بسم الله الرحمن الرحيم هذه هي المحاضرة الثانية بعد
الطوارئ وهي لطلاب وطالبات الحوسبة المتنقلة لمساق
رياضيات منفصلة لطلاب وطالبات كلية technology
المعلومات بالجامعة الإسلامية فرع الجنوب المحاضرة
اليوم هي بعنوان matrix determinant أو محدد
المصفوفة في هذه المحاضرة إن شاء الله هنتعرف على
شغلتين.. هنعرف شغلتين أساسيتين هي كيف نجد محدد
المصفوفة والأمر الآخر هو كيف نجد المعكوس الضربي
للمصفوفة في حال وجود هذا المعكوس دعونا الآن نتعرف
على محدد المصفوفة أو الـ matrix determinant الـ
Matrix Determinant أو محدد المصفوفة هو محدد
لمصفوفة مربعة يعني مصفوفة درجتها 2×2 أو 3×3 أو 4×4
أو N×N بصورة عامة أحنا الآن هنتعرف في البداية شو
معناتها أو ما هو محدد المصفوفة the determinant of
المصفوفة اللي هي المكونة من اللي هو أو من الدرجة
اثنين في اثنين اللي هي A,B,C,D اللي أمامنا تعريف
محدد المصفوفة أو the determinant of the matrix هو
كمالي طبعًا بنرمز له بالرمز اللي هو column هنا و
column هنا أو اللي هو عمود من هنا و عمود من هنا و
بينهم مكتوبة نفس المصفوفة العادية نوجد المحدد بيجي
بنضرب عناصر القطر الرئيسي ناقص عناصر القطر الثانوي
يعني بمعنى آخر محدد المصفوفة عبارة عن رقم هيطلع اللي
هو A في D ناقص B في C هذا محدد المصفوفة اللي هي من
الدرجة 2 في 2 بالاستعانة بمحدد المصفوفة من الدرجة 2
في 2 هنعرف محدد المصفوفة لما تكون درجة المصفوفة 3 في
3 هي أمامنا مصفوفة 3 في 3 وهي عناصرها موجودة جوا
بدنا نحدد اللي هو شو محددها أو نوجد شو محددها الآن
الـ determinant هي الـ determinant اللي هو عمود
دنهان عمود دنهان أو عصام دنهان أو عصام دنهان ال
determinant هذا هيساوي اللي هو بنيجي يا بنستخدم
عناصر اللي هو عناصر الصف العمود أو عناصر الصف في
إيجاد المحدد إيش بيعني؟ شوفوا إيش بيعني خلينا
نستخدم اللي هو عناصر من العمود الأول فبكون عندي
اللي هو محدد المصفوفة هذه بيساوي A في اللي هو محدد
من الدرجة الثانية ناقص الآن موجب ناقص ناقص D في محدد
المصفوفة من الدرجة الثانية G في محدد المصفوفة
أيضًا من الدرجات الثانية بنبدأ بموجب سالب موجب ولو
أخذنا السطر الثاني برضه هنبدأ بموجب سالب موجب
خلينا نبدأ في العمود اللي عندنا الآن العمود اللي
عندنا بقولنا A و بادي بدورة المحدد اللي بدور بالـ A
فيه بشطب هذا السطر اللي فيه الـ A و بشطب هذا
العمود اللي فيه الـ A بيظل اللي هو المحدد هذا اللي
هو الـ E و الـ F و الـ H و الـ I إذا هذا بيساوي الـ
A في المحدد اللي نتج بعد تشطيب اللي هو الصف و
العمود اللي بيحتوي A نفس الشيء بالنسبة لـ D بنشطب
بالسطر و بنشطب بالعمود اللي هي فيه بيظل B و C و
H و I B و C و H و I إذا ناقص D في اللي هو
هذا
بنقص D ومن ثم زائد G بنشطب اللي هو السطر و
العمود اللي فيه بيظل B و C بس أنا بخطأ يعني بس
موجود اللي هي B و C هذه B و هذه C و بيظل من
كمان لما نشطب هذا و هذا بيظل كمان E و F هذه الآن
هي اللي ناتج هو عبارة عن محدد المصفوفة اللي فوق كيف
بنوجد هنا زي ما وجدنا اللي فوق هذه عبارة عن EI
ناقص H في F اللي بيطلع منه نضربه في الـ A ونفس الشيء
قلبك يعني الآن نأخذ مثال عددي على اللي حكينا find
the determinant of هي عندنا المصفوفة هذه بدنا نوجد
