انراجع مع بعض ال order properties of R او خواص
الترتيب للأعداد الحقيقية احنا من بداية ال chapter
قلنا انه ال real number system نظام الأعداد
الحقيقية نظام
الأعداد الحقيقية يتكون من مجموعة R boldface Rمع
عمليتين فنائيتين واحدة عملية الجامعة واحدة عملية
الضرب وافترضنا ان العمليات هذه بتحقق خمس خواص اللي
هي خواص ال field اللي هو ال commutative law,
associative law, distributive laws, existence of
identities, existence of inversesبعدين ضفنا على
ذلك انه افترضنا انه ال real number system R بتحقق
برضه خاصية الترتيب او خواص الترتيب اللي هي الخاصية
السادسة هذه الخاصية السادسة هذه تجزأت يعني تنص على
ما يليه نفترض انه يوجد مجموعة جزئية من R غير خالية
و المجموعة الجزئية هذه بنسميها P اللي هو اول حرف
في positiveعشان نسميها بعد هيك the set of positive
real numbers ف ال set P هذه closed under addition
and under multiplication كمان نفترض أن ال set P
هذه بتحقق الخاصية الثلاثية ال trichotomy property
which means that for any real number a exactly one
of the three possibilities holds either a belongs
to p or a equals zero or negative a belongs to p
بناء على هذه الخاصية شفنا أن الأعداد الحقيقيةgets
partitioned to three mutually disjoint sets يعني
الخاصية هذه بتجزق بتخليني أجزق العداد الحقيقية إلى
تلت مجموعات منفصلة مثنى مثنى pair-wise disjoint
يعني إن لو أخدت أي مجموعتين عشوائيتين من التلاتة
تقطعهم بساوي فايل مافيش بينهم عناصر و مش تلتين
واتحادهم بساوي ال R، لأن هذا بشكل تجزء على ال R،
تجزء على ال R أو بنسميها في الرياضيات partition of
R ال set P هذه سمنها set of positive real numbers
وعرفنا negative P على إنها negative عناصر ال set P
Okay فهي معرفة negative P هي كل ال elements
negative A such that A element in P بعدين
عرفنا علاقة الترتيب، الآن بنعرف اللي هو order
relation على Rما معنى أنه a لو في ending two real
numbers ما معنى a أصغر من b أو b أكبر من a قولنا
معناها أن الفرق بين b و a is positive real number
أو ينتمي لمجموعة الأعداد المجتمعةطب ما معناه a
أصغر من أو ساوي b أو b أكبر من أو ساوي a؟ معناته
الفرق بين b و a ينتمي للأعداد الموجبة، يعني الفرق
موجب أو يساوي سفر أو يساوي سفر، إذن معناه تاني طيب
و أعتقد إن احنا بعد هيك أثبتنا أه
وقفنا عند النظرية هذه
نظرية واحد خمسة قلنا إنه لأي لو أخدت أي تلت أعداد
حقيقية فعند الخواص التالية تتحقق نجموعة الخواص هذه
تتحقق فالخواص
هذه هذا
هي أمامكم transitivity خاصية التعدىايه يعني
التعدى؟ يعني اذا انا في عندي تلت أعداد حقه في A و
B و C
وكان B هنا أكبر .. B أكبر من A and C أكبر من B
فهذا
بيؤدي أنه C أكبر من A خليني
أنا أكسهم عشان .. كليهم زي ..مهمة موجودة هناك هي a
أكبر من b هي a أكبر من b و b أكبر من c فبطلع
c أو a بطلع أكبر من cهذه a أكبر من b و b أكبر من c
إذا نقدر نتعدى و نقول a أكبر من c فهذه بيسموها في
الرياضيات transitivity أو خاصية التعدى الخاصية
التانية
بنسميها tricotomy برضه خاصية ثلاثية جاية من
الخاصية الثلاثية اللى شفناها قبل شويةفبتقول
exactly one of the following holds واحد من تلات
احتمالات بتحصل اما a اكبر من b او a بتساوي b او a
اصغر من bلأي عددين حقيقيين A وB واحد فقط من
الاحتمالات التلاتة بيكون صحيح وهو اما A أكبر من B
أو A بساوي B أو A أصغر من B الـ Antisymmetry
property علاقة أكبر من أو ساويها دي بنسميها
Antisymmetric يعني ايه؟ بتحقق خاصية تضاد التماثل
