بسم الله الرحمن الرحيم بقيت في section خمسة أربعة
من المرة الماضية آخر نقطة اللي قدامنا اللي هي ال
total area المساحة الكلية هنعطي تعريف فيه بأن نحسب
المساحة الكلية يعني المساحة اللي موجودة بين منحنا
ومحور X طبعًا احنا سابقًا أخذنا كيفية إيجاد هذه
المساحة إذا كان عندها الدالة دائمًا و أبدًا non
negative يعني بتاخد قيمة موجبة دائمًا و أبدًا لكنها
بتاخد قيمة موجبة و قيمة سالبة هذه لم نتعرض لها قبل
ذلك، بنتعرض لو كانت الدالة أعلى محور X أو أسفل محور
X كيف بنحسب المساحة اللي محصورة بينها و بين محور
X طبعًا إذا الدالة فوق محور X و بنحسب المساحة
المساحة بتطلع بقيمة موجبة إذا الدالة أسفل محور X
يبدأ المساحة اللي بينها و بين محور X تطلع عندنا
بإشارة سالب كما سنرى بعد قليل الـ remark بتقول لي ما
يأتي، مشان نجد الـ total area المساحة الكلية بين
الرسم البياني اللي اتدالة Y تساوي F of X ومحور X
على الفترة A وB بدنا نعمل الخطوات التالية We make
the following steps الخطوة الأولى We subdivide the
interval A وB At the zeros of F يعني بدنا نيجي نقسم
الفترة من A إلى B حسب أصفار الدالة يبقى وين الدالة
بتاخد القيم اللي بتخلي الدالة تساوي صفر بدنا نجزئي
التكامل إلى مجموعة من التكاملات على هذه الفترات
النقطة الثانية بدنا نحسب قيمة كل تكامل من هذه
التكاملات على الفترة الخاصة به، يعني لو اتخيلنا أن
هذا الرسم اللي عندنا هي رسم في المنحنى Y تساوي F
of X نلاقي أن الدالة أخدت zero عند الـ A و عند X
واحد و X اتنين و عند M و عند الـ B إذا قسمنا الفترة
إلى ثلاث فترات بدنا ناخد الفترة من A إلى X1 ومن X1
إلى X2 ومن X2 إلى B يبقى لو كاملت الدالة على
الفترة من A إلى X1 بحصل على المساحة A1 لو كاملت على
الفترة من X1 إلى X2 بحصل على المساحة A2 لو كاملت من X2
إلى B بحصل على المساحة A3 موجبة موجبة سالبة هتطلع عندنا
إذا انجزنا كامل على الفترات الثلاث اللي عندك أو
الأربعة أو الخمسة جد ما يكونوا حسب أصفار الدالة
بعدها بيقول بتجمع الـ absolute values للتكاملات
التكاملات نتيجة تكاملها قد يكون موجب وقد يكون سالب
إذا بأخد الـ absolute value لكل تكامل من التكاملات
الثلاثة بيصير كله موجب يبقى بجمع بكون جبت المساحة
الحقيقية اللي محصورة بين المنحنة ومحور X يبقى هنا
الـ Total Area A يبقى سواء Absolute Value لـ A1
زائد Absolute Value لـ A2 زائد Absolute Value لـ A3
بيعطيني المساحة الحقيقية حيث A1 يتكامل من A لـ X1 لـ
F of X DX الـ A2 تكامل من X1 لـ X2 لـ F of X DX الـ
A3 تتكامل من X2 إلى B لـ F of X DX وهكذا طب السؤال
هولو أنا بقادر يعني لو اجينا ناخد الـ absolute value وروح
نجمع التكاملات يمكن يطلع التكامل أو المساحة تكون
صفر فهل هذا الكلام معقول؟ يعني لو اجينا تخيلنا أن
دالة دي رسمها وكانت المساحة A1 و A3 مجموعهم عدديًا
يساوي مجموع A2 يبقى A2 سالبه لفوق موجبة بيجيبوا يطلع
النتيجة قد صفر هل يقل مساحة بالمنحنى وما هو رقمي
يساوي صفر؟ طبعًا لا لو كانت المساحة اللي اتحصلت أكبر
من مساحتي الاتنين عدديًا هيطلع تكامل سالبة هل يعقل
مساحة تأخذ قيمة سالبة؟ طبعًا لا وهكذا إذا نضطر لأخذ
الـ absolute value حتى نطلع جداش المساحة الحقيقية
اللي موجودة ما بين المنحنة ومحور X نعطي الآن مثال
عددي على كيفية حساب الـ total area جاليهات للـ total
area المساحة الموجودة ما بين محور X والرسم البياني
لدالة F of X يساوي X تكعيب ناقص 3X تربيع ناقص
2X على الفترة من ولا ومن سالب اتنين لغاية
اتنين لغاية اتنين يبقى أنا بدي أروح أطبق الخطوات
الثلاث اللي موجودة عندي الـ sub divide the interval
of the zeros of F يبقى أول خطوة بدي أروح أجيب أصفار
الدالة اللي عندنا دي بدي أجيب أصفار الدالة يبقى بدي
أعمل الخطوة الأولى يبقى بدي اخذ الـ F of X اللي
عندنا اللي هي جداش X تكعيب وهنا ناقص ثلاثة X تربيع
وهنا زائد 2X وروح أسويها بجداش بالصفر بدي
أجيب أصفار الدالة بدي أروح أحلل هذه المعادلة يبقى
ممكن اخذ X عامل مشترك بظل X تربيع ناقص ثلاثة X
زائد جداش 2 يساوي Zero هذا الكلام عبارة عن X في
قوسين بده يساوي Zero يبقى هنا X هنا X هنا واحد هنا
2 هنا ناقص هنا ناقص يبقى ناقص X و ناقص 2X
بناقص ثلاثة X يبقى تحليلنا سليم يبقى أصفار الدالة
هي X يساوي Zero والـ X يساوي واحد والـ X يساوي 2
بتجزء الفترة اللي عندك حسب أصفار الدالة يبقى أنا
عندي من سالب 2 لغاية Zero ومن Zero لغاية One لغاية
2 يبقى هي أصفار الدالة يبقى بناء عليه الـ total
area اللي هو بدنا التكامل اللي هو بدنا نروح نكامل على
الفترة الأولى يبقى بدنا A نكامل من سالب 2 لغاية 0 للـ
