بسم الله الرحمن الرحيم أول شيء بنحب يعني نرحب فيكم
بمناسبة
بداية العام الدراسي الجديد ونسأل الله تعالى أنه
يكون الفصل هذا فصل يعني متميز و يعني فيه إن شاء
الله الخير الكثير لكم خاصة بعد أجواء الحرب اللي
عشناها في الفترة اللي فاتت وربنا
يعني يكلل جهدكم بالـ .. بالنجاح والتفوق يمكن
أول مرة يمكن تشوفوني أو يمكن ما درستكمش قبل هيك
فإذا ما بتعرفوش مين أنا فأنا الدكتور أيمن اللي
هيبيلي طبعا كان المفروض أن الدكتور Asad .. Asad هو
اللي درسكم الـ course هذا لكن حصل في يعني الجداول
زي ما أنتم عارفين في .. بيصير فيها تغيرات في آخر
لحظة فانا إن شاء الله اللي هيدرسكم المادة هذه ف ..
يعني ال ..
أهم حاجة في المادة هذه وفي كل مواد الرياضيات أن
الطالب يعني يواظب على الحضور يحاول يحضر المحاضرات
ي .. يقرأ المحاضرات أول بأول يحاول يشتغل في الـ
homework برضه أول بأول ما يجزلش الـ .. الدراسة أو حل
المسائل وما تتركمش عليه كمان يعني زي أي مادة في
الرياضيات عشان الواحد يفهمها ويقدر يعني يستوعبها
لازم يحاول يحل أكبر عدد ممكن من المسائل أو بنسمي
الـ homework assignment طبعا احنا هنعطيكم syllabus
زي هذا فيه كل البيانات اللازمة اللي هو بنسميه
course outline أو ملخص لـ course و syllabus فيه كل
المعلومات عن المدرس عن المساق عن الـ textbook عن
كتاب المقرر عن المراجع الإضافية اللي ممكن يستعان
بيها بالإضافة للمرجع الأساسي أيه المادة العلمية
اللي هناخدها وكيف توزيعها على أسابيع أو على الـ ..
آه ممكن توزيعها على أسابيع توزيع
الدرجات الـ evaluation policy أو تقييم الـ course
برضه هذا بيكون موجود عادة في الـ syllabus وفي
النهاية بنضع اللي هو الـ homework assignments اللي
هو مسائل الـ homework اللي المفروض تحلوها من الكتاب
ففي نهاية كل section هيكون في عدد من المسائل وهذه
المسائل احنا بنختار يعني جزء منها مش كلها على أساس
الطالب بيحاول يحلها المسائل طبعا يعني الطالبة اللي
يعني مستواها متواضع أو متوسط المفروض تحاول تحل
يعني مش أقل من خمسين إلى سبعين في المية من المسائل
لوحدها إذا حضرت المحاضرة ودرست المحاضرة كويس
المفروض أنّهـا يعني يكون عندك مقدرة أنّهـا تحل على
الأقل بين خمسين إلى سبعين في المية إذا ما كانش أكثر
الـ .. طبعا باقي المسائل الصعبة بيكون في أما بيكون
في .. بيكون دائماً بنحاول نحلها في أو نحل بعضها
المسائل الصعبة من خلال مناقشة فبنعمل مناقشة المادة
دي فيها أربع ساعات ممكن نخصص ثلاث ساعات محاضرة و
ساعة مناقشة أو حسب يعني الـ .. تطور الـ course لكن
في عندنا يعني الساعة من الوقت ممكن أن احنا يعني
أخصص أنا من وقت لآخر ساعة مناقشة ونتفق عليها يعني
قبل ما ناخدها، فعشان هيك الحضور يعني كثير ضروري
جداً و ..
