بسم الله الرحمن الرحيم السلام عليكم ورحمة الله
وبركاته اليوم هنكمل في مادة تصميم الآلات واحد احنا
لحد تلاتة chapter تلاتة بنحكي عن ال stresses
ومسبباتها سواء كان axial loading أو bending أو
torsion أو أي combination المرة الفاتت كان عن
stress concentration اليوم هنكمل في موضوع جديد
هنحكي عن stresses in pressurized cylinders
الإجهادات في الأسطوانات المضغوطة احنا زي ما احنا
شايفين فينا أسطوانة نصف قطر الداخل ri و نصف
قطر الخارجي ro متعرضة لضغط من برة لجوا طبعا هذا
أسطوانة ممتدة يعني طولها إلى ما لا نهاية طويلة جدا
فالمتعرضة لضغط داخلي pi وضغط خارجي po نتيجة
الضغوط الداخلية والخارجية بيصير لو أخدت element
على أي .. على بعد مسافة r هيكون فيه two stresses
components واحدة tangential وسجما tangential و
واحدة .. وواحدة إيش؟ باتجاه ال radial direction
سجما radial احنا مش بطلب الاشتقاق بتاعها بس
هنعطيكم المعادلة الـ stress tangential component
معطبة للعقل هي sigma tangential بساوي pi ri2
− po ro2 − ri2 ro2
في po − pi على r2 كله على ro2
− ri2 و ال sigma radial اللي هي
بساوي pi ri2 − po ro2 زائد ri2
ro2 في po − pi على r2 كله
على ro2 − ri2 هناخد
الحالة إن فيه ضغط جوه يعني ما فيش ضغط من برة
هذه الحالة العامة po بساوي صفر إذا بنعوض عن po
بساوي صفر في هذه المعادلة خلّنا
نعوض عن po بساوي صفر يصير Sigma Tangential
عند ال terms اللي فيها po هتسفر صح هتكون pi ri2
− بيصير
− هتصير عند ال po صفر − − + + ri2
تربيع
ro تربيع في
pi على
r تربيع كله
على r
o تربيع − ri تربيع يعني هتكون خلّيني أخد عامل
مشترك pi
ri تربيع هتكون
واحد زائد ro تربيع على r تربيع على
ro تربيع − ri تربيع هذا بالنسبة لسجما
tangential بالنسبة لسجما radial هنعوض عن po بساوي
صفر هتكون ال pi ri2
− ri2
ro2
pi على r2 على ro تربيع
− ri تربيع نفس الشيء ناخد مشترك pi ri تربيع هيكون
واحد − ro تربيع على r تربيع على ro تربيع −
ri تربيع هذا في حالة إنه كان الضغط من جوه مش ضغط
من برة ليه هذه المعادلة؟ sigma tangential بساوي ri2
في pi على ro تربيع − ri تربيع في 1 زي
ro تربيع على r تربيع إذا
بنعمل plot إذا بنعمل plot ل sigma tangential as a
function of r بحيث نبدأ من عند ri وننتهي عند ro
لما تكون ال r بساوي ri بتكون ال sigma
tangential إيش maximum لما تكون عندي ال r بساوي
ro بتكون أقل لأن ال ro أكبر من ال ri
من بين العلاقة العلاقة
decaying with distance r هذا ال sigma tangential
ال sigma radial لما نتعوض ال r بساوي ro إيش كل
كمية بساوي صفر يعني على السطح الخارجي بتكون
بساوي صفر وبتكون maximum لما ال r بساوي ri
هتكون هي فعلاً هتكون −pi هتكون sigma
tangential sigma radial عند ال r بساوي ri اللي
هتكون فعلاً اللي هي الضغط مباشرة عليها اللي هي
−pi إذا
كانوا الأطراف مغلقة إذا كانوا الأطراف مغلقة يعني
الحالة هذه
طبعاً هذا ri هذا
ro
فإن
ضغط من كل الاتجاهات الضغط هيصير
stress بهذا الاتجاه سجماL لانك دي دلالة اللي هو
stress بالاتجاه الطولي لأن ال stress بالاتجاه
الطولى هيكون في force من الضغط صح اللي هو سجماL
هتكون ال force على ال area ال area اللي هي هذه
الجزء هذا صح هتكون عند ال force عبارة عن الضغط
الداخلي pi في المساحة الداخلية πri2 على ال
area اللي هتكون π بالضبط في ro2 − ri2
يعني هتكون πri2 على ro2 − ri2
طبعاً هذه المعادلات السابقة هي الحالة العامة هناخد
حالة خاصة إنه ممكن أعتبر إنه cylinder thin walled
cylinder أو thin walled vessel أنا بعتبر ال
cylinder thin walled إذا كان ال thickness بتاعها