إيه يعني؟ مع أن لو كانت A على علاقة مع B و B على
علاقة مع A فلازم يطلع A بساوي B، A أكبر من أو ساوي
B و B أكبر من أو ساوي A فلازم A ساوي B، هذي
بنسميها Anti-symmetry propertyهنا الخاصية هذه لو
كان a أكبر من b وضفت للطرفين أي عدد c فالمتباينة
تبقى زي ما هي شريتها زي ما هي طيب لو في عندي
متباينة a أكبر من b لان نتحدث عن متباينات
inequalitiesلو كان a أكبر من b و c عدد موجب وضربت
الطرفين في عدد الموجب c فإشارة المتباينة تبقى كما
هي لكن لو ضربت المتباينة في عدد سالب إشارة
المتباينة تناكز الخاصية f بتقول أنه لأي عدد حقيقي
لا يساوي سفر مربع أي عدد حقيقي لا يساوي سفر دائما
بيكون عدد موجب الواحد
الـ Distinguished elements في R أو في الـ real
number system اللي هم السفر والواحد اللي هو ال
identity elements سمناهم بيحققوا ان واحد دايما
اكبر من السفر و سالب واحد اصغر من السفر كمان لأي
عدد طبيعي هذي the set of natural numbers اي عدد
طبيعي بيكون دايما موجب اي عدد طبيعي بيطلع موجبلو
كان a عدد حقيقي موجب فمقلوبه موجب لو كان a عدد
حقيقي سالب مقلوبه بيطلع سالب الخاصية
الأخيرة ال لو كان a أصغر من b و اتنين موجبين
فمقلوب لصغير أكبر من مقلوبالكبير أو مقلوب الكبير
أصغر من مقلوب الصغير بصرت اتنين اللي هم نفس
الإشارة لكن لو كان واحد موجة بواحد سالب فالكلام
هذا مش صحيح خدوا بالك طيب نشوف نمر بسرعة على
البرهين قرأته البرهين انتوا؟ طيب
خاصية التعدى خاصية التعدى انا كان عندي a أكبر من b
and b أكبر من c بدنا نثبت ان هذا يعدي ان a أكبر من
c فالبرهان ذلك يكفي نثبت ان الفرق بين c و a موجب
يعني ينتمي لل set P of positive real numbers
فتعالوا نثبت الكلام هذا أنا عندي من المعطيات او من
الفرض الفرق هذا موجب والفرق هذا موجب من المعطيات
طيب set P closed under addition مغلقة تحت عملية
الجمع إذا مجموعة أنصرين في P بيطلع أنصر تالت في P
هذا الأنصر التالت اللي بيقول المجموعة طلع A سالب C
هذا معناه مادام الفرخ هذا تملى P معناته الفرخ هذا
موجب أو A أكبر من C as required كما هو مطلوب،
مظبوط؟ واضح؟ طيب
أي عدد حقيقي له واحد من تلت احتمالات اما موجب او
سفر او سالب الان بناء على هذه الخاصية ممكن نثبت
الخاصية الثلاثية الخاصية
بي
قلنا إن لو كان لأي عددين حقيقيين لأي عددين حقيقيين
a و b، a أكبر من b أو a بساوي b أو a أصغر من b
فالبرهان
ذلك بيعتمد على ال try-cutting property اللي شفناها
قبل شوية فأنا
عندي
حسب الـ trichotomy property، لو أخدت الفرق هذا،
هذا real number فأي real number إما positive أو
بساوي سفر أو negative، صح؟ وهذا بكافئ، الكلام هذا
بكافئ A سالب B ينتمي ل B بكافئ أنه الـ A أكبر من B
طب وهذا ينتمي لـ 0 بكافة أن a بساوي b أو الفرق
بساوي 0 وبالتالي a بساوي b و الفرق هذا ينتمي ل
negative b معناته الفرق هذا سالب يعني معناه أن a
أصغر من b وهذا اللي بدنا إياه هذا اللي بدنا إياه
طيب
الجزء C قلنا اللي هو ال antisymmetry propertyالـ
Anti-symmetry property نفكركم فيها بتقول لو كان a
أكبر من أو يساوي b and b أكبر من أو يساوي a فهذا
بيعدي أن a بساوي b، بظبط؟ طيب
أنا بدأ أثبت أن A بساوي B، هذه النتيجة، فبدأ أعمل
برهان بالتناقض، فبرهان بالتناقض دائما نفرض مافيه
النتيجة هو الصح، وبنفسها إلى التناقض، ف assume أن
A لا تساوي Bإذا حسب الخاصية الفلاثية هذا بيقدّي ان
اما a أصغر من b or b أصغر من a، مظبوط؟ طيب إذا هنا
.. الآن لو أخدت .. لو أخدت ال a أكبر من b اللي هو
الاحتمال هذالو أخدت .. لو قلت أن a أكبر من b فهذا
بتناقض مع الفرض .. بتناقض مع الفرض أن a أصغر من ..
