موسيقى
بسم الله الرحمن الرحيم نعود الآن لإكمال ما ابتدأنا
في المحاضرة الماضية وهو section 5-7 الذي يتحدث عن
الـundetermined coefficients اللي هي طريقة
المعاملات المجهولة لحل المعادلة التفاضلية بنحل بهذه
الطريقة إذا تحقق في المعادلة أمران الأمر الأول
كانت المعاملات كلها ثوابت للمعادلة التفاضلية الأمر
الثاني شكل الـ F of X يبقى على شكل معين ما هو هذا
الشكل؟ أحد ثلاثة أمور الأمر الأول أن يكون polynomial
الأمر الثاني polynomial في exponential الأمر
الثالث polynomial في exponential في sin x أو cos x
أو مجموعهما أو الفرق فيما بينهما وعطينا على ذلك في
المرة الماضية مثالين وهذا هو المثال رقم ثلاثة يبقى
بدنا نحل المعادلة التفاضلية اللي عندنا هذه ذكرنا
في المرة الماضية بنجزئها إلى جزئين بناخد الـ
homogeneous ومن ثم الـ non homogeneous differential
equation يبقى بداجي أقوله افترض أن Y تساوي E أس RX
بيه solution of the homogeneous differential
equation اللي هي المعادلة التالية Y W Prime زائد Y
يساوي Zero then the characteristic equation
الحل المتجانس يبقى
The Homogeneous Differential Equation is يساوي
يساوي يساوي
يساوي يساوي يساوي يساوي يساوي يساوي يساوي يساوي
يساوي يساوي
يبقى أروح أدور على particular solution لحل
المعادلة اللي هي non homogeneous فباجي بقوله the
particular solution
of the Differential equation start وبروح اللي فوق
الأساسية هذه بسميها star (S) مديله الرمز YP وبدي
بقول كتالي X to the power S V بأجي على شكل اللي هو
الدالة اللي عندنا هذه رقم في sign يعني polynomial
من الدرجة الصفرية مضروبة في sign إذا بدي أكتب
polynomial من الدرجة الصفرية في sign زائد
polynomial في cosine يبقى بقدر أقول هذه عبارة عن a
في cosine الـ x زائد b في sine الـ x بالشكل اللي
عندنا هذا عندما أبحث عن قيمة S هل هي 0 أو 1 أو 2 أو
3 أو 3 أو 3 أو 3 أو 3 أو 3 أو 3 أو 3 أو 3 أو 3 أو
3 أو 3 أو 3 أو 3 أو 3 أو 3 أو 3 أو
بواحد وشوف لو حطيتها بواحد بيظل فيه تشابه ولا بيكون
انتهى هذا التشابه إذا لو حطيت S بواحد بيصير AX Cos
وهنا BX Sin هل في أي term هنا يشبه أي term هنا
طبعا لأ يبقى هنا here هنا الـ S تساوي واحد لما حط الـ
S تساوي واحد بيكون أزلنا الشبه اللي موجود تماما ما
بين الـ complementary solution و الـ particular
solution يبقى بناء عليه هيصبح YP على الشكل التالي
AX في cosine X زائد BX في sine X الآن بدنا نحدد
قيمتين ثوابت الـ A و الـ B لذلك بدي اشتق مرة و اثنين
و أعوض في المعادلة الأصلية يبقى بدي أخد Y P Prime
هذه المشتقة حصل ضرب دالتين يبقى a في cos x ناقص ax
في sin x زائد كمان هذه حصل ضرب دالتين يبقى b في
sin x زائد bx في cos x يبقى اشتقنا كله من X و Cos X
و X و Sin X كحاصل ضرب دالتين هذا حصلنا على Y' طبعا
ما فيش ولا term زي الثاني يبقى بيخلي كل شيء زي ما
هو بدنا نروح نجيب YPW' يبقى بدنا نشتق هذه بالسالب
A Sin X وهذه السالب A Sin X بعد ذلك السالب ax في
cos x اشتقت هذه حصل ضرب دالتين بنانيج اللي بعدها
يبقى زائد b في cos x خلصنا منها بدأت أشتق هذه حصل
ضرب دالتين يبقى زائد b في cos x ناقص bx في sin x
يبقى اشتقناه حصل ضرب دالتين هنا في بعض العناصر
متشابهة هي عند هنا سالب اثنين a في sine الـ X وعندي
