أنا راح نكمل مابتدأناه في المرة الماضية و المرة
الماضية أخر حاجة كنا نتحدث فيها وهي sandwich
theorem أعطانا هذه النظرية و أعطانا عليها مثالين
والان هذه الـ remark متعلقة تماما بما يسمى بـ
Sandoz theorem ال remark بتقول ما يأتي for any
function f of x إذا كان limit لل absolute value لل
f of x لما ال x ده تروح إلى c بده يساوي 0 then
limit لل function بدون absolute value كمان بدها
تساويها ده ساوي 0 طيب نروح نثبت صحة هذه النظريةبعد
ذلك اقول لك ميتي لو أخدت الدالة f of x ودالة
absolute value لل f of x بدي اقارن ما بين التنتين
انا بقول هذه اقل من او تساوي هذه انا ادعى يا ناس
هل الادعاء هذا صحيح ولا غير صحيح تعني اتفهم على
الموضوعالأهم ممكن تكون ال F of X تاخد قيم موجبة
دائما و أبدا يبقى إذا كانت F of X بالموجبة ال
absolute value لها يبقى شو بيحصل تساوي تمام لكن لو
كانت F of X بالسالي بال absolute value لها بيصير
موجب يبقى بيصير هذه أقل من هذه ولا لا إذا هذه
دائما و أبدا أقل من 100 من ال absolute value ل X
دائما و أبداالسؤال هو او تساويها هل هي اكبر من او
تساوي سالم absolute value لل F of X ام لا تعالى
نشوف بدنا ناخدها لو كانت موجبة لو كانت سالمة لو
كانت F of X بالموجب يبقى absolute value لها
بالموجب يبقى السالم لها اقل يبقى هذه اقل بالفعل
هذه لو كانت موجبةلو كانت f of x بالسالب absolute
value اللي هي بيصير موجة مسبوقة بإشارة سالب بيصير
سالب و هذه السالب يبقى اتنين are equal يبقى ال
inequality هذه صحيحة دائما و أبدا
أقل من أو يساوي absolute value لل F of X for all X
بناستي اتناء موضوعنا موضوع من إيجاد ال limit
يبقى بناء عليه limit لما ال X بدها تروح ل C ل-
absolute value ل F of X أقل من أو يسوى limit لما
ال X بدها تروح ل C ل F of X أقل من أو يسوى limit
لما ال X tends to C لل absolute value ل F of X
تمام؟ طيب، الان في عندي معطيات حتى الان لم استخدم
هذه المعطيات، طلعلي في المعطيات تاني، ايش بتقول
ليه؟ بتقول لي ال limit لل absolute value للدالة
بده يساوي Zero إذا ال limit لهذه الدالة بده يساوي
Zero مضروب فقداش؟ سالب Zero والله موجه ب Zero مهو
بقاش؟ ب Zeroأقل من أو يساوي ال limit لما ال X بدي
روح ل C لل F of X أقل من أو يساوي هذه معطاب من B0
صار limit الطرف الشمال يساوي limit الطرف اليمنى
يبقى ال limit للدلة اللى فى النصف بدي يساوي نفس
القيمة by sandwich theorem بروح بقوله by sandwich
theorem we have
Limit للـ F of X لما الـ X بده يروح إلى C يساوي
Zero وهو المطلوب بدنا نعطي مثال على ذلك Example
Find Limit لما الـ X بدها تروح لـ Zero للـ X في
الـSin 1 على Xطبعا احنا سابقا اخدنا limit لل X
تربية ال sign واحد على X مظبوط مرة اللي فاتت على
sandwich theorem اخدنا limit X تربية ثمين في sign
واحد على X هذه X وليست X تربية طبعا و هناك فرق
شاسمة بين الاتنين لما كانت X تربية فال X ان كانت
سالبة و الله موجب و رضّعها بصير موجب وبالتالي تبقى
ال inequality كما هيلكن لما تبقى X احتمال X تكون
موجب احتمال تكون سالب ليش لإن X بدها تروح لل zero
يبقى إذا راحت ل zero من جهة اليمين تبقى ال X
بالموجب وإذا راحت ل zero من جهة الشمال تبقى ال X
الزائب السالب يبقى الاحتمال انه وردات لكن لما كانت
X تربية صار الاحتمال واحد فقطسنحل هذه المسألة
أنا المثال هذا بدي ايه على مين؟ على ال remark يعني
بدي يكون فيه عند مين absolute value لمين لف دولار
باجي بس للسؤال التالي انا لو بدي ابدا زي المرة
اللي فاتتي بقى بدي اقول sign واحد على X أكبر من أو
يسوى سالب واحد وموجب واحد لكن لو قلت absolute
value ل sign واحد على X بصير من هو اللي وين؟من
zero لغاية واحد لأن هذا absolute value لا يمكن أن
يطلع لي قيمة سالبة يبقى من zero لغاية واحد ممتازة
الحين لو كنت أضرب في X هذهبصير لو كانت موجبة ال
inequality بتبقى كما هي لو كانت سالبة تنقلب ال
inequality وبالتالي وردنا مظبوط مشان نتخلص من هذه
المشكلة دي براح بدرم في مين في absolute value اكس
absolute value اكس دائما و أبدا تزيد تفوى بالتالي
ماعندي مشكلةتبقى الـ Inquality كما هي، طبعا، يبقى
لو روحت ضربت في absolute value ل X بس يبقى ال mean
is zero أقل من أو يسوى absolute value ل X في ال
sign واحد على X ك absolute value أقل من أو يسوى
absolute value ل Xأو بمعنى آخر هذه بقدر أقول
كالتالي هذه عندك zero أقل من أو يسوى absolute
value ل X في sin 1 على X أقل من أو يسوى absolute
value ل Xأبسلوت في أبسلوت في أبسلوت واحدة لماذا؟
لأنه من خواص ال absolute value أخدنا absolute
value ل a بي ثم absolute value ل a في absolute
value ل b هذه إحدى خواص ال absolute value تمام؟
طيب، استنى شوية، بنروح ناخد limit لهذه ال
inequality يبقى بناء عليه، بيصير عندنا ال limit
لزيرو لما ال X بدها تروح لوين لزيرو أقل من أو يسوي
ال limit لما ال X بدها تروح لزيرو لمين لل absolute
value ل X في sine واحد على X أقل من أو يسوي ال
limit لما ال X بدها تروح لزيرو ل absolute value ل
Xالان نهاية المقدار الثابت بالمقدار الثابت itself
أقل من أو يساوي ال limit لما ال X بده يروح ل 0 لل
absolute value لل X في sin 1 على X أقل من أو يساوي
جداش ال limit لهذه الدالة؟ Zero اللي مايعرفش يتذكر
لرسمة ال absolute valueتحركت لها من جهة اليمين
بلاجيها نزل لزيرو تحركت لها من جهة الشمال بلاجيها
نزل لوين لزيرو اذا هذه ال limit بتساوي مين بالزيرو
اذا بالساندوش ثيرم تبع المرة الماضية limit لهذه
الدالة بقداش بزيرو يبقى بروح بقوله buy sandwich
theorem
الـ Limit لما الـ X بدها تروح للـ Zero لـ Absolute
Value لـ X في الصين واحد على X يساوي Zero حتى الآن
حتى الآن ماوصلناش للمطلوب المطلوب بديه بدون
Absolute Value باجي برجع لل remark ال remark بتقول
إذا ال Limit لل Absolute Value بده يساوي Zero إذا
ال Limit لل function itself بده يعطينا Zero بروح
بقوله By The
above remark ال
limit لما ال x بده تروح لل zero اللي ال x في ال
sign واحد على x بده يساوي ماين بده يساوي zero
حلقله يتساول هناطيب، دير بالك، هذا السؤال ههلهلك
بطريقة أخرى برضه اليوم، تمام؟ بس في ال section
القادم بعد قليل يبقى هذا section اتنين اتنين اليك
exercises اتنين اتنين المسائل التالية، من واحد
لخمسة وستينالـ Odd numbers وكذلك من خمسة و سبعين
لتمانين ومن خمسة و سبعين لغاية تمانين حالي
بدي أسأل؟
قلنا بأن عدوك لك كمان مرة ال X هذا اللي بتضرب فيها
عارفها موجب ولا سالبة؟ لو موجبة ماعنديش مشكلة، بس
لما تكون سالبة لأن X بتروح لزيرو، ما هي بتروح
لزيرو، احتمالا تكون موجبة، احتمالا تكون سالبة، لو
انضربت الفي X السالي بيبقى تنقلب ال inequality هذه
و بدل ما كان تقل منه ايش بيصير اكبر منه وبالتالي
انقلبت ال inequality لنا ال inequality الجديدة