F of X DX للـ X تكعيب ناقص 3X تربيع زائد 2X كله
بالنسبة لـ ديم الى DX يساوي بدنا نكامل يبقى X أس أربعة
على أربعة ناقص X تكعيب على 3 بتروح مع الـ 3
زائد X تربيع على الـ 2 بتروح مع الـ 2 يبقى هذا
الكل من ناقص 2 لغاية Zero يبقى لو جيت أعوض
بالقيمة اللي فوق Zero ناقص Zero زائد Zero يبقى
Zero ناقص Zero زائد Zero هيعوض بالقيمة اللي فوق
ناقص افتح قوس بدنا نشيل كل X ونحط مكانها ناقص
2 يبقى ناقص 2 أس 4 بقى جداش 16
على 4 اللي بعدها ناقص 2 تكعيب اللي هو ناقص
8 مع ناقص بصير زائد 8 اللي بعدها ناقص
2 تربيع زائد جداش زائد 4 ويساوي يبقى، لاحظنا
القيمة اللي فوق ناقص القيمة دي شلت كل X وحطيت
مكانها ناقص 2 يبقى هذه الـ 16 على 4 فضل
قداش؟ 4 و 4 8 و 8 16 يبقى
النتيجة سالب 16 بعد هيك هذه كلها تعتبر لمن؟ A1
بدي أروح أجيب له A2 يبقى A2 تكامل من 0 إلى 1
integration من 0 إلى 1 للـ X تكعيب ناقص 3X تربيع
زائد 2X كله في DX نتيجة التكامل هي X أس 4 على 4
ناقص X تكعيب زائد X تربيع نفس النتيجة اللي فوق بس من
واحد لواحد من Zero لغاية واحد يبقى بتعوض بالقيمة
اللي فوق يبقى ربع ناقص واحد زائد واحد ناقص Zero
Zero Zero كله بـ Zero يبقى النتيجة قداش؟ ربع فقط
لغيرها بدنا نجي لـ A 3 يبقى هو تكامل على الفترة
الثالثة يبقى من واحد لغاية 2 يبقى من واحد
لغاية 2 للـ X تكعيب ناقص 3X تربيع زائد
2X DX الشكل لأنه هذا يبقى X أس 4 على 4
ناقص X تكعيب زائد X تربيع كله من عند الواحد لغاية
2 لغاية 2 يبقى هذا الكلام بده يساوي بدنا
نعوض بالقيمة اللي فوق ناقص اللي تحت ناقص ربع ليه؟
16 على 4 ناقص 8 زائد 4 ناقص افتح قوس
بدنا نشيل كل X ونحط مكانها 1 يبقى هذا ربع وهنا
ناقص 1 زائد 1 يبقى النتيجة هذه تساوي 16 على 4
فيها 4 وهنا ناقص 8 وزائد 4 وهنا ناقص ربع زائد 1
ناقص 1 أظن هلال بصفر تمام؟ ودول بـ صفر بيظل الجواب
قداش؟ سالب 4 طب اطلع لي هنا طلعت قيمة واحدة موجبة
واتنين بالسالب لو ما أخذناش الـ absolute value بيطلع
عليها كلها قيمة سالبة لكن احنا بنروح بنقول هنا
total area بتعطيها الرمز A يساوي absolute value للـ
A1 absolute value للـ A2 absolute value للـ A3
ويساوي absolute value لـ 16 absolute value لربع
absolute value لـ 4
يساوي طبعًا 16 زائد ربع زائد ربع يعني 16 زائد
نص 16 ونص يعني 33 على 2 يبقى
النتيجة 33 على 2 اللي هي المساحة
الكلية لكن لو ما أخذناش الـ absolute value واضح أن
المساحة تطلع جداش بماذا سالبة هل ضروري نرسم؟ ليس
بالضرورة أنا سواء عرفت شكله من حد والله عارف
بهمّنيش لكن بهمّني أصفار الدالة أحددهم جداش وتقيّد
بالفترة اللي بكون معطيها لي تمام؟ وبناء عليه بقدر
أعرف كم جزء عندي أو كم تكامل وبالتالي بروح بأخذ
الـ absolute value لنتيجة هذه التكاملات بيعطيني الـ
total area للمساحة المحصورة بين المنحنة ومحور X
سواء كانت هذه المساحات موجبة أم سالبة عليك انتهينا
من هذا الـ section وإليكم أرقام المسائل لـ
exercises خمسة أربعة يبقى خمسة أربعة من واحد لسبعة
وأربعين الـ exercises خمسة أربعة من واحد
لسبعة وأربعين أيضًا من واحد وستون لـ أربع و ستين و
من واحد وستون لأربع وستين كذلك الآن بنيجي لـ
section خمسة خمسة section
خمسة خمسة اللي هو الـ indefinite integrals
Indefinite Integrals and the substitution method and
the substitution method
If
الـ if is continuous
إذا كان الـ F مستمر فإن الـ Integral
I و N هو عدد
حقيقي
للـ F of X كله to the power N فالـ F prime of X DX
بدّه يساوي تكامل للـ UN DU واللي هو بدّه يساوي U أس N
زائد واحد على N زائد واحد زائد constant C In
general على
وجه العموم تكامل للـ F of G of X في G prime of X DX
دو سوى تكامل F of U DU
خلّي براكة احنا رافعين عنوان أنا وبنشوف شو هذا
العنوان وبنقل عليك كيف بنشتغل بيقول In definite
integrals التكاملات غير المحدودة and the
substitution method وطريقة التعويض يعني كيف نستخدم
طريقة التعويض في التكاملات غير المحدودة بيقول لو
كانت الدالة دالة متصلة على فترة ما متصل يعني قابل
للتكامل إذا يمكن تكاملها على هذه الفترة وكان الـ N
عبارة عن عدد حقيقي سواء كسر موجب أو سالب مع أنه
مشكلة يبقاش بيقول تكامل للـ F of X مرفوعة to the
power N مضروبة في مشتقة مداخل القوس DX بقدر أقول
هذه تكامل U to the power N DU وتضيف للأس
واحد وأقسم على الأس الجديد السؤال هو كيف هذه صارت
بهذا الشكل هذا السؤال قلب الكلب لو جيت أمتل
عندي بهذا الشكل هذه الشكلة لو طلعتها عمليًا بلاقيها
كالكتلة كبيرة هيك أنا بدي أبسطها وأخليها بشكل
معقول وبشكل لطيف مثل هذا الشكل السؤال كيف؟ بأجي