إيش مالها بدنا نوجد محدد هذه المصفوفة ده نشوف كيف
نوجد حد محدد المصفوفة بدأ استخدم اللي هو العمود
الأول إذا 1 في المحدد
الثانوي تبعها ناقص 1 في المحدد الثانوي تبعها
2 في المحدد الثانوي اللي تبعها إيش مقصود
بالمحدد الثانوي اللي حكيناها قبل شوية كيف هو نجي
1 في اللي هو بنشطب بسطر و بنشطب بإيش العمود اللي
هو فيه المحدد اللي بيظل بنسميه المحدد الثانوي لمين
للواحد بيصير 1 في ناقص 1 4 في 5 بعد ما
شطبنا السطر هذا و العمود هذا ناقص الآن 1 هذا
الثاني 1 و بشطب سطره و بشطب عموده بيضل المحدد
الثانوي اللي هو 2 و 3 و 4 و 5 هي
2 و 3 و 4 و 5 زائد ضل اللي هو العنصر
الأخير 2 بشطب هذا السطر و هذا العمود بيصير عند
2 في اللي هو المحدد الثانوي اللي عندنا اللي هو
اللي أمامنا هذا 2 3 0 ناقص 1 بكمل
الآن عشان أوجد القيمة هذه الآن 1 مضروبة بفتح
قوس الآن جداش قيمة هذا 0 في 5 ناقص ناقص 4
في 1 يعني زائد 4 في 1 اللي هو 1 يعني بمعنى
آخر أها 0 خلصنا من هذا القطر الرئيسي و بنضرب
هذا القطر الثانوي بيطلع عندي ناقص 1 في 4
بناقص 4 و ناقص الأصلي بيصير ناقص ناقص 4
بنجي للثاني بنفس الأسلوب ناقص 1 هذا اللي من أصل
الموضوع و بنجي بنضرب الرئيسي 2 في 5 بيطلع
بـ 10 ناقص 4 في 3 اللي هي 12 خلصنا من
هذه 2 و بنفتح قوس المحدد 2 في ناقص 1
إذا هذا هو عبارة عن محدد هذه المصفوفة يعني الأمر
سهل إيجاد المحدد
عندي لاحظ ولما احنا أوجدنا اللي هو محدد المصفوفة
من الدرجة الثانية ما لزمناش لغير هذا نوجده لحاله
لكن لما أوجدنا محدد لمصفوفة من 3 في 3 طلع
لزمنا نوجد محددات ثانوية 3 1 2 3 يعني
بدرجة المحدد ولو كان في عندنا matrix 4 في
4 بنعمل بنفس الأسلوب بس اللي بيطلع إن عندنا
المحددات الثانوية اللي هي 3 في 3 بنعمل محدد
زي ما عملنا مع مين مع اللي هو هذا السؤال الآن
وهكذا بصورة عامة الآن احنا يعني هنشتغل شغلنا بس
على المحددات اللي وهين اللي هي من الدرجة 3 في
3 أو 2 في 2 الآن بدنا نعرف حاجة اسمها
the inverse of a matrix اللي هو الهدف الثاني من
هذه المحاضرة الهدف الثاني من هذه المحاضرة الهدف
الثاني من هذه المحاضرة الهدف الثاني من هذه
المحاضرة الهدف الثاني من هذه المحاضرة الهدف الثاني
من هذه المحاضرة الهدف الثاني من هذه المحاضرة الهدف
الثاني من هذه المحاضرة الهدف الثاني من هذه
المحاضرة الهدف الثاني من هذه المحاضرة الهدف الثاني
من هذه المحاضرة الهدف الثاني من هذه المحاضرة الهدف
الثاني من هذه المحاضرة الهدف الثاني من هذه
المحاضرة الهدف الثاني من هذه المحاضرة الهدف الثاني
من 2×2، 3×3، 4×4، 5×5 الأخرى
non-singular يعني بمعنى آخر اللي هي اللي بنسميها
المصفوفة اللي بيكون محددها مش صفر لما يكون محددها
مش صفر بنضمن اللي هو بعد شوية هتشوف التعريف أنه في
لها معكوس ضربي إذا المصفوفة اللي بتكون non
-singular هي المصفوفة اللي محددها لا يساوي صفر الآن
لو وجدنا الـ matrix B ضربناها في A بيساوي I لأ طبعًا
هذه المصفوفة الـ A اللي أخدت اللي هي الـ non
singular اللي هي اللي بمعنى آخر محددها مش صفر لو
وجدنا مصفوفة ثانية اسمها B وضربناها فيها طلعت عند
الـ identity وضربناها من الجهة الثانية B في A
برضه طلعت عند الـ identity بنسمي المصفوفة B في هذه
الحالة هي عبارة عن الـ inverse للـ A بنرمز لها من