مشان ماجلبش ال inequality بروح بضرب امام في
absolute اتنين انا عندي absolute لو ضربت ال X
التانية مقدرش ادخلها داخل absolute
مافعلش اشي مافعلش كل حاجة بيكون بنقولك لو كانت
سالب اي فرض ماكتبتش لأ بسلوة value او قلت sin واحد
ال X بقدر اقول بين zero و واحد سالب واحد ال واحد
على طول الخط بدك تدرب في X بعرفش بده يصير عندك two
inequalities مش واحدة وبالتاليتورطنا مظبوط لكن بال
absolute ان حلت المشكلة اتنين انا بدي اجيب مباشر
مثال عالميا على ال remark على كيفية استخدام ال
remark تمام طيب ننتقل الان الى section اتنين تلاتة
اللى هو ال section اللى يليه مباشرة
Area section اتنين تلاتة Precise
Definition
definition of a limit in
this section هذا
الsection we does not tell her we does not
how to find a limit of a function but
we verify بدا
نتحقق نتأكد thatthe suspected that the suspected
limit is correct كون صحيحة definition
let
ال Fbe a function defined on
an open interval containing
x0
except possibility
except possibility at x node itself at x node
itself يبقى
limit لل f of x لما ال x بدى تروح لل x node بدى
يساوي ال ال means that تعني ان
يبقى العنوان اللي احنا رافعينه ترجمة العربية له
الصياغة الرياضية الدقيقة للنهاية طبعا احنا المرة
اللي فاتت بجينا نقول limit لل function يعني كل ما
اقتربت X من X node كل ما اقتربت F of X من L وعبرنا
عن هذا رياضيا نقول limit F of X لما ال X بتروح ل X
node بدي ساوي مين؟ بدي ساوي Lهنا بدنا نعطي تعريف
جديد أو صياغة جديدة لهذه ال limit يبقى precise
معناته الدقيق التعريف الدقيق لمين للنهاية بأول
سطرين بقول ليشبقول احنا في هذا ال section بدناش
نحسب نهايات زى ما كنا بنحسب نهايات في ال section
الماضى، ها إيش بدنا نعمل؟ بدنا نتأكد أو نتحقق من
إن النهاية المقترحة هي نهاية صحيحةيعني معناته
هيعطيني دالة ويعطيني limit لهذه الدالة واحنا بدنا
نتأكد ان القيمة اللي اعطاها لهذه مالها قيمة صحية
يبقى اللي بتطلع ورايا يبطلع هنا ويصحصح معاه كويس
لإن هذا ال section السهل الممتنعيعني في حد ذاته
سهل لكن كلكوا هتداجوا منه من أولكوا الى آخركوا
تمام رغم أنه سهل لكن ممكن يبقى فاتح معايا انا همشي
معاك step by step تمام فبيقول ليش in this section
في هذا ال section we does not tell how to find a
limit of a function احنا مش هنقولك كيف توجد
النهاية ل function هشوفنا نعملBut we verify بإن
نتأكد أو نتحقق من إن Suspected limit النهاية
المقترحة Suspected يعني مقترح is correct تكون
نهاية صحية يبقى هذا كل شغلنا في هذا section
بيعطينا limit واني بتتحقق او اتأكد ان هذه ال limit
هي صحيحة للدالة المطار طب ان نشوف ايش ال
definition اللي بدي اعطاه هناجالي الـ definition
لتلف بـ function defined على an open interval
containing x node except possibly مادة ممكن
عند x node itselfأحنا لما ناخدنا ال section الماضي
اتنين اتنين beginning والممكن ان تكون نهاية الدالة
موجودة و الدالة غير معرفة عند هذه النقطة مظبوط
يعني الدالة معرفة ولا غير معرفة ماتفرجش عندي
بالنسبة لإيجادفقال هنا الهيفوفيكش معرفة على كل ال
open interval المجتملة على النقطة x0 معادة عند x0
itself بدا تبقى معرفة وممكن تكون غير معرفة except
معادة possibly ممكن يعني ممكن عند ال x0 تكون
الدالة معرفة وممكن ما تكونش معرفة مش هتفرج معايا
بالنسبة لمين لإيجاد ال limitبيقول لي limit f of x
لما الـ x بتروح الـ x و انت تساوي الـ means that
ماذا تعني يبقى هذا التعريف الجديد بتقول لي for
every for every epsilon greater than zero there
exists delta greater than zero such that بحيث ان
أقل من X ناقص X node أقل من Delta then absolute
value لل F of X ناقص ال L أقل من ال Epsilon مرة
تانيةLimit f of x لما الـ x تروح إلى الـ x نهضي
الساوية الـ L means that تعني ما يأتي for every
epsilon greater than zero يعني إذا أعطينا epsilon
greater than يعني real عدد real كثري موجب ماعندي
مشكلة تمام يبقى أنا كل اللي بديه يكون عدد موجب
تمام معله أكبر من ال zero هاي الموجبإذا أخدنا عدد
أ موجب أكبر من الـ zero there exists يوجد الـ E
بالإنجليزي بس مغلوبة يعني أن هناك موجب فرياضيتنا
هناك موجب دلتة أكبر من الـ zero بلاقي قيمة لدلتة
مالها تبقى موجبة دائم هنا بحيث أنالـ zero أقل من
ال X نقص ال X node أقل من دلتا يبقى خاتة ال
absolute value لل X نقص X node بدلجيها دائما و
أبدا موجبة لإن absolute و في نفس الوقت أقل من
delta إن حدث ذلكيبقى يجب أن يكون الفرق ما من ال F
of X وL ال absolute value أقل من إبسلون يبقى هذا
التعريف هو التعريف عندنا لجديد هنا فاهمين؟ طبعا لأ
كله طلاسم تمام؟ الآن بدنا نفك هذه الطلاسم و نبيّلك
أن هذه الطلاسم هي التعريف اللي انت أخدته هذا قبل
ذلك بال doubleتمام بس قبل ما فهمك هذا الكلام ايه
خاطر افك الinquality هذي وفك الinquality هذي اشوف
بده توصلني لوين فلو جيت فكت الinquality هذي هذي
معناها انه x ناقص ال x node اقل من delta و اكبر من
سالب delta مش هي خاصة ال absolute value خاصة ان ال
delta معجبةضيف لـ X node للطرفين أو للثلاثة أطراف
بيصير X node ناقص Delta أقل من X أقل من X node
زائد Delta يعني الـ X هذي ك variable بدي يتحرك
خلال هذه الفترة إن حدث ذلك يبقى هذا بده يعطيك ان
ال F of X ناقص ال Lأقل من إبسلون وأكبر من مين؟ من
سالب إبسلون طب إيه نهاية دالة يعني رقم real؟ بضيف
للثلاثة L إذا لو ضفت للثلاثة أطراف L بصير ال L
ناقص إبسلون أقل من F of Xأقل من ال L زائد Epsilon
طيب مشان نفهم هذا التعريف فهما دقيقا تعالى نرسم
رسمة و نشوف كيف بنحاول نفهم منها هذا التعريف افترض
هذا محور X وهذا محور Y وهذه نقطة الأصلروحنا رسمنا
منحنى دالة فكان منحنى الدالة على سبيل المثال بهذا
الشكل افترض هذا المنحنى هو Y تساوي F of Xأخذت
النقطة الى الـ main نقطة والتكن هذه النقطة هي مثلا
عندنا هنا ال X node تمام عند ال X node ممكن الدالة
تبقى معرفة وممكن الدالة ما تكونش معرفة لكن نهاية
الدالة هنا مالها exist والتكن ال تمام
نجي للتعريف ايش بيقولي بيقول التعريف given epsilon
greater than zero او اذا اعطيت epsilon greater
than zero يبقى انا بدي اروح اخد مسافة على محور Y
موجبة واسميها ايش epsilon يبقى انا لو جيت هنا هنا
هنا وقلتهذه المسافة كلها من هنا لهنا ابسلون تمام؟
هو ايه من حنا الدالة ماشي هيك كويس؟ يبقى بتبقى
النقطة اللي فوق هذه جداش الإحداث تبعها L زائد
ابسلون يبقى هذا L زائد ابسلون طيب لو أخدت النقطة
هذه تحت هنايبقى هذه كمان قداش إبسلون يبقى هذا بصير
ال L ناقص إبسلون اللي احنا جالين عليها يعني F of X
لاخد لازم تاخد قيمة محصورة ما بين ما بين القيمتين
طيب بداجي أمشي أفق هنا هيك لغاية ما جابنا النقطة
هذه تمام؟ و أجي نازل رأسيالشكل اللي عندنا هذا و من