طبعاً بمكانكم منكم أنتم يعني تستغلوا الساعات
المكتبية وأي واحد عنده استفسار، سؤال، أي شيء يعني
بتعلق بالمادة ممكن تجيلي على المكتب وتتناقش معاه،
تسألني وممكن أساعدها ممكن برضه تسأل المدرسين أو
المعيدات، الأخوات اللي هنا عندكم، ما بعرفش .. ضايلين
مكان هم اللي غيروابرضه كمان هذا يعني وسيلة ثانية
للمساعدة ممكن تستعينوا بالمراجعة اللي احنا بنكتبها
في الـ syllabus هذه برضه بتساعدكم ممكن تستعملوا الـ
internet ممكن تستعملوا المكتبة يعني في وسائل
مساعدة كثيرة لكن يعني أهم شيء .. أهم شيء في المادة
هذه بتحضروا المحاضرة وتحاولوا تحلوا المسائل و
تتناقشوا مع المدرس أكثر .. أكثر واحد بفيدكم مدرس
المادة واحنا مش هنبخل عليكم يعني في أن احنا نجاوب
على أسئلتكم واستفساراتكم سواء .. سواء الأسئلة دي
أو الاستفسارات كانت بتتعلق بالـ homework أو بالمادة
الـ material اللي احنا هناخدها okay تمام؟ عشان شوية
هيك احنا يعني حالنا زي حال الـ .. الـ .. البلد الـ ..
انتم عارفين مكاتبنا كلها كانت مبنى الإدارة و
بالتالي مكاتبنا يعني في عملية نزوح أو نقل من
المبنى الإدارة لمبنى جديد فلسه مكاتبنا يعني ما
استقرناش ف .. لكن أنا بحاول إن شاء الله مرة جاية
أجهزلكم الـ syllabus تبع الـ course وهحطه على
الصفحة تبعتي بالتالي ممكن أنكم تاخدوا نسخة منه ..
من الصفحة كذلك بإمكانكم تروحوا على صفحة المدرس في
الامتحانات أنا بضعها نصفية سابقة وامتحانات نهائية
برضه ممكن تلاقوها على صفحة المدرس ممكن لو في حاجات
معينة مهمة ممكن أدرس .. أ .. أنزلها على الصفحة و
بعدين أنتم يعني تعملولها copy و paste وإش زي ذلك
إذا عشان احنا يعني ما نضيعش الوقت كثير خليني بس
أكتبلكم الـ .. الـ .. الـ .. موقع الصفحة تبعتي عشان
إذا حد يعني .. وهترب ممكن برضه تخشوا على كلية
العلوم خاصة الرياضيات والمدرسين وتطلع الصفحة أو
إذا كان ممكن تستخدمه بالرابط اللي هو http://www
.iogaza
.edu
.ps
backslash employee habil
الكتاب
المقرر اللي هو introduction text الكتاب المقرر هو
عبارة عن introduction
introduction to real analysis by
bartel sherbert
or bartel and
sherbert
وهذا الطبع الثالثة third edition إذا
هذا الكتاب المقرر اللي احنا هنعتمد عليه طبعاً هذا
الكتاب موجود في مكتبة الطالب أو الطالبة ويمكنكم
يعني تشتروه
Okay إذا يعني هذه معظم الشغلات، احنا الـ بالنسبة
للـ .. للـ course يعني ممكن احنا حسب ما الـ .. الكلية
شوية غيرت سياستها، كنا في الأول نعطي امتحانين
نصفيين وامتحان نهائي لكن إذا الكلية غيرت ورجعت
لامتحان نصف واحد ونهائي فهنحكيلكم
المرة الجاية يعني إنّه نحدد بالضبط بعدين الدكتور عشان
أسعد أنا وياه وبدرس الطلاب وأنا بدرسكم فعشان
نعمل امتحانات موحدة فلازم السياسة تكون موحدة فيعني
يوم المحاضرة الجاية نتفق على قليل يعني عدد
الامتحانات وتوزيعها والدرجات هنتفق عليه إن شاء الله
المرة الجاية أنا يعني عامل زي ما أنتم شايفين ملخص
يعني طبعاً هذا الملخص لا يغني عن الكتاب المقرر يعني
المفروض الطالب ي .. أو الطالبة يعني .. يعني تفلي
الكتاب المقرر أو يعني تدرس من الكتاب المقرر أو
تشوفه لكن أنا بحاول يعني الكتاب المقرر بحاول يعني
أنا آخذ الصفوة تبعته وأحاول ألخص يعني الـ material
بالطريقة وبالأسلوب تبعي أنا .. أنا اللي بقرا ..
