بسم الله الرحمن الرحيم احنا في المحاضرة اللى فاتت
اتحدثنا عن ال limit comparison test وبرهننا
الجزء الاول منه فنرجع مع بعض ال limit comparison
test for infinite series طبعا طبعا في limit
comparison test for sequences الان هذا الافتبار
قصد ال infinite seriesلو في عندي two sequences of
positive real numbers بحيث ان limit ال quotient
تبعهم exist بساوي عدد R ففي عندي نتيجتين، لو كان
العدد R أو limit R هذه لا تساوي 0ففي الحالة هذه
sigma x in series sigma x in convergence if and
only if ال series sigma y in convergence يعني
اتنين اما اتنين بيكونوا convergence زي بعض او
اتنين بيكونوا divergence زي بعض الجزء التاني بيقول
لو كانت ال R اللي هي limit لل quotient مساوة سفر
وإذا كانت ال series اللي الحد العام تبع Y in
convergenceفال series هذا بيقدر ال series اللي هي
sigma xn كلها يعني اعتقد ان احنا برهن الجزء الأول
برا اللي فاتت بظبط و خلينا نبرهن الجزء التاني طبعا
since اذا هنا let assume r
بساوي سفر
أما لو أخدت إبسلون أنا بساوي العدد واحد فهذا
إبسلون موجبة إحنا
لدينا من الفرض sense limit xn over yn as n tends
to infinityبساوي R اللي هو سفر الآن فمن تعريف by
definition of limit for epsilon positive زي هذه
يوجد capital N يعتمد على epsilon اللي هو الواحد
natural number بحيث انه لكل N أكبر من أو ساوي
capital Nهذا بيدّي أن ال absolute value ل xn على
yn minus zero بيطلع أصغر من ال epsilon اللي احنا
ماخدينها واحد طب xn عدد موجب و yn عدد موجبفال
quotient هذا كسر هذا موجب سالد سفر فهذا بيقدي ان
xn over yn أصغر من واحد لو ضربنا الطرفين العدد
الموجب yn فهذا هيقدي ان xn أصغر من ynوهذا صحيح لكل
N أكبر من أو يستوي capital N now
if
sigma yn converges then
by direct comparison test اللي أخدناها المرة اللي
فاتت إذا ال series الحد اللي عام تبعها أكبر
convergent فالأصغر
ال series الأصغر converges وهذا هو المطلوب هذا
اللي احنا عايزين نتبته إنه لو كانت ال series yn
convergent فلازم هذا يطلع convergent هذا صحيحby
direct comparison test لذلك هذا يكمل برهان الجزء
التالي نرجع الأن ناخد أمثلة على تطبيقات على ال
direct comparison test و على limit comparison test
كيف نستخدم ال comparison tests الاختبارين هدول
فيثبات ان ال series معينة is convergent discuss
.. discuss the convergence of
the following series
فناخد series sigma from n equals one to infinity ل
one over n squared plus n بالمناسبة
ال series هذه
ممكن نقارنها، الحد العام تبعها هذا، لما N تكون
large فممكن نهمل ال N بالنسبة ل N تربية و نعتبر أن
هذه ال series شبيهة أو behaves like تتصرف زي ال
series sigma 1 على N تربية
الان بنشوف إذا ممكن نطبق اختبار المقارنة المباشرة
ال direct comparison test بنطبقه وإذا ما اقدرناش
بنلجأ لاختبار تبع ال limit comparison test
فهنا ممكن يعني من السهل أن احنا نستخدم ال
direct comparison test لأنه انا عندي ال N تربيع
زائد N أكبر من أو يساوي Nأكبر من أو ساوي N تربية
لكل N ينتمي ل N هذا بيقدي أنه مقلوب N تربية زايد N
أصغر من أو ساوي مقلوب N تربية لكل N ك N الان
ال series
sigma واحد على N تربية
a P series is P series صح؟ with P
بيساوي اتنين اكبر من واحد so
it convergesby .. it is convergent by P series
test في ال P series test بيقوللي إذا كان أي P
series زي هذه بتكون convergent إذا كان P أكبر من
واحد و divergent إذا كان P أصغر من أوسع و أعلى و
برهننا الكلام هذا في المحاضرة السابقة أو الجبلةإذا
أنا في عندى two series واحدة الحد العام تبعها واحد
على انتر بيه وهذا الconversion وواحدة الحد العام
تبعها واحد على انتر بيه الزادة وهذا الحد العام
أصغر من أو ساوي الحد العام لهذه الconversion إذا
ممكن استخدم so
by direct comparison test
السيريز اللي هي sigma من n equals one to infinity
لواحد على n squared plus n converges
إذا السيريز هذه أتباعنا هي انها convergence by
direct comparison استخدمنا ال direct comparison
test مفهوم واضح؟
ناخد مثال تاني
بتاعة اتنين لو أخدنا series sigma from n equals