أقل أو يساوي عشر radius إذا كان ال thickness أقل
أو يساوي عشر radius بعتبرها إيش؟ thin walled
cylinder في حالة ال thickness كان قليل بالنسبة لل
radius الله نجعل المعادلة هذه يعني
هتكون ال ro قريبة كتير من ال ri صح؟ معناته هذا ال
term as ال r approaches ال ri بيقترب من صفر بيعني
إن عندي regular stress component في حالة thin
walled cylinder بتكون صغيرة بالمقارنة مع
tangential component ال
average tangential stress هيكون pidi على 2t الـ di هو
القطر الداخلي للأسطوانة والـ t هو ال thickness تاع
الأسطوانة هذا ال average ال maximum tangential
stress معطل الأقل هي pidi + t على 2t وال
stress بالاتجاه الطولي إذا كانت الأطراف مغلقة
بساوي pidi على 4t pidi على 4t نشوف مثال
an aluminum alloy pressure vessel عندي أنبوب مصمت
من الألمنيوم is made of a tubing having an outside
diameter of eight inch and a wall thickness of ربع
إنش يعني عندي الأنبوبة قطرها الخارجي القطر
الخارجي عليها
بساوي ثمانية إنش وسمكة ربع إنش وجواها
سائل أو غاز مضغوط
What pressure can the cylinder carry if the
permissible tangential stress is twelve kilopound
per square inch and the theory of thin walled
vessels is assumed to apply؟ إيش قيمة الضغط
الداخلي؟ بدي pi إيه
ده إيش قيمته؟ إذا كان ال sigma tangential
permissible بساوي 12 كيلو باوند لكل إنش مربع
اللي
هو بدي
احنا نشوف sigma tangential maximum sigma
tangential maximum إيه بساوي ال pi في di
زائد thickness على 2t الـ di بساوي do
− 2t مظبوط يعني هتكون ثمانية نقص 2 في ربع
في ربع
يعني 7.5 إنش هذه
حد بساوي ومابعطيني ماثر
ألف pound per square inch يعني احنا عند pi في القطر
الداخلي 7.5 والـ thickness ربع على 2
في ربع بيستخدموا 12 ألف ومنها بحسب ال pi بساوي
6 ألف على 7.5 7.5 × 4 = 30 480
فاصلة واحدة 9 تلاتة 74.
فاصلة واحدة 9 تلاتة اللي هي psi
هذا الضغط جوه ال cylinder هذا
المطلوب الأول المطلوب كان on the basis of pressure
found in part a على أساس احنا عرفنا الضغط طبقا
لطريقة الحسبة في part a
compute stress components using theory for thick
walled cylinders احسب ال stress components
باستخدام ال thick walled cylinders في الثيوريا حتى
ال thick walled cylinder sigma
tangential إيش بساوي ri2
pi
على ro2 − ri2 في 1 زائد ro
تربيع على R تربيع يعني عندي اللي هو الـ Ri
ايش يستوي دي أعلى اتنين صح؟ تكون 3.75
خمسة إنش و الـ R هو ايش يساوي اللي
هو 8 على 2 أربعة إنش يعني هتكون sigma
tangential R I اللي هي 3.75 تربيع
الـ P I احنا هنجيبها في 774
0.2 على الـ R الأول 4 تربيع minus 3
point 75 تربيع في 1 زائد 4 تربيع على
R تربيع احسبوا
لها
بس الـ term هذا ال
sigma R الـ radial
هتكون R I تربيع P I على R O تربيع minus A على
تربيع في 1 minus R O تربيع على R تربيع هتساوي
الأولى كم؟ 5600 أيوة اللي هي في 1
زي 16 على R تربيع التانية هتكون 5600 و
19 في
1
في 1 ناقص 16 على
R تربيع و
الـ sigma L sigma
L
بتساوي PI RI
تربيع على RO تربيع
minus RI تربيع اللي
هتكون يعيش 5619 PSI
طيب طيب sigma tangential maximum ايش هتكون sigma
tangential maximum
هتكون
لما الـ R يستوي R ايه صح؟ يعني هتكون 5619 في
1 و 19
في 1 زائد 16 على
R آي اللي هي كم 3.75 تربيع كم
تطلع 12000 12000
و 12 PSI مش
في فرق اذا كان نفس الشيء المفروض تطلع نفس الجواب
بس الفرق مش بسيط يعني بدي احكي الـ percentage error
هيكون
سواء 12012 ماينص 12000 على
12012 في 100
كم تطلع؟ حسبوليها 1 في الألف اه
يعني 0.