هنا بداجي ماشي أفق هيك لعيط ما جابل النقطة هذه و
أنزل هيك رأسي بالشكل اللي عندنا هذا تمام طيب
المسافة هذه لو كانت جد المسافة هذه بالضرر يبقى هذه
delta وهذه main delta إذا إحداث النقطة هذا جداش
بدي يكونهذه كلها x node وهذه دلتا يبقى x node ناقص
دلتا هذه قداش بتكون x node زائد دلتا اللي بنقول x
بتتحرك داخل من؟ داخل الفترة اللي عندنا هذهإذاً X
ستتحرك داخل الفترة من عند النقطة هذه لعند وين لعند
النقطة اللي عندنا هذه إذاً خلّينا ناخد X وينما
تيجي تيجي و التقن على سبيل المثال X عند النقطة هذه
بأختيمن X node نقص دلتا إلى X node زائد دلتا و
جاءت طالع بالسلامة لغاية ما قبلت المنحنة يبقى هذه
النقطة ايش بصير احداثية X و F of X وين ال F of X
يبقى لو جيت ماشي أفق هنا فهي F of Xهذه هي نظرية
القيمة المتوسطة وهي
نظرية القيمة البينية
أحنا الآن قلنا هذه L عند النقطة هذه لي جبال ال X
node قد تكون معرفة و قد تكون غير معرفة قلنا هذه
الأسوأ إنها ماهياش معرفةفروحت قليل ثقوب موجود على
منحنى Della Y تساوي F of X وهي ال L اللي جباله أجد
تعرفيش بقولي إذا أخدت إبسلون greater than zero
لازم تلاقي Delta greater than zero روحت أخدت
إبسلون اللي فوق أمشي طلعت عندمين Delta اللي هي
تحتهالو أخدت إبسلون تحتك تقلع دلتا ليه اللي تحتك؟
يبقى أي قيمة بتاخدها لإبسلون بتجابلها مين قيمة
لدلتا يبقى إبسلون موقع لإنهم يعطيك رقم انت بدك
تروح تجيب مين؟ دلتا يبقى دلتا بتعتمد على مين؟ على
إبسلونأنا عندي في القاع مثلا سبعين طالب كل واحد
أخد إبسلون شكل يبقى كل واحد بتطلع معاه دلتا شكل
مختلفة عن التانية وكله صح كل دلتا بتطلع معاك
بتعتمد على إبسلون اللي أخدته هذا
هنا هنا هنا هنا هنا هنا هنا هنا هنا هنا هنا هنا
هنا هنا هنا هنا
الحمرة صحيح ولا لأ المسافة بين X و X node مش أقل
من Delta ولا لأ طب ليش ال absolute value لأن X
ممكن تكون على الشجة التانية فإن كانت X node على
الشجة التانية بصير X node أكبر من مين من X و بكالة
بتطلع قيمة سالبة لما ناخد ال absolute value بطلت
أصير سالبة بصير مين بصير موجة إذا لما أخدت ال
absolute value لو وقعت بعد ال X nodeوالله قبل ال X
node فقضيتها محلولة ماعنديش مشاكل يبقى فهمنا ليش
ال absolute value طيب ممتاز جدا يبقى صار ال X
ستتحرك في الفترة اللي عندنا هذه قد تكون ال X نقص X
node موجبة وقد تكون ال X نقص ال X node مالها سالفة
طيب نيجي الآن جبال ال X اطلع اطلع لجيهة ال F of X
النقطة اللي عندنا هذهوالـ L هي يبقى هذا الفرق ما
بين F of X و L F of X ناقص الـ L تمام؟ أخدتله من
ال absolute value لإن احتمال كمان يكون موجب
واحتمال سالب أنا عندي على الرسم L أكبر من مين؟ من
ال F of X لذا اللي بقول F of X ناقص اللي اللي
بتطلع سالب هو الله موجبيبقى انا باخد absolute
value ضمنت انها موجبة تمام ولا بقى اتنين المسافة
هي في x نقص ال L وهي ال epsilon هذه من الاكبر
epsilon ولا المسافة هذه المسافة هذه اقل من ال
epsilon صحيح ولا ال epsilon من هنا لهنا هيأو من
هنا لهنا لكن المسافة بين F of X و L للمسافة هذه
واضح أنها أقل من مين؟ أقل من الـ Epsilon يبقى ..
بس ورا شوية يبقى الطلاسم هذه ان فكت ولا لافكرت بس
لسه لأ فكرناها لأ بس لسه ما جيبناش علاقة هذه بمين
بموضوع ال limit صحيح ولا لأ؟ ايوة تعالى نحط هذه
الطلاسم بمفهوم ال limit اللي عندنا المرة اللي
فاتوا احنا بنشرح في ال limit بقولنا ايش؟ بقولنا if
ال X approaches X node اذا اقتربت X من X node then
if of X approachesكل ما اقتربت X من X node كل ما
اقتربت F of X من L و بنروح انعبر عن هذا رياضيا ب
limit F of X لما ال X بتروح ال X node بده يساوي L
مش شئ قلنا طيب تعالى نشوف الكلام اللي قلته لك هو
اللي على اللوح والله غيره تعالى نشوفطبعا ان كل ما
اقتربت X من X node يجب ان نشوف ال F of X بتجرب من
L ولا لا يبقى لو جبت X node حط X هنا يبقى جربت
امشي جربت على L صحيح ولا لا؟إذا كلما اقتربت X من X
node كلما اقتربت F of X من من من ال L يبقى limit
ال F of X لما ال X بتروح ال X node بدأت ساوي ال L
صحيح ولا لا يبقى هذا المعنى اللي احنا بنقوله يبقى
الكلام العتيجي تبع ال section اللي فات هو الكلام
الجديد اللي اليوم بس المرة دي حاطينها على شكل رموز
Epsilon وDeltaماشي يا سيدي طب بدي أقول هذا الكلام
للمرة الأخيرة تمام؟ الان احنا كاتبين فرق عنوان
دقيق لمفهوم النهاية المرة اللي فاتت قولنا عنوان
عام و بقينا نصيغوا كلام if x approaches to x0 then
f of x approaches to L وبالتالي limit of f of x
لما ال X بتروح لل X0 بده يساوي Lهذا ما كنا نقوله
في السيقشن الماضي الان نقوله نفسه بس بطريقة جديدة
فبقول التعريف ما يتيلت ال f of x بيبقى function
معرفة على open interval و ال open interval تحتوي
على ال x node و عند ال x node الدلة ممكن تكون
معرفة و ممكن ماتكونش معرفة بيهمنيش لأن انا بدي
limit بديش قيمة دلةبقول الان عند ال limit ال f of
x لما ال x تروح لل x non بدي يسوى ال تعني انه يعني
انا بدي اجيب تعريف الها بطريقة جديدة given epsilon
greater than zero اذا اعطيت ابسلون greater than
zero there exists delta greater than zero او delta
greater than
بالنسبة للـ x ناقص x0 هو أكبر من 0 لأنه absolute
وفي نفس الوقت أقل من مين دلتا إن حدث ذلك يجب أن
يكون الفرق ما بين f of x وL
هذا الكلام يجب أن نفهمه من خلال الرسم فبقول كل ما
اقتربت ال X من X node كل ما اقتربت ال F of X من
Delta إذا لما نكون قريبين جدا على X nodeبصير ال f
of x قريبة جدا علميا ال يبقى limit ال f of x لما
ال x بتروح ال x node بدي ساول ال واضح تمام طيب
يبقى اذا انت فهمت خمسين في المية معناته انت very
good مش very good excellentطب و الخمسين التانية
بدنا نجيبهم من وين؟ بدنا نجيبهم من الأمثلة و أحل
المسائل يبقى انتهى الجزء النظري تبع ال section هذي
ضايل جزئية بسيطة سنتعرض لها خلال محاضرة اليوم ان
شاء الله وين هو الإثبات؟ تبع ال remark هو إثبات
خطوة واحدة و التانية ياخد limit خلصناأه قد يكون
ليش لأ مش .. كل حاجة بأثبتها لك بيصير مطلوب، ما
أثبتتها ايش لك؟ خلص المسامة عينك فيهاماشي يا سيدي،
لكن لا يعني مطلوب أنها بتتيجي في الامتحان، أنا
بديك تفهم شغلات أو تعرف شغلات ماكنتش بتعرفها
سابقا، هي اللي بهمنا، يعني هالمختبع كده بدنا ننفضه
و نواصلك شوية، انك كل يوم بتاخد معلومات جديدة ربما
لم تتعرف عليها في الثانوية العامة أو سليقت سلقا في
الثانوية العامة، احنا اليومنطبخ مخكك على نار هادية
وليس سلقان، تمام؟ ليش؟ لأن انت بعد أربع سنين ربما
تقف مكاني في هذا المكان و تشرح نفس الكلام للطلاب
وارد جدا انك تصير معيد، طبعا جيبت الأول عدو فقط
اتت، بصير معيد في الكليةوبالتالي بصورة تشرح هذا
الكلام للطلاب في ال discussion مش بتروح ال
discussion ولا لا وبالتالي إذا أنت مش فاهم اليوم
هل بتقدر تفهم بكرا؟ ليس ممكن لأن القاعدة معروفة