one to infinity لواحد على n تربية سالف n زائد
واحد بما نفحص هل ال series هذي convergent ولا
divergent طبعا
أول شيء بنفكر فيه، بنشوف كيف ال series هذه بتتصرف،
ما هي ال series القريبة منها، و اللي احنا عارفين
أنها أو ممكن نحكم عليها بسهولة، ن be convergent أو
divergent، يعني بدي أقارن ال series هذه ب series
تانيةمن السهل اني احكم عليها هل هي convergent او
divergent فلما N تكون كبيرة و ان N is sufficiently
large لما N تقول infinity ممكن اهمل N و اهمل 1
وبالتالي ال series هذه behaves تتصرف زي ال series
1 على N ترمية
اللي هي احنا عارفين which is كل بيت واحد طبعا by P
seriousness زي ما شرحنا في المثال الأول الآن
السؤال اللي بيطرح نفسه is it true هل واحد علىإن
تربية سالف إن زاد واحد أصغر من أو يساوي واحد على
إن تربية عشان نستخدم .. هل هذا الكلام صحيح لكل إن؟
لأ مش فاكرش أنا فللأسف هذا مش صحيح وبالتالي
مابقدرش أستخدم إن هذا not true
for example على سبيل المثال take m بساوي اتنين
هنجد المتباين هذه مش صح اذا مقدرش انا استخدم ال
direct comparison test اذا في الحالة هذه لازم
استخدم ال limit comparison test او ابحث عن مقارنة
تانية however
you can show بإمكانكم تخبطه أنه الواحد على n تربية
negative n زائد واحد هذا أصغر من أو ساوي اتنين على
n تربية وهذا صحيح لكل n في n إذن هذه المتباينة
صحيحة وبالتالي ممكن الآن
الان بإمكانك استخدام
تجارة مقارنة مباشرة للتأكيد
عشان تستنتجوا ان سيريز سيجما واحد على إنتر بيه
نيجاتيب ن بلس واحدconvergent لأنه ال series هذه
لأنه since ال series اللي الحد العام تبعها اتنين
على انتر بيها هي نفسها اتنين ضارب ال series sigma
واحد على انتر بيها و ال series هذه قلنا convergent
لأنها في series نضربها في عدد موجب بتضلها
convergent
لازم نثبت على ذلك الكلام هذا الكلام لازم تثبتيه صح
المشكلة في الحل هذا ان انا او انتوا كيف نبيه يخطر
على بالكم ان المتباين هذا صح اه it is not easy to
figure out this inequality مش سهل ان يختر على
بالنا او نستنتج ال .. او يعني ..بنعرف إنه في
متباينة زي هذه صحيحة هذا مش سهل وبالتالي ممكن
نستخدم ال limit comparison test ونرايح رأسنا ال
limit comparison test في الحالة هذه أسهل من إن أنا
يعني أخمن
.. أخمن يعني حاجة زي هذه okay فتعالوا نشوف كيف
نستخدم ال limit comparison test
أذا هنا we use limit
comparison test with
a n بساوي واحد على n تربيع minus n زايد واحد أو xn
فالبسامينات
و Yn بساوية واحد على M تربية فاني
ايجي نحسب ال limit ل Xn over Yn as N tenths of
infinity بساوية limit هاي Xn تقسيم Yn بتطلع M
تربية على M تربية negative M plus oneو ال limit
هذا عشان نحسبها بالجسم bust مقام على n تربية ففي
ال bust واحد واحد سالب واحد على n موجب واحد على n
تربية لإن تقول ال infinity وهذا بطلع واحد على واحد
سالب صفر موجب صفر ويساوي واحد لايساوي صفر إذن ال R
الـ R في ال limit comparison test طلعت بالساوي
واحد لا يساوي سفر وانا عندى اذا since وانا عندى ال
series sigma yn اللى هى sigma واحد على انتر بيان
is convergent then
by limit comparison test ال series sigma xnاللي هو
الحد اللي عم تبعها واحد على انتر بيه minus ان زاد
واحد كون بيعجز وهو مطلوب okay إذا هنا استخدمنا ال
limit كون .. لما يعجز أو يفشل ال comparison أو ال
direct comparison test بنرجع إلى limit comparison
testهنا لازم يجب ملاحظة انه اي سؤال بنحل بال
comparison test ممكن حله او نطبق عليه ال limit
comparison test لكن العكس ليس صحيح وبالتالي ال
limit comparison test اشمل و اعام من ال direct
comparison test ناخد مثال تالت واضح الحل في اي
سؤال او استفسار؟إذا دائما في مخرج يعني إذا انت مش
عارف تعمل direct comparison فاستخدم ال limit
comparison test وهذا مش صعب تشوفي دائما ال series
اللي قدامك behaves like some familiar series تتصرف
زي series معروفة لدينا و احنا عارف نقدر من السهل
نحكم عليها هل convergent او divergent
فلو أخدنا مثلا ال series هذه summation from
n equals one to infinity ل one over square root of
n plus one ف
ال series .. this series behaves طبعا لما n ..
