إذن في المحاضرة هذه ان شاء الله هنحل بعض التمرين
لل homework اللي تابع ل section تلاتة واحد و تلاتة
اتنين فأزملتكم تسأل عن ال .. نحن نحل السؤال 13
section تلاتة واحد
نكتب السؤال على اللوحة سيكشن
السؤال 13section تلاتة واحد انا
عندي بي is real number اكبر من سفر اصغر من واحد
وبينا
نثبت show انه ال limit
للـ sequence اللي الحد العام تبعها n في d to n لما
n تقول infinity بساوي سفر والكتاب جايلكم
use ال binomial theorem كما في مثال 3 1 11 الجزء
ديفلو حاولتوا تستخدموا نفس أسلوب البرهان تبع
المثال اللي استخدمنا فيه ال binomial theorem
فهتصلوا للنتيجة فهي البرهان نشوف
كيف نستخدم ال binomial theorem في الوصول إلى
المطلوبأنا عندي من الفرض سفر أصغر من بي أصغر من
واحد هذا بيؤدي ان واحد على بي أكبر من واحد
وبالتالي هذا بيؤدي ان واحد على بي سالب واحد أكبر
من سفر اذا ناخد letlet a خلّيني اعرف عدد a على انه
العدد الموجب واحد على بي سالب واحد طبعا هذا عدد
موجب حسب ما شوفنا وهذا
بيقدّي انه العدد لو حليت المعادلة هذه في بي فهيطلع
بي بساوي واحدعلى واحد زائد ال a وبالتالي
so by ال binomial باستخدام
ال binomial theorem انا عنديواحد زائد a الكل قص n
بيساوي واحد زائد n في a زائد نص n في n سالب واحد
في a تردية زائد و هكذا تمام
إلى آخر حد طبعا هيكون a to nهذا بالظبط زي ما عملنا
في مثال سادة وبالتالي
هذا بيقدي من هنا هذا
المجموعة بيطلع أكبر من أو ساوي نصفي n في n زي سالب
واحد في ايه ترميها يعني أنا أخدت بس الحد التالت من
المجموعة ده المجموعة طبعا مجموعة أعداد موجة بكلها
فالمجموعة ده بالتأكيد أكبر من أو ساوي الحد التالت
في ايه هذا صحيح مافي مشكلة تمام
وبالتالي اذا n في b أس n ايش بيساوي بيساوي n على
واحد زائد a لكل أس n صح؟هذه B ف B أس N بساوي واحد
على واحد زاد A to N و أضرب في N فبصير هيك طيب
من هنا مقلوب واحد زاد A لكل أس N هيطلع أصغر من أوي
ساوي مقلوب العدد هذا اذا هذا أصغر من أوي ساوي N
على N في
N سالب واحد في .. في N سالب واحد في ايه تربية على
اتنين وفي عندنا كمان N العكس
العكس
هي عندى n ومقلوب هدا بطلع اتنين n في n سالب واحد
في a تربية تمام؟ إذا هدا إيجا من هنا الان بختصر ال
n مع ال n فهدا بطلع اتنين على n سالب واحد في a
تربية تمام؟
الان هذا الكلام صحيح لكل n أكبر من واحد طبعا ممنوع
أخد n بساوي واحد لأنه في الحالة هذه بيصير في قسم
على سفر لأن لكل الأعداد الطبيعية n أكبر من واحد n
في bios n بيطلع أصغر منه يساوي اثنين على n سالب
واحد في a تربية الان تعالوا نثبت ان ال limit لل
sequence هذه بساوي سفر
هنستخدم تعريف epsilon capital N لـ limit لذن let
epsilon let
epsilon أكبر من سبل be given by
Archimedean property by Archimedeanproperty حسب
خاصية Archimedes يوجد نقدر نلاقي عدد طبيعي capital
N ينتمي إلى N يعتمد طبعا على إبسلون بحيث أنه مقلوب
capital N أصغر من A تربية في إبسلون على 2
الـ A تربي عدد موجب إبسلون على 2 عدد موجب إذا هذا