بقرا مناسب فبرضه لو اعتمدتم على الملخص هذا أو
حليتم المسائل برضه هذا شيء يعني كثير كويس وطيب جداً
أنا هحاول أن أشوف هل يعني عن طريق العرض زي هيك،
هشتغلكم كل شيء، إذا في أي شيء مش واضح أو مش
فاهمينه ممكن نحاول نكتب ونوضحه بالكتابة، لكن أنا
مش هـ .. مش هـ .. مش هـ .. يعني مش هعدي عن نقطة من
نقطة لنقطة ثانية إلا إذا كانت أقل من أنتم
فاهمينها المادة هذه يعني حساسة وفيها عمق رياضي
ومادة كثير مهمة ما عناش نقول صعبة مش صعبة لكن بدها
يعني تركيز وبدها اهتمام وبدها جهود فهنحاول أن
نساعدكم إن شاء الله تفهموها بقدر الممكن
أنا بحب دائماً أعطي يعني material أو أعطي محاضرة من
أول يوم فهنبدأ نشرح وبعدين المحاضرة جاية بنحكي
شوية عن الـ evaluation وعن الامتحانات والعلامات
ماشي الحال فيمكن أنتم مش مستعدين لكن أنا مستعد أن
أنا يعني ناخذ شوية ولو أنه وقت كثير يعني نراها لأ
في معانا وقت إن احنا ناخذ شوية Okay فيعني هذا يعني
مش يعني سيء ومش غلط فهنبدأ
.. احنا هناخد أربع فصول في المادة هذه لكن الفصول
مش متساوية الفصل الأول بيتحدث عن الـ real number
system أو نظام الأعداد الحقيقية وهذا أساس حاجات
كثيرة في الرياضيات فأول شيء بنا أن نتحدث
في أول band في الفصل هذا أو في أول section
بنا نتحدث عن الـ algebraic properties of R أو
الصفات الجبرية لنظام الأعداد الحقيقية فما هو نظام
الأعداد الحقيقية؟ نرمزه بالرمز هذا real number
system أو نظام الأعداد الحقيقية نرمزه بالرمز **bold** R
في ℝ اللي هو الرمز هذا، هذا يرمز لمجموعة الأعداد
الحقيقية. الآن هذه مجموعة الأعداد الحقيقية بنعرف
عليها عمليتين جبريتين two algebraic operations
عملية جمع، يعني بأخذ عددين حقيقيين، زوج مرتب من
الأعداد الحقيقية، وبعرف عملية الجمع على... على
الزوج هذا. فعملية الجمع بتجمعهم، بعرف عملية ثانية
binary operation جديدة، بأخذ عددين حقيقيين أو زوج
مرتب من الأعداد الحقيقية، و بحاول أعرف عليهم عملية
جديدة، عملية ضرب أو multiplication. فهذا يعتبر
function وهذا يعتبر function من الـ Cartesian
product الـ ℝ مع نفسها إلى ℝ. فهدول بنسميهم binary
operations. الآن نظام الأعداد الحقيقية هو مجموعة
الأعداد الحقيقية ℝ، boldface R، هذه الـ R الكبيرة
المُغَمَّخة مع العمليتين الجبريتين هدول. الآن العمليات
هذه لازم تحقق خمس خواص
فالخواص هذه الخمسة، أول خاصية فيهم هي الـ
commutative laws، قوانين الإبدال، يعني عملية الجمع
اللي اتحدثنا عنها قبل شوية هي عملية إبدالية، بقدر
أبدل الأعداد الحقيقية في الجمع. كذلك عملية الضرب
برضه عملية إبدالية commutative. فإذاً عملية عمليات
الجمع والضرب هي عمليات إبدالية. كذلك العمليات
الجمع والضرب عمليات associative laws، قوانين
الدمج، يعني الأقواس. عملية الجمع عملية دمج
associative. يعني بقدر لما أجمع X و Y و Z ثلاث أعداد
حقيقية، بقدر أحط الأقواس حوالين هنا، أو ممكن أحطهم
هنا، سيان ما بتفرقش. هاي عملية الدمج أو الـ associative
law. نفس الحاجة، نفس الشيء عملية الضرب عملية دمج
associative.