فاقد الشيء لا يعطيه اللي ماعدش أبضعة من ون يجيب
أبضعة يصرمعندوش أصلا طيب نبدأ ناخد بعض أمثلة على
هذا وسنبدأ بالتسلسل بأبسط أنواع الأمثلة ثم لا تقل
شوية ثم لا تقل شوية لغاية ما تستوعب الموضوع بدنا
نيجي لأول مثال بيقول ما يأتي يبقى example one show
that showذات limit لما ال X بدها تروح للإتنين لدلة
خمسة X ناقص أربع يساوي مين؟ يساوي ستة
بقى احنا مقترحين انه limit لهذه الدالة بده يساوي
ستة بدنا نتأكد هذا اقتراحنا صح ولا لأ لإنه قلنا
هنا إيش but we verify that the suspected limit is
correct يعني احنا بنتأكد انه limit المقترح هذه
صحيحة ولا لأطبعا لو جاءك كده السؤال في الامتحان
بتقول والله بسيط ديدا بنعوض لإنها linear 2x5 هو 10
-7 يساوي 6 في خاطرك مع السلامة لا انا بروح بصيلك
السؤال صياغة أخرى بروح بقولك use epsilon delta
definition to show that بيبقى مش فيها كلام بتعمل
زي ذاك بتاخد zeroيبقى ضروري تتقيد بما هو مطلوب،
ماشي يا سيدي؟ طيب، الآن بدنا مشان تحل السؤال أو
مشان تحفظ ال definition اللي هذا حاول تكتبه فيه
مقدمة كل سؤال وبالتالي بترسخ اللي هو معناه التعريف
في دماغها، فبقى اللي نقوله solution تعريف
إبسلون greater than zero يبقى إذا وضعت إبسلون
greater than zero there exists Delta greater than
zero such that الـ zero أقل من ال X ناقص ال X node
أقل من Delta implies هذا يطلب أن ال absolute value
لل F of X ناقص ال L أقل من إبسلونالان بدنا نبدأ
نطبق تعريف عمليا بقول له zero اقل من ال X ناقص
يبقى
بشيلها و بحط مكانها اتنين اقل من دلتة مجهولةيبقى
إبسل المواطع دلتا مجهولة هذا يتطلب f of x اللي هي
خمسة x ناقص الأربعة ناقص ال L اللي هي قداش ستة أقل
من مين؟ أقل من الإبسل بعد ذلك سيبلي هذه كما هيو
بروح نشتغل في مين؟ في الانقلة اللي عندنا هنا فباجي
بقول له هذه بدها تعطيك absolute value لخمسة X ناقص
أربعة و ناقص ستة و ناقص عشرة تمام؟ اللي هي بدها
تساوي absolute value لخمسة في X ناقص اتنيناللي هي
بدأ تساوي خمسة في absolute value لل X ناقص اتنين
وكل هذا الكلام اقل من main اقل من epsilon لحد هنا
في مشكلة ماعنديش مشكلة كله مباشرة طيب بنحب نحيط
اكالم ان هذا المثال هو ابسط انواع الأمثلة على
الموضوع ماشي طيب الان
ممكن نقسم الطرفين على خمسة إذا لو جسمنا الطرفين
على خمسة إيش بيصير عندنا absolute value لل X ناقص
اتنين أقل من epsilon على خمسة اتطلعلي في النتيجة
التي توصلنا إليها هذه و اتطلعلي في النتيجة الطرف
الشمال مش هو الطرف الشمال اللي هناطرف الشمال هنا
مشهور طرف الشمال هنا يعني شغلتنا بدنا نروح نمسك
الطرف هذا اللي في اليمين و نقعد نفكفك فيه لغاية ما
وصل لشكل مين شكل الطرف الشمالأول ما بدأت معاك
الكلام اليوم قلت لك given epsilon greater than
zero there exists delta greater than zero يبقى حسب
epsilon اللي بتاخدها بيطلع مين دلتا يعني دلتا
تعتمد على مين تعتمد على epsilon من هذه بقدر أقوله
إذا سا دلتا يساوي epsilon على خمسةالطرف اليمين هو
الطرف اليمين لأن هذا بالضبط تماما يبقى دلتا ممكن
اخدها ابسلون على خمسة يبقى طالع الدلتا تعتمد علي
مينتعتمد على قيمته بس هو لذلك السبعين طالب اللي
جاعدين قدامي لو كل واحد فيهم أخد epsilon تختلف عن
التانية هيطلع عندي سبعين delta بتختلف عن التانية
يعني ايش؟ يعني لما ال X بده تروح لل X node واحد
يدخل المسافة بينه وبينها أربعة صنطين واحد يدخل
المسافة بينه وبينها تلاتة ونص واحد يدخل المسافة
بينه وبينها اتنين صنطينواحد يخلي مسافة منه بينها
واحد و تلت اربعة صنطي واحد يخليها صنطي واحد واحد
يخليها نص صنطي واحد يخليها واحد من عشرة صنطي يعني
ميلي واحد وهكذا يعني جداش بتاخد ابسنن جداش بتطلع
اللي هو جداش بتاخد ابسنن جداش بتطلع عندك مين دلتا
وهكذا تمام وابعت الصورة طيبوانتوا في الصف السابع
والثامن بجيتوا لما تحلوا معادلة و تتأكد حالك صح
ولا غلط ممكن تروحوا تقولوا التحقيق مش هيك وممكن
تروحوا تتحقق هل الإجابة تبقى تأكد صح ولا لا احنا
بدنا نجري تحقيق الان واسع النطاق مع مين مع النتيجة
اللى توصلنا لها احنا لحد هنا انتهينا لكن احنا الان
بدنا نعمل تحقيق نتأكد منه هل النتيجةالتي توصلنا
إليها صحيحة أم النتيجة التي توصلنا إليها غير
صحيحة؟ هذه مجرد تأكيد ليس إذا يبقى بحط له عنوان
صغير و بقوله showing that delta worksيعني بدي
ابيله ان دلتا اللى حصلنا عليها ايبسلون على خمسة
تؤدي لغرض قل مطلوب بقوله تمام اذا انا باجي zero
اقل absolute value لل X ناقص كم كان ناقص اقل من
دلتا كم دلتا اخدتها ايبسلون على خمسةF of X هو 5X
ناقص 4 ناقص 6 فهذا
المقدر يجب أن يكون أقل من Epsilonبقول كويس هذا بده
يساوي خمسة X ناقص عشرة هذا بده يساوي خمسة X ناقص
اتنين هذا بده يساوي خمسة absolute value ل X ناقص
اتنينهذه أقل من إبسلون على خمسة إذا هذا أقل من هذه
الخمسة اللي برا وهذه إبسلون على خمسة هذه اللي هي
قدش تساوي إبسلونيبقى فعلا الفرق ما بين الاتنين
هدول سواء الخمسة x ناقص الأربعة ناقص الستة أقل من
مين من إبسلن يعني لما ناخد delta بإبسلن على خمسة
النتيجة فعلا بصير الفرق بين الفوفكس وإيه الماله
أقل من إبسلنيبقى هى تحققنا من ان الكلام اللى
عملناه صحيح يبقى بقوله تأكدنا thus limit لخمسة X
ناقص أربعة لما ال X بدى يروح لاتنين بدى يساوي ستة
بدى اسألكوا السؤال التالىهل احنا بشغل هذا حسبنا
limit لدى الله؟ لأ احنا بس تأكدنا ان ال limit صحيح
اللي ليس الا، اذا في هذا ال section كتبتلك اول
سطرين احنا هنا بنحسبش limit في هذا ال section بل
بنتأكد هل ال limit اللي عملناها او المعطاها هل هي
صحيحة او لا، ايش بدك تسأل؟
انت لسه في اول الطريق يا راجل اصبر اصبر شوية كل ما
انت اجلك شوية صبرك بالله شوية احنا بنقولك ياه بدي
يعطيك سفره بدي يعطيك نهاية سوى قيمة محددة هي الصفر
على صفر قيمة محددة
هذا إذا استخدمت طرق مختلفة، صحيح الحساب، بعدين
انطلق Zero ع Zero، لكن من البداية بيقولك limit
كذا، بيقولك سوى كذا، مايقولش مش صحيح، لأ، تجب صحيح
كذا، مش صحيح،
يراد اللي بيعطيك ده، اللي بيقولك بيل، ان limit
لهذه، ده لا يسوى كذا، تمام؟ كانت صفر على صفر كانت،
مش عارف إيه، بدك تثبت هال انت، تمام؟طيب نعطيك مثال
آخر أتقل شوية، بدي أعتبر أنه حتى لأن من هذه
المثالة مافهمتش ولا كلمة، كويس؟ و بدي أتقلك شوية و
شوية، تفهم ولا لا؟ قول من
وين جبتها؟ ليه و إيه؟ شايف هذه ولا لا؟ و أعطيك
سبعة الله تضرب في خمس ولا لا؟ تضرب في خمس يلا، وهو
المطلوب، هذا هو سؤالكلأ ما قلت أقل منها، هذه أقل،
يبقى هذه أقل، تمام؟ صار الطرف الشمال هو الطرف
الشمال، إذا الطرف الليمين هو الطرف اليمين، مظبوط؟
خطوات تعملها لتتأكد
أن كلامك صحيح
Use Epsilon Delta Definition To Show That Limit
لما
ال X بدأ تروح لل سبعة للجذري الترابيعي لل X ناقص
تلاتة يساوي اتنين
خلّي بالا كدا السؤال اللي واجهتك اللي مضحك عنه