عدد موجب الـ Archimedean property بتقول لأي عدد
موجب زي هذا بقدر ألاقي عدد طبيعي capital N مقلوب
وأصغر من العدد الموجب وبالتالي capital N هذا زي ما
أنتوا شايفين مرتبط بإبسلون بالمتباينة هذه وبالتالي
capital N هذا depends أو يعتمد على إبسلونOkay إذا
هذا من الـ Archimedean Property طب ليش أنا أختارت
هذا العدد عشان نخل المسافة بين Xm و 0 أصغر من Y
فرطبناها أو ركبناها عساس نصل لإيه الهدف هذا تعالى
نشوف إذا hence وبالتالي hence بناء على ذلكلو أخدت
n أكبر من capital N هذا بيقدي ان n سالب واحد أكبر
من أو ساوي capital N وهذا بيقدي ان absolute n في b
to n سالب صفرإيش هذا بيساوي بيساوي n في بيقص n لأن
هذا عدد موجب ومن هنا من هنا n في بيقص n أصغر من أو
يساوي اتنين على n
سالب واحد في a تربية وهذا
أصغر من أو يساوي
هذا أصغر من أوي ساوي واحد على capital M في اتنين
على A تربية يعني
أنا من هنا منواحد على N سالب واحد مقلوب N سالب
واحد هيطلع أعظم أسئلة مقلوب capital N وهذا
عبارة عن واحد على N سالب واحد اتنين على A تربية
فمقلوب n سالب واحد اصغر من او ساوي مقلوب capital N
في اتنين على ا تربية تمام؟ شفتوا من اين اتيت؟
طيب انا من هنا من هنا واحد مقلوب capital N اصغر من
ا تربية في ابسلون على اتنين ضربتنين على اي تربية
اذا شوفت ليه اخدت ان هنا اي تربية في ابسلون على
اتنين عشان اختصر اي تربية مع اي تربية واتنين مع
اتنين ويبقى ابسلون اذا
ماذا اثبتنا اثبتت انه لأي given ابسلون عدد موجب
يوجد capital N تعتمد على epsilon بحيث لكل N أكبر
من capital N طلع عندي المسافة بين الحد العام لل
sequence اللي هو N في BN وال limit المنشودة اللي
هي سفر المسافة بينهم طلعت أصغر من epsilonإذا حسب
تعريف epsilon capital N لل limit هذا معناه أنه ال
limit بما أن هذا صحيح لأي epsilon، epsilon was
arbitrary إذاً هيك ممكن أثبتنا إن limit N في B to
N as N tends to infinity بساوي سفر وهو المطلوب
okay تمام؟ إذاً
هنا استخدمنا ال binomial theorem ساعدتنيفي الوصول
للمتباينة هذه و الوصول للمتباينة هذه اللي احنا
استخدمناها في البرهان سهلة البرهان تمام بفهم
الخطوة هذه اقول ان ال limit يعني اخد ال limit
للترفين اقول ان واحد على n نقص الواحد ماهي cost
zero اذا ال limit المقدراتمن أنهي المتباينة؟ هذه؟
بنفع اه بنفع يعني انت عندك هنا ممكن واحد يستخدم ال
sandwich او ال squeeze theorem فبدل ما نستخدم
تعريف epsilon capital N نيجي نقول انه الان انا
عندي هاي Nفي b to n طلعت أصغر من أو ساوي اتنين على
n سالب واحد في a تردية وطبعا بالتأكيد هذا أكبر من
أو ساوي سفر لأن ال n عدد موجب و ال b to n عدد موجب
وهذا صحيح لكل n أكبر من واحدالان هذا عبارة عن
sequence هي الحد العام تبعها لما N تقول ل infinity
مقلوق N سالب واحد تقول ل infinity وبالتالي مقلوبها
يقول ل infinity فى ثابت موجة باتنين على A تربية
عفوا لما N تقول ل infinity المقام بيروح ل infinity
وبالتالي مقلوب وبروح ل سفر تمام؟
إذن هذه الـ sequence تقول لـ 0 نهايتها 0 وهذه ال
