بسم الله الرحمن الرحيم انتهينا في أول chapter من
الجبر الخطي و هو chapter 2 والآن بنروح لل
chapter الثاني من الجبر الخطي و هو chapter 3
من الكتاب المقرر هذا ال chapter يتحدث عن نقطتين
رئيسيتين النقطة الأولى هي ال vector spaces و
النقطة الثانية هي ال linear transformations يعني
التحويلات الخطية موضوعنا اليوم موضوع ال vector
spaces وعلى مدار الأيام القادمة كذلك لكننا في هذا
ال section فقط سنعطي تعريف لل vector space ونعطي
بعض الأمثلة عليه فقط لا غير ومن ثم ننتقل إلى بقية
الأجزاء التي تتعلق بال vector spaces يبقى احنا
عندنا vector spaces يعني الفضاءات الاتجاهية بدنا
نعطي تعريف للفضاء الاتجاهي ونشوف كيف نطبق التعريف
على الأمثلة المختلفة بقول افترض أن capital V عبارة
عن non-empty set of objects يبقى أنا عندي capital
V هي عبارة عن مجموعة وهذه المجموعة تحتوي على عدد
من العناصر in which two operations addition and
multiplication by scalars are defined وعليها
عمليتين معرفتين عملية بنسميها عملية الجمع والثانية
عملية الضرب في مقدار قياسي أو مقدار ثابت لما نقول
vector يبقى لو ضربناها في رقم نقول هذا هو scalar
multiplication يعني ضرب قياسي يبقى احنا في عندنا
set V الـ V هذا بدأ أضع عليها عمليتين العملية
الأولى عملية الجمع بين المتجهات الموجودة في V
العملية الثانية أخد رقم من set of real numbers R
وضربه في أي من المتجهات تبعات ال vector V يبقى هاي
العمليتين اللي أنا بقول عليهم معرفتين كانوا معرفة
ذاتي
عملية جمع متجهين من V هو متجه جديد موجود في V
عملية ضرب scalar A في U هو بيعطيني متجه جديد هذا
المتجه موجود في V كذلك R defined يبقى في هذه الحالة
بيقول إن ال V وعليها عملية الجمع وعليها عملية
الضرب base color is a vector space أو linear space
بعض الكتب بتقول عنه vector space و بعض الكتب بتقول
عنه linear space if the following properties are
satisfied على V يبقى إذا تحقق الشروط العشرة التالية
على هذه الست بقول الست هذي vector space إذا لم
يتحقق ولو شرط واحد يبقى بيبطل يصير vector space
يبقى يبين لي أن هذا ما هو vector space يكفي
ألغي شرط من الشروط العشرة نأتي للشرط الأول أو
الخاصية اللي هو لو أخدت عنصرين من V يبقى حاصل
الجمع مش بده يكون موجود في V وليس خارج V طالع
خارج V فبتبطل يصير vector space يبقى بدّه المجموع
يكون داخل V ال condition التاني ال U زائد ال V
يساوي ال V زائد ال U يعني عملية عملية جمع المنتجات
عملية إبدالية لو ما كانت إبدالية it is not a vector
space طيب الخاصيتين اللي اثنينهم تحققا بروحنا
الخاصية الثالثة و هي خاصية ال associativity لو
جمعت ال U إلى V زائد ال W تماما كما لو جمعت ال U
زائد ال V إلى من إلى ال W و دي بيسميه خاصية الدمج
associative law أو associative property الآن أنتَ
حققت الخواص الثلاث بروح لخاصية رابعة الخاصية
الرابعة تقول لي في عندك عنصر اللي هو ال zero
المُتّصل هذا موجود في V إذا والله كان Zero زائد V
يساوي V زائد Zero يساوي V لكل ال V يبقى هذا بسميه