بأطلّع في المثال هو مين المصعب المثال الـ F prime ولا
الـ F of X to the power N؟ 171 00:18
يبقى بصير شكل المثل بدل ما يكون كله أو غير شكل
اكس بصير شكل لطيف يمكن تكامله الآن الكلام اللي
بنقوله نظري بدنا نعطي عليه مجموعة لا بأس بها من
الأمثلة يبقى باجي بقوله examples مجموعة من
التكاملات احسب لي evaluate
the following integrals
أحسب لي كل من التكاملات التالية تكامل الأول تكامل
2X زائد 3 كله أس 8 بالنسبة الى DX
قلبي
الكوينة هذه لو كانت X أس 8 كما نقول نضيف للاس
واحد ونقسم على الأس اللي يتذكّر لبنجوسين هذه هي
اللي كلكعت الدنيا يبقى هذه على مين؟ على الحالة
الأولى والله أعلم مش عارفين احنا يبقى الـ F of X هي
سبب الكلكعة طيب يعني هذه زي هذه؟ اه زيها بس فارق
بسيط كيف؟ لو شيلت الـ F of X وحطيت هذه بصير مشتقتها
2DX يبقى الـ F prime of X DX هي 2DX إذا
باجي بشيل كل اللي بين قوسينها دي وبحطه بأي متغير U
Y W الرمز اللي عاجبك قلت لك ليست أستاذا مقيد بالـ U
وأنا أفضّل إنك تحط U حط أي رمز آخر ليش؟ لأن الـ U
جينا في الـ integration by parts في الـ calculus بيه
أنه يمكن يلخبك فتعود خلي جلب جيحط أي رمز يجي في
بالك مش قرآن نزل من السماء لازم أحط التعويض U تمام
يبقى بروح بدي أحط مثلا T أحط الـ T تساوي 2X
زائد 3 لو جيت أفاضلها يبقى أبدأ أقول له دي تي
يساوي 2 مالكش دعوة وتفاضل الـ X يبقى داشر DX و
وتفاضل الـ 3 Zero مش واحد يقول لي من وين هذه اجت
أبدأ آخذ دي تي على DX دي تي على DX اللي هو بـ 2
أضرب كله في DX يبقى دي تي يساوي 2 أنا ما عنديش
2DX عندي DX لحالها يبقى من هذا الكلام لو قسمت
على 2 بصير نص DT هو بدي يساوي 2DX إذا هذا
التكامل بده يساوي ها تكامل هذا حاطيته كله بـ 2
الـT وهي أس 8 زي ما هي والـ DX طلعت
عندي بـ 2 نص DT الآن طبّق اللي قلتها دي التكامل
بقول يا نص خليك برا وهي تكامل T أس 8 DT تمام؟
يبقى هاي النص برا هذا أبدأ جلب وأضيف للأس
واحدة ونقسم على الأس الجديد يبقى هذا بصير T أس
9 على 9 زائد constant C أو 1 على 18 والـ T
بقدر أشيله وأحط قيمته التعويضة اللي أنا حطيتها
حطيت الـ T بـ 2X زائد 3 يبقى 2X زائد 3 كله أس 9 زائد
constant C طب تعال اطلع في النتيجة أنا وإياكِ
مباشرة أشوف هذا المثال وهي النتيجة اللي عندنا بقول له
كويس يبقى بكل بساطة أنا شو اللي عملته؟ أضفت للأس
واحد وجسمت على الأس اليسار عندي 2X مظبوط في
المعامل في 1 على المعامل تبع من الـ X إذا كانت
المعادلة من الدرجة الأولى الدرجة الثانية بصير كلام
غلط يبقى إذا المعادلة بين قوسين من الدرجة الأولى ما
عليك إلا تضيف للأُس واحد وتقسم على الأُس الجديد
وتضرب في معامل X فقط لغير بيكون هو النتيجة و
تقول إزاي تكون أصلا خائف تقلط يبقى يشتغل زي ما
اشتغلنا طبعا طيب هذا السؤال يعتبر من أبسط أنواع
الأمثلة المثال رقم 2 يبقى بدنا تكامل لـ X
تربيعي الجذري التربيعي لـ 2X تكعيب زائد 3 كله في
DX
الحين لو جيت للدالة لبرا الجذر والدالة لتحت الجذر،
من اصعب المثل، الدالة تحت الجذر ولا اللي برا؟ تحت
الجذر، 2، مشتقة الدالة اللي تحت الجذر بقداش؟
6X تربيع في DX، يعني الدالة اللي برا هذه هي
مشتقتها يعني اللي تحت الجدرد كان بنجوس أس يبقى كأنه
بنجوس مرفوع الأس واللي برا هو مشتقته من الدرجة
الأولى يبقى الفرضية تبسكه نصرا، مظبوط؟ إذن هذا
على النقطة الأولى مباشرة، طبعا ايش أسويه؟ بقول له
بسيطة جدا، بقول له put احنا حاطين هنا 2X T بده أحط
هنا W تساوي 2X تكعيب زائد 3 بدنا DW بـ 6X
تربيع في DX وتفاضل الـ 3 بجدار بـ 0 ما عنديش
6X بلاش X على 6 يبقى هذا معناه انه سدس دي
دابليو بده يساوي الـ X تربيع دي X إذا بقدر أشيل الـ
X تربيع هذه كلها مع الـ DX وأكتب بدلها قداش سدس
دي دابليو يبقى صارت المثلة تكامل جذر الـ W وهذا
سدس وهذا دي دابليو الـ SUDS هذا مقدار ثابت يبقى
مقدار ثابت خليك برا وهي تكامل وهنا W أس نص دي W
يبقى المثل اللي كانت مكلقة هيك وشكلها غريب شوية
صارت very easy بسيطة جدا ولا حاجة يبقى دي سهل أضيف
للأُس واحد وأقسم على الأُس الجديد يبقى هذا SUDS
وهذا W أس 3 على 2 على 3 على 2 زائد
constant C بنضيف للأُس واحد ونقسم على الأُس الجديد
يبقى هذي بيصير 2 على 6 مضروبة في 3 والـ
W مين هي؟ 2X تكعيب زائد 3 2X تكعيب
زائد 3 بالشكل اللي عندنا هذا أس قداش؟ أس 3
على 2 3 على 2 زائد constant C نختصر
2 مع 2 بيبقى الـ 3 في 2X تكعيب زائد
3 كل أس 3 على 2 زائد constant C يعني
بعد ما تخلص بترجع المسألة بدلالة الـ variable
الأصلي
سؤال الثالث بيقول اللي بده تكامل X الجذر التربيعي
لـ 4 ناقص X DX يقول مصعب المثل المقدار اللي برا
ولا تحت الجذر يبقى بدي أشيل اللي تحت الجدر وأحطه
