بسم الله الرحمن الرحيم أعزاء الطلاب السلام عليكم
ورحمة الله وبركاته في هذا الـ section سنبدأ إن شاء
الله في chapter اثنين أول section اللي هنفتحه هو
section 2-2 يتكلم عن النهايات وقوانين النهايات
اللي هو limit of a function and limit to نهايات
الدالة وقوانين النهايات هنقسم الـ section إلى جزءين
هنبدأ في الجزء الأول، هنعرف إيش المقصود في النهاية
وقوانين النهايات والحالات التي تكون فيها النهاية
غير موجودة عند نقطة، نوضح إن هو موضوع النهاية
بالمثال لو كان عند الـ function f of x تساوي x-1 على x-1 هذا ده الـ rational
function، domain كل R معدا الواحد من المقام اللي هي
واحد فهي غير معرفة عند الواحد، فهنبهمنا كيف تصرف
الدالة بجوار الواحد، لو أخذت دالة حلل الـ x نقص واحد عشان x زاد واحد عشان x نقص واحد عشان
اختصار عشان بيصير x زاد واحد، فـ f of x دالة خطية
لكن domainها R معدا الواحد، لو رسمناها هي رسمتها
فهذه رسمة دالة f of x تلاحظوا عند الواحد غير معرفة
لكن كل ما نقترب من الواحد سواء من اليمين أو اليسار
فهي نقترب من الواحد، فمن حالة دالة اقترب من الاثنين
فتلاحظوا إن دا اللي عند الواحد غير معرفة لكن إلها
نهاية ونهيتها عند من X تقترب من الواحد سواء من
اليمين أو من اليسار هي اقترب من الاثنين فعندنا
المقصود .. نكتب في هذا الموضوع النهائي في هذه
الصورة limit f of X من X approaches X0 equal الـ
فهذا معناه مقصود في إن دا لـ f of X تصرفها كل ما
x اقتربت من x نوت نقطة معينة يُستخدم أفضل x
تقترب من الـL فكل ما اقتربنا بزيادة عن x نوت
فأفضل x تقترب من الـL هنا اللمة هي اختصار كلمة
limit نهاية، فالنقطة x نوت هي النقطة اللي بنحسب
النهاية في جوارها عندما تقترب x من x نوت وL هو
نتيجة النهاية، لو أخدنا نفس المثال السابق لتفهيم دي
عند الحالات الأولى هي اللي بدنا فيها اقترب من x أو
اقترب بين اقترب اللي عشناه الواحد زي ما شوفنا
عند الواحد الدالة غير معرفة لكن إلها نهاية وتساوي
اثنين، تلاحظوا إن الدالة ممكن تكون إلها نهاية عند
اقترب تقعفد منها الواحد لن يقعفد من الدالة لأن
الدالة تسريد منك الأرمض اصفر المقام لكن إلها نهاية
الحالة الثانية، الواحد يقع فيه من الدالة لكن قيمة
الدالة عند الواحد تساوي واحد اللي هي هنا و
النهاية عند الواحد موجودة وقيمتها اثنين فتلاحظوا
إن الدالة معرفة عند الواحد وإنها نهاية عند
الواحد لكن قيمة النهاية تساوي اثنين وقيمة الدالة
عند الواحد تساوي واحد فقيمة الدالة لاتساوي قيمة
النهاية، واتلاحظ في الحالة الأولى والثانية إنه أنا
عند الواحد هنا في hole يعني أنا في ثقوب أنا في
ثقوب أنا أقول إنه عالم اتصال هناخد الـ expression
القادمة في الحالة الثالثة ودالة خطية دي هي domain
of all R وهي معرفة عند الواحد كلها اثنين ونهاية
عند الواحد تساوي اثنين، اتلاحظ الحالة هذه الثالثة
الدالة معرفة عند الواحد و streamingها عند الواحد هي