Zero vector لمين؟ لل vector space V يعني بمعنى آخر
أن ال vector space V لازم يحتوي على العنصر الصفري
بالنسبة لعملية الجمع يبقى الـ zero هذا vector يبقى
مش scalar يعني مش number وإنما هو vector تمام بحيث
هذا ال zero vector لو جمعته إلى أي vector آخر من
اليمين أو من الشمال بده يعطيني نفس ال vector هذا
ال element بقول عليه ال zero vector خاصية الخامسة
لأي u موجود في capital V there exists لازم اللي
أجي أسألي بـ U موجود في V يعني يعني إذا العنصر أو ال
vector موجود في V لازم ألاقي سالب هذا العنصر موجود
في V بحيث لو جمعت ال U وسالب U تماما كما لو جمعت
سالب U و U لأنه قال هنا commutative وندش بده
يعطينا الـ zero vector مش الـ zero scalar لأن احنا
بنجمع vectors سالب U هو vector يبقى U زائد ناقص U
يساوي تماما ناقص الـ U زائد الـ U بده يساوي من الـ
zero vector هذه الخامسة الخاصية السادسة لو أخدت أي
scalar من ال set of real number A أخدت عنصر A من
ال set of real number و أخدت ال U vector موجود في
V إذا حصل ضرب ل 2A في U بده يكون موجود في V تماما
تحققت الخاصية ده نروح بالخاصية اللي بعدها لو كان
الـ A scalar و أخدت two vectors من V و روح ضرب كاسكلر
الـ A ضد الـ U زائد الـ V خضعت هذه لعمليات التوزيع
أو distributive property خاصية التوزيع صارت هذه A
ضد الـ U زائد A ضد الـ V مش عاجز هك و بس ضرب scalar
مع جامعة و vector لأ جامعة و scalars مع ضرب مع مين
مع vector الخاصية اللي بعدها لو كان ال a و ال b
موجودة في R و ال u موجودة في V يبقى ال a زائد ال b
و dot ال u بيساوي a dot ال u زائد ال b dot ال u كل
هذا بيكون موجود في V طبعا يبقى بنجي للخاصية التاسعة
لو كان عندي scalar A وعندي scalar B ضربت ال B في
ال U والنتج روحت ضربت في A تماما كما لو ضربت ال
two scalars من البداية في من في ال vector V بده
يطلع عندي vector اسمه A B ضد ال U وهذا بيكون vector
موجود في الـ vector الأصلي طبقًا للخاصية اللي
عندنا هذه تمام تحقق الخاصية التاسعة بيروح الخاصية
العاشرة لو أخدت الواحد as a scalar يعني كأنه
الخاصية دي حالة خاصة من من اللي فوق أخدت ال U هو
vector و أخدت الواحد as a scalar ضربت الواحد في U
بيطلع النتج يساوي U اللي هو موجود في V يبقى إذا
تحققت هذه الخواص العشر في هذه الحالة بقول يبقى
اللي في عندي هذا ماله vector space بدنا نبدأ نطبق
الكلام اللي احنا بنقوله على أرض الواقع بأمثلة
مختلفة ونشوف مين ممكن يطلع vector space أو ممكن
ما يطلعش vector space وإذا ما طلعش مين من الخواص لا
تتحقق في هذه الحالة بقيت يصير ما هو vector
space جاء ياخد المثال الأول افترض ال V كل العناصر
الـ zero X1 و X2 بحيث X1 و X2 موجود في R يعني ايش؟
يعني بدي اخذ كل ال vectors اللي كل vector مكون من
ال three components بحيث المركبة الأولى دائما و
أبدأ zero لو ما هي zero إذا مش عندنا برا مالناش
علاقة فيها يبقى احنا بدنا نجمع يعني مثلا لو جيت
قلت يا بنات هذا كل واحدة فيكو عبارة عن عنصر في ال
vector space الشكل هذي تمام جيت قلت للبنات السطر
هذا كله انتج للناحية الثانية يبقى كأنه أنا أخدت