1 في المية ال
.. الـ sigma r الـ sigma r
الـ Sigma R maximum بتكون
لما R تستوي
ايش؟ R I صح؟ يعني هتكون 5619 في
1 ناقص
16 على 3.75 طبعا المفروض يكون
متوقع الجواب هتكون سواء في اي كم حسبوها بس في اي
بس بالسالب اللي هي السالب 774 في
اصعى
الضغط الجو كم؟ كم؟ 14؟ 14 من 7؟
كم؟ PSI ولا كيلو باون؟ PSI صح؟
PSI
أكدوا معناه؟ يعني 15 يعني أنا أحكي 7..
750 تقريبا على 15 50 ضعيفة ضغط
الجول يعني
أكتر من الـ 50 bar
طيب الآن في حالة عندي rotating rings يعني عندي
أسطوانات بتدور الأسطوانات بتدور من وجهها في حالة
الـ flywheels في حالة الشفطات اللي هو blowers
بيكونوا بتدور بسرعة عالية في حالة الـ disksات اللي
بتدور نتيجة الدوران
بيصير قوة طرد مركزي بتحاول
القطر الخارجي
أو كل ما طلع مقابلة من المركز واطلع لبرا بيحاول
الأقطار ايش؟ تكبر، صح؟ بتحاول ايش؟ الأقطار تكبر،
إذا تلاحظ الأقطار، الأقطار تكبر، مانعكست بيصير ايش؟
بيصير عندي tangential stress component بيصير عندي
نتيجة الدوران قوت الطرد المركزي بتحول مادة بدها
تصير فيها الـ strength تمغطف فبيصير عندي tangential
و radial stress components شبيهة للـ thick wall
pressure cylindersالفرق الوحيد إن المسبب ما فيش
ضغط فيه اللي هي قوة اللي هي الـ inertia forces هي
اللي بتخلي الـ tangential و الـ radial stress
components المثل
بتكون موجودة أو ملحوظة لو يكون الـ outside radius
كبير بالمقارنة مع الـ thickness و الـ thickness is
constantو الـ stresses are constant over the
thickness يعني أنا عندي flywheel عادة بتكون شكل ال
flywheel هذا
الـ flywheel هذا القطر الخارجي
الكبير من مقارنة عياش بالـ thickness يعني الـ RO
أكبر أو يساوي عشرة ضعف الـ T وال
thickness is constant ممكن أعتبر إنه لأن بعيد الـ
stress بيكون constant على عياش على الدفلة الصغيرة
هذه
التنجين في الـ stress معقول علاقة هذه رو أميجا
square في 3 زائد نيو على 8 في R I square
زائد R O square زائد R I square R O square على R
square minus 1 minus 1 زائد 3 نيو على
3 زائد نيو في R square الـ روالكثافة المادة
المصطلوب منها الـ disk أو الـ flywheel الـ omega
السرعة الزاوية للـ disk أو الـ flywheel بالـ radians
per second لأنه الـ poison ratioالـ RI اللي هو نص
القطر الداخلي للدسك أو الـ flywheel الـ R أو نص
القطر الخارجي والـ R هي any location أنا بحسب الـ
stress at any radial distance R والسيجما
راديال برضه موضوع للعقل اللي هي رو ميجا square في
3 زائد نيو على 8 في R I square زي R I
square minus R I square في R I square على R square
minus R I square لاحظوا termات في تشابه مع الـ term
الأخير فإذا عندي disk بدور يعني
هذه الفكرة اللي كانوا يستخدموها في المولينيكس
القديم المولينيكس القديم كان عند الشافت
هذا الـ shaft عندنا الـ motor هذه كانت تكون مطاطة
سنّنة سنّنة لأن لما ندور مع سرعة كانت تفتح هذه تسير
تمسك على القطعة الثانية فتدور معها نتيجة قوة الطرد
المركزية
طيب .. برضه
إذا أريد أن أثبت مثلا قطعتين استمنيت مع بعض ممكن
أستخدم طريقة اللي هي ما يسمى الـ press و الـ shrink
fit الـ press أنه يكون القطعة الداخلية قطرها أكبر
شوية من القطعة الخارجية أدخله في الضغط الـ press
fit أو shrink fit أنه بتسخين أسخن القطعة الخارجية
