1
00:00:14,700 --> 00:00:19,860
عودة على بدء المرة الماضية بدأنا في بداية ال

2
00:00:19,860 --> 00:00:23,760
alternating series عطينا تعريف لل alternating

3
00:00:23,760 --> 00:00:28,120
series وبدأنا في ال convergence لل alternating

4
00:00:28,120 --> 00:00:33,420
series و أعطينا نظرية على هذا الموضوع نذكر بما 

5
00:00:33,420 --> 00:00:36,780
قلناه في المرة الماضية قلنا بنيجي على ال

6
00:00:36,780 --> 00:00:41,340
alternating series وباخد ال a1 و ال a2 و ال a3

7
00:00:41,340 --> 00:00:47,560
بدون الإشارات طبعا إذا لجيت كل الحدود هذه positive

8
00:00:48,800 --> 00:00:55,140
أتنين لقيت الحدود هذه decreasing تلاتة لقيت limit

9
00:00:55,140 --> 00:00:58,840
الحد انه لما ال N بده يروح ل المال انها بده يساوي

10
00:00:58,840 --> 00:01:03,880
zero معناته تحققت الشروط التلاتة يبقى ال series او

11
00:01:03,880 --> 00:01:07,460
ال alternating series بقول عنها converge في هذه

12
00:01:07,460 --> 00:01:12,600
الحالة واطلناكم مثال بسيط عليها اللي كانت

13
00:01:12,600 --> 00:01:16,220
alternating harmonic series و أثبتنا

14
00:01:29,070 --> 00:01:33,650
التعريف الأول if the series of absolute values

15
00:01:33,650 --> 00:01:36,490
summation على a n

16
00:01:43,390 --> 00:01:46,930
لأن سالب واحد أُس N زي واحد لما أخده ال absolute

17
00:01:46,930 --> 00:01:50,890
value أو سالب واحد أُس N لما أخده ال absolute

18
00:01:50,890 --> 00:01:55,510
value النتج جداش يعني كتابته بصير كلك عزيزي، بيضل

19
00:01:55,510 --> 00:02:00,470
بس ال absolute value لمن؟ لل A N لو كانت ال series

20
00:02:00,470 --> 00:02:04,730
of absolute values converge بروح بقول ال series

21
00:02:04,730 --> 00:02:08,750
الأصلية هذه converge absolutely

22
00:02:16,870 --> 00:02:20,850
التعريف الثاني بيقول لو ال summation under ال

23
00:02:20,850 --> 00:02:26,980
alternating series هذه ما طلعتش convergeيعني ال

24
00:02:26,980 --> 00:02:31,840
alternating series هذي طلعت diverge شونعمل is not

25
00:02:31,840 --> 00:02:34,840
converge absolutely يعني ماطلعتش converge

26
00:02:34,840 --> 00:02:38,860
absolutely يعني طلعت diverge يبجيش في هذه الحلبات

27
00:02:38,860 --> 00:02:42,420
satisfy the conditions of the previous theorem

28
00:02:42,720 --> 00:02:55,080
بتحقق الشروط التالتة اللي قلت لكم قبل قليل انتقال

29
00:02:55,080 --> 00:03:00,060
تقارب

30
00:03:00,060 --> 00:03:08,120
تقارب شرطيا او تقارب مشروطا المباحظات التالية اللي

31
00:03:08,120 --> 00:03:13,220
عندناالأولى حكيناها التانية converge absolutely

32
00:03:13,220 --> 00:03:17,120
تعني converge، converge conditionally تعني كذلك

33
00:03:17,120 --> 00:03:20,900
converge يبقى انطلاق تكون ان converge absolutely و

34
00:03:20,900 --> 00:03:23,720
لا converge conditionally معناه هذا الكلام ان ال

35
00:03:23,720 --> 00:03:28,020
series هذي converge طب لو جيت على الشروط التلاتة و

36
00:03:28,020 --> 00:03:30,120
اتطلعت في الشرط التالت

37
00:03:37,440 --> 00:03:44,100
الشرط التالت في النظرية لم يتحقق بصير سيرز مالها؟

38
00:03:44,100 --> 00:03:47,760
السؤال هو طب ليش الشرط التالت من دون الشروط

39
00:03:47,760 --> 00:03:52,800
الأخرى؟الإجابة بسيطة جدا الشرط التالت يعني اختبار

40
00:03:52,800 --> 00:03:57,500
الحد النونيالمتر للان لما الان بتروح لمالها لنهاية

41
00:03:57,500 --> 00:04:02,420
إذا كان لا يسوى zero يبقى ال series مالها by value

42
00:04:02,420 --> 00:04:06,020
مش هيك اختبارها لحد نوني يبقى هنا لحد نوني فأحلى

43
00:04:06,020 --> 00:04:12,040
من جولإذا الشرط التالت لم يتحقق كان لا يساوي Zero

44
00:04:12,040 --> 00:04:16,040
يبقى في هذه الحالة Series وعن هذه بقول عنها مالها

45
00:04:16,040 --> 00:04:20,820
Diverged ايوة طب ايش رأيك؟ بدي الم كلام المرة اللي

46
00:04:20,820 --> 00:04:25,800
فاتت و المرة هذه في استراتيجية حل ال alternating

47
00:04:25,800 --> 00:04:30,860
series كيف بدنا نحل سؤال ال alternating series؟

48
00:04:31,230 --> 00:04:34,830
انتبه معايا كويس الكلام اللى هقوله لك نظري هطبقه

49
00:04:34,830 --> 00:04:39,350
الآن على الأمثلة حرفيا ابنجي على ال alternative

50
00:04:39,350 --> 00:04:43,950
series الأساسية اللى عندنا هذه و باخدلها series of

51
00:04:43,950 --> 00:04:47,730
absolute value بالشكل اللى عندنا هنا طب ليش بدي

52
00:04:47,730 --> 00:04:51,450
اخدلها series of absolute value؟ اه بقول انا بدي

53
00:04:51,450 --> 00:04:55,590
استخدم الاختباراتوالاختبارات اللي خدناها هما على

54
00:04:55,590 --> 00:04:59,330
الاختبار الأول تبع ال end term test كل الاختبارات

