بسم الله الرحمن الرحيم السلام عليكم ورحمة الله
وبركاته اليوم هنكمل الحسابات الـ slotted crank
mechanism في المحاضرتين السابقتين عملنا حسبنا الـ
velocity و الـ acceleration و الـ position لل piston
حسبنا الـ .. الـ .. angular velocity و angular
acceleration لل connecting rod و بعدين عملنا force
analysis حسبنا الـ piston effort حكينا الـ piston
effort هو net force along the line of stroke due
to .. حكينا الـ FP بيساوي FL plus/minus FI
minus الـ friction force في حالة horizontal engine
اليوم هنكمل أول شيء هنتعرف على فكرة جديدة هي الـ
compound pendulum أنا عندي هنا مبين عندي rigid
body معلق من نقطة A هذا
مركز ثقل لل rigid body والمسافة
من نقطة التعليق O هي h الآن
عملنا small displacement small angular
displacement لل rigid body بمقدار
زاوية θ طبعا في الوزن مؤثر لتحت وزن الـ rigid
body
اللي هو الوزن M في G الوزن ممكن أحاول أحلله لو
مركبة تجاهي المركبة في اتجاه الـ OG اللي هي هتكون M
G Cos
θ المركبة عمودية
على الـ OG اللي هي M G
Sin θ الـ
KG هو الـ radius of gyration about G KG الـ radius of
gyration حول الـ G لو أخدت الـ moment حول O
summation حول
O هيكون IO في α طبعا
الـ Mg Cos θ بتعملش moment الـ Mg Sin θ هيكون دي معناته Mg
Sin θ بيساوي الـ IO الـ IO هتكون الـ
moment of inertia حول الـ G IG
زائد الـ mass في H تربيع والـ IG اللي هي M هتبقى قرا
عن الـ
mass في الـ radius of gyration KG تربيع زائد M في H
تربيع يعني هتكون M في KG تربيع زائد H تربيع يعني الـ
M G Sin θ هتكون الـ IO اللي هي M في KG تربيع زائد
H تربيع في α for small for small angle
displacement for small for small θ يكون
دي Sin θ تقريبا بتساوي θ يعني ممكن أحكي
أنا MG θ
بتساوي M في KG تربيع زائد H تربيع في α يعني الـ
M بتروح مع الـ M يعني
θ على α هتصير دي
الـ θ على α هتكون
بسـاوي KG تربيع زائد H تربيع على G الزمن
الدوري لل oscillation رايح جاي هيصير له periodic
time
هيكون بيساوي اللي هو 2π الجذر التربيعي لـ θ
على α
يعني هيكون الزمن الدوري T بيساوي 2π الجذر
التربيعي لـ θ على α لكG تربيع زائد H تربيع على G
الآن يعني ممكن ألخص الموضوع ببساطة بأحكي إذا عندي
جسم إذا عندي جسم شكله مُعقّد شكله مُعقّد
يعني أجيب صخرة مثلاً وعايز أعرف الـ moment of
inertia بتاعتها أو أبسط من هيك بعمل مثلاً ثقب في
الجسم وأعلقه بحط مسمار هنا وبعدين بعمل بحرك بلفه
بزاوية θ وأسيبه to oscillate لأن في عندي
oscillation وأحسب اللي بحسب مثلاً عدد مثلاً عشرة أو
عشرة هو عشرة oscillation بشوف أكثر عشرة
oscillation أكثر آخذ وقت بقسم على عشرة بأحسب الزمن
الدوري حسبت الزمن الدوري وأنا عارف G عارف G وعارف
H عارف H بأحسب H و الـ KG يعني بأحسب الزمن الدوري
بأحسب الـ KG حساب الـ KG الـ IG بيساوي M في KG
تربيع يعني إحدى إحدى الطرق لحساب الـ radius of
gyration أو حساب الـ moment of inertia لـ rigid body
حول مركز ثقله يعني حكينا الزمن الدوري اللي هو
periodic time بيساوي 2π الجذر التربيعي لـ KG
تربيع زائد H تربيع على G في H أو
G في H طيب
الآن
لو أخدت بندول عادي أخدت بندول بندول اللي إحنا
بنعرفه
هذا حبل وفي كتلة هنا وهذا
الزاوية θ هيكون العزم اللي عندي Mg Mg
Mg Mg Mg Mg Mg Mg Mg Mg Mg العزم Torque حول O
الـ Torque هيكون بيساوي MG في L هذا طوله L Sin