تتمدد فبيصير القطعة دي ممكن تدخل فيها لأن في عندي
هين
تو parts هذا القطع الخارجية و هذا الـ inner part
بدي أمسكهم بعض باستخدام press fit أو shrink fit
الآن القطع الداخلية نص
قطرها الداخل R I و نص قطرها الخارجي R capital
القطع الخارجية مسكتر الداخلي R مسكتر الخارجي RO لأن
عشان هدول يصيروا مسكين مع بعض بتكون القطعة
الخارجية أكبر شوية في Delta مسافة ضغيرة Delta الآن
نتيجة إن الـ Delta صغيرة فبيصير القطع الداخلية تضغط
على القطع الخارجية لبرا و الخارجية تضغط على القطع
الداخلية لجوه عكس بعض فبتولد pressure بين
القطعتين ال
pressure على القطع الداخلية هيكون pressure خارجي
خارجي الـ pressure على القطع الخارجية هيكون pressure
داخلي
الآن يعني هي حسب كيف أنا أطلع في الآخر بغض النظر
هو pressure خارجي أو داخلي هو نفس الـ pressure بس
إذا بدأ درس الداخلية بيكون pressure خارجي إذا بدأ
درس القطعة الخارجية بيكون pressure داخلي الآن كل
طبعا زيدي الـ delta الـ pressure automatic هيزيد طبعا
الـ pressure أكيد بيعتمد على الـ Radial Difference
اللي هو Delta وبيعتمد برضه على الخصائص الميكانيكية
بتاعة المواد بيعتمد على الـ Poison Ratio وبيعتمد
على Modulus of Elasticity زائد إيش الجيومتري
الأقطار معناته ال pressure بيستوى Delta على R كابتر
ال R كابتر هي ال common radius بين ال two parts في 1
على EO في R O تربيع زائد R تربيع على R O تربيع
ناقص R تربيع زائد new node زائد 1 على EI في R تربيع
زائد R I تربيع على R تربيع كابتر ناقص R I تربيع
ناقص new I لأن ال EO و EI اللي هي ال modulus of
elasticity لل outer part و ال inner part و ال new
node و ال new I اللي هي ال poison ratio لل outer
part و ال inner part و ال R كابتر هي ال common
radius بين ال two parts أو اللي هي R كابتر
common radius بين ال part الداخلي و ال part
الخارجي ال R I هي القطر الداخلي لل inner part و ال
R O هو القطر الخارجي لل outer part لأن بتولد
pressure معناته ال pressure ده هعمل stresses سواء
في القطعة الداخلية أو القطعة الخارجية عشان احسب ال
stresses أنا ده ال pressure عرفناه ال pressure
عرفناه المعادلة اللي .. الآن لو ده أخد ال part
الداخلي هيكون متعرض لإيش ضغط خارجي ضغط خارجي
معناته ال P I عليه إيش ساعة؟ Zero فبروح في
المعادلات تعالى thick cylinder هذه المعادلات الفارت
الداخلي بروح بعوض اللي هو ال P I ب Zero P I ب Zero
P I ب Zero P I ب Zero P I ب Zero P I ب Zero P I ب
Zero P I ب Zero P I ب Zero P I ب Zero P I ب Zero P
I ب Zero P I ب Zero P I ب Zero P I ب Zero P I ب
Zero P I ب Zero P I ب Zero P I ب Zero P I ب Zero P
I ب Zero P I ب Zero P I ب Zero P I ب Zero P I ب
I ب Zero P I ب Zero P I ب Zero
بالنسبة للقطع الخارجية بيكون عليه pressure داخلي
يعني بتكون ال P O بيستوى صفر و ال R I بتاعتها ر
كابيتال و ال R O هي ر او واضح؟
اعتمادًا على هذه المعادلات
بحسب اللي هو tangential stress component و radial
stress component إذا كانوا اتوصل if both cylinders
are of the same material إذا كانوا نفس المادة
معناته هتكون عندي ال EO نفس الشيء و ال new O نفس
ال new I تعمل اختصارات تصبح المعادلة أصغر بسرعة دي
ال pressure الحراري ال P بيستوى E في Delta على
