بسم الله الرحمن الرحيم طبعا نقول لكم قبل أن نبدأ
في موضوعنا الحمد لله على سلامتكم بسبب الحالة
الجوية السيئة التي مر بها قطاع غزة قبل اللي هو خمسة
أيام واستمرت لمدة أربعة أيام وكانت سببا في غرق
كثير من البيوت وإصابة بعض الناس بإصابات مؤلمة
فالحمد لله على سلامتكم جميعا ونعود الآن لإكمال ما
كنا ندرسه قبل أسبوع بعد هذا الغياب الطويل
موضوعنا كان chapter 9 موضوع ال normal subgroups و
ال factor groups آخر حاجة اتكلمنا عنها المرة الماضية كان
إن لو كانت الـ group الـ G modulo Z of the G الـ
Cyclic يبقى then G is abelian وقد برهنا هذه النظرية
في المرة السابقة، نستنتج منها ما يأتي: إن لو أخدت
subgroup من ال center تبع ال group فإن ال G على H
لو كانت Cyclic يبقى G is abelian والبرهان نفس
البرهان تبع النظرية حرفيا بس بصير إنك أنت مقيد في H
اللي هي ال subset أو subgroup من ال center تبع ال
group الآن ال remark بيقول ال contrapositive of
the above theorem is يعني بمعنى آخر ال negation
لنص النظرية، احنا بنعرف إن ال proposition لو كانت
من اليمين لشمال، ال negation ببدأ من وين؟ من الشمال
لليمين يبقى ال contrapositive لو كانت الـ G هذه
non-abelian إذا ال group هذه ما لهاش non-cyclic
وهذه أبسط الأشياء اللي تعلمناها في مبادئ الرياضيات
نكمل على نفس الموضوع for any group G modulo Z of the G
هذا يكون isomorphic للـ Inner Automorphism لـ
G لذلك نذهب و نعرف Function، Define
A Mapping، Define
A Mapping T مثلا من الـ G و أديله الـ Center تبع
الـ G إلى الـ Inner Automorphism لـ G
طبعا كل element هنا هو عبارة عن left coset G في
ال center بتاع الجي، كل ال elements اللي هنا عبارة
عن isomorphism من ال group إلى نفس ال group يبقى
بدي أسميه ΦG حيث ال ΦG بنذكر بها as a
function of x بده يساوي الـ G x G inverse لكل ال X
اللي موجودة في G يبقى أخدنا element من هنا اللي هو
left coset وليكن G في ال center بتاع الجي، خلينا T
تأثر عليها، افترضنا إن الصورة بتاعتها كانت هي Φ
of G، بدنا نثبت إن هذا isomorphism بس قبل ال
isomorphism بدنا نؤكد على إن T هذه is well defined
يعني تعريفنا هذا تعريف استعريف سليم مائة بالمائة
يبقى T is well defined
هي معرفة تعريفا سليما، يبقى عشان كده بدأ أخد عنصرين
متساويين، نفترض إن الـG في الـZ of the G بده يساوي الـH
في الـZ of the G مثلا، و الـG و الـH هدول موجودين في
الـG يبقى أخدت عنصرين متساويين من هذين العنصرين بدي
أستنتج ما يأتي: لو ضربت الطرفين في G inverse يبقى
بدي يصير عندك ال Z of the G بده يساوي ال G inverse H في
Z of the G، طبعا ال Z of the G is a subgroup للاتنين هدول
متساويين، نستنتج من ذلك إن الـG inverse H موجودة في
الـZ of the G، معناه هذا الكلام إن الـG inverse HX بدي
يساوي الـX في الـG inverse H لكل الـX اللي موجود في
G بلا استثناء، ما دام element موجود في ال center
تبع الـ group، إذا الـ commutes مع جميع عناصر الـ
group بلا استثناء، يبقى بناء عليه اللي هو main
اللي هو الـ G inverse H X بدي أساوي X، G inverse H
من هذا الكلام بدي أحاول أوصل إلى إن ΦG هي ΦH
بالضبط تماما، وبالتالي بوصل للأصل بتاعها، يبقى هذا
يعطينا ما يأتي: بدي أحاول أخل ال H في ناحية ومين؟ و