الخاصية الثالثة، الـ distributive laws أو قوانين
التوزيع. عملية الضرب تتوزع على عملية الجمع. هذه X
لما أضربها في مجموعة Y و Z، فبوزع الضرب X على Y و
بوزع X على Z. نفس الشيء برضه في قانون توزيع لما
أضرب من اليسار برضه بوزع الضرب على المجموعة من
اليسار. إذاً أنا دول القانونين بسميهم distributive
laws أو قوانين التوزيع. عملية الضرب توزيعية على
عملية الجمع. فيه برضه خاصية رابعة، الـ identity
elements، وجود العناصر المحايدة. ففي الأعداد
الحقيقية
في عددين أو عنصرين، واحد نرمزه بالـ 0، وواحد
نرمزه بالرمز 1. وطبعاً هدول عنصرين مختلفين، غير
متساويين. إذاً هنا نفترض أن في يوجد عنصرين متميزين في
ℝ في مجموعة الأعداد الحقيقية بحيث أن العنصر الأول
هذا المتميز لما أجمعه على أي عدد حقيقي X بيعطيه X
فهذا بنسميه العنصر صفر. هذا بنسميه الـ additive
identity أو المحايد الجمعي. كذلك 1 ضرب X، لو ضربت
هذا العنصر المتميز في أي عدد حقيقي X هيطلع عندي
النتيجة X، نفس العنصر. هذا صحيح لكل عدد حقيقي. إذاً
هنا بنسمي الواحد multiplicative identity أو
المحايد الضربي. okay، إذاً هي أربع خواص. في كمان خاصية
خامسة.
اللي هي وجود العناصر أو
الـ inverse... وجود الـ inverse elements أو اللي هو
بيسموها النظائر أو العناصر المعاكسة. فلأي عدد حقيقي
X يوجد
عنصر وحيد -X ينتمي لـ ℝ بحيث لو جمعت X مع سالبه
بيطلع المحايد الجمعي 0. في الحالة هذه بنسمي -X
هذا العنصر -X بنسميه الـ additive inverse لـ
X، الـ additive inverse، النظير الجمعي لـ X. كذلك
في حالة الضرب، في حالة الضرب مش كل عنصر له نظير
ضربي. عشان X يكون له نظير ضربي لازم يكون مختلف عن
الصفر. يعني الصفر مستثنى، الصفر. إذا كان X غير، لا مختلف
عن الصفر، ففي عنصر واحد there exist unique element
نرمزه بالرمز X⁻¹ ينتمي لـ ℝ بحيث لو
ضربت الـ X هذا مع العنصر هذا بيطلع عندي المحايد
الضربي أو multiplicative identity
العنصر هذا بنسميه النظير الضربي أو multiplicative
inverse
إذاً ما هو الـ real number system؟ هو عبارة عن مجموعة
الأعداد الحقيقية هذه، معرف عليها two binary
operations، عمليتين جبريتين. واحدة بنسميها الجمع،
واحدة بنسميها الضرب. والعمليتين هدول بيحققوا خمس
خواص مهمة، اللي هي الخمس خواص اللي سردناها قبل شوية
Okay، تمام. هذا هو نظام الأعداد الحقيقية. احنا الآن
بدنا ندرس خواص الأعداد الحقيقية هذه. فأول
خاصية، وهذه الخواص كلها خواص طبيعية ومعروفة، وانتوا
عارفينها قبل هيك، بس ما حدا كان بيعطيها أسماءها.
