بسم الله الرحمن الرحيم ابتدأنا المرة الماضية بال
eigenvalues وال eigenvectors عرفنا ال eigenvalue
وال eigenvector واخدنا على ذلك ثلاثة أمثلة ولاحظنا
أن ال eigenvalues قد تكون real وقد تكون complexوفي
المثال الثاني طلعنا أن لاندا كانت real وفي المثال
الثالث طلعنا لاندا complex وقد تكون مزيجا من ال
complex و real في نفس المثلة كما سنرى بعد قليل من
خلال هذا المثاليبقى المثال بيفترض انه عندي
المصفوفة A زي ما انتوا شايفين وطلب اني المطلوب
الأول ال eigenvalues و ال eigenvectors ل ال matrix
A المطلوب الثاني قال هاتلي basis لكل eigenvector
space بطلع عندنا بنقوله بسيطة تعالى نجيب اللي في
الأول ال eigenvalues و ال eigenvectors اللي عندنا
فبنجيب و نقول solutionيبقى أول شغلة بروح نجيب
المصوفة لاندا I ناقص ال A وتساوي هاي لاندا Zero
Zero Zero لاندا Zero Zero لاندا بالشكل اللي عندنا
هذا فاهمين في مصوفة الواحدة اللي هي I مطروح منها
المصوفة Zero واحد واحد سالب واحد واحد سالب واحدو1
النتيجة كالتالي يبقى ال land كما هي هنا ناقص واحد
ناقص واحد هنا واحد فقط هنا ال land ناقص واحد وهنا
ناقص واحد الصف التالت الصف التالت اللي هو واحد
وهنا سالب واحدوهنا لندن اقص واحد بالشكل اللي عندنا
هذابعد ذلك نجيب الـ determinant لمن؟ لـ lambda I
ناقص الـ A يبقى نجيب المحدد لـ lambda I ناقص الـ A
و من خلال فك هذا المحدد اللي سنفعله بالصفر نطلع
القيم المختلفة لمن؟ لـ lambda I اللي عندنا يبقى
هذا الكلام يجب أن يكون zero impliesالمحدد اللي
قلناه يبقى هذه ال land فيه المحدد الأصغر المناظر
له يبقى land ناقص واحد الكل تربيع ناقص واحد هذا
الترم الأول الترم اللي بعده زائد واحد فيه نشطب صفه
و عموده بيصير land ناقص واحدهيشطبنه صف و عموده
لاندا ناقص واحد زائد واحد الترم الأخير ناقص واحد
فيه نشطب صف و عموده بيصير سالب واحد سالب لاندا
زائد واحد كل هذا الكلام بده يساوي zeroيبقى هذه
لاندا في لاندا تربيع ناقص اتنين لاندا زائد واحد
ناقص واحد وهنا زائد لاندا وهنا زائد لاندا كمان بده
يساوي مين؟ بده يساوي Zeroطبعا ناقص واحد وزائد واحد
مع السلامة يبقى صارت عندنا لاندا تكييب ناقص اتنية
لاندا تربيع زائد اتنية لاندا بده يسوي كدهاش؟ Zero
لو أخدنا لاندا عامل مشترك بيظل عندنا مين؟ بيظل
عندنا لاندا تربيع ناقص اتنية لاندازائد اتنين كل
هذا الكلام يبدو يساوي زيرو طبعا هذا لا نستطيع ان
نحله اكواسي يبقى نروح ونستخدم القانون يبقى هذا
يعطينا اما لاندا تساوي زيرو او لاندا تساوي ناقص با
يبقى زائد او ناقص الجدر التربية لبا تربية ناقص
اربعة الف بواحدgen بتنين كله على الاتنين في واحد
ويساوي اتنين زائد او ناقص طبعا تمانية بشيل منها
اربعة بظل اربعة بالسالب لو طلعت الأربعة برا بصير
بتنين الجدر التربية لسالب واحد اللي هو ب I كله على