حالة خاصة من الأصلية المركبة الأولى كلها zero في
كل three tuple تمام؟ بدأت أشوف هل هذا تحت عملية
الجمع العادية وتحت عملية الضرب العادية هل هو
vector space أم لا طلع هنا كل العناصر اللي المركبة
الأولى دائما و أبدا ب zero طب و المركبة الثانية و
الثالثة أش ما كان يكون وما حطيتش عليهم قيود يمكن
سالب يمكن موجب يمكن Zero كل أنا مقيد بالمركبة
الأولى لازم تكون Zero و قلت لك X1 و X2 موجودة في
R موجودة بسالب كسر مش عارف ايه Zero ماليش علاقة بيه
أش ما يكون شكله ما يكون إن شاء الله يكون جذور
تربيعية وجذور تكعيبية لأنها set أي عناصر موجودة في
ال set of real number طيب under the usual addition
عملية الجمع العادية تبع ال vectors and the usual
multiplication of scalar وعملية الضرب العادي لل
vectors في scalar و أخذنا سابقا إنه عملية لو ضربت
element في vector بدّي أضربه في جميع ال components مش
هيك يبقى ده اسمه الضرب العادي والجمع بجمع
component was كل عنصر مع نظيره بيقول then ال V is
a vector space because يبقى هذا اللي فوق تحت عملية
الجمع العادية والضرب العادية دي بيكون vector
space ما هو السبب بيقول لو أخدت three vectors
موجودة في V طلعي المركبة طلعي كلّه المركبة الأولى
والمركبة الأولى والمركب الأولى كلّه بأسفار موجودة
في V بداية أشوف الخواص العاشرة هل ال U زائد ال V
موجود في V ولا لأ يبقى بداية للخاصية الأولى نمر
واحد بياخذ ال U زائد ال V يبقى هذا بده يعطيني
Zero و X واحد و X اثنين زائد Zero و Y واحد و Y
اثنين و Y يساوي احنا قلنا هذه عملية الجمع عادية لمين؟
للـ vectors يبقى عملية الجمع العادية بجمع
component y 0 مع 0 بقدرش 0 X1 زائد Y1 X2 زائد Y2
موجودة في V ولا يا بنات؟ موجود في V ليش؟ لأن الـ
element الأول أو المركبة الأولى في كل vector يساوي
0 إذا تحقق الخاصية الأولى بدّي أجرب الخاصية
الثانية نمرة 2 بدي أخد ال U زائد ال V يبقى .. بدّي
أجمعه لغاية يا بنات يبقى هنا 0 زائد 0 ب 0 X1 زائد
Y1 X2 زائد Y2 موجودة في V موجودة في V أنا بدي خاصية
الإبدال أليس التهادي تساوي Zero one الآن X واحد زائد
Y واحد مش هدول X واحد و Y واحد أعداد موجودة في
الست في real numbers عملية جمع الأعداد العادية هذه
عملية إبدالية ولا لا؟ أنا بقول خمسة زائد ستة و
الله ستة زائد خمسة ما هي نفس الشيء إذا باجي بقول
هذا Y واحد زائد X واحد و Y اثنين زائد X اثنين اللي
بقدر أقول هذه Zero و Y واحد و Y اثنين زائد Zero X
واحد و X اثنين صحيح ولا لأ؟ يعني فصلت هذا ال vector
إلى مجموع two vectors طب الأول مين هو؟ مش V
و الثاني يبقى V زائد ال U يبقى بدأت ب U زائد ال V
وصلت إلى V زائد ال U يبقى تحقق الخاصية الأولى
والخاصية الثانية عندنا بدنا نروح لمين؟ للخاصية
الثالثة يبقى باخذ U زائد V زائد W
و X1 و X2 زائد ال V زائد ال W بدّي أجمع على طول
الخط هاي عند ال V وهذه ال W بدي أجمعها مباشرة يبقى
Zero Y1 زائد Z1 و Y2 زائد Z2 الآن بدأجي أجمع صار
عندي vector وعندي vector ثاني بدأ أجمع component
twice 00 ب 0 يبقى بيصير عندي X واحد زائد Y واحد