constant sequence 0 نهايتها 0 إذن by squeeze
theorem limit ال sequence هذه بيساوي 0 وبلاش
نستخدم تعريف epsilon capital N لكن هذا السؤال في
section 3-1 ماكناش ماخدين ال squeeze theorem فلازم
اتحاليها على طريقة باستخدام ال definition لكن لو
في الامتحانو ممكن ماتفرجش انت متعلم ال definition
و متعلم ال exquisite theorem و استخدم أي طريقة
تعجبك okay تمام في
أسئلة تانية في حد عنده أي سؤال تاني في section
تلاتة واحد و تلاتة اتنين تفضلي في أي section تلاتة
واحد طيب ماشي الحالة
السؤال عشرة section تلاتة واحد السؤال هذا بيقول if
limit sequence x in بساوي xوالـ X هذا أكبر من
السفر then
then
there exist يوجد capital N عدد طبيعي او capital M
natural number عدد طبيعي such thatxn أكبر من السفر
لكل n أكبر من أو ساوي م لت
y أكبر من السفر be given
خد أي إبسلون أكبر من الصفر إذن
إبسلون على اتنين برضه بيطلع عدد موجة طيب
احنا فرضين ان limit xn بيساوي x إذن since xn
converges to xوهي إبسلون على اتنين عدد أكبر من
السفر إذا يوجد capital M عدد طبيعي يعتمد على
إبسلون عدد
طبيعي بحيث أنه لكل N أكبر من أو ساوي capital M
تطلع المسافة من XNهو ال X أصغر من Y أتنين طيب
أنا ال epsilon هذا
ممكن اخده انا عندي من الفرض x اكبر من 0 فممكن اخد
ال epsilon هذا بساوي x بساوي
x انا
ممكن اخد ال epsilon بساوي x او حتى x ع 2 او x ع 2
هذا بالتأكيدالإبسلون هذا هي عدد موجب اعتبره هو
given وبالتالي
انا اخدت الأن إبسلون X عدد موجب إذا X عتنين عدد
موجب واخدت إبسلون عبارة عن X عتنينفاعتبر هذا given
إبسلون إبسلون مُعطى مُسبَخًا فحسب التعريف بما أن X
in converge ل X إذا يوجد عدد طبيعي يعتمد على
إبسلون بحيث لكل in أكبر من أو ساوي capital N
المسافة هذه أصغر من إبسلون الآن عوض عن إبسلون
بساوي X ع 2 فهذا بيؤديالان فك ال absolute value
فبطلع عندي xn سالب x أصغر من x ع 2 أكبر من سالب x
ع 2، مظبوط؟
طب
لو أخدت هذا الجزء من المتباينة
فبصير عندي xn أكبر من ودي x على الناحية التالية
أكبر من x سالب x على 2 وبالتالي
إذا أنا عندي هاي xn أكبر من x على 2 وهذا أكبر من
السفرتمام؟ وهذا صحيح إذا طلع عندي xn أكبر من السفر
وهذا صحيح لكل n أكبر من أو ساوي capital M وهو
المطلوبتمام إذا هنا استخدمنا تعريف epsilon capital
M وهنا استنتجنا إن لازم xn يطلع أكبر من السفر لكل
M أكبر من أو يساوي capital M تمام واضح البرهان طيب
في أي أسئلة تانية؟
section تلاتة اتنين مين
عنده سؤال اي سؤال في اي section تلاتة اتنين تلاتة
اتنين سبعتاش
section تلاتة اتنين
أنا في عندي هنا sequence of positive real numbers
إذا xn حدود عموجة بقى لكل n such
that limit ل
xn زاد واحد على xn لما n تقول infinityبساوي عدد ال
أكبر من واحد و المقلوب show اثبت في الحالة هذه ان
ال sequence
xm is
unbounded is not bounded
and hence not
convergent لأن لو كانت convergent تطلع bounded
يعني من الشرط هذا ممكن تباطم الـ sequence
increasing متزايدة
أه ..
