بسم الله الرحمن الرحيم عزيزي الطلاب السلام عليكم
ورحمة الله وبركاته في فيديو جديد سنشرح من خلال
section 5-5 بعنوان in the finite integrals and the
substitution method في هذا ال section سنتعرض لحساب
التكامل المحدود باستخدام طريقة التعويضوهي لها
علاقة بقاعد سلسلة درسناها بالتفاضل لكن نستخدمها
بطريقة لواء عكسية سندرس الطريقة والتعوضات باستخدام
عدد كبير من الأمثلة وأسئلة الكتاب نأخذ مثال واحد
كان مطلوب ان يكون حساب تكامل
طبعا هنا نحن نحاول نبحث عن تعويضة تسهل صورة
التكامل اللي قدامنا لو فرضت انا ال U تسوى X تكعيف
زائد X فمشتقته حددني اللي هو تلاتة X تقريبا زي
واحد DX فبصير التكامل يقص خمسة في DU صح بالصورة
هذه بحيث صار بسيط طبعا هنا السؤال هذا بالحالة شرب
التعويضة هذه يعني واحد ثاني استخدم التعويضة
التانية ناخد تلاتة X تقريبا زي واحدمش تقدر تقدر
تقدر تقدر تقدر تقدر تقدر تقدر تقدر تقدر تقدر تقدر
تقدر تقدر
والخطوة الأخيرة بنرجع ال U ونعود عن قيمتها اللي
فرضنا إيه؟ اللي هي XKK بزاد X فبصير الجواب XKK
بزاد X هو 6 على 6 ثابت ناخد سؤال تاني تكامل جدر ال
2X زاد 1 DX طبعا هنا أنا عندلو أخدت الـ U تسوي تحت
الجدر الـ 2X زي 1 فالـ DU ستسوي 2DX نعود عنها
الجدر 2X زي 1DX اللي هو ناخد الـ U ناخد الـ 2X زي
1 والجدر هو أص نص القوة أص نص وانا عندنا اللي هو
بالنسبة لبيت السؤال اللي هو الـ DX من هنا DX بيسوي
نص DU
مثال اتنين مثال
اتنين مثال اتنين مثال اتنين مثال اتنين مثال اتنين
مثال اتنين مثال اتنين مثال اتنين مثال اتنين مثال
مثال اتنين مثل اتنين
مثل اتنين مثل اتنين مثل اتنين مثل اتنين مثل اتنين
مثل اتنين مثل اتنينولو أخدت الـ U تسوّي الـ 2X زي
1 فمشتغط الـ D يحطيني 2DXبنعود على جدر 2x زي 1
بأنه جدر ال U أو U أس نص وDX منها DX ستكون نص DU
فسيصبح السؤال نص في تكامل U أس نص DU تكامل U أس نص
يكون U أس 3 ع 2 سنضيف 1 على النص وسنتجسم القوة
الجديدة 3 ع 2 في نص زي الثابت باختصار تصبح تلت
ورجعله لأصلها 2x زي 1 تصبح تلت في 2x زي 1 أس 3 ع 2
زي الثابتاللي هو الـ Substitution Rule موجودة هي
في تنظرية 6 if u equal g of x is a differentiable
function whose range in the n-interval I and f is
continuous on I then تكامل f of g of x g prime ال
X هي سوى تكامل f of u du تلاحظوا هنا عوضنا عن بدل
g of x بu بصارت بدل f of g of x f of u و g prime
ال x dx اللي هي duلنشوف الكمبل في الأمثلة تكلم
سكتر بـ5D1×5DT واضح أن التعويض سناخده من الزاوية
5D1×5DT فDU يصبح 5DT العوض يصبح سكتر بU
عشان تديني sector بي عشان تديني sector بي عشان
تديني sector tan
تكامل كوزاين سبعة ثيتا زائد تلاتة دي ثيتا نفس