55
00:04:59,330 --> 00:05:04,110
بيشترق انه series with positive terms الحدود كلها

56
00:05:04,110 --> 00:05:08,790
موجبة اذا مشان اقدر استخدم اي اختبار منهم لازم

57
00:05:08,790 --> 00:05:13,630
بالنسبة للانتقال اخد منه the series of absolute

58
00:05:13,630 --> 00:05:18,290
values مشان اضمن انه كل الحدود موجبة وبالتالي اي

59
00:05:18,290 --> 00:05:22,010
استخدم اي اختبار من الاختبارات اللتي سابقة دراستها

60
00:05:22,410 --> 00:05:27,410
وكان هذا ال section هو مراجعة لما سبقت دراسته في

61
00:05:27,410 --> 00:05:34,270
ال sections الماضية واضح كلامي؟ طيب نرجع للخطوات

62
00:05:34,270 --> 00:05:38,730
العملية أخدنا series of absolute values طلعت ال

63
00:05:38,730 --> 00:05:43,750
series of absolute values converge يبقى براحة بقول

64
00:05:43,750 --> 00:05:49,910
ال series الأصلية converge absolutelyإذا ال series

65
00:05:49,910 --> 00:05:52,910
of absolute values لكل حدودها موجة بقلها ت

66
00:05:52,910 --> 00:05:57,050
converge بأي اختبار من الاختبارات الستة والتلاتة

67
00:05:57,050 --> 00:06:00,030
ال series المشهورة بقول ال series عندي converge

68
00:06:00,030 --> 00:06:04,230
absolutely للأصلية طيب إذا ال series of absolute

69
00:06:04,230 --> 00:06:08,570
values دايفيرت أقول ال alternative للأصلية دايفيرت

70
00:06:08,570 --> 00:06:12,910
بقوله لا لا لا استنى شوية بروح على الشروط التلاتة

71
00:06:12,910 --> 00:06:18,890
إذا تحققت الشروط التلاتة في آن واحدبقول ال series

72
00:06:18,890 --> 00:06:25,310
converge conditionally طيب إذا الشرط التالت لم

73
00:06:25,310 --> 00:06:30,190
يتحقق بقول يبقى ال series اللي لنا مالها diverse

74
00:06:30,190 --> 00:06:35,910
تمام؟ طب السؤال هو هل ضروري ترتيب الشروط التلاتة

75
00:06:35,910 --> 00:06:39,610
واحد اتنين تلاتة بالترتيب؟ و الله ممكن اروح الشرط

76
00:06:39,610 --> 00:06:43,800
التالت دغريممكن على الشرط التالت دقري، إذا الشرط

77
00:06:43,800 --> 00:06:46,960
التالت لم يتحقق، مافيش داعي أدور على الشرطين

78
00:06:46,960 --> 00:06:50,500
الأثنين هدولك، لكن إذا اتحقق الشرط التالت، بتروح

79
00:06:50,500 --> 00:06:55,480
أدور على مين؟ على الشرطين الأثنين التانية طيب،

80
00:06:55,480 --> 00:07:01,050
واحد حيسن السؤال التاليهيقول ليش الشرط التالت إذا

81
00:07:01,050 --> 00:07:04,910
لم يتحقق ف ال series diverge لكن الشرطين الأولين

82
00:07:04,910 --> 00:07:09,750
يعني شو أخبارهم مش هذا سؤال بنقولك بسيطة احنا لما

83
00:07:09,750 --> 00:07:14,450
قلنا إذا لم يتحقق الشرط التالت ف ال series diverge

84
00:07:14,450 --> 00:07:19,350
روحت استخدمت أحد الاختبارات وهو اختبار الحد النوني

85
00:07:19,350 --> 00:07:23,130
فحكمت automatic بصمت ان ال series هذه مالها

86
00:07:23,130 --> 00:07:29,350
divergeلكن لو لم يتحقق الشرط الأول أو الشرط الثاني

87
00:07:29,350 --> 00:07:32,870
في عندي قاعدة بتحكم هل ال students converge ولا

88
00:07:32,870 --> 00:07:39,290
diverge؟ ماعنديش وبالتالي الشرط الأول في في يعني

89
00:07:39,290 --> 00:07:43,970
خليني أقولك تسعة وتسعين وشلة تسعات زي الانتخابات

90
00:07:43,970 --> 00:07:49,650
العربية كلها بتطلع اه الشرط الأول محقق automatic

91
00:07:49,650 --> 00:07:55,000
الشرط التاني بده فحص إما بواسط الاشتقاءأو المقارنة

92
00:07:55,000 --> 00:07:58,620
بين الحد النوني والحد النوني زائد واحد ومن خلاله

93
00:07:58,620 --> 00:08:03,280
هنحكم على هذي ال series هل هي converge او diverge

94
00:08:03,280 --> 00:08:08,140
قبل ان احل الأمثلة عشان اتركز معايا كويس انا بدي

95
00:08:08,140 --> 00:08:10,800
ابحث ال series هذي converge و لا diverge بعمل ما

96
00:08:10,800 --> 00:08:14,220
يأتي باخد ال series with absolute values طلعت

97
00:08:14,220 --> 00:08:17,420
converge بقول converge absolutely طلعت diverge

98
00:08:17,420 --> 00:08:21,840
بقول استنى شوية بروح على الشروط التلاتةتحقق الشروط

99
00:08:21,840 --> 00:08:26,200
التالتة بقول converge conditionally لم يتحقق الشرط

100
00:08:26,200 --> 00:08:28,880
التالت بقول الأصلية diverge وقلصنا كما الله

101
00:08:28,880 --> 00:08:33,600
المؤمنين قلت تعالى يبقى هدول ملخص الجزء النضري تبع

102
00:08:33,600 --> 00:08:37,720
ال section كله تمام؟ الكلام اللي اسمعته بدنا نروح

103
00:08:37,720 --> 00:08:41,700
نطبقه عاملين يبقى انا ميعطيني series وقاللي هل ال

104
00:08:41,700 --> 00:08:45,000
series هدى converge absolutely و الله converge

105
00:08:45,000 --> 00:08:49,060
conditionally و الله diverge بقوله تعالى نشوفيبقى