زائد Z واحد و X اثنين زائد Y اثنين زائد Z اثنين
بالشكل اللي عندنا طيب هذا الكلام بده يساوي بدأجي
للي وصلت له هذا هدول كلهم real number عملية الجمع
على ال real number إدماجية ولا لا؟ يبقى خلاص إذا
بقدر أكتب هذه على الشكل التالي هي عبارة عن Zero و
X واحد زائد Y واحد زائد Z واحد تمام هذا ال term
الأول و ال term الثاني بقدر اقول X واحد زائد Y
واحد زائد Z واحد وهذه بقول X اثنين زائد Y اثنين
زائد Z اثنين تمام إذا هذه بقدر أقول تساوي بدأت
أحطها على شكل مجموع two vectors إذا بقدر أقول هذا
Zero و X واحد زائد Y واحد و X اثنين زائد Y اثنين
زائد ضال عندي Zero و ضال عندي Z واحد و ضال عندي Z 1
أقول له U + (-U) = 0
X1 + X2 + 0 -X1 - X2 تمام نجمع 0 مع 0 ب 0
X1 و نقص X1 ب 0 X2 و نقص X2 ب 0 مين هو هذا؟ هذا ال
zero vector. Similarly بنفس الطريقة سالب
U + (-U) = the zero vector إذا تحققت الخاصية
رقم خمسة بدنا نحقق باقي الخواص خليني أمسح اللي فوق
هذا طيب هذا اللي مالهوش لزوم من هنا وفوق نمسحه
خلصنا الخاصية الخامسة وانتقلنا للخاصية السادسة، خاصية
السادسة بيقول لو كان أخذت scalar موجود في R و U
موجود في V فحصل ضربه ما بدي يكون موجود في V يبقى
بدي أخد هنا F ، الـ A موجود في R scalar و الـ U اللي
هي يساوي (0, X1, X2) موجودات في V then
بدي أخد الـ A في الـ U يبقى هذه A بدي أضربها في الـ 0
X1 و X2 يساوي الـ A في الـ 0 بقداش يا بنات؟
Zero وهنا A X1 وهنا A X2، إيش رأيك في ال vector
اللي طلع موجود في V ولا لأ؟ لأن المركبة الأولى
والباقية في نفس المكان، يكون يبقى هذا موجود في ال vector
space V وبالتالي اتحققت الخاصية السادسة بدنا نروح
للخاصية السابعة، الخاصية السابعة بيقول لو كان A
موجود في R و U و V موجودة في U يبقى هنا F الـ A
موجودة في R and الـ U اللي هي (0, 0, X1, X2)
و الـ V (0, Y1, Y2) موجودات في
V then بدي أخد الـ A Dot الـ U زائدي الـ V يبقى الـ A
Dot الـ U زائد الـ V بدي أجمع component twice يبقى
(0, X1 + Y1, X2 + Y2) بدي
أضرب يبقى هاد 0 و a في (x1 + y1) و a
في (x2 + y2) ليش ضربتك؟ لأن ضرب عادي طيب
هذا الكلام بده يساوي بدو يساوي (0, ax1 + ay1,
ax2 + ay2)
هذا صار vector واحد، شو رأيك
ممكن أجزه الى two vectors، إيش ال two vectors يعني؟
ممكن أقول هذا (0, ax1, ax2) زائد
(0, ay1, ay2) لو جمعتهم بيطلع عندي هذا
مرة ثانية طيب بدي أركز على خواص ال scalar أظن بقدر أخد
a عامل مشترك من الكل برا بيظل (0, x1, x2) زائد a (0, y1,
y2) يبقى هذا A الأولاني هو الـ U والتاني A في الـ V
الشكل اللي عنها يبقى بناء على A ضد U زائد V يبقى A
ضد U زائد A ضد V وبالتالي تحققت الخاصية السابعة
بنروح للخاصية الثامنة يبقى باجي بقوله ثمانية if
الـ A و الـ B موجودة في R and الـ U (0, X1, X
2) موجودة في V then بدي أخد الـ A زائد الـ B Dot
من Dot الـ U يساوي A زائد B ضات الـ U
هذا مجموع two real numbers يبقى real number واحد
يبقى بدي أضرب جوبه حسب الضرب العادي يبقى هذا بقداش؟
بـ 0، نجي للي بعدها هذه a زائد الـ B في الـ X1 وهنا