a أصغر من أوسع من b هدول اتنين بيعطون التناقض طيب
لو افترضت الاحتمال التاني أن a أصغر من b فهذا
بتناقض مع الفرض أن a أكبر منأو يساوي الـ B إذا في
الحالتين لو فرضت هذا صح بتناقض مع هذا الجزء لو
فرضت هذا صح بتناقض مع هذا الجزء اللي هو جزء من
الفرض وبالتالي في كلتا الحالتين الفرض أن A لا
يساوي B أدى إلى تناقض إذا الصح أن A لازم تساوي B
كما هو مطلوب okay هذا برهان بالتناقضواضح تمام
مفهوم فاهمين ولا هيك يعني أمور
سهلة وبسيطة وكلها يعني مبادئ رياضيات احنا هنا يعني
مراجعة لمبادئ رياضيات أو طرق البرهان في مبادئ
رياضيات طيب
الآن بنثبت القصية F
لأي عدد حقيقي لا يساوي سفر دائما مربع و بيطلع موجب
فعشان أثبت مربع ال a موجب لازم أثبت ان مربع ال a
ينتمي لفئة او مجموعة العداد الموجبة طيب احنا فرضين
a لايساوي سفر اذا by tricotomy property بالخاصية
التلاتية اما a موجب او سالب يعني معناه هذا او هذا
الانلو كانت ال A موجبة فمربع و ال P مغلقة تحت
عملية الضرب فحاصل ضرب A في A اللي هو A تربية بيطلع
ينتمي يعني هذا بيساوي A تربية ال
A ينتمي ل P إذا حاصل الضرب ينتمي ل P وبالتالي A
تربية موجبة okay وهذا اللي احنا عايزينهالحالة
التانية طب افرض انه negative A تنتمي ل P او A
تنتمي ل negative P يعني A سالم ففي الحالة هذه لو
ضربت هذا العنصر في نفسه بطلع ينتمي إلى ال P بطلع
ينتمي إلى ال P وهذا بطلع بساوي من الخواص اللي
أخدناها قبل هيكيعني هذا عبارة عن هذا سالب إيه
بكتبه سالب واحد في إيه و سالب إيه التاني نفس
الحاجة سالب واحد في إيه فبطلع سالب واحد في سالب
واحد في إيه تربية و هذا واحد فبطلع إيه تربية تنتمي
لدي وبالتالي إيه تربية موجبة إذا هنا أثبتنا إن أي
عدد حقيقي مختلف عن السفر دائما مربع موجب
خاصية جي الخاصية
جي
احنا بنفبط أن الواحد أكبر من السفر فبكل بساطة واحد
بساوي واحد ضرب نفسه وهذا بيطلع واحد تربية و قبل
شوية شوفنا و الواحد مختلف عن السفر إذا المربع
بيطلع موجب حسب الخاصية السابقة، أثبت؟هذا معناه إذا
هيثبتنا واحد أكبر من السفر وبالتالي واحد ينتمي لل
positive real numbers إذا سالب واحد ينتمي ل
negative two يعني negative واحد أصغر من السفر
عملية بسيطة طيب احنا الآن بدنا نثبت ان كل
عدد حقيقي موجب مقلوبه موجب اه فبنعمل برهان
بالتناقض اذا هنا هندي اللي عايز اثبته هنا بس هنذكر
ال statement اللي بدنا نثبته يعني ال statement
اللي عايز اثبته لو كان a موجب ف reciprocal تبعه
بطلع موجب او مقلوبه بطلع موجبلبرهان ذلك نعمل برهان
بالتناقض نفرض أن واحد على a أقل من السفر وطبعا
عندي انا من الفرض هذا الفرض لازال قائم a أكبر من
السفر عندي الفرابين هدول فعندي a أكبر من السفر و
واحد على a أصغر من السفر فهذا بيقدي
لو ضربت المتباينة هذه في a اللي هو عدد موجب فهيصير
اندي واحد على a في a أصغر من سفر في a اللي هو