الشيء ناخد ال U سبعة ثيتا زائد تلاتة
وبالتالي اذا عوضنا يصبح لدينا cos U وهي cos U
ودينا Dθ من هنا Dθ تسوى سبع في DU سبعة DU فبصير كل
التكامل لدينا سبعة تكامل cos U وتكامل cos معروف
انه sin U وهي سبعة ثابت ثابت ثابت ثابت ثابت ثابت
ثابت ثابت ثابت ثابت ثابت ثابت ثابت ثابت ثابت ثابت
ثابتتكامل x تربيع في الـ sign تأكس تكعيب DX واضح
أننا سنتعوض لأنك تأكس تكعيب فاخدنا U تساوي X تكعيب
فDU تساوي تلت X تربيع DX ومن هنا بيطلع X تربيع DX
تساوي تلت DU
صين اكس تقيمه بصين U وDX تربيه DX هنعود عنها بتلت
DU فبنسيب الصورة هذه تلت تكامل صين U DU ونسوي سالب
تلت عنها لو الصين U مفروض هنا كوزاين هذا كوزاين مش
تصييه هذا كوزاين بدل الصين هنا كوزاين هنحط هنا
سالب هذا كان كوزاين U في خطأ مطبعي وهنا كوزاين
الصين هذه هي كوزاين تصييه مطبعي هنا كوزاين
تكامل x في جدر 2xز1 dx نفس معنى سؤال زيه بس كان
تكامل جدر 2xز1 ناخد u2xز1 يصبح du2dx يصبح نصف جدر
2xز1 dx يصبح نصف جدر udu وظل ال x منها ان ال x
ممكن نحسبها هي u نقص 1 ع 2فالـ x يساوي u نقص واحد
على اتنين فبصير ان المقدار هيمن الكامله عبارة عن
نص في u نقص واحد في نص جدل u du كله صار السؤال
تكامل نص في نص هيربع تكامل u نقص واحد المنهاد في
جدل u duبنكمل يقص نص يقص
نص يقص نص يقص نص يقص نص يقص نص يقص نص يقص نص يقص
نصفى 2x زي 1 أقص 5 ع 2 نقص 1 ع 6 فى 2x زي 1 3 ع 2
زي 3 تلاقظوا هنا الفكرة كانت في السؤال اللي تختلف
أنه أنا عندي هنا في X فلما فرضنا أن ال U تساوي 2x
زي 1 روحنا جيبنا ال X إبدالة ال U طلعت تساوي U نقص
1 ع 2 يعني من هنا منحلها نطرح و حبس ال U نقص 1 سوى
2x وبننجسم ع 2
تكامل 2zdz على جدب تكييبة لزد تربية زد واحد واضح
أنه هنا لازم نفرض ال U تساوي زد تربية زد واحد لأن
المشتقة مدينة فوق هي U زد تربية زد واحد بصير ان
شاء الله تكامل 2U على U أس تلت يعني U أس سلب تلت
ومضيف واحد بيصير U أس تلتين ودسمها تلتين زاد ثابت
وبرجعالأولى أصلها بصيرت تجاوبها يوهان تلاتة ع
اتنين في زي التربيه زي واحد اصلا تلتين زي نسيط
طبعا صارت تلتة ع اتنين لأن الجسم على تلتين بصيرت
تذكر أننا ضربنا في تلتة ع اتنينهنا في احتياطية
تانية نفترض الـ U تساوي جميع جدر التكييب لـ Z تار
بي زد واحد فبتساوي و ناخد U تكييب D نزد تار بي زد
واحد و منها نشتغل تلاتة U تار بي دي و بيساوي اتنين
Z دي Z بنعود و نصيب التكامل بهذا الصورة و عندنا ان
جسم البسط ع المقام سيرت تلاتة في تكامل U دي U و
بيطلع تلاتة في U تار بي واحد اتنين ثابت و نفجر الـ
U الـ U أصلها و بيطلع نفس الجواب الفورهذه السؤال
حلناها بطريقتين يعني في بعض الأسئلة يمكن أن تعبتين
استخدامها لأن فيها أسئلة ليست تعبيضة واحدة لنأخد