106
00:08:49,060 --> 00:08:52,480
بدي أبدأ بالخطوة الأولى بدي أخد the series of

107
00:08:52,480 --> 00:08:59,860
absolute values فبجي بقول له solution the series

108
00:08:59,860 --> 00:09:02,020
of

109
00:09:04,410 --> 00:09:11,650
absolute values is summation للأربعة to the power

110
00:09:11,650 --> 00:09:18,050
n تلتة to the power n plus one يعني هذه يا شباب هي

111
00:09:18,050 --> 00:09:25,570
عبارة عن summation لتلت في أربعة على تلتة كله to

112
00:09:25,570 --> 00:09:30,440
the power nهذه عملتها تلاتة في تلاتة to the power

113
00:09:30,440 --> 00:09:34,920
n يبقى تلت في أربع على تلاتة to the power n

114
00:09:34,920 --> 00:09:44,300
السيريز هذه شو أخبارها عندكم الاساس

115
00:09:44,300 --> 00:09:48,720
تبعها أكبر من الواحد الصحيح يبقى هذه

116
00:09:59,670 --> 00:10:04,950
النسبة يسوى أربعة على تلاتة أكبر من الواحد الصحيح

117
00:10:04,950 --> 00:10:10,170
إذا بقدر أقول السيطرة الأصلية by where بقدرش بقدر

118
00:10:10,170 --> 00:10:14,630
أروح على وين على الشروط التالتة ونفضل أن نبدأ

119
00:10:14,630 --> 00:10:19,610
بالشرط التالت طب لو جيت ابتدت بالشرط التالت يبقى

120
00:10:19,610 --> 00:10:25,510
الشرط التالت بيقول لي ال limitللان لما ال N tends

121
00:10:25,510 --> 00:10:31,750
to infinity لتلت

122
00:10:31,750 --> 00:10:35,390
في أربعة على تلتة to the power N

123
00:10:38,770 --> 00:10:44,210
جديش؟ هذا كثر اكبر من واحد الصحيح ربه كعبه اربعة

124
00:10:44,210 --> 00:10:48,350
من الله سهل عليه رايح على وين؟ على infinity يبقى

125
00:10:48,350 --> 00:10:55,260
هذا سوى جديش؟ سوى infinityأيوة يبقى هذا اختبار

126
00:10:55,260 --> 00:11:00,660
مين؟ الحد النوني مظبوط اختبار الحد أنه يعطيني مالها 

127
00:11:00,660 --> 00:11:05,040
نهاية تعني ال series هذه مالها diverse طبقا لل

128
00:11:05,040 --> 00:11:11,480
instruments ممتاز جدا يبقى الشرط التالت عندي هذا

129
00:11:11,480 --> 00:11:17,240
مالها لم يتحقق مدى ما اتحققش يبقى ال series مالها

130
00:11:17,240 --> 00:11:24,230
diverse وكفى الله المؤمنين القتال يبقى this means

131
00:11:24,230 --> 00:11:34,050
that أنه the third condition

132
00:11:34,050 --> 00:11:48,450
of the theorem is not satisfied that

133
00:11:48,450 --> 00:11:51,490
is أن

134
00:11:54,110 --> 00:12:02,610
That is limit لأن لما ال N tends to infinity لا

135
00:12:02,610 --> 00:12:11,270
يساوي Zero So the series هي summation ل minus one

136
00:12:11,270 --> 00:12:16,470
to the power N plus one لاربعة to the power N

137
00:12:16,470 --> 00:12:21,650
ثلاثة to the power N plus one مالها Diverge

138
00:12:38,660 --> 00:12:48,600
المثال الثاني مشان

139
00:12:48,600 --> 00:12:53,240
تبقى ال converge بدأت ثلاثة في آن واحد مشان تبقى

140
00:12:53,240 --> 00:12:55,840
diverse بدور على الشرط التالف بدورش على اثنين

141
00:12:55,840 --> 00:13:00,080
هذولاك لأن هذولاك لو اتحققوا وما اتحققوش بقدرش

142
00:13:00,080 --> 00:13:07,730
أحكم تمام بقدرش أحكم طيب نجي للسؤال الثاني نمرة

143
00:13:07,730 --> 00:13:15,930
اثنين summation من n equal to infinity لسالب واحد

144
00:13:15,930 --> 00:13:25,110
to the power n plus one لواحد على n فلن ال n يبقى

145
00:13:25,110 --> 00:13:29,570
الخطوة الأولى باخد ال series of absolute values

146
00:13:29,570 --> 00:13:32,710
solution the series

147
00:13:34,840 --> 00:13:46,340
of absolute values is summation ل 1 على N لن ال N

148
00:13:46,340 --> 00:13:55,680
تجي

149
00:13:55,680 --> 00:14:01,320
بالاختبار الأول هذه اختبار الحد النوني

150
00:14:10,270 --> 00:14:17,010
الاختبار الثاني هو التكامل

151
00:14:18,380 --> 00:14:21,860
طيب تعالى نشوف التكامل integral test بحل المثلة و

152
00:14:21,860 --> 00:14:26,640
لا بحلهاش طبعا هذا من عند N تساوي اثنين ل infinity

153
00:14:26,640 --> 00:14:33,740
يبقى ال F of X يساوي واحد على X لن ال X هذه

154
00:14:33,740 --> 00:14:40,120
positive من عند اثنين فما فوق ولا لا وكذلك

155
00:14:40,120 --> 00:14:41,880
continuous

156
00:14:45,940 --> 00:14:51,400
for all x أكبر من أو يساوي 2 لأن ال discontinuity عند

157
00:14:51,400 --> 00:14:55,840
الصفر وعند الواحد يبقى احنا مالناش علاقة فيه هم

158
00:14:55,840 --> 00:14:59,220
دول برة فترة الكاول يجب أن يكون عند اثنين فما فوق

159
00:14:59,220 --> 00:15:05,080
متحققة طيب ده يلقى decreasing لو أخدت الحد أنه يجب

160
00:15:05,080 --> 00:15:11,980
أن يكون واحد على N من ال N وأخدت الحد N زائد

161
00:15:11,980 --> 00:15:18,460
واحد واحد على N زائد واحد لأن ال N زائد واحد طبعا