ال G في ناحية، إذا هذه المعادلة لو ضربت في G من جهة
الشمال وضربت في H inverse من جهة اليمين يبقى هذا
الشيء حتعطينا إن الـ H X H inverse بده يساوي الـ G
X G inverse، طلع ليه كويس، هضرب من جهة اليمين في H
inverse بتروح هذه وبتيجي هنا H inverse، هاي الـ H
inverse تمام؟ الآن بده أضرب من جهة الشمال في G
بتروح حياتي بيظل H X H inverse هتدي لك هنا G X G
inverse بالشكل اللي عندنا هذا، يعني إيه؟ يعني إن
ΦH هي نفسها ΦG يعني تأثير ΦH على أي
element من ال group بيكون تأثير ΦG على نفس ال
element هذا، معناه ΦH هي عبارة عن T of H في ال
center بتاع ال group G بيكون تأثير T على G مضروبة
في ال center بتاع G بالشكل هذا، لذلك T is one to one
T is well-defined، بنيجي الآن لـ T is one to one
يبقى بدي أعمل العملية العكسية، بدي أخد صورتين
متساويتين، Assume T للـ G في ال center بتاع الـ G
بده يساوي T في ال H في ال center بتاع الـ G
بالشكل اللي عندنا هنا، يبقى هذا يعطينا إيه؟ يبقى
يعطينا إن الـ ΦG يساوي الـ ΦH، يبقى لو خلنا كل
واحدة تأثر على X يساوي تأثير الـ H على X، هذا الكلام
صحيح لكل الـ X اللي موجود في G يبقى بناء عليها جيكس
جي انفرس هكس هانفرس لكل ال X اللي موجود في جي بلا
استثناء، طيب كويس هذا الكلام بده يعطينا ما يأتي بدي
أستنتج الشغلة من هذا الكلام، لو ضربت الطرفين في الـ
H من جهتي اليمين يبقى بيصير عندك جي
اكس جي انفرس H بده يساوي الـ HX يبقى ضربت من جهة
اليمين في مين؟ في H بتجينا هنا H ومن هنا بتروح
الـH، هي أجت وهنا راحت، الآن بدي أضرب من جهة الشمال
في G inverse، يبقى لو ضربت من جهة الشمال في G
inverse بيصير X في G inverse H بدي يساوي G inverse H
في X هذا الكلام صحيح لكل الـ X اللي موجودة في G، شو
تفسيرك لهذا الكلام إن عندي هذا ال element هو نفس
ال element يبقى معناه هذا ال element موجود وين؟
في ال center بتاع ال group يبقى هذا الوضع يعطيني إن
الـ G inverse H موجودة في الـ Center بتاع الـ Group
يعني بمعنى آخر هذا معناه إن الـ G inverse H في الـ
Center بتاع الـ Group يساوي الـ Center بتاع الـ
Group لو ضربنا الطرفين في G بيصير عندك H في الـ
Center بتاع الـ G بيساوي G في الـ Center بتاع الـ G
بالشكل هذا وبالتالي أخدنا صورتين متساويتين أثبتنا
إن أصلهم متساوي يبقى بناء عليه G أو T is one to
one، بنيجي نثبت هنا T is onto يبقى بدي أروح أخد
element اللي هو ΦG موجود في ال inner
automorphism إلى جي then ال Φ of جي هذا ال Φ of G
هو عبارة بالضبط عن صورة T للـ G لـ Z of the G بالشكل
اللي عندنا، أنا T G Z of the G يبقى بناء عليه Φ is onto
T is onto، ضايل علينا T is an isomorphism يبقى بروح
أخد T لجي في ال center بتاع الجي مضروب في ال H في
ال center بتاع الجي بالشكل اللي عندنا، هذا الكلام
يساوي T of هذه left coset وهذه left coset تانية
حسب ما أخدنا التعريف، يبقى هذا بيصير GH ل Z of the G
left coset جديدة حسب تعريف الـ T، هذه بيصير Φ GH
الشكل اللي عندنا هنا، طيب الآن لو جيت خط في جي إتش
تأثيرها على element X يبقى هذا الكلام بدي يساوي GH
X GH inverse لأنه ماخد وين ال ΦG هادي؟ وين؟ في ال
inner automorphism طيب هذه لو رجعت لتعريف ΦG X H
انفرس جي انفرس، هذا بندخل انفرس على جوا وبالتالي