اتنين يبقى واحد زائد او ناقص Iإذا صار عندى lambda
real اللى هو بالزيرو و lambda complex اللى هو I
زائد واحد و I ناقص واحد و زى ما انتوا شايفين
الجذران تخيليان و مترافقان في نفس الوقت فمن فكرة
المحدد العنصر التالى كده من فكرة المحدد العنصر
التالى صح يعنى بساطة ال lambda واحد في lambda ناقص
واحد زائد واحد
هذه طيب نمشي معاك و بنعتبر كلامك صحيح و كلامك صحيح
لغاية ما يثبت العكس 100% كيف؟ احنا بنفك باستخدام
عناصر الصف الأول لهذا المحدد نقول لك ال
determinant تمام؟ يبقى حسب شرط القاتل شرط شرط هذا
مع السالبيبقى هذا الإشارة الموجة بيصار واحد بعد
ذلك أشط بصفه و عموده بيصير واحد فلان ده ناقص واحد
ناقص ناقص اش بيصير زاد يبقى لان ده ناقص واحد زاد
واحد يبقى كلامي ولا كلامك مش مشكلة وجهات النظر قد
تكون صحية و قد تكون غير صحيةيبقى النتيجة تماماً
بيبقى من المياه ثلاث قيم واحدة الواحدة الواحدة
الواحدة الواحدة الواحدة الواحدة الواحدة الواحدة
الواحدة الواحدة الواحدة الواحدة
الوايبقى احنا لاندا اي ناقص ال a كله في ال vector
x بدى يساوي zero مش هذه المعادلة الأساسية اللى
عندنا دايما وابدا اذا بدنا نروح نطبقها على أرض
الواقع لاندا اي ناقص a هي المصوفة هذهيبقى هذه
المصحوفة اللي عندنا هذه اللي هي lambda وهنا ناقص
واحد ناقص واحد واحد lambda ناقص واحد ناقص واحد
واحد ناقص واحد lambda ناقص واحد في x اللي هي x
واحد x اتنين x تلاتة بده يساوي zero zero zero بيد
الشكلالان بدى ابدأ احط لاندا تساوي Zero لو لاندا
حطناها ب Zero بصير المعادلة على الشكل التالي هاي
Zero وهنا ناقص واحد وهنا ناقص واحد وهنا واحد وهنا
ناقص واحد وهنا ناقص واحد وهنا واحد وهنا ناقص واحد
وهنا ناقص واحد كله في من؟ في X واحد X اتنين X
تلاتة بده يساوي Zero و Zeroهذا الانبناط بيعطيني لو
ضربت ثلاث معادلات المعادلة الأولى x واحد بتروح بال
zero يبقى ناقص x اتنين ناقص x تلاتة بده يساوي zero
المعادلة التانية بتعطيني x1-x2-x3 بده يساوي 0
المعادلة التالتة x1-x2-x3 بده يساوي 0
تلات معادلة لكن في الحقيقة تنتين فقط لغير لأن
المعادلة التانية والمعادلة التالتة نفس الشيء يبقى
بناء عليه بقدر استنتج من هذا الكلام ان هذي X2 زائد
X3 بده يساوي Zero يعني باعتبار ضربت في سالب واحد
وهذه سنزيلها كما هي لـ X1-X2-X3 يبدو يساوي 0 لو
جيت جماعة يبقى هدول و هدول مع السلامة يبقى X1
تساوي كم؟تساوي 0 إذا لو كانت x واحد تساوي 0 بظل x
اتنين زاد x تلاتة يساوي 0 إذا بصير عند هنا x اتنين
زاد x تلاتة بدي ساوي 0 يبقى x اتنين بدي ساوي سالب
x تلاتةإذا مادام جبت هذه القيام بقدر اقول لو كانت
مثلا X3 بيه او X2 بيه سيان يبقى باجي بقول هنا if
ال X3 بده يسوي ايه then the eigen vectors
يبقى الـ eigenvectors بتكون على الشكل التالي
يبقى x1 أطلع عنها بالـ zero وهذا الـ zero و x2