when n gets large we neglect الواحد نهم الواحدوهذه
السيريز تتصرف من حيث التقارب والتباعد مثل سيجما
واحد على جذر الان
طيب can we السؤال يتفرج نفسه can we use direct
comparison test للإجابة
على السؤال هذا بنلاحظ أن n زائد 1 أكبر منها ويساوي
n لكل n هذا بيقدر أن واحدوبالتالي الجدر التربيعي ل
N زائد واحد أكبر من أو ساوي جدر ال N لكل N
وبالتالي هذا بيقدي أن واحد على الجدر التربيعي ل N
زائد واحد أقل من أو ساوي واحد على جدر ال N لكل Nو
احنا عارفين ان ال series هذه divergent لأنها P
series و ال P بساوي نص أصغر من واحد و هاد ال
series أصغر منها أو أصغر منها و يساويهافال direct
comparison test بيعطينيش نتيجة، بيعطينيش نتيجة إذا
الكبيرة divergent فالصغيرة ممكن تكون convergent
وممكن تكون divergent إذا هنا ال direct comparison
test fails،
fails يعني يفشل، يفشل وبالتالي مافيش أمامنا خيار
اللي احنا .. اللي .. اللي هالنا نستعملأو نستخدم
limit comparison test نستخدم
limit comparison test
with xn بيساوي واحد على ال square root of n plus
one و yn بيساوي one over square root of n نحسم ال
limit ل xn over yn as n tends to infinity بيساوي
ال limit هاي
جسم xn على yn بيطلع الجدر التربيعيلان على ان plus
one لما ان تقول ال infinity دخل ال limit تحت الجدر
لأن ال square root function is continuous فاندخل
ال limit و limit المقدار تحت الجدر بطلع واحد
وبالتالي واحد لا يساوي سوى إذا ال R في limit
comparison first طلعتdifferent from zero لأ تساوي
سفر و since ال series sigma من n equals one to
infinity لواحد على جدر ال n يعبر عن sigma واحد على
n أصمص is a p-series with
P بساوي نص أصغر من واحد it diverges
يعني بتطلع divergent by P series test ال series
يعني divergent وبالتالي
by limit comparison test حسب ال limit comparison
test هيعندي sigma x in و sigma y in sigma y in ده
هي طلعت divergent و ال R limit لرئيسه لا يساوي سفر
لان التانية زيها divergent ده is sigma x in اللي
هو واحد على الجذر التربيهي ال N زي واحدby agents
حسب ال limit comparison test okay تمام واضح طيب
ناخد كمان مثال
مثال رقم أربعة خلّينا نفحص ال series اللي هي
summation from n equals one to infinity ل one over
n factorial طبعا
هذه مش واضحممكن تقارنها لأن N factorial N
factorial بالساوي N نقش واحد N negative واحد N
negative اتنين إلى تلاتة في اتنين في واحد فمش
عارفين ايش نقارنها اه فهذا مش واضح لكن by trial
انا بتقوله بالتجريبنقدر احنا نحاول يعني نقرر او
يعني نشوف ان هنا عند عشان n في n سالب واحد في n
سالب اتنين فممكن نقارن ال series هذه بواحد على n
ترمية نشوف كيف ممكن نعمل المقارنة اذا هنا في حالين
هناSolution واحد نحن نحاول نقارن بالإيه فال
solution الأول أو الحل الأول بيعتمد use
induction to show that ممكن
نثبت بال induction أنهN تربية أصغر من N factorial
لكل N أكبر من أو ساوي أربعة المتباينة هذه صحيحة
لكل الأعداد الطبيعية أكبر من أو ساوي أربعة هذا
ممكن نثبته by induction زي ما اتعلمته هذا سؤال في
مبادئ رياضياتنشوف مع بعض الهدى صح نشوف أول حالة
لحظة ال N بتبدأ من أربعة مش من واحد ف N بساوي واحد
هنا هصير N بساوي أربعة و الباقى ال induction زي ما