162
00:15:18,460 --> 00:15:23,160
الأول أكبر من من الثاني هذه يعني أن هذه

163
00:15:23,160 --> 00:15:31,610
decreasing كذلك لكل N أكبر من أو تساوي منها اثنين

164
00:15:31,610 --> 00:15:37,830
إذا تحققت الشروط الثلاثة لمن؟ للتكامل إذا بقدر أخد

165
00:15:37,830 --> 00:15:46,970
تكامل من اثنين ل infinity لواحد على X لن ال X كله

166
00:15:46,970 --> 00:15:52,160
بالنسبة لمن؟ ل DX هذا الـ Improper Integral يجب أن

167
00:15:52,160 --> 00:15:56,620
أعمله بمعاملة الـ Improper Integral من النوع الأول

168
00:15:56,620 --> 00:16:01,560
limit تكامل من 2 إلى P لما P tends to infinity

169
00:16:06,230 --> 00:16:13,170
مش هدى مشتقة لن ال X تمام تمام يبقى هدى D ل لن ال

170
00:16:13,170 --> 00:16:19,510
X على مين؟ على لن ال X ويساوي ال limit لما B tends

171
00:16:19,510 --> 00:16:27,450
to infinity أظن البس تفاضل المقام صح؟ يبقى لن

172
00:16:27,450 --> 00:16:35,080
المقام لن ل لن ال X يبقى النتيجة لن absolute value

173
00:16:35,080 --> 00:16:42,800
لن ال X والكلام من اثنين لغاية ال B يبقى هذا يساوي

174
00:16:42,800 --> 00:16:49,100
ال limit لما B tends to infinity لن absolute value

175
00:16:49,100 --> 00:16:57,960
لن ال B ناقص لن absolute value لن اثنين Y يساوي لما

176
00:16:57,960 --> 00:17:03,760
بيبدها تروح الى infinity لن ال infinity وكمان لن

177
00:17:03,760 --> 00:17:09,580
ال infinity ب infinity ناقص رقم بيعطيني قداش يبقى

178
00:17:09,580 --> 00:17:18,500
تكامل مالها ضعيفات يبقى باجي بقول سا تكامل من اثنين

179
00:17:18,500 --> 00:17:26,540
ل infinity لواحد على X لن ال X بالنسبة ل X مالها

180
00:17:26,540 --> 00:17:32,100
هذا by where يبقى بال integral test series of

181
00:17:32,100 --> 00:17:37,620
absolute values مالها by where يبقى باجي بقوله هنا

182
00:17:37,620 --> 00:17:49,840
هذا بدي يعطينا by the integral test the series of

183
00:17:49,840 --> 00:18:00,140
absolute values by where ما دام diverge يبقى ال

184
00:18:00,140 --> 00:18:06,400
series الأصلية مالها؟ مش عارفين هل هي converge

185
00:18:06,400 --> 00:18:12,240
ولا diverge؟ الله أعلم يبقى بنروح على مين؟ على

186
00:18:12,240 --> 00:18:17,860
الشروط الثلاثة إذا اتحققوا الشروط الثلاثة بصير

187
00:18:17,860 --> 00:18:23,240
converge conditionally اختل الشرط الثالث بقول ال

188
00:18:23,240 --> 00:18:29,100
series مالها؟ diverse طيب شوفو جيت على الشرط

189
00:18:29,100 --> 00:18:33,820
الثالث لذا اللي هذه واخدتله ال limit أو هذا أخدتله

190
00:18:33,820 --> 00:18:37,360
ال limit لما ال N بدا تروح للمالانا يعني كدهش نتج

191
00:18:37,360 --> 00:18:42,220
بيطلع يعني الشرط الثالث محقق يعني بتروح ادور على

192
00:18:42,220 --> 00:18:48,140
الشرطين الاثنين الأولاني الشرط الأولاني الشرط

193
00:18:48,140 --> 00:18:53,520
الأولاني هل في يوم من الأيام هذا بياخد قيمة سالبة من

194
00:18:53,520 --> 00:18:58,700
اثنين فصاعدا اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي

195
00:18:58,700 --> 00:18:58,780
اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي

196
00:18:58,780 --> 00:18:59,600
اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي

197
00:18:59,600 --> 00:18:59,620
اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي

198
00:18:59,620 --> 00:19:00,680
اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي

199
00:19:00,680 --> 00:19:00,820
اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي

200
00:19:00,820 --> 00:19:00,860
اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي

201
00:19:00,860 --> 00:19:01,340
اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي

202
00:19:01,340 --> 00:19:10,160
اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي

203
00:19:10,160 --> 00:19:17,380
اللي الشرط هذا محقق لكل ال N اللي أكبر من أو تساوي

204
00:19:17,380 --> 00:19:24,300
اثنين الشرط الثاني ال N اللي هو واحد على N لأن

205
00:19:24,300 --> 00:19:29,860
ال N أكبر من ال N زائد واحد اللي هو واحد على N

206
00:19:29,860 --> 00:19:36,280
زائد واحد لأن ال N زائد واحد لكل ال N اللي أكبر من

207
00:19:36,280 --> 00:19:40,700
أو يساوي اثنين هذا الشرط الثاني اللي هو مين

208
00:19:45,150 --> 00:19:47,610
الشرط الثالث

209
00:19:49,790 --> 00:19:57,870
لما ال N تنزل لإنفينيتي لواحد

210
00:19:57,870 --> 00:20:04,390
على N لن ال N واحد على مالها نهاية Zero إذا تحققت

211
00:20:04,390 --> 00:20:10,030
الشروط الثلاثة مدام تحققت الشروط الثلاثة بروح بقول

212
00:20:10,030 --> 00:20:16,650
له the series summation لناقص واحد to the power N

213
00:20:16,650 --> 00:20:23,130
plus one واحد على N لن ال N converge

214
00:20:23,130 --> 00:20:30,050
conditionally يبقى

215
00:20:30,050 --> 00:20:35,990
معنا هذا الكلام أن احنا فعلا قاعدين بالراجع كل ما