بيساوي سفر طب هدف بيساوي واحد ان هك بيطلع واحد
أصغر من سفر وبالتالي هدف يعطيني تناقض لأن الواحد
أكبر من سفر لسه مثبتينه قبل شوية ان هدف بيأدي إلى
تناقض وبالتاليمقلوب الـ A لازم يكون موجب بالمثل لو
كان مقلوب الـ A سالب فممكن نثبت انه مقلوب و ايضا
بيطلع سالب فالبرهان مشابه حسيبكم انتوا تكتبوه
تمام؟
أنا مش عارف لسه أنا هيك بعمل
طيب ال .. الجزء هذا الأخير إيش كان هذا؟ إيش كنا
بدنا نثبت هناك؟
اه إذا كان a عدد موجب و أصغر من b فهذا بيقدّي أن
مقلوب الكبير أصغر من مقلوب الصغير بظبط
و طبعا هذا موجب فلإثبات
أن واحد على بي أصغر من واحد على ايه بتثبت أن الفرق
بين واحد على ايه واحد على ايهو 1 على D ينتمي إلى P
أو موجة طيب الان هاي ناخد 1 على A سلب 1 على B
فاخدنا خاصية ناخد مقام مشترك A B و بعدين بيصير
عندى هذا بتحول لحاصل ضرب الان هذا positive number
لان احنا فرضين ان ال B أكبر من A فالفرق هذا
positiveو A B فبطلع
هذا مقلوب ال positive بطلع positive فهذا
positive و هذا positive و ال 6 دي closed under
multiplication إذن حاصر الضربة ده بطلع positive
لكون حاصر الضرب هنا العناصر فيه موجبة وبالتالي
إذا .. إذا هذا بيطلع أكبر من الصفر هذا بيطلع الفرق
أكبر من أوم وجب وبالتالي واحد على أيه أكبر من واحد
على بيه okay الأجزاء المتبقية D وE وH ممكن برهانة
بالمثل فاحنا دايما بنسيب للطالب شوية حاجات يثبتها
يعني عشان ان الطالب يشارك شوية و إلا بيصير عملية
التدريس مملة لو احنا بدنا نشرحلكم كل حاجة و مانخلش
ولا إيش للطالب فبصير عملية مملة و بعدين الفهم بكون
ماخص كل ما انت شاركت أكتر كل ما شعرتي أو حسيتي
بالمعلومة أكتر و كل ما فهمتيها أكتر فالحاجات هذه
بالإضافة للتمارين اللي في نهاية كل section في
الكتابحالها كتير بساعد في فهم المادة بدون ذلك بظل
فهمكم نقص ننتقل إلى نظرية أخرى نظرية واحد ستة
نظرية هذه نظرية يعني بسيطة ومهمة
رغم بساطتها لكن مهمة إيش بتقول النظرية هذه بتقول
لو أخدت أي عددين حقيقين و a أكبر من b فلازم يكون a
أكبر من متوسط a و b و أكبر من b البرهان بسيط هي
عند الفرض أنا فارض أن a أكبر من bبتثبت أن a أكبر
من نص مجموعة a و b و نص مجموعة a و b أكبر من b طيب
نثبت المتباينة الأولى هذه نثبت المتباينة الأولى
الأول بعدين نثبت التانية
فالإثبات الجزء الأول فهي عندي a أكبر من b إذا لو
جمعت a على نفسها ده اتنين a لو جمعت على الطرفين a
فبطلع عندي a زائد a أكبر من b زاد a هذه خاصية
أخدناها قبل a إذا اتنين a بيطلع أكبر من a زائد b
كذلك لو جمعت على الطرفين هنا B فبطلع A زائد B أكبر
من B زائد B A زائد B أكبر من B زائد B اللي هو
اتنين B إذا أنا في عندي الآن متباينتين اتنين A
أكبر من A زائد B هيا اتنين A أكبر من A زائد B وA
زائد B أكبر من اتنين B إذا by transitivityخاصية
التعدى ممكن استنتج ان اتنين a اكبر من a زايد b