اتعلمنا فلو N بساوي أربعة أربعة تربيه ستة عشر أصغر
من أربعة فاكتوريا الأربعة و عشرين ستة عشر أصغر من
أربعة و عشرين صحيحإذا العبارة صحيحة عند n بالساوية
أربعة افرض صحيتها عند n بالساوية k حيث k أي عدد
طبيعي أكبر من أربعة وثبت صحيتها عند n بالساوية k
زادة، أعتقد هذه مثلة في أخدت زيها في مبادئ رياضية،
رح نسيب .. سيبقى لكم .. ليه؟ ايه شو بتهارفنا مثلا
نختار الأربعة؟ ليش ما هو مثلا تلاتة أو واحد، سيبقى
احنا متعودين في ال induction؟أه لأنه انت ال ..
يعني نضل نجرب لحد ما نصر نصر بره صح اه من أربعة و
انت طالع تصير صحيحة أما قبل أربعة بتكون خطأ
وبالتالي مالهاش معناه أما من أربعة و أنت طالع
هتكون صحيحة فبنهم الأول تلت قيم لهم okay اذا و
بالتاليهذا بيقدي ان واحد على n factorial أصغر من
واحد على n تردية لكل n أكبر من أو ساوية أربعة
وبالتالي و ال series طبعا وبالتالي ممكن نستخدم ال
direct comparison test يعني الحالة هذه
و نستخدم الاختصار الوحيد الوحيد الوحيد الوحيد
الوحيد الوحيد الوحيد الوحيد
هذه الـ series هي ال key series بس بتبدأ من أربعة
فكأني حدث يتأول تلات حدود منها فهذا بيأثرش على ال
divergence أو ال convergence لل series إذا حدث
omitting أو deleting finite number of terms from
an infinite series does not affect the convergence
or the divergence of the series حدث عدد منتهي من
حدود ال seriesأو إضافة عدد منتهي كمان إلى حدود ال
series لا يؤثر لا على التقارب ولا على التباعد تبع
ال series هذا حقيقة سهل لو يعني و بدهاش برهان لأن
الحدود المنتهية هذه مجموعة بيطلع عدد منتهي فما
بأثرش على التقاربمن series بفرش على التقارب او
التباعد او اضافة عدد لان بما ان ال series
converges then ال series sigma واحد على n
factorial converges
من n بالساوية اربعة الى ملامية طبعا هذا بقدرإن أنا
لو ضفت لل series الحدود المتبقية من n بالساعة واحد
إلى تلاتة وبتصير من infinity هنا لواحد
على n factorial تطلع
conversion وهذا اللي بدنا يعني، إذن هذا أحد
الحلولة، okay؟ زي ما زملتكم يعني اخترحت، بتقول طب
و أنا إيش بدي أختار على بالي؟إن هذا المتباينة
الصحيحة اللي اعتمد عليها الحل أو اعتمدت عليها
المقارنة فمعاكم حاجة ممكن أنك .. يعني ماحدش يقدر
يعني يصل إلى ال .. أو ال percentage المتباينة هذه
اللي عليها بيرتكز الحل ففي حل تاني آخر نشوف الحل
التاني ال direct limit
الحل التاني solution
2 احنا
عارفين انه لو جسمت ناخد
xn بسعر واحد على n factorialبساوي واحد على ال
تربية كويس؟ زي ما عملناه في الحل الأول و بده قارن
التنتين هدول بس المقارنة المرة هذه هتكونبطريقة
مختلفة فلو أخدت xn و جسمتها على yn فطبعا هذا أكبر
من السبب لأن xn عدد موجب دايما لكل n و yn عدد موجب
فقسمت على دين موجبين بطلعة موجب وهذا بساوي n تربية
على yn اللي هو n factorial على n factorial
و هدا بساوي تاي n تربية على n factorial عبارة عن
واحد في اتنين في تلاتة الى n سالب اتنين في n سالب
واحد في n مظبوط؟ ممكن اختصر n مع n و هيبقى عندي
فهيبقى عندي n على واحد في اتنين الى n سالب اتنين
في n سالب واحد الان ممكن اثبات ان المقام هذا اكبر
من اتنين
إثنين في N سالب إثنين في N سالب واحد وهذا أكبر من
إثنين في N سالب واحد في N وهذا صحيح ليس لكل الـ N
مش لكل الأعداد الطبيعية N هذا أكبر من N سالب إثنين