بأي متغير احط له هنا put مثلا y يساوي 4 ناقص X
يبقى dy تفاضل 4 from zero بناقص dx أنا ما عنديش
ناقص dx يبقى سالب dy هي اللي بدي أتساوى منها dx إذا
بصير المسألة تكامل بالـ dx هذا أعوض بها من هنا لو
جبت الـ X هنا بصير 4 ناقص y إذا بقدر أشيل هذه و
أكتب بدالها 4 ناقص Y وهذه حاطيتها بـ Y والـ dx
هي بسالب dy
يعني كأن المسألة صارت تكامل السالب بده يدخل على
القوس يصير كده؟ Y ناقص 4 وجذر الـ Y ثاني Y أس
نص في DY تمام؟ إذا بدي أفك القوس هذا بصير تكامل لـ Y
أس 3 على 2 ناقص 4 Y أس نص كله في دي Y
يبقى ما ضلش عليه اللي هي كامل يبقى هذه تكاملها بـ Y
أس جديد 5 على 2 على 5 على 2 يعني اللي
هو 2Y أس 50 ناقص 4 في Y أس 3 على 2
ضرب 2/3 زائد كونستانسينعيد ترتيبها لما نعيد
ترتيبها يبقى هذه 2 على 5 تمام يبقى 2
على 5 وهذه Y بداشي لو احط مقتل 4 ناقص
X أس 5 على 2 ناقص 8 على 3 8
على 3 4 ناقص X أس 3 على 2 زائد
constant C يعني لما تحط تعويضة بهذا الشكل بدك تغير
كل اللي جوا المتغير X وتحوله كله بدلالة المتغير
الجديد اللي هو مش تخلي شيء X وشيء Y من حد ما تحط
التعويض بتغير كل اللي في الداخل بدلالة مين المتغير
الجديد نعطي كمان مثال 4 بيقول يبقى التكامل 1
على جذر الـ X في 1 زائد جذر الـ X كل تربيع DX
طيب ما بدنا نيجي على المثلة تبعتنا هذه ونروح
نتطلع فيها، مين اصعب المثلة؟ هل جذر الـ X ولا
واحد زائد جذر الـ X؟ واحد زائد جذر الـ X وكل تربيع
يبقى الواحد زائد جذر الـ X هو اصعب المثل، نهيك
على انه لو اشتقيت الواحد زائد جذر الـ X بيطلع 1 على
2 جذر الـ X كلام مظبوط ميا ميا بروحش باخد جذر
الـ X باخد الـ 1 زائد جذر الـ X بروح بحطها بأي
متغير اخر لو رحت حطيت مثلا Z تساوي 1 زائد جذر
الـ X لحظة أنا بحط لك رموز مختلفة مش هقول لك بتقيدش
بالـ U هذه أي رمز احطه من هالـ 27 حرف اللي عندك طيب
بدي أروح أشتقه يبقى هذا بده يعطيك ان DZ يساوي 1
على 2 جذر الـ X في DX تفضل 1 بـ 0 تفضل جذر الـ X
بـ 2 أو 1 على 2 جذر الـ X ما عنديش 1 على 2 جذر الـ X عندي 1
على جذر الـ X بروح بضرب في 2 الطرفين يفجر لو
ضربنا في 2 بصير 2DZ بده يساوي 1 على جذر الـ X في
DX إذا بدي ارجع للتكامل تبعي 1 على جذر الـ X DX
هذا كله بدي اكتب بداله كده ايش؟ 2DZ يبقى هذا الكلام
بده يصير تكامل هذا 1 على Z تربيع وهذا اللي بقي
كله 2DZ فقط لغير بعد ما كانت جذور ومشالكة مو غير شكل
صارت بسيطة بقول يا 2 برا يبقى هذا 2 برا
وهذا الـ Z والسالب 2 دي Z
زائد كنستان سي يبقى ناقص 2 في 1 على زد زائد
كنستان سي يعني ناقص 2 على 1 زائد جذر الـ X
يبقى 1 زائد جذر الـ X زائد كونستان سي وانتهينا من
المسألة اللي عندنا طيب السؤال الخامس بيقول يتكامل
ل cosine 3X زائد 4 كله بالنسبة لمين
إلى DX
من اللي وضع غريب في المثالة الزاوية يبقى الزاوية
كل شيء لو حطها بالمتغير اللي بدها هي يبقى أنا لو
حطيت ثيتا تساوي 3X زائد 4 يبقى دي ثيتا
يساوي قداش؟ 3 في دي X أو ثلث دي ثيتا هو
الـ مين؟ بدي X إذا هذه المثلة بيصير تكامل لـ cos θ و
الـ dx له ثلث dθ الثلث برا ما له دعوة وهي تكامل لـ
cos θ dθ وهذا ثلث sin θ بدون سالب افنديتفاضل
الـ sin بـ cos تكامل cos بـ sin دوري زائد constant C
يبقى هذا الثلث برا وهذا الـ sin بشيل الـ θيتا و
بكتبها 3X زائد 4 زائد constant C طب ايش بتلاحظ على
نتيجة التكامل؟
الزاوية من الدرجة الأولى يبقى 1 على معامل X لكن
لو كانت من الدرجة الثانية أو الثالثة بصير كلامي
غلط تمام فقط إذا كان من الدرجة الأولى انسى خلاص حط
الزاوية ايش ما تكون تكون وفاضلها وحولها طيب نيجي
للسؤال السادس بدنا تكامل
سؤال السادس بدي تكامل لـ 3X أس 5 في الجذر
التربيعي لـ X تكعيب زائد 1 بالـ DX لمصعب
مثلا من الكمية اللي تحت الجذر، شيلها وحطها
بالمتغيرة اللي بدكي إياها حط لي T تساوي X تكعيب زائد
1 إذا الـ DT بدي تساوي 3X تربيع DX 3
موجودة بس هي DX والخمسة يبقى هذي بروح بحللها 3
X تربيع X تكعيب يبقى هذي 3X والخمسة في الجذر
التربيعي لمين؟ لـ X تكعيب زائد 1 في DX ويساوي
الآن 3X تربيع مع الـ DX هذه كلها بحفظ بدالها
DT يبقى ما عنديش مشكلة الـ X تكعيب T ناقص 1 إذا
بقدر أشيل هذه وأكتب بدالها T ناقص 1 يبقى تكامل
كونستانت سيأتي واحد ثاني اسمع شوية يا أبنائي آجي
واحد ثاني ما عجبته الطريقة هذه قال أنا عندي طريقة
غير الطريقة هذه بقول له كيف؟ قال لي هذه ههه بعد ما
خلصنا احنا قال لي هذه بقدر أكتبها سالب نص تكامل
اثنين sin θ cos θ dθ درب في اثنين وجسم على اثنين
قلنا له والله كلامك مظبوط مية مية قال له هذه تساوي
سالب نص تكامل قال له هذه الـ sin اثنين ثيتا دي
ثيتا قلت له برضه حساب مثلثات مظبوط بدنا نكامل
