بسم الله الرحمن الرحيم الحمد لله والصلاة والسلام
على رسول الله بنرحب فيكوا بناتنا العزيزات في هذا
الفصل الثاني من سنة أولى ومع مادة التفاضل بامأذن الله
1401 طبعا المادة معانا أربع ساعات بالأسبوع والآن
نبدأ بشابتر سبعة اللي هو بحكي عن ال Transcendental
Functions وعرفنا إيش يعني Transcendental Function
أخذناه في Calculus A اللي هو الاقترانات الغير
جبرية وأخذنا من هذه الأنواع ال functions نوع اللي
هو ال trigonometric functions راح ناخذ section 7-1
موضوع ال section section 7-1
اللي هو الـ Transcendental اللي هو بيحكي عن Inverse
قبل ما ندخل بال Transcendental Function طبعا بنتعرف
على ال Inverse Function والمشتقات تبع ال Inverse
Function الآن عشان نعرف ال Inverse Function لازم
نعرف أول شيء نوع من ال function بنسميه one to one
one to one function في عندنا ال function اسمها one
to one function يعني واحد لواحد الآن إيش يعني one
to one function بنقول ال function if F of X is one
to one بعدد أو واحد لواحد on a domain D إذا كانت F
of X واحد لا تساوي F of X اتنين whenever X
واحد لا تساوي X اتنين يعني لو أخدنا أي عنصرين غير
متساويين صورهم بتكون غير متساوية وبالتالي لأي
عنصرين غير متساويين بيروحوا لصور غير متساوية يعني
كل عنصر له صورة واحدة فقط ما فيش عنصرين بياخدوا نفس
الصورة يعني إذا كان بعبارة أخرى نفس العبارة السابقة
إذا كان f of x1 تساوي f of x2 يعني الصور متساوية
لازم العناصر تكون متساوية then x1 يساوي x2 وهذا
اللي أسهل باستخدامها بحل الأسئلة في حل الأسئلة
يعني بأخذ f of x1 تساوي f of x2 وبثبت أن x1 يساوي
x2 هذا إيش التعريف يعني كل عنصر له صورة واحدة فقط
بالتالي بتكون ال function is one to one مثال f of
x تساوي جذر ال x بدنا نثبت أن ال function هادي
one to one على ال domain تبعها اللي هو من صفر إلى
ما لا نهاية لو أخدت عنصرين x1 و x2 هي فاصلة بنحطها
x1 و x2 ب any two numbers in zero وما لا نهاية
في ال domain وأخذنا f of x1 يساوي f of x2 بدنا نثبت
أن f of x1 يساوي f of x2 أول شيء بنأخذ بنعوض f of x1
بنروح بنعوض هنا جذر الـ x1 f of x2 بنعوض بدل الـ
x، x2 بتصبح جذر الـ x2 الآن بدنا نعمل عادي عملية
جبرية بحيث إنه نتوصل أن f of x1 يساوي f of x2
العملية الجبرية هي بتربيع الطرفين تربيع الطرفين
بنحصل على أن x1 يساوي x2 وبالتالي f is
one to one على الـ domain طبعا مثال آخر show that f
of x تساوي 1 ناقص 1 على x is one to one
function هنا كتبنا one to one بالأرقام طبعا هذه
one to one بكل الأعداد الحقيقية مع عدد صفر
domainها يعني domainها لو أخذنا x واحد و x اتنين ب
any two numbers in R R ناقص صفر مع عدد صفر طبعا أو
أخذنا f of x1 لا تساوي f .. عفوا .. f of x1 تساوي
f of x2 صورتين متساويتين بنعوض f of x1 1 ناقص
1 على x1 f of x2 1 ناقص 1 على x2 وبنحل
المعادلة هذه وبدنا نشوف هل بنوصل x1 تساوي x2 الآن
1 بتروح مع 1 بضل ناقص 1 على x1 يساوي ناقص
1 على x2 بنضرب في ناقص نتوصل أن 1 على x1
يساوي 1 على x2 بنقلب الطرفين بنوصل أن x1 يساوي
x2
في المثالين لاحظنا إنه لو أخدت صورتين متساويتين