نفسها تقريبا النهاية واتلاحظ إن أنا في الـ city
hall فشيء فقط من الأول في اتصال عنديهذا سندرس في
التفاصيل في الموضوع اللي بتصحى نبدأ
في بعض الدوال اللي هو الخاصة اللي هو أول حاجة الـ
identity function اللي هو صورة أي عنصر هو نفسه أفضل سواء
x فهذه نهايتها عند أي من x أو أو لأي نقطة x
موجودة في قسم الدالة فlimit f of x من x أوو x0 هو
نفس النقطة الموجودة فيها x0 فمثلا limit of x من x طويلة 5 يساوي 5 limit x من x طويلة 3 يساوي
3 نوع ثاني من الدوالات ده هو الدوالات
الثابتة، f of x يساوي k limit f of x من x طويلة x not
يساوي limit k من x طويلة x not يساوي k يساوي ثابت
limit 3 من x طويلة x not يساوي 3 limit
10 من x طويلة 4 يساوي 4 هذا ما أثبت إنه
يبقى لزمهية متظهرة هناخد
مثال يسمى الـ unit step فعندنا الـ function هي الـ
unit step function U of X معروفة في هذه الصورة هي
piecewise تقوم جزئين، تبين إن x أقل من 0 قيمة 0 إيه
على قطة أنا أقل من 0 إذا x أكبر من 1 قيمة 1
تلاحظوا عند الصفر الدالة لها تعريف على اليمين غير
الشمال، لو أنا اقتربنا من الصفر من اليمين هتكون
قيمة النهاية 1 لو اقتربنا من الصفر من اليسار هتكون
صفر فالدالة عند الصفر معرفة وقيمته تساوي 1 لكن
النهاية غير موجودة لإن أنا عندي من اليمين قمت
نهاية غير من اليسار لو
أخدنا الحالة الثانية أخدنا f of x يساوي واحد على x و x تساوي صفر و f of x تساوي صفر من x
تساوي صفر أنا معرفة عند الصفر الدالة معرفة عند
الصفر بالصفر لكن أنا كل ما اقترب من الصفر من اليمين
الملحانة الدالة تفتفع إلى ما لا نهاية ومن اليسار
لسالب ما لا نهاية فأتلاحظ النهاية غير موجودة لأن كل
ما نقترب النقطة اللي بنحسبها عند النهاية صفر مثلا
في هذه الحالة هي قيمة 3 أول إلى ما لا نهاية أو سالب
ما لا نهاية فهذه هي الحالة الثانية ففي الحالة الأولى
النهاية مش موجودة عند الصفر لأنه قيمة نهاية من
اليمين غيرها من اليسار لأنه دالة إلى تعريف من
اليمين غير اليسار فمن اليمين واحد نهاية ومن اليسار
صفر فالنهاية موجودة من اليمين أو من اليسار لكن
مختلفتين النهاية غير موجودة مثلًا، كل ما نقترب من
النقطة التي تحسب عند النهاية في هذه الحالة صفر
فالدالة منها تقول إلى ما لا نهاية أو سالب ما لا نهاية
الحالة الثالثة لو أشوفها للدالة أقصد صورة صفر
مقصد أقل من صورة صفر هي الدالة من الصفر صفر لكن
على يمين الصين وعلى الـ x رغم ما نقترب من اليمين
النهاية غير موجودة موجودة لأن الدالة مترددة بسرعة
كل دقيقة بتاخد أما من سالب واحد لواحد كل دقيقة
بتاخد في الفترة من سالب واحد لواحد فغير موجودة
النهاية من النهاية اللي صارت موجودة النهاية اللي
صارت صفر فبالتالي بسرعة عامة من اتجاهين من اليمين
أو اليسار النهايتين غير متساويتين لأنهم اليمين غير
موجودة بعد إن الحالة بتكون النهاية غير موجودة فإذا
هنا درسنا في ثلاث حالات تكون النهاية مش موجودة على