يبقى
ناقص a و a بالشكل هذا أو a في zero سالب واحد واحد
بالشكل اللي عندنا هناطيب هذا كله حتى الآن هو
المطلوب ايه من المثل؟ جالي هاتلي ال eigenvalues و
ال eigenvectors اللي أصمصوه في ايه؟ بعدين جالي
هاتلي basis for each eigenvector space يبقى نمرأ
بإيه؟ السؤال هو مش هذا كل ال eigenvectors على
الشكل اللي قدامي هذا يا بنات؟ يبقى مين اللي بيجيب
ال eigenvectors كلها؟هو ال element اللي عندنا هذا
هو اللي بولده مدى كله اضرب فيها مين ما يكون ايه
يكون any real number يبقى كل ال eigen vectors على
الشكل اللي عندنا هذا يبقى هدول اللي بيكونون ال
eigen vector space طب لما يكون عندي element واحد
يكون linearly dependent ولا linearly independent
vector واحدLinearly Dependent ولا Linearly
Independent؟ إذا كنت تقول لي إنه Linearly
Dependent، سأقول لك إنه يعتمد على من؟ طب هم فيش
غيره، تمام؟ يبقى واش بيكون؟ Linearly Independent
مستقل تماماً وبالتالي هذا ال element هو ال basis
لكل ال eigen vector space إذا باجي بقول له هنا the
basis for the eigenVector space corresponding to
lambda تساوي zero as ال vector اللي عندنا zero
سالب واحد واحد بالشكل اللي عندنا
خلصنا لو كانت مين؟ لو كانت lambda تساوي zero الان
بدنا نيجي يا بنات لو كانت ال lambda تساوي قدرش
العنصر التاني هو واحد زائد Iالشكل اللي عندنا هنا
إذا بدي أجي إلى مين؟ بدي أجي إلى المعادلة اللي
عندنا هذه بدي أشيل كلها و أحط مكانها 1 زائد I لما
أحط 1 زائد I مكان هذه يبقى و بدنا نيجي نكوّن
المعادلة اللي عندنا هذه و نشوف إيش اللي بده يصير
يبقى هذه نتجة لما حطيت لاندا تساوي zero الحين انا
بده اشيل لاندا واحط مكانها واحد زائد I يبقى if
لاندا we have ان لاندا I ناقص ال A في ال X بده
تساويطلع لي هنا كويس هذي اللاندا بده اشيلها و اكتب
بدالها واحد زائد I و عندك هنا ناقص واحد و هنا ناقص
واحد و هنا واحد و هنا I زائد واحد و عندك ناقص واحد
بيضل عندى بس هنا جدرش بس Iوعندك هنا ناقص واحد كما
هي وهنا واحد وهنا ناقص واحد وهنا كمان واحد زائد I
بيظل I فقط لا غير في X واحد X اتنين X تلاتة بده
يساوي Zero Zero Zeroيبقى الشلط كلها ده وحطيت
مكانها واحد زائد I وبدنا نيجي نكون ال system of
linear equations لو ضربنا وفكنا بصير المعادلة
الأولى اللي هو X واحد زائد I في X واحدناقص X2 ناقص
X3 بيساوي 0 المعادلة التانية X1زائد I X2 اللي
بعدها ناقص X3 بده يسوى Zero المعادلة التالتة X1 X1
ناقص X2 X1 ناقص X2 زائد I X3 بده يسوى Zero
بدا نحل المعادلات مع بعضها و نطلع قيم ممكن بالروشن
فورم أو بجاوسين او بأي طريقة كانت انا بفضل الان
الطريقة التالية لو جيت ضربت هذه في سالب واحد بيصير
سالب X واحدسالب I X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10