ممكن نعمل برهان بال .. بالتناقض افرم
انها bounded وممكن نصل لتناقض من تعريف ال .. هنا
ال sequence هذه of quotient convergent لعدد L أكبر
من واحد ممكن باستخدامه
باستخدام تعريف الـ convergence زاد او
ممكن من الفرض هذا لثبت انه ال sequence unbounded
او ممكن بالتناقض اما باستخدام تعريف epsilon
capital N من ال convergence هذانعمل برهان بالتناقض
لنصل إلى هاجة يعني تتناقض مع الفرض اللي هنا على أي
حال انا هسيب في حد حل السؤال هذا طيب انا هسيبكم
تفكروا فيه و تقرؤوا برهان شوفوا برهان انا في
البرهان النظرية هذه اللي كانت قلتلكم اقرؤوا
فحاولوا انك تتسفيدوا من البرهان تبع النظريةاللي
كانت بتقول إن لو كانت ال limit هذه بساوي L أصغر من
واحد فبتطلع ال sequence convergent للصفر فإقرأوا
البرهان تبع النظرية هذه وشوفوا كيف يعني النظرية
هذه أثبتت وشوفوا لو كان ال L أكبر من واحد كيف
بيطلع البرهان إيش اللي بيخل البرهان هذا يبطل صحيح
أه فعيدوا قراءته و حالكم تحلوه و إذا ما حلتوهوش
يعني المرة الجاية ممكن تحلوا مع بعض أه ماشي الحال
فإقرأوا
برهان النظرية اللي سيبنا قولنالكم البرهانها موجود
في الكتاب و بدي أكم تقرأوا تفهموا هل قرأتوا
البرهان؟حاولوا تقرأ ايه حاولوا تتعملوا ايه تشوفوا
وين في البرهان ال ال اكبر من واحد بتخلي البرهان
يبطل صح وين المشكلة وشوفوا
اذا كانوا تقدروا تحلو ولا لأ اذا انا هاسيبكم
تفكروا فيه مرة تانية و تحاولوا تحلوه اذا ماعرفتهوش
ممكن نحله مرة تانية او في المرة القادمة نعم مين
اللي بتحكي هذهماحدش لو سمحته تحكي إلا غير ترفع
إيدها الأول و بعدين أقزمها طيب إذا هذا السؤال
هنسيبكم يتفكروا فيه مرة تانية في أي أسئلة تانية
section تلاتة اتنين أو تلاتة واحد
في حد عندها سؤال في نفس
ال section نعم فالقادة ماعطينا sequence انه احنا
نشوف اذا هي تتجوز و لا تتجوز استخدمت ال ratio test
نعم طلعت ال limit بتساوي واحد و احنا الشرط ان تكون
ال limit اقل من واحد صح فالقادة هذه بتطلع تطلع ال
limit ل sequence لو معطنيها تساوي zero
لأ لازم يكون أصغر من واحد مابتساويش الواحد معناته
ال test بيفشل لأ هي سوى واحد إذا بالساوية واحد
ارجعي لهي تمرين 16 بقول إذا كانت ال limit بالساوية
واحد فممكن
تكون ال sequence convergent أو divergent يعني هذا
ال test ال ratio test بيفشلهي في سؤال 16 هتجيب
بمثالين اول شي اذا كانت ال limit هذه بالساوي واحد
فهتجيب بمثالين ال limit تبع ال quotient تبع كل
واحدة بالساوي واحد لكن واحدة convergent واحدة
divergent وبالتالي ال test هذا بيفشل اذا كانت ال L
بالساوي واحد اما لو كانت ال L اصغر من واحدفال
sequence xn تطلع convergent للصفر إذا كان ال L
أكبر من 1 فال sequence تطلع divergent okay تمام
هذا هو ال ratio test فهل جبت أمثلة؟ كويس ممتاز طيب
إيش دخل دي؟ دي معناته بدك تستخدم طريقة تانية غير
ال ratio test صحيح لأن حسب سؤال 16الـ test بيفشل