كمان زائد اثنين b في cosine الـ X هدول اثنين مع بعض
وهدول اثنين مع بعض باقي عندي ناقص ax في cosine الـ
X وناقص bx في sine الـ X بعد ذلك اخذ المعلومات اللي
حصلت عليها و أعوض في المعادلة star يبقى هنا
substitute in
the differential equation star we get بنحصل على ما
يأتي
يجب أن ازالة وي دابلي برايم واحط قيمتها وي دابلي
برايم هي حصلنا عليها يبقى ناقص اثنين اف صين
الزاوية ثتا صين الزاوية X تمام؟ اللي بعدها زائد
اثنين B في cosine الـ X اللي بعدها ناقص الـ AX في
cosine الـ X ناقص الـ BX في sine الـ X هذا كله اللي
أخدته مين؟ YW prime ضايق لنا مين؟ Y وين Y هايها؟
بده أجمعهم هدول يبقى زائدهه اللي هو مين ax في cos
x وبعد هي كده زائد bx في sin x كله بيساوي الطرف
اللي يتبع المعادلة اللي هو 4 في sin x بنجي نجمع عن
ax cos بالسالب و ax cos بالموجب عنا bx sin بالسالب
و bx بيمين بالموجب يبقى صفة المعادلة على الشكل
التالي ناقص اثنين a sin x زائدي اثنين b cos x كله
بده يساوي أربع sin x بعد ذلك نقرر المعاملات في
الطرفين إذا لو قررنا المعاملات في الطرفين بسنا نقص
اثنين a بدي أساوي قداش؟ أربع وعندك اثنين b بدي عندي
cosine هنا ما عندناش يبقى بيه Zero هذا معناه أن الـ a
تساوي سالب اثنين و الـ b تساوي Zero يبقى أصبح شكل الـ
YP على الشكل التالي يبقى
أصبح هذا شكل الـ YP
Y يساوي YC زائد YP يبقى بناء عليه يصبح y يساوي yc هي
الموجودة عندي يبقى c1 cos x زائد c2 في sin x وزائد
yp ناقص 2x في cos x يبقى هذا الحل النهائي تبع من؟
تبع المعادلة لاحظي ولا term من الثلاث termات زي
الثاني ما فيش تشابه بين أي term والـ term الثاني
المثال رقم أربعة يبقى example أربعة
بقول
دي term a suitable
form شكل
مناسب For the
particular solution
of the
Differential equation للمعادلة التفاضلية YW' ناقص
4Y' زائد 4Y يساوي 2X تربيع زائد 4X E أس 2X زائد X
في Sin 2X وهذه بدي اسميها المعادلة هي من
الـ star وبين جسين don't
don't evaluate the
constants
قالب الكوينة تانينقرأ السؤال مرة ثانية ونشوف شو
المطلوب بيقول لي حدد حل في شكل مناسب للـ particular
solution y, z تبع الـ differential equation هذا
يبقى الناس بتحدد شكل الـ particular solution
ويقول لي ما تحسبش الثوابت اضايع شواجدك وأنت بتجيب
المشتقة الأولى والثانية وتعوض في المعادلة وتجيب
ليه قد ايش قيمة a و b أو a و b و c وما إلا بتديش قيمة
ثوابت بس هتلي شكل الـ main الـ Particular solution ليس
لازم يكون قيمته ثابتة بقوله كويس يبقى يحتاج
للمعادلة يحتاج أن يأخذ الـ Homogeneous differential
equation يبقى يبدأ كما بدأت في المثال اللي قبله
let Y تساوي E أس RX بإيه؟
يبقى باجي بقوله the characteristic Equation is R
تربيع ناقص أربعة R زائد أربعة يساوي Zero أو أن
شئتم فقولوا R ناقص اثنين لكل تربيع تساوي Zero أو
الـ R تساوي اثنين والحل هذا مكبر كم مرة؟ يبقى مرتين
يبقى of multiplicity two
2 يعني الحل مكرر مرتين بناء عليه بروح بقوله هنا
يبقى solution yc بده يساوي الحل real ومكرر مرتين
يبقى c1 زائد c2x e أس r
بنبروز هذا الحل وبنسيبه وبنروح نرجع له بعد قليل
الآن بدنا نيجي للـ non homogeneous differential
equation اللي الـ star اللي عندنا بدنا نتطلع على