الرمز A inverse أو اللي هو المعكوس الضربي للمصفوفة
A إذا المعكوس الضربي للمصفوفة A هو الـ matrix اللي
لو ضربناه في المصفوفة الأصلية من اليمين أو اليسار
بيطلع للـ identity matrix يعني مثل لو أديت جربت هذه
المصفوفة زي ما اتعلمنا الضرب وضربنا هذه المصفوفة
فيها هنلاقي هذه المصفوفة في هذه المصفوفة إيش بتساوي
بساوي الـ identity بناء عليه بنقول هذه المصفوفة أو
حتى هذه يعني لو سمعنا .. بنقول هذه هي عبارة عن الـ
inverse لهذه يعني هذه المعكوس الضربي لهذه، و أيضا
هذه هتكون هي المعكوس الضربي لمين؟ للثانية الآن
عملية الضرب احنا اتعلمناها فيش ده in a ده هذا
معناته اللي هو المعكوس الضربي المعكوس الضربي
المصفوفة اللي أمامنا هذه هي المصفوفة اللي لو
ضربناها من اليمين ومن اليسار بتساوي الـ identity طب
كيف بدنا نوجدها هذه المصفوفة اللي هي المعكوس
الضربي الآن؟ في البداية خلينا نيجي لطريقة بداية
لإيجادها ونشوف جداش بتغلبنا، ومن ثم بنتعلم قاعدة
كيف نوجد اللي هي المعكوس الضربي للمصفوفة بكل سهولة
الآن لو أخذنا المصفوفة 8 -10 -3 -4 هذه المصفوفة من
الدرجة 2x2 لو بدنا نوجد الـ inverse لها أو نوجد
المعكوس الضربي لها، نفترض أن المعكوس الضربي لها
عبارة عن a,b,c,d ماشي الحال، وأقول لأ عشان تكون هذه
معكوس ضربي لازم أضرب هذه في هذه يطلع من عندي اللي هو
الـ identity matrix 1 1 0 0 صار عندي هاي قيمتين مضربات
في بعض لازم يساون هدول عشان تطلع هذه عبارة عن
المعكوس الضربي لها ماشي الحال الآن الآن نضرب هذه في
هذه المصفوفة، نضرب ضرب عادي اضرب ثمانية في
a في c بتطلع عندي ثمانية a ناقص عشرة في c نضرب
هذه المصفوفة وبنضرب هذا اللي هو السطر في هذا العمود
بتطلع عند هذه قيمة زي ما اتعلمنا قبلين، وبنضرب هذا
السطر في هذا العمود بتطلع عند هذه القيمة، وبنضرب
هذا السطر في هذا العمود بتطلع عند هذه القيمة طبعا
كيف؟ خلنا أضرب الأخيرة هذا عشان تكون في الصورة كيف
تضرب ناقص ثلاثة في b في c ناقص ثلاثة b زائد أربعة
في d في c زائد أربعة d هذا كله لازم يساوي واحد، و
صفر و صفر و واحد صار عندي هذا المقدار اللي هو اللي
هو المصفوفة هذه بتساوي هذا المصفوفة عشان يطلع إن
هذا هو المعكوس الضربي لهذا طيب، بادي كل مساواة
مصفوفتين معناته إن هذا المقدار بساوي واحد، وهذا
المقدار بساوي صفر، وهذا المقدار بساوي صفر، وهذا
المقدار بساوي واحد هي عندي هذول هذه اللي ناتجة من
هذا، وهذه ناتجة من هذا، وهذه المعادلة ناتجة من هذا
هذه المعادلة هي ناقص ثلاثة b زائد أربعة d بساوي واحد
ناتجة من اللي فوق لأن صار عندي أنا معادلتي أربع
معادلات في نفس الوقت آنية الآن خلينا نحل المعادلة
هذه مع المعادلة هذه، حلها عادي بالمعادلات الآنيّة
اللي احنا بنعرفها اللي أخذناها في ثاني إعدادي أو
ثالث إعدادي بنحلها بنوجد قيمة الـ A و الـ C لأن
معادلتين فيه مجهولين فتطلع A، وتطلع قيمة C طلعت
عندي A اثنين، وتطلعت عندي C بساوي واحد ونص، الأهم
الحل هذول نفس الشيء هيطلع عندي معادلتين أنيتين مع
بعض هيطلع عندي B بساوي خمسة، و D بساوي أربعة هذه
اللي هي شايفين احنا جداش اتغلبنا في الإيجاد، واحنا
قاعدين اللي هو يمكن بعضكم ناسي كيف المعادلات
الآنية وكيف حلول المعادلات الآنية، وبدنا نتعلمها