تكامل الـ sin سالب cos مقسوم على تفاضل الزاوية
مظبوط يبقى هذا سالب نص برا وهذا سالب cos اثنين
ثيتا على اثنين زائد كونستانت سي يبقى صارت النتيجة
سالب في سالب موجب ربع cos اثنين ثيتا زائد
كونستانت سي هاي جواب يا شباب وهي جواب ثاني و شكلاً
مختلفًا مضبوط لكن بقدر أوصل واحده منهم للثانية مضبوط
بقدر أكتب هذه بدلالة الـ cos واحنا بنعرف إنه sin
تربيع ثيتا يساوي النص في واحد ناقص cos اثنين
ثيتا مظبوط ولا لأ؟ إذا بقدر أكتب هذه بدلالة ضياع في
الزمن
زائد Constancy يعني اثنين في واحد على X لحد هنا مش
مطلوب إنك تتحول لو ما بقى اتحول بدنا نحوله بحساب
المثلثات عادي جدا يبقى لو واحد طلع معاه الجواب هيك
ومش واحد يقوله والله جوابي غلط وجوابك صح الاثنين
صح مائة بالمائة ولا واحد بيقدر يعترض عليه كنت بدك
تقول غير هذا الكلام؟ لو طلبنا ثيتا تساوي الواحد
على X طلبت ثيتا تساوي الواحد على X
لم تأتِ بجديد كمان طيب طب اسمع شوية بقى أنا بدي
أشتغل هالشغل وشوفوا ليه إيش رأيكم فيها كمان أنا
عند المثل هذه هي سالب تكامل لـ sin θ cos
θ dθ فكرة كويسة هذا للي بعرف مستقلات
الدوال المثلثية هو تفاضل الـ sin بقد إيش؟ يعني بقدر أكتب
هذه تساوي
ناقص تكامل لـ sin θ D sin θ الـ D مش عبارة عن شرطة
التفاضل صح ولا لا؟ يبقى كإني أنا كتبت ناقص sin θ
مشتقة sin θ يبقى
كإني أنا كتبت ناقص sin θ مشتقة sin θ يبقى كإني أنا
كتبت ناقص sin θ مشتقة sin θ يبقى كإني أنا كتبت
ناقص sin θ مشتقة sin θ
يبقى هذا الكلام يساوي ناقص sin تربيع ثيتا على
اثنين زائد constant C يبقى بيرتلا لو سُحدّش أن بقلة
الـ sin ثيتا وإن مصر كأن المتغير كله هو main sin
ثيتا لإن بقدر أشيل ثيتا وأحط مكانها واحد على X يبقى
هذا الكلام يساوي الناقص نص sin تربيع واحد على X
زائد constant C هل اختلفت عن هذا؟ اللي بيشتغل الشغل
هي دي صح، اللي بيشتغل هي دي صح، اللي بيشتغل هي دي
صح، ولا واحد بيقدر يعترض عليه، إيش بيكون بدك
تعترض؟ أبداً،
هي نفس الفكرة، يعني بعد ما أخد ثاني الـ sin هو أخد
الـ cos، ما عندي مشكلة عادية جداً، كله صحيح ولا
واحد بيقدر يعترض عليه
طيب نيجي للسؤال اللي بعده هذا السؤال رقم سبعة نيجي
للسؤال رقم ثمانية ثمانية بيقول تكامل لـ sec أس خمسة
X على ثلاثة tan X على ثلاثة كله في DX
tan X على ثلاثة DX tan
X على ثلاثة DX tan X على ثلاثة DX تساوي X على تلاتة
يبقى Dθ بـ DX يعني ثلاثة D ثيتا بده يساوي DX
يعني أصبحت المسألة هي ثلاثة تكامل sec أس خمسة ثيتا
tan ثيتا D ثيتا ما خلصناهش
سلامة كويسة يبقى قادي عشان أنا لا أخلي برفق معاك
صاحبنا هذا بيقول الـ sec أس خمسة بده يخليها الـ sec أس
أربعة ثيتا في sec ثيتا في tan ثيتا في دي ثيتا قلت و
الله كلامك مظبوط الحكاية في الدنيا هي sec plus
أربعة يبقى باجي بقول له حط الـ Y تساوي sec ثيتا يبقى
DY بـ sec ثيتا tan ثيتا دي ثيتا صحيح؟ طب إيش رأيكوا
أسوي هالشغل هذا؟ بدل ما قد أعوض وأسوي، لأ بجيبها
دغري، يبقى سويتك ولا سويتك سيان يعني أنا لو روحت
قلت كام ولا sec أس أربعة ثيتا مش تقول sec الثيتا مش
تضرب الـ sec θ التي هي tan ثيتا tan ثيتا دي ثيتا
يبقى هذه روحت كتبتها بالشكل هذا مظبوط هيك؟ في
مشكلة؟ كأن المسألة تكامل T أس أربعة دي تي T أس
أربعة دي تي يعني بضيف للأس واحد وأقسم على الأس
الجديد يبقى هي الثلاثة برا وهذا sec أس خمسة ثيتا
على خمسة زائد constant C الآن المشكلة في ثيتا بده
أشيلها وأحط بدالها X على ثلاثة يبقى ثلاثة أخماس sec أس خمسة
لـ X على ثلاثة زائد كونستانت سي فاللّه المؤمنين
القادرين تمام؟ طيب بدنا نجي الآن لسؤال رقم 9 9
بدنا تكامل
لـ sin أس خمسة برضه X على ثلاثة cos X على ثلاثة DX
تساوي
زي اللي تو؟ طب أسوي هذا اللي فوق هذه؟ أسوي زيها؟
هي تكامل لـ sin أس خمسة X على ثلاثة
يبقى باجي بقول في دي لـ sin X على ثلاثة بس هذه
مشتقتها قد إيش؟ مشتقتها قد إيش؟ لأ مشتقة الـ sin بـ cos
cos X على ثلاثة ضرب ثلث مظبوط يبقى بصير الفرق
بين هذين بقول طب اضرب في ثلاثة
بنفع ولا لا؟ يبقى تلف بتروح مع الثلاثة بنعود زي ما
كنا واضح؟ يبقى ما عنديش مشكلة في هذه الحالة يبقى على
طول الخط بقوله يا ثلاثة خليك برا وهذه بيصير تكامل
لـ sin أس خمسة X على ثلاثة مشتقة sin X على ثلاثة
يبقى كأن احنا تكامل T أس خمسة DT يبقى T أس ستة
على ستة وفلسنا يبقى هذه الثلاثة اللي برا وهي sin 6X
على 3 على 6 زائد constant C يبقى هذه النصف 6X
على 3 زائد Constancy طب أنا عملتها بكل بساطة هيك
لكن أنا متأكد إن خمسين في المائة منكم لا يزالوا
مستغربين هالحركة هذه الجرعة طيب
بنعيدها كمان مرة صح صح اللي مستغرب وكان بيسأل
زميله صح صح معايا كويس احنا عندنا هذه المثل بديش