شكل الـ F of X اللي هو الشكل اللي عندنا هذا هل هي
polynomial فقط؟ أو polynomial في exponential أو
polynomial في sin أو cos المجموعة الحمد لله جايبة
الثلاث حالات كلهم بسؤال انواعي هي polynomial من
الدرجة الثانية polynomial من الدرجة الأولى في
exponential polynomial من الدرجة الأولى في sin إذا
إيش هأعمل في المعادلة اللي عندي؟ هأجزقها إلى ثلاث
معادلات تمام؟ و أحل كل واحدة فيهم و أجيب الـ
particular solution تبعها وأجمع الحلول الثلاثة
بيعطيني الـ particular solution لمين؟ للمعادلة
طبقا للنظرية اللي أعطانيها لكم في أول section في
الـ non homogeneous differential equation قولنا لكم
هذا بيلزمنا لمين؟ للـ sections القادمة تمام؟ يبقى
بداجي أقوله هنا differential equation star is
written as يمكننا أن نكتبها على الشكل التالي الـ y
double prime ناقص أربعة y prime زائد أربعة y يساوي
كم؟ يساوي اثنين x تربيع المعادلة الثانية اللي هي
مين؟ YW'-4Y' زائد 4Y يساوي 4XE2X
المعادلة الثالثة YW'-4Y' زائد 4Y يساوي XSIN2X يساوي
X في SIN2X بالشكل اللي عندنا هذا
طيب، الآن يعني كأنه صار عندي مش مسألة واحدة، ثلاث
مسائل، بدي أحل كل واحد أجيب الـ particle solution
كأنه لا علاقة لها بمين؟ بالأخرى، يبقى هنا بدي أجيب
الـ YP1 يبقى YP1 يساوي X to the power S فيه، هذه
polynomial من الدرجة
هل أي term من هنا يشبه
أي term فوق؟
مضروبة يعني هذا C1 E2 X و C2 X E2 فيه؟ ما عنديش
exponential هناك بما فيش يبقى هنا S بقدر إيه؟ ب
Zero يبقى here الـ S تساوي Zero يبقى أصبح Y P1 بده
يساوي A0 X تربيع زائد A1 X زائد A2 سيبونا من هذا
ننتقل على اللي بعدها يبقى بدي أكتب يبقى
بدي أكتب polynomial من الدرجة الأولى في الـ
exponential يبقى بدي أكتب polynomial من الدرجة
الأولى في الـ exponential يبقى بدي أكتب polynomial
من الدرجة الأولى في الـ exponential يبقى بدي أكتب
polynomial من الدرجة الأولى في الـ exponential
exponential يبقى بدي أكتب polynomial من الدرجة
الأولى في الـ exponential يبقى بدي أكتب polynomial 176 0
كل هذا الكلام مضروب في cos 2x زائد ex
زائد ex كله مضروب في sin 2x و exponential ماعنديش
هل أي term من المستطيل اللي فوق هذا يشبه أي term
من المستطيل اللي فوق هذا؟ لأ ولا فيه sign ولا cos
ساين
الـ S بدها تساوي 0 يبقى أصبح YP3 بدها تساوي D ex
X زائد D1 في Cos 2X زائد E ex زائد E1 في Sin
2X يبقى الـ Particular solution اللي بدنا يا بنات
يبقى يساوي YP1 زائد YP2 زائد YP3 يبقى أصبح YP
يساوي YP1 هاي و بنزله زي ما هو A0 X تربيع A1X زائد
A2 زائد
YP2 YP3 YP4 YP5 YP6 YP7
يبقى هذا كله يعتبر من ال particular solution اللي
مطلوب عنها حد فيكوا له أي تساؤل هنا في هذا السؤال؟
في أي تساؤل؟ طيب على هيك انتهى هذا ال section وإلى
يكون أرقام المسائل يبقى exercises خمسة سبعة
المسائل التالية من واحد لغاية عشرين ومن خمسة
وعشرين لغاية ثلاثين مرني
أديكي قد ما تقدري بتصير هذا الموضوع بصير جدا
اللي فوق هذا انتهينا منه أظن خلاص؟
طيب لما ننتقل إلى ال section الأخير من هذا ال
chapter وهي الطريقة الثانية من طرق حل ال non
homogeneous differential equation وهي طريقة ال
variation of parameters تغيير الوسيطات يبقى 85 أو
58 اللي هو variation of