النقطة
الحالة الثالثة بتكون
مترددة الطرح فتاخدها من سالب واحد لواحد في هذه
الحالة قوانين نهايات مش أذي اللي مرد عليكم هذا ما
كان في المرحلة الثانوية إن أنا لو عندي دالتين f of
x و g of x وأنا بدأت النهاية f of x من x تقول الـ c
عدد الحقيقة c يساوي l limit g of x من x تقول الـ c
يعني نفس النهاية من النقطة النهائية عن نقطة نقطة
نقطة نهائية يساوي m فأول حاجة limit مجموع
دالتين من x تقول الـ c يساوي limit الأولى زائد limit
الثانية يساوي l زائد m Limit الفرق يساوي l ناقص m Limit
حصل ضرب، تابس بضرب تابس نفسه Limit حصل ضرب دالتين
يساوي Limit الأولى في Limit الثانية Limit القسمة
يساوي Limit الأولى على Limit الثانية
يساوي Limit الأولى في Limit
التانية تسمى Limit اللي في البسط تقسيم Limit في
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
.. ال .. ال .. ال .. ال ..Limit الأولى ضاربة Limit
التانية تسمى Limit اللي في البسط تقسيم Limit في
المقام لأن في حالة انتبهت أن في المقام Limit لا
تساوي Zero فLimit الدالة مرفوعة قوة N يساوي Limit
الدالة نفسها أس N Limit الجذر النوني يساوي جذر
النوني لـ L بس أنا انتبه أنه إذا كانت الدالة عندها
الـ L هنا بالسالب فهذا لازم يكون غير زوجي يعني لو
كانت uneven اللي هو جذر زوجي زي جذر تربيعي جذر رابع
لازم تكون النهاية هنا عشان يكون معرفة أكبر من 0
example
5 هو تطبيقا على القواعد السابقة خذنا limit x تؤول
لـ 4x تربيع ناقص 3 من x تؤول لـ C بساوي limit x
تؤول لـ x تؤول لـ C زي 4 limit x تربيع من x تؤول
لـ C ناقص limit 3 من x تؤول لـ C بساوي C تؤول لـ
4C تربيع ناقص 3 هذا هو التبسيط limit x أس 4 زي x
تربيع ناقص 1 على x تربيع زي 5 من x تؤول لـ C
فطلعت أول حاجة انتباه لنص المقام لما x تؤول لـ C
هتلاقي C تربيع زي 5 ناقص 1 يساوي zero فبالتالي
ممكن أوزع النهاية على الـ bus وعلى المقام
الـ Limit للجذر التربيعي للأربعة يستربيه ناقص ثلاثة
مليون تقولي سالب اثنين انتبه أنه أنا ما اندفع بيصير
لعندي Limit الجذر للـ Limit وأنا قدرت أدخل Limit
لأنه قيمة Limit تحت الجذر أنا سويتها تلاتة تكون سفر
لكن لو كان بالسالب ما بنفع أن أدخل Limit اللي أنا
أدخلت تربيعيهنا يوجد صورة عامة نظريتين هما هذا
الجزء من الـ section أنه في حالة البولينومي يعني
كثيرات الحدود لو كانت B في X بولينومي درجة N A N في
X أس N Z A N ناقص 1 X أس N ناقص 1 Z A نقطة
نقطة نقطة نقطة نقطة نقطة نقطة نقطة نقطة نقطة
نقطة نقطة نقطة نقطة نرجع الـ x بالنهاية نفس
الشيء في الـ rational function نفس الشيء في الـ bus
نفس الشيء في المقام نفس
الشيء في المقام من أهم قوانين النظريات
ساعدنا في حل الواجهات النهائية فإن شاء الله لكم
الصحة والعافية وإن شاء الله سنستخدم هذا الـ section
في الفيديو القادم السلام عليكم ورحمة الله وبركاته