أعمل خطوتين زي المثل اللي جاب له أول حاجة أبدل ال
X على ثلاثة وبعدين أحط التعويض Y تساوي سكالا بدي
أجيبها مرة واحدة بدل ما أعملها على خطوتين بدي
أعملها بخط واحدة بجيب أقول أه هذه المثل مقطع فضل
الـ sin الزاوية بـ cos الزاوية إذا هذه هي مشتقة هذه بس
بيفرقوا عن بعض بمقدار ثابت بقول لكم إذا هذه بدأ
أكتبها sin زي ما هي وهذه دي sin طب لو جيت اشتقت
هذه ما اشتقت هذه بـ cos ضرب ثلث إذا بدها تفرق عن
هذه بقدرش بثلث يبقى مش هان أضيع هذا الفرق بقوم
اضرب في ثلاثة إذا لو ضربت في ثلاثة بصير ثلاثة في
دي sin هذا لو يا شباب بصير cos ضرب طول مع ثلاثة
بتروح بضلش إلا الـ cos X على ثلاثة dx اللي هي
هذه يعني يا شباب هذه ههه تكافئ تماماً المقدار بين
القوسين تكافئ المقدار هذا بالضبط تماماً كأنه شيلت
هذه وكتبت هذه بدلها طيب الثلاثة هي برا الـ sin زي
ما هي ودي الـ sin زي ما هي يبقى صارت المثل كأنها
تكامل T أس خمسة DT يبقى بضيف للأس واحد وبقسم على
الأس الجديد هيوضفنا واختصرنا وكتبنا النتيجة حد
قالوا أي تساؤل هنا؟ إذا ما عرفتش بلاش بتروح تقول لي put
اله cos X على ثلاثة تساوي T واشتقها واضرب في ثلاثة
وتعال عوض ما عنديش مشكلة إذا عوضت اشتغل ثاني يبقى
سواء اشتغلت هيك والله هيك على كل الأمرين ستصل إلى
نفس النتيجة طيب هذا كان السؤال رقم تسعة سؤال رقم
عشرة بدنا تكامل لـ cos جذر الثيتا على الجذر
التربيعي لثيتا في sin تكعيب جذر الثيتا في دي ثيتا
سؤال من الكتاب وجئنا به في إحدى الامتحانات ذات مرة
زي ما هو هيك طيب القصة بسيطة جداً شو رأيك أوزع
الجذر على المقام هذا قبل ما أبدأ أشتغل يعني هذه
المثل هذه مش هي عبارة عن cos جذر ثيتا على جذر
ثيتا الجذر التربيعي لـ sin تكعيب جذر ثيتا خلّيني
أسألكم السؤال التالي، من الأصعب المثل؟ هل الـ cos
ولا الـ sin؟ الـ sin هو الممكن نهيك عن تفضلها بكون
البسط اللي فوق مظبوط وزيادة شوية كمان عليك إذا أنا
لو جيت الكمية اللي تحت اليد الـ sin جذر مش مش تروح
تاخد الـ sin تكعيب لإن الـ sin تكعيب لو جيت اشتقي بيطلع
ثلاثة sin تربيع في الـ cos يبقى تعويض تتماشي والله
عليها خربت الدنيا ومش صلعتها تمام يبقى بروح بقول له
حط ايه هه اللي هو الـ X بدها تساوي مثلاً sin
طيب بدنا دي X يبقى تفاضل الـ sin بـ cos جذر الثيتا
ضرب تفاضل الزاوية اثنين جذر ثيتا دي ثيتا بقول له
تمام ما عنديش اثنين الآن يبقى اضرب في اثنين يبقى لو
ضربت في اثنين بصير اثنين دي X بده يساوي cos جذر
الثيتا على جذر الثيتا في دي ثيتا إذا هذه الحكاية
التي لديها كلها بقدر أشيلها وأكتب بدلها اثنين دي X والله هذه حلت المشكلة كلها شوفيش اللي أخذته
مش أخذت sin تكعيب لو أخذت sin تكعيب اللي صدرت
ثلاثة sin تربيع في الـ cos في تقرير كان غير شكل
تمام يبقى التعويض اللي بدك تحطها بيبقى تبسط
المسألة مش تعقد المسألة دي بالك تمام يبقى بيصير
المسألة هذه تكامل هذا واحد على الجذر التربيعي هذه
حاطنها بـ X بيصير X تكعيب والباقي كله بـ 2DX اثنين DX
يعني اثنين تكامل الجذر التربيعي اللي يعني X أس
ثلاثة على اثنين لو طلعت فوق بصير سالب ثلاثة على
اثنين دي يعني الحكاية الكبيرة صارت ولا حاجة صح؟
يبقى هذه بسيطة جداً يبقى هذه اثنين خليك برا وهذه X
أضيف للأس واحد وأقسم على الأس الجديد وأقول له
زائد كونستانت تمام يبقى هذا يصيب سالب أربعة والـ X
عندي يبقى كم بصين لجذري الثيتا وهذا كله أس كم سالب
نصف زائد constant C بدك تنزلها تحت يبقى سالب أربعة
على الجذري التربيعي لـ sin جذري الثيتا زائد constant
C
من أسئلة الكتاب مش من برا طيب السؤال الحدي عشرة
بدنا تكامل الجذري التربيعي لـ X تكعيب ناقص ثلاثة
على الـ X أس أحد عشر في DX
X تكعيب ناقص ثلاثة على الـ X كله تحت الجذر التربيعي
يلا شوف إيش تقترح علينا فكر كويس على الممسح اللوح
هذا برضه من الكتاب من أسئلة الكتاب
لو أزال المقام تبقى كسور كما هي واحد على الـ X X
ثمانية زائد ثلاثة أو ناقص ثلاثة على الـ X X أحد عشر
أيوة كلام كويس تصير
X أس أربعة صاحبنا 568 0
على اثنين زائد constant C يبقى هذا بيصير اثنين على
سبعة وعشرين
و الـ W بده يشيلها و يحط قيمتها اللي هو حد ناقص ثلاثة
على X أس ثلاثة على اثنين زائد constant C طب
لحد هنا انتهينا من هذا الـ section و عليكم أرقام
المسائل فجأة بنيجي هنا هيحطهم لك هنا exercises
خمسة خمسة exercises خمسة خمسة المسائل التالية من
واحد إلى ثلاثة وخمسين من واحد لغاية ثلاثة وخمسين القد
ومنضيف عليهم سؤال ثلاثة وستين
لازلنا في ما يشبه هذا الموضوع وهو آخر section في
هذا الـ chapter خمسة ستة خمسة ستة تقول لي
substitution substitution
and the area between
curves