في Nو هذا صحيح فقط لكل n أكبر من أو يساوي خمسة
يعني عند الأربعة مش صح و عند التلاتة و اتنين و
الواحد مش صحOkay؟ إذن N تربية على N factorial
بتطلع .. الآن هذا المقام أكبر من العدد هذا
وبالتالي المقلوب بتطلع أصغر من N على N في N سالب 2
طبعا N بتروح مع Nبيبقى عندي واحد على n ساوى اتنين
ويقول الكلام هذا صحيح لكل n أكبر من أو ساوى خمسة
xn على yn أصغر من واحد على n ثالث اتنين طبعا أكبر
من سفر أو أكبر من أو يساوي سفر وهذا صحيح لكل n
أكبر من أو يساوي خمسة الان هذا لما انتقل ل
infinity هذا بيروح لسفر لما انتقل ل infinity هذا
بيروح لسفر اذا by sandwich theorem
بطل عند ال limit ل xn over yn as n tends to
infinity بساوي سفر هاد هى ال R في ال limit
comparison test طيب since
سيجما واي ان اللي هي سيجما واحد على ان تربيعي
converges حسب الجزء الثاني من limit comparison
test limit comparison test بيقول إذا كان limit ال
ratio بساوي سفر وكانت سيجما واي ان convergent إذا
هذا بيقدر
سيجما اكس ام اللي هي سيجما وان اوبر ام فاكتوريال
convergence رغم المفهوم
واحد استخدم ال direct comparison test، التاني
استخدم ال limit comparison test، اتنين كان فيهم
شوية شغل مش سهل، لكن هذا هو الموجود، مفيش أسهل من
هذا فعلى أي حال يعني ال .. الأسئلة في الكتاب هتكون
معظمها سهلة إما في الحل بال limit comparison test
أو بال direct comparison test، في أي سؤال أو
استفسار؟الامور واضحة الحل واضح انا عارف انه كيف
يخطر على بالنا نعمل المقارنات هذه وهذا كلامكم صحيح
هذا يعني شيء مش سهل لكن في بعض المسائل ال .. يعني
ال .. مش سهل ان احنا نعمل المقارنة لكن بنحاول ..
بنحاول اللي بيحاولبيصل إلى حل خليني يعني احنا مش
عايزين نبدأ section جديد الصحيح ان هيك يعني ال
chapter خلص فعشان مابداش يعني نبدأ المرة الجاية
chapter جديد فخليني اخد احل سؤال من ال homework
problems السؤال هنا question
exercise رقم خمسة section تلاتة سبعة لأن هذا تمرين
خمسة في section تلاتة سبعة اللي هو آخر section في
chapter تلاتة السؤال بيقول can
you السؤال كتير يعني مهم و interesting can you
giveيعني كتاب بخاطب الطالب بيقوله can you give an
example هل بإمكانك تعطي مثال of a convergent of a
convergent series sigma xn and a divergent
بحيث ان المجموعة تبع ال two series يكون
convergent is convergent explain
وضحي الإجابةهتكون يا yes يا no و في كل تلحالتين بن
.. نعطيك تفسر ال yes او انه تبعتك فانا بقول انه
خلينا نعطيلكم يعني تشوفكم تفكروا نعطيكم دقيقة
تفكروا و تحاولوا تجيبوا مثال زي ما هو مطلوب إذا
كده إذا أمكن
فمين عندها مثال؟ كمان مرة بنجيب مثال ل two series
واحدة convergent اللي هي هذه الأولى والتانية
divergent بحيث أن مجموعهم يكون convergent هل هذا
ممكن؟ إذا ممكن طيب ممكن تعطيني مثال على ذلك يعني
اعطيني مثاليوضح صحة ال .. الكلام هذه ال example
مثلا نخدها هي أسهل إيش الواحد على الأن أو الأول و
أنت الرابعين خليني لحظة شوية لو سمحت هاي أخبرتكم
طرح example
أيه وقتك؟ ال XN قبل عن الواحد على الان تربية واحد
على ان تربية فطبعا هذا بقدر سيجما XN كل ذات يسار
سيجما واحد على ان تربية كل بيرزلأن هذه P series و
ال P بيساوي اتنين اكبر من واحد، صح؟ والتانية