216
00:20:35,990 --> 00:20:42,400
سبق الدراسة في ال sections الماضية طب السؤال الثالث

217
00:20:42,400 --> 00:20:49,500
بيقول ال summation من n equal one to infinity لسالب

218
00:20:49,500 --> 00:21:00,920
واحد to the power n لـ sin ال n على n تربيع بدنا

219
00:21:00,920 --> 00:21:05,240
نأخذ بنفس الطريقة the series of absolute values

220
00:21:05,240 --> 00:21:08,580
the

221
00:21:08,580 --> 00:21:22,580
series of absolute values is summation من n equal

222
00:21:22,580 --> 00:21:29,780
one to infinity لـ absolute value للـ sin ال N عالميا

223
00:21:29,780 --> 00:21:31,700
على N تربيع

224
00:21:35,100 --> 00:21:38,860
طب ليش هالمرة هذه كتبتلها ال absolute والمرة اللي

225
00:21:38,860 --> 00:21:43,100
فيها دي ما كتبتيه؟ آه لأن الـ sin هذا بتأخذ قيم سالبة

226
00:21:43,100 --> 00:21:47,480
وقيم موجبة، ولكن لما آخد ال absolute يعني ضمنت

227
00:21:47,480 --> 00:21:52,360
أنها كلها مالها بالموجبة، بسيطة يبقى هذه ال series

228
00:21:52,360 --> 00:21:55,840
with positive terms إذا ما بقدر أطبق عليها

229
00:21:55,840 --> 00:22:01,220
الاختبارات التي سبقت دراستها، بنقولها بسيطة جدا،

230
00:22:01,220 --> 00:22:08,630
هذا الحد النوني له sign ال end على interview بدي

231
00:22:08,630 --> 00:22:12,170
أشوف هذا الشيخ باره السيلزاي بقوله بسيطة هو ال

232
00:22:12,170 --> 00:22:16,970
sign ال absolute معصور بين مين ومين ال 0 و 1 لأنه

233
00:22:16,970 --> 00:22:20,530
absolute ما عنديش سالب كله بيصير موجب يبقى من الصفر

234
00:22:20,530 --> 00:22:22,910
لواحد يبقى هذا مالوش داعي في ال conversion و ال

235
00:22:22,910 --> 00:22:25,710
divergence يبقى اللي بدي اتحكم في ال conversion و

236
00:22:25,710 --> 00:22:30,410
ال divergence واحد على N تربيع واحد على N تربيع

237
00:22:30,410 --> 00:22:34,960
مالها converge في series لأن فيه ساوة اثنين أقل من

238
00:22:34,960 --> 00:22:40,280
واحد الصحيح يبقى مع ال converge بدنا نمشي أقل من

239
00:22:40,280 --> 00:22:42,700
واحد على N تربيع

240
00:22:47,090 --> 00:22:52,450
اللي يساوي لأن الـ sin ممكن يتساوي واحد يبقى ده less

241
00:22:52,450 --> 00:22:57,970
than or equal to واحد على N تربيع طب اللي قال

242
00:22:57,970 --> 00:23:02,950
واحد على N تربيع convert بيه series يبقى باجي

243
00:23:02,950 --> 00:23:09,350
بقوله but ولكن summation واحد على N تربيع convert

244
00:23:09,350 --> 00:23:20,540
بيه series السبب because إن P يساوي اثنين أكثر من

245
00:23:20,540 --> 00:23:26,500
واحد يبقى بال comparison test بسيارة سيارة لأن هذه

246
00:23:26,500 --> 00:23:34,360
مالها convert بجي بقوله by the comparison test the

247
00:23:34,360 --> 00:23:44,140
series of absolute values اللي هي main اللي هي

248
00:23:44,140 --> 00:23:50,760
summation absolute value لـ sin ال N على N تربيع

249
00:23:50,760 --> 00:23:56,370
convert مدام convert يبقى series الأصلية convert

250
00:23:56,370 --> 00:24:02,770
absolutely يبقى summation لنقص واحد to the power n 

251
00:24:02,770 --> 00:24:12,210
للسلسلة الـ  n على n تربيع converge absolutely جاي في

252
00:24:12,210 --> 00:24:18,080
باللي أسأل سؤال هيكو أشوف ايش رأيكم فيه أنتم قاعدين

253
00:24:18,080 --> 00:24:22,860
بتأخذ الـ absolute value وبتروح تشوف converge

254
00:24:22,860 --> 00:24:27,060
بتقول إنك converge absolutely ماهي converge

255
00:24:27,060 --> 00:24:32,680
بتروح على الشروط، السؤال هو بنفع أروح للشروط دغري؟

256
00:24:50,160 --> 00:24:55,200
السؤال الرابع يقول

257
00:24:58,380 --> 00:25:04,540
مرة أربعة summation من عند الـ N equal one to

258
00:25:04,540 --> 00:25:13,980
infinity لـ ناقص اثنين أس N زائد واحد كله على N زائد 

259
00:25:13,980 --> 00:25:16,320
خمسة to the power N

260
00:25:19,250 --> 00:25:23,490
بنشوف الـ series هذه هل هي converge absolutely ولا

261
00:25:23,490 --> 00:25:27,870
converge conditionally ولا ضعيفة، بنقولها بسيطة

262
00:25:27,870 --> 00:25:34,670
بنحاول نصيغها صياغة أخرى لـ N تساوي واحد إلى N تدور

263
00:25:34,670 --> 00:25:39,330
هذا يا شباب اللي هو ناقص اثنين مش عبارة عن ناقص

264
00:25:39,330 --> 00:25:45,210
واحد ضرب اثنين، يعني هذه باعتبارها ناقص واحد to the

265
00:25:45,210 --> 00:25:51,270
power اللي هو mean to the power n زائد واحد في

266
00:25:51,270 --> 00:25:58,670
الاثنين أس n زائد واحد على N زائد خمسة to the power

267
00:25:58,670 --> 00:26:03,990
n، إذا أنا أعطي المسألة بالشكل هذا يبقى واضح إن

268
00:26:03,990 --> 00:26:08,590
الصورة هذه مالها alternating، مادام الـ alternating