اكبر من اتنين b الان العدد اتنين عدد طبيعي وشوفنا
في الخاصية بتقول اي عدد طبيعي هو عدد موجب فى
النظرية اللى فاتت كذلك اي عدد موجب مقلوبه موجب اذا
النص عدد موجب الان لو ضربت المتباينة هذه فى النص
اللى هو عدد موجبإشاراتها تبقى زي ما هي هذه خاصية
خلناها في النظرية هذه تمام؟ إذا أنا حضرب الفنص هي
ضربت طبعا هذا بيساوي a وهذا بيساوي b وبالتالي نحصل
على المطلوب إذا يعني براهين سهلة وبسيطة النظرية
هذه مهمة لأن نتيجة اللي بعدهاأو أهميتها تظهر في
النتيجة اللي بعدها اللي هي corollary 171 corollary
171 بيقول أن
أي عدد موجب بيكون أكبر من نصه اللي هو موجب أي عدد
حقيقي موجب دايما أكبر من نصهوبالتالي هذا معناه في
رياضيات أن الأعداد الحقيقية الموجبة مالهاش
smallest element مافيش .. لو أخدت الأعداد الحقيقية
الموجبة اللي هي set P فهذا ال set ماقدرش أحط أصبعي
على أصغر عنصر فيها مالهاش أصغر عنصرhas no smallest
element لأن لو أخدت أي عنصر موجب و سميته a فبقدر
ألاقي عدد موجب أخر أصغر منه اللي هو نصف فبالتالي
ال set of positive numbers has no strictly
positive element تمام؟ البرهان تبع الكرولري هذا
بينتج من نظريةيعني خد بي بساوة سفر في النظرية اللى
فاتت نظرية واحد ستة هي تشوفها مع بعض نظرية
واحد ستة لو أخدت بي بساوة سفر فبطلع ا اكبر من نص ا
اكبر من سفر اذا هذه نتيجة سريعة مظبوطOkay إذا يعني
هذه بعض الحاجات السهلة والبسيطة، هنا في نظرية كتير
مهمة، هذه برضه نظرية هنستخدمها بكرا يعني في
المستقبل، نظرية واحد تمنع، نظرية كتير مهمة وأهمتها
هنشوفها في الشبات الرجايةإيش هذه النظرية بتقول؟ لو
في عندي عدد حقيقي غير سالب، غير سالب، و في نفس
الوقت أصغر من إبسلون لكل عدد موجب إبسلون، فهذا
العدد لازم يكون هو السفر، وهي برهان بالتناقض
كمان مرة العدد غير السالب اللى بيكون اي اصغر من اي
عدد موجب هو السفر مافيش غير السفر اللى بيحقق
لخاصية هذه لبرهان ذلك نعمل برهان بالتناقض افرض ان
ال a ان ال a هذا بيسويش السفر و في نفس الوجهة a
غير سالب اذا يعني a موجب صح؟
الان حسب نظرية الكورينة النتيجة واحد سبعة اذا a
بطلع اكبر من نص a فاخد epsilon zero هنا عدد موجب
بساوي a ع اتنين نص a هذا عدد موجب اذا هاني نجحت في
ايجاد عدد epsilon zero عدد موجب وال a اكبر منههذا
يتناقض مع الفرض أن a أصغر من إبسلون لكل إبسلون
أكبر من السفر أظبط؟ لأن هذا التناقض يثبت النظرية
واضح تمام؟ واضح البرهن؟ عيده طيب أنا عندي a عدد
حقيقي غير سالم وفي نفس الوجهة أصغر من كل الأعداد
الموجبة إبسلون بدا أثبت أن a بساوي سفربرهان
بالتناقض prove by contradiction assume or suppose
the contrary النقيض أو النفي تبع النتيجة يعني a ما
بيستويش صفر نفي a بيستوي صفر a لا تستوي صفر طب أنا
كاتب هنا ال contrary a أكبر من صفر هذا صح بناء على