بتطلع العناصر متساوية ولازم آخذ صورتين عشوائيين
يعني ما بصيرش أروح ماخدة let f of x1 == x2 آخذ
رقمين x1 و x2 لأ لازم x1 و x2 ب any two numbers في
الـ domain show that f of x show whether f of x هو sin
x و x من 0 إلى π is one to one هنا أشوف هل ال sin
في الربع الأول والثاني one to one ولا لأ طبعا احنا
من معرفتنا لل sin بنعرف أن sin لأي زاوية
بالربع الأول هي نفسها ال sin للزاوية مكملتها
بالربع الثاني يعني لو جيبنا أي زاوية بالربع الأول
يعني π على 4 مكملتها بالربع الثاني 3π على
4 قيمة ال sin لهم لهذول الزاويتين متساويتين
إذا في حالة ما بدي أشوف أن ال function is not one
to one يعني بمجرد أني أطلع عليها بعرف أن ال
function is not one to one فكيف بدي أثبتها؟ بدي
أجيب بمثال يبقى إثبات ال function العكس أنها not
one to one يكفي أني أجيب مثال لكن إذا كنت أثبت أن
ال function is one to one بنعرفش إلا غير بالتعريف
لأي يعني لأي عنصرين x1 و x2 عشوائية يبقى في هذه
الحالة it is enough here to give an example يبقى
في حالة أني بدي أثبت بدي أشوفها هي أو أنا عرفت
أنها هي one not one to one لكن بس بدي أثبته يكفي
أني أجيب مثال فبقولنا أي زاوية مكملتها هم غير
متساويتين لكن ال sin لهم متساوي لهذول الزاويتين
اللي يساوي 1 على جذر 2 وبالتالي ال F is not
one to one مثلا مثال آخر show whether f of x تساوي
3 ناقص 2 x تربيع نشوف هل هي one to one ولا
لأ؟ طبعا بمجرد النظر بنلاحظ أن فيها x
تربيع إذا عوضت بعدد سالب أو عوضت بعدد موجب بيطلعوا
زي بعض، إذا ممكن أجيب عناصر كثيرة وما ينطبقش عليها
ال definition يبقى برضه في هذه الحالة يكفي أن أنا
أجيب مثال وأي مثال ممكن نجيبه مثلا ناقص 1 لا
تساوي 1 لكن f of سالب 1 تساوي 1 اللي هي
نفسها f of 1 بالتعويض هنا لأنها صورة الـ 1
وصورة الـ سالب 1 زي بعض إذا ال function f is
not one to one طيب هذه طريقة إذا هذه التعريف نثبت
أن ال function one to one أو not one to one
باستخدام التعريف طب في هنا طريقة ثانية لإثبات أنها
ليست one-to-one أو one-to-one اللي بيسموها
الـ horizontal line test اللي هو اختبار الخط الأفقي
for one-to-one functions لو أخذنا أي function f of
x بتكون one-to-one if and only if يعني إذا وإذا
فقط the graph its graph يعني اللي هو رسمته
intersects each horizontal line at most once رسم
المنحنى تبع الـ function بيقطع الـ horizontal line
بالكثير بنقطة واحدة يعني طبعا هذه الطريقة تستخدم
لل functions فقط اللي احنا نعرف نرسمها أما
function أنا ما أعرفش أرسمها ما نستخدمش هذه الطريقة
يعني ال x تكعيب مثلا نعرف نرسمها نروح رسمين
function x تكعيب لأن أي خط أفقي لو رسمنا خطوط أفقية
كثيرة لهذه ال function كل الخطوط الأفقية تقطع الـ
function بنقطة واحدة فقط وبالتالي على طول بقول الـ
function هذي is one to one مثلا مثال آخر الـ
function جذر ال x بنعرف نرسمها بنروح رسمين جذر ال
x لو أجيت رسمت أي خط أفقي أي خط أفقي بلاقي بيقطع
ال function بنقطة واحدة فقط فبهذه الحالة بنقول أن
ال function هذي is one to one نجي للـ function x