الواحدة الجدر الأن نخدها YM بيساوي واحد على الجدر
الأن بتصير أص نص، طيب، بتصير سماشة للواحدالان
sigma yn بيساوي sigma 1 على n اصلا اصلا بي سيريز
هادي divergent بي بي سيريز هادي بي بي بي بي بي بي
بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي
بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي
بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي
بي
بيهي sigma واحد على N تربية زائد واحد على N أص نص
صح؟ وهذا بيساوي summation ناخد مقام مشترك N تربية
فبطلع واحد زائد N أص .. أص تلاتة عشان .. أص تلاتة
عشان .. مظبوط؟
هل هذه convergent؟ لما n تكون كبيرة .. اه لما n
تكون كبيرة هذه بتكون behaves like sigma
واحد لأ مش واحد ع انتر بياني مهم للواحد وفضل
عندي N أس ثلاثة ع اتنين ع انتر بيان اللي بيساوي
سيجما واحد ع ن أس نص
و ممكن الأن نستخدم ال limit comparison test نثبت
أن هذه divergent لأن هذه divergent باستخدام ال
limit comparison testزيادة .. زيادة .. زيادة ..
زيادة .. زيادة .. زيادة .. زيادة .. زيادة .. زيادة
.. زيادة
.. زيادة .. زيادة .. زيادة .. زيادة
..
another example طيب xn بساوي سالب واحد و سالب ن
مثلا yn بساوي واحد yn بساوي واحداه ف ال series
sigma x n diverge و sigma y n diverge فتنتهي ال
diverge، مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش،
مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش،
مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانعلى مدرسة الأرض
ان هو من من أنتوا ساوي أربع على مالة نهاية حكينا
انه من أنتوا ساوي أربع على مالة نهاية هذا converge
بس اللي جابل حكينا انه converge انه diverge اللي
جابلنا طيب احنا عشان بسم ان احنا بنحكي على السؤال
هذا خليني احنا في هذا المثال في عندك مثال؟ خلاص
طبعا ال .. ال .. السابق هذا بعدين بنتناقش فيه
خليني أجرب عشان أنا مافيش وجهة على السؤال هذالو
كلكم حاولتوا .. كل واحدة حاولت تجيب مثال، كل أمثلة
أبقاتكم هتكون غلطة أو هتفشل، ليه؟ لأن مافيش ولا
مثال، لأن مافيش مثال، فانت قاعدين بتجيبوا .. تعطوا
حاجة مستحيلة، مش موجودة، إذا الإجابة على هذا
السؤال
إن ال answer ال answer is no لا يمكن يعطى مثال على
two series واحدة convergent والتانية divergent
مجموعة بتطلع convergent مستحيل this is impossible
لبرهان أو لثبات ذلك if
if thisإذا كان هذا صحيح أو إذا كان هذا صحيح يعني
لو اقدرت النجيب series convergent و series
divergent و مجموعة convergent then
we would have
إنه الـ series sigma yn اللي احنا فرضين انها
divergent اللي هي بساوي sigma xn زائد yn minus
sigma xn احنا قلنا لو هذا كان true معناته ال
series هذه convergent معناته هذه convergent ومن
الفرض هذه convergentوالفرق بين two convergent
series is convergent، إذن هذا هتطلع .. إذن الفرق
هيكون convergent وبالتالي إذن ال series sigma yn
is convergent، وهذا contradiction لإن احنا فرضين
أنها divergentهذا مش ممكن يكون true عشان هي كانت
كتبت if it were true مستحيل ..مستحيل مش if it was
true okay طبعا اذا انا ساطيع اعطاء مثال يعطيني
المواصفات هذه بالمرةتمام؟ إذا بنوقف هنا و هيك
بنكون خلصنا ال chapter تلاتة المرة الجاية ان شاء
الله هنبقى في chapter أربعة فشكرا لكم و نشوفكم ان
شاء الله يوم السبت