269
00:26:08,590 --> 00:26:13,610
يمكن إن أنا آخذ الـ series of absolute values يبقى

270
00:26:13,610 --> 00:26:22,650
باجي بقول له هنا solution of the series of absolute

271
00:26:22,650 --> 00:26:30,500
values، absolute values is summation from n equal

272
00:26:30,500 --> 00:26:38,440
one to infinity للاثنين في الاثنين أس n على مين

273
00:26:38,440 --> 00:26:48,960
على n زائد خمسة أس n، يبقى series كل الحدود

274
00:26:48,960 --> 00:26:54,580
موجبة، مدام كل الحدود موجبة باجي بشوف ماهو الاختبار

275
00:26:54,580 --> 00:26:59,480
الأنسب للحكم على هذه الـ series هل هي converge و

276
00:26:59,480 --> 00:27:03,840
والله طيب يعني مين أنسب اختبار بجيبها في خطوة هكذا

277
00:27:03,840 --> 00:27:10,880
و الله تنتهي الـ route، الـ route الجدرد هذا مجمع

278
00:27:10,880 --> 00:27:15,820
زائد من حد ما شوف كمية تيماني وما بنقدرش، يبقى لكوا

279
00:27:15,820 --> 00:27:21,540
comparison، دوري على كل الخط، فباجي بقوله مين؟ للاثنين

280
00:27:21,540 --> 00:27:28,260
للاثنين to the power n على n زائد خمسة to the power

281
00:27:28,260 --> 00:27:35,310
n، يبقى اثنين هذا صغير إذا قورن بـ 2 أس M، الـ N صغير

282
00:27:35,310 --> 00:27:39,370
إذا قورن بالخمسة وأس إن اللي بدي أتحكم في البسط

283
00:27:39,370 --> 00:27:44,150
اثنين أس M وبدي أتحكم في المقام خمسة to the power

284
00:27:44,150 --> 00:27:50,170
M، إذا لو أهملنا هم بيقولوا لك بضل كده؟ خمسين أس إن

285
00:27:50,170 --> 00:27:55,290
يعني Geometrics الأساس تبعها خمسين أقل من واحد

286
00:27:55,290 --> 00:28:00,480
يبقى converged، يبقى خلاصة بدي أمشي ايه؟ أقل من ..

287
00:28:00,480 --> 00:28:09,320
طيب هذه أقل من اثنين في الاثنين أس N على خمسة أس N

288
00:28:09,320 --> 00:28:18,120
صح كتبتنا هيك؟ غلط، صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح

289
00:28:18,120 --> 00:28:18,320
صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح

290
00:28:18,320 --> 00:28:18,600
صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح

291
00:28:18,600 --> 00:28:18,680
صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح

292
00:28:18,680 --> 00:28:22,560
صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح، ما فيش إمكانية بدا

293
00:28:22,560 --> 00:28:27,480
شو أساوي ليش؟ لأن الـ N ما فيش حاجة أقبلها هنا، يبقى إنما

294
00:28:27,480 --> 00:28:33,540
صح مائة بالمائة هذه هي اثنين في خمسين to the power

295
00:28:33,540 --> 00:28:41,940
N، فباجي بقوله but ولكن اثنين أو summation دغري but

296
00:28:41,940 --> 00:28:48,130
summation من N equal one to infinity للاثنين في

297
00:28:48,130 --> 00:28:54,010
اثنين على خمسة to the power n convert geometric

298
00:28:54,010 --> 00:29:01,750
series السبب because إن الـ absolute value لـ R يساوي

299
00:29:01,750 --> 00:29:07,350
خمسين أقل من الواحد الصحيح، مادام convert يقول لي

300
00:29:07,350 --> 00:29:13,720
أصغر منها convert، يبقى باجي بقوله By The

301
00:29:13,720 --> 00:29:23,820
comparison tests the series of absolute values

302
00:29:23,820 --> 00:29:33,780
للسلسلة لمين؟ لأن اثنين أس n زائد واحد على n زائد

303
00:29:33,780 --> 00:29:40,450
خمسة to the power n Convert، يبقى الأصلية Convert

304
00:29:40,450 --> 00:29:49,310
absolutely، يبقى the series للسلسلة من n equal one

305
00:29:49,310 --> 00:29:55,850
to infinity لـ ناقص اثنين to the power n زائد واحد على

306
00:29:55,850 --> 00:30:03,730
n زائد خمسة to the power n Convert absolutely

307
00:30:28,570 --> 00:30:30,410
مثال رقم 5

308
00:30:41,310 --> 00:30:47,070
مثال رقم خمسة بيقول الـ summation من n equal one to

309
00:30:47,070 --> 00:30:53,490
infinity لـ minus one to the power n زائد واحد لمين؟

310
00:30:53,490 --> 00:30:58,670
لـ n تكعيب، الاثنين n تكعيب زائد ثلاثة

311
00:31:01,040 --> 00:31:05,760
الجامعة اللي عملنا فيه كل الأمثلة السابقة بدنا

312
00:31:05,760 --> 00:31:16,340
ناخذ الـ series of absolute values is summation من

313
00:31:16,340 --> 00:31:23,960
n equal one to infinity لـ n تكعيب على اثنين n 

314
00:31:23,960 --> 00:31:31,300
تكعيب زائد ثلاثة، بنشوف هل هذه الـ series converge و

315
00:31:31,300 --> 00:31:35,640
والله diverse تمام؟ مين أفضل اختبار لهذه الشغلة

316
00:31:35,640 --> 00:31:41,360
دوري؟ comparison بيجيبها بس في عندي أحسن منه limit

317
00:31:41,360 --> 00:31:46,520
اختبار الحد النوني، وبإختبار الحد النوني بنصيد

318
00:31:46,520 --> 00:31:53,480
عصفورين بحجر واحد تمام؟ تعال شوف اختبار الحد

319
00:31:53,480 --> 00:31:59,930
النوني يبقى بدي آخذ limit لـ n لما الـ N tends to

320
00:31:59,930 --> 00:32:05,290
infinity يبقى limit لما الـ N tends to infinity للـ

321
00:32:05,290 --> 00:32:11,990
N تكعيب على 2 N تكعيب زائد 3، limit لما الـ N tends