عشان نوجد من الـ a inverse الآن احنا مش هنظل نشتغل
هيك يعني هذا بس عشان إن أنت تشوف جداش اللي هو هذا
هيغلب لو أنا أجيت وجدت بطرق العادية هذه عشان أوجد
الـ inverse الآن لو كانت بصفوفة ثلاثة في ثلاثة تقول
هيصير عندنا بدل ما هنا في عندي اللي هو عبارة عن
أربع معادلات هيطلع عندي عبارة عن تسعة معادلات، ايش
التسعة معادلات في تسعة مجهول ومش عارف ايش طبعا
هتغلبوا فكورة غلبة كبيرة، عشان هيك بدنا نريحكم وهي
في عندنا الطريقة finding the inverse of two by two
matrices نشوف كيف بنوجد اللي هو الـ inverse لـ two
by two matrices هذا هو الجزء الأول من المحاضرة
والجزء
الثاني من المحاضرة هي finding inverse of 2x2
matrices أو إيجاد المعاكوس الضربي للمصفوفة، وخلّينا
نوقف عندنا ونعمل المحاضرة على جزءين، و الله يعطيكوا
العافية نكمل الآن الجزء الثاني من المحاضرة
المعكوس الضربي للمصفوفة المعكوس الضربي للمصفوفة
المعكوس
الضربي للمصفوفة المعكوس الضربي للمصفوفة المعكوس
الضربي للمصفوفة المعكوس الضربي للمصفوفة هذه
المصفوفة بدنا نشوف كيف نوجد اللي هو المعكوس الضربي
للمصفوفة قبل ما نوجد المعكوس الضربي للمصفوفة لازم
نعرف الشيء لأن المصفوفة عشان يكون لها معكوس ضربي
لازم يكون الـ determinant لها ما بيساوي صفر يعني
المصفوفة اللي محددها صفر ليس لها معكوس ضربي إذن
الآن احنا أول شغلة بنعملها عشان نجد اللي هو المعكوس
الضربي للمصفوفة اللي عندنا اللي أمامنا هذه إنه بنشوف
اللي هو الـ determinant لها إذا AD ناقص BC مش صفر
معناته إحنا جاهزين لإن نجد اللي هو المعكوس الضربي
للمصفوفة شوفوا خلّينا نشوف كيف اللي هو نوجدها
العملية سهلة جدا في حالة المصفوفة اثنين باثنين
بنيجي لعناصر القطر الثانوي بنبدلها مع بعض يعني
بيصير الـ D هنا والـ A هنا، الأساسي الرئيسي العناصر
القطر الثانوي بس بنغير إشارتها هذه بيصير ناقصي
ناقص بي اللي بيطلع هذا بنضربه في واحد على المحدد
النتيجة اللي طلع بكون هو مين؟ هو عبارة عن المعكوس
الضربي للمصفوفة a,b,c,d واضح إن الأمر سهل جدا عن
المثال اللي حكيناه قبل بشوية اللي استخدمنا الطرق
الأولية فيه وكانت اللي هي بتستلزم نعرف معادلة
آنية ومعادلة آنية واحنا طبعا فيه ممكن نكون
جزء ناسي الأمر نشوف الآن مثال عددي لاللي بنحكي عن
الإيجاد عن طريق المثال العددي إذا كانت الـ A هي
المصفوفة اللي أمامنا هذه المعكوس الضربي لها هو
عبارة عن الـ DA بعد ما بدلنا عناصر القطر الثانوي
مع بعض أسف في الرئيسي وغيرنا عناصر قطر الثانوي بس
إشارتها وضربناها في واحد على قيمة الـ determinant
طلع عنده اللي هو الـ A inverse أو المعكوس الضربي
للمصفوفة نشوف مثال عددي الآن نطلع لـ Find the
inverse of A هي الـ A عندي الآن هي المصفوفة دي بس
ايش بده نوجد الآن يا شباب ويا بنات الآن بس بده
نجي نضرب نوجد محدد المصفوفة ايش المحدد؟ اثنين في
ناقص عشرة هي ناقص اللي هو ناقص أربعة في أربعة هي
ناقص عشرين أو زائد ستة عشر بيظل ايه؟ شماله ناقص
أربعة إذا المحدد بيساوي ناقص أربعة إذا مدام المحدد
مش صفر إذا المعاكوس الضربي موجود على طول المعاكوس
الضربي inverse ايه بيساوي واحد على قيمة الـ
determinant هي ناقص أربعة وبنيجي لمصفوفتنا هذه بس
بنبدل الناقص عشرة مع الاثنين هنا بدلناها صارت