X11 X12 X13 X13 X13 X13 X13 X13 X13 X13 X13 X13
X13 X13 X13 X13 X13 X13 X13 X13 X13 X13 X13 X13
X13 X13 X13 X13زائد I X2 وناقص X تلاتة يسوى من الـ
Zero
يبقى هذه باقية لوحدها اللي همين ناقص I X 1 زائد I
زائد 1 في X2 بدري يساوي 0 هذا بدري يعطينا ان I
زائد 1 في X2 بدري يساوي I X1 مرة تانية بقولالان
جيه ضربت المعادلة الأولى في سالب واحد والمعادلة
الثانية كما هي مغيرتش فيها ولا حاجة يبقى هذه
وصلتني لإيه صار هنا سالب هنا سالب هنا موجب هنا
موجب المعادلة التانية نزلتها زي ما هيهذول بروحوا
مع بعض و هذول بروحوا هدى و هدى بياخد X2 عامل مشترك
بيظل I زياد واحد وهدى نزلتها زي ما هى نجلتها على
الشجرة التانية صار I زياد واحد X2 بده يساوي I X
واحدالان اللى عملته هنا بدي اعمله مرة تانية ما بين
المعادلة الاولى والمعادلة التالتة يبقى لو جيتلى
المعادلة الاولى ضربتها في سالب يبقى سالب X1 سالب I
X1 زائد X2 زائد X3 بده يساوي Zeroجت للمعادلة هذه
التالتة و نزلتها زي ما هي يبقى ناقص X2 وعندك هنا
X1 بالموجب وزائد I X3 بده يساوي Zero جي الجماعة
يبقى هدول و هدول مالهم مع السلامة يبقى ناقص I X1
زائد I زائد 1
بناء عليه بقدر اقول يبقى I زائد واحد X تلاتة بده
يسوى I X oneطب ما رأيك في التنتين هذول؟ مش الطرف
اليمين هو نفس الطرف اليمين إذا الطرف الشمال هو نفس
الطرف الشمال يبقى بداجي أقول هذا بدي يعطينا ان I
زائد واحد في X2 يساوي I زائد واحد في من؟ في X3
يبقى هذا بدي يعطينا ان X2 يساوي من يا بنات؟ X3
عندما أخذت المعادلة الأولى والثانية والثالثة
والأولى والأولى والثالثة والأولى والثالثة والأولى
والثالثة والأولى والثالثة والأولى والثالثة والأولى
والثالثة والأولى والثالثة والأولى واللو جيت
للمعادلة
التانية والتالتة دي بالشكل هذا هاي X واحد زي ما هي
وزائد I X اتنين و X تلاتة اليمينة بناتاكس اتنين مش
طالع انا اكس اتنين يسوي اكس تلاتة اذا بدى اعوض هنا
عن كل من اكس تلاتة بمين باكس اتنين يبقى اكس واحد
زائد اي اكس اتنين ناقص اكس اتنين بده يسوي زيرو
الان كمان اكس واحد ناقص اكس اتنين زائد اي اكس
اتنين بده يسوي مين بده يسوي زيروهذا الكلام بدّى
يعطينا ما يأتي هل المعادلة اللى فوق هي نفس
المعادلة اللى تحت؟مظبوط؟ يبقى هي نفسها حرفيا يبقى
هذول مش معادلتين وإنما مين؟ معادلة واحدة مدام
معادلة واحدة إذا بقدر أقول هنا عندنا بدي يكون x
واحد زائد اللي هو I ناقص واحد في ال x اتنين بدي
يساوي zeroأو الـ X1 بده يساوي 1 ناقص I في main
بالـ X2 نجلناها على الشجة التانية وأجى بإشارة main
بإشارة سالب
بناء اللي عليها بقدر أجيب الـ eigenvectors يبقى
باجي بقول هنا the eigenvectors
corresponding to
cross bonding two lambda يساوي I زائد واحد والله
واحد زائد I are in the four على الشكل التالي اللي