التكميلات اللي فيها سانتر بي إكس وكزينتر بي إكس
فلنستخدم قانونها الفيزيائية ان سانتر بي إكس يسوا
واحد نقص كزين اتنين اكس على اتنين وكزينتر بي إكس
بيسوا واحد زائد كزين اتنين اكس على اتنينلو نتكامل
سانتر بيه x دي اكس فسيصبح
نص في تكامل واحد نخس كزان اتنين اكس دي اكس ويصبح
نص التكامل اكس باكس وكزان اتنين اكس تكامل نص عين
اتنين اكس على اتنين ثابت
تكامل كزان تربيه يصبح تكامل واحد زي كزان اتنين اكس
على اتنين ويصبح تكامل اتنين اكس على اتنين زي كزان
اتنين اكس على اربع زي ثابتعندما نكون عندنا Vsin
تربيع X أو Cos تربيع X نستخدم قانون اللي هو وضع في
الحزاوية درسناه في chapter 1 section 3نقل عدد من
الأسئلة من الكتاب سؤال 11 في الكتاب يقول تكامل 9R
تربيع في DR ع جدر واحد نقص R تكعيب طبعا مرمونا زي
السؤال ناخد U تسوى واحد نقص R تكعيب اذا DU تسوى
تسالب تلاتة R تربيه DR ومن هنا تسوى تسالب تلاتة DU
تسوى تسعة R تربيه DR فبنأيجي اعنقه كمية 9R تربيه
DR على البسطى نحن نحط بدل تسالب تلاتة DUبصير سالب
تلاتة DU وعندك الجدر هذا اللي هو عندك جدر ال U
بيصير عندك تكامل
سالب تلاتة في يقص سالب نص DU بحضرها لأعلى يقص نص
لفوق بيصير يقص سالب نص وتكامل هذا اللي هو يقص نص
على نص يعني نضعه في اتنين بيصير جواب سالب ستة في
واحد نقص R تكيب اص نص زي الثابتتكامل cos2θ فقطان
2θ dθ هذا السؤال له احضرته الحل الطريقة الأولى لو
قررنا ال U تسوي كتان 2 ثتا احنا بنعرف ان مستقل
الكتان سالب كوسيكانت تربيع فانصر D U سوى سالب 2 في
كوسيكانت تربيع 2 ثتا D ثتا إلى منها بيطلع عند سالب
نص D U بسوى كوسيكانت تربيع 2 ثتا D ثتا انعوضتكامل
الـ Q² 2θ 2θ 2θ 2θ 2θ 2θ 2θ 2θ 2θ 2θ 2θ 2θ 2θ 2θ
2θ 2θ 2θ 2θ 2θ 2θ 2θ 2θ 2θ 2θ 2θ 2θ 2θ 2θ 2θ 2θ 2θ
2θ 2θ 2θ 2θ 2θ 2θ 2θ 2θ 2θ 2θ 2θ 2θ 2θ
2θ 2θ 2θ 2θ 2θ 2θ 2θ 2θ 2θ 2θ 2θ 2θ
2θبطريقة تانية ان انا عندي هنا الـ cosecant تربيه
على الفيديو cosecant في كتار فهو بيصير cosecant في
cosecant في كتار احنا بيعرف مش فقط ال cosecant
سارب cosecant في كتار فبالتالي اخدنا ال U تساوي ال
cosecant ديو بيساوي سالب اتنين cosecant اتنين ثيتا
كتار اتنين ثيتا دي ثيتا و منها بيطلع ال cosecant
اتنين ثيتا في كتار اتنين ثيتا دي ثيتا بيساوي سالب
نص في ديو بيساوي سالب نص في ديو نجي نعوض هنا هذه
السؤالعندي الـ cosecant تربيع ناخده من الـ
cosecant تربيع الـ cosecant تربيع الـ cosecant
تربيع الـ U تربيع الـ U تربيع الـ U تربيع الـ U
تربيع الـ U تربيع الـ U تربيظهر نفس الجواب لو قمت
بالتخيل عن واحد ثانية ثانية بيظهر نفس الجواب ناخد
سؤال 25 تكامل Sun أس خمسة X ع تلاتة في كوزان X ع
تلاتة DX ويظهر أننا لازم ناخد الـ U ليه الـ Sun X