ناقص عشرة وهي اثنين، وبنبدل إشارة ناقص أربعة بيصير
أربعة بنبدل إشارة الأربعة بيصير ناقص أربعة هذا الآن
هو عبارة عن مين؟ عن اللي هو الـ A inverse أو
المعكوس الضربي للمصفوفة A يساوي بنضرب هذه طبعا هذا
الضرب عملية الضرب تدخل على كل عنصر من عناصر الـ
matrix فبيصير ناقص عشرة في ناقص ربع عبارة عن خمسة
على اثنين ناقص أربعة في ناقص ربع عبارة عن واحد اللي
هو ناقص ربع في أربعة بيطلع ناقص واحد ناقص ربع في
اثنين بيطلع ناقص نص إذن هذه هي عبارة عن المعكوس
الضربي لو أنت في الدار لأ جيت وقولت والله بدي
أشوف كلامنا صح ولا لأ اضرب لهدي في هدي هتلاقي بيطلع
عبارة عن الـ identity matrix إذن عملية الإيجاد اللي
هو المعكوس الضربي سهلة لأن المصفوفة اثنين في اثنين
الآن معكم الآن الجزء من الـ homework لهذه المحاضرة
بدكم تحلوا يا جماعة هذا السؤال هذا في ال homework
find the inverse of a و b و c حيث a هيها و b هيها
و c هي ده بنتظر منكم اللي هو حل هذا في ال homework
طبعا جاي لاحقا كمان شغلة كيف بدنا نجد ما هو find
the inverse of a 3x3 matrix كيف بدنا نجد ما هو
المعكوس الضربي لمصفوفة من الدرجة تلاتة في تلاتة
شوفوا علي خلينا نطلع هنا أربع خطوات أربع خطوات اللي
هو احنا باختصار خلّينا نقولها أول شيء بتوجد حاجة
اسمها اللي هي ال matrix of minor determinants
حاجات هنقول ايش الان بنغير اشارات اللي هي كل
العناصر ما عدا عناصر القطر الرئيسي وعناصر قطر مين
الثانوي الان اللي بعدها اللي بيطلع عندنا اللي
بنعمله بناخده ل Transpose اللي هو مدور المصفوفة و
بعدين اللي بيطلع بنضربه في واحد على ال determinant
بيطلع عندنا اللي هو المعكوس الضربي نشوف هذا يمكن
الكلام النظري شوية مش واضح خلينا نشوف كيف عمليا
نوجد الكوبيا قبل ما نحكي عن ما هو نوجد ال inverse
بس عساس ان هو توضيح ايش هو ال matrix of minor
determinants الان بدنا نعرف شو معناته ال minor
determinants اللي هي المحددات الثانوية حكيتها قبل
بشوية في الجزء الأول من المحاضرة الان يعني بدي اشوف
ايش ال minor determinant للخمسة اللي بالنسبة
للعنصر خمسة هذا مفترض انه محدد أو matrix بدنا ال
minor determinant للخمسة ال minor determinant أو
اللي هو المحدد الثانوي باختصار يا جماعة بتيجي
بالشط بالصف اللي هي فيه و العمود اللي هي فيه بطلع
عند المحدد المحدد اللي بطلع هذا هو اللي بنسميه ال
minor determinant لمن؟ للخمسة الان واحد يقول اللي
بدي ال minor determinant لمناقس ثلاثة بقول له حاضر
شط بالسطر و شط بالعمود بطلع عندي اللي هو اللي ضال
هذا عبارة عن محدد المحدد هذا بكون هو ال minor
determinant لمناقس ثلاثة واحد قال لأ بدي للتمانية
بقول له حاضر هي للتمانية شط بعموده و شط بصفه اللي
بضل هو عبارة عن ال minor determinant لمن للتمانية
أو المحدد الثانوي للعنصر من تمانية لو كان ليه بدي
أوجدت قيمته بقول اه سهل ايجادها واحد في تلاتة
بتلاتة تلاتة ناقص ناقص أربعة يعني واحد زائد أربعة
يعني خمسة آسف تلاتة زائد أربعة يعني سبعة اللي هو
تلاتة زائد أربعة يعني سبعة هذا قيمة من ال minor
determinant of تمانية يعني المحدد الثانوي لمين؟
لتمانية هذا الكلام قدمناه عشان نستخدمه مباعد بشوية
في اللي هو إيجاد ال inverse للمصفوفة شوفوا ..