هو manالحد الأولاني او X واحد كانت بواحد ناقص I
اللي هو واحد اه استنى شوية ماحطناش رموز احنا احنا
قولنا بس يبقى هذه باجي بقوله هنا Fمثلا اكس اتنين
تساوي ايه اذا اكتب
هالك اوضع شوية فباجي بقول اكس واحد و اكس اتنين و
اكس تلاتة بده يساوي اكس واحدطلعناها عنا بقدرش
بواحد ناقص I في X اتنين يبقى واحد ناقص I في A و X
اتنين ب A و X تلاتة ب A كذلك اللي هو بده يساوي A
في واحد ناقص I و هنا واحد واحد بالشكل اللي عندنا
هنا
هي المجموعة اللي همين واحد ناقص I وهنا واحد وهنا
واحد الشكل اللي عندنا هنايبقى اللي عملته لل ايجن
فاليو I زي واحد بيروح اعمله ال ايجن فاليو الأخيرة
اللي هي واحد ناقص I يبقى باجي بقوله if لاندا تساوي
واحد ناقص I then لاندا I ناقص ال A في ال X يساوي
Zero implies
هذا الكلام يبقى مكان اللي بدي اضافه مين واحد ناقص
I يبقى I واحد ناقص I وهنا ناقص واحد وهنا ناقص واحد
واحد وهنا واحد ناقص Iبصير هنا ناقص I وهنا ناقص
واحد كما هي وهنا واحد ناقص واحد وهنا واحد ناقص I
يبقى كمان ناقص I في X واحد X اتنين X تلاتة بده
يساوي Zero و Zero و Zeroيبقى هذه المعادلة اللي
عندي كتبت على الشكل هذا يبقى الأن بدي أضرو
المصفتين وساوي الطرفين ببعض في خطوة واحدة إذا
المعادلة الأولى x واحد ناقص I x اتنين يبقى x واحد
ناقص IX1-IX1-X2-X3 == 0 المعادلة X1-IX2
-IX2
ناقص x3 بده يساوي 0 المعادلة التالتة اللي هو x1
ناقص x2 ناقص i x3 بده يساوي مين؟ بده يساوي الـ 0
طيب ايش رأيك لو جينا ضربنا المعادلة الأولى في I لو
جيت ضربت المعادلة هذه في I ايش بصير؟ I X 1 هذي
بنيت I في I I تربية I تربية ناقص واحد مع ناقص بصير
زائد X واحدناقص I X 2 ناقص I X 3 بده يسوي 0 هذه
المعادلة بدي أخليها زي ما هي X 1 ناقص I X 2 ناقص X
3 بده يسوي 0 إيش عملتلي هذه؟ كيه؟ هذه؟
هذه I X 1 هنا زائد X 1 مظبوط وهنا ناقص I X 2 ناقص
I X 3 بده يساوي Zero هذه X 1 ناقص I X 2 ناقص X 3
مظبوط الدرب لكن هل جابلي هذا نتيجة ام لا ما جابليش
ولا حاجة الا اذا كانضربت الثانية في سالب واحد اه
لو ضربت الثانية في سالب واحد بمشي الحال يبقى اضرب
التانية في سالب واحد يبقى ايه السالب واحد وهي موجب
وهي موجب هيك جبنا نتيجة صحية تمام؟ يبقى لو جيت
جماعة يا بنات
بتروح هدى و هدى و هدى و هدى مع السلامة بظل عندنا
مين بظل عندنا ما يأتين اللى هو I X 1 و بظل عندنا
هنا ناقص I ناقص واحد X 3 بده يسوى Zero يبقى بناء
عليه I ناقص واحد
هذا الكلام كله مش لازم الآن
يبقى المعادلة الثانية هذي لو جيت ضربتها كمان في
سالب ا في I يبقى بصير I X 1 زائد X 1 هنا زائد
والله ناقص I X 2 ناقص I X 3 بده يسوى Zeroهذه هنا
بدها ضربها في ناقص يبقى ناقص X1 زائد X2 هنا
ضربناها في ناقص بيصير زائد I X3 بده يساوي Zero
هدول مع السلامة طيبهو I X 3 و سالب I X 3 مع
السلامة يبقى ضال عندنا هنا مين؟ اللي هو سالب