الآن بدنا نسمي الأشياء، بنعطي الأشياء أسماء أو
مسميات. فأول نظرية في الـ section هذا بتعطيني
cancellation laws أو قوانين الحذف. قوانين الحذف إيه
يعني؟ قوانين الحذف النظرية هذه بتقول لو كان في عندي
X و Y و Z و W أعداد حقيقية، و W مختلف عن الصفر،
فالنتائج
التالية بتكون صحيحة. لو كان X + Z = Y + Z
فبقدر أنا أجيب الـ Z وأشطب الـ Z مع الـ Z وأقول
أستنتج أن X لازم تطلع = Y. إذاً أنا إيش عملت؟
حذفت. فهذا cancellation، أحد الـ cancellation laws.
أحد قوانين الحذف. القانون الثاني بيقول لو كان عندي
X × W = Y × W، فممكن وطبعاً لازم W ما يساويش
0 عشان القسمة على 0 غير معرفة. فبقدر أنا أقسم على W أو
أشطب W أو cancelling W، وأقول إنه لو كان هذا صحيح
فأكيد لازم يطلع X = Y، بشرط أن W ما يساويش 0. أما
لو W = 0 فهذا الكلام nonsense، يعني هراء، ليس له
أساس رياضي. طيب هذه القوانين بدنا نثبتها، شو عرفناها
صح؟ فبدنا نستخدم الآن تعريف نظام الأعداد الحقيقية
أنه عبارة عن مجموعة ℝ وعمليتين جبريتين بيحققوا خمس
خواص. من خلال الخمس خواص دول بدي أحاول أثبت
صحة القوانين هذه اللي هي cancellation laws. أنا
أخترت لكم أثبت الثاني لأنه الأول أسهل دائماً.
ال التعامل مع الجمع أسهل من الضرب. فنشوف برهان الجزء
الثاني، وطبعاً برهان الجزء الأول هيكون بالمثل، مماثل.
فاحنا في رياضيات ما بنحب التكرار والحكي كثير لما
يكون في حاجة مماثلة، فنقول ممكن برهانها بالمثل، و
بنسيب الطالب يتدرب عليها أو يعني يحاول يتمرن عليها
أو يثبتها بنفسه لأنها هتكون مماثلة ونفس الفكرة. و
في الرياضيات، أنتم عارفين الأفكار، إذا احنا عرفنا
الأفكار، يعني ملكنا الحل. Okay، نشوف برهان الجزء
الثاني. أنا بدي أثبت إيش الـ... إيش الفرض؟ أنتم كلكم
درستم مبادئ رياضيات، هذا conditional statement، هي
المقدم، وهي التالي، هي الفرض، وهي النتيجة. فبنفرض إنه
الفرض هذا صحيح، يعني هذا صح. الآن بنثبت النتيجة، بنعمل
direct proof، برهان مباشر، صح؟ يعني بدي أثبت النتيجة
فهي النتيجة بدي أثبت X = Y، هي الـ X. الآن الـ X
هذه من الخواص الخمسة، ممكن أبدل X بـ 1 × X لأن
1 × X عبارة عن X. الآن هذه عملية الضرب
commutative، إبدالية. فممكن أبدل. الآن هذا الواحد
هبدهله W × W⁻¹. وهذا صحيح. طيب الآن أنا في عندي
عملية ضرب، عملية associative، فبحاول أن أنا إيه
أستخدم الـ associative law. هين استخدمته. الآن XW من
المعطيات، أنا عندي X × W = Y × W. إذاً أنا
هشيل XW وأضع مكانها YW. وبالتالي صار عندي الكلام
هذا، لأن بستخدم الـ associative law، تغير ترتيب
الأقواس. وهذا برجعه = 1، وبستخدم الـ
commutative law، فبيطلع عندي في النهاية Y. إذن هين
أثبتت إن X = Y. وهنا في البرهان استخدمت بعض
الخواص الخمسة تبقى. الـ real number system أو نظام
الأعداد الحقيقية بظبط زاد الـ logic، المنطق، أو
أساسيات الرياضيات. إذاً هذا هو إيه البرهان؟ برهان