a زائد الـ B في من؟ في الـ X2 وهيقفلنا الجزء، هذه بقدر
أقول عليها ما يأتي، يساوي هاي 0 زي ما هي وهذه
بقدر أفكها لأن الـ X1 والـ X2 real number
والـ A و الـ B real number يبقى A X1 زائد B X
1 , A X2 زائد B X2 ممكن أجزه إلى two
vectors يبقى هذه بقدر أقول (0, ax1, ax2) زائد
(0, bx1, bx2) ممكن أخد الـ A برا يبقى الـ A في
(0, X1, X2) زائد B في (0, X1, X
2) يبقى هذه بدأت تساوي A ضد الـ U زائد B ضد الـ
U وبالتالي تحققت الخاصية رقم ثمانية يبقى ثمانية
الخاصية التاسعة يبقى الفرض
التاسعة، بدأت أخد F الـ A والـ B موجودة في R and الـ
U (0, X1, X2) موجودة في V then بدأت أخد الـ
A في الـ B ضد الـ U يساوي A في ض ضد الـ U يبقى بدي اضرب
B في كل عنصر من العناصر اللي عندنا يبقى هاي 0 و
B X1 و B X2، الشكل اللي عندنا هنا الآن بدي
اضرب الـ A يبقى هذا الكلام بدي يساوي A في 0 ب
0 يبقى A B X1 و A B X2 بالشكل اللي عندنا
هنا، هذا الكلام بده يساوي الآن الـ A و الـ B و الـ X1
كلهم real numbers وكذلك الـ A و الـ B و الـ X2 كله
real numbers يبقى بقدر أقول هذا 0 وهذا A B X1
وفي نفس الوقت A B X2 بقدر أخد الـ a B برا يبقى
هذا a B برا كله في مين؟ في الـ (0, x1, x2)
يبقى هذا a B ضد الـ U يبقى تحققت الخاصية رقم 9
بنانتقل للخاصية رقم 10 الأخيرة بدي 1. (0, x1, x2) يبقى 1
في (0, x1, x2)
الواحد لما نضربه في 0 بيبقى ده جمناته بـ 0
الواحد في الـ X1 بالـ X1، الواحد في الـ X2 بالـ X2 يبقى
هذا أعطاني مين؟ الـ U يبقى قلنالك من البداية أن هذا
vector space ليش قلنا؟ because وروحنا وجينا العشر
خواص كلها محققة يبقى أصبح هذا اللي عندنا اللي هو
vector space، طبعاً مش كل ستة بنعطيها لك بتكون vector
space و بضروح أبدأ أطبق الخواص العشرة، تمام؟ يعني
ليس بالضرورة إن راح أطول خاصية ما تحققش، يبقى أروح
أدور على الباقي، ما أدورش على الباقي، خلاص، not vector
space وباس، لقيت الأولى اتحققت بروح للتانية وما
اتحققتش، الثانية not vector space وبسيب الباقي و
هكذا يعني، وين خاصية بتتحققش بقول يبقى هذا ماهو
vector space وبنتهي، الدلة الثانية الأولى اتحققت
إنها بروح للتالت بروح للرابع لما إذا اتحققوا
العشرة كلهم يبقى هو vector space، يبقى إذا اختلت أي
خاصية من الخاصة العشر بكون معله ماهو vector
space هذا أول مثال على هذا الموضوع، لا يزال عندنا
العديد من الأمثلة، دي المثال رقم اثنين هذا
إذا طلع vector space إذا ما طلعش vector space
يمكن تسوي خطوة واحدة ولا لا؟ وإذا أنت دقيقة نظر
وشاطرة في الحسابات ومجرد النظر بتقولي هذه البرشم
تنفعش للخاصية الفلانية على طول من دون مجرمي وتروح
تكتبي ليها وبتكشف الباقي 100% تمام، نعطي المثال
رقم اثنين example two هذا سؤال خمسة من الكتاب
بيقول let V to sound
كل العناصر على الشكل (1, X, Y) بحيث X و Y
موجودة في set of real numbers under usual addition
under usual addition تحت عملية الجمع العادية and
وفي نفس الوقت usual scalar multiplication، usual
scalar multiplication
تحت
عملية الضرب والجمع العادية then is not
a vector space