Parameters نستخدم
هذه الطريقة نستخدم هذه الطريقة to find a
particular solution to find a particular
YP الرمز للإيقاع
Differential equation للمعادلة التفاضلية a0 as a
function of x زائد ال a1 as a function of x لل
derivative n-1 زائد نبقى ماشي لغاية an
-1 as a function of x y' زائد an as a
function of x في ال y بده يساوي F(x)
وهذه اللي كنا بنطلق عليها المعادلة الأصلية اللي هي
star where حيث ال a0(x) و ال a1(x) و
لغاية ال an(x) هدول كلهم need not need not
constants need
not constants and no restriction ماعنديش قيود
ماعنديش
قيود عليها
YC يبدو يساوي C1Y1 زائد C2Y2 زائد CnYn Assume that
is a solution of the homo
زائد زائد an-1 as a function of x في ال y
prime زائد an(x) y بده يساوي كده؟ بده يساوي 0
to get a
particular solution
to get a particular solution yp of the
differential equation star by the method
of variation of
parameters replace
استبدل replace the above constants above constants
in
the solution yc
by the functions
The functions C1(X) C2(X) و لغاية Cn(X) That
is
YP يصبح على الشكل التالي C1(X)Y1 C2(X)Y2 زائد
Cn(X)Yn
الـ Cm as a function of X يسوي تكامل الورنسكين m
as a function of X في F1(X) على
الورنسكين (X) كله بالنسبة إلى DX والـ M
و لغاية ال N و
لغاية
ال N و لغاية ال N و لغاية ال N و لغاية ال N
is the determinant المحدد
obtained from
الوانسكين
of X by replacing
By replacing the m column By the column By
the column Zero Zero ونظل ماشيين لغاية الواحد and
الـ F1(X) تساوي الـ F(X) مقسومة على A0(X)
Note
When
we use the method when we use the method of
variation
of parameters عندما
نستخدم هذه الطريقة variation of parameters the
coefficient
يجب أن يكون يومي يومي
يومي يومي يومي يومي يومي يومي يومي
is of the second order
that
is
الـ A0(x) y'' A1(x) y' A2(x) y
بدها تساوي f
of x and f y1 and y2 are two solutions are two
solutions of
the homogeneous equation A0(x) y'' A1(x)
y' A2(x) y بدو يساوي zero then
الـ C1(X) هو تكامل لناقص Y2 as a function of X
في الـ F1(X) على W(X) DX
الـ C2 as a function of X بده يساوي تكامل لمين؟
بده يساوي تكامل للـ Y1 as a function of X في الـ
F1(X) كله على الـ W(X) في الـ DX
example
1
Find the general solution of
the differential equation للمعادلة
التفاضلية Y'''-2Y
للمعاملة التحوي عضلية y
''' زائد y' بدي يساوي x يساوي
x و ناقص y على 2 أقل من x أقل من y على 2
الطريقة الثانية من حل المعادلة التفاضلية غير
المتجانسة هذه الطريقة سمنها ال variation of
parameters يبقى أول طريقة طريقة ال undetermined
coefficients والطريقة الثانية التي هي طريقة ال
variation of parameters تغيير الوسيطات تتلخص هذه
الطريقة فيما يأتي طبعا الـ Undetermined
coefficients قلنا مشان نشتغل بها بدي شرطين أن
المعاملة ثابتة و ال F(x) تبقى على شكل معين حسب
الجدول اللي اعطاناكوا يعني، مظبوط؟ هنا ال
variation بيقولي لأ المعاملة ثابتة و الله متغيرة
ماعنديش مشكلة ال F(x) اللي في الطرف اليمين هذه
ال F(x) كانت على شكل معين و الله غير عليها شكل