ع تلاتة لأن مش تاخد الـ Sun بديني كوزان X ع تلاتة
فناخد الـ U تسوية Sun X ع تلاتة و الـ U تسوية تلت
X ع تلاتة DXمن هنا تظهر تلاتة DU بساوية كزان X ع
تلاتة DX نعود لان السؤال بيصير تكامل تكامل sin
أقصى خمسة بيصير U أقصى خمسة وكزان X ع تلاتة DX زي
ما أخدنا تلاتة DU فبتظهر تلاتة U أقصى ستة على ستة
زي الثابت ورجع لو U أصلها sin أقصى ستة بيصير X ع
تلاتة زي الثابت مضروف في النص لأن تلاتة في النص
دوس بدينا نصأذا أخدنا تكامل sin2tز1 لـ cos2tز1 dt
الـ U تساوي cos2tز1 الـ D U بيساوي سلب 2 sin2tز1
dt و نطلع سلب نص الـ D U يساوي sin2tز1 dt فالتكامل
اللي عندنا نجيه تكامل U is cos تربيع التي هي تربيع
في الـ past sin2tز1 dt هي من هنا بيطلع سلب نص الـ
D U
والتكامل 1 على U تلبيه سلب 1 على U سلب يذهب مع
السلب ويبقى نص في 1 على U يعني 1 2 U ثابت ورجع الـ
U لأصلها
بنشوف سؤال 41 تكامل جدر x تكييب نقص 3 على x ال 11
dx ناخد أول هذا هو x ال 11 عشان ممكن نكتبه عشان
نفس القوانين x ال 3 و x ال 8 x ال 3 و x ال 8 و ال
x ال 8 تحت الجدر بتطلع 1 على x ال 4 بصير بالصورة
هذه و x ال 3 على x ال 3 بتجسم باص مازال باص على
المقام بصير بالصورة هذه واحد نقص 3 على x التكييب
ناخد ال whole u تحت الجدرمشتقت الـ 1 نقص ثلاث عكس
تنكيب مشتقت الـ du بسوء 9 على x4 dx لمشتقها ومنها
بيطلع 9 du بسوء 1 على x4 dx نعوض هنا بيصير 1 على
x4 dx هنحط بدله duأو في التسعة والجدر هنجد ال U
وان كامل هذا بيصير بالصورة ال U أس نص الجدر نضيف
واحد عليه بيصير U أس تلتة على اتنين وضرب تلتين او
مجسوم على تلتة على اتنين وضربه في تلتين و تلتين في
واحد على تسعة بدين اتنين على سبعة وعشرين زي الثابت
ورجع ال U الأصلها اللي هي واحد ناقص تلتة على extra
cube أس تلتة على اتنين زي الثابت
تكامل x هو x نقص واحد اقص عشرة dx خلّى يتساوى x
نقص واحد ف ال du بيساوى dx و ال x نفسها اللي هنا
عبارة عن u زي واحد فالسؤال بيصير تكامل لأن تكامل
بدل x هنحط u زي واحد و ال x نقص واحد واحد هنحط بدل
u اقص عشرة du ينوزع الوضع u اقص عشرة du بيصير u
اقص احدة اعزاز u اقص عشرة du تكامل بسيط بسيط ان هي
هالعن نفس الخطوة يقص عشرة يقص عشرة يقص عشرة يقص
عشرة يقص عشرة يقص عشرة يقص عشرة يقص عشرة يقص عشرة
يقص عشرة يقص عشرة عشرة عشرة عشرة عشرة عشرة عشرة
عشرة عشرة عشرة عشرة عشرة عشرة عشرة عشرة عشرة عشرة
عشرة عشرة عشرة
عشرة
تختار التعويضة المناسبة، طبعاً في أسئلة لا يمكن
تعويضها واحدة معها، في أسئلة لحظة ممكن أكتر من
تعويضة حتى لو اختلف ناتج أو شكل الجواب لكن يكون
الجواب صحيح خاصة في الدول المثلثية في نهاية هذا ال
section أتمنى لكم التوفيق والسلام عليكم ورحمة الله
وبركاته