بسم الله الرحمن الرحيم نكمل chapter عشرة اللي كنا
بنتحدث فيه المرة اللي فاتت و آخر مرة أعطينا نظرية
أو أول نظرية في ال isomorphism vs isomorphism
theorem ثم أخدنا بعد ذلك كرولري عليها و الآن
بنواصل في نفس ال chapter في هنا مثال بيقول هاتلي
كل ال homomorphism من z12 إلى z13يبقى بدي اقول
الحلقة التالية solution assume افترض ان الـ Phi من
Z12 الى Z13 هو homomorphism افترض ان هذا هو
homomorphism و بدي اعرف ما هو شكل هذه ال
homomorphismالان شكل الـ homomorphism هو الـ 5
يؤثر على element من مين؟ من Z12 ال element هذا قد
يكون 0، قد يكون 1، 2، 3، لغاية كدهش، لغاية كدهش،
لو افترضنا خمسة ده اقول five of خمسة الخمسة بقدر
اكتبها واحد زائد واحد زائد واحد زائد واحد زائد
واحد زائد واحد زائد واحد زائد واحد زائد واحد زائد
واحدهي عملية الجمع اذا بقدر اقول مدام homomorphism
فاي اف واحد زاد فاي اف واحد زاد فاي اف واحد زاد
فاي اف واحد زاد فاي اإذا شكل ال homomorphism اللي
عندنا لو عرفت ما هو شكل ال five of one بكون عرفت
شكل مين اللي هو شكل ال homomorphism طيب we shall
Find نحاول ان نجد Form of Phi of 1 بدي اعرف ايه
شكل Phi of 1 اللي عندنا هنا طيب كويس الآن Phi of 1
موجودة في Z12 ولا في Z30؟زي التلاتين ممتاز جدا
يبقى ال order ل five of واحد بده يقسم ال order
للواحد مش هيك اخدنا ال order لل five of جي بيقسم
ال order لل جي لذلك بروح بقوله ال order لل five of
one divides ال order لل one ال order لل one قداش
معنى هذا الكلام ان ال order ل five of one بده
يساوي مادام يقسم اتناش يبغى قد يكون واحد وقد يكون
اتنينوقد يكون تلاتة اربعة طبعا واربعة كذلك فتقسم
اتناش خمسة ستة اتناش يبقى كل هدول قواسمين الاتناش
جبتها من العلاقة ال order لل five of one divides
ال order لل one but ولكن ال five of one هذا موجود
اين؟فزي التلاتين معناه هذا الكلام ان ال order لفاي
of one divide زي التلاتين
يبقى معنى هذا الكلام ان ال order للـfive of one
كذلك بدنا نشوف قواصم التلاتين اللي هي واحد واتنين
وتلاتة طبعا أربعة لأ ولكن تجينا خمسة وستة وعشرة
وخمستاشر وتلاتينكل هدول قواسمين قواسم اللي هو
التلاتين من الاتنين هدول مع بعض بقدر استنتج ان ال
orderللـ 5 of 1 اللي هو بده يساوي واحد واتنين
وتلاتة طبعا أربعة وخمسة لأو ستة بهذا الشكل في غير
هيك؟ مافيش يبقى هذه القواسم المشتركة ما بين ال two
orders يبقى كل احتمالات الممكنة لل order لل 5 of 1
ان يكون واحد واتنينو تلاتة و كذلك مين و كذلك ستة
هى العناصر او هى الأعداد او الأرقام المشتركة ما
بين النقطة الأولى و النقطة الثانية طيب في of one
احنا بنقول هذه قبل قليل موجودة وين في زي التلاتين
اذا بروح في زي التلاتين سهل جدا ادور على العناصر
اللى ال order إلها بدى يسوى مين
معنى هذا الكلام ان ال five of one قد يكون ال one
مظبوط لأن ال one ال order عليه عفوًا ستكون ال zero
وليس ال one قد يكون ال zeroتمام يبقى five of one
قد يكون zero ليش؟ لأن ال order لل zero سيكون كم؟
واحد طب مين ال element اللي ال order له يسوى
اتنين؟ هل يوجد غير الخمستاشة هذا؟ لأ يبقى zero أو
خمستاشة نجي للتلاتة مين العناصر اللي ال order لها
يسوى تلاتة في زي التلاتين؟ مين؟ عشرين طب و عشرة؟