322
00:32:11,990 --> 00:32:17,040
to infinity، أما تستخدم قاعدة لوبيتال تقسم كل من

323
00:32:17,040 --> 00:32:23,560
البسط والمقام على N تكعيب بيصير واحد على اثنين

324
00:32:23,560 --> 00:32:28,980
ثلاثة على N تكعيب، بيصير هذا يساوي صفر، إذا الناتج

325
00:32:28,980 --> 00:32:33,840
يساوي من؟ يبقى بالإنترم تستخدم the series of

326
00:32:33,840 --> 00:32:39,140
absolute values مالها by various يبقى بروح بقول له

327
00:32:39,140 --> 00:32:54,970
by the infterm test the series of absolute values

328
00:32:54,970 --> 00:33:01,350
by various، طيب مادام by various بدنا نروح للشروط

329
00:33:01,350 --> 00:33:06,830
الثلاثة لكن السؤال هو هذا هو الشرط الثالث؟ ممتاز

330
00:33:06,830 --> 00:33:14,240
يبقى جاهز وخالص، يبقى هنا but ولكن that third

331
00:33:14,240 --> 00:33:29,740
condition of the theorem is not satisfied that

332
00:33:29,740 --> 00:33:38,360
is يعني a n limit للـ a n لما الـ intensity of

333
00:33:38,360 --> 00:33:43,580
infinity يساوي نصف لا يساوي zero هذا معناه ايه يا

334
00:33:43,580 --> 00:33:49,880
عزيزي الـ series للـ summation لـ ناقص واحد to the

335
00:33:49,880 --> 00:33:55,800
power n للـ n تكعيب، اثنين n تكعيب زائد ثلاثة مالها

336
00:33:55,800 --> 00:34:01,240
diverse تمام التمام، السؤال السادس

337
00:34:03,830 --> 00:34:08,430
المثال رقم ستة بيقول الـ summation من n equal one

338
00:34:08,430 --> 00:34:15,350
to infinity لـ سالب واحد to the power n، اثنين to the

339
00:34:15,350 --> 00:34:27,890
power n، n factorial على n to the power n، n

340
00:34:27,890 --> 00:34:32,240
والله n زائد واحد مش مشكلة، لأن الـ alternating بدل ما

341
00:34:32,240 --> 00:34:36,840
تبدأ بالموجبة تبدأ بالسالب وعلى كده الأمرين فهي

342
00:34:36,840 --> 00:34:46,680
alternating series ليس

343
00:34:46,680 --> 00:34:56,700
بالضرورة حتى لو كانت ناقص واحد بتمشي معانا كمان اه

344
00:34:56,700 --> 00:35:01,170
طب من دقيقة alternating كده كيف تصير؟ سالب اثنين

345
00:35:01,170 --> 00:35:05,990
بحط سالب واحد أس n في اثنين أس n كذا وأنا إن شاء الله

346
00:35:05,990 --> 00:35:10,510
أكون سالب مائة مش مشكلة، طب عندي مثل بالشكل إن هذا

347
00:35:10,510 --> 00:35:17,230
يبقى بدي آخذ الـ series of absolute values solution

348
00:35:17,230 --> 00:35:22,130
بأخذ

349
00:35:22,130 --> 00:35:27,030
the series of absolute

350
00:35:28,490 --> 00:35:36,130
values is summation من n equal one to infinity

351
00:35:36,130 --> 00:35:43,730
للاثنين أس n، n factorial into the power n، مين

352
00:35:43,730 --> 00:35:49,470
أفضل اختبار لهذه الشغلة الـ ratio test، limit لما

353
00:35:49,470 --> 00:35:55,400
الـ n tends to infinity للحد النوني زائد واحد يبقى

354
00:35:55,400 --> 00:36:02,660
اثنين أس N زائد واحد في N زائد واحد factorial على

355
00:36:02,660 --> 00:36:10,880
N زائد واحد مرفوع للأس N زائد واحد تقسيم اثنين أس

356
00:36:10,880 --> 00:36:17,700
N في الـ N factorial على N to the power N، طيب هذا

357
00:36:17,700 --> 00:36:22,280
الكلام بده يساوي limit لما الـ int tends to

358
00:36:22,280 --> 00:36:28,420
infinity، بدا نفك هاد اثنين في اثنين أس n هاد n

359
00:36:28,420 --> 00:36:34,480
زائد واحد في الـ n factorial مقسومة على n زائد

360
00:36:34,480 --> 00:36:40,360
واحد فالـ n زائد واحد to the power n، الجسم هحولها

361
00:36:40,360 --> 00:36:47,080
إلى ضرب بيصير n أس n على الاثنين أس n في n

362
00:36:47,080 --> 00:36:53,020
factorial، نبدأ نختصر n factorial مع n factorial

363
00:36:53,020 --> 00:36:59,480
اثنين أس n مع اثنين أس n، n زائد واحد مع n زائد

364
00:36:59,480 --> 00:37:04,200
واحد، يبقى يا اثنين خليك برا الـ limit وأي limit

365
00:37:04,200 --> 00:37:09,300
لما الـ n بده تروح للـ n شو بيبقى اللي عندي n أس n

366
00:37:09,300 --> 00:37:16,520
و n زائد واحد أس n يعني n على n زائد واحد كله

367
00:37:16,520 --> 00:37:23,650
to the power n، كم مرة سويناها هذه؟ كثير، يبقى الجواب

368
00:37:23,650 --> 00:37:31,070
كده؟ واحد على ايه؟ يبقى الجواب اثنين على ايه؟ أكبر

369
00:37:31,070 --> 00:37:36,110
من الواحد الصحيح ولا أقل؟ أقل من الواحد الصحيح

370
00:37:36,110 --> 00:37:40,870
يبقى هذه أقل من الواحد الصحيح، مدام أقل من الواحد

371
00:37:40,870 --> 00:37:51,010
الصحيح بروح بقوله by the ratio test the series of

372
00:37:51,010 --> 00:37:59,030
absolute values مالها converge، يبقى الـ series

373
00:37:59,030 --> 00:38:06,830
الأصلية الـ series للـ summation لـ ناقص واحد أس N