بنجلب إيه؟ ووضعهم، لأن ماعنديش جي إز قابيل يعني
ماقلناش قابيل طيب كويس هذه هتعني ΦG لل HX H
inverse يعني بدي افترض إن هذا كله element واحد
وبالتالي بدي يصير جي لل element هذا لل G inverse
تعريف ΦG هذا اللي جوا تعريف main اللي هو في اتش
يبقى هذا ΦG لمين؟ لفي اتش كل هذا as a function
of x، طب ال ΦG هذه مش هي عبارة عن اللي تساوي T في
G في الـ Center بتاع الـ G والتانية ΦH هي عبارة
عن T للـ H في الـ Center بتاع مين؟ بتاع الـ G
وبالتالي صارت isomorphism وبالتالي برهنا من؟
برهننا هذه النظرية
في نظرية هذا اسمها نظرية كايلي برضه لل abelian
groups يبقى هنا theorem لكايلي
theorem كايلي
theorem for abelian groups
بتقول ما يتلت الـ G بيه
finite بيه finite abelian group finite abelian
groupو .. دع ال P بيه قطعة بيه قطعة بيه
قطعة بيه قطعة بيه قطعة بيه قطعة بيه قطعة بيه قطعة بيه
قطعة بيه قطعة بيه
قطعة بيه قطعة بي
الجي لبروفة بتقدر ترجعله Page صفحات الـ 187 و188
فينا تعريف جديد وهذا التعريف مهم شوية لما بعده
definition suppose that افترض
ان ال h and ال k are subgroups of G are subgroups
of G define the set define the set HK
حاصل الضرب HK by HK
هو الـ set of all elements H في K such that الـ H
موجودة في H و K موجودة في K التعريف
اللي بعده بيعتمد عليه definition
we say that ان
الـ G ليه بدها تساوي ال H مضروبة في K الشكل اللي
عندنا هذا is the internal direct product is the
internal direct product of
the subgroups
ال H and الـ K F إذا تحقق ثلاثة شروط الشرط الأول ال
H and ال K are normal subgroups are normal
subgroups normal subgroups of G الشرط
الثاني
ان الـ G بدها تساوي H في K الشرط الثالث والاخير ان
الـ H intersection K بده يساوي ال identity element
examples let
الـ G بدها تساوي الـ S3 and الـ H هي الـ subgroup
generated by واحد اتنين تلاتة and K هي ال subgroup
generated by واحد اتنين السؤال
هو is الـ S3 بدها تساوي H مضروبة في K أم لا هذا
السؤال
طبعا اترضنا على تعريف الـ External direct product
سابقا في ال section اللي قبله وفي ال chapter اللي
قبله واخدنا عليه أمثلة واسئلة ونظريات لما نجي
لحاجة اسمها ال internal direct product اللي هو حاصل
الضرب الداخلي ده كان حاصل الضرب الخارجي بقول افترض
ان الـH وK subgroups من G عرفنا ستة HK حاصلة ضرب
بأنها كل العناصر اللي على الشكل H في K بحيث H
موجودة في H وK موجودة في K بنفس التارتيتتعريف آخر
بيناعرف حاجة اسمه ال internal direct product حصل
الضرب الداخلي فبجي بقول جي هي ال internal direct
product لل H وK وسنعطيها الرمز H علامة الضرب
العادية في K طبعا ال external بقول زائد ودائرة هذه
تدل على ال external وكل عنصر على الشكل two
components three components in components بس هذا
لا بيختلف هذا هنا جيه كل عنصر هنا على الشكل main
على الشكل يعني اتنين مضروبات في بعض ضرب مباشرة يبقى
هذا بسميه الـ Internal Direct Product لـ Subgroups H و K
إذا تحققت عندي ثلاثة شروط الشرط الأول لازم يكون كل
من H و K Normal Subgroups الشرط الثاني عملية
الضرب بدها تجيب ليه كل عناصر الجروب بيه لا إستثناء
لا زيادة ولا نقصان هاي الشرط الثاني الشرط الثالث