شوفوا صلى الله عليه وسلم بعتقد الأمور إن شاء الله
هتكون واضحة جدا الان ال determinant أم ال matrix
أم المصفوفة أم المطلوب إيجاد ال inverse لهذه
المصفوفة عندنا أربع خطوات عشان نوجد اللي هو ال .. ال
.. ال .. ال .. ال inverse لهذه المصفوفة أربع خطوات
الخطوة الأولى أكيد كلكم حيقول بدنا نجد ال
determinant يعني بدنا نتأكد أو شيء make sure انه
non-singular ايش يعني non-singular يعني
determinant له مش صفر لو حسبتوا ال determinant له
زي ما أخدناه في الطريقة الأولى لإيش نضيع الوجد في
حساباتها لإن حسبناها قبل هيك بتحسبوها هتلاقوا ال
determinant لهذه ال M ايش طالع عندنا -156 يعني مش
صفر مزا مش مش صفر إذا الان تأكدنا إنه non
singular هذه طبعا في الآخر اللي هي بستخدمها اللي
هي قيمة ال determinant نجي للخطوات اللي بدنا نصل
فيها لل inverse الخطوة الأولى اللي هو find the
matrix of minor determinants يعني بدأ أوجد ال
matrix اللي بجيبه من مين من minor determinants
بتنشوف بنوجد اول شيء للتلاتة شيء ال minor
determinant للتلاتة الان هاي التلاتة شطبنا السطر
شطبنا العمود ضل عندي هذا هذا قداش قيمته ناقص
اتنين في ناقص اتنين يعني اربعة ناقص خمسة وعشرين
اربعة ناقص خمسة وعشرين قداش بطلع ناقص واحد وعشرين
إذا بكتب الناقص واحد وعشرين هذا خلصنا من العنصر
الأول نجي للعنصر الثاني اللي هو بده أوجد ال minor
determinant لمن يا شباب للسبعة خلصنا من التلاتة
نجي للسبعة طب السبعة كيف نفس الشيء بنشطب السطر و
بنشطب العمود و بنحسب ال minor determinant اللي هو
واحد في ناقص اتنين بيطلع ناقص اتنين ناقص اللي
بيصير زائد خمستاشر اتنين نقص اتنين زائد خمستاعش
بيطلع قداش عبارة عن تلات عشرة خلصنا من السبعة بنوجد
ال minor determinant لمن الان للتنين ثاني تشوف ال
minor determinant للتنين
وشط بالعمود طلع الـ Minor Determinant أي المحدد
الثانوي للعنصر 2 المحدد الثانوي للعنصر 2 خمسة زائد
اللي هي بصير ناقص ستة خمسة ناقص ستة بطلع ناقص واحد
نتأكد الكلام صحيح خلصنا من السطر الأول كله و نبدأ
بالواحد وهي نفس القصة وهي السطر وهي العمود وهي
السطر وهي minor determinant بنوجد قيمته سبعة في
ناقص اتنين ناقص اربعة عشر ناقص عشرة يعني عبارة عن
ناقص اربع وعشرين خلصنا اللي هو الواحد بنجي لمين
الان ناقص اتنين خليني نشوف يا شباب ناقص اتنين بنفس
الاسلوب هاي ال minor determinant اللي هو تلاتة في
ناقص اتنين ناقص ستة ناقص ستة وزاية ستة بطلع كده
صفر طيب خلصنا اللي هو اللي ناقص اتنين بنطلع لمين
الان للخمسة دلال الخمسة المحددة
الثانوية للخمسة بنشطب سطر الخمسة و عمود الخمسة بطلع
عند المحدد بحسب قيمة المحدد خمسة عشر زائد واحد و
عشرين بطلع اللي هو عبارة عن ستة و تلاتين خلصنا هذه
بنيجي للسطر الثالث اللي هو عبارة عن مين ناقص تلاتة
بنفس الاسلوب هي محددها محددها من وجود قيمته بتطلع
تسعة و تلاتين خلصنا من ناقص تلاتة بنيجي للخمسة
اللي هو خمسة محددها قداش بطلع بنحسبه بطلع تلت عشرة
بنفس الاسلوب اللي قبلت الان خلصنا من الخنصة ده
اللي عندي نقص اتنين هي محددها بنحسب محددها هدف
هدف نقص هدف هدف هدف هدف هدف هدف هدف هدف هدف
هدف هدف هدف هدف هدف هدف هدف هدف هدف هدف هدف
هدف هدف هدف هدف هدف هدف هدف هدف هدف
هلعناصر المصفوفة يعني هذا عبارة عن محدد ثانوي
للتلاتة هذا عبارة عن محدد ثانوي للسبعة هذا المحدد
الثانوي للتانين زي ما حكينا و البجيات نفس الشيء
إذا هذه أول خطوة نجي للخطوة الثانية الآن الخطوة
الثانية بنيجي بنحدد عناصر القطر الرئيسي و عناصر
القطر الثانوي واللي بضلنا بنقلب إشارتين بس اللي هو