اثنين R capital تكعيب في R O تربيع ناقص R تربيع
كابتر في R تربيع كابتر ناقص Ri تربيع على R O
تربيع ناقص Ri تربيع
المعادلات اللي احنا شفناها اللي هي معادلة السرقة
بتاعة ال sigma tangential و sigma radial بتاعة ال
.. اللي .. اللي هي ال .. ال .. التدمير في stress
component و radial stress component في حالة اللي
هي thick pressurized cylinder بستخدم معادلته ده
عشان احسب ال stresses في ال two cylindrical
components for the inner member للسلندر
الداخلية ال P O بيساوي P و ال P I بيساوي صفر بحسب
ال tangential stress sigma tangential على ال inner
part لما ال R small بيساوي R capital تطلع ناقص P
في R capital تربيع زائد R I تربيع على R تربيع ناقص
R I تربيع
for the outer member بيكون
ال P O بيستوي صفر و ال P I بيستوي ال P بيستوي
الصفر و ال P I بيستوي ال P بيستوي ال P بيستوي ال P
بيستوي ال P بيستوي ال P بيستوي ال P بيستوي ال P
ما بيساوي بعض، مع أنه أنا حاسب tangential stress
component عن نفس ال radial distance، يعني R small
زائد R capital ببساطة لأن الأكثر تقاربهم مختلفين،
مظبوط؟
يعني إذا أحد حابب أريكُم كيف هذه الأجهزة، يعني ممكن
نحكي بحالة ال inner cylinder
في حالة ال inner ال
cylinder بكون
عندي ال ri بيستوي ال ri صح؟ و ال ro بيستوي ال R
capital صح؟ و ال pi إيش بيستوي؟
صفر و ال P O بيستوي إيش P معناه السيج باتنجرش اللي
بيصير سوياً نعوض
عن P I بصفر هتكون سوياً ناقص P O R O اللي هي R
capital تربيع ناقص
ري تربيع ر كابيتال تربيع في ال
PIO صح في
PIO على
R تربيع على
اللي هي Rcapital تربيع ناقص ri تربيع يعني
هناخد ناقص PO في R تربيع صح مشترك بيصير عندي
واحد
زائد ر I تربيع على R تربيع على
R تربيع ناقص ر I تربيع هذا
في حالة ال inner cylinder و
ال sigma R
هتكون تساوي أنا هعوض ال P I بصفر ناقص P O R
capital تربيع زائد
ر I تربيع R capital تربيع في P O الآن بطلت P O
هيحصل أن أنا في الحالة دي H P صح؟
في P اللي هي ال P هو بيساوي P على R تربيع على
R capital تربيع ناقص RI تربيع يعني هتكون تساوي
هأخذ
PR تربيع PR
تربيع في ناقص واحد زائد
ر اي تربيع على R تربيع على R capital تربيع ناقص ر
اي تربيع طيب
الـ Outer Cylinder هيكون
عندي الـRI بيستوي R كابيتال و الـ RO بيستوي RO و ال
PI بيستوي P و ال PO بيستوي
صفر في الحالة التي تصير عندي الـ Sigma tangential
بتصير عند P R
تربيع ناقص
R تربيع R O تربيع في
ناقص ناقص بيصير زائد زائد في P I في P على R
تربيع على R O تربيع ناقص R تربيع يعني هتكون تساوي
هأخذ P R تربيع في واحد زائد
R O تربيع على R تربيع على R O تربيع ناقص R تربيع
و ال sigma radial هتكون
عند ال P R
capital تربيع زائد
ر تربيع ر او تربيع في
ناقص P على
ر تربيع ر تربيع على
ر او تربيع ناقص ر تربيع يعني هكون يساوي PR تربيع
في واحد ناقص R O تربيع على R تربيع على R O تربيع
ناقص R تربيع أنا
أنجزت بشكل عام بشكل أعم فبتجيبها فبدك تجيبها عند
هنا at R بيساوي R capital تعوض على R capital
يعني
هذه المعادلات حالة يعني بتحسب ال stresses عند ال R
small بيساوي R capital هدموا على الدلالات تحسب ال
stresses at any R بين R capital و R O في حالة ال
outside cylinder أو بين RI و R capital طيب
في أي سؤال؟ أعطيكم العافية محاضرة الجامعة نكمل