ال intersection بين الـH و الـK بده يكون باسمين
identity موجود في اي subgroup من ال group الأصلي
ستة عناصر يعطيني ال subgroup و كمان subgroup تمام
و بيقوللي هل ال S3 هي ال internal direct product تبع ال H
و K ولا لأ بنقوله والله ما احنا عارفين تعالى نشوف
يبقى هنا باجي بقوله solution مشان نعرف بأنه نعرف
مين هي H في الأول طبعا ال identity element وهذا
اللي هو واحد اتنين تلاتة ولو ضربنا في نفسه تربيع
بيعطينا واحد تلاتة اتنين و انتهينا منها and ال K هي
عبارة عن ال identity element والواحد دي اتنين ولو
جيبناه تربيع بيعطينا ال identity element يبقى
هذا هذا اللي موجود عندنا مشان أدربك على هذا الشغل
بديش أبدأ بأول شرط بدي أبدأ بالشرط الثاني وبعد هيك
بروح لمين لباقي الشروط إذا لو جيت لل H في K يبقى
بدي أبدأ أضرب العناصر اللي عندنا في هذه العناصر
يبقى ب ذات ساوية ال identity في ال identity
بتعطيني ال identity element ال identity في واحد
اتنين بتعطيني واحد اتنين بعدين بدي أضرب هذا في
العنصرين 123 في ال identity تعطيني 123 و هذه
بتعطيني .. بدي أضرب اتنين هذول في بعض أشوف شو
بيعطيني الواحد صورته اتنين و اتنين صورته قداشر
واحد يبقى الواحد احنا بدنا نبدأ من هنا هذا واحد
تمام؟ يبقى الواحد صورته اتنين تمام؟ اه اتنين صورته
تلاته تمام؟ طب الآن التلاته صورتها تلاته هنا
التلاته صورتها قداش صورتها واحد و هكذا مرة تانية
بقول الواحد صورته اتنين اتنين صورته تلاته هيحطينا
التلاته التلاته صورتها تلاته التلاته صورتها واحد
هيخلصنا من هنا تمام؟ العنصر اللي بعده اللي هو واحد
ثلاثة اتنين ضربنا في ال identity بنفسه العنصر اللي
بعده بالداجي هذا الواحد الواحد صورته اتنين و اتنين
صورته واحد يبقى جفل هذا راح مع السلامة يبقى بدنا
نيجي للعنصر اللي بعده اللي هو اتنين اتنين صورته
واحد الواحد صورته تلاتة التلاتة صورتها تلاتة
التلاتة صورتها اتنين يبقى جفلة خلصنا اكم عنصر هدول
ستة هم عناصر S3 بالضبط يبقى هذا هم S3 بالضبط يبقى
ال condition هذا معله صحيح نجي لل H intersection K
هذا هو ال condition الأول أو ال condition بده
أسميه الأول ال condition الثاني ال H intersection
K واضح اللي هو مافيش غير ال identity element
ما بين الأتنين هيه وهيه ومافيش غيره الآن بدأجي هل
ال H normal ام لا؟ تعالى نشوف ال H فيها كم عنصر؟
تلاتة و ال S3 فيها قداشر؟ يبقى ال index سبعة
قداشر؟ اتنين او اي subgroup او اي group ال index
لها اي subgroup ال index لها يسوى اتنين عبارة عن
normal واخدناه كمثال الان بدي اجيب .. بدي اقول بدي
اجيب ال index ال condition الثالث الان ال index
تبع اللي هو ال H في S3 ال H في S3
اللي هو يساوي ال order بتبع ال S3 مقسوما على ال
order بتبع ال H هذا ستة و هذا تلاتة يساوي اتنين هذا
سيعطينا ان الـ H is a normal subgroup من SC3 نعود
الان لـ K هل هي normal subgroup ولا لا الله أعلم
تعالى نشوف هل هذا الكلام لو جيت أخد element من S
من من H3 وبدى أشوف احنا بدنا نشوفها normal ولا لأ
بدى أروح أخد element من S3 وضربه في هذا ال element
ومعكسه أشوف موجود في K ولا لأ إذا كان موجود كان
بها مش موجود يبقى هذه ماهياش normal الان عندك واحد
و تلاتة موجود في ال S3 واحد و اتنين موجود وين؟