θ بيساوي IO في α for small θ حسينا دي
MGL في θ بيساوي الـ IO هتكون ML تربيع في
α يعني الـ θ على α بتساوي
هذا الـ L مع L و M مع M هيكون L على G والزمن
الدوري الـ Tv هيكون 2π الجذر التربيعي لـ θ
على α يعني هتكون الـ Tv لـ لـ Simple pendulum
هتكون 2π الجذر التربيعي للـ L على
G خلينا نقارن عند هذا for simple pendulum for
simple pendulum الـ Tp للـ compound pendulum هتكون
بسـاوي 2π الجذر التربيعي لـ L
على G لاحظوا هتلاحظوا القيمة هذه
تقريباً الـ L هتكون بيساوي KG تربيع زائد H
تربيع على H
معناته الـ equivalent length of a simple pendulum
which gives the same frequency as compound
pendulum لأن الـ length هتكون بيساوي KG
تربيع زائد H تربيع على H يعني KG تربيع على H زائد
H
طيب لأن هنشوف كيف نوجد equivalent rigid .. كيف
ممكن أستبدل أستبدل rigid body بـ two masses بحيث
الـ effect بتاع الـ two masses يكون نفس الـ effect لل
للـ للـ rigid body إحنا حكينا to determine
motion of a rigid body it is convenient to replace
the rigid body by two masses placed at fixed
distance apart such that أنا ممكن أستبدل جسم
جسم أستبدله بـ two masses بحيث
يكون مجموع الـ two masses بيساوي الـ total
mass للـ rigid body و الـ center of gravity للـ two
masses يتطابق مع الـ center of gravity للـ rigid
body و مجموع الـ mass متمركزة للـ two masses
بيسـاوي الـ mass متمركزة للـ rigid body على نحو
التالي أنا عندي هذا الجسم
هذا الوضع كتلة M هذا
مركز ثقله و
كتلة H M بدي
أستبدل الاثنين بمجموعتين واحدة مجموعة M
واحدة one mass at B كتلتها M واحدة المسافة بين M و
M واحدة واحدة وهما الاثنين والمسافة الكلية بين الـ
two masses الـ L الآن
اللي سويته أنا هي عندي rigid body حكيت بدي أحط
مكافئه للـ rigid body الـ mass بتاعته M بدي أحط له
مكافئه two masses M1 و M2 بحيث أن يكون M1 زائد M2
بيسـاوي M ومركز ثقل M1 و M2 هو نفس مركز ثقل الـ
mass اللي هو G و الـ mass متمركزة لـ M1 و M2 حول
G هو نفس الـ mass متمركزة للـ rigid body حول G
يعني هيكون عندي أول شيء مجموع الـ two masses M1
زائد M2 بيساوي M هي واحدة بعدين moment حول G
M1 L1 بيساوي M2 M2 L2 المعنى M2 بيساوي M1 L1
على L2 عوض في هذه المعادلة M1 زائد M2 اللي هو M1 الـ L1
على L2 اللي هيبقى إيه؟ اللي هيبقى M ناقص M1
بيسـاوي M لو أخدت M1 عامل مشترك بيصير 1 زائد L1
زائد
L1 على M ناقص M1 بيساوي M أخذنا هنا M ناقص M
1 طيب
الآن هعمل Simplification للمعادلة في الآخر أن
M1 بيساوي
L2 على
على 1 زائد L2 في M و الـ M2 هتكون
بيسـاوي L1 في M على 1 زائد L2 ليه هذه
العلاقات؟ هتطلع عندي M1 بيساوي L2 في M
على 1 زائد L2 و M2 بيساوي L1
في M على 1 زائد L2 إذا حاولت تجمعهم هتطلع
فعلاً M1 زائد M2 بيساوي M
الآن الـ total moment of inertia حول حول
نقطة G للكتلة الكلية هيكون M1 L1 تربيع زائد M2 L2
تربيع بيساوي M KG تربيع
لأن M1 اللي هي عبارة عن L2 M على L1 زائد L2 زائد
طبعاً في L1 تربيع زائد L2
زائد L1 على L1 زائد L2 في M L2 تربيع بيساوي M KG تربيع
نختصر M من الطرفين ونأخذ L1
L2
عامل مشترك بيصفي عندي وعلى L1 زائد L2 عندي L2
بيصير عندي L1 زائد L2 بيساوي KG تربيع يعني هيروح
هذا مع هذا بيصفي عندي L1 L2 بيساوي KG تربيع معناته
for the two mass system M1 M2 to be dynamically
equivalent to the total mass M of the rigid body