تربيع الـ function x تربيع اللي هي رسمتها لو أجيت
لخط أفقي بنلاقي أن الـ function بترفق قطعها
بنقطتين طبعا هنا أي خط أفقي ما عدا هذا ما عدا الـ x
أكس يقطع بنقطة واحدة طبعا لو أبدا تكون الـ
function is not one to one يكفي خط واحد لكن إذا
كانت one to one لازم تكون كل الخطوط كل الخطوط
شايفين ال x واحد و x اتنين أي أعداد تنتمي للدنيا
لكن في حالة none to one to one يكفي أن أجيب مثال
واحد فقط بتكون ال function is not one to one يبقى
يكفي هنا خط واحد لقيته بيقطع بأكثر من نقطة يبقى
طول بيقول ال function is not one to one وهي ال
sin المثال اللي أخذناه في π على 6 و π على
π على 6 أي زاوية مكملتها بياخد نفس القيمة لو
بدون الـ π يعني 6 و 5 يكفي أني أرسم الـ
sine وأجيب خط أفقي بنلاقي الخط الأفقي يقطع الـ
function بنقطتين يبقى بنقول الـ sine is not one to
one طبعا من 0 إلى π
مثال بقول use the graph of f to show that f is one
to one or not الـ function تبعتي piecewise
function معرفة على فترتين 2 ناقص x تربيع و x
أقل أو يساوي 1 و x تربيع x أكبر من 1 يعني بنرسم
هذه الـ function x تربيع وبعدين نعكسها وبعدين
نعملها shift up 2 ناقص x تربيع اللي هي لتحتها
الآن لتحت وبعدين هادي بنعملها shift up 2 يبقى
بتيجي إيش بالشكل هذا وبس لعند الواحد ما بدناش نكمله
لعند الواحد وبنوقف الآن الأكبر من 1 x تربيع
طبعا ال x تربيع من هنا بتيجي x تربيع وبتطلع لفوق
طبعا هذا الجزء بدناش إياه فقط بدنا الجزء الأكبر من
واحد راح يكون بهذا الشكل الآن بدنا نشوف هل هذا ال
function one to one ولا لا؟ إذا كان وجدت خط واحد
فقط يقطع الـ function بأكثر من نقطة بتكون not one
to one. الآن لو أتيت عملت خط هنا، بنلاقي أنه يقطع
الـ function بثلاث نقاط، وبالتالي في هذه الحالة
بنقول not one to one. طب ها، في عندنا خط هنا يقطعه
بنقطة واحدة، إيش معناه؟ لأ، ما نفعش، لازم إذا كانت
one to one، لازم كل الخطوط تقطع بنقطة واحدة فقط،
لو لقيت خط واحد يقطعه بأكثر من نقطة، بنقول أن الـ
function is not one to one.
هنا بقية الـ .. نجي هنا بقية الـ .. احنا حكينا كيف
نُفلت one to one أو لأ عن طريق التعريف عن طريق
الرسم. نمر ثلاثة عن طريق أن الـ function increasing
أو decreasing. يعني لو كانت الـ function increasing
فقط فقط تزيد بها، يعني الـ function هيش بس تزايدية
بتمشي هيك وبتضلها ماشية تزايدية، الآن هي دي
التزايدية. لو جيت أي خط أفقي يقطع بنقطة واحدة فقط
وبالتالي بتكون الـ function one to one. طب لو كانت
تناقصية، يعني تناقصية، يعني بتمشي وبتضلها ماشية
تناقصية، بتنقص بتنقص ما تعودش تزيد. مدام هي بس تناقصية
يبقى أي خط أفقي يقطع بنقطة واحدة فقط. لكن لو كانت
تناقصية وبعدين تزايدية زي الـ X تربيع، ممكن تقطع
بأكثر من نقطة. وبالتالي إذا كانت الـ function
increasing كمان هده على الرسم، كمان على الـ
definition برضه بتطلع نفس الشيء. إيش معنى
increasing؟ يعني بالـ definition تبع الـ calculus
F of X2 أكبر من X1 إذا كانت X2 أكبر من X1، يعني
أكبر بتظل أكبر بتكون increasing، و أكبر بتصير إذا
كانت هنا أكبر، أكبر، وهنا أقل، بتكون decreasing.