موجود في ال H بدي اشوف ال normality بدي اخد واحد
تلاتة في واحد اتنين واحد تلاتة inverse مش هيك شرط
ال normality؟
احنا في الـK هذي بدل الـH فيك خلصنا من الـH هذي في
الـK صحيح مضبوط يبقى بدنا ناخد الأول في التاني في
معكوس الأول هذا الكلام بدي يساوي واحد تلاتة واحد
اتنين اظن واحد تلاتة زي ما هو لإن ال transposition
ال inverse له هو نفسه أو ال cycle طولها اثنين ال
transposition له هو نفسه بدي اضرب دغري مش كل اثنين
بدي اضرب الثلاثة مرة واحدة يبقى بدي أبدأ من
بالواحد الواحد صورته ثلاثة والثلاثة صورتها ثلاثة
والثلاثة صورتها واحد يبقى مع السلامة ال identity
هو الاثنين الاثنين صورته اثنين اثنين صورته واحد
الواحد صورته ثلاثة نجي للثلاثة صورتها واحد الواحد
صورته اثنين اثنين صورته اثنين هيوا جفلة يبقى هذا
بده يسوي قداش اثنين ثلاثة هل هذا موجود في K طبعاً
مش موجود في K يبقى لا يمكن تبقى هذه normal في
subgroup من G يبقى هنا so ال K هذه is not normal
subgroup من S3 هذا معناه أن ال G أو ال S3 لا يمكن
أن تساوي الـH اللي هو مضروبة في K يعني في هذه
الحالة الـG is not the internal product تبع الـH
والـK خذ لك مثال آخر example 2 خذ للـG تساوي Z12
واخذ الـ H هي الـ subgroup generated by ثلاثة و K
هي ال subgroup generated by أربعة بالشكل اللي
عندنا هذا تمام والسؤال هو Is الـ Z8 Z12 تساوي الـ
Internal Direct Product ما بين الـ H والـ K أم الـ
Solution
بسأل السؤال التالي هل عندك H اللي هي تساوي العناصر
تبعها 0,3,6,9 والـ K عناصرها 0,4,8 السؤال هو هل
الـ H و K normal subgroup من Z12
أول مثال أخذنا أن any subgroup of an abelian group
is normal
subgroups subgroups of z12 ايه السبب؟ because أن
z12 is abelian
طيب إذا ال condition الأول هذا معناه تحقق بدنا نيجي
لل condition الثاني بدنا نيجي نضرب ال H في K يبقى
هذا ال H في K بده يساوي المقصود ب H في K هو H زائد
K لأن العملية فيما بينهم عملية جمع يبقى لما
نقول هذا H في K بالضبط هي H زائد K بالشكل اللي
عندنا هنا يبقى بدي أبدأ أجمع Zero مع Zero ب Zero
Zero مع أربعة بأربعة Zero مع ثمانية بثمانية خلصت
العنصر هذا مع جميع العناصر بدي أجي للثلاثة ثلاثة مع
Zero بثلاثة ثلاثة ثلاثة وأربعة سبعة ثلاثة وثمانية أحد عشر
خلصنا منها بدنا نيجي للستة ستة وZero عبارة عن Zero
ستة وأربعة أربعة عشر ستة وثمانية ثمانية عشر في Z12
ب اثنين خلصنا من الستة بدنا نروح للتسعة تسعة
زائد Zero ب Zero تسعة وأربعة ثلاثة عشر تعني واحد تسعة و
ثمانية سبعة عشر تعني ستة ب هذا .. تعني خمسة وليس
ستة تعني خمسة ب هذا الشكل الطلق هدول كلهم بتلاقيهم
هم عناصر من؟ Z12 تمام هل عندك ال Zero موجود
واحد اثنين ثلاثة أربعة خمسة ستة سبعة ثمانية تسعة
عشرة أحد عشر كلهم موجودة هل العناصر كلها يبقى تحقق
من عند ال condition الثاني بتروح لل condition
الثالث يبقى ال condition الثالث H intersection K
واضح ما عنديش إلا ال Zero يبقى بأجي بقول له so
Z12 بدها تساوي ال H زائد Zero زائد ال K بدل
ما هي H في K لأن ال operation اللي عندنا عبارة عن
عملية جمع عبارة عن عملية الجمع
طب يا شو رأيك ال internal direct product دي لو جيه
ساوت ال internal direct product فهي isomorphic لل
external direct product