Iزاء ناقص واحد X2 زائد I X1 بدري ساوي Zero او اللي
همين I ناقص واحد في ال X2 بدري ساوي I X1طلعولي في
الاتنين هذول يا بنات النتيجة اللي وصلنا لإينا و
النتيجة اللي وصلنا إلينا يبقى اتنين هذول ما لهم
بيساووا بعض يبقى مادام بيساووا بعض يبقى هذا بد
يظهر ان I ناقص واحد في ال X اتنين يساوي I ناقص
واحد في ال X تلاتة يبقى كمان X اتنين بد يساوي من؟
بد يساوي X تلاتةبداية للمعادلة التانية والتالتة
تمام زي المرة الماضية يبقى المعادلة التانية ها دي
ها ها بالضبط تماما باجي بقول هاي X واحد ناقص I X
اتنين ناقص X اتنين شيلنا X تلاتة وحطينا بدلها X
اتنين يساوي Zero والمعادلة التانية X واحدناقص X2
ناقص I X2 كله بده ساوي Zero لاحظ ان المعادلة هذه
هي نفس المعادلة فوق يبقى هدول معادلتين اذا هدول
التنتين في الحقيقة هي معادلة واحدة وهي X واحدناقص
I زائد واحد X اتنين بده يساوي Zero إذا هذا الكلام
بده يعطينا ان X واحد بده يساوي I زائد واحد في X
اتنين إذا بالمثل لو جيت قولت لو كانت X اتنين تساوي
A
الـ X1 بدر يساوي I زائد واحد في الـ A والـ X2 بدر
يساوي A والـ X3 بدر يساوي الـ A إذا بقدر أجيب اللي
هو ال Eigen vector Z يبقى باجي بقوله هنا
Eigel vectors corresponding to
lambda تساوي الواحد ناقص I واحد ناقص I are
in the formبالشكل التالي اكس واحد اكس اتنين اكس
تلاتة تساوي اكس واحد اتفاجنا اللي هي بقدرش اي زائد
واحد في اي اي زائد واحد في اي و اي و اي بشكل لأن
هذا او بنقدر نقول ال اي في اي زائد واحد واحد واحد
يبقى كإنه تماما زي مين زي اللي عندنا هذا مع الفارق
المركبة الأولى بدل ما هي واحد زي die المرافق لها
وهي واحد ناقص I يبقى باجي بقوله هنا نمره بيه the
basis for the eigen vector space
Is the set هي عبارة عن ال set اللي فيها vector
واحد I زائد واحد واحد بالشكل اللي عندنا هنا حد
فيكم لأي تساؤل هنا؟
على أي حال، هذه السؤالة ربط بين المثالين السابقين
المثال الرقم اتنين كان كله الانظار الحقيقي والمثال
الثالث كان كله الانظار التخيلي إذا قد يكون الانظار
الـEigenvalues هي مزيج بين القيم الحقيقية والقيم
التخيلية كما في المثال اللي بين إيدينا هذاعلى اي
حالة هنا stop انتهى هذا section وبانتهى هذا
section ناخد الأسئلة تبعته ثم نذهب الى ال section
اللذي يليه يبقى بدنا المسائل من 1 ل 15 يبقى
exercises اربعة واحد المسائل من 1 ل 15
أنت انا مااسكش اربعة واحد اربعة اتنين مش لازمنا
بنروح لاربعة تلاتة
يبقى section اربعة تلاتة اللي هو ال
diagonalization
هيش diagonalization جاء من كلمة diagonal تمام
diagonal اللي هو قطري diagonalization كيف بيدخلي
المصوفات اللي عندنا مصوفة قطرية فقط يعني كيف جميع
العناصر أسفرا ما عدا عناصر القطر الرئيسي هنعطي
definition ونشوف كيف نطبق هذا ال definition يبقى