لازم يكون عندهمجموعة الـ M1 زائد M2 بيساوي M والـ
moment of inertia لـ M1 M2 حوالي G هي نفسها
الـ moment of inertia للـ total mass حوالي G و الـ
center of gravity لـ M1 M2 هو نفسه G الآن
الثلاثة شروط هتعطينا ثلاثة معادلات ثانية هتطلع عندي M1
بيسـاوي L2 في M على L1 زائد L2 و M2 بيساوي L1 M على
L1 زائد L2 و L1 L2 هتطلع عندنا بيساوي KG تربيع
طيب
الآن graphically عشان أجد الـ equivalent mass
system هاي الـ mass الكلية M هاي مركز ثقل G
ضع كتلة على مسافة L1 هذه M1 و L
1 من G
الآن بعمل خط عمودي لأن عندي هذا الخط الأفقي بعمل
عندي الـ point بعمل خط عمودي على الخط الأفقي طوله
طول هذا الخط بيساوي KG بعدين بوصل M1 مع نقطة C
بعدين بعمل عمودي على AC عمودي لحد ما يتقطع مع الخط
الأفقي بيعطيني الـ location of M2 هذه بتكون L2 طبعاً
L1 في L2 بتساوي KG تربيع يعني
أنا ممكن أثبتها ببساطة هذه أنا عندي
KG تربيع بتساوي
اللي هو AC تربيع ناقص
الـ L1 تربيع أو
بتساوي برضه BC تربيع ناقص L2 تربيع
يعني الـ L1 تربيع يعني بعمل simplification
للمعادلة هذه هيطلع في الآخر أن دي KG تربيع
بيسـاوي L1 في L2 يعني as a homework prove
prove هذه العلاقة prove it شغل بيت
معناته is I can replace a rigid body by a two mass
system that is dynamically equivalent to the rigid
body عشان يكون dynamically equivalent لازم ثلاثة 184 00:20:49,450 -->
تربيع على خمسة عشر يطلع
بالمعنى تحسن عند الواحد اللي هي الواحد اللي هي
متين في الاثنين بالسوقياجي تربيع اللي هي سبعة
تلاف على خمسة عشر يعني أقل اثنين هتكون السابع
وهيروح السفر طبعا مع السفر ها سفرين على الخمسة
أربعة عشر على الخمسة فيها ثلاثة على الاثنين فيها واحد
على الاثنين فيها سبعة أنا أقل اثنين تطلع
سبعة على
ثلاثة مليمترات تحسبها
تطلع الـ two point ثلاثة millimeters
هذا أقل اثنين طيب الـ M واحد الـ M واحد هتكون اللي
هي هتكون أقل اثنين في M أقل واحد زاد أقل اثنين يعني
هتكون أقل اثنين اللي هي اثنين point ثلاثة ثلاثة
في الماس خمسة عشر على الواحد اللي هو متين زاد اثنين
point ثلاثة ثلاثة
بتطلع point واحد سبعة point واحد سبعة ثلاثة
kilograms الـ M اثنين هتكون الـ M الـ M ناقص M واحد
ال
M اللي هي خمسة عشر ناقص point واحد سبعة ثلاثة
هتطلع أربعة عشر point ثمانية اثنين سبعة معناته
أنا ممكن الـ connecting rod هذا اللي وزنه سبعمئة
كيلو جرام و مركز ثقله هنا على بعد متين ملي من مركز
الدائرة هذه استبدله ب two masses, one mass at this
end قيمتها point واحد سبعة ثلاثة kilograms, one mass
هنا على بعد اثنين point ثلاثة millimeters قيمتها
أربعة عشر point ثمانية اثنين سبعة kilograms هذا ال
two masses M واحد و M اثنين are dynamically
equivalent to this connecting rod connecting ماشي
شوف
مثال ثاني
عند الـ connecting rod تم تعليقه على بعد خمسة وعشرين مليمتر يعني تم تعليقه من هنا
مليمتر يعني تم تعليقه من هنا
above the center of the small end and ستمائة وخمسين
مليمتر above its center of gravity يعني
هذه المسافة هذه H و
هذه الـ center of gravity H
بالمسافة ستمائة
وخمسين مليمتر
its mass being سبعة وثلاثين ونصف كيلو جرام ال
mass بتاعة الـ connecting rod سبعة وثلاثين ونصف
كيلو جرام و
أن permitted to oscillate أنا علقته من هنا و
خليته يتمرجح يمين شمال و أن permitted to oscillate