ممكن يكون بهذه الصيغة use epsilon delta definition
to show data ويعطيك مثل ايش ما يكون شكلها يكون
بهمنشطيب بدنا نبدأ بنفس مباديرنا في المثال السابق
يبقى بالدرجة اقوله given epsilon greater than zero
there exists delta greater than zero such that
بحيث ان f0 اقل من ال X نقص ال X node اقل من دلتا
implies ان ال F of Xنقص ال L أقل من مين من إبسلون
طب نجي نعوض هنا يبقى Zero أقل من ال X نقص ال X
node ال X node عندي هنا كده؟ سبعة تمامأقل من دلتا
مش عارفها بدي اياها هذا بدي يتطلب absolute value
لل F of X اللي هو الجدرى التربية لل X ناقص ثلاثة
ناقص الولي اتنين أقل من مين أقل من إبسلونهذا
السؤال ليس مثل السؤال السابق خد عمل مشاركة روح
يطلع معاك دغري يبقى بده اروح افكر انا بده هنا اخلق
في هذا الطرف لماين ال X ناقص سبعة بده هنا يكون X
ناقص سبعة يبقى اول ما بيجي في لماين اضرب في
المرافق تمام يبقى باجي بقوله هذا بده يعطينا
absolute value
ما له هذا هذا اقل من ابسلان اذا ايش اللي صار عندنا
أقل من X نقص سبعة أقل من Delta implies
فرق بين المربعين إذا بالدرجة لأصله مربع الأولى
ناقص مربع الثانية إذا المربع الأولى هو عبارة عن X
ناقص تلاتة المربع الثاني اللي هو ناقص أربعة تمام
على المقام اللي هو absolute value للجذر التربيه ل
X ناقص تلاتة زائد اتنين أقل من مين أقل من إبسلون
إذا مشكلتي anyway مافيش اللي فوق سألة هادى اللى
عبارة عن مين absolute value لل X ناقص سبعة في مين
في واحد على ال absolute valueالـ X لاقص 3 زائد 2
أقل من الـ Y يبقى أنا لو تخلصت من هذا المقدار
بتبقى قصتي محلولة أو لو استبدلت هذا المقدار برقمطب
خلصت، مظبوط؟ إذا هذا السؤال مش زي السؤال اللي
قبله، اضطريت للضرب في المرافق و الضرب من المرافق
طلع لي term جديد، بدي أحاول أتخلص من ال term
الجديد شوفوا كيف بدي أتخلص من ال term الجديد برقم،
بقى دي بقوله كويس، هي المسألة، بدي أتعرف على
domain ده اللي هدي من وين له وينبقى باجي بقوله ان
انا بدي اجيب له domain دالة F كل العناصر X بحيث ان
الـ X ناقص تلاتة بديها أكبر من أو تساوي زيرو حتى
يكون الجذر هذا معرف صحيح ولا لأ يعني هذا كل
العناصر X بحيث أن الـ X greater than or equal من
تلاتة يعني الفترة من عند التلاتة لغاية ال infinity
أمتاز جدا طب فاتحلي عينك كويس أنا عندها هذا ال
real lineو ال domain تبع الدلة بيبدأ من عند
التلاتة و يجي رايح على ما لا نهاية قبل التلاتة
ماعنديش function انا عند ال X بتروح لوين ل 7 اذا
لو جيت على الرسم هنا و قلت هذه النقطة اللي هي
السبعة السؤال هو قداش أقصى قيمة ل Delta
أربعة صحيح و لا لأ لأ بدي أقول قبل التلاتة هذي
ممنوع ممنوع أتحرك و أنا ال X بتروح على سبعة يعني
ممكن أروح من اليمين و ممكن أروح للشمال يبقى أقصى
قيمة ممكن تكون قداش X بدها تروح لسبعة ممكن Delta
تكون أربعة حوالين مين؟هو ممكن ناخد أربعة لليمين و
أربعة للشمال
يبقى هنا sense بما أن ال X بدأ تروح للسبعة
بدي يصير عندنا مين؟ ان دلتا تساوي سبعة ناقص ثلاثة
يساوي قداش أربع طيب شوف لك هذه المعلومة أيش
الفايدة منها أيش الفايدة من دلتا بدها تروح لأربع
يبقى انا عند مين؟ عند ال X ناقص سبعة أقل من دلتا
اذا بدي يصير عند ال X ناقص السبعة أقل من مين؟ أقل
من أربعأو بمعنى آخر هذا معناته ان ال X ناقص السبعة
أقل من أربعة و أكبر من مين؟ من سالب أربعة اضيفلي
السبعة للثلاثة أطراف يبقى لو أضفنا السبعة للثلاثة
أطراف بيصير هنا قداش تلاتة أقل من X أقل من سبعة و
أربعة قداش الواحداشطيب X إذا ستتحرك من و لا وين؟
من تلاتة لأحداش لكن احنا بدنا مين؟ بدنا X ناقص
تلاتة إذا من هنا بده يخلق X ناقص تلاتة يبقى هذا
بده يعطيلك إن Zero أقل من X ناقص تلاتة أقل من
تمانية
أضفنا سالب تلاتة للتلاتة الأطراف يبقى هاي جبت من
ال X ناقصة ايش بلزمني كمان الجذر خد الجذر التربية
للطرفين يبقى بصير الجذر ال zero بال zero أقل من
الجذر التربية إلى X ناقص تلاتة أقل من الجذر
التربية إلى تمانيةطيب انا ال X ناقص ثلاثة بدى
اضافيلها كمان قداش اذا بدى اروح اضيف للثلاثة اطراف
اتنين بصير عند هنا اتنين اقل من الجدر التربيع لل X
ناقص ثلاثة زائد اتنين اقل من اتنين زائد جدر
التمانيةطيب ممتاز انا مابديش هدف ال bus مابدياه
وين؟ في المقام طيب لو أخدت absolute و absolute و
absolute بتتغير؟هذه موجبة وهذه موجبة يبقى ال
absolute لها لن يتغير وبدي أنزلها في المقام بيصير
عند النص الأقل من بيصير أكبر من وهذه واحد على
absolute value لل X ناقص ثلاثة زائد اتنين وهذه
أكبر من واحد على اتنين زائد جذر تمانيةطيب استنى
شوية هى واحد على المقام اه الصحيحية ايش بديه اقل
ولا اكبر؟بدي أقل يعني هنا إذا ما بديش إياها أكبر
بدي إياها من أقل يبقى بصير هذا الكلام كله أقل من
جداش من نص حلته المشكلة يبقى المشكلة العويصة اللي
عندك حلتها very easy بسهولة يبقى بنان عليه بدي
أجيب رقم بدل هذهبدي هذه تجيبلي أصغر من الرقم، أقل
من الرقم، كلها اللي انت شايفه هذه طب ايش سويتك؟
تعرفش تجيب الدمان الدلس تاني؟ شو اسمك انت؟ شو اسمك
انت؟ محمل ايش؟ أبو دجا ولا أبو دان؟ أبو دجا من
بنسيلة عبسان، عبسان الكبيري مش عبسان الصغيري كمان
طيب خلي بركوا هناشيخ محمد أبو دجا بناخدها as an
example يا محمد يا أبو دجا والكلام للسماية ال
definition هذا فيه مشكلة ممتاز يبقى ال domain من
تلاتة لإنفينيتيطيب ال X بتروح لوين؟ لل سبعة وين
السبعة بتيجي بعد التلاتة يبقى Delta لا يمكن أن
تكون أكتر من المسافة هذه يبقى بدي أخد Delta بأربعة
لما أخد Delta بأربعة بصير هذه أقل من Delta أقل من
أربعة هذه فيديو تحلت طال ال X ما بين تلاتة و
أحداشرطب انا بدي من؟ بدي x ناقص تلاتة بطرح من
الطرفين تلاتة هيترح لمنها تلاتة تمام؟ بدي جدر باخد
الجدر للطرفين بدي للجدر يكون مضاف لاتنين روحنا
أضافنا اتنين للكل بدي شي أكل في ال bus بدي أكل في
المقام قلب ساعة
بهذه؟كلام بسيط، هذا trivial بسيط و غلط، أيوة كيف؟
يا راجل ما أنت شايف هل الدالة معرفة قبل التلاتة؟
يعني ال domain من تلاتة و طلعة و ال limit محسوب
اوين؟ يعني X0 هذه اللي هي عبارة عن main X0 يبقى
حوالين X0، إذا بتقدر أزيد عن التلاتة يبقى أقصى
قيمة لDelta بقدر أخدها اللي من تلاتة لسبعةمصبوط
ولا لا؟ انا قلت ثلاثة سبعة ثانية أربعة ثم حطيناها
أربعة وطلعت X من و لا و لا اضفت لها سالب ثلاثة
واخدت الجدرب بعدين اضفت لها اتنين ووصلنا للنتيجة
اللي لنا يبقى هذه لو انا اقراها واحد على المقدار
أقل من مين من نصف اذا بدي ارجع لمسألة الأساسية
يبقى لما ارجع لمسألة الأساسية اللي فوق high zero
أقل من ال X ناقص سبعة أقل من Delta implies اللي
توصلنا له احنا X ناقص سبعة في واحد على absolute
value للجدر التربية لل X ناقص ثلاثة زائد اتنين
تمام هذا ايش بدي يكون أقل من اللي هو absolute
value لل X ناقص سبعة في نصفهذا اتخلصت منه و حطيت
اقل من نص لان هى اقل من نص وهذا كله اقل من مين؟ من