definitionبقول if a and b are two n by n matrices
مصفات
نظام n في n we say that we say that ان ال a is
similar
similar to be if there exists a non singular
matrix if there exists a non singular matrix
capital
K such that
بساطش ذات ان ال B بده يساوي K inverse اك فري
مارك نمر
واحدif ال a if ال a is similar to b then b is
similar to a نمرا اتنين a issimilar to itself
هنعمل عملية ال diagonalization ببعض التعريفات
التعريف الأول اللي عندنا بيقول
ماذا نقول احنا؟ ايوة انت، ماذا نقول؟ خليك معانا
وإلا، دينا بالك، بضلك برا تفكري برا براعتك، تصريش،
خليكي معانا، تصريش من بني سرحان، طيب، نيجي الآن
مرة تانية بقولمرة تانى لكي يخد باله الجميع بقول
الان عندي مصففتين A وB تنتين هذول نظامهم infinite
تنتين من نفس النظام بقول ان ال A هي similar to B
إذا قدرت تلاقي مصفوفة أخرى K بحيث المصفوفة هذه ايش
كتب عليها؟ non singular يعني ايش؟يعني المحدد ده
يساوي zero يعني المعكوس موجود تبعها تمام؟ إذا كنت
لاجي مصفوفة K بحيث المعكوس هيكون موجود وبالتالي
تبقى B تساوي K inverse في A كإن حدث ذلك بقول يبقى
A similar to Bطيب كويس ال remark بتقول لو كانت ال
a similar to b then be similar to a لحظة ما ياتي
لما تبقى هذه ك .. هذه بدي تكون main المعكوث تبعي
يعني أيش ما تكون المصروفة هذه بديها تكون هذه main
هذه المعكوث تبعها طيب بدنا نثبت ان لو كانت ال a
similar to b then be similar to a يبقى بداجي اقول
لات ال abe similar to be هدا معناته ايش؟ there
exist a there exist a non singular matrix
K
such thatبحيث ان الـ B بدي ساوي K inverse AKيبقى
انا طبقنا التعريف مباشرة هذه تقرا من ان a similar
to b انا بدى اثبت من ان b similar to a طب كويسة من
ات ايه اش رايكوا؟ بالداجل المصوفة هذه اضربها من
جهة اليمين في k inverse واضربها من جهة الشمال في
من؟ في k يبقى بناء عليه بصير عند هنا kبك انفرس بده
يساوي ك في ال ك انفرس في ال a في ال k ك انفرس
الشكل اللي عندنا هذا ايش بيعطينا؟
و مصفوفة الواحدة تضربها في أي مصفوفة، ماذا بتعطيك؟
نفس المصفوفة يبقى بصير عندنا ال A تساوي K في ال B
في ال K inverse الشكل اللي عندنا هذا هذا معناه ان
B similar to A؟ لأ مش صحيحبالشكل هذا لأ انا بدي
الاولى inverse والتانية بدون مظبوط لكن ك هادى بقدر
اكتبها ك inverse inverse صح ولا لأ مش المصفوفة ايه
تسوى a inverse inverse يبقى بقدر اكتب هادي على
الشكل التالى ان ال a يسوى ك inverseInverse بي
كإنفرس يبقى أنا جيت على المصوفة هذه واخدت من هنا
معكوسة يبقى هذا ينطمق على من؟ على التعريف اللي هو
هذا؟ إذا هذا معناه أن بي similar to ايه؟ هذا معناه
أن بي similar to ايه؟ وهو المطموقأظن نمرة اتنين هي
نفس نمرة واحد بس بدل بيحط مكانها مين ايه فقط لا