time period is found to be one point eight seven
seconds الـ periodic time
بالمسافة one point eight seven seconds find
dynamical equivalent system constituting of two
masses one of which is located at the small end
center أوجد dynamical equivalent system مكون من
two masses أحد الـ masses جاية في الـ center هنا
طيب أنا عشان أجيب dynamic equivalent .. عشان أجيب
dynamic .. أجيب dynamic equivalent .. أجيب two
masses dynamic equivalent system محتاج أعرف الـ
radius of gyration KG الـ KG كيف هعرفه هو معطيني الـ
predict time predict time عندي TP نرجع للمعادلات
هنا الـ pendulum predict time TP
بالمسافة اثنين باي الجذر
التربيعي لـ KG تربيع زائد H تربيع على GH يعني
لو ربعت الطرفين هأصل إلى TP تربيع
على أربعة باي تربيع يساوي KG تربيع زائد H تربيع على GH
يعني
أنا هأقول أن دي TB تربيع في GH على أربعة باي تربيع
يساوي KG تربيع زائد H تربيع معناته KG تربيع حيث هو
TP تربيع GH على أربعة باي تربيع ناقص H تربيع حيث
ساوي الـ period of time يعطيني one point eight seven
تربيع الـ TP اللي هي تسعة point ثمانية صفر ستة الـ H
معطيني إياها اللي هي ستمائة وخمسين يعني point ستة خمسة
على أربعة باي تربيع ناقص point ستة خمسة تربيع ومنها
أحسب الـ KG تربيع يعني أنا هأقول عن ده one
point eight seven
يعني هيكون point خمسة ستة
خمسة اثنين ناقص ناقص
point ستة خمسة في point ستة خمسة بتطلع point واحد
point واحد أربعة اثنين سبعة هذه KG تربيع
طيب الآن الـ L واحد أنا هستبدل هذا الجسم بكتلتين
كتلة جاية في المركزين وكتلة مكان ثاني هأحسبه
معناته الـ L واحد هتكون تساوي الـ L واحد الـ
L واحد هتكون ستمائة وخمسين ناقص خمسة وعشرين
هتكون ستمائة وخمسة وعشرين مليمتر لأن
L واحد L اثنين يساوي KG تربيع أنا
هأقول إن L اثنين هتكون تساوي KG تربيع اللي هي
point واحد أربعة اثنين سبعة على الـ L واحد اللي هي
point ستة اثنين خمسة وبنقسم L اثنين على تقسيم
point ستة اثنين خمسة هيكون point اثنين اثنين تسعة
متر يعني متين وتسعة وعشرين مليمتر
يعني أنا حاسس إن عندي كتلة هين جاية عندي هين M
واحد هين M اثنين هاد هتكون متين وخمسة وعشرين
ملي لما بتحسب قيم الكتل الـ M واحد تساوي L اثنين
على L واحد زائد L اثنين في M الـ L اثنين هي مائة وتسعة
وعشرين على ستمائة وخمسة وعشرين زائد مائة و
تسعة وعشرين في الـ M التي هي سبعة وثلاثين ونصف
والـ M اثنين هتكون تساوي M ناقص M واحد الـ M واحد هنا حسبناها
مائة وتسعة وعشرين
بتطلع الـ M واحد عشرة point أو خمسة ستة kilograms يعني
الـ M اثنين هتكون سبعة وثلاثين ونصف ناقص عشرة point أو
خمسة ستة بتطلع
سبعة وثلاثين ونصف ناقص عشرة point صفر خمسة
ستة تطلع سبعة وعشرين point أربعة أربعة
kilograms معناته
الـ rigid body هذا ممكن استبداله this rigid body can
be replaced by two masses, one located at this small
end M واحد قيمتها 10.056 على بعد 625 من مركز الثقل
625 مليمتر another mass M اثنين قيمتها 27.44 كيلو جرام
على بعد 229 مليمتر من مركز الثقل هذا الـ two mass
system M واحد و M اثنين بيكون dynamically equivalent لـ total
mass of the connecting rod
طبعا في المحاضرة القادمة هنشوف إيش فائدة الكلام هذا
إيه طبعا إيه ميزة وفائدة نكتفي اليوم بالمحاضرة
القادمة بنكمل باقي الأمثلة بتوقع تحلوها أنتم و
المعيد معا بعض