إذا كانت limit ال ratio ال ratio test بيفشل إذا
كانت limit لل ratio بساوي واحد وبالتالي بدك تبحث
عن طريقة تانية
طيب في أسئلة تانية في
section تلاتة واحد و تلاتة اتنين في عندكم أي سؤال
مافيش أسئلة لسه مش دارسين مش محاضرينكان واحدة بس
لدرسة و هم اللي بيسألوا الأسئلة والباقي مستمع طيب
بتحبوا نرجع لأسئلة chapter اتنين في أسئلة في
chapter اتنين اذا
في عندكم أسئلة في section اتنين
اربعة
السؤال هذا يعني في الكتاب أعطيكم hint كيف
يعني تحلوه موجود في نهاية الكتاب فحاولوا تقرا أيه
تقرا ال hint هذا و تستفيدي منه و تشوفي يعني هذا
أكيد هساعدك في حل السؤال شفتيه قبل هيك؟طيب طلعي
خلف الكتاب فيه hint او ارشادات لبعض التمرين
بيعطيكي يعني طريقة مقتضبة لحل او بحط رجلك على طريق
الحل فحاولي تقرا ايه و تستفيدي منه و اذا فهمتي
الارشاد هذا ممكن تحل السؤال فانتي و زمايلكتطلعوا
على الإرشادات هذه تبعت التمرين أو بعض الحلول
المختصرة و حاولوا تستفيدوا منها و تفصلوها و تكتبوا
الحل بطريقة واضحة و كاملة فهسيبكم
تقرؤوا الإرشاد و تحاولوا تستفيدوا منه أي أسئلة
تانية في section 2 4 2 3 2 2إن واحد الجزء اللي
داخل الامتحان، في عندكم أي سؤال فيه؟ منين في عندها
سؤال؟
في أسئلة كتير حلوة ومهمة ويا بدوا أنكم مش مدرسين
ولا حتى مستعدين للامتحان
في اي اسلة في chapter 2 او chapter 3 الجزء الداخل
في الامتحان
فيش أسئلة؟ طيب
أنا هحللكم يعني كمان سؤالين واحد من section تلاتة
واحد وواحد من تلاتة اتنين
خليني
أحل السؤال
يعني مثلا يعني
مثلا السؤال الخامسة
السؤال
الخامسة الفرح دي section تلاتة واحدuse definition
use definition of limit to
establish انه
ال limit لإن
تربية سالب واحد علىتنين انتر بيه زائد تلاتة ال
sequence اللي حد العم تبعها الكاسر هذا بيساوي نص و
بيثبت ان ال sequence هذي convergence و نهايتها نص
بيستخدم ال definition ماهو ال definition المقصود
في هنااللي هو تعريف epsilon capital N لل limit أو
للنهاية تعريف epsilon capital N طيب انا
في النهاية في نهاية المطاف تعريف epsilon capital N
عايزني أثبت أن المسافة بين xn اللي هو enter بيها
سالب واحد على اتنين enter بيها زائد تلاتة سالب نص
بدنا هذا يكون أصغر من أي given epsilon عدد موجه
لكل n أكبر من أو ساوي capital N حيث capital N عدد
طبيعي هنجيبه ويعتمد على ال epsilonفنشوف مع بعض هذا
إيه من الآخر طيب إذا هنا solution إذا بقول أنا
عايز في النهاية absolute interview سالب واحد على
اتنين interview زائد تلاتة سالب مصر بسأل نفسي متى
هذا بيكون أصغر من أي epsilon موجب هذا بكافئ
الـ absolute value بين واحد المقامات هي اتنين في
اتنين انت ربيع الزائد تلاتة و بيصير عندنا اتنين
انت ربيع سالب اتنين تضرب هذا في اتنين سالب اتنين
انت ربيع موجة بتلاتة لان هذا المقدار اللي فوق
بيبقى اصغر من epsilon
طيب أنا عندي اتنين in تربية و هاي سالب اتنين in
تربية بروحوا مع بعض و عندي سالب اتنين و السالب