alternate the sign of the minor which don't lie on
the diagonals يعني اللي هي الآن هي عندك اللي هي
اللي مش على القطر الرئيسي أو القطر الثانوي بدنا
نغير إشارتين بيصير هذا 24 وهذا 13 وهذا ناقص 13 وهذا
ايش سالب 36 خلينا نشوفها فعلا هيها سالب 13 سالب 36
سالب 13 24 الخطوة الثانية نجي للخطوة الثالثة الخطوة
الثالثة هذا الان اللي بطلع اللي طلع في الخطوة
الثانية بدنا نجيبله transpose يعني بدي أجيبله ايش
مدور هذه المصفوفة مدورها اللي هو السطر بيصير عمود
السطر بيصير عمود السطر بيصير عمود بيكون أوجدنا مين
ل Transpose هاي عندي السطر الأول صار عمود السطر
الثاني صار عمود السطر الثالث صار العمود الثالث هذا
اللي هو ايش بنسميه ل Transpose بالمناسبة هذا اللي
طلع في الخطوة الثالثة اللي هو ل Transpose هذا بعد
شوية هنسميه هي ال Adjoint ل Matrix M يعني لو طلب
عندي ال Adjoint ل Matrix M بيجيب بعمل تلت خطوات
نجد ال Matrix اللي هو تبع ال minor determinants
بنغير إشارات اللي هي العناصر كلها معدة عناصر اللي
هو القطر الثانوي والقطر الرئيسي وبعدين بناخدها لل
Transverse هذا اللي بنسمي الـ Adjunct الـ Adjoint
للمصفوفة الان بدي انا الـ inverse الـ inverse في
الشتّال منها ايش طالت الخطوة الأخيرة Divide By
Determinant بنجسم هذا بإيش بالـ determinant للـ M
يعني الآن بنضرب هذا المقدار في واحد على الـ minus
ستة وخمسين بيطلع مين هو الـ M inverse بساوي ناقص
واحد على مئة وستة وخمسين في هذا اللي هو المصفوفة
اللي بيطلع عندي هذا الـ M inverse هو الان عبارة عن
اللي هي الـ inverse للمصفوفة اللي عندنا الان بتصور
الأمور واضحة الخطوة الأولى الخطوة الثانية الخطوة
الثالثة الخطوة الرابعة وكون حصلنا عالميا على الـ M
inverse أو المعكوس الضربي للمصفوفة M نجي ناخد مثال
ثاني هي عندي المثال ايه هو هي عندي بنوجد f inverse له
example واحد find a inverse هي الـ matrix A وهي أول
خطوة بنعملها ايش بنوجد اللي هو الـ determinant له
اوجدنا الـ determinant زي ما بنوجد دائما بيطلع عندي
determinant عبارة عن 32 يعني مش صفر يعني فعلا فيش
عندنا ايش اللي هو في عندنا اللي هو inverse
للمصفوفة طيب الخطوة الأولى اللي هي بعد ما وجدنا هذه
طبعا خطوة رئيسية هناخدها لاحقا الان الخطوات
الأربعة الخطوة الأولى اللي هو الـ matrix of minors
نجد الـ matrix of minors للواحد بنشطب اللي هو السطر
و العمود بيطلع الـ determinant هذا هي الـ determinant
للصفر هي الـ determinant للتلاتة تدرب لحالك هي ال
determinant أولاد سبعة أو أولاد تلاتة هاي كلها
هدول مين هنا اللي هي الـ matrix of minors أو
determinant الـ matrix of minor determinants
المفهوم اللي هو مصفوفة مصفوفة اللي هي المحددات
الثانوية هي قيمة هذا هي وقيمة هذا هي وقيمة هذا هي
وقيمة هذا هي وقيمة هذا هي وقيمة هذا هي و قيمة
هذا هي وقيمة هذا هي وقيمة هذا هي وقيمة هذا هي و
قيمة هذا هي وقيمة هذا هي وقيمة هذا هي وقيمة هذا
هي وقيمة هذا هي وقيمة هذا هي وقيمة هذا هي و
قيمة هذا هي وقيمة هذا هي وقيمة هذا هي وقيمة هذا
هي وقيمة هذا هي وقيمة هذا هي وقيمة هذا هي و
قيمة هذا هي وقيمة هذا هي وقيمة هذا هي وقيمة هذا
هي وقيمة هذا هي وقيمة هذا هي وقيمة هذا هي و
قيمة هذا هي وقيمة هذا هي وقيمة هذا هي وقيمة هذا
هي وقيمة هذا هي وقيمة هذا هي وهيتطلع على اللي
قبل عشان ما تنساش الناقص تمانية و تلاتين هي صارت
ناقص تمانية و تلاتين هذي صارت ستة هذي صارت ناقص
اتنين هذي صارت اتنين و عشرين مظبوط طيب الخطوة
الثالثة ايش هذا اللي طبعا اللي بنسميه cofactor
matrix يعني اللي بنغير إشارات من ال .. ال .. ال ..