معين ماعنديش مشكلة يعني أيش ما يكون شكل ال F يكون و
ايش ما يكون المعاملة ثوابت أو متغيرات ماعنديش
مشكلة يبقى هذا الشكل العام للمعادلة (*) حيث هدول
الدوال need not constants ليس بالضرورة يكونوا constants يعني
ممكن يكونوا constants وممكن يكونوا متغيرات ماعنديش
مشكلة في هذه الحالة and
and no restrictions
ماعنديش قيود على شكل ال F(x) في ال Undetermined
قلت يابولينوميال يابولينوميال في الاكسبوننشيل
يابولينوميال في اكسبوننشيل في الاكسبوننشيل في
الاكسبوننشيل في الاكسبوننشيل في الاكسبوننشيل في
الاكسبوننشيل في الاكس هذا الشغل الوحيد اللي هو الحل
الـComplementary Solution بدي أدور على الـ
Particular Solution تبع المعادلة مين؟ تبع المعادلة
(*) فبجي بقول بدي أفترض الحل بطريقة ال version of
parameters هو نفس الحل هذا بس بدي أشيل ثوابت و
أضع بدلهم دوال في X يبقى (*) شكل ال Particular
Solution هو C1(X) Y1 زائد C2(X) Y2 زائد زائد
Cn(X)Yn طيب مين هي الـC هات كيف بدي أحسبها
هذه؟ بعد شوية حسابات لجينا في قاعدة بواسطتها بجيب
كل دالة من هذه الدوال مين هي؟ قاعدة Cm(X) طبعا
بواحد واثنين لغاية ال N يعني بC واحد وC اتنين وC
ثلاثة كده إلى الآخر يساوي الـ W(m) F1(X) على
W(X) DX نجي على الـ W(X) الـ
W(X) هذا تابع للحلول اللي في الحالة الأولى
Y1 و Y2 و Yn بجيب اللي هم الـ W(X) بيكون هذا
هو الـ W(X) تابع لحصوف على شجرة بدي W(1) و
W(2) و W(3) لغاية W(n) مين هو هذا؟
هذا ال W(1) باجي على ال W(X) دي بشيل
العمود الأول و بحط بداله العمود هذا و بحسب قداش
قيمة ال W(X) طب بدي W(2) بسيب ال W(X) هذا
زي ما هو و بجي على العمود الثاني بشيله كله و بحط
بداله العمود هذا و هكذا W(3) W(X)
لغاية بكملهم كلهم يبقى في هذه الحالة جبتها طب مين
هي ال F1(X) هذه؟ اه ال F1(X) هذه لما تيجي المعادلة بد
المعادلة هنا المعامل تبعي يكون جديشهذا يعني أنني
أقسم الطرفين على مين على A0(X) يبقى ال F1 هي
عبارة عن F(x) مقسومة على ال A0(X) يبقى ال F1
(X) هي ال F(X) مقسومة على مين على ال A0(X)
أصلا واضح كلام هذا طيب الآن في ملاحظة بدنا نشير
إليها الملاحظة كانت التالية قلتها بس بدنا نعيدها هيا
عندما نستخدم ال variation of parameters لازم يكون
المعامل تبع Y'' هو مين و نسيت و حطيت ال F(x)
هذه بدل هذه بصي كلامك غلط بصي تحققش و ما تقدرش
تتكاملي تمام يبقى تتأكدي عندما بدك تستخدم التكامل
بتخلي المعامل تبع Y to the derivative أن هو واحد
صحيح تمام هي نقطة الأولى بعدين فينا ملاحظة ثانية
بيقول ال equation (*) هذه لو كانت من الرتبة
الثانية يبقى بدل ال W(1) و نص كنتوا محسبينه و
خلصينه و جاهزين ايش بيقول ال C1(X) بتحطي للحل
الثاني بإشارة سالب في ال F1(X) على ال W(X)
طيب و ال C2؟ و ال C2 هي الحل الأول في ال Y1(X)
على مين؟ على ال W(X) يبقى كمان لابد تحسب
ال W(X) لأ هذا إن كانت من الرتبة الثانية، من
الرتبة الثالثة، بدي أرجع عالميا للكلام الأول، واضح
كلام هيك؟ الأمن اللي حطوه على أرض واقعة جالي يحل
المعادلة هذه بقوله تمام يبقى أنا بدي أبدأ بحل ال
homogeneous differential equation كما كنا من قبل 379 00:42:12,190 -->
كمان مرة Zero ناقص Cos X ناقص Sine X بدي أفكه
باستخدام عناصر العمود الأول يبقى واحد فيه قشط بصفه
عموده يبقى Sin تربيع ال X زائد Cosine تربيع ال X