إذا أكبر أو أقل في الحالتين أنه لا يساوي، لا يساوي
معناه ذلك أن الـ function is one to one. إذا الـ
functions الـ increasing والـ decreasing are one to
one. إذا كانت طب الـ function increasing وعودت رجعت
decreasing، ممكن تكون one to one وممكن لأ على حسب
الرسمة. مثلا show that f of x تساوي x أس خمسة على أربعة
is one to one on its domain. الآن بنستخدم الـ
increasing and decreasing. بجيب f prime of x، خمسة
على أربع x أس أربعة. طبعا x أس أربعة يعني الجذر الرابع
دائما موجب، وبالتالي f prime دائما موجبة. إذا الـ
f تبعتي increasing for all x in its domain اللي هو
من صفر إلى ما لا نهاية. إذا الـ function تبعتي is one to
one. مثال آخر، f of x تساوي ناقص tan x من ناقص بي على
2 إلى بي على 2. الآن بنجيبها عن طريق الـ derivative
الـ increasing والـ decreasing، بنقول f prime تساوي
تفاضل الـ tan، sec تربيع، وهي السالب طبعا. الـ sec تربيع
تربيع لأنها تربيع دائما موجبة وفيه أن سالب هنا
يبقى هذه سالبة دائما. يعني الـ function f is
decreasing. إذن الـ function f is one to one. فالآن
ملخص هذا الكلام، كيف أنا بدي أثبت one to one؟ بدي
أستخدم الطرق التالية، أول شيء أني أنا أشوفها
increasing أو decreasing. إذا كانت يا increasing أو
decreasing واحدة منهم على on its domain، بتكون الـ
function is one to one. هذه أول طريقة بستخدمها، يعني
أول ما ببدأ ببدأ بالـ increasing والـ decreasing. لو
كانت مرات decreasing ومرات increasing، بروح بشوف
يا بستخدم الـ graph. إذا كانت هي الـ function سهل
رسمتها، إذا كان صعب رسمتها، ما بستخدمش الـ graph، بروح
برجع للـ definition.
فالآن نرجع لهذه الصفحة اللي هي بدنا نحكي عن الـ
inverse function. الآن خلصنا الـ one to one وعرفنا
كيف نثبت أن الـ function is one to one. الآن الـ
function one to one هذه بتلزمنا أن نعرف إيش هي الـ
inverse function. إيش الـ inverse function هي
الاقترانات المعكوسة، معكوس مش مقلوب. في شيء اسمه
مقلوب وفي معكوس. مقلوب يعني واحد على، معكوس لأ،
معكوس يعني إيش؟ يعني بأخذ الـ function، الـ function
بتاخد العنصر وبتوديه لصورته، الـ inverse بتاخد
الصورة و بترجعها للـ answer.