الجزء الأول مماثل، فهي اللي كتبلكم exercise، يعني
اتمرنوا عليه، اتمرنوا عليه، يعني حاولوا تكتبوه بنفس
الطريقة. تمام، واضح البرهان؟ واضح. في أي سؤال؟
Okay، تمام. طيب نشوف كمان نظرية ثانية، نظريات لسه
حاجات بسيطة. نشوف النص تبع النظرية، أنا عندي ضايل
دقيقتين. ممكن احنا تبعين رياضيات، يعني بنحب نستغل
وقتنا كثير، وكل دقيقة أنا اه... هذه نظرية طويلة. طيب مش
مش لازم بس، هنحاول نشوف النص تبعها، وبعدين المرة
الجاية بنبرهنها. هذه النظرية فيها عشر أجزاء. النظرية
هذه بتقول إذا أخذت أي أربع أعداد حقيقية XYZW، وإذا
كان الـ Z والـ W مختلفين عن الصفر، فالخواص
التالية كلها صحيحة وهي أول خاصية لو ضربت أي عدد
حقيقي في صفر المفروض يطلع لعدد الصفر ال additive
ال additive identity الآن هذا ال additive inverse
لـ X لما آخذ ال additive inverse لـ X مرتين كأن إيه
رجعت لـ X زي المصفوفة آخذ ال inverse للمصفوفة
مرتين تطلع المصفوفة نفسها شبيهة فيها صحيح؟ طيب برضه
نفس الحاجة لما آخذ ال multiplicative inverse مرتين
هذا بيساوي العنصر نفسه هذا صحيح طبعًا هنا بشرط w
مايساويش صفر في الضرب دائمًا بنكون ... نحاول نكون
careful حريصين أنه إيه الحاجة اللي بدنا نجيبلها
multiplicative inverse ما تكونش بتساوي صفر لو ضربت
العدد سالب واحد هذا real number في X كأن ضربت X في
سالب فهذا نفس الشيء لو ضربت X في سالب Y نفس الشيء
كما لو أني ضربت X في Y وضربت الكل في سالب واحد أو
هيك كل هذا صح لو أخذت negative X و جمعتها على
negative Y كأن أخذت X زائد Y وضربت في سالب هذا كله
صح طيب لو ضربت negative x في negative y كأنني ضربت
x في y هذا برضه صحيح لو جمعت x على z و y على w و
جمعتهم فهيطلع عندي ال ... من واحد المقامات و
العملية الجبرية هذه المعروفة أخيرًا الخاصية الأخيرة
هذه لو أنا فيها عندي عددين حقيقيين كان حصل ضربهم
بيساوى صفر فلازم واحد على الأقل منهم بيساوى صفر فإما x
بيساوى صفر أو y بيساوى صفر وهذه ممكن مرت معكم في
المبادئ عفوًا هذا أكيد مرت معكم في المبادئ كمثال
على indirect proof على برهان غير مباشر حاولوا أنكم
أنتم تفكروا في براهين الحاجات هذه والمرة الجاية
إن شاء الله نحاول نبرهن بعض الأجزاء okay تمام ال
... ال material هذه هأحطها على الصفحة بتاعتكم ممكنكم
أنكم تنسخوها و تأخذوها و تشوفوها فبالتالي مافيش
داعي أنكم تكتبوا لأن ممكن تنسخوها و تحطوها على ال
laptop تبعكم أو على ال computer okay تمام هنوقف
هنا وإن شاء الله المرة الجاية بنكمل وبنجيب لكم
معلومات جديدة عن توزيع الدرجات والامتحانات في حد
عنده أي سؤال أو استفسار
اه من ... هنحط لكم يعني اه هنحط لكم يعني إن شاء الله
يعني كام كبير له يعني يكون يكفيكِ من هالشهر okay
تمام؟ في أي سؤال ثاني؟ okay شكرًا لكم وإن شاء الله
نشوفكم المرة الجاية ونلتقي يوم الاثنين إن شاء
الله