ابسلون اللى هي الأساسية لعن نهاية
أضرب كله في اتنين لو ضربت كله في اتنين ايش بيصير
عندنا بيصير absolute value لل X نقص سبعة اقل من
مين اقل من اتنين ابسلون طلعلي في هادي وطلعلي في
هادي ووصلنا يبقى دلتة ويبقى داشر اتنين ابسلون يبقى
دلتة هنا يساوي اتنين ابسلونيبقى دلتا اللى بدنا ياه
اعتمد على مين بقى اللى التحقيق بكون خلصنا حقك من
اللى موصلناك ايوة مالذي قبل مالذي قبل مالذي قبل
مالذي قبل مالذي قبل مالذي قبل مالذي قبل مالذي قبل
مالذي قأنا جابت ال domain عشان أعرف قداش أكبر قيمة
لديلتا بدأ أخدها بنفع أي
رقم من تلاتة لسبعة أنا أخدت أكبر واحد من تلاتة
لأربعة من نقص من عند ال zero لغاية الأربعة من
تلاتة لسبعة لهو أربعة أي رقم بدك تاخده من ال zero
لأربعة ماعنديش مشكلةخلاص؟ طيب بدنا نتحقق من صحة
هذا الكلام قلي
منك معاكالان احنا عندنا zero اقل من x نقص سبعة اقل
من دلتا كده ايش دلتا قولنا اتنين ابسل تمام هذا
يتطلب absolute valueالدرجة الديش كانت اللي هو
الجدر التربيعي لل X ناقص ثلاثة زائد اتنين امشي
امشي لما نمشينا وقولنا وصلناها لل X ناقص السبعة في
واحد على الجدر التربيعي لل X ناقص ثلاثة زائد اتنين
absolute value مش هيك وصلناها هاي هاي عندك مديش
اعيد الدرب من جديد تمام؟ بعد الجدر التناقص؟بعد
ايش؟
يا راجل هيها، زائب في المقام، ما له؟ هيها، جدها
مكفوك، هيها، شافها؟ انا كتبت هذه الحيلة، يعني
مابديش لسه انا اضرب من أول و جديد، اعيد نفس الكرة
لأ انا مسكت هي من البداية امشي وصلها لغاية هنا
تمام؟ الحين هذه اقل من مين؟ اقل من ال X نقص سبعة
في نص تمام؟ طيب هذه اقل من ال X دلتة عند مقداش
يعني هذه اقل من دلتة في نصدلتا عندى بقداش؟ اتنان
ابسلون يبقى هذه بده تساوي اتنين ابسلون في نص يعني
قداش ابسلون يبقى هى بتحقق تحقق تمام يبقى بقى دى
بقوله سا limit لما ال X بده تروح للسبعة للجدرى
التربية لل X ناقص تلاتة يساوي اتنين تمام؟طيب الله
يعطيك العافية حد بده يسأل تاني هنا؟ أيوة اللي هو
مين؟ تعال هنا على اللوح يالا إلحق يالا بدنا نشوف
إيش بده يسأل وماذا ستكون الإجابة بس تعال اطلع هنا
يا راجل خلي الشباب يستفيدوا من هناك من هناك أيوة
طيب لحد هنا تمام هذه؟نجينا لرأس المسألة و نزلناهذه
الطرف الشمال زي ما هو الطرف هذا هيو كان نزلته زي
ما هو غيرتش شيء هذا أقل من المقدار هذا في نص هيو
أقل من نص شيلت هذا و حطيت بدل نصه اللي هي الأقل
منه مظبوط؟ طيب هذا الأن أقل من إبسل نزلت الإبسل زي
ما هو أضرب الطرفين في اتنين صارت هذا
خلاص؟ حد بدى يسأل تانى؟ طب المثال اللى بعده
مثال 3 استخدم ابسلون دلتا ديفينيشن لتوضيح ذلك قيمة
لما الاكس بده تروح لتلاتة للاكس تكيب يسبق 27
لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ
لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ
لأ
والحين بدنا نعيد نفس التكتيك اللي قلناها في
المثالين بدنا نعيده في المثال التالت كمان نفس
المفهوم يعني لو حتى مافهمتش ولا كلمة من المثالين
السواد بدنا نعيده نفس الكلام في المثال التالت
وبالتالي بس كل واحد في فكرة بسيطة بتختلف عن مين عن
اي ثانية لكن نفس التكتيكطيب نجي الآن للسؤال بيقول
استخدم لبس من دلتا definition to show that limit
الاكس تكيب لما عليك تروح لتلاتة بدسة ومين سبعة
وعشرين بدنا نحط التعريف يبقى باجي بقوله given
أبسلون أكتر من زيرو هناك دلتا أكتر من زيرو بحيث أن
الزيرو أقل من ال X ناقص ال X node أقل من دلتا يعني
أن ال F of X ناقص ال L أقل من مين؟ أقل من الأبسلون
بنعيش نعوض تحويل مباشر يبقى zero أقل من ال X ال X
node بقدراش تلاتة أقل من Delta M plus F of X ال X
تكيب نقص ال L التي هي 27 أقل من Epsilon هل اختلفت
البداية عن البداية السابقة للمثال ولا حاجة طيب
هذه ماليش علاقة فيها بخليها و بره عشان و الفين في
التانية بطل على هذه شو شكل هذه خرق بين المجتعبين
طب هنا عندي x ناقص ثلاثة إذا بدي أخليك هنا جديد x
ناقص ثلاثة إذا هذه x ناقص ثلاثة هي ال absolute
value x تربيع زي التلاتة x زي التسعةمش 6x مش ضعف
حصل ضرب الكيمية مش مربعها ده جوس الكل تربيها ده
فرق بينها مكعبين بتاخد الجدر التكييب لل term الأول
بتاخد الجدر التكييب لل x تكييب اللي هو x بتاخد
الجدر التكييب لل term التاني اللي هو تلاتة و
الإشارة زي ما هي بعدك الجوس التاني مربع الأولى
الإشارة ناقص بصير زائد عكس تماما حصل ضرب ليه اتنين
مربع القيمة التانية تمام هذا المقدار ماله أقل من
مين أقل من إمسن هذا هو هذا ماتغيرش يبقى كل اللي
بقدر أقوله هذا معناه absolute value لل X ناقص
تلاتة في ال absolute value لل X تربية زي التلاتة X
زي التسعة أقل من مينمن ال epsilon اذا انا بدى
اتخلص من المقدار هذا برقم لان ال X ناقص ثلاثة
موجودة عندى هنا وين موجودة على الإشمال بدالى اسألك
بدالى اسألك اتمنى من من و لا وين كل ال real line
مظبوط اذا هذا لا بقدم ولا بخدمه مش زى السؤال اللى
قبلهيبقى مفتوحة الدنيا قدامك الله ميسرها خالص
ممتاز جدا يبقى هنا ال domain لدالة F بدى يساوي من
سالب infinity الى infinity اذا هذه ماتجيبتليش جديد
لكن انا عندى ال X بتروح لوين لتلاتة
طيب تعالى نشوف القصة عادي خلي بالك هنا هذا ال real
lineو هاد ال X بدها تروح لوين؟ ليه التلاتة؟ سؤال
الدلتا بتاخد قيم سالبة؟ لانها تكون قيم سالبة،
مظبوط، يبقى الدلتا دايما أكبر قيم واجبةيعني قداش
أكبر قيمة لـ Delta ممكن تكون تلاتة مش غيرهم صحيح
ولا ليش؟ لإن هي الـ Zero قبل الـ Zero بدأ الصيف
تاخد قيم سالبة يبقى أقصى قيمة لـ Delta بتبقى أياش؟
تلاتة يعني X ستتحرك في الفترة من Zero لتلاتة وممكن
بعد مين؟بعد التلاتة اللي عندنا هذا مش هيك طيب
تعالى نشوف الكلام اللي عندنا هذا إيش بدنا نستفيد
منه يبقى باجي بقوله الان since بما أن ال X بدأ
تروح ليه تلاتة andالـ Delta دائما أكبر من 0 يبقى
وي can take Delta to be any number
in الفترة من 0 لغاية 3 قد ما بدك خده، أي رقم يعجبك
من 0 ل3واحد اتنين تلاتة واحد و نص واحد و تلاتة
اربعة اتنين زي ما كل واحد ياخد رقم شكل ايش بتاخد
بتلاقي ابسنط بتعتمد عليها خالي بالك هنا الان لو
أخدنا delta بواحد على سبيل المثال يبقى باجي بقوله
زي ما احد اقترح اول اقترح قالي واحد F delta تساوي
واحد شوف هذه ايش بيجي بالك طبعا واحد ممكن ياخدها
اتنينطبعا كله بيختلف عن الثاني وبالتالي مافيش
مشكلة اقل ايوة ال domain
سبعة ده لمن صفره واطلع ولا ال domain كله ال real
line هذا كنت مقيد انا بال domain لكن قبل شوية قول
ان هذا ال domain كله ال real lineطب ليش أنا تقيت
من صفر لثلاثة لأن ال delta دائما و أبدا موجب يبقى
بقدرش أرجع قبل الصفر و أخد قيم سالمة يبقى ال delta
بقدر أخد أي رقم من صفر لويان لثلاثة عرفت ليش؟ طيب
أخدناها اقترح واحد الشباب ان ياخد دلتا بهذا قلت له
ماشي شوف هذه اللي وين بدها توصلنا الان احنا عندنا
مين؟ عندنا هنا ال absolute value ل X ناقص ثلاثة
اقل من Delta يبقى X ناقص ثلاثة بيصير اقل من مين؟