ومجرد النظر هذا الـ V اللي عندنا هذه تحت عملية
الجمع العادية والضرب العادية ليست في الاقتراضية
ليه؟ بدي واحدة تحكي، بس واحدة ترفع أيديها وتحكي
أنا بقول فيش zero element ما عنديش الحالة هذا وجهة
نظر، في وجهة نظر ثانية؟ قبل الـ zero طيب شوفي اللي
قبل الـ zero، اجمع اثنين، اجمع لو جمعت اثنين ايش
بيطلع؟
يبقى عملية الجمع لا تتحقق، صحيح ولا لأ؟ بروح بقوله
هذا is not a vector space because
الـ U بدها تساوي (1, X1, Y1) و الـ V
دوسر (1, X2, Y2) موجودة في capital V
then الـ U زائد الـ V بدو يساوي (2, X1 +
X2, X1 خليها بس لسهولة يا بنات خليها X
1 و X2، وهذي Y1 و Y2 تمام يبقى X
1 + Y1، X2 + Y2) does not
belong to V مش موجودة في V لأن أنا بدي ال
component اللي قداش تكون يبقى في حالة ال zero ينفع
يصير vector space لكن في حالة الواحد ما نفعش يكون
vector space، ماهو vector space، طيب مثال ثلاثة
مثال ثلاثة له سؤال سبعة من الكتاب كذلك سؤال سبعة
بيقول let الـ V تساوي كل المصفوفات A بحيث الـ A is
two by two matrix، كل المصفوفات اللي نظامها اثنين
في اثنين with determinant للـ A لا يساوي 0
under usual
addition and scalar multiplication
of
matrices then إيش رأيك؟ الـ V مش عارف اكتب هي
vector space ولا not vector space، نيجي مين هي الـ V
في الأول الـ V كل المصفوفات A اللي نظامها 2 في 2 و
اللي محددها ما له لا يساوي 0 اللي محدد فيها لا
يساوي 0 يبقى كل المصوات اللي نظامها اثنين في اثنين
و اللي محددة لا يساوي تجمعتهم وحطيتهم في V، عرفت
عليها عملية جمع المصوفات العادي وهو جمع component
-wise وعرفت عليها ضرب المصوفة في scalar وهو ضرب ال
real number في كل عنصر من العناصر المصوفة اللي
كانت usual addition and usual multiplication تمام
تحت العمليتين الاثنين هدول هل الـ V Vector Space أم
لا؟ طبعاً لأ أبسط شغلة بدي Zero Matrix، هل الـ Zero
Matrix المحدد تبعها لا يساوي 0؟ لأ طبعاً، يبقى جد
إن الـ V is not a vector space because
it does not contain the zero matrix since
الـ Determinant للمصفوفة 0 يبقى 0 يبقى
الخاصية تبع العنصر الصفري لم تتحقق لذلك هذا ليس
Vector Space فبالمثال
رقم أربعة بقول Let capital V كل العناصر على الشكل (X
، Y ، Z) بحيث إن الـ X و Y و Z موجودة في set of real
numbers، define addition
define
addition and
multiplication on the by الـ
(X1, Y1, Z1) زائد (X2, Y2, Z2) بده يساوي اللي
هو (X1, Y1, Z1) وهنا (X2, Y2, Z2)، X1 + X2، Y1
+ Y2 وهنا Z1 + Z2، هذا الجمع and
ال
a في (x, y, z) يساوي (ax, y, z)، then الـ V
is الله أعلم
كيف؟ آه بس بنضربها في المركبة الأولى، يعني عملية
الجمع كما هي component-wise والإيه بس بنضربها في
المركبة الأولى فقط لا غير، تمام؟ يعني إنه هذه ال
Sid هي هيك قصيرة، فاهم
يعني هذه ال Sid خاص فيه لأنه .. خاص فيه .. فاهم
هل هذا vector space ولا ماهو vector space، بتخيل
أنه ماهو vector space سبق because لو أخذت يبقى
هذا is not a vector space because لو
أخذت يا مناد (a + b) في من؟ في U يبقى هذا
بيصير (a + b) في