تلاتة بطلع خمسة يعني دلوقتي بصير absolute سالب
خمسة على اتنين في
اتنين in تربية زائد تلاتة
بدي هذا يكون أصغر من ي طيب
هاد عبارة عن خمسة هاد
عبارة عن خمسة على اتنين اتنين enter بيها زي
التلاتة
متى بيكون هذا أصغر من epsilon هذا
بكافئ هذا
بكافئ ان اقول واحد متى بيكون واحد على اتنين انتر
بيه زائد تلاتة أصغر منإتنين على خمسة إبسلون طيب
إذا
أنا ممكن أستخدم ال Archimedean property إذا هنا
let إبسلون أكبر من السفر بجبل
نبدأ بأبسلون أكبر من السفر تعريف epsilon capital N
بيقول ابدا بأبسلون أكبر من السفر و جيب capital N
بحيث أن المسافة بين XN و X أصغر من إمسون لكل N
أكبر من ما يستوى capital N بحيث أن المسافة بين XN
و X أصغر من إمسون لكل N أكبر من ما يستوى capital N
بحيث أن المسافة بين XN و X أصغر من إمسون لكل N
أكبر من ما يستوى capital N بحيث أن المسافة بين XN
و X أصغر من إمسون لكل N أكبر من ما يستوى capital N
بحيث أن المسافة بين XN و X أصغر من إمسون لكل N
أكبر من ما يستوى capital N بحيث أن المسافة بين XN
و X أصغر
من إمسون لكل N أكبر من ما يستوى capital N بحit
choose it choose طبعا
by Archimedean property capital
N عدد طبيعي بحيث انه واحد علىإتنين في capital N
تربية زائد تلاتة أصغر من اتنين على خمسة epsilon
ممكن
ألاقي capital N عدد طبيعيمقنوب 2 في مربع زائد
تلاتة طبعا تلاتة مش epsilon واحد على اتنين enter
key زائد تلاتة اصغر من اتنين على خمسة epsilon الان
اذا لو اخدت small n اكبر من أوسع ال capital N هذا
بيقدي انه واحد علىتنين انت ربيع زائد تلاتة او بلاش
absolute اه بيقدي ان absolute طيب
هذا بيقدي ان الكلام هذا اصغر من او يساوي واحد على
اتنين capital enter بيه زائد تلاتةوبالتالي هذا
بيقدي ان ال absolute value لان تربية سالب واحد على
اتنين ان تربية سالب تلاتة سالب نص طلع هذا
خمسة على اتنين
في اتنين enter بي عزائى التلاتة
وهذا هيطلع أصغر منه ويسوي خمسة على اتنين في اتنين
capital Interbias زاد تلاتة ومن هنا هذا أصغر من
خمسة
على اتنين ضرب اتنين على خمسة في epsilon اللي هو
بيطلع epsilon
أذن هذه لأي epsilon أكبر من صفر لجيت فيه capital N
مرتبطة لcapital N هي في epsilon depends on epsilon
بتعتمد على epsilon بحيث لكل n أكبر من او سوى
capital N طلع absolute xn minus x أصغر من epsilon
طبعا إذا هذا حسب تعريف by definition of epsilon
capital N of limit بطلع عندي limit N تربيع سالب
واحد على اتنين N تربيع زائد تلاتة لما N تقول
infinity بساوي نص
بالمثل ممكن نحل باقى التمرين اللى هى الفروع A وB
وC باستخدام التعريف فحاولوا تتدربوا على التمرين
هادى و تحلوا أسئلة زيها فى حد عنده أي سؤال تانى فى
هذا ال section طيب
نحل كمان سؤال فى section تلاتة اتنين
في انكم أي سؤال بسكتشن تلاتة اتنين اخر
سؤال
هي سؤال واحد وعشرين section تلاتة
اتنين suppose
