني هذه هي الكبيرة وهذه الواحد على N هي

317
00:19:51,390 --> 00:19:54,550
الصغيرة معناه ما لا نهاية يعني هذه الواحد على N هي

318
00:19:54,550 --> 00:19:59,850
إيش الصغيرة الصغيرة لازم تكون diverge هل هي

319
00:19:59,850 --> 00:20:02,990
diverse معناه ولا لا الـ summation الواحد على N الـ harmonic

320
00:20:02,990 --> 00:20:05,810
series diverse يبقى ضبط معناه لما يطلع limit ما

321
00:20:05,810 --> 00:20:08,590
لا نهاية لازم ال series اللي قارنت معها تكون diverse

322
00:20:08,590 --> 00:20:11,570
يعني لو هذه طلعت تكون diverse ما بظبطش السؤال بدك

323
00:20:11,570 --> 00:20:16,100
تعيدي تختاري شيء ثاني إذا طلعت مالانهاية أو diverge

324
00:20:16,100 --> 00:20:18,820
هي كده مظبوط by limit comparison test بسيريز

325
00:20:18,820 --> 00:20:19,820
diverge

326
00:20:22,810 --> 00:20:30,370
Summation جذر 2 N-1 N-N 7 أعلى أسفل البسط جذر N أعلى

327
00:20:30,370 --> 00:20:34,890
أسفل المقام N تربيع يبقى هذين المقامين نزلها على

328
00:20:34,890 --> 00:20:40,870
المقام 2 ناقص نصف 3 على 2 نجيب ال limit جذر

329
00:20:40,870 --> 00:20:47,690
1 N 3 2 يعني ضرب N 3 2 ناقص 3 على 2 وهذا ناقص

330
00:20:47,690 --> 00:20:51,550
نصف يظهر انتر بيه وانتر بيه يعني درجة البسط تساوي

331
00:20:51,550 --> 00:20:55,350
درجة المقام ناخد المعاملات جذر الاثنين على واحد

332
00:20:55,350 --> 00:21:01,010
جذر الاثنين أكبر من الصفر وبالتالي إذا كانت هذه

333
00:21:01,010 --> 00:21:02,610
convergent هذه بيكون convergent، هذه بيكون

334
00:21:02,610 --> 00:21:05,870
divergent، هذه بيكون divergent طبعا الـ summation الـ 1

335
00:21:05,870 --> 00:21:09,930
على N أس 3 ع 2 هتبع عن P Series P تساوي 3 ع 2 أكبر

336
00:21:09,930 --> 00:21:13,970
من 1 يعني converge فبنقول by limit comparison test

337
00:21:13,970 --> 00:21:18,770
the series converge وهيك بنكون خلصنا اللي هو ال

338
00:21:18,770 --> 00:21:23,250
test .. test 2 أو ال test 2 في هذا ال section ال

339
00:21:23,250 --> 00:21:25,650
comparison test و limit comparison test