أن الفرض a أكبر من أكبر من صفر وما بيستويش صفر إذن
أكبر من صفر صح طيب الآن
لو أخدت Epsilon Zero بساوي نص A و بما أنه A عدد
موجب فنتيجة واحدة السابعة بتقول لو كان A عدد موجب
فنص A بطلع عدد موجبإذا هيني و في نفس الوجد كمان ال
a أكبر من نص a ال a أكبر من نص a وبالتالي إذا هيني
لجحت في إيجاد epsilon zero عدد موجب و a أكبر منه
هذا بتناقض مع الفرض أنه بتناقض مع الفرض أنه a أصغر
من epsilon لكل epsilon موجبة صح؟ الإبارة هذه هينفي
هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي
هذه نفي هذه نفي
Okay، إذا إحنا لحد الآن يعني كل شغلنا مبادئ
رياضيات، صح؟ طيب، طب ما هي مبادئ رياضيات هي أساس
ال .. اسمها أساسية الرياضيات، فاسم على مسمة فبختل
فهمة المادة هذه، جابت علينا منيحة يعني، هترتاح في
المستجبل كتير Bernoulli inequalityبرنول
الانيقوليتي هذه يعني في شوية متباينات طبعا مهمة في
الكتاب انا اختارت واحدة منهم لكن في بعض المتباينات
الأخرى موجودة في الكتاب وارجو انكم تقراوها فبرنول
الانيقوليتي هذه واحدة منهم متباينة برنول يعني
بيقول لو كان X عدد حقيقي أكبر من سالب واحدفمجموعة
واحد و X to the power N دايما أكبر من أو ساوي واحد
زائد N ضرب X وهذا صحيح لكل الأعداد الطبيعية نعم
في نظرية جاب الهاجم ماخلنهاش شوف
مع بعض
أه صحيح نشوف النظرية واحد تسعة نظرية
واحد تسعة بتقول لو كان أندي عددين حقيقين حاصل
ضربهم موجب فيا إما اتنين موجبين يا إما اتنين
سالبين صح؟ممكن يكون الاتنين مختلفين في الإشارة و
حصل ضربهم موجب إذا حصل ضرب عددين موجب بيقدر انه
اما اتنين موجبين او اتنين سالبين فالبرهان نشوف كيف
افرض الفرض تبعنا ان حصل ضرب A وB موجبفهذا أكيد
بيقدّي ان لا ال a بيساوي سفر ولا ال b بيساوي سفر
لأن لو واحد منهم بيساوي سفر فحاصل الدرب هيطلع
بيساوي سفر contradiction تناقض صح؟ لأن هذا
الاستنتاج منطقي طيب الان احنا ال a ناخد ناخد الجزء
هذا الان انا عند a لا يساوي سفربقى اتراي كاتومي
property حسب الخلصية التي هي اما a أكبر من سفر أو
a أصغر من سفر صح؟ بقى في احتمالين طيب ناخد ال a لو
كان افرض ان a أكبر من سفر فهذا بيدى ان واحد على a
أكبر من سفرهذا يعني 1 على a أكبر من 0 بيؤدي
أيضًا إلى بي اللي هو بساوي ال
بي ممكن اكتبها واحد في بي والواحد ممكن ابدله بواحد
على a في a واستخدم ال associative law واكتب هذا
على صورة واحد على a في a بي الان هذا موجبوهذا موجب
إذا حصلت ضرب بيطلع موجب إذا هذه أثبتت أن ال a أكبر
من ال b أكبر من السفر لأ احنا أخدنا ال a أكبر من
السفر فأدت
إلى أن ال b
أكبر من السفر وبالتالي بيطلع ال a و ال b موجبين
بالمثل لو افترضت .. اخدت لو افترضت ان a سالب فطبعا
مقلوب العدد السالب بيطلع سالب وبالتالي ال b اللي
هي بتساوي واحد على a في a b زي ما عملنا هنا ال b
بتطلع بتساوي واحد على a في a b ف ..