افترضي ان ال sequence x in converge ل x and ال
sequence y inand yn is such that is a sequence
such that for any epsilon for
any epsilon أكبر من السفر يوجد
m بحيث يوجد عدد m such that
absolute xn minus yn أصغر من إبسلون لكل N أكبر من
أو ساو كابتل N فالسؤال
does it
follow هل
ينتج من ذلكهل ال sequence yn تطلع
convergent فنشوف
مع بعض
كمان مرة اندي two sequences واحدة x in واحدة y in
ال sequence x in مُعطَى انها convergent to some x
إلى عدد ما x ال limit تبقى تاكس وال sequence y in
بتحقق الشرط هذا وهو
انه لأي epsilon أكبر من سفر في عدد طبيعي حتى هذا
عدد طبيعي المفروض يكونبنشر ال number بحيث انه لكل
n أكبر من ما يستوى capital N المسافة بين xn وyn
أصغر من نفسها هل هذا بيقدم ال sequence yn
convergent؟ هنشوف الآن أن فعلا تطلع ال sequence yn
convergent ونهايتها هي نفس نهاية ال sequence xn
لأن هنا الإجابة yes
and y in converge to x لكن
هذا بيده برهان اذا
to see this
نبدأ
بإبسلون أكبر من السفر
let by hypothesis من الفرض من
الفرض من ال hypothesisأنا عندي absolute xn minus
yn أصغر
من إبسلون أكبر من أو ساوي سفر وهذا صحيح لكل n أكبر
من أو ساوي capital M وهذا
الكلام صحيح لكل إبسلون أكبر من السفر
فمن هنا فمن
هنا بهدف بيقدي ان ال limit ل xn minus yn لما n
تقول infinity بساوي سفر
مش شرط هذا انا
عندي ال ..
ما معناه ان limit ال sequence هذه بساوة سفر؟ معناه
لأي epsilon أكبر من السفر يوجد capital Mعدد طبيعي
يعتمد على إبسلن بحيث أنه لكل n أكبر من أو ساوي
capital N هذا بيقدي أن absolute xn minus yn minus
الصفر أصغر من إبسلنهي معنى ان limit ال sequence
للفرق بساوي سفر ايش معنى هذا لأي epsilon أكبر من
سفر يوجد capital M يعتمد على N عدد طبيعي يعتمد على
ال epsilon بحيث لكل N أكبر من أو ساوي capital N
المسافة بين الحد العام لل sequence و limit اللي هي
سفر أصغر من epsilon هذا الكلام هى متحقق هنا هى
متحققتامام؟ إذا هذا بنحصل عليه وبالتالي limit xn
minus yn بساوي سفر ومنها الآن أنا عندي ال yn ممكن
كتبتها على صورة yn
سالب xn موجب xnوهذا بيساوي سالب Xn سالب Yn زاد Xn
تمام؟ إذا ال limit ل Yn as n tends to infinity
بيساوي limit الطرف اليمين ف limit Xn سالب Yn
مضروبة في سالب واحد بيطلع برا ال limitزائد limit
xn لما n تقول لإنفينيتي وهنا
لسه احنا مثبتين هذا عبارة عن سالب limit sequence
xn minus yn بالساوية سفر، سالد واحد في سفر
زاد limit xn اللي هي x تمام اذا limit ال sequence
yn تطلع بالساوي x اذا
هنا اثبتنا ان ال sequence yn تطلع convergent وال
limit تبعتها بالساوي x تمامالبرهان هنا اعتمد على
انه من الفرض انا عندي المثال لأي epsilon هذا الفرض
معناه ان limit ال sequence x in minus y in بالساوي
سفر وهذا اللي ساعدنا في الحل وهذا ناتج هي من تعريف
epsilon capital N لل limit هذا هو البرهان