من واحد الان sense بمعنىSolute value للـ X ناقص
ثلاثة أقل من Delta و Delta أخدناها يساوي واحد هذا
معناه أن X ناقص ثلاثة أقل من 100 من الواحد هذا
معناهان الاكس ناقص ثلاثة اقل من واحد و اكبر من
مين؟ من سالب واحد ضيف تلاتة للثلاثة اطراف بصير
اتنين اقل من اكس اقل من مين؟ من اربعة يبقى ان حدث
ذلكفال X دائما و أبدا ممكن تكون مالها يساوي أربعة
أو أقل من مين أو أقل من أربعة يعني احنا بنقدر ناخد
انه any number in 0 لغاية 3 طب ليش ماخدتش تلاتة؟
خلتها closed interval لأن ال function ممكن تكون
عندها مش معرفة، صحيح ولا لا؟ وبالتالي ماعندي
مشكلة، يبقى أنا خلتها فترة مفتوحة لإن ده قد تكون
غير معرفة، لكن مسألتنا هذه، عند التلاتة معرفة ولا
لا؟معرفة عند التلاتة وعند الأربعة وعند المية وعند
الألف يبقى بإمكاني أخدها هنا من zero لتلاتة ك
closed interval يعني هنا بقدر أقوله بدل ما هي
مفتوحة بقدر أقوله closed بالشكل اللي عنها هنا
ولمّا أقوله closed يبقى هذه بدها تصير أقل من أو
يساوي وهنا أقل من أو يساوي وهنا أقل من أو يساوي
أربعةمية المية يبقى الدمية له دور كبير في الموضوع
طيب إذا أنا لو أخدت ال X يساوي أربعة شوف إيش اللي
بده يصير يبقى باجي بقوله F ال X تساوي أربعة then
أنا مشكلتي مع مين مع هذا؟ يبقى أنا عندي X تربية
زائد تلاتة X زائد تسعةمظبوط ولا لا؟ خلّي هذه
المعلومة و تعالى أذكرك خواص ال absolute value من
خواص ال absolute value بقى يقول absolute value ل A
زائد ال B أقل من أو يسوي absolute value ل A زائد
absolute value ل B صحيح ولا لا؟ سكت الشعبمرت عليكم
هذه؟ لأ؟ اخسرها طيب، بدي اعتبره لأ؟ خليني معاهم
اللي بيقول لأ لأ لأ لأ طيب السؤال ليش مرة يساوي
مرة أقل من تعالي نقولكإذا اتحدت a و b في الإشارة
يعني كان ال a و ال b بالموجب أو ال a و ال b
بالسالم مثلا 2 و 5 يبقى 2 زائد 5 يبقى 7 يبقى 7
أبسول يتولى ل 7 ب7 أبسول يتولى ل 2 ب2 أبسول يتولى
ل 5 ب5 و 2 ب7 بأي تساويلو كانوا التنتين بالسالب
يبقى السالب اتنين والسالب خمسة السالب سبعة
absolute value بالسبعة absolute value السالب اتنين
باتنين absolute value السالب خمسة بخمسة يبقى
السابعة يبقى اذا اتحدت الاشارتان فدائما بيحدث
التساوتطب بده يخلّي واحدة موجبة والتانية سلبة و
بده يخلّي الكبيرة بالسالف بده يقولي اتنين و سالف
خمسة اتنين و سالف خمسة تعني سالف تلاتة absolute
تلاتة طيب absolute value ليه اتنين و اتنين و
absolute value لسالف خمسة و خمسة سبعة تلاتة قل من
سبعةمظبوط ولا لا؟ يبقى ال equality هذه دائما و
أبدا صحيحة لكل real number إذا تساوت a و b في
الإشارة يبقى في هذه الحالة بيحدث التساوي بين
المقدارينإذا اختلفت A وB في الهشارة بيحصل الـ أقل
من، حط له المعلومة عندك و بدنا نطبقها، إذا هذه
دائما و أبدا أقل من أو تساوي absolute value ل X
تربية زيد absolute value ل 3X زيد absolute value ل
9تمام؟ طيب هذه أقل من أو تساوي هذه أربعة تربية
بقداش؟ ستة عشر تلاتة في أربعة باطناش زائد تسعة
تمانية و عشرين وتسعة قداش سبعة و تلاتينطيب إذا صار
هذا المقدار أقل من مين؟ من سبعة و تلاتين، ممتاز
جدا، يبقى أنا بدي أرجع لمسألة هنا، يبقى أنا عندي
zero أقل من ال Xنقص ثلاثة أقل من delta implies شوف
ايش اللي حصل عندنا المثلة كانت x ناقص ثلاثة في x
تربية زائد تلاتة x زائد تسعةهذا أقل من أو يساوي
اللي هو ال X ناقص ثلاثة في جداش في سبعة و تلاتين
وهذا كله أقل من مين أقل من ال epsilon طبعا طلّالي
في يديممكن اقسم كله عقداش على سبعة و تلاتين يبقى
بيصير ال X ناقص ثلاثة اقل من ال epsilon على سبعة و
تلاتين تمام؟ اذا كم قيمة ل delta صارت عندى؟ Delta
عندى هنا بواحدو delta هنا هذا بده يعطيلك انه delta
تساوي epsilon على سبعة و تلاتين ليش هاي هذه وهاي
هذه اللي عندنا طب ده اسألكوا سؤال القيمة اللي طلعت
ان هذه اعتمدت على الواحد اثناء الحسابات ولا لاأه
اعتمدت اعتمدت لأن هذه اعتمدت على الواحد هيه
والاربعة جن حسبناها بقى السبعة وتلاتين اذا اعتمدت
عليها الابسن على السبعة وتلاتين اعتمدت علي مام على
الواحد الان الابسن على السبعة وتلاتين يمكن تكون
اكبر من الواحد ويمكن تكون اقل من الواحد مين فيهم
دلتاب؟ الواحد والابسن على السبعة وتلاتين
من واحد ل سبعة و تلاتين من واحد ل إبس من على سبعة
و تلاتين من واحد ل إبس من على سبعة و تلاتين من
واحد ل إبس من على سبعة و تلاتين من واحد ل إبس من
على سبعة و تلاتين من واحد ل إبس من على سبعة و
تلاتين من واحد ل إبس من على سبعة و تلاتين من واحد
ل إبس من على سبعة و تلاتين من واحد ل إبس من على
سبعة و تلاتين من واحد ل إبس من على سبعة و تلاتين
من واحد ل إبس من على سبعة و تلاتين من واحد ل إبس
من على سبعة و تلاتين من واحد ل إبس من على سبعة و
تلاتين من واحد ل إبس
منفـDelta بدت ساوي واحد، وإذا كانت الأسر هي
epsilon على سبعة و تلاتين يبقى Delta بدت ساوي
epsilon على سبعة و تلاتين، اللي يبقى هنا بقوله إذا
Delta بدت ساوي minimum الواحد والepsilon على سبعة
و تلاتين، يعني قيمتين ولا قيمة واحدة؟هذا minimum
الصغرة فيهما هذا minimum الواحد والإبسلون الصغرة
في الإتنين يبقى لصغيرة هي بتكون main قيمة يعني
الصغرة القيمتين ليش ان ال epsilon أنا مش عارفها بس
لو عارفها رقما جدًا يعني افترض قاللي في البداية
given epsilon تسوى خمسينخمسين ع سبعة و تلاتين اكبر
من وحدة صحية اذا دلتر بدأت ساعة و واحد ما خلال لكن
لو كانت epsilon قليها عشرينأقل من واحد يبقى دلتا
بدل ساوي إبسن على سبعة و تلاتين و هكذا تمام طيب
لكن أصلا إبسن على سبعة و تلاتين لما استخدمت حساب
همين الواحد الصحيح خلي هذا المعلومة في دماغك و
الآن عند التحقيق بدنا نبين هذا الكلام يبقى باجي
بقوله showing
0 أقل من X ناقص 3 أقل من Deltaالدلتا بدأ أخدها
ابسلن على سبعة و تلاتين لأنها اعتمدت على مين عند
حسابها على مين على الواحد implies انه ال F of X
اللي هي ال X تكيب ناقص سبعة و عشرين بدي أثبت ان
هذه أقل من مين من الابسلن يبقى هذه تساويالـ X ناقص
تلاتة في الـ X تربيع زائد تلاتة X زائد تسعة هذه
أقل من Delta وهذه أقل من سبعة وتلاتينطيب دلتا
عندنا ليه إبسلون على سبعة و تلاتين اللي هي بدها
تساوي إبسلون على سبعة و تلاتين في سبعة و تلاتين
يبقى هذه اللي هي بدها تساوي مين إبسلون يبقى هذا
بده يعطيلك إن ال X تكيب نقص سبعة و عشرين أقل من
مين أقل من الإبسلون وبالتالي راس limit
قبل قليل وعدكوا بواعدلما حلت المثال في ال section
السابق كان limit X في side 1 على X ثم X تروح على
Zero ثم اتناه يساوي Zero الان بواسطة هذا ال
section ميدي اثبت فعلا ان ال limit هذا كمان يساوي
له Zero يرجع بنا نفيق بواعدنا الذي وعدناكم إياه هو
اعتبر هذا المثال رقم أربعة
يبقى مثال يبقى
مثال يبقى مثال يبقى مثال يبقى مثال يبقى مثل مثل
مثل مثل مثل مثل مثل مثل مثل مثل مثل مثل مثل مثل
مثللما الـ X بدأ تذهب للـ Zero للـ X في الـ Sine