اللي هو قداش الواحد بدي أجيب الـ Ronskian 1 as a
function of X بدي أشيل العمود هذا و أستبدله
بالعمود 001 والاتنين هدول زي ما هم Cos X Sin X -Sin
X Cos X - Cos X - Sin X ويساوي بدي أفكه برضه باستخدام
العمود الأول يبقى Zero ناقص Zero زائد واحد في قشط
بصفه عموده Cosine تربيع زائد Sine تربيع Cosine
تربيع ال X زائد Sine تربيع ال X كله بقداش بواحد
يبقى بناء عليه بدي أجيب الـ Ronskian 2 as a
function of x يبقى العمودي اللي اللي هو بدي أرجع
كما كان يا بنات أي واحد Zero Zero العمودي الثاني
هو اللي بدي أستبدله ب Zero Zero واحد والعمودي
الثالث كما كان Sine ال X Cosine ال X ناقص Sine ال
X يبقى بناء عليه هذا الكلام يساوي بدي أفكه باستخدام
عناصر العمود الأول يبقى قشط بصفه وعموده Zero ناقص
Cosine ال X يبقى ناقص Cosine ال X خلينا نجيب
الـ Ronskian 3 as a function of X يساوي 1 0 0 العمود
الثاني كما هو Cosine ال X ناقص Sine ال X وهنا ناقص
Cosine ال X وهنا 001 بالشكل اللي اقنعناه بدي أفكه
باستخدام عناصر العمود الأول بقشط بصف وعموده ناقص
Sin X خلصنا منه، سأحصل على الـ C1 as a function of
X التكامل من أين؟ التكامل للـ Ronskian 1 of X في
الـ F of X لا يوجد فيها تغيير كما هي على الـ
Ronskian of X كله بالنسبة إلى DX يساوي تكامل Ronskian
1 طلعناه بقداش بواحد يبقى هذا واحد فيه الـ F of X
اللي يبقى دهشة بنات Sec ال X ازاي على Sec ال X على
الـ Ronskian of X الأول برضه واحد كله DX يبقى تكامل
الـ Sec لين Absolute value لـ Sec ال X زائد Tan ال X
بدنا نجيب C2 as a function of X يبقى تكامل Ronskian 2
of x في f of x على Ronskian of x dx يساوي تكامل
Ronskian 2 هو بناقص Cos x
يبقى تكامل لناقص DX يبقى بناقص X ولا تكتبي
Constants لأن كل صلاة وكتاب يعملوا ليه تكرار يبقى
سيبين من التكرار يبقى بكتبها فقط زي هيك بدأ ياخد
C3
يبقى بيدي C3A of X يبقى يساوي تكامل Ronskian 3 of X
في F of X على Ronskian of X DX Y يساوي الـ Ronskian 3
له سالب Sin X والدالة Sec ال X والرمز كان واحد DX
يبقى يساوي تكامل سالب Sin X الـ Sec مقلوب الـ Cos X DX
أظن البسطة فاضل المقام يبقى الجواب لين Absolute
value لـ Cos X يبقى جبت الـ C الثلاث يبقى سار YP
يساوي وين YP يا بناتهيه بدي أشيل الـ C1 الـ C1
جيبناها اللي هي قداش اللي هي الـ Ln Absolute value
لـ Sec ال X زائد Tan ال X زائد C2 وين C2 هيو زائد
اللي هي ناقص X في مين؟ في Cosine ال X
يبقى y يساوي yc هي
تحت يبقى c واحد زائد C2 Cos X زائد C3 Sin X زائد YP
هاي وبدي أنزله زي ما هو بس ليه خاطر أرتبه يبقى هاي
Sin X في Ln Absolute value لـ Cos X ناقص X في Cos
X زائد Ln Absolute value لـ Sec X زائد Tan ال X وكان
الله بالسر علينا يبقى هذا حل السؤال اللي عندنا
تمام وهكذا يعني الشغل بهذه الطريقة طبعا لو جيبناك
سؤال في الامتحان لن يزيد عن الرتبة الثالثة أن
دخلنا في الرتبة الرابعة بدك محدد من الدرجة الرابعة
بياخد وقت كتير وانت تحل فيه يبقى فقط من الدرجة
الثالثة أو الدرجة الثانية إن شاء الله لازلنا في
نفس الـ Section ولما ننتهي بعد في عندي بعض الأمثلة
على نفس الموضوع بالإضافة إلى آخر طريقة اللي هي
طريقة Reduction of Order لاختزال الرتبة للمحاضرة
اليوم بعد الظهر إن شاء الله وتعالى