وكمان عشرين لأن ال order للعشرة هو تلاتة وال order
للعشرين كذلك هو تلاتة ضايل عليه باسمين ال order
اللي هو ستة مين العنصر ال order يسوى ستة خمسة ماشي
موافقين طيب في غيره هذا بالمرة طيب ستة في خمسة
وعشرين بقداش
ما هي او خمسة مضعفات التلاتين ولا لا يبقى الخمسة
وعشرين منهم يبقى الخمسة وعشرين في غيرهم امسك كل
عناصر الـ Z تلاتين ما تجد الا عناصر هذه ال order
الوساء واحد ال order اتنين هذول اتنين تلاتة هذا
اللي هو الستة يبقى هي العناصركم واحدة دول؟ اربعة
وستة يعني معناته كم همومورفزم يكون عندنا؟ ستة
همومورفزم يبقى هنا اذا نحن لدينا ستة همومورفزم من
هم يبقى بدي اسميه فاي وان اف اكس بدي اساوي قداش
زيروالتانى بده يسمى فاي تو اف اكس يساوي الخمستاشر
اكس التالت اللى هو فاي ثري اف اكس بده يساوي عشرة
اكسعشر اكس وده خمساشر اكس الان الفاي أربعة of X
بده يسوى كده؟ بده يسوى عشرين اكس فاي خمسة of X بده
يسوى خمسة اكس والان في of .. والله في ستة of X بده
يسوى خمسة وعشرين اكس يبقى هذه الستة homomorphisms
اللي عندنا اللي استطعنا نستنتجهم من خلال معرفتنا
لشكل الـPhi 1 يبقى هدول جيبناهم من وين جيبناهم
الكلام اللي جالينه احنا انه Phi of X تساوي ال X في
Phi of 1 يبقى شيلت قيمة كل Phi of 1 وحطيت قيمتها
هنا وبالتالي حصلت على مين؟ على الستة homomorphisms
اللي عندنا تبعات هذه ال groupبدأ نيجي لآخر نظرية
في هذا ال section بتقول ما يأتي theorem every
normal subgroup of
A group
جي ملي جروب جي is the kernel is the kernel of a
homomorphism of a homomorphism of g in particular
in
particulara normal subgroup بقى a normal subgroup
بدي
أعطيها الرمز n a normal subgroup is the kernel is
the kernel of the mapping kernel of the mapping
اللي هو فاي من جي إلى جي موديولر N given by ..
given by فاي of جي بدي ساوي جي في ال N
نجي لنفس النظرية مرة تانية يبقى النظرية مرة تانية
بتقول every normal subgroup of a group G is the
kernel of a homomorphism of G يعني لو عندي normal
subgroup من a group G و ال G عليها homomorphism
لازم يكون ال normal subgroup اللي عندنا هي kernel
لواحد من mainمن الـ Homomorphism قلنا نعطيك توضيح
in particular كمثال على ذلك لو كانت ال N هي normal
subgroup يبقى ال N هي ال kernel لل function Phi من
G إلى G modulo N والتي تُعطى بالشكل التالي Phi of
G يسوى lift cost من ال factor group اللي عندنا
اللي هو من GNبدنا نحاول نثبت بعد ما نفرض ان ال N
is a normal subgroup من G بدنا نحاول نحسب ال
kernel لهذه ال Phi و نثبت انه ميناللي هو ال
subgroup اللي عندنا بالضبط تماما هذه يبقى باجي
بقوله أول شيء بدي أبيله أن هذا homomorphism و بعد
هيك بدي أروح أجيب main ال kernel له يبقى باجي
بقوله Phi is homomorphism هذا اللي بدي أروح إيه
أثبته لذلك لو روحت أخد Phi of G1 G2يبقى حسب
التعريف اللي عندنا بيصير G1 G2 في N طيب ليش؟ لأنها
normal لو ماكنتش normal اللي بصي كلامك مش صحيح
يبقى هذا الكلام بده يساوي G1 N في G2 N السبب في
ذلك since ال N is a normal subgroup من Gهذه هي الـ
Main لـ Phi of G1 وهذه Phi of G2 لذلك Phi
Homomorphism نحسب الـ Kernel لهذا الـ Phi يبقى هو
كل الـ X الموجودة في الـ Group G بحيث أناللي هو