غير يبقى هنا similarly as
a زيها بالحرف الواحد لا تغير ولا تبديل نعطي مثال
توضيحي على ذلك يبقى example
المثال بيقول let المصوفة a تساوي واحد واحد سلبي
اتنين اربعة and المصوفة k تساوي واحد واحد واحد
اتنين find a matrix بي find a matrix
ب such that ال
a is similar to b يعني similar to b ماشي اقوله
solution
يبقى يعطيني مصحوفة A ومصحوفة K وقال هاتلي matrix B
بحيث ال A تبقى similar to B
أول خطوة باخد من ال determinant لل Kبدي أخد
determinant للـ K أشوفه كده بده يساوي يبقى واحد
واحد اتنين يبقى اتنين ناقص يساوي واحد لا يساوي ال
zero يبقى هنا ال K هذه ال K is non
singular
Madame non-singular إيه؟ بيظلمني مين؟ بده يظلمني
المعكوس تبعها، يبقى بده أروح أجيبله كinverse، why؟
يبقى هذه واحدة على المحدد التابعي المحدد التابعي
يبقى ده بواحد وباجي على كيف ببدل عناصر القطر
الرئيسي مكان بعض وبغير إشارات عناصر القطر الثانوي
بهذا الشكليبقى ده شو بده تصير اتنين سالب واحد سالب
واحد واحد هذا معكوس من معكوس ال K السؤال قال يهتلي
المصوفة B بحيث A تبقى similar to B اذا بروح بقوله
الان B اللي بدنا ياها هي عبارة عن K inverseاك
ويساول ك انفرستطلعناها اتنين سالب واحد سالب واحد
واحد في مين في اللي هو ال a واحد واحد ناقص اتنين
اربع في المصوفة ك itself بالشكل اللي عندنا هنا
اللي انا اقولش اللي احنا رفعينهdiagonalization
عارفين حصل الضرب لازم يعطيني ال diagonal matrix
وإلا بصير في عندي غلطة يبقى تأكد أن اللي بدي يطلع
عندي هو diagonal matrix يبقى هذا الكلام بده يساوي
هذه المصوفة الأولى اللي اتنين سالب واحد سالب واحد
واحد بدي أضرب هدول في بعض منها الصف الأول في
العمود الأول أظن بيعطيني اتنين هيك صح؟
مظبوط حصلت ضربك؟ يساوي
مصوفة اللي عندنا هذا برضه الصف الأول في العمود
الأول هي أربعة ونقص اتنين بطلع اتنين الصف الثاني
في العمود الاتنين في تلاتة بستة ونقص ستة بجداش
بزيرو الصف الثاني في العمود الأول نقص اتنين وزايد
اتنين يبقى زيرو الصف الثاني في العمود التاني يبقى
سالب تلاتة وزايد ستة بجداشبتلاتة بالشكل اللى عندنا
هذا يبقى أسوحة المصفوف اللى عندنا 2003 لحظة هذا
مين هذا هو ال diagonal matrix يبقى هذا هو ال
diagonal ال matrix اللى عندنا بالضبط تماما يبقى
شغلنا خلال هذا ال section كله كيف أحول المصفوفة
إلى مين إلى diagonal matrixلحظة لو رحنا ندور على
اتنين والتلاتة دول مين هم هدول باللي جيهم هم ال
eigenvalues اول ما بدينا ال eigenvalues اخدنا اول
مثال و طلعناهم اتنين تين real فكانت واحدة اتنين
واحدة تلاتة يبقى نفس الشيء ما علينابعد قليل هروح
نحط تعريف لل diagonalizable matrix ونبدأ نشتغل كيف
بدي أخلي المصوف اللي عندي تبقى diagonal matrix هذا
ما سنتعرضله في المحاضرة القادمة ان شاء الله تعالى
اعطيكوا العافية