بناخد النقطة الأولى Substitution Indefinite
Integrals Indefinite
Integrals F G' is a continuous function
إذا الـG' كانت continuous function on
the closed interval A وB and if الـF كذلك is
continuous
on the range of g على ال range of g then تكامل من
a إلى b لل f of g of x في ال g prime of x dx بده
يساوي تكامل من g of a إلى g of B للـ F of U في
الـ DU
هذا شباب هو التكامل بالتعويض نفسه بس بدنا نغير
حدود التكامل طبقا للتعويض الجديدة وبالتالي بدنا
ننتقل من الـ indefinite ال integrals إلى definite
integrals التكاملات المحدودة فبجب ال substitution
and area between curves يبقى فيها موضوعين الموضوع
الأول هو ال substitution والثاني ال area between
curves اليوم بدي آخذ بس الموضوع الأول والثاني
للمحاضرة القادمة إن شاء الله يبقى بيجي للنقطة
الأولى substitution and infinite integrals التعويض
في التكاملات المحدودة الشغل اللي كنا بنشغله في الـ
section و كله تكاملات غير محدودة تعويض في تكاملات
غير محدودة بقول لو كان الـ G prime ده المتصل على
الفترة A و B و الـ F متصل على الـ range بتابع الدالة
G then يعني أنا عندي composition ما بين الـ F و الـ
G الـ G element في domain من؟ في domain الـ F
وبالتالي الـ F of G of X صار Range صار Range لباليه
فعلى أي حال انسى الـ domain و الـ range بديك تعرف ما
ياتي لو كان عندي هك بدي أعمل تعويضة شو هذه
التعويضة بتروح احط الـ U تساوي G of X يبقى DU
بتساوي G prime of X في DX مظبوط إذا هذه G prime of
X DX صارت مين؟ د يو والـ جي هيها يو هذه الـ a و الـ b
حدود لمين؟ للمتغير X أنت بقى اللي يصير عندك متغير X
للمتغير اللي يديه الـ main U بدك تجيب الحدود
المناظرة لهذه الحدود بده يجيبها من وين بده يجيبها
من التعويضة لما تبقى X بـ B بصير الـ U تساوي G of B
لما تبقى الـ X بـ A بتصير G of A يبقى صارت هذه G of A
و هكذا يعني قصدنا من ذلك أنه لما تحط تعويضة تغير
حدود التكامل طبقا لهذه التعويض الجديدة بنفع قبل
أن تقول هأقولها لك بس مش الحين الآن عمليا عارف ايش
اللي بدك إياه الحدود هنا انتهى الوزن النظر يتبع هذه
النقطة بدنا نبدأ نأخذ أمثلة عليها يبقى example
احسب لي
التكاملات التالية the following integrals
أول تكامل من هذه التكاملات ال integration من سالب
واحد إلى واحد لل X تكعيب في واحد زائد X أس أربعة
زائد X أس أربعة تكعيب في DX خلينا
نسأل السؤال التالي حد متوقع جداش تكون النتيجة هذه؟
حد بيعرف جداش؟ أنا عمري ما حسبتها الحقيقة لكن بجرد
النظر إيوا Zero الهين هأقول لك ليش Zero تمام؟ تعال
احنا بنشتغل شغل لوميان زي اللي توقعتنا بنشتغل وأنا
ما أعرفش أنها Zero ولا غير Zero بقى يبطل عليهم صعب
مثلا الاكستاكيب والله عزيزي اكسوس أربعة مشتقتها
بتجيب لي الاكستاكيب
الـ T تساوي واحد زائد X أس أربعة يبقى الـ DT بدل
ساوي أربعة X تكعيب في DX يبقى الرابع DT بدل ساوى
X تكعيب DX إذا هشيل الـ X تكعيب مع الـ DX هذه و
أكتب بدلها جداش رابع DT إذا صارت هذه هذا رابع
ويتكامل T تكعيب DT هذه الحدود سالب واحد واحد هي
حدود للـ X لكن المثل صارت بدلالة T إذا بدأت تشوف
الحدود المناظرة لما تكبر X بواحد و T بقداش بتنان
يبقى بيصير واحد أس أربعة اللي هو واحد واحد
باتنين يبقى هذا بيصير اثنين لما تبقى X بسالب واحد
بيصير سالب واحد أس أربعة اللي هو واحد واحد اثنين
تذلك إذا تساوى حدود تكمل فالنقيم تتكمل تساوي جداش
تساوي Zero على طول القطب بعد ما خلص الأمثلة في شغلة
بدي أقولها لك هذه الدالة دالة فردية ولا زوجية؟
الدالة الفردية يعني دالة فردية إذا كان حدود
التكامل هما نفسهم الاثنين بس واحد سالب وواحد موجب
والدالة فردية فالنتيجة التكامل يساوي الصفر أما إذا
كانت الدالة زوجية فالنتيجة يساوي اثنين تكامل على نص
الفترة لهذه الدالة وهذا ما سنعطيه إليكم في
المحاضرة القادمة مش اليوم اليوم مش هنلعب بس خليها
في بالك هنرجع هنا يبقى النتيجة تساوي Zero على طول
الخط مثال رقم اثنين سؤال في الكتاب هذا دير بالك
تكامل من سالب واحد لغاية الـ zero لل X تكعيب على
الجذر التربيعي ل X أس أربعة زائد تسعة في DX
مشكلتنا كمان وين؟ من سالب واحد؟ اه من سالب واحد
يبقى مشكلتنا مع الكمية اللي تحت الجذر إذا لو حطيت
الـ W يساوي X أس أربعة زائد تسعة يبقى DW ساوي
أربعة X تكعيب DX أو ربع DW
الربع خليك برا وهي تكامل وهي DW وهذا جذر الـ W بقيت
حدود التكامل لما تبقى الـ X بـ Zero يبقى الـ W بقداش
تسعة لما تبقى الـ X بـ سالب واحد يبقى الـ W بقداش
عشرة يصير التكامل من عشرة إلى تسعة لمن لربع DW
تمام تمام شو رأيك الرقم الكبير فوق والصغير ..