الـ matrix معدة أنصر الأقطار اللي موجودة الخطوة
الثالثة هي ان نجيب الـ Transpose نجيب اللي هو مدور
المصفوفة لـ Transpose اللي هو بيصير هذا السطر هي
عمود وهذا السطر هي عمود وهذا السطر هي عمود هذا
الـ Transpose هو اللي بنسميه الـ Adjoint لـ ميلة A
اللي حكيته قبل بشوية بيصير عندي الآن اللي هي
الخطوة الأخيرة الرابعة الـ A inverse بساوي 1 على 32
اللي هي قيمة الـ Determinant مضروبة في هذا ال
matrix اللي .. اللي .. اللي .. اللي هو الـ CT
سميناها وبيطلع عندي اللي هي القيمة اللي أمامي هذا
اللي بنسميه اللي هو الـ inverse أو المعكوس اللي
ضربنا مين يا جماعة لما مصوفة لو مثال آخر جالي find
A inverse الآن بدا نوجد الـ A inverse بالصورة اللي
حكينا عنها قبل بشوية اللي هو هي الـ A والـ A
inverse ايش بساوي واحد على الـ determinant في ال
adjoint ايش الـ adjoint بدنا نوجده اللي قلنا عنه قبل
بشوية وايش الـ determinant اللي أنتو عارفينه ال
determinant لهذا بساوي قيمة المحدد هذا وهيطلع لنا
القيمة عبارة عن قداش خمسة لو جربت أنت توجدها لحالك
نيجي لمين لايه نوجد الـ adjoint لايه عشان نوجد ال
adjoint اول شي بدنا نوجد مين الـ minors هذا ال
minors هذا اللي هو قيمة الـ determinant للعنصر
الأول determinant الثانوي وهذا للعنصر الثاني وهذا
للعنصر الثالث زي ما وجدنا قبل قليل والتفاصيل لكم
الحسابات وجدنا الـ Minors بعد ما نجد الـ Minors
بنجد الـ Co-Factor ماهو الـ Co-Factor؟ بنحدد هي
القطر الرئيسي وهي القطر الثانوي ومن هدول بنغير
إشاراتين هذا بيصير 25 هذا بيصير 4 هذا بيصير 5 وهذا
بيصير 18 هي اللي هو الـ Co-Factor عملية تغيير
الإشارات للعناصر غير عناصر القطر الثاني والقطر
الرئيسي الان الـ Cofactor اللي هو C أوجدناه ضال
عندنا نوجد مين الـ Adjoint الـ Adjoint مين هو ال
Transpose لهذا هي أوجدناه الـ Transpose سهل ال
Transpose كلكم بعرفها هي بيصير عمود سطر بيصير
عمود سطر بيصير عمود خلصنا الـ Adjoint بدنا نوجد ال
A-Inverse الـ A-Inverse ايش هي؟ واحد على قيمة ال
determinant اللي أوجدناه قبل و شوية اللي هو مضروب
في الـ Adjoint اللي هو عبارة عن واحد على خمسة اللي
هو الـ determinant خمسة مضروب في الـ Adjoint اللي هو
هاي الـ Adjoint هيك فبكون احنا أوجدنا الـ A inverse
لمين ل الـ matrix اللي الـ determinant له مش صفر
الان عندك الجزء الثاني من الواجباللي هو ال
question هو ان انا الـ a هيو وهي الـ a inverse
بالسوية واحدة الـ determinant في الـ adjoint او جدل
الـ a inverse او جدلي هذا الكلام بالتفصيل او جدل ال
determinant وبعدين او جدل الـ adjoint زي ما احنا
قلنا اللي قبل وهيطلع عندك الجواب a inverse
بالسوية كده انا بدي منك التفاصيل في الواجبالان
المرة القادمة ان شاء الله بنكمل وبندخل على الـ
solving linear equations using inverse matrix
والسلام عليكم ورحمة الله وبركاته وإلى لقاء آخر