هذا الكلام لو خليناه لمجموعة من الجروس مش اثنتين
ممكن يكونوا اثنتين، ثلاثة، أربعة، خمسة جد ما يكون
يبقى بدنا نعطي ال definition ومن بعدين نكتب
النظرية ال definition بيقول ما يأتي ال let each
واحد H2 ولغاية HN يعني يا شباب بدنا نعمم حاصل
الضرب H في K بدل ما هو اثنتين بدنا نخليه ل N من ال
subgroups ب finite collection
finite collection of normal
subgroups of G we say that we say that بروح نقول
ال G هي ال internal byproduct H1 في H2 في في HN
اللي هو الـ Internal Direct Product تبع الـ H's
هدول and the Internal Direct Product of H1 وH2
ولغاية HNF
إذا تحققت الشروط التالية نمرا واحد الـ G يساوي H1
في H2 في HN بالشكل اللي عندنا هذا واللي هي تساوي
the set of all elements h1, h2, h3, hn such that
hi موجودة في الـ hi بالشكل اللي عندنا هذا ال
condition الثاني condition الثاني أن ال h1, h2 و
لغاية ال hiIntersection hi plus one بده يساوي Zero
بده يساوي ال identity element for i تساوي واحد
واثنين ولغاية ال n ناقص واحد نجي لل theorem
from if a group g if a group g is the internal
direct product of
a finite number
of a finite number of subgroups
subgroups اللي هو H واحد وH اثنين ولغاية HN then
G اللي بيساوي H واحد في H اثنين في HN ايزو مورفك لل H
واحد Extended product مع H اثنين Extended product
مع HN
يبقى هنا بقول جي عبارة عن ال internal direct
product لمين اللي finite number subgroups H1 وH2
لغاية HN then ال جي تعني أن ال internal direct
product ايزو مورفك لمين لل external direct product
بمعنى آخر لو حبيت تبرهن بدك تعملي function ال
function هذه بدك تقولي مثلا في of او بدك تعرف في
بتعرف فاي define فاي من الـ H واحد external direct
product لـ H اثنين .. internal direct product
internal direct product للـ H N إلى الـ H واحد
external direct product مع H اثنين external direct
product مع H N بفاي اوف بتأخذ element
هنا يبقى ال element هذا هو H1 مضروب في H2 مضروب في
H3 ولغاية HN بنوديه على الجروب الثاني اللي هو H1
فاصلة H2 فاصلة فاصلة HN بالشكل اللي عندنا هذا يبقى
H N تمام هذه مكونة من N من المركبات هذه ل N من
ال elements المضروبة في بعضها يبقى هنا هذول
المضروبات في بعض يبقى كل هذا يعتبر element واحد
فصلنا إلى N من المركبات يبقى وتثبت لهذه one to
one وانت وتخدم خاصية ال isomorphism مثبوطة عندك
في الكتاب تريد تطلع عليها من الكتاب وهذا يعطيك ال
function هذا إذا ما عرفتش تسويها عرفت اعمالها
بيكون كفى الله المؤمنين القتال في عندك نظرية بتقول
ماشي سيارة بتقول
every group every
مجموعة من رتبة P تربيع P أكبر من رتبة P أكبر من
رتبة P أكبر من رتبة P أكبر من رتبة P أكبر من
رتبة P أكبر من رتبة Z بي تربيع أو ل Z بي external
product مع مين مع Z بي وفي كورلري عليها كورلري
بيقول لو كانت ال G is a group of order P تربيع
where
ال P is a prime ال P is a prime then ال G is
abelian ال G is abelian
على أي حال أنتم لاحظين أن احنا ما برهناش أكثر من
نظرية نظرية اللي سوء لحوالي الجوية والارضية خلص
الجزء النظري يوم الأربعاء إن شاء الله بنعمل مناقشة
لهذا الشابتر حتى الأسبوع اللي بعده ندخل في الشابتر
الأخير