واحد على X يساوي Zero solution
برضه
بدأ زي ما بدأنا في الأمثلة تلاتة السابقة
بحيث أن 0 أقل من X ناقص الـ Zero أقل من Delta
يبقى الطرف الشمال Zero أقل من absolute value ل X
أقل من delta implies هذا من تعريف ال absolute
value بصير absolute value ل X في absolute value لل
sign واحد على X أقل من مين؟ أقل من الepsilon أو
خلّيني أعملها على الشكل التاليأليست هذه أقل من
absolute value ل X في واحد لأن أعلى قيمة بياخدها
ال absolute value لصيني واحد ل X هي الواحدة الصحية
تمام يبقى هذا بيصير absolute value ل X ل واحد هذا
بده يساوي absolute value ل X اللي هي أقل من مين
أقل من ال epsilon اطلعلي للنتيجة هذه والنتيجة اللي
عندنا هذهيبقى الطرف الشمال هو الطرف الشمال يبقى
هنا ساة ال delta تساومين epsilon itself كويس مادام
طلبنا نتأكد شغلنا هذا صح ولا لأ يبقى showing that
ان delta works
أقل من ال absolute value ناقص ال zero أقل من دلتة
يبدأ تسوي epsilon
absolute value للـ x في الـ sine واحد على x ناقص
الـ zero بدي أثبت أن هذه أقل من الـ y طيب هذه
تساوي مين؟ absolute value للـ x absolute value للـ
sine واحد على x مالها هذه؟ أقل من وقت تساوي
absolute value للـ x في من؟ في الواحدطيب هذه
absolute value of x هي عبارة عن مين؟ دلتا يبقى هذه
أقل من delta في واحددلتا بقداش بالإبسنان في واحد
اللي هو بالإبسنان يبقى سا اللي هو ال X ساين واحد
على X ناقص ال zero أقل من مين أقل من إبسنان
وبالتالي Thus وكذا limit ال X في ال ساين واحد على
X لما ال X بدي روح لل Zeroبتساوي الـ zero كذلك
وهذا يتفق مع النتيجة اللى حسبناها قبل ساعة زمان
تقريبا اللى هو نهاية ال section الماضى طيب بنحاول
نعطيكوا مثال عددي نعطي قيمة لإبسلون نطلب قيمة دلتا
نعطيكوا ال نعطيكوا الشغل زي هيكيبقى اكتب لي مثال
خمسة بيقول
لي Fالـ F of X يساوي X تربيع زائد ستة X زائد خمسة
على X زائد خمسة والـ X naught يساوي سالب خمسة and
الـ Epsilon يساوي Zero Zero خمسة يعني خمسة من مية
fine وجدنا
نمر ايه بدي limit f of x لما ال x بدي روح لل x
naught نمر بي find delta
اللي greater than zero such thatبحيث هو أن الـ
zero أقل من الـ X0 أقل من Delta implies أن ال F of
X ناقص ال L أقل من إبسلون خلّي
بالك هنا
يبقى احنا بدنا limit لل F of X لما ال X بده يروح
ال X نضله جداش سالب خمسة يبقى limit لما ال X بده
يروح ليه سالب خمسة لمن ل X زائد واحد في X زائد
خمسة على X زائد خمسةالسؤال هو هل الدالة معرفة عند
X يسوى سالب خمسة؟ لأ، لكن ال limit ممكن تكون
موجودة، مالهاش علاقة، بدي بقوله كويس يبقى القوس
هذا بدي روح مع القوس هذا، النتيجة ال limit لما ال
X بدي روح لسالب خمسة لمين، لل X زائد واحدتمام؟
يبقى هذا الكلام تعويض مباشر لإنها Line ناقص خمسة
زي واحد مايساوي قداش سالم أربعة هذه اللي هي بنقول
عليها اللي مش معطاعة فوق في رأس المثل يبقى أول جد
نقله ال limit هذا نجي لنمر يابيننمر بيبقى الهتلي
دلتا الأكبر من ال zero بحيث تكون هذه محققة بقول
بسيطة جدا يبقى احنا عندنا zero أقل من ال X ناقص مع
ناقص بالصغير زائد خمسة هذه أقل من دلتاimplies ان
ال F of X سرط اللي هي مين بعد اختصارات X زائد واحد
ناقص اللي هي L اللي هي بناقص أربعة تمام أقل من
إبسلون، إبسلون موطن هو 005
بقول هذا يعني ان الاكس زائد خمسة اقل من zero zero
خمسة طلع لهنا وطلع لهنا يبقى هذا بدي اعطيك ان دلتا
تساوي ال epsilon تساوي zero zero خمسةبقى بده دلتا
جبناله دلتا اضع الاخر نقطة صغيرة في ال section
اللى وعدناكوا فيها قبل قليل اخر
نقطة بتقول ما يأتي هنكتب علي الشكل التالي remark
إذا أعطتنا ناقص الـ L أقل من إبسنل إذا أعطتنا ناقص
الـ L ناقص الـ L أقل من إبسنل
عن الـ X نود ثم نأخذ
دلتا لكي تكون نصف طول نصف
طول الانترال
but if it is not symmetric اذا لم تكن متماثلة
about x0 about
x0 we take دلتة we take
delta to be we take it to be the distance from
distance from x node to near endpoint near
endpointof the interval
ماذا يفعل؟
مرة تانيةبنقول إذا الـ absolute influence نقص إلا
قلبي مثلا أعطتني interval symmetric about x node
زي الرسمة اللي قبل قليل كانت دلتة اللي على اليمين
زي دلتة اللي على الشمال يبقى في هذه الحالة بيقول
بناخد دلتة هو نص الفترة كلها من x node نقص دلتة
إلى x node زائد دلتة لكن إذا كانت الرسمة هنا not
symmetric about x node طلعلي هيطلعت قيمة لدلتة
وهيطلع في قيمة تانية، هل الاتنين دونها درجة بعض؟
لأ، يبقى مافيش تساوي بين الاتنين فمين منهم delta؟
الكبيرة هذه ولا الصغيرة؟ طبعا الصغيرة لإيش؟ لأن
أنا بدي أجرب على x0 بدرجة أقل لDelta كبيرة، يبقى
باخد Delta الصغر فيهم لإن أنا بدي أقترب من 100من
الـ X node فبقول إذا كانت ماهياش متمادة لحوالي X
node we take Delta to be the distance from X node
المسافة من X node إلى أقرب near end point هذي أقرب
لها إذا هذي Delta هذي أقرب لها إذا هذي Delta لكن
واضح إن هذي هي Delta اللي هي main أقرب بالنسبة لها
نوضح لك هذه مثال عددي وبيه ننهي المحاضرة example
بقول الـ F of X يساوي الجذر التربيعي للـ X ناقص
سبعة والـ L تساوي أربعة والـ X نود يساوي تلاتة
وعشرين والإبسلون تساوي واحد Find Delta that
satisfies
that satisfies the definition of the formal limit
معطيني f of x ومعطيني ال L ومعطيني ال X0 ومعطيني
ال Y وطالب باسمين Delta تبعت التعريف من جله بسيطة
جدا يبقى هاي التعريف
بحيث أن Zero أقل من X ناقص X نود اللي هي قداش
تلاتة وعشرين أقل من Delta Delta مجهولة implies ال
F of X اللي هو الجدرى التربية ل X ناقص سبعة ناقص L
اللي هي قداش أربعةأقل من إبسلون، إبسل هو مقطع كده؟
واحد صحيح هذه جاهزة ماعندي مشكلة، يبقى بدي أحل
مشكلة تادي فمشان أحلها باجي بقوله الجذر التربية ل
X ناقص سبعة ناقص أربعة أقل من واحد وأكبر من مين؟
من سلب واحد، اضيفي أربعة لثلاثة أطراف بيصير تلاتة
أقل من ال X ناقص سبعة أقل من مين؟ من خمسةرابع
ثلاثة أطراف يبقى تسعة أقل من ال X ناقص سبعة أقل من
مين من خمسة و عشرين ضيف سبعة على ثلاثة أطراف بيرث
سبعة و تسعة ستاشر أقل من X أقل مني اتنين و تلاتين
تمام يعني لما يكون عندي real line و هذه النقطة
اللي هي تلاتة و عشرينهذه النقطة السادسة وهذه
النقطة السادسة وهذه النقطة السادسة وهذه النقطة
السادسة وهذه النقطة ستة
بيقول هنا Delta هيها from X naught to near end
point of the interval أيوة يبقى Delta هي المسافة
من 16 لمين ل23 لمين هي الأقرب على ال 23 يبقى بناء
عليه صرت ال X موجودة من 16 لغاية 32 يبقى هنا sense
16 is the near point of X يساوي تلاتة و عشرين
يبقى بدنا منك exercises اتنين تلاتة يبقى exercises
اتنين تلاتة المسائل التالية اللي هو من واحد لتسعة
واربعين القدروزيادة على ذلك من واحد وخمسين لغاية
اربعة وخمسين وانضيف عليهم من سبعة وخمسين لغاية
ستين