فهذا بيطلع الحاصل بضرب سالب لأن عندي انا هي هذه
المتباينة هذه هي واحد على ا سالب لو ضربت المتباينة
هذه في العدد الموجب a,b اللي هو عدد موجب فبصير
المتباينة هذه عبارة عن واحد على a في a,b الطرف
الشمال وضربتها في عدد موجب فبطلع أصغر من سفر في a
,b اللي هو سفر
وبالتالي بيطلع عندي الـ B بيطلع عند الـ B التي هي
أصغر للسفرإذا مرة تانية لو فرضنا أن a,b أكبر من 0
فشوفنا أن لا ال a بالساوية 0 ولا ال b بالساوية 0
وبالتالي أما بطلع a أكبر من 0 أو a أصغر من 0 في
الحالة الأولى لو كان a أكبر من 0 بطلع b أكبر من 0
وبالتالي a وb موجبين في الاحتمال التاني أو الحالة
التانية لو كان a سالب فشوفنا أن بطلع b سالبو
بالتالي اتنين سالبين okay تمام نشوف
الان Bernoulli inequality اليوم
هناخد برهان by induction برضه مبادئ الرياضيات خلنا
برهان by contradiction و direct proofوهنشوف move
by induction نمسح
اللوح بيرنول
ال equality زي ما قلنا لو كان x عدد حقيقي أكبر من
سالب واحد فلمّا أضيف عليه واحد وارفع لقوة n هذا
بيطلع أكبر من أو سالب واحد زائد n في x وهذا صحيح
لكل الأعداد الطبيعيةالبرغم by induction لو كانت n
بساوي واحد بثبت صحة العبارة عند n بساوي واحد لأن
ان تبدأ من واحد فلو كان n بساوي واحد فالطرف
الشمال
بطلع واحد زاد x صح؟الطرف الشمال واحد زائد X والطرف
اليمين برضه واحد زائد X فبطلع مساواة وطبعا
المساواة بقدر بدلها بأكبر من أوسعه مافي مشكلة
تمام؟
إذا العبارة هذه صحيحة عند N بالساوي واحد الآن نفرض
أن العبارة صحيحة عند N بالساوي K حيث K أكبر من
واحدهذا ما نسميه induction hypothesis الفرض تبع ال
induction نفرض صحة العبارة عند N بساوة K حيث K
أكبر من 1 هذا معناه أن 1 زاد X to K bigger than or
equal to 1 plus K Xطيب الان نريد نكمل ال induction
عايزين نثبت صحة العبارة واحد اللي هي هذه العبارة
واحد مش عارف من الواحد رايح العبارة واحد هذه نثب
الصحة عندنا بساوة K زياد واحد طيب from اتنين هذه
العبارة اتنين اللي هي induction hypothesis
بتدفع في الـ type هاي العبارة هذه لما n ساوي k
زائد واحد هصير واحد زائد x الكل أس k زائد واحد
أكبر من أو ساوي واحد زائد k زائد واحدفي X هذه
العبارة and N بساوي K زي 1 نبدأ بالطرف الشمال و
نثبت أنه أكبر من أو يساوي الطرف اليمين هاي الطرف
الشمال بقدر أجزئه حسب قوانين الأسس ل1 plus K to K
و 1 زي X to K ضرب 1 زي X الآن من اتنين من العبارة
التانية one plus X to K اللي هو induction
hypothesisحسب اتنين هذا اكبر من او يساوي واحد زياد
ك اكس مضروب في واحد زياد اكس بنضرب هدول في بعض و
بنرتب فبطلع حاصل الضرب هذا هو واحد زياد ك زياد
واحد في اكس زياد ك في اكس تربيه الآن
هذا هذا عدد موجب هذا عدد موجبلأن K عدد طبيعي و X
تربيه عدد موجب لما أشيل هذا أشطبه فبصغر المقدار
لما أشيل عدد موجب من عدد أو أنقص من عدد عدد موجب
بصغر فبالتالي هذا أكبر من واحد زاد K زاد واحد في X
وهذا هو الطرف اليمين للمتباينة 1 اللي احنا عايزين
نثبت صحتها عند m بساوي k زيادة واحدة اذا this
completes the induction هذا بيكمل البرهان بال
induction مظبوط صح تمام واضح اذا هاي صار في ان
متباينة
Bernoulli زي ما قلنا لكم في في الفي ال section هذا
بعض المتباينات الأخرى فبإمكانكم تقرؤوها ال
homework الآن خلصنا احنا section اتنين واحد اعتقد
فالمسائل المطلوب انكم تحلوها اللي هي موجودة مرسوصة
هنا وبرضه
زي ما قلتلكم في syllabus موجود على الصفحه تبعتي
فبارضه في ال homework هذا موجود ل .. مش ل ال
section هذا لكل ال .. المنهج اذا نبدأ نحل المسائل
هذه و ان شاء الله لسبوع الجاي بنعمل مناقشة فانا
هعمل مناقشة .. انا اللي هكون مناقشة لكم اليوم لأ
مافيش مناقشة لأنه لسه احنا يعني ماخدناش material
كافيةاو اللي لسه يعني مش مهيئين او مش محضرين
فهنواصل ونحاول ان شاء الله أسبوع الجاى ناخد كل
ساعة هذه الساعة
الأخيرة هذه المتأخرة نعملها مناقشة