لأن عشان تكون الـ if inverse هذه موجودة لازم تكون
الـ function تبعتي one to one. يبقى بالأول support
that لازم شرط ضروري أن الـ function if is one to
one. ولقيت بنشوف ليش الشرط هذا on its domain D with
range R. يعني الـ domain تبعها D with range R. الـ
inverse function اللي بدنا نرمز لها بالرمز if
inverse، if ناقص واحد. وما نرمز لهاش if ناقص واحد أو
if plus سالب واحد. لأ، هذه لفظة F inverse وليست أسية
يعني هذه ليست أس، يعني هذه لا تساوي واحد على F
وإنما هي مجرد رمز للـ F inverse. إيش الـ F inverse
تعريفها؟ تعالوا نشوف على الرسمة، إذا كانت الـ
function F بتاخد العناصر من المجموعة دي وبتوديها
للمجموعة R اللي هي الـ range، والمجموعة دي هي الـ
domain، هي domain الـ F وهي range الـ F. والـ function
كانت one to one، إيش يعني one to one؟ يعني كل عنصر
بيروح لصورة واحدة فقط. كل عنصر لصورة واحدة، كل عنصر
لصورة واحدة بهذا الشكل. فـ الـ F inverse في هذه
الحالة بتبقى موجودة. يعني الـ F inverse إيش بتعمل؟
بتاخد العناصر من الـ range من هنا وبتوديهم لمين؟
للـ domain. يعني بالعكس، بتنشي بتاخد الـ B و بترجعها
للـ A. الـ F بتاخد الـ A بتوديها لـ B، الـ F inverse
بتاخد الـ B بترجعها إيش؟ للـ A، و بترجعها للـ A. طيب ما
هي الـ F inverse؟ ممكن تاخد الـ P وترجعها للـ A. ليش
شرط الـ F أنها تكون one to one؟ تعالوا نشوف ليش،
إذا كانت الـ F مش one to one، إيش يعني مش one to
one؟ يعني ممكن عنصرين يكونوا لهم صورة واحدة فقط
يعني A1 مثلا، وهذه A2 كلهم تكون صورتهم B. فإذا كانت
الصورة B، لأن F inverse بدها تاخد الـ B لوين
ترجعها؟ بدها ترجعها لعنصرين، هذه وهذه. طب بنفع يعني
F inverse في هذه الحالة هل بتكون function؟ إذا كانت
أخذت العنصر ورجعته إلى صورتين؟ بتبطل الـ function،
بتصير فقط هي عبارة عن relation. هي عبارة عن علاقة
وليست اقتران. لذلك عشان تكون اقتران لازم هذه لما
نرجعها نرجعها لعنصر واحد. لما نرجعها لأكثر من عنصر
وبالتالي لازم الـ function f تكون one to one. إذا
كانت not one to one، فتكون الـ f inverse ممكن ما
تكونش function، فقط علاقة. عشان تكون f inverse
function واحنا بدنا إياها function، فبالتالي لازم الـ
function f تبعتي تكون one to one. إذا الـ F of A
تساوي B، إذا الـ F inverse بتاخد الـ B و بترجعها لـ A.
يعني F inverse of B يساوي A. في هذه الحالة الـ F
inverse الـ domain تبعها هو عبارة عن الـ range R الـ
range تبع الـ F. والـ range تبع الـ F inverse هو
domain الـ F. يعني بيبدلوا بعض، الـ domain والـ range
الـ D والـ R للـ F بيصير الـ R هي الـ domain للـ F
inverse، و D هي الـ range لـ F inverse. لو جينا نعمل
composite بين الـ F inverse والـ F of X، فالـ F بتاخد الـ
X لـ F of X، فالـ F inverse بتاخد الـ F of X و بترجع لـ
X. يبقى الـ composite بينهم هو X. يبقى بنرجع في
النهاية هو X، نفس الشيء لو بدينا بالـ Y. فالـ F
inverse بتاخد الـ Y زي هنا، بتاخد الـ Y وبتوديها لمين
لـ F inverse of Y، الـ F بتاخد هذا الـ F inverse of Y
و بترجع لمين؟ لهذا العنصر المسمى Y. الـ F بتاخد الـ X
و بتوديها لـ F of X، الـ F inverse بتاخد الـ F of X و
بترجعها لهذا اللي هو مين؟ هذا إيش اسمه؟ اسمه X طبعا.
يبقى أي composite بين الـ F inverse والـ F أو F
composite F inverse بتطلع إيش؟ نفس الـ answer Y.
بترجع لـ Y، والـ X برجع لـ X. طبعا هنا X، الـ F بتاخد كل
الـ X الموجودة في domainها، والـ Y هي موجودة كل الـ Y
الموجودة في الـ domain تبع الـ F inverse أو الـ range
تبع الـ F.
هذه الملاحظة قلناها، وبعدين قلنا اللي هي الـ
increasing والـ decreasing. طبعا هنا الـ increasing
والـ decreasing functions has inverse. أي function
increasing يبقى فيه أنها inverse. أي function
decreasing فهي أنها inverse لأنهم أصلا one to one.
وبكذا بنكون خلصنا الجزء الأول من section 7-1 بنكمله
في المحاضرة القادمة إن شاء الله.