ولا العكس الكبير تحت والصغير فوق بيجيب انشقلب
وبيجيب إشارة مين سالب يبقى هذا بيصير سالب ربع وهي
تكامل من تسعة لغاية عشرة ل W أس ناقص نص DW تمام؟
يبقى هذا الكلام ناقص ربع وهذا W أس نص على نص
والحكي هذا من تسعة لغاية يداش عشرة يبقى الجواب
يساوي ناقص نص الجذر التربيعي لعشرة ناقص الجذر
التربيعي لمن؟ لتسعة أو إن شئتم فقولوا سالب نص جذر
العشرة ناقص ثلاثة قد ما يطلع يطلع خليه زي ما هو
طيب سؤال الثالث بيقول يتكامل من Zero لغاية واحد
للعشرة جذر ال X على واحد زائد X أس ثلاثة على
اثنين الكل تربيع بالنسبة إلى DX
مين مصعب المثل؟ المقدار بين القوسين يبقى بشيل
المقدار بين القوسين دل كامل وبحط بدله متغير جديد
إذا لو حطيت الـ Y يساوي واحد زائد X أس ثلاثة على
اثنين يبقى DY يساوي ثلاثة على اثنين X أس نص DX يعني
صار ثلثين DY بده يساوي جذر ال X في DX
طيب لو روحت ضربت في عشرة بالمرة رايح أو طلعت
العشرة برا سيام تفرقش علنا لو روحت ضربت في عشرة
بصير عشرين على ثلاثة dy بيكون عشرة جذر ال X dx
يبقى هذا بده يساوي عشرين على ثلاثة برة وهي تكامل
غال عشرة جدر ال X DX كلها بده أشيلها وأكتب بدالها
عشرين على ثلاثة DY هي العشرين على ثلاثة برة وهي ال
DY برة ضال هذا كله في Y تربيع بقيت حدود التكامل لما
تبقى X بواحد بصير Y بقداش باثنين ولما تبقى X
بالزيرو بصير Y بقداش بواحد بالشكل اللي أعني يبقى
هذه بدها تساوي عشرين على ثلاثة وهذا تكاملها بسالب
واحد على Y من الواحد لغاية اثنين يبقى هذه السالب
عشرين على ثلاثة وهنا النص ناقص واحد يبقى هنا ناقص
عشرين على ثلاثة في ناقص نص ناقص مع ناقص زائد ويبقى
فقط عشرين على ثلاثة
السؤال الرابع يقول التكامل من 0 لغاية 4 لل X
الجذر التربيعي إلى 16 ناقص 3 X كله في DX من 0 ل 4
مصدر طبعا الكمية اللي تحت الجذر هي اللي خلت المثل
مشلقة مش طبيعية يبقى بدأ أشيل هذا وأضع بدله مثلا
w بساوي ستة عشر ناقص ثلاثة x يبقى dw ناقص ثلاثة
في dx أنا ما عنديش وإنما عندي بس DX لحالها يبغى بدرب
في سالب ثلث لو ضربنا في سالب ثلث بصير سالب ثلث
سالب ثلث DW بده يساوي مين DX إذا آلة المسألة إلى
تكامل أنا بده DX من هذه بقدر أقول إذا ثلاثة X يساوي
ستة عشر ناقص W
الـ x بدأ أشيل وأكتب بدلها ثلث في ستة عشر ناقص w
وصلت للجدرد هذا حطيته كله مجدوش w ال dx بسالب ثلث
dw يبقى هاي سالب ثلث وهذا dw بقيت حدود التكامل لما
تبقى x بقداش أربعة أربعة في ثلاثة باثنا عشر ستة عشر ناقص
اثنا عشر بيظل أربعة كما هي لم تتغير وهذه ستة عشر بيظل
Zero لحظة عندك سالف وهنا مانطير من السالف مع ثلث
شرف برا يبقى هذا تسعة وهذا تكامل من أربعة لغاية
ستة عشر و ضال هدول بس مصبور يبقى هذا 16W أس نص ناقص W
أس ثلاثة على الاثنين كله DW يبقى هذا التسعة و برة
ما لوش دعوة بدنا نكامل يبقى هذا ستة عشر W أس ثلاثة
على اثنين على ثلاثة على اثنين ناقص W أس خمسة على
اثنين على خمسة على اثنين والحكي هذا من أربعة لغاية
كم؟ ستة عشر يبقى هذا تسعة وهذا يصبح اثنين وثلاثين
على ثلاثة وهنا ستة عشر أس ثلاثة على اثنين ناقص
وهنا اثنين على خمسة ستة عشر أس خمسة على اثنين
يعوضنا بالقيمة اللي فوق نقص اثنين وثلاثين على
ثلاثة فمين في أربعة أس ثلاثة على الاثنين نقص مع
نقص بالصير زائد اثنين على خمسة في أربعة أس خمسة
على الاثنين بالشكل اللي عندنا ده مرة ثانية شلت هذه
و حطيت ستة عشر والاشارة السلب زي ما هي اللي بعدها بده
أشيل هذه واحط مكانها أربعة و بيصير هنا ناقص وهنا
ناقص ناقص و بيصير هنا زائد بالشكل اللي عندنا هذا
يبقى هذا الكلام بده يسوي هاي التسو أخليه برا هذه
يا شباب هو الجذر التربيعي لستة عشر تكعيب الجذر
التربيعي ل 16 ارتكب يعني 16 في 16 في 16 يعني 16 في
4 مظبوط ب 64 يبقى هذه بصير 32 في 64 على 3 ناقص
اثنين على خمسة هذه الجدر التربيعي الى ستة عشر في
الخمسة يعني ستة عشر في ستة عشر في أربعة يبقى هذه ستة عشر
في ستة عشر في هذين 256 في هذا اللي هو الجداش في
أربعة على خمسة ناقص اثنين وثلاثين على ثلاثة هذا
الجذر التربيعي له أ
يبقى بدي أحط الـ Y يساوي ثلاثة زائد اثنين Cos X يبقى
Dy سالب اثنين Sin X في DX يبقى هذا الكلام بدي
أعطيك سالب نصف Dy بدي أساوي Sin X في DX يبقى هذا
الكلام بدي أساوي سالب نصف تكامل لمين لـ DY على Y تربيع
ده حدود التكامل
يبقى بضيع إشارة السالب و بغير حدود التكامل يبقى نصف
تكامل من ثلاثة إلى خمسة لـ Y أس سالب اثنين dy
يبقى هنا نصف وهنا سالب واحد على Y من ثلاثة لغاية
خمسة يبقى هنا سالب نصف برة في خمسة سالب طول هذا
الكلام كله بده يساوي سالب نصف كله على خمسة عشر فيها
ثلاثة ناقص خمسة يبقى سالب نصف في سالب اثنين على
قداش على خمسة عشر يبقى الجواب واحد على خمسة عشر سؤال
للشادس بيقول لي تكامل من صفر لغاية باي على ستة لـ
ساين سالب ثلاثة لـ اثنين ثيتا ساين اثنين ثيتا
في دي ثيتا
عشان أصلح المشكلة فيها مش في الـ Sin لأن مرفوع الأس
سالب ثلاثة يعني ساين اثنين ثيتا على كوساين تكعيب
اثنين ثيتا إذا بدي أشيل كوساين وأحطها باي variable
جديد لو حطيت الـ T تساوي ولا بلاش T حط الـ X المرة
هذه يساوي Cos 2θ يبقى DX بسالب 2Sin 2θ Dθ تفارق
cosine بالسالب sin ده بتفاضل الزاوية يبقى سالب نصف
dx يبدو يساوي sin اثنين ثيتا في d
يبقى هذا الكلام كله بده يشيل وقته بداله سالب نصف
يبقى سالب نصف خليه برا وهي التكامل هذا حطينه بداله
X وسالب ثلاثة وهذا كله بده يجي بداله قداش DX بقيت
حدود التكامل بدي أحط θ ب 30 درجة 30 في 2 ب 60 جتة
60 له ب نصف
الرقم الكبير تحت والصغير فوق يبقى من شكل بحدود
التكامل وبنضيع الإشارة تبقى للخواص يبقى هذا نصف
تكامل من نصف لغاية واحد لـ X أس سالب ثلاثة في DX
يساوي نصف ما لكش دواة و X أس سالب اثنين على سالب
اثنين من عند النصف لغاية مين لغاية الواحد
ناقص ربع 1 على X تربيع من عند النصف لغاية الواحد
يبقى يساوي سالب ربع في واحد على واحد تربيع اللي هو
بواحد ناقص اللي هو مين واحد على نصف تربيع اللي هو
بربع يبقى سالب ربع في واحد ناقص أربعة بضل قداش سالب
ثلاثة يبقى هذا سالب ربع في سالب ثلاثة يبقى الجواب
قداش ثلاثة أرباع