374
00:38:06,830 --> 00:38:13,970
زائد واحد لـ اثنين أس N في الـ N factorial على N to

375
00:38:13,970 --> 00:38:16,250
the power N converge

376
00:38:18,560 --> 00:38:23,700
سؤال السابع السؤال

377
00:38:23,700 --> 00:38:29,680
السابع بيقول ليه؟ summation من N equal one to

378
00:38:29,680 --> 00:38:36,900
infinity لسلب واحد to the power N لتان inverse N

379
00:38:36,900 --> 00:38:40,260
على N جذر ال N زائد واحد

380
00:38:43,450 --> 00:38:47,650
برضه بنشوف ال series هذي converge و لا diverge

381
00:38:47,650 --> 00:38:55,950
بروح باخد من ال series of absolute values فبجي

382
00:38:55,950 --> 00:39:06,750
بقوله the series of absolute values is summation

383
00:39:06,750 --> 00:39:21,470
لمين لتان inverse N على N جذر ال N زائد واحد نبحث

384
00:39:21,470 --> 00:39:27,670
ال series تبعتنا هل هي converge او diverge فبنروح

385
00:39:27,670 --> 00:39:33,950
ندور على اختبار مناسب لهذه الشغل يالا اقترف علينا

386
00:39:33,950 --> 00:39:42,530
ناخد اختبار الحد النوني اختبار حد اول واحد طبعا

387
00:39:42,530 --> 00:39:48,070
باي اتنين على ماله نهاية صفر فاشيل الاختبار صفه ع

388
00:39:48,070 --> 00:39:55,050
شجة حد فيكم يقدر يكتمل هذه وانا زيكم برضه تمام؟

389
00:39:55,050 --> 00:39:59,730
يبقى صف جانبه نيجي لل comparison إذا ضبطت كنا بها

390
00:39:59,730 --> 00:40:04,370
وما ضبطش بروح أدور غيره تمام؟ يبقى خلّينا نجرب ال

391
00:40:04,370 --> 00:40:10,530
comparison يمكن والله أعلم يبقى هذا tan inverse N

392
00:40:10,530 --> 00:40:17,430
على N جذر ال N زائد واحد بدأ أمشي أقل منه ولا

393
00:40:17,430 --> 00:40:22,030
أكبر منه الله أعلم بعرفش لكن حالة طلعله في ال bus

394
00:40:22,030 --> 00:40:27,990
قداشر أقصى ما ممكن يصله لل bus باي اتنين صحيح ولا

395
00:40:27,990 --> 00:40:32,080
لأ tan inverse infinity باي اتنين يبقى بقى اثنين

396
00:40:32,080 --> 00:40:36,520
الرقم لا هيقدم ولا هيأخر عندي يبقى اتحكم ال

397
00:40:36,520 --> 00:40:41,040
conversion المقام طيب الواحد ولا الان جدر الان؟

398
00:40:41,040 --> 00:40:45,080
مين اللي أكبر؟ هو اللي أكبر يبقى الواحد صوف جنب

399
00:40:45,080 --> 00:40:49,520
واروح على شجة يبقى صار عندي رقم على ان أس جدر ال

400
00:40:49,520 --> 00:40:55,780
conversion يعني يبقى بدي أمشي أقل منه مظبوط يبقى

401
00:40:55,780 --> 00:41:03,640
هذه دائما و أبدا أقل من باي على اتنين على ان جذر

402
00:41:03,640 --> 00:41:05,720
الان زائد واحد

403
00:41:12,610 --> 00:41:17,690
ممكن يحصل تساوي، يعني بيحصل تساوي، عمرك بتوصل ما

404
00:41:17,690 --> 00:41:24,590
لنهاية حتى تحط التساوي، مش ممكنية، مش ممكنية، يبقى

405
00:41:24,590 --> 00:41:27,990
بنجرش يحط تساوي، لو حطيت مخصوم لك عليها دي لبالك

406
00:41:29,040 --> 00:41:33,160
معناته انت مش فاهم تان انفرسالي يبقى يدير بالك

407
00:41:33,160 --> 00:41:38,940
دقيق و كتابة رياضية دقيقة طب

408
00:41:38,940 --> 00:41:43,660
ما احنا مش هنحط يساوي بس من عندنا

409
00:41:43,660 --> 00:41:48,120
ممكن ادجلك عليه هك او احطها لك و اتغاب عنها انت و

410
00:41:48,120 --> 00:41:53,510
اختك حسب نفس الوضع طيب، على أي حال، خلّي بالكم معنا

411
00:41:53,510 --> 00:41:59,030
هنا، الآن مشيت أقل من بقال ماشي أقل من، بقول له

412
00:41:59,030 --> 00:42:06,430
هذه أقل من باي على اتنين على n في جدر ال N، وبسأل

413
00:42:06,430 --> 00:42:12,240
السؤال التالي، كتاب هذا صح ولا خطأ؟ طبعا 100% لأن

414
00:42:12,240 --> 00:42:18,300
المقام الأول أكبر وبالتالي الكثير أقل طيب هذه هي

415
00:42:18,300 --> 00:42:24,040
عبارة عن باي على اتنين على N أس تلاتة على اتنين

416
00:42:24,040 --> 00:42:31,440
بقوله ماشي بقى ولكن باي على اتنين summation لواحد

417
00:42:31,440 --> 00:42:35,880
على N أس تلاتة على اتنين من N equal one to

418
00:42:35,880 --> 00:42:36,500
infinity

419
00:42:40,510 --> 00:42:48,270
السبب ان P يسوى تلاتة على اتنين اكبر من الواحد

420
00:42:48,270 --> 00:42:54,830
الصحيح يبدأ الاقل منها by the comparison test

421
00:43:10,350 --> 00:43:18,370
بنان على الأصلية converge absolutely so the series

422
00:43:18,370 --> 00:43:24,890
الاصلي اللي هي summation لمين لسلب واحد to the

423
00:43:24,890 --> 00:43:32,570
power n لتان inverse n على n جدر ال n زائد واحد

424
00:43:32,570 --> 00:43:40,990
converge absolutely فهنا ضايق الفلتان أمثلة