Phi of X بده يساوي ال identity element تبع ال G
modulo N يبقى هذا الكلام كل ال X اللي موجودة في ال
group G such that ال Phi of X اللي هي مين عندنا ال
X N بده يساوي ال identity element تبع ال factor
group هذي اللي هو مينمن الـ identity هنا؟ N كويس
يبقى مادام N هذا شو معناه اللي بقول X N يساوي ال N
هذا الكلام صحيح إذا ال X موجودة في ال N يبقى هذا
اللي هو كل ال X اللي موجودة في G such ذات ال X
موجودة في ال Nيبقى هذا بدي يسوي ال in itself يبقى
معنى هذا الكلام الكيرني لهذا ال function هو عبارة
عن مين؟ عن ال normal subgroup اللي عمناه الآن في
two definitions آخر two definitions بيقول الأول ما
يأتي definition let ال h be a subgroup من ال group
Gيبقى هذا الـ sub-group من مين؟ من جيه الـ
Normalizer of
الشكل التالي هو
وبدنا نعرف التعريف الثاني and the centralizer يا
رحمكم الله and the centralizer of HNG is defined
byبنروح نعرفه على الشكل التالي الـ Centralizer للـ
H وكل الـ X اللي موجودة في G such that بحيث أن الـ
X H X inverse بده يساوي H itself لكل الـ H اللي
موجودة في ال subgroup H example
لت الـ H بي ايه ال sub group من G define a mapping
define a mapping define
a mapping ابسعي من ال normalizer بتبع ال H الى ال
inner atom morphismالـ Inner Atomorphism لمن؟ للـ
H باي إبساي of X بده يساوي فاي X where حيث الفاي X
من الـ H إلى His defined by as defined by five X
of H بده يساوي ال X H X H X inverse لكل ال H اللي
موجودة في capital H السؤال هو show that بيلي انه
النقطة الأولى إبساي is a homomorphism النقطة
الثانية بدنا
نثبت إن كيرنل للإبساي بد سواء ال centralizer of
main of it
نعود للتعريف اللى بين أيدنا هذا مرة تانية احنا
خدنا الـcentralizer لل element لكن ما خدناهوش لل
subgroup خدنا ال normalizer لل element لكن لل
subgroupومن هنا بدنا نجي نعطي تعريف لل centralizer
لل subgroup H وال normalizer كذلك لل subgroup H
التعريف بقول ما ياتي the normalizer of subgroup H
اللي أخدناها منجي هو عبارة عنthe set of all
elements x اللي belongs to G such that ال X H X
inverse بده يسوى من ال H يعني كل العناصر اللي
موجودة في G والتي تحقق هذه المعادلة بتكون هي عناصر
ال normalizer شو هذه العناصر هذه لو ضربتها في H من
جهة الشمال لو ضربت معكوسها في H من جهة الجميل تبقى
ال H كما هيإن حدث ذلك يبقى كل هذه العناصر بتعطين
إيمان الـ Normalizer طب السؤال هو هل ال identity
element موجود في ال normalizer؟ نعم ليش؟ ال
identity المعكوس تبع هو نفسه اضربه في ال subgroup
يمين و الله شمال تبقى ال subgroup كما هي لإن ال
identity موجود وراموجود في الـ H itself وبالتالي
أبسط حاجة عند ال identity element موجود في ال
normalizer أو أحد عناصر منه ال normalizer تعني دي
لل centralizer تبع ال subgroup H في G بنعرفه
كالتاليبارضه كل العناصر اللي موجودة في X بس عنا X
H X inverse بدي سوى mean H لكل ال H اللي موجودة في
H او ممكن اصيغ هذا مرة تانية و اقول لو ضربت في X
من جهة اليمين H بصيرال XH بدى يسوى مين؟ HX يعني كل
العناصر اللى موجودة في في G و اللى بتبقى commutes
مع جميع عناصر H بلا استثناء فلما أقول XH بقدر أقول
يسوى HX يبقى كل ال X's اللى موجودة في Gولكميوتس مع
جميع عناصر H بلا استثناء اذا هذا يختلف عن هذا ولو
انه في ظاهره كأنه هو لكن لو بدأجي اطبق هذا عمليا
بقول X H X inverse بقولش H بقول H one يعني element
تاني ليس بالضرورة يكون نفس ال element بس هنا نفس
ال element بالضبط تمامالأن الـ Centralizer جاء من
كلمة Center المركز و احنا عرفنا الـ Center كل
العناصر الـ commutes مع مين مع جميع العناصر إذا
هنا جبنا الـ Center لمن؟ للجروب و جبنا الـ
Centralizer ل element في الجروب بس هنا الـ
Centralizer لل subgroup كله يبقى كل ال X اللي
موجود في G و الذي يحقق المعادل X H X inverse بدي
سوى من؟ بدي سوى Hمثال يرتبط بالاتنين هذول بيقول خد
الاتش subgroup وعرفلي ده لإبساى من ال normalizer
لل inner atomorphism لجي باي إبساى of X يبقى هذا
normalizer عناصر اللي فيه يقول بدي أقول إبساى of X
بدي اوديها وين؟على ال inner ال inner هذا كل
العناصر اللي فيها عبارة عن functions و ال
functions هذه بتحقق العلاقة اللي عندنا هذه يبقى ال
inner عبارة عن في اكس من ال group او من ال sub
group الى نفسها بحيث ان ال a في اكس of h بده سوى
ال x اتش انفرطة خدناها قبل هيك يعني مش جديدة علينا
لكل ال h اللي موجود في gإذا إبساى of X بدي ساوي في
X قال يبينلي إن إبساى is a homomorphism يبقى بدروح
أثبتله من الخطوة الأولى يبقى ل proofوبدي اخد
النقطة الأولى بدي اخد a psi of حصل ضرب to elements
حسب ال operation اللي موجود عالميا على g يبقى هذا
الكلام بده يساوي phi x y حسب التعريفتمام؟ طيب
سيبلي هذه على الشكة و بدنا نرجع لها بعد قليل لو
جيت قولتلك في x y as a function of h ايش بدي
اعطيني؟ حسب التاريف x y h x y inverse يعني هذا
الكلام يعني x y h y inverse x inverse بالشكل اللي
عندنا هذاالان هذا بده اعتبره كله element واحد يبقى
لو اعتبرته كله element واحد بيصير هذا
اللي هو H Y inverse هذا الكلام بدي يساوي في X of
هذا كله اللي هو عبارة عن اين في Y as a function of
X يعني هذا بالضبط هو في X composition في Yكله as a
function of x لذلك كان عندنا مين؟ كان عندنا f psi
of x y بيسوي في x y يسوي يبقى في x y هو في x في
مين؟ في في yطب فاي إكس حسب ال definition لإب ساي
of إكس و الفاي of واي يبقى هي إب ساي of واي لذلك
الإب ساي is a homomorphism يبقى سائل إب ساي is a
homomorphismأنت هنا من النقطة الأولى النقطة
الثانية قال يحسب لل kernel تبع هذا الإبصاى يبقى
باجي بقوله ال kernel بتبع الإبصاى هو
يبقى كل الـ X الموجودة في Normalizer للـ H بحيث أن
صورتها Epsi of X بده يساوي الـ Identity Element
تبع الـ Innerطب شكل ال function في ال inner هيك أو
بمعنى أخر هيك يبقى ياش بد يكون ال identity تبع ال
inner هو مين ال inner نفسه مين ال inner نفسه هذا؟
هه ليس هو فاي اي ليش انه فاي اي of X فاي اي of X
بديساوي E H X inverse اللي هيعطيك ال H itself يبقى
هذا وعملتها لكوا قبل هيك أكتر من مرة عدة مرات يبقى
Psi of X بديساوي مين؟ فاي اي طب هذا الكلام بديساوي
مين؟بتساوي كل العناصر اللي موجودة في الـ
Normalizer للـ H بحيث ان ال Epsilon of X هي مين
فاي X بتساوي فاي Eأو بمعنى آخر هذه كل العناصر X
اللي موجودة في ال Normalizer للـH بحيث أن فاي X of
H بدها تساوي فاي E of H لكل الـH اللي موجود في
الـH بلا استثناء ليش عملت هك؟ لأن فاي X أصلا من
من؟ من الـH إلى الـH أو من الـH إلى الـH itselfهذا
الكلام بده يساوي كل العناصر اللي موجودة في الـ
Normalizer للـ H بحيث أن الـ X H X Inverse بده
يساوي الـ E H E Inverse لكل الـ H اللي Belongs to
من The H أو بمعنى آخر كل الـ X اللي موجودة في الـ
Normalizerاللي موجودة في الـ Normalizer للـ H بحيث
ان الـ X H X inverse يساوي هذي كلها بقداش؟ بـ H
لكل الـ H اللي موجود وان في H، السؤال هوطلّعلي في
تعريف الـcentralizer كل العناصر اللي موجودة في جيب
بحيث تحقق هذه العلاقة إذا هذا يعتبر الـmain يعتبر
الـcentralizer لمن؟ لـH يبقى هذا يعتبر
الـcentralizer لمن؟ لـH وهو المقلوب طبعا بالنخاطر
نحلنا احنا هيك انتهينا بنحلنا كمانأكمل سؤال من
مسائل التمرين
خد يا للسؤال التالي اللي هو السؤال أربعة عشر من
التمرين بقول X plane X plane Y اللي هو في من زد
اتناش إلى زد عشرة defined bydefined by phi of x
يساوي تلاتة x phi of x يساوي تلاتة x is not a
homomorphism اثبتلي ليش هذه ماهياش homomorphism
أحنا أخدنا نظريات الهمومورفزم الأساسيات اللي هما
تنتين واحدة فيها ست نقاط وواحدة فيها تسعة نقاط
يعني خمس عشر نقطة و أثبتناهم عمليا لو لجينا تناقض
بين هذا التعريف و أي نقطة من هذه التناقض بيبطل
يصير homomorphism، مظبوط؟هو يدعى لماذا هذا اللي
عرفناه بشكل انه هو homomorphism نقوله بسيطة تعالى
نشوف إيش ممكن يتناقض معنا طبعا احنا أخدنا اللي هو
solution
أخدنا اللي هو main sentence فى of الـG to the
power N بده يساوي فى of G كله to the power N هذا
الكلام لكل الـN اللى موجودة في Zمش هذه الخاصية رقم
اتنين في أول نظرية تمام يبقى هذه الخاصية نشوف هل
هذه الخاصية تنطبق على الدعاء انه homomorphism ولا
لا ماشي نقوله ماشي خدلي مثلا five of أربعة تكعيب
الأربعة موجودة في Z12وحطتلها أس in طبعا ال
operation اللي عزد 12 هي عملية من جامعة يبقى الأس
هذا بتحول الي يمين five of تلاتة في أربعة مش أربعة
أس تلاتة وإنما تلاتة ضرب أربعة تلاتة في أربعة
بقداش اتناش تاني قداشzero طب أول خاصية من خواص ال
homomorphism أن ال identity هو صوت ال identity صح
ولا لأ يبقى ال five of zero يساوي قداش هدى مباشرة
قداش zero ال zero تبع مين زد عشرة و هذا هو ال zero
تبع مين تبع زد اتناشر هذا الفرق بينهم طيب تعالى
خدلي five of أربعةالكل تكعيب يساوي تلاتة في فاي of
أربعة هذا الكلام يساوي تلاتة فيه نجي لفاي of أربعة
اللي تلاتة في أربعة يبقى هذا تلاتة في أربعةاللي هو
بده يساوي تلاتة في تلاتة في أربعة في قداش اتناش
هذي في الأول ولا في التانية في التانية مادام في
التانية يبقى هذا باتنين يعني هذا اتناشر موديله
عشرة يبقى هذا اتنين تلاتة في اتنين في قداش بستة
الستة موجودة في زد عشرة ميلي اتنين هدول ايش بقدر
استنتجإن الـ Phi of أربعة تكييب لا تسوى Phi of
أربعة لكل تكييب هذا يعني إن Phi of X بدى يسوى
تلاتة X is not a homomorphismطبعا يبقى هذا كان
سؤال اربعتاشر من الكتاب خدلي سؤال تاني سؤال خمسة
وتلاتين سؤال خمسة وتلاتين بيقول prove that the
mapping النقطة الأولى prove that
Proof Proof that the mapping Phi من Z external
product لZ إلى Z given byوالمعطاه بالتعريف التالي
Phi of A وB بديساوي الـ A ناقص الـ B as a
homomorphism النقطة الثانية النقطة
الثانية Find ال kernel لـ Phi النقطة التالتة
Describe
describe the set اللي هو في
انفرس من تلاتة
السؤال مرة تانية في عندنا function من z اكترين او
like product مع z الى z موطع بالشكل التاليفي of a
و b بده يسوى ال a ناقص ال b وهدي homomorphism بدنا
نثبتهابعد أن نثبت تهمورفازيا بنا نجيب لها ال
kernel بعد ال kernel بنا نوصف مين هي ال 6 اللي
عندنا هذه خلينا مع النقطة الأولى بجباجي للنقطة
الأولىمشان اثبتها انها homomorphism بدروح اخد fi
of بداخل عنصر اول يبقى بقوله ال a و ال b ال
operation اللي عزدها دي كلها هي عملية من الجامع
ولا الضرب الجامع يبقى بدروح اقوله زائد c و d
بالشكل اللي عندنايبقى هي أخد تأثير الفاي على two
elements هذا الكلام بده يساوي في of هذا بده يجمع
component wise يبقى a زائد c و b زائد d حسب تعريف
الفاي اللي عندنا هذا يبقى الأول ناقص الثانييعني
مين؟ يعني ال A زائد ال C نقص ال B نقص ال D اللي
بقدر أكتبها على الشكل التالي ال A نقص ال B في قوس
وال C نقص ال D في قوس أخر السؤال هو هذا هو التعريف
اللي فوقيبقى هذا الكلام Phi of A وB زائد التاني
Phi of C وD لذلك Phi is A homomorphism بدنا نروح
نجيب له mainالكيرنل للفاي يبقى الكيرنل للفاي كل
العناصر a و b اللي موجودة في z external by product
مع z such that الفاي of a و b بده يسوى ال identity
element تبع man تبع ال z من ال identity element
تبع ال z اللي هو ال zeroطيب هذا الكلام كل العناصر
a و b اللي موجودة في z external like product مع z
such that ال a ناقص ال b بده يساوي ال zeroيبقى كل
العناصر a وb اللي موجودة في z external like
product مع z such that ال a تساوي ال bيعني
المُركّبة الأولى تسوى مين؟ المُركّبة الثانية يبقى
هذا الكلام يبقى the set of all a و a such ذات ال a
عنصر من مين؟ من ال z المُركّبتين زي بعض يبقى the
set of all are pair a و a b و b c و c زي ما بدك
يعني بيطلعوا هدول عناصر منهم
ونقص اتنين ونقص واحد ونقص واحد وزيرو وزيرو وكذلك
واحد وواحد اتنين واتنين وهكذا الى ما شاء الله نعم
هذه كلها عناصر من عناصر الكيرن يعني كم عنصر فيه
مالة نهاية من ال elements يبقى ال order لل kernel
في هذه الحالة infinite وليس finite حسب ناله ال
kernel مطلوب التاني بدنا نروح للمطلوب التالت ايش
بقول هنا هاتل الست اللي عندنا هذه باجي بيقوله ال
phi inverse of تلاتةال fire inverse of ثلاثة
موجودة و هنا يا شبابفي زد والله في زد external
like a product مع زد في ال external لأن هذا
بترجعها من زد إلى يبجي كل العناصر the set of all
elements a و b اللي موجودة في زد external like a
product مع زد such that بحيث ان ال fi of a و b
بدها تسوي تلاتةمظبوط يبقى كل العناصر اللي صورتها
بدها تساوي تلاتة يعني مين يعني كل العناصر a و b
اللي موجودة في z external like product إلى z such
that fi of a و b اللي هو مين ال a ناقص ال b بده
يساوي مينيبقى هذا الكلام كل العناصر a وb اللي
موجودة في z external by product مع z such ذات ال a
بدها تساوي ال b زائد التلاتةيعني بالبلد يطلع من
هدول يبقى هدول the set of all المُركّبة الأولى بدا
تبقى بي زائد تلاتة والمُركّبة التانية اللي هي مين
اللي هي بي itself و ال بي هذه موجودة وان موجود في
زد يعني خدلي أي رقم موجود في زدوحط هو المركبة
التانية وحط للمركبة الأولى نفس هذه المركبة واضيف
عليها ماذا؟ اضيف عليها .. كم عنصر هدول بيطلعون؟
برضه مالة نهاية يبني مالة نهاية من العناصر كلهم
يروح لماذا؟ للعنصر التلاتة أو لصورتهم بتكون تلاتة
خدلي سؤال قريب يعني أو حوالين هذا السؤال كمان
السؤال اللى بعضه على طوله سؤال 36 بيقولي suppose
that suppose that افترض انه ال five منZ external
by-product إلى Z لمين لا group G وعليها عملية
الجامعة is a homomorphism such that بحيث أن الـ
Phi of تلاتة واثنين
سؤال مرة تانيةجال افترض في عنا function في من زد
external like product مع زد إلى group مين ماكانت
ال group ماحددش شكلها لكن ال operation اللي عليها
اللي هي عملية منعملية الجمع تمام افترض ان هذا هو
homomorphism وعندي ان في of تلاتة واثنين بده يساوي
ال a طبعا ال a وين موجودة لان في g وعندي في of
اتنين واحد اللي موجودة اللي بده تساوي بيه موجودة
في g كذلك قالي هت لل في of اربعة واربعةطبعا
الفيديو في اربع واربع حاجيهم دلالة مين؟ A و B لإن
A و B أنا مش عارفهم يعني عناصر، مين هم؟ الله أعلم
بحالهما، يبقى باجي بقول solution
بدي أحاول أستفيد من المعطيات اللي عندنا five of
تلاتة و اتنين و five of اتنين و واحد و أربطهم بمين
بfive of أربعة و أربعة الأن لو جيت ليه ال five of
تلاتة و اتنين ناقص five of اتنين و واحد أشوف قداش
هذا الكلام بده يساوي
هذا ال element موجود في جي و هذا ال element موجود
في جي اذا المجموع تبعهم او الفرق بينهم هذا معكوس
سالب ال phi of اتنين و احد هو معكوس ال phi of
اتنين و احد لان ال operation اللي عليها عملية جي
وبالتالي ماحدش الا اعتراض عنها السؤال هو مش phi
homomorphism يبقى هذا معناه phi ofالتلاتة و اتنين
بدي اطرح منها اتنين و واحد يسوى five of اللي هو
مين تلاتة ناقص اتنين و اتنين ناقص واحد يبقى هذا
الكلام بدي يسوى five of واحد واحدإذا الفرق ما بين
الصورتين هدول تلاتية صورة العنصر واحد وواحد الان
الواحد وواحد له علاقة بالفاي اربعة واربعة بقدر
أجيب العلاقة اللي بتربط منهم توقبل يا قليل إذا
كنتم ذاكرين قولنا في of x يسوى ال x في في of one
يبقى نفس المفهوم اللي عندنا، الأن بروح أخدله five
of أربعة وأربعة، أليست أربعة في ال five of one
one؟طيب احنا طلعنا هنا الـ five of one و one اللي
هو الفرق ما بين الاتنين هدول يبقى هذه العلاقة رقم
واحد بدي اجيب العلاقة اللي فوق لما اقول five of
تلاتة و اتنين ناقص five of اتنين و واحد أليس ال A
ناقص ال B؟ مش الاولة A والتانية Bيبقى هذه العلاقة
اللى عندنا اللى هي الرقم اتنين طب الفرق ما بين
هدول طالع مين يبقى من الاتنين هدول مع بعض بس تنتج
ما يأتي هذه عبارة عن ال five of أربعة وأربعة بدها
تساوي أربعة في five of one one وتساوي أربعة فيه
فاية أربعة واحد واحد الفرق فيه ما بينهم لهمين a
ناقص ال b يبقى النتيجة تساوي أربعة a ناقص أربعة b
إذا بنانا عليه صورة الفاية أربعة وأربعة هي أربعة
مضروبة في ال a ناقص ال b لحد هنا انتهى ال section
والله يعطيكوا العافية ونسامحوا أو يسامحوا بعضنا
بعضا إن كان صار فيه خطأ